prelucrarea numerica a semnalelor - utcluj pns/pns...^indrum ator de laborator (2013 - 2014)...

$: Prelucrarea numerica a semnalelor - UTCluj PNS/PNS...^Indrum ator de laborator (2013 - 2014) Prelucrarea numeric a a semnalelor IV TST 11 / 47 Laborator 2 { Semnale discrete ^ n timp$
Prelucrarea numerica a semnalelor

Indrumator de laborator

http://sp.utcluj.ro/Teaching_IVTST.html

IV TST

Indrumator de laborator (2013 - 2014) Prelucrarea numerica a semnalelor IV TST 1 / 47

http://sp.utcluj.ro/Teaching_IVTST.html

Cuprins

1 Laborator 1 – Introducere ın MATLAB

2 Laborator 2 – Semnale discrete ın timp

3 Laborator 3 – Esantionarea semnalelor analogice

4 Laborator 4 – Sisteme discrete liniare si invariante ın timp

5 Laborator 5 – Convolutia liniara si convolutia circulara

6 Laborator 6 – Transformata Fourier discreta

7 Laborator 7 – Filtre cu raspuns finit la impuls8 Laborator 8 – Sisteme discrete liniare si invariante ın timp vazute ca

filtre selective ın domeniul frecventa9 Laborator 9 – Filtre cu raspuns infinit la impuls. Metode indirecte de

proiectare10 Laborator 10 – Filtre cu raspuns infinit la impuls. Metode directe de

proiectare11 Laborator 11 – Structuri pentru realizarea sistemelor cu raspuns finit la

impuls12 Laborator 12 – Structuri pentru realizarea sistemelor cu raspuns infinit

la impuls


Laborator 1 – Introducere ın MATLAB

L1. Introducere ın MATLABAnexa A — L. Grama, C. Rusu, Prelucrarea numerica a semnalelor - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: Pentru a va familiariza cu mediul de programareMATLAB, respectiv cu principalele comenzi si functii ce vor fi utilizate ınlaboratoarele urmatoare, cititi Anexa A: Notiuni MATLAB (pp. 139-165) siintroduceti ın linia de comanda exemplele descrise.

Exercitii:

1 Se considera matricile: A =

3 2 18 4 50 2 0

, B =

2 3 41 1 12 3 2

si

scalarul m = 4. Evaluati ın MATLAB: C = A + B; D = A− B;E = C + m; F = A · B; G = B ·m; H = A′; I = B ′; J = A/B;K = A \ B; L = C m. Verificati daca J = A · B−1 si dacaK = A−1 · B. Utilizati formatul long e .

2 Generati un vector cu pas liniar, ıntre 3 si 9, cu increment 2.

3 Generati un vector cu pas liniar, cu 13 elemente, ıntre 3 si 9.



4 Generati un vector cu 9 elemente distribuite logaritmic ıntre decadele10−3 si 103.

5 Evaluati produsul scalar al vectorilor: a =[

1 2]

si b =[−3 3

].

6 Se considera vectorul y = 3:0.9:123 . Calculati lungimea vectorului ysi generati un nou vector cu toate elementele 1, de lungime egala culungimea vectorului y .

7 Evaluati produsul element cu element al matricilor: A =

9 8 76 5 43 2 1

si B =

1 0 11 0 11 0 1

.

8 Reprezentati grafic secventa x(n) = sin 2π1

5n, n = 0, 10, folosind

functia stem . Graficul sa fie de culoare rosie, reprezentat cu stelute;sa se scrie titlul si identificarile axelor.



9 Sa se creeze o functie MATLAB bplusa.m :

function suma = bplusa(a, b) prin care se face suma a doua

variabile a si b .

10 Sa se creeze o functie MATLAB boria.m :

function produs = boria(a, b) prin care se face produsul a doi

vectori a si b .

11 Sa se creeze o functie MATLAB:function mediegeometrica = MedieGeom(a, b) prin care se

evalueaza media geometrica a doi scalari a si b .


Laborator 2 – Semnale discrete ın timp

L2. Semnale discrete ın timpCapitolul 1 — L. Grama, C. Rusu, Prelucrarea numerica a semnalelor - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: In acest laborator se urmareste prezentareasecventelor discrete (modul de definitie, clasificarea si proprietatileacestora). Va fi ilustrat de asemenea si modul de reprezentare alsemnalelor discrete ın timp ın MATLAB. Pentru a va familiariza cunotiunile de semnal si secventa cititi Capitolul 1: Semnale si secvente,paragrafele 1.1.1-1.1.2 (pg. 1-4), respectiv paragrafele 1.2.1-1.2.2 (pg.8-10) pentru a vedea functiile MATLAB utilizate la descrierea secventelor.Rulati exemplele 1.3.1÷1.3.12 (exemplele MATLAB le gasiti ın

L2 PNS Exemple: Ex2 1, impuls, Ex2 3÷Ex2 4, treapta, Ex2 6÷Ex2 12).

Exercitii:1 Generati si reprezentati grafic (folosind functia stem ) secventa:

x(n) = {0, 1, 2, 1, 0,−1,−2,−1, 0}, n = 0, 8.

2 Generati secventa complexa: x(n) = δ(n) + ju(n), n = 0, 10, sireprezenati grafic partea reala, respectiv partea imaginara a secventeigenerate, ın aceeasi fereastra grafica, folosind functia subplot(mnp) .



3 Generati si reprezentati grafic urmatoarele secvente (abscisa n trebuiesa includa doar domeniul indicat):

x1(n) = 0.5δ(n), n = −5, 10;

x2(n) = 0.8δ(n − 5), n = −5, 10;

x3(n) = 1.5δ(n + 100), n = −150, 0;

x4(n) = 2u(n), n = −20, 20;

x5(n) = 1.5u(n − 10), n = −10, 20;

x6(n) = 2.5u(n + 10), n = −15, 15;

x7(n) = 1.2δ(n + 5) + 1.3 [u(n)− u(n − 20)] , n = −15, 25;

x8(n) = 2.2 sin(

2π0.1n +π

4

), n = 0, 49;

x9(n) = 1.5 sin(π

4n +

π

3

), n = 0, 20;

x10(n) = 2 cos

(π√5

n +π

6

), n = −20, 20;

x11(n) = ln∣∣∣sin

( π10

n)− cos

( π10

n)∣∣∣, n = −20, 20;



x12(n) = exp (3n), n = 0, 9;

x13(n) = (−3)n sin(π

8n), n = 0, 20;

x14(n) = 10 sin(

2π0.1n +π

6

), n = −5, 20.

4 Reprezentati grafic secventa sinus atenuat de lungime 100:

x(n) =

sin (0.1n)

0.1n, n 6= 0,

1, n = 0.

5 Generati secventa rampa cu valoare initiala 0 si valoare finala 100, de

lungime 20: x(n) =100

19n, n = 0, 19.

6 Reprezentati grafic secventa: x(n) = 3 sin (4πn) + 2 cos (0.72πn),n = 0, 100. Este periodica secventa obtinuta? Daca da, care esteperioada?

7 Reprezentati grafic secventa de lungime 20:

x(n) =

{sin (0.2n), n > 10,

0, n ≤ 10.



8 Generati secventa complexa de lungime 50:

x(n) = exp[−0.1n + j

(2π0.1n +

π

4

)]. Reprezentati grafic secventa

exponentiala amortizata cu sinus, respectiv cu cosinus:

x1(n) = exp (−0.1n) sin(

2π0.1n +π

4

);

x2(n) = exp (−0.1n) cos(

2π0.1n +π

4

).

9 Generati si reprezentati grafic urmatoarele secvente:

x1(n) =

{n(2− n), n = −5, 10

10, ın rest− 10 ≤ n ≤ 20;

x2(n) =

8∑

i=0

a(n − 2i); a =

{n + 3, n = 0, 5

0.5, ın rest, n = 0, 10

50, ın rest

0 ≤ n ≤ 15;

10 Generati trei sinusoide cu amplitudine, frecventa si faza diferite, siafisati-le simultan pe ecran (minim o perioada).



11 Generati 16 perioade ale unei secvente periodice, fiecare perioadaformata din 5 esantioane de 1 si 10 esantioane de 0.

12 Generati o secventa pseudoaleatoare uniforma, ıntre 0 si 10.Reprezentati aceasta secventa pentru n = 0, 49.Indicatie: Pentru a genera o secventa cu distributie uniforma ıntr-un interval

specificat [a, b], se multiplica iesirea functiei rand cu (b − a), iar apoi se adauga

valoarea a. In cazul acestui exemplu a = 0 si b = 10.

13 Generati o secventa pseudoaleatoare gaussiana, concentrata ıntre 0 si10. Reprezentati aceasta secventa pentru n = 0, 49.Indicatie: Aceasta secventa are media 5 si varianta 5. Pentru a genera o secventa

gaussiana cu acesti parametri, se multiplica iesirea functiei randn cu valoarea

deviatiei standard, ın acest caz√

5, iar apoi se adauga valoarea mediei dorite 5.

14 Reprezentati grafic, folosind functia stem , secventa obtinuta prinınsumarea unui semnal sinus cu un semnal zgomot uniform cuamplitudinea de 10 ori mai mica.



15 Generati si reprezentati grafic urmatoarele secvente de lungime 100:x1(n) = δ(n)− δ(n − 5);

x2(n) = u(n − 5);

x3(n) = n [u(n)− u(n − 10)] ;

x4(n) = e(−0.2+j0.3)n;

x5(n) = n [u(n)− u(n − 10)] + e(−0.2+j0.3)n;

x6(n) = n [u(n)− u(n − 10)] + e0.3n [u(n − 10)− u(n − 20)] .

16 Adaugati un semnal aleator uniform de medie 0 si amplitudinemaxima 0.2, la secventele de lungime 100, generate la exercitiul 15.

17 Repetati exercitiul 16, pentru un semnal aleator gaussian de medie 0si varianta 0.1.

18 Generati 101 esantioane corespunzatoare unei secvente rampa, cuvaloare initiala 0 si increment 0.01. Reprezentati aceasta secventaıntre 20 si 30.Indicatie: Pentru afisarea grafica puteti utiliza sintaxa: stem(20:30, x(21:31)) ,

considerand ca secventa a fost notata cu x .



19 Generati si reprezentati grafic grafic o secventa rectangulara si unadinte de fierastrau care contin 15 esantioane pe perioada. Afisatiminim 5 perioade.

20 Sa se creeze o functie MATLAB care genereaza o secventa sinusoidalade lungime finita. Functia trebuie sa aiba 5 argumente de intrare: 3pentru parametrii sinusoidei si 2 pentru a specifica primul si ultimulindex al secventei finite. Functia va returna un vector coloana care vacontine valorile sinusoidei.Indicatie: function secv = gensin(ampl, frecv, faza, ninitial, nfinal) .

Utilizati functia creata ıntr-un script MATLAB pentru calcululminimului, maximului, mediei si dispersiei unei secvente sinusoidale cuparametrii: ampl = 1.5 , frecv = 1/15 , faza = pi/6 , n = 0, 50.

21 Modificati functia creata la 20, pentru a returna 2 argumente: unvector care contine valorile secventei si unul care contine indecsii.Indicatie: function [secv, n] = gensin1(ampl, frecv, faza, ninitial, nfinal) .


Laborator 3 – Esantionarea semnalelor analogice

L3. Esantionarea semnalelor analogiceCapitolul 1 — L. Grama, C. Rusu, Prelucrarea numerica a semnalelor - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: Obiectivele acestui laborator sunt prezentareasemnalelor analogice, a modului de obtinere a unei secvente discretedintr-un semnal analogic (esantionarea semnalelor analogice) si aprocedeului de reconstituire a semnalelor analogice din esantioane. Pentrua va familiariza cu semnalele analogice, esantionarea si reconstituireaacestora cititi Capitolul 1: Semnale si secvente, paragrafele 1.1.1-1.1.5 (pg.1-8). In paragraful 1.2.3 (p. 11) sunt prezentate functiile MATLAB folositepentru interpolare. Rulati exemplele 1.3.13÷1.3.15 (exemplele MATLAB le

gasiti ın L3 PNS Exemple: Ex3 1÷Ex3 3). Studiati problema 1.3.16.

Exercitii:1 Reprezentati grafic un semnal modulat ın amplitudine, esantionat cu

frecventa de 1MHz, a carui purtatoare este la 100kHz simodulatoarea la 10kHz, pentru un indice de modulatie m = 1.2.Reprezentati ın aceeasi figura, dar ın alta subfereastra, secventamodulata ın amplitudine cu purtatoare suprimata.



2 Dintre toate secventele obtinute prin esantionarea cu 50kHz a unorsemnale analogice sinusoidale, care are cea mai mare viteza devariatie?

3 Generati 101 esantioane ale unei secvente obtinute prin esantionareacu 1kHz a unui semnal sinusoidal; sinusoida analogica are amplitudineunitara, faza zero si frecventa de 100Hz.

Din secventa anterioara generati o secventa redresata bialternanta( abs );Realizati media aritmetica a celor doua secvente obtinute anterior. Cefel de secventa se obtine?Reprezentati cele trei secvente ın aceeasi fereastra grafica, ınsubferestre diferite.

4 Se considera un semnal analogic cu frecventa F = 200Hz. Acesta seesantioneaza cu Fs = 800Hz. Reprezentati grafic semnalul analogic,secventa obtinuta ın urma esantionarii si semnalul analogic ce poate fireconstituit din esantioane (Fsim = 8kHz).



5 Considerati ca semnale de intrare, semnalele analogice cu frecventele:300Hz, 400Hz, 500Hz, 700Hz, 900Hz. Toate se esantioneaza cu900Hz (nu uitati frecventa de simulare). Sa se reprezinte graficsemnalele analogice, secventele obtinute ın urma esantionarii sisemnalele reconstituite din esantioane, precum si spectrelecorespunzatoare. Exista eroare de alias? De ce?


Laborator 4 – Sisteme discrete liniare si invariante ın timp

L4. Sisteme discrete liniare si invariante ın timpCapitolul 2 — L. Grama, C. Rusu, Prelucrarea numerica a semnalelor - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: Scopul acestui laborator este prezentareasistemelor discrete LTI. Este ilustrat modul de evaluare al raspunsuluisistemelor LTI la semnale de intrare arbitrare, ın conditii initiale nenule. Inaceasta lucrare se prezinta, de asemenea, utilizarea transformatei ın z lacaracterizarea sistemelor LTI. Pentru a va familiariza cu sistemele LTI cititiCapitolul 2: Semnale discrete, paragrafele 2.1, 2.1.1-2.1.3 (pg. 43-46).Functiile MATLAB utilizate pentru evaluarea iesirii si a raspunsului laimpuls al unui sistem LTI, precum si cele utilizate la caracterizareasistemelor discrete sunt descrise ın paragrafele 2.2.1-2.2.2 (pg. 48-50).Rulati exemplele 2.3.1÷2.3.9 (exemplele MATLAB le gasiti ın

L4 PNS Exemple: Ex4 1÷Ex4 9). Studiati problemele 2.3.10÷2.3.13.

Exercitii:1 Demonstrati printr-un script MATLAB (similar cu Ex4 1.m) ca

sistemul H{x(n)} = x2(n) este neliniar. Se considera:x1(n) = sin (2π0.1n), x2(n) = sin (2π0.15n), a = 3 si b = −3.



2 Se considera doua sisteme cauzale. Determinati care dintre acesteaeste stabil. Justificati raspunsul.

H1(z) =1− 0.6z−1 + 1.15z−2 − 0.98z−3 + 0.98z−4

1 + 1.27z−1 + 2.02z−2 + 1.54z−3 + 0.98z−4;

H2(z) =2− 2.54z−1 + 5z−2 − 4.3z−3 + 3.27z−4

1− 0.77z−1 + 0.82z−2 + 0.41z−3 + 0.51z−4.

3 Un sistem LTI este caracterizat prin functia de sistem:

H(z) =(z + 0.2)(z2 + 5)

(z − 0.7)(z2 − z + 0.49).

Reprezentati polii si zerourile ın planul z ;Evaluati si reprezentati grafic faza functiei raspuns la frecventa. Esteacest sistem unul de faza liniara?

4 Se considera urmatoarele functii de sistem, corespunzatoare unorsisteme discrete LTI:

H1(z) = 1− 4z−1 + 4z−2; H2(z) = 1 + 4z−1 + 4z−2;

H3(z) = 1− z−1 + 0.25z−2; H4(z) =

(1 + z−1

)2

1− z−1 + 0.25z−2;

H5(z) =

(1− z−1

)2

1− z−1 + 0.25z−2; H6(z) =

1

1− z−1 + 0.25z−2.



Reprezentati diagramele poli-zerouri pentru Hi (z), i = 1, 6, utilizand

functia zplane ;Reprezentati caracteristicile raspunsului la frecventa pentru fiecaresistem ın parte. Precizati ce tip de sistem reprezinta fiecare;Evaluati si reprezentati grafic raspunsul la impuls si raspunsul latreapta unitate pentru H5(z).

5 Evaluati raspunsul la impuls al sistemului: H(z) =0.5z2 + 0.5z

z2 − z − 0.5.

6 Evaluati raspunsul la impuls al sistemului descris prin functia de

transfer: H(z) =1 + z−1 + z−2 + z−3

1− 0.5z−1 − 4z−2 + 2z−3.

7 Evaluati primele 50 de esantioane ale secventei raspuns la impuls,

pentru sistemul: H(z) =z2 + 1

z3 − 1.9z2 + 1.55z − 0.425.

8 Evaluati primele 100 de esantioane ale secventei raspuns la impuls,

pentru sistemul: H(z) =z

z − 1.



9 Un sistem discret LTI este caracterizat prin ecuatia cu diferente finitesi coeficienti constanti:

y(n)− 1.5 cosπ

8y(n − 1) + 0.95y(n − 2) = x(n) + 0.4x(n − 1).

Determinati polii functiei de transfer corespunzatoare sistemului, care

sunt radacinile polinomului A(z) = 1 +N∑

k=1

ak z−k , utilizand comanda

roots . Daca radacinile sunt complex-conjugate, raspunsul sistemuluicontine componente armonice. Reprezentati partea reala si parteaimaginara a secventei complexe pn

k u(n), n = 0, 30 (pk sunt poliisistemului);Conform ecuatiei cu diferente finite, raspunsul la impuls este:h(n) = (a1pn

1 + a2pn2 ) u(n). Determinati constantele a1 si a2. Evaluati

raspunsul la impuls folosind comanda MATLAB impz (vedeti

Ex4 8.m);Determinati raspunsul permanent al sistemului la excitatia (vedeti

Ex4 9.m): x(n) = e jω0n, n = 0, 60, ω0 =π

6, folosind relatia:

y(n) = |H(ω0)|e jω0n+∠H(ω0).



10 Analizati efectul zerourilor si polilor corespunzatori functiei de sistemH(z), asupra raspunsului la frecventa |H(ω)|, pentru sistemele:

H1(z) =(1− z1z−1

) (1− z2z−1

)unde:

1) z1,2 = 1; 2) z1,2 = e±j π6 ; 3) z1,2 = e±j π

3 ; 4) z1,2 = e±j π2 ;

5) z1,2 = e±j 2π3 ; 6) z1,2 = e±j 5π

6 ; 7) z1,2 = −1.Analizati cum se modifica |H(ω)| ın concordanta cu pozitia zerourilor sireprezentati zerourile ın planul z . Ce observati? Comentati rezultatele.

H2(z) =0.3(

1− p1z−1) (

1− p2z−1) unde:

1) p1,2 = 0.3; 2) p1,2 = e±j π4 ; 3) p1,2 = e±j π

2 ; 4) p1,2 = −0.3.Analizati cum se modifica |H(ω)| ın concordanta cu pozitia polilor sireprezentati polii ın planul z . Ce observati? Comentati rezultatele.

11 Pentru secventa: x(n) = (0.9)n sin (0.2n), n = 0, 99, evaluatiraspunsul la impuls, dupa ce ın prealabil calculati X (z).Indicatie: Transformata ın z a secventei x(n) = an sin (ω0n)u(n) este

H(z) =az−1 sinω0

1− 2az−1 cosω0 + a2z−2, |z | > |a|.


Laborator 5 – Convolutia liniara si convolutia circulara

L5. Convolutia liniara si convolutia circularaCapitolele 2 si 3 — L. Grama, C. Rusu, Prelucrarea numerica a semnalelor - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: Obiectivul acestei lucrari este prezentareaconvolutiei liniare si circulare. Notiunile teoretice referitoare la convolutialiniara le gasiti ın Capitolul 2: Semnale discrete, paragraful 2.1.4 (pg. 47-48),respectiv ın 2.2.3 (p. 50) comenzile MATLAB utilizate la evaluareaacesteia. In Capitolul 3: Transformata Fourier discreta, paragraful 3.1.3 (pg.95-96), gasiti notiunile teoretice relevante pentru convolutia circulara.Functiile MATLAB folosite la evaluarea convolutiei circulare suntprezentate ın 3.2.2 (p. 99). Rulati exemplele 2.3.14, respectiv 3.3.6÷3.3.8,3.3.11 (exemplele MATLAB le gasiti ın L5 PNS Exemple: Ex5 1÷Ex5 5).Studiati problemele 2.3.15÷2.3.16.

Exercitii:1 Evaluati convolutia liniara dintre secventele: x1(n) = |10− n| si

x2(n) = 1.5 cos(

2π0.1n +π

4

), n = 0, 20. Reprezentati grafic cele

doua secvente si secventa obtinuta ın urma convolutiei liniare. Careeste lungimea convolutiei liniare?



2 Raspunsul la impuls al unui sistem LTI este:

h(n) =

{e−0.1n, n = 0, 31,

0, ın rest.La intrarea acestui sistem se aplica

secventa x(n) = u(n)− u(n − 20). Determinati iesirea sistemuluifolosind convolutia liniara.

3 Se considera sistemul LTI cu raspunsul la impuls:

h(n) =

{e−0.15n, n = 0, 31,

0, ın rest.Determinati iesirea sistemului la

excitatia x(n) = u(n)− u(n − 30), utilizand functia conv .4 Se considera sistemul descris prin functia de transfer:

H(z) =z − 1

(z − 0.25)(z − 0.5).

Determinati primele 100 esantioane ale raspunsului la treapta unitate;Exprimati functia de sistem sub forma: H(z) = H1(z) + H2(z) sideterminati raspunsurile la secventa treapta unitate ale celor douablocuri, iar apoi adunati rezultatele. Comparati rezultatul obtinut cucel de la primul punct.

5 Se considera sistemul: H(z) =z

z − 0.5. Evaluati:



Raspunsul la secventa treapta unitate;Raspunsul la secventa rampa;

Raspunsul la secventa: x(n) = 10cosπn

3u(n);

Raspunsul la secventa: x(n) = 10 · 0.5n · u(n).

6 Doua sisteme liniare sunt conectate ın cascada:h1(n) = { 2

�, 3, 2, 1,−0.5, 1, 2, 4}, h2(n) = { 3

�,−1, 5, 0, 2, 6}.

Generati o secventa de intrare arbitrara x(n) (ex: secventa sinusoidala);Evaluati secventa de la iesirea primului sistem, utilizand convolutialiniara, iar apoi secventa de la iesirea din cascada;Schimband ordinea de cascadare a celor doua sisteme, repetatioperatiile de la punctul precedent. Ce puteti concluziona?Sa presupunem ca al doilea sisem este caracterizat prin relatia deintrare-iesire y(n) = 0.01 [x(n)]2, iar primul sistem ramane neschimbat.Repetati punctele anterioare si comparati secventele de iesire obtinute.

7 Evaluati convolutia circulara pentru secventele: x2(n) = (−2)n si

x1(n) = 1.1 cos(π0.25n +

π

6

), n = 0, 10. Reprezentati grafic cele

doua secvente si secventa obtinuta ın urma convolutiei circulare. Careeste lungimea rezultatului convolutiei circulare?



8 Se considera secventele: x1(n) = 1.1 sin(

2π0.05n +π

4

)si

x2(n) = (−1)n, n = 0, 15. Realizati un program MATLAB care sacalculeze:

Convolutia liniara;Convolutia circulara ın 16 puncte ın doua moduri (cu circonv si cu

fft );Convolutia circulara ıntr-un numar minim de puncte, dar suficientpentru ca sa se obtina acelasi rezultat ca si ın cazul evaluariiconvolutiei liniare, ın doua moduri (cu circonv si cu fft ).

9 Calculati convolutia liniara si convolutia circulara (folosind DFT delungime minima) dintre secventele: x1(n) = u(n)− u(n − 20),n = 0, 30 si x2(n) = (−0.7)n, n = 0, 20. Care este lungimea minimapentru perioada N astfel ıncat valorile celor doua convolutii sa fieidentice? Reprezentati grafic cele doua secvente si secventele obtinuteın urma evaluarii convolutiilor.


Laborator 6 – Transformata Fourier discreta

L6. Transformata Fourier discretaCapitolul 3 — L. Grama, C. Rusu, Prelucrarea numerica a semnalelor - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: In acest laborator este prezentata transformataFourier discreta (DFT - Discrete Fourier Transform): definitia, proprietatilesi modul de implementare ın MATLAB. Pentru a va familiariza cu DFTcititi Capitolul 3: Transformata Fourier discreta, paragrafele 3.1.1-3.1.2 (pg.90-95), respectiv paragraful 3.1.4 pentru esantionarea ın domeniulfrecventa (pg. 96-97). Functiile MATLAB utilizate la implementarea DFTsunt prezentate ın 3.2.1 (pg. 98-99). Rulati exemplele 3.3.1÷3.3.5,3.3.9÷3.3.10, 3.3.12 (exemplele MATLAB le gasiti ın L6 PNS Exemple:

Ex6 1÷Ex6 8). Studiati problemele 3.3.13÷3.3.16.

Exercitii:1 Reprezentati grafic modulul si faza DFT-ului corespunzator secventei:

x(n) =

{1, n = 0, 5,

0, n = 6, 10.

2 Se considera secventa de la exercitiul 1; adaugati 116 zerouri.Reprezentati grafic modulul si faza DFT-ului pentru noua secventa.



3 Realizati un program MATLAB care sa verifice relatia lui Parsevalpentru:

x(n) =

{n + 2j , n = 0, 63,

0, ın rest.y(n) =

{−n + 3j , n = 0, 63,

0, ın rest.

4 Se considera un semnal modulat ın amplitudine, esantionat cu 1MHz,cu purtatoarea la 100kHz si modulatoarea la 10kHz. Pentru un indicede modulatie m = 0.7 reprezentati grafic spectrele de amplitudine side faza.

5 Se considera secventele: x1(n) = 0.2 sin(

2π0.1n +π

8

)si

x2(n) = 2e−0.2n, n = 0, 49. Reprezentati grafic secventele si produsulacestora. Evaluati modulul si faza DFT-urilor pentru x1(n), x2(n) six1(n)x2(n) si reprezentati-le grafic.

6 Evaluati DFT-ul ın N puncte pentru: x1(n) = u(n)− u(n − 20),

n = 0, 30 si x2(n) =

{n − 1, n = 0, 5,

(−1)n, n = 6, 10.Reprezentati grafic

secventele si DFT-urile corespunzatoare (partea reala si imaginara,modulul si faza) pentru ω ∈ [−π, π] si N = 32; 128; 256; 512; 1024.



7 Se considera secventele:

x1(n) = { 3�, 4.2, 11, 0, 7,−1, 0, 2}, x2(n) = { 1.2

�, 3, 0,−0.5, 2}.

Evaluati convolutia liniara (cu conv ) dintre x1(n) si x2(n). Care estelungimea rezultatului?In anumite cazuri, s-ar putea sa fie convenabila evaluarea convolutieiliniare cu ajutorul transformatei Fourier. Pentru ınceput, calculaticonvolutia liniara ıntr-un mod oarecum deficitar. Mai precis, extindetix2(n) cu trei zerouri, a.ı. ambele secvente sa aiba aceeasi lungime.Evaluati apoi DFT-ul ın 8 puncte pentru cele doua secvente. Dupamultiplicarea celor doua DFT-uri, calculati IDFT-ul produsuluiX1(k)X1(k). Luati ın considerare doar partea reala a rezultatului,partea imaginara fiind consecinta erorilor de rotunjire. In ce masurarezultatul este identic cu cel obtinut prin convolutie liniara? Cate dintreesantioane sunt corecte? De ce?Care este numarul minim al lungimii DFT care trebuie utilizat, a.ı. prinprocedeul anterior sa obtineti exact convolutia liniara? Adaugatizerouri la cele doua secvente, pana cand acestea au lungimea minimanecesara calcului corect al convolutiei liniare cu ajutorul DFT-ului.Repetati punctul anterior.



Adaugati cate cinci zerouri la cele doua secvente si ın acest fellungimea lor este mai mare decat minimul necesar pentru calcululcorect al convolutiei liniare cu ajutorul DFT-ului. Repetati punctulanterior si precizati ın ce masura un numar mai mare de esantioaneafecteaza rezultatul.

8 Se considera secventa: x(n) = { 3�, 2, 7, 1, 4}.

Evaluati DFT-ul ın 5 puncte al secventei x(n). Multiplicati DFT-ul cu

o exponentiala complexa: e−j 2πk5 . Calculati IDFT-ul produsului, adica

aflati secventa x1(n): x1(n) = IDFT{X (k)e−j 2πk5 }. Luati ın

considerare doar partea reala a secventei x1(n), partea imaginara fiindconsecinta erorilor de rotunjire. Comparati x1(n) cu x(n). Sunt acestesecvente obtinute prin translatie circulara?Repetati punctul anterior pentru a obtine o translatie circulara cu treiesantioane.Ce modificari ale tehnicii anterioare ar trebui ıntreprinse a.ı. sa avemposibilitatea evaluarii convolutiei liniare?


Laborator 7 – Filtre cu raspuns finit la impuls

L7. Filtre cu raspuns finit la impulsCapitolul 2 — L. Grama, A. Grama, C. Rusu, Filtre numerice - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: Subiectul acestui laborator este prezentareafiltrelor digitale cu raspuns finit la impuls (FIR - Finite Impulse Response).In prima parte sunt prezentate notiuni teoretice despre filtrele digitale,avantajele si dezavantajele acestora fata de cele analogice. Sunt ilustratecaracteristicile filtrelor FIR si sunt prezentate cateva metode de proiectarepentru filtrele FIR: metoda ferestrelor, metoda esantionarii ın frecventa simetoda optimala. Pentru a va familiariza cu filtrele digitale cititi Capitolul

2: Filtre cu raspuns finit la impuls, paragrafele 2.1-2.1.1 (pg. 41-42),respectiv 2.1.2-2.1.3 (pg. 42-48) pentru a va familiariza cu filtrele FIR(caracteristicile si metodele de aproximare ale acestora). FunctiileMATLAB utilizate la implementarea filtrelor FIR sunt prezentate ın2.2.1-2.2.4 (pg. 48-54). Rulati exemplele 2.3.1÷2.3.4 (exemplele MATLAB

le gasiti ın L7 PNS Exemple: Ex7 1÷Ex7 4). Studiati problemele 2.3.5÷2.3.6.

Exercitii:1 Proiectati un FTJ FIR, de ordin 21, cu frecventa de taiere 0.2.



2 Reproiectati filtrul anterior a.ı. sa obtineti o banda de tranzitie maimare.

3 Reprezentati grafic ferestrele rectangulara, triunghiulara, Blackman,Hamming, Hanning, Kaiser (diferiti β), precum si moduleleraspunsurilor la frecventa. Notati valorile lobilor principali siamplitudinile maxime ale lobilor secundari [dB]. Verificati rezultatelecu cele din tabelul 2.3. Pentru N = 20 studiati demoferestre.m . Cese ıntampla daca se modifica lungimea ferestrei (N = 50)? Ce putetispune despre efectul ferestrelor ın proiectarea filtrelor FIR?

4 Proiectati un FOB FIR, de ordin 21, prin metoda ferestrelor (folositiferestrele generate la exercitiul 3), avand limitele benzii de oprireFs1 = 10kHz, Fs2 = 15kHz. Frecventa de esantionare esteFs = 90kHz. Pentru fiecare fereastra ın parte reprezentati graficcaracteristicile raspunsului la frecventa, distributia zerourilor siraspunsul la impuls.



5 Proiectati un FTJ FIR, de ordin 36, prin metoda esantionarii ınfreventa, cu frecventa limita a benzii de trecere Fp = 15kHz sifrecventa de esantionare Fs = 50kHz. Reprezentati graficcaracteristicile raspunsului la frecventa, distributia zerourilor siraspunsul la impuls.

6 Proiectati un FTB FIR, de ordin minim, cu frecventele Fs1 = 10kHz,Fp1 = 12kHz, Fp2 = 60kHz, Fs2 = 62kHz si frecventa de esantionareFs = 130kHz, atenuarea minima ın benzile de oprire 40dB siatenuarea maxima ın banda de trecere 3dB. Reprezentati graficcaracteristicile raspunsului la frecventa.Indicatie: Pentru evaluarea deviatiilor din banda de trecere si oprire:

APB = 20 lg1 + δp

1− δp⇔ δp =

10APB

20 − 1

10APB

20 + 1

ASB = −20 lg δs ⇔ δs = 10−ASB

20 .

7 Reproiectati FTB FIR de la exercitiul 6, utilizand interfata graficaSPTool.



8 Se considera filtrul FIR cu relatia de intrare-iesire:

y(n) =1

4[x(n) + x(n − 1) + x(n − 2) + x(n − 3)]. Evaluati raspunsul

la impuls al filtrului, raspunsul la frecventa si reprezentati-le grafic.

9 Proiectati un transformator Hilbert, de ordin 33, cu un raspuns optim,a.ı. frecventa normalizata sa fie ıntre 0.05 si 0.45.

10 Proiectati un FTJ FIR de faza liniara, de ordin 55, cu frecventele detranzitie 0.2 si 0.3.

11 Proiectati un filtru FIR care sa aproximeze caracteristica deamplificare:

|H(ω)| =

0, 0 < ω < 0.2π;1, 0.25π < ω < 0.45π;0, 0.5π < ω < π.

Ilustrati grafic caracteristicile ın frecventa si raspunsul la impuls alfiltrului.



12 Proiectati un FTJ cu caracteristica de faza liniara, de ordin 51, caresa aproximeze caracteristica FTJ ideal. Se considera frecventa detaiere egala cu 0.2π. Ilustrati grafic raspunsul la frecventa pentrufiltrul proiectat. Constatati aparitia fenomenului Gibbs.

13 Proiectati un FTB cu caracteristica de faza liniara, de ordin 40, caresa aproximeze caracteristica FTB ideal (fereastra rectangulara) cufrecventele de taiere: 0.2π si 0.6π.

14 Repetati exercitiul 13 pentru o fereastra de tip Hamming. De ce numai apare fenomenul Gibbs? Ce puteti spune despre banda detranzitie?

15 Proiectati un filtru care sa aproximeze caracteristica unui diferentiator,H(ω) = ω/π, considerand fereastra Blackman si ordinul filtrului 40.

16 Se considera un filtru cu medie alunecatoare descris prin ecuatia cu

diferente finite: y(n) =1

3[x(n) + x(n − 1) + x(n − 2)].

Evaluati si reprezentati grafic modulul si logaritmul modululuiraspunsului la frecventa pentru acest filtru.



La intrarea filtrului se aplica un semnal amestecat cu zgomot. Ce seobtine la iesire? Comentati.Repetati punctele anterioare pentru un filtru de ordinul 5 descris deecuatia cu diferente finite:

y(n) =1

5[x(n) + x(n − 1) + x(n − 2) + x(n − 3) + x(n − 4)].

17 Folosind o fereastra dreptunghiulara, proiectati un FTB FIR, de ordin55, cu frecventele de taiere normate 0.18 si 0.33. Reprezentati graficraspunsul la impuls si raspunsul la frecventa.

18 Proiectati un filtru FIR de ordin 55, cu riplu egal, care sa aproximezeraspunsul la frecventa:

H(ω) =

0, 0 < ω < 0.2π;1, 0.22π < ω < 0.43π;0, 0.5π < ω < π.


Laborator 8 – Sisteme discrete LTI

L8. Sisteme discrete liniare si invariante ın timp vazute ca filtreselective ın domeniul frecventaCapitolul 1 — L. Grama, A. Grama, C. Rusu, Filtre numerice - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: Obiectivul acestei lucrari este prezentareasistemelor LTI vazute ca filtre selective ın domeniul frecventa. In primaparte sunt ilustrate caracteristicile ın frecventa ale filtrelor ideale, iar apoisunt prezentate cateva clase particulare de filtre selective: rezonatoaredigitale, filtre piaptan, filtre de rejectie, filtre trece tot si oscilatoaresinusoidale digitale. Notiunile teoretice sunt ilustrate ın Capitolul 1: Filtrari

selective paragraful 1.1 (pg. 1-20), respectiv ın paragraful 1.2 (p. 20) suntdescrise functiile MATLAB. Rulati exemplele 1.3.1÷1.3.9 (exemplele

MATLAB le gasiti ın L8 PNS Exemple: Ex8 1÷Ex8 9).

Exercitii:1 Reluati exemplul Ex8 9, pentru celelalte valori ale frecventei f0.


Laborator 9 – Filtre IIR. Metode indirecte de proiectare

L9. Filtre cu raspuns infinit la impuls. Metode indirecte deproiectareCapitolul 3 — L. Grama, A. Grama, C. Rusu, Filtre numerice - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: Acest laborator se focalizeaza asupra proiectarii,analizei si implementarii filtrelor digitale cu raspuns infinit la impuls (IIR -Infinite Impulse Response), cunoscute fiind numeroasele metode deproiectare ale acestora. Filtrele IIR se dovedesc ın anumite aplicatii maiavantajoase decat cele FIR datorita faptului ca pot realiza caracteristici deselectivitate excelente cu un ordin mult mai mic al functiei de transfer.Spre deosebire de filtrele FIR, filtrele IIR nu pot avea caracteristica de fazaperfect liniara. Pentru a va familiariza cu filtrele IIR cititi Capitolul 3: Filtre

cu raspuns infinit la impuls, paragrafele 3.1, 3.1.1 (pg. 70-77), respectivparagraful 3.1.3 (pg. 83-84) despre avantajele filtrelor IIR. FunctiileMATLAB folosite la implementarea filtrelor IIR sunt prezentate ın3.2.1-3.2.3 (pg. 84-88). Rulati exemplele 3.3.1÷3.3.4 (exemplele MATLAB

le gasiti ın L9 PNS Exemple: Ex9 1÷Ex9 4). Studiati problemele 3.3.5÷3.3.6.



Exercitii:1 Folosind metoda invariantei raspunsului la impuls proiectati un filtru

digital TB Butterworth, stiind ca:

La frecventele de 4kHz si 6kHz atenuarea este mai mica de 1dB;La frecventele de 3kHz si 8kHz atenuarea este mai de 40dB;Frecventa de esantionare este 20kHz.

1 Evaluati si reprezentati grafic caracteristicile raspunsului la frecventapentru FTB analogic si pentru FTB digital;

2 Evaluati si reprezentati grafic raspunsul la impuls al FTB digital sidiagrama poli-zerouri ın planul z ;

3 Filtrul digital obtinut este stabil?

Rezolvati problema folosind si metoda transformarii biliniare.

2 Repetati exercitiul 1 pentru un filtru Cebısev I. Comentati diferentele.

3 Repetati exercitiul 1 pentru un filtru Cebısev II. Comentati diferentele.

4 Repetati exercitiul 1 pentru un filtru eliptic. Comentati diferentele.

5 Repetati exercitiile 1÷4 si proiectati aceste filtre utilizand interfatagrafica SPTool.



6 Se considera filtrul analogic descris de functia de sistem:

H(s) =2

s + 2

s2 + 2

2s2 + 3s + 2. Folosind metoda transformarii biliniare,

obtineti filtru digital corespunzator, considerand perioada deesantionare T = 0.8. Ce fel de filtru obtineti? Este acest filtru stabil?


Laborator 10 – Filtre IIR. Metode directe de proiectare

L10. Filtre cu raspuns infinit la impuls. Metode directe de proiectareCapitolul 3 — L. Grama, A. Grama, C. Rusu, Filtre numerice - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: In acest laborator sunt ilustrate metodele directede proiectare ale filtrelor IIR. Notiunile teoretice legate de metodele directede proiectare ale filtrelor IIR sunt prezentate ın Capitolul 3: Filtre cu raspuns

infinit la impuls ın paragraful 3.1.2 (pg. 78-83), respectiv ın 3.2.4 (pg.88-91) sunt ilustrate functiile MATLAB. Rulati exemplele 3.3.7÷3.3.11(exemplele MATLAB le gasiti ın L10 PNS Exemple: Ex10 1÷Ex10 5). Studiatiproblemele 3.3.12÷3.3.13.

Exercitii:1 Se considera un FTS digital, de tip Cebısev II, cu 4 poli si 4 zerouri,

cu functia de sistem: Hd (z) =0.076945− 0.19009z−1 + 0.25374z−2 − 0.19009z−3 + 0.076945z−4

1 + 0.80034z−1 + 0.73056z−2 + 0.17774z−3 + 0.035329z−4.

Folosind metoda de aproximare Pade pentru Hd (z) si considerandlungimea raspunsului la impuls egala cu 50, comparati performantelemetodei pentru: M = {2; 4; 6} si N = {2; 4; 6}.



2 Considerand filtrul de la exercitiul 1, aproximati filtrul folosindmetoda de proiectare a celor mai mici patrate.

3 Considerand filtrul de la exercitiul 1, aproximati filtrul folosindmetoda de proiectare Prony.

4 Considerand filtrul de la exercitiul 1, aproximati filtrul folosindmetoda de proiectare a lui Shank.

5 Folosind metoda Yule-Walker, sintetizati un FOB, cu banda de oprireıntre 0.3 si 0.6 si frecventele ce delimiteaza benzile de trecere 0.25 si0.65.

6 Proiectati un FTJ Butterworth, de ordin 5, care satisface conditia:0.9 < H(ω) < 1, pentru 0 < f < 0.2.

7 Considerati un sistem LTI descris prin functia de transfer:

H(z) =0.05634(1 + z−1)(1− 1.01666z−1 + z−2)

(1− 0.68z−1)(1− 1.4461z−1 + 0.7957z−2). Reprezentati

diagrama poli-zerouri, caracteristicile raspunsului la frecventa sicaracteristica timpului de ıntarziere de grup.



8 Proiectati un FTJ Butterworth, de ordin minim, care satisfaceconditiile: 0.99 < |H(f )| < 1 pentru 0 < f < 0.22 si0 < |H(f )| < 0.01 pentru 0.25 < f < 0.5.

Reprezentati caracteristicile raspunsului la frecventa si caracteristicatimpului de ıntarziere de grup;Aflati polii si zerourile functiei de sistem si scrieti expresia functiei desistem sub forma compacta.

9 Repetati exercitiul 8 pentru un filtru Cebısev.10 Proiectati un FOB Cebısev, care sa rejecteze frecventa f = 0.22.

Proiectarea trebuie sa satisfaca cerintele:

Ordinul filtrului este zece;Latimea benzii de oprire este 0.04;Latimea benzilor de tranzitie este 0.03;Atenuarea ın banda de oprire este cel putin 20dB si riplul ın banda detrecere este 1dB.

Evaluati iesirea acestui filtru la excitatia x(n) = sin (2π0.22n),n = 0, 299. Comentati rezultatul.

11 Un sistem LTI este descris prin functia de transfer: H(z) =z

z − 0.9.



Evaluati si reprezentati raspunsul la impuls;Evaluati si reprezentati caracteristicile raspunsului la frecventa (modulsi faza);Evaluati iesirea filtrului la excitatia x(n) = sin (2π0.05n), n = 0, 499.Comparati intrarea cu iesirea. Cum sunt afectate amplitudinea si fazasinusoidei de la intrare?Repetati punctul anterior pentru x(n) = sin (2π0.1n), n = 0, 499.

12 Se considera doua semnale continue ın timp, xa(t) si ya(t), care se

afla ıntr-o relatie integrala: ya(t) =

∫ t

0xa(t)dt. Integrala poate fi

aproximata cu regula trapezului astfel:

ya(t) ' ya(t0) +t − t0

2[xa(t) + xa(t0)].

Un integrator discret poate fi reprezentat prin ecuatia cu diferente

finite: y(n) = y(n− 1) +T

2[x(n) + x(n− 1)], unde x(n) si, respectiv,

y(n) sunt semnalele esantionate provenite din xa(t) si ya(t).

Determinati functia de sistem H(z) a integratorului discret;



Generati doi vectori care sa descrie integratorul discret. AlegetiT = 0.1s;Se da semnalul: xa(t) = 0.9t sin 2t. Integrala sa poate fi aproximata cuajutorul integratorului discret. Pentru aceasta, semnalul seesantioneaza cu T = 0.1s si este trecut prin integrator. Calculati astfelprimele 100 de esantioane ale semnalului de iesire si comparati curezultatul teoretic;Repetati punctele anterioare pentru T = 0.05s.

13 Considerati un sistem LTI descris prin functia de sistem:

H(z) =1

1− z−N.

Creati o variabila care descrie acest sistem, iar apoi generati 100 deesantioane ale raspunsului la impuls al sistemului (N = 10);Evaluati si reprezentati caracteristicile raspunsului la frecventa;Generati 10 esantioane ale secventei: x(n) = 9− n, pentru n = 0, 9;adaugati 90 de zerouri la x(n). Treceti aceasta noua variabila prin filtrusi calculati cele 100 de esantioane ale secventei raspuns.


Laborator 11 – Structuri pentru realizarea sistemelor FIR

L11. Structuri pentru realizarea sistemelor cu raspuns finit la impulsCapitolul 4 — L. Grama, A. Grama, C. Rusu, Filtre numerice - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: Acest laborator este dedicat implementariisistemelor discrete LTI cu raspuns finit la impuls. Vor fi prezentate formadirecta, structurile ın cascada si cele laticiale, ce prezinta robustete laimplementarea cu aritmetica finita. De asemenea, este descrisa ın aceastalucrare implementarea unui sistem FIR folosind metoda de esantionare ındomeniul frecventa, care are avantajul de a fi eficienta din punct de vedereal calculelor, fata de alte implementari pentru aceste sisteme. Notiunileteoretice legate de implementarea sistemelor discrete LTI sunt prezentateın Capitolul 4: Structuri pentru implementarea sistemelor discrete paragraful 4.1(pg. 122-123), respectiv ın 4.1.1. (pg. 123-132) sunt prezentatestructurile corespunzatoare implementarii sistemelor FIR. Studiatiproblemele descrise ın exemplele 4.3.1÷4.3.4 (exemplele MATLAB le gasiti ın

L11 PNS Exemple: Ex11 1÷Ex11 4).


Laborator 11 – Structuri pentru realizarea sistemelor FIR

Exercitii:1 Se considera sistemele FIR:

H1(z) = 1− 5

6z−1 +

1

6z−2;

H2(z) =(1− 2z−1

) (1− 0.8e j π

6 z−1)(

1− 0.8e−j π6 z−1

);

H3(z) = 1− 1.27z−1 + 1.19z−2 + 1.18z−3 + 0.4z−4;

H4(z) = 0.5 + 0.2z−1 − 0.3z−2 + z−3.

Sintetizati si desenati structurile corespunzatoare formei directe,cascada si respectiv laticiala.


Laborator 12 – Structuri pentru realizarea sistemelor IIR

L12. Structuri pentru realizarea sistemelor cu raspuns infinit laimpulsCapitolul 4 — L. Grama, A. Grama, C. Rusu, Filtre numerice - aplicatii si probleme, Editura UTPRES, 2008

Desfasurarea lucrarii: In acest laborator sunt prezentate formele directe,structurile ın cascada, ın paralel si cele laticiale, pentru sistemele IIR.Pentru a va familiariza cu notiunile teoretice legate de implementareasistemelor discrete IIR cititi Capitolul 4: Structuri pentru implementarea

sistemelor discrete, paragraful 4.1.2 (pg. 132-141), respectiv paragraful 4.2(pg. 141-143), unde sunt prezentate functiile MATLAB utilizate laimplementarea sistemelor IIR. Rulati exemplul 4.3.8 (exemplul MATLAB ıl

gasiti ın L12 PNS Exemple: Ex12 1). Studiati problemele 4.3.5÷4.3.7.


Laborator 12 – Structuri pentru realizarea sistemelor IIR

Exercitii:1 Se considera sistemele IIR:

H1(z) =3(1− z−1

) (1 +√

2z−1 + z−2)

(1 + 0.3z−1) (1− 0.7z−1 + 0.49z−2);

H2(z) =

(1− 0.3e j π

4 z−1)(

1− 0.3e−j π4 z−1

)(

1− 0.6e j π6 z−1

)(1− 0.6e−j π

6 z−1) ;

H3(z) =3

1− 1.27z−1 + 1.19z−2 + 1.18z−3 + 0.4z−4;

H4(z) =0.5 + 0.2z−1 − 0.3z−2 + z−3

1− 0.3z−1 + 0.2z−2 + 0.5z−3;

Sintetizati si desenati structurile corespunzatoare formei I directe,formei a II-a directe, cascada, paralela si laticiala. Specificati pentrufiecare sistem daca este stabil sau nu.


prelucrarea numerica a semnalelor - utcluj pns/pns...^indrum ator de laborator (2013 - 2014)...

Documents