prelucrarea numerica a semnalelor - erasmus pulseprelucrarea numeric ă a semnalelor cap.5 silviu...

Prelucrarea numerică a semnalelor Cap.5 Silviu Ciochină

5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE

5.1 Realizarea filtrelor cu răspuns finit la impuls (RFI)

Vom considera filtrul caracterizat prin funcţia de transfer:

(1) za=zH k-k

-N

=k∑

1

0)(

sau prin ecuaţia cu diferenţe finite:

(2) )()(1

0knxa=ny k

-N

=k−∑

Se constată că evaluarea unui eşantion y(n) presupune efectuarea unor operaţii de înmulţire şi adunare. În plus, se observă că sunt necesare, în afara eşantionului curent al intrării, x(n), şi eşantioanele întârziate ale acestuia, x(n-k). Acestea pot fi obţinute cu ajutorul unor circuite de întârziere. Ele sunt realizate practic prin nişte registre de memorie, întârzierea rezultând din diferenţa dintre momentele de înscriere şi citire a informaţiei. Sunt posibile mai multe structuri pentru o funcţie de transfer. Deşi ele sunt aparent echivalente, realizând aceeaşi funcţie de transfer, totuşi performanţele lor pot să difere din alte puncte de vedere (complexitate, viteză, efecte ale limitării numerelor de biţi). 5.1.1 Forma directă O formă de realizare sugerată de ecuaţia cu diferenţe finite (2) este dată în figura1 .Un filtru cu o asemenea structură este uneori numit filtru transversal.

)2( −nx

Fig.1

)(nx )1( −nx )1( +− Nnx

)(ny 0a 1a 2a 1−Na

1− 1− 1−z z z

1


5.1.2. Forma transpusă

O variantă a schemei precedente este prezentată în figura 2, în care se efectuează mai întâi înmulţirile şi apoi întârzierile. Se observă uşor că graful acestei structuri se obţine din graful structurii din figura 1, inversând intrarea cu ieşirea şi sensurile tuturor transmitanţelor. Se ştie din teoria grafurilor de fluenţă că prin această operaţie, numită transpoziţie, se obţine un graf echivalent (având aceeaşi transmitanţă). De aceea, schema din figura 2, mai este uneori numită schema transpusă.

Fig.2 5.1.3 Realizarea în cascadă Este de asemenea posibilă şi o realizare în cascadă, descompunând în factori polinomul H(z), dar este relativ rar întâlnită. 5.1.4 O realizare recursivă, bazată pe eşantionarea în frecvenţă

Din cele arătate până aici se constată că structurile corespunzătoare filtrelor RFI nu conţin bucle de reacţie, deci sunt structuri nerecursive. Se pune întrebarea dacă noţiunea de filtru RFI se confundă cu aceea de filtru nerecursiv. Vom arăta în cele ce urmează că un filtru RFI poate fi realizat şi utilizând o structură recursivă. Vom porni de la exprimarea funcţiei de transfer obţinută prin metoda eşantionării caracteristicii de frecvenţă:

Suma conduce la o structură în paralel, în care fiecare celulă conţine o buclă de reacţie (pentru realizarea numitorului). Apare totuşi problema că polii de forma:

sunt situaţi pe cercul │z│=1, deci la limita de stabilitate. Pentru a elimina pericolul unei instabilităţi, se poate face o mică modificare a funcţiei de transfer, înlocuind z-1 cu rz-1, unde 0<r<1, este foarte apropiat de 1.

1

2

2

1

0e-1

e1

−

− ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∑z

H

Nz-=H(z)

Njk

Njk

d-N

=k

N

π

π

(3)

Njk

k ezπ2

= , 1,....,0 −= Nk (4)

)(ny

)(nx

1−Na 2−Na 3−Na 0a

1−z 1−z 1−z

2


În felul acesta, funcţia de transfer devine:

3

( )1

1

01

1−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∑zre-

eH

Nzr-=zH

N2jk

N2jk

d-N

=k

N-N

π

π

(5))

Polii apar în perechi complex conjugate, aşa încât termenii corespuzători din sumă se grupează câte doi, conducând la funcţii de transfer cu coeficienţi reali. Fiecare din aceste funcţii, ( )zH i poate fi realizată în forma directă 1 sau 2, (după cum vom vedea în paragraful următor), deci cu o structură recursivă. Rezultă în final schema din figura 3.

)(0 zH

Fig. 3 Un filtru RFI poate fi deci realizat fie utilizând o structură nerecursivă ( cel mai frecvent ), fie una recursivă ( extrem de rar). 5.1.5 Forma latice Această formă este prezentată în figura 4.

Fig.4

)(1 zH N−

)(1 zH

)(nx

N1

NN zr −−

)(ny

)()( nenx fo=

)(nebo

1−z

)(1 ne f

1k1−z

)(1 neb

2k

)(2 ne f

)(2 neb

1−z

Nk

)()( nyne ffN =

)()( nyne bbN =

1k

2k Nk


Coeficienţii ki poartă numele de ceficienţi de reflexie. Se poate considera că schema din figura 4 este obţinută prin conectarea în cascadă a unor cuadripoli cu structura dată în figura 5 . Aceştia pot fi caracterizaţi prin ecuaţiile cu diferenţe finite:

Fig.5

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

)1(

)(

1

1

)(

)(

1

1

-ne

ne

k

k=

ne

ne

b-i

f-i

i

i

bi

fi

Aplicând transformata Z:

( ) { } ( ) { }( ) { } ( ) { })()(

)()(

111

11

neZ=zE ,neZ=zE

neZ=zE ,neZ=zEbi

bi

bi

bi

fi

f-i

fi

fi

−−−

− (6))

rezultă:

( )

( )

( )

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zE

zE

zk

zk =

zE

zE

b-i

f-i

-i

-i

bi

fi

1

1

1

11 (7))

sau, notând

( ) ( )( )

( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

−−

−

zEzE

zkzkz

zEzEz b

i

fi

i

iib

i

fi

i1

11

11, LE (8))

se obţine: ( ) ( ) ( )zzz iii 1−= ELE (9))

Deci: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (zzzzzzzzzz NNNNNNNN 011211 ELLLELLELE −−−− )===

(10) Dar:

( ) ( )( )

( ) ( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

zXzX

zzYzYz b

f

N 0; EE (11)

)(1 ne fi−

1−z

( )ne fi

ik ik

)(1 nebi− )1(1 −− neb

i ( )nebi

4


şi notând:

( ) ( ) ( ) ( )zzzz NN 11 LLLL −= (12)

rezultă:

( )

( ))(

1

1)( zXz=

zY

zY

b

f

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡L (13)

Vom introduce funcţiile de transfer globale:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )zXzY=zH

zXzY=zH

bb

ff ; (14)

şi funcţiile de transfer parţiale

( ) ( )( )

( )( )zX

zE=(z)H zXzE=zH

bib

i

fif

i ; (15)

deci:

(16) ( )

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

)(+)(

)(+)(=

1

1)(

2221

1211

zLzL

zLzLzL=

zH

zH

b

f

Având în vedere (7), se constată uşor că:

( )

( )

( )

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

−

zH

zH

zkzk =

zH

zH

b-i

f-i

i

i

bi

fi

1

1

1

11 (17)

sau

( ) ( ) ( )zHzk+zH=zH b-i

-i

f-i

fi 1

11 (18)

( ) ( ) ( )zHz+zHk=zH b-i

-f-ii

bi 1

11 (19)

Se poate demonstra prin inducţie relaţia

( ) ( )1−= zHzzH fi

-ibi (20)

Egalitatea se verifică imediat pentru i=1, apoi presupunând adevărată relaţia

( ) ( ) ( )11

11

−zHz=zH f-i

-i-b-i (21)

şi înlocuind în (18) şi (19) se obţin

5


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )111

111 ; −− zHz+zHk=zH zHzk+zH=zH f

-ii-f

-iibi

f-i

i-i

f-i

fi (22)

Comparând cele două relaţii, rezultă imediat (20). Prima din ecuaţiile (22) reprezintă o relaţie de recurenţă a funcţiilor de transfer de tipul "f". Observaţie Se constată că Hb(z) este polinomul reciproc al lui Hf(z),

( ) ( )1−zHz=zH fN-b (23)

deci cele două funcţii de transfer au aceeaşi caracteristică amplitudine-frecvenţă,

(24) |)e(|=|)e jj ωfωb H(H|

iar între caracteristicile de fază există relaţia: )}e(arg{-=)}e(arg{+=)}e(arg{ jj-j ωωω ωω HNHNH ffb

Analiza structurii latice (trecerea de la forma latice la forma directă ) Ne propunem să determinăm funcţia de transfer

(25) ( ) ( ) za=zH=zH j-j

N

=j

fN ∑

0

cunoscând coeficienţii de reflexie ki, i=1,...,N. Vom nota polinomul corespunzător funcţiei de transfer parţiale

(26) ( ) jji

i

=j

fi za=zH −∑ ,

0

Înlocuind în relaţia de recurenţă (22), se obţine

(27)

∑∑

∑∑∑

=

−−−

−

=

−−

−

=−

−−

=

−−

=

−

+=

=+=

i

m

mmiii

i

j

jji

i

j

jji

ii

i

j

jji

i

j

jji

zakza

zazkzaza

1,1

1

0,1

1

0,1

1

0,1

0,

Identificând coeficienţii termenilor asemenea se ajunge la următoarele concluzii:

•

Niaa ii ,,1,0,10, == − (28)

Observând însă că

( ) 1=zH f0 (29)

6


rezultă

(30) N,,=i =ai 0,1,10,

• Din egalarea puterilor i se obţine

Nikaka iiiii ,,10,1, === − (31)

• În fine

1,,1,,1,1, −=+= −−− ijakaa jiiijiji (32)

Algoritmul de analiză a laticei, presupune calculul coeficienţilor funcţiei de transfer, aj, j=0,...,N, cunoscând coeficienţii de reflexie ki, i=1,...,N. Se porneşte de la funcţiile parţiale de ordinul 1, pentru care se cunosc ambii coeficienţi, deoarece

. Apoi se incrementează succesiv ordinul, utilizând relaţiile de recurenţă deduse mai înainte, până se ajunge la ordinul N, pentru care rezultă funcţia de transfer globală. Algoritmul este sintetizat în tabelul 5.1.

1, 0,111,1 == aka

Tabelul 5.1 Sinteza structurii latice (trecerea de la forma directă la forma latice) În acest caz este dată funcţia de transfer

(33) ( ) 1, 00

== ∑=

− azazHN

j

jj

end

:1:0=for endend

1-:1:1=for 1,

:1:2=for

1,

,

,1,1,

0,,

0,111,1

jNj

jiiijiji

iiii

aaNj

akaaij

akaNi

aka

=

+=

==

==

−−−

şi se cer coeficienţii ki, i=1,...,N.

7


Vom deduce mai întâi o relaţie de recurenţă în sens invers (care permite reducerea ordinului). Pentru aceasta se evaluează, pornind de la (22), expresia:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )zHk-zHzk-zHzk+zH=

=zHzk-zHf-i

2i

f-i

i-i

f-i

i-i

f-i

fi

i-i

fi

11

11

11

1

−−

−

(34)

de unde

( ) ( ) ( )[ ]121 1

1 −

−zHzk-zH

k=zH f

ii-

ifi

i

f-i (35)

Această relaţie permite trecerea de la funcţia de ordin i la aceea de ordin i-1 (reducerea ordinului). Procedând la fel ca mai înainte (înlocuind polinoamele cu expresiile lor şi identificând termenii asemenea), se obţine formula

1,,1,1 2

,,,1 −=

−

−= −

− ijk

akaa

i

jiiijiji (36)

Această relaţie de recurenţă permite trecerea de la forma directă la forma latice (sinteza laticei). Vom porni de această dată de la funcţia de transfer de ordin N, deci funcţia de transfer globală şi vom reduce succesiv ordinul, până la 1. Coeficienţii

determină, pentru fiecare ordin, coeficienţii de reflexie k . jja , j

Algoritmul de sinteză este prezentat în tabelul 5.2.

1,11

2,,

,1

,

,

endend

1

1-:1:1=for

2:-1:=for end

:1:0=for

ak

k

akaa

ijak

Ni

aaNj

i

jiiijiji

iii

jjN

=

−

−=

=

=

−−

Tabelul 5.2 Algoritmii de conversie prezentaţi mai sus sunt realizaţi într-o formă foarte concentrată în MATLAB de funcţiile poly2rc (trecerea de la polinom la latice) şi

8


rc2poly (trecerea de la latice la polinom). Propunem cititorului analiza acestor două programe. În variantele mai noi, se înlocuiesc cu TF2LATC şi LATC2TF.

5.2 Structuri pentru filtre cu răspuns infinit la impuls

Fie funcţia de transfer

( ) ( )( )zAzB

za

zbzH N

k

kk

M

k

kk

=+

=

∑

∑

=

−

=

−

1

0

1 (37)

Vom nota cu x(n) şi y(n) secvenţele de la intrarea şi ieşirea filtrului şi

( ) { } ( ) { } ( ) ( )( ) .zXzY=zH ,nyZ=zY ,nxZ=zX )()( (38)

În domeniul timp, filtrul poate fi caracterizat prin ecuaţia cu diferenţe finite:

(39) ∑∑==

−−−N

kkk

M

0kknyaknxb=ny

1)()()(

5.2.1 Forma directă 1 Vom scrie relaţia intrare-ieşire

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )zAzBzXzHzXzY == (40)

sub forma:

(41) ( ) ( )∑=

−=M

k

kk zbzXzW

0

( ) ( )

∑=

−+= N

k

kk za

zWzY

11

(42)

9


Rezultă ecuaţiile cu diferenţe finite

(43)) )()( knxb=nw k

M

0=k−∑

(44)) )()()( knya-nw=ny k

N

1=k−∑

Aceste ecuaţii corespund schemei din figura 6.

Fig. 6 De exemplu, în cazul M=N=2, se obţine schema având graful din figura 7.

Fig. 7

)(nx 0b )(ny

1−z

1−z

1b

2b 2a−

`1a− 1−z

1−z

1a−

2a−

Na−

1b

2b

Mb

)(nx

)1( −ny

)( Nny −

)1( −nx

)2( −nx

)( Mnx

0b

−

1−z

)(ny

1−z

1−z

1−z

1−z

1−z

)2( −ny

( )nw

1a−

2a−

Na−

1b

2b

Mb

)(nx

)1( −ny

)( Nny −

)1( −nx

)2( −nx

)( Mnx

0b )(ny

−

1−z

1−z

1−z

1−z

)2( −ny

1−z1−z

10


Se constată că în graf, o serie de noduri au fost unificate, aceasta neavând alt efect decât simplificarea desenului. Se poate verifica uşor că funcţia de transfer pentru graful din figura 7 este:

( ) 22

11

22

110

1 −−

−−

++++

=zazazbzbbzH (45)

Într-adevăr, utilizând regula lui Mason,

( )Δ

Δ=∑

iiiP

zH (46)

unde

∑∑∑ +−+−=Δkji

kjiji

jii

i LLLLLL,,,

1 (47)

Reamintim că în această expresie, reprezintă transmitanţa buclei i a grafului, prima sumă se referă la toate buclele grafului, a doua la perechile de bucle neadiacente, a treia la grupurile de câte trei bucle neadiacente şi aşa mai departe. reprezintă transmitanţa căii i de la nodul sursă la nodul de ieşire, suma de la numărător fiind efectuată pentru toate aceste căi. În fine,

iL

iP

iΔ se obţine din Δ eliminând termenii ce corespund unor bucle adiacente căii i . Graful din figura 7 are două bucle simple adiacente, cu transmitanţele

222

111 ; −− −=−= zaLzaL

deci

22

111 −− ++=Δ zaza

şi trei căi simple între intrare şi ieşire, fiecare cale fiind adiacentă tuturor buclelor grafului, deci

;1;;1;;1;

32

23

21

12

101

=Δ==Δ==Δ=

−

−

zbPzbP

bP

aşa încât rezultă expresia lui H(z) precizată mai înainte. În general, complexitatea schemei poate fi caracterizată prin: - M+N elemente de întârziere; - M+N+1 multiplicatoare; - M+N sumatoare. În cazul unei realizări bazate pe o unitate aritmetică unică, (este cazul majorităţii procesoarelor de semnal integrate) o funcţionare pe baza formei directe 1

11


presupune executarea operaţiilor conform celor două ecuaţii cu diferenţe finite (41), (42), iar numărul de celule de întârziere din schemă determină necesarul de memorie RAM. Dacă unitatea aritmetică efectuează o operaţie aritmetică pe tact, rezultă că vor fi necesare 2M+2N+1 tacte pentru calculul fiecărui eşantion. Toate aceste operaţii trebuie executate pe durata unei perioade de eşantionare, fapt care limitează frecvenţa maximă de eşantionare, în funcţie de tactul procesorului. 5.2.2. Forma directă 2. Relaţia intrare-ieşire mai poate fi exprimată şi sub forma:

( ) ( )

∑=

−+= N

k

kk za

zXzW

11

(48)

(49) ( ) ( )∑=

−=M

k

kk zbzWzY

0

Rezultă ecuaţiile cu diferenţe finite:

(50) )()(

;)()()(

0

1

knwbny

knwa-nx=n w

M

kk

k

N

=k

−=

−

∑

∑

=

Aceste relaţii conduc la schema din figura 8. În această schemă se observă că o parte din eşantioanele w(n-k) sunt stocate în două locuri diferite. Unificând nodurile respective, rezultă o reducere a numărului celulelor de întârziere, rezultând structura din figura 9, în care s-a presupus M=N. Complexitatea aritmetică a schemei este de: - max {M,N} circuite de întârziere; - M+N+1 circuite de înmulţire; - M+N circuite de însumare. Se constată o reducere a numărului de circuite de întârziere, deci a memoriei necesare. Acest lucru este explicabil prin aceea că singurele eşantioane ce trebuie memorate sunt w(n-k). Datorită efectelor ce rezultă din reprezentarea semnalelor cu un număr finit de biţi, formele directe 1 şi 2 se folosesc de obicei numai pentru ordine mici (unu sau doi). Pentru filtre de ordine mai mari, se pot utiliza structuri în cascadă sau în paralel.

12


)(nx )(ny0b

1−z

1−z

1−z

1−z

Fig. 8

Fig. 9

)(nw

)1( −nw

)2( −nw

)( Nnw −

Mb

1a−

2a−

Na−

1−z

1−z

1b

2b

( −ny

( −ny

)1

)2

)( Mny −

)(nx 0b )(ny

1−z

1−z

1b

1−z

2b

Nb

1a−

2a−

Na−

13


5.2.3. Realizarea în cascadă. Funcţia de transfer poate fi factorizată sub forma:

( ) )(1 1

22,

11,

22,

11,0,

1zH=

zazazbzbb

=zH l

P

=lll

lllP

=l∏∏ −−

−−

++

++ (51)

Rezultă o realizare în cascadă, reprezentată în figura 10.

)(1 zH )(2 zH )(zH P )(nx )(1 ny )(2 ny )()( nynyP =

Fig. 10 Fiecare din filtrele componente, având o funcţie de transfer de ordinul 2, poate fi realizată în una din formele directe 1 sau 2. Presupunând că se foloseşte forma directă 2, ecuaţiile cu diferenţe finite vor fi:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

21

212121

21

2,1,0,

2,1,1

22,221,220,22

22,221,212

12,111,110,11

12,111,11

−+−+==−−−−=

−+−+=−−−−=−+−+=

−−−−=

−

nwbnwbnwbnynynwanwanynw

nwbnwbnwbnynwanwanynwnwbnwbnwbny

nwanwanxnw

PPPPPPP

PPPPPP

(52)

Mărimile ce trebuie memorate sunt wl(n-1) şi wl(n-2), l=1,...,P. Dacă se doreşte realizarea unei frecvenţe de lucru ridicate şi se dispune de P unităţi aritmetice, se pot intercala registre de memorie între celule, rezultând o structură de tip pipe-line. Cele P celule vor lucra simultan, prima calculând , a doua

, ultima ( )ny1

( 12 −ny ) ( ) ( )11 +−=+− PnyPny P . Rezultă o întârziere suplimentară de P-1 tacte, dar numărul de operaţii efectuate de fiecare unitate aritmetică pe durata unei perioade de eşantionare este de numai 4 adunări şi 5 multiplicări, rezultând posibilitatea funcţionării cu o frecvenţă de eşantionare mai ridicată, pentru aceiaşi frecvenţă de tact. 5.2.4. Realizarea în paralel. În acest caz se porneşte de la descompunerea în fracţii simple a funcţiei H(z). Presupunând ak, bk ∈ R, fracţiile simple (cu numitor de gradul 1) au în general

14


coeficienţi complecşi. Grupând însă fracţiile corespunzătoare perechilor de poli complex conjugaţi, rezultă funcţiile Hl(z) de gradul 2, cu coeficienţi reali, al,k, bl,k ∈ R

( ) ( )∑∑==

−−

−

+=++

++=

P

ll

P

l ll

ll zHCzaza

zbbCzH

112

2,1

1,

11,0,

1 (53)

Se obţine schema din figura 11.

)(1 ny )(1 zH

)(2 zH

)(zH p

)(2 ny

)(ny p

)(ny

)(nx

C

Fig.11

Dacă fiecare celulă este realizată în forma directa 2, ecuaţiile cu diferenţe finite sunt:

)2()1()()( 12,111,11 −−−−= nwanwanxnw )1()()( 11,110,11 −+= nwbnwbny (54) )2()1()()( 22,221,22 −−−−= nwanwanxnw )1()()( 21,220,22 −+= nwbnwbny )2()1()()( 2,1, −−−−= nwanwanxnw ppppp )1()()( 1,0, −+= nwbnwbny ppppp )(.....)()()( 1 nynynCxny p+++=

Dacă se utilizează o singură unitate aritmetică, succesiunea operaţiilor este cea prezentată în relatiile 54. Dacă există mai multe unităţi aritmetice, acestea vor putea lucra în paralel, fiecărei unităţi revenindu-i 3 adunări şi 4 multiplicări. Rămâne însă de realizat suma finală, care poate fi făcută numai după ce s-au calculat toate valorile

. ( )nyl

15


5.2.5. Realizarea în formă latice. Structura latice recursivă O realizare în forma latice este posibilă şi pentru filtre RII. Să considerăm pentru început structura din figura 12. x

Fig. 12 Se poate considera că această structură provine din interconectarea unor cuadripoli, cu schema din figura 13.

Fig. 13 Pentru această schema se pot scrie ecuaţiile cu diferenţe finite:

sau, în transformate Z,

Vom defini:

)1()()(

)1()()(

11

11

−+=

−−=

−−

−−

nenekne

neknenebi

fii

bi

bii

fi

fi 1,,1, −= NNi (55)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zEzzEkzE

zEzkzEzEbi

fii

bi

bii

fi

fi

11

1

11

1

−−

−

−−

−

+=−= (56)

)(0 ne f

)(1 nebN−

1−z

)(1 neb

)()( nen N= )(1 ne f

Nk−

1−z

1k

f )(1 neN− f

−

Nk 1k 1−Nk

)(nbN

1−Nk

)(0 neb

−

1−z

e

)(ne fi

)(nebi )1(1 −− neb

i )(1 nebi−

)(1 ne fi−

ik ik−

1−z

16


• funcţia de transfer de tip f:

)()(

)()(

)( 00

zXzE

zEzE

=zHf

fN

ff

N = (57)

• funcţia de transfer de tipul b,

)()()(

0 zEzEzH b

bNb

N = (58)

• funcţia de transfer parţială de tipul f şi ordinul i:

( ))()(0

zEzE

zH fi

ff

i = (59)

• funcţia de transfer parţială de tipul b şi ordinul i:

)()(

)(0 zE

zEzH b

bib

i = (60)

Constatăm imediat prin inspecţia grafului , (există o singură cale de la la ( )nx ( )ne f

0 , de transmitanţă 1), că functia de transfer de tipul f este de forma:

)(

1)(zA

zHN

fN = (61)

unde este un polinom în , deci aceasta corespunde unui filtru având numai poli şi un zero multiplu in origine. Evident, de o proprietate similară se bucură şi funcţiile parţiale de tipul f:

( )zAN1−z

1,,1,)(

1)( −== NizA

zHi

fi (62)

Vom demonstra în continuare că funcţia de transfer de tipul b este un polinom în

dat de relaţia 1−z

)()()( 1

0

−−== zAzzEzEH N

Nb

bNb

N (63)

Această proprietate se poate generaliza pentru funcţiile de transfer parţiale,

17


1,,1,)()()(

)( 1

0

−=== −− NizAzzEzE

zH ii

b

bib

i (64)

Vom demonstra aceste proprietăţi prin inducţie. Pentru i=1 (figura 14) )(1 zE f

)(1 zE b

)(0 zE f

)(zEb

1k

1k−

1−z

0 Fig. 14

)(

11

1)()(

)(1

111

01 zAzkzE

zEzH f

ff =

+==

− (65)

)()()()( 1

111

10

11

−−− =+== zAzzkzEzEzH b

bb (66)

Să presupunem acum egalităţile adevărate pentru o latice cu i-1 celule, deci

)()()()(

;)(

1)()(

)(

11

)1(

0

11

11

01

−−

−−−−

−−−

==

==

zAzzEzEzH

zAzEzE

zH

ii

b

bib

i

if

i

ff

i

(67)

şi să arătăm că rezultă valabilitatea proprietăţii pentru laticea cu i celule, obţinută din cea de ordin i-1, prin completarea cu o celulă (figura 15). Se poate scrie:

18


( )

( ))()()()(

1

)()()(

1)()(

1)(

01

1)1(1

1

11

11

10

zEzAzzkzEzA

zEzkzEzA

zEzA

zE

bi

ii

fi

i

bii

fi

i

fi

i

f

−−

−−−

−

−−

−−

−

−=

=−==

(68)

)(zE bi

)(zE fi )(1 zE f

i−

)(1 zE bi−

)(0 zE f

)(0 zE b

ik−

ik 1−z

Fig. 15 de unde

)(

1)()(

1)( 111 zAzAzkzA

zHii

iii

fi =

+=

−−

−−

(69)

deci

(70) )()()( 111

−−

−− += zAzkzAzA i

iiii

Apoi,

(71) )()()()()()()( 01

1)1(1

0111

1 zEzAzzzEzAkzEzzEkzE bi

ifii

bi

fii

bi

−−

−−−−−

−− +=+=

de unde

(72) )()()()( 1111

−−−−

−− =+= zAzzAzzAkzH i

ii

iii

bi

Observaţii • Se observă imediat că relaţia de recurenţă (70) a polinoamelor ( )zAi are aceeaşi

formă cu formula de recurenţă stabilită pentru funcţia de transfer ( )zH fi a

laticei nerecursive (22). • O consecinţă interesantă a relaţiei (72) este că funcţia de transfer

19


)(

)()()(

)()(

)()(

)()(

)(1

0

0 zAzAz

zHzHzEzE

zEzE

zEzE

zHN

NN

fbf

N

f

b

bN

fN

bNfb

N

−−

==⋅== (73)

reprezintă evident o funcţie trece-tot. • În consecinţă, structura latice recursivă prezentată până acum permite realizarea

unor funcţii de transfer având doar poli (cu numărător unitar), dacă se utilizează ( )zE f

0 ca ieşire, sau a unor funcţii de tip trece tot, dacă mărimea de ieşire este ( )zEb

N . Sturctura latice-scară Dacă dorim să obţinem o funcţie de transfer având atât poli cât şi nuluri, vom completa structura latice cu o structură în scară (figura 16). La ecuaţiile cu diferenţe finite ce caracterizau structura fără nuluri (partea superioară a schemei, adică laticea recursivă propriu-zisă) se adaugă relaţiile specifice secţiunii în scară (nerecursivă) a schemei. Aceasta realizează o combinaţie liniară cu ponderile a semnalelor ic ( )nb

ie :

(74) ( ) ( )

( ) ( )∑

∑

=

=

=

=

N

i

bii

N

i

bii

zEczY

necny

0

0

)(0 ne f

)(1 nebN−

1−z

)(1 neb

)()( nenx fN= )(1 ne f

Nk−

1−z

1k−

Nk 1k 1−Nk

)(nebN

1−− Nk

)(0 neb

)(1 ne fN−

1−z

Nc 1−Nc 1c 0c

)(ny

Fig. 16 Evident, se poate scrie:

20


∑∑ ∑== =

=⋅===N

ib

bi

i

N

i

N

i Nb

bi

f

i

bi

i zEzE

czAzE

zEzXzE

czXzE

czXzYzH

0 00 0 0

0

)()(

)(1

)()(

)()(

)()(

)()()( (75)

Dar

( )zHzEzE b

ib

bi =

)()(

0 (76)

este, după cum s-a arătat, un polinom, aşa încât

∑=

=N

i

bii

NzHc

zAzH

0)(

)(1)( (77)

este un raport de polinoame de forma

)()(

1)(

1

0

zAzB

za

zbzH N

i

ii

N

i

ii

=+

=

∑

∑

=

−

=

−

(78))

Vom stabili relaţiile dintre coeficienţii ai funcţiei de transfer şi elementele schemei . Evident, polinomul de la numitor este chiar , deci

ii ba ,

ii ck , ( )zAN

)()(

)()(

0zHczB

zAzAN

i

biiN

N

∑=

=

= (79)

Având în vedere că, aşa cum s-a arătat, relaţia de recurenţă a polinoamelor are aceeaşi formă cu formula de recurenţă stabilită pentru funcţia de transfer

a laticei nerecursive (FIR) , relaţiile dintre coeficienţii ai,j şi ki deduse pentru laticea FIR rămân valabile şi în acest caz. Rezultă că pentru partea recursivă a structurii se pot utiliza algoritmii de sinteză sau analiză prezentaţi pentru laticea nerecursivă. Pentru a găsi relaţiile de calcul ale secţiunii în scară (coeficienţii ck), vom porni de la relaţia (79), în care vom explicita polinoamele,

( )zAi

(zH fi )

(80) ∑∑∑∑==

−

=

−−

=

− ==i

m

mmi

N

i

ii

N

ii

ii

N

i

ii zazczAzczb

0,

00

1

0)(

(81) ∑ ∑∑∑∑= =

−−

=

−

==

− ==N

i

i

p

ppiii

i

m

immi

N

ii

N

i

ii zaczaczb

0 0,

0,

00

21


Rezultă

(82) , ,1

; 1, 2,N N

i il i i l l i i li l i l

N N

b c a c c a l N N

b c

− −= = +

= = + = − −

=

∑ ∑ ,0

(83) 0,,2,1,1

, −−=−= ∑+=

− NNlacbcN

liliiill

În procesul de sinteză a structurii latice-scară, se calculează mai întâi coeficienţii de reflexie după algoritmul de sinteză a laticei FIR. Calculul coeficienţilor ck se va face deci recursiv, în baza formulei (83), începând cu cN.

ik

În procesul de analiză se evaluează mai întâi numitorul, deci coeficienţii , cu algoritmul de la analiza laticei FIR. Ca produs secundar, rezultă şi coeficienţii polinoamelor parţiale, , cu ajutorul cărora se calculează , folosind relaţia (82). În mediul MATLAB, variantele începând de la 5, s-au introdus două funcţii care realizează sinteza şi respectiv analiza laticei. Acestea au sintaxa:

ia

jia , lb

[k,c]=tf2latc(B,A), pentru sinteză, notaţiile fiind cele utilizate mai sus; [B,A]=latc2tf(k,c), pentru analiză. Stabilitatea filtrelor în forma latice. Criteriul Schur-Cohn Pentru un filtru dat în forma latice, testarea stabilităţii ar presupune calculul polinomului de la numitor, AN(z) apoi a rădăcinilor acestuia, care trebuie să se situeze în interiorul cercului de rază unitate. O cale mult mai simplă se bazează pe testul de stabilitate Schur-Cohn. Acesta afirmă că filtrul este stabil dacă şi numai dacă toţi coeficienţii de reflexie sunt de modul subunitar,

Aplicat în general unei funcţii de transfer raţionale H(z), testul Schur-Cohn are avantajul de a permite verificarea stabilităţii, fără a necesita calculul polilor, operaţie dificilă în cazul unor filtre de ordine mari. Acest test, aplicat unei structuri latice nerecursive, permite să se verifice dacă filtrul respectiv este sau nu de fază minimă.

Fig. 17

Nmkm ,,2,1,1 =< (84)

)(0 ne f

)(1 nebN− )(1 neb

)()( nenx fN= )(1 ne f )(1 ne f

N−

)(nbN )(0 neb e

1k 1−Nk Nk

22


5.2.6 Alte variante ale structurii latice După cum s-a văzut, structura latice recursivă porneşte de la schema din figura 17 care generează filtre având o funcţie de transfer cu numărător unitar. Schema de mai sus constă într-un număr de celule cu structură identică, interconectate. Schema unei celule este dată în figura 13 şi ea este descrisă prin ecuaţiile (55). Introducând ( )ne f

i 1− dat de prima ecuaţie în cea de-a doua, se obţine

( ) )1(1)()(

)1()()(

12

11

−−+=

−−=

−

−−

neknekne

neknenebii

fii

bi

bii

fi

fi 1,,1, −= NNi (85)

Aceste ecuaţii corespund schemei din figura 18.

Fig. 18 Noua structură nu prezintă în interes deosebit, având o complexitate aritmetică ridicată (3 multiplicări). Ea reprezintă însă punctul de plecare pentru deducerea altor scheme. Vom face pentru început o operaţie de normare cu un factor iα , compensată în final, astfel încât să nu modifice funcţiile de transfer (figura 19)

Fig. 19 O structură echivalentă cu aceea din figura 19 este dată în figura 20, în care s-a introdus o multiplicare spre ieşirea ( )neb

i operând totodată modificările necesare pentru ca această mărime să nu se schimbe.

21 ik−

)(ne fi

ik ik

)(nebi )1(1 −− neb

i )(1 nebi−

)(1 ne fi−

− 1−z

21 ik−

)(ne fi

)(nebi )1(1 −− neb

i )(1 nebi−

)(1 ne fi−

iikα ik− 1−z

iα1 iα

23


( ) iα

Fig. 20 În fine, se costată uşor că multiplicările cu iα1 şi iα din partea stângă a schemei pot fi mutate în partea dreaptă (figura 21), noul graf rămânând echivalent cu cel din figura 20.

Fig. 21 Dacă dorim să construim o latice cu asemenea celule, cei doi multiplicatori din partea dreaptă a fiecărei celule pot fi comasaţi la extremităţile acesteia (figura 22), în care

, iar celulele vor avea deci structura din figura 23. ∏=

=N

ii

1αα

Fig. 22

iik α1− 2

)(ne fi

b b

)(1 ne fi−

ik ik

)(nei )(1 nei−

− 1−z

iα1 iα

1−ziα

iα1

( ) iik α21−

)(ne fi

)(nebi )(1 neb

i−

)(1 ne fi−

ik ik

iα

−

α1

)(0 ne f

)(1 nebN− )(1 neb

)()( nenx fN= )(1 ne f )(1 ne f

N−

)(nebN )(0 neb

α

1

1

−

−

N

Nkα 1

1

αk

N

Nkα

24


Fig. 23 Alegând ii k+=1α se obţine celula din figura 24, cunoscută sub denumirea celula Kelly-Lochbaum.

Fig. 24

Pornind tot de la structura din figura 23, presupunând laticea stabilă, deci

1<ik , putem nota

şi alegem ii θα cos= . Se obţine structura din figura 25, numită celula latice normată

Fig. 25 Ea este caracterizată de ecuaţiile

iik θsin= 1,,1, −= NNi (86)

1−z( ) iik α21−

)(ne fi

)(nebi )(1 neb

i−

)(1 ne fi−

ik ik

iα

−

ik+1

1−zi

k−1

)(ne fi

)(nebi )(1 neb

i−

)(1 ne fi−

ik ik−

iθcos

1−z

)(ne fi

)(neb

i

i )(1 nebi−

)(1 ne fi−

θsin

iθcos

iθsin−

25


O calitate a acestei celule constă în robusteţea ei numerică, în sensul de a avea o comportare satisfăcătoare în cazul utilizării unei reprezentări în virgulă fixă cu un număr finit de biţi. În fine, pornind tot de la celula Kelly-Lochbaum (figura 24) se poate deduce o structură cu un singur multiplicator (figura 26). Lăsăm pe seama cititorului demonstrarea echivalenţei între această celulă şi celula Kelly-Lochbaum.

Fig. 26 5.2.7 O structură bazată pe ecuaţiile de stare-forma normală Pentru a putea caracteriza comportarea unui sistem discret la un moment n>n0, nu este suficientă doar cunoaşterea semnalului de intrare x(n), pentru n>n0; mai trebuie cunoscut şi un set de condiţii iniţiale la n=n0, deci "starea" sistemului la acest moment de timp. Această observaţie sugerează separarea unui sistem în două părţi, una care conţine elementele cu memorie şi alta, pe acelea fără memorie. Informaţia stocată în componentele cu memorie (ieşirile circuitelor de întârziere) reprezintă starea sistemului. În schema unui filtru, variabilele de stare vor fi deci ieşirile circuitelor de întârziere şi vom nota cu v(n) vectorul format cu acestea. Intrările circuitelor de întârziere cu care se poate constitui deci vectorul v(n+1), sunt determinate de variabilele de stare, v(n), şi de semnalul de intrare x(n). În fine, semnalul de ieşire, y(n), va fi determinat numai de variabilele de stare v(n) şi de intrarea x(n). Aceste afirmaţii sunt conţinute în sistemul de ecuaţii:

Acesta corespunde schemei din figura 27.

)1(cos)(sin)(

)1(sin)(cos)(

1

11

−+=

−−=

−

−−

nenene

nenenebii

fii

bi

bii

fii

fi

θθ

θθ1,,1, −= NNi (87)

ik

1−

1−z

)(ne fi

)(nebi )(1 neb

i−

)(1 ne fi−

)()()(

)()()1(ndxnny

nxnn+=

+=+Cv

BAvv (88)

26


)(ny B 1−⋅ zI

A

C

d

)(nx )1( +nv )(nv

Fig. 27 În cazul unui filtru de ordinul doi, se obţine schema din figura 28.

11a

Fig. 28 Să determinăm expresia funcţiei de transfer, a unui filtru descris prin ecuaţiile de stare. Aplicând transformata Z ecuaţiilor de stare,

unde

Din prima relaţie

)()()(

)()()(zdXzzY

zXzzz+=+=

CVBAVV

(89)

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }nZznyZzYnxZzX vV === ;; (90)

(91) )()()( 1 zXzz BAIV −−=

)(ny

)(2 nv )1(2 +nv

)(1 nv )1(1 +nv

( )nx 1b

2b 1−z

22a

12a

1−z

21a 1c

2c

d

27


deci

dzzXzYzH +−== − BAIC 1)(

)()()( (92)

Polii funcţiei de transfer sunt daţi de :

0)det( =−AIz (93)

care este ecuaţia caracteristică a matricei A, deci ei sunt valorile proprii ale acestei matrice. Aplicaţie Să se arate că o modificare a matricelor ce intervin în ecuaţiile de stare ale unui filtru conform relaţiilor

,';;; 11 dd ==== −− CTC'BTB'ATTA'

unde T este o matrice nesingulară, lasă invariantă funcţia de transfer. Care sunt consecinţele acestui fapt? Rezolvare: Noua funcţie de transfer este dată de

(94) )()(])([

)(')()('1111

1111

zHdzdz

dzdzzH

=+−=+−=

=+−=+−=−−−−

−−−−

BAICBTTAITCT

BTATTTT'CTB'A'IC'

Prin această transformare se modifică structura, păstrând funcţia de transfer. Se poate pune deci problema găsirii unei transformări care să minimizeze zgomotele datorate numărului limitat de biţi cu care se efectuează operaţiile aritmetice. Probleme 1. Fie filtrele având funcţiile de transfer

3211 5,35,31)( −−− −+−= zzzzH

543212 45,75,741)( −−−−− −+−+−= zzzzzzH

( ) 135,431 3213 +−+−= −−− zzzzH

( ) 543214 25,15,121 −−−−− +−++−= zzzzzzH

Sintetizaţi-le în structura: -directă; -transpusă; -cascadă. 2. Fie filtrele având funcţiile de transfer

3211 8,0624,06,01)( −−− +++= zzzzH

28


43212 089,0723,069,17,11)( −−−− +−+−= zzzzzH

( ) 43213 35,431 −−−− +−+−= zzzzzH

( ) 543214 25,15,121 −−−−− +−++−= zzzzzzH

( ) 3215 25,175,078,01 −−− +++= zzzzH

Sintetizaţi-le în structura latice. Încercaţi acelaşi lucru şi cu ajutorul programelor MATLAB; este întotdeauna posibil ? 3. Sintetizaţi în forma directă şi în forma transpusă filtrele având coeficienţii de

reflexie a. 0,2; 0,4; 0,8. b. 1; 1; 1; 1. c. 0,5; 2; 0,3. d. 0,2; 0,4; 1,25. e. 1; 0,2; 0,1; 0,1. 4. Verificaţi dacă filtrele având funcţiile de transfer:

( ) 43211 1 −−−− ++++= zzzzzH

( ) 43212 8,018,0106,027,01 −−−− −−++= zzzzzH ( ) 4321

3 8,016,234,088,21 −−−− −−++= zzzzzH

sunt de fază minimă. Sintetizaţi-le în formă latice. 5. Demonstraţi că în cazul unui filtru cu

( ) ( )Nz=zH 11 −+ toţi coeficienţii de reflexie sunt egali cu 1. 6. Propuneţi o realizare nerecursivă şi una recursivă pentru integratorul numeric:

( ) iN

=iz=zH −∑

0

Comparaţi cele două realizări. 7. Sintetizaţi în structura cascadă filtrele cu:

( ) 4321

4321

1 4148,0924,069,14,114628,0232,121,28,11

−−−−

−−−−

+−+−+−+−

=zzzzzzzzzH

( )

( ) 4321

4321

3

4321

4321

2

0,4806,004,0+6,0-10,2-0,4+1,3+3,6-2

0,7565+2,428-3,66+2,8-10,9915-3,082+2,74-0,2+1

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

−+ zzzzzzzz=zH

zzzzzzzz=zH

Arătaţi cum pot fi folosite funcţiile MATLAB pentru rezolvarea problemei.

29


Verificaţi stabilitatea filtrelor. 8. Sintetizaţi în forma "paralel" filtrele având:

( )

( ) 4321

4

2

211

1

1

36,075,026,06,02-1

)0,64+20,8-)(10,5-(1+1=

−−−−

−

−−−

−

−+−− zzzzz=zH

zzzzzH

Arătaţi cum pot fi folosite funcţiile MATLAB pentru rezolvarea problemei. Evaluaţi funcţiile de pondere corespunzătoare. 9. Scrieţi un program MATLAB care să rezolve problema sintezei unui filtru RII în

structura latice-scară, care, fiind dat:

( )∑

∑

=

−

=

−

+= N

i

ii

N

i

ii

za

zbzH

1

0

1

să genereze coeficienţii ki şi ci. 10. Sintetizaţi în formă latice-scară filtrele având:

( )

( ) 321

321

2

21

21

1

0,5+80,-0,9+12+3+2+1

0,5+-1+2-1

−−−

−−−

−−

−−

zzzzzz=zH

zzzz=zH

Verificaţi stabilitatea. 11. Scrieţi un program MATLAB care să rezolve problema analizei unui filtru RII în

structura latice care, fiind daţi parametrii ci, ki, să determine:

( )i

i

N

=i

ii

N

=i

za+

zb=zH

−

−

∑

∑

1

0

1

12. Stabiliţi formulele de calcul pentru realizarea funcţiei:

( ) 22

11

22

110

1 −−

−−

++++

zazazbzbb=zH

în forma "latice-scară", utilizând formula de recurenţă. 13. Verificaţi formulele obţinute la problema 12 utilizând regula lui Mason. Aplicaţi

aceste formule pentru

30


( ) 21

21

0,5+-1+2-1

−−

−−

zzzz=zH

14. Demonstraţi, utilizând regula lui Mason, că filtrul din figura 20 este de tip trece-

tot.

Fig.29 Poate fi generalizată această proprietate ? 15. Sintetizaţi în formă latice filtrul

( ) 321

321

0,5+0,2+0,6-1+0,6-0,2+0,5

−−−

−−−

zzzzzz=zH

Testaţi stabilitatea filtrului. 16. Demonstraţi echivalenţa între celula Kelly-Lochbaum (figura 24) şi celula cu un

singur multiplicator (figura 26). 17. Pentru celula latice recursivă în forma normală (figura 25) definim vectorul

semnalelor de intrare ( ) ( )[ ]nene bi

fi ,1− şi vectorul semnalelor de ieşire

]1 . Demonstraţi că aceşti vectori au aceiaşi normă. ( ) ( )[ , 1 −− nene bi

fi

18. Sintetizaţi cu un număr minim de multiplicatoare filtrul cu funcţia de transfer

( ) 321

321

0,5+0,2+0,6-1+0,6-0,2+0,5

−−−

−−−

zzzzzz=zH

19. Sintetizaţi filtrul cu funcţia de transfer

( ) 321 6,09,02,011

−−− +−=

zzzzH

în formele:

1k−

)(ny 1−z 1−z

)(nx

2k−

2k 1k

31


• latice; • latice Kelly-Lochbaum; • latice normată; • latice cu un multiplicator pe celulă. 20. Se consideră sistemele discrete din figurile 30 şi 31. ( )n 1−z 1−z 1−z 1−z

Se cere: a) Să se determine coeficienţii a, b, c astfel încât cele două sisteme să fie

echivalente. b) Să se exprime funcţia de transfer în forma

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) R∈== ωωθω

ω

ωω jjj

j

jj eHeeH

eXeYeH 00 ,

21. Sintetizaţi în forma latice filtrul având:

( ) 221 cosθ2-11

−− + zrrz=zH

22. Se consideră filtrul cu structură "normală" din figura 28. Deduceţi funcţia de transfer sub formele:

1−z 1−z x

41

41

21 4

1 21

41

2 21

−

21

− ( )ny

a b c

( )nx

( )ny

1−z 1−z 1−z

1−z 1−z 1−z

Fig.30

Fig.31

32


( )

( ) 22

11

22

110

22

11

22

11

++1

++1γ+γ

−−

−−

−−

−−

zazazb+zb+b=zH

zazazz

+d=zH

23. Verificaţi formulele obţinute la problema 22 folosind regula lui Mason. 24. Calculaţi ecuaţia intrare-ieşire cu diferenţe finite, ecuaţiile de stare, funcţia de transfer şi desenaţi diagrama poli-zerouri pentru filtrul cu schema din figura 32.

33

Fig. 32 25. Scrieţi ecuaţiile de stare şi găsiţi realizarea corespunzătoare pentru un filtru RFI având:

( ) kk

M

=kzb=zH −∑

0

1−z

r θcos θsinr

θcosr−

θsinr )(nx )(ny

θcosr

θsinr−

1−z

prelucrarea numerica a semnalelor - erasmus pulseprelucrarea numeric ă a semnalelor cap.5 silviu...

Documents