1

S6. Teoria portofoliului

Portofolii eficiente. Frontiera Markowitz şi Capital Market Line (CML) – Aplicații

1. Un investitor raţional poate să formeze un portofoliu eficient P, utilizând fondurile

mutuale V şi W caracterizate prin :

V :

0.4121

0.4268

0.1611

Vx

W :

0.2907

0.4326

0.2767

Wx

13.05%V 13.39%W

17.57%V 18.51%W

a. Să se determine ponderea investiţiei în V şi W astfel încât investitorul să obţină o

rentabilitate egală cu 20%.

b. Să se calculeze covarianţa între V şi W, respectiv între V şi P, portofoliul de la pct. a.

2. Pe o piaţă cotează un număr de patru active financiare. Se cunosc următoarele

informaţii:

1300.0

1500.02200.0

1700.0

, 1 2 3 40.2832, 0.3445, 0.2455, 0.1825

88791.103A , 02409.15B , 23887.2C ,

. V :

0.37501

0.0269

0.10209

0.54983

Vx

W :

0.33255

0.03573

0.12504

0.50668

Wx

Se cere:

a. Riscurile: V , W şi rentabilităţile V , W .

b. Riscul şi rentabilitatea portofoliului P situat pe frontiera Markowitz ştiind că

rentabilitatea aşteptată este 0.22P .

c. Riscul şi rentabilitatea portofoliului Q situat pe frontiera Markowitz ştiind că riscul

asumat de investitor este 0.3445P .

2

d. Ştiind că 0.08fR să se calculeze rentabilitatea, riscul şi structura portofoliului pieţei

M.

e. Să se calculeze rentabilitatea, riscul şi structura portofoliului S, situat pe CML ştiind că

0.3445S

f. Să se calculeze coeficienţii de volatilitate1 ,

4 , precum şi 1M ,

4M .

g. Să se calculeze indicatorul de senzitivitate:

fR

MRE

.

3. Pe o piaţă cotează trei active. Se cunosc:

1 2 30,37; 0,45; 0,25 , 1 2 30,17; 0,22; 0,14 , 8%fR

0,1369 0,1166 0,0278

0,2025 0,0225

0,0625

1

15,113 8,2841 3,7279

9,685 0,1916

17,5862

Să se determine:

a) ecuaţia frontierei Markowitz;

b) rentabilitatea, riscul şi structura portofoliilor V şi W;

c) riscul şi structura unui portofoliu P de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea

20%P ;

d) rentabilitatea şi structura unui portofoliu Q care are riscul 40% ;

e) covarianţa dintre V şi W şi dintre V şi P;

f) covarianţa dintre W şi P;

g) să se calculeze indicatorii de volatilitate 1 2 3, , , precum şi ponderea din riscul k al

fiecărui activ care este recunoscut de piaţă (risc nediversificabil).

h) un investitor îşi asumă un risc de 12%p investind în trei fonduri mutuale: V, W,

fR . Portofoliul P este situat pe CML. Să se precizeze ponderile 1 2 3, ,x x x investite în cele

trei fonduri mutuale.

3

4. Pe o piaţă cotează 2007 de active financiare cu risc şi un activ fără risc. Se estimează

că ecuaţia frontierei Markowitz este 2 266,239 15,529 0,928p p p . Rentabilitatea

activului fără risc este 9%fR .

a) să se deteremine rentabilitatea aşteptată şi riscul portofoliului V;

b) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale V şi W pentru un

portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea aşteptată 12%p .

c) cum se modifică structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b)

dacă riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.

d) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale Rf şi M pentru un

portofoliu de pe CML care are renbtabilitatea aşteptată 12%p .

e) un investitor are funcţia de utilitate 2 2,2

U

, unde parametrul

cuantifică aversiunea la risc a investitorului. Să se determine rentabilitatea aşteptată a

portofoliului de pe frontiera Markowitz care va fi ales de către investitor. Ce se întamplă

dacă ? Explicaţie.

5. Pe o piaţă cotează 3 active. Se ştie:

0,2664 0,2281 0,5055 ; 0,287 0,2949 0,418T T

V Wx x

2 0,0069 0,17 0,14 0,10T

V

a) să se calculeze A, B, C, D

b) să se calculeze Px şi p a unui portofoliu situat pe frontiera Markowitz ştiind că

0,17P . Ştiind că 1 27% , să se calculeze 1:p şi să se facă un scurt comentariu

financiar.

c) ştiind că 0,1388M , să se calculeze , ,M M fx R

d) să se calculeze 1Px şi 1p a unui portofoliu situat pe CML ştiind că 1 0,17P . Să se

compare 1 1, ,p P . Scurt comentariu.

6. Pe o piaţă cotează trei active. Se cunoaşte:

1

0,1123 0,084 0,0229 15,1367 7,3123 3,7322

0,1657 0,016 ; 9,7218 0,1926

0,0615 17,5984

4

1 2 30,17; 0,22; 0,14; 0,08;fR

a) Să se calculeze: , , , , , , , ,V V V W W W M M Mx x x

b) Să se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul în care 1 2 3, , , fR cresc cu

20%

c) Să se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul în care 1 2 3, , cresc cu 20%

d) pe baza datelor iniţiale, să se calculeze , ,P P Px ştiind că 25%P PE R , iar P

este situat pe d.1. frontiera Markowitz, d.2. CML

7. Pe o piaţă cotează 2007 de active financiare cu risc şi un activ fără risc. Se estimează

că ecuaţia frontierei Markowitz este 2 254,743 14,117 0,928p p p . Rentabilitatea

activului fără risc este 9%fR .

a) să se determine rentabilitatea aşteptată şi riscul portofoliului V;

b) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale V şi W pentru un

portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea aşteptată 13,55%p .

c) cum se modifică structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b)

dacă riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.

d) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale Rf şi M pentru un

portofoliu de pe CML care are rentabilitatea aşteptată 13,55%p .

e) un investitor are funcţia de utilitate 2 2,2

U

, unde parametrul

cuantifică aversiunea la risc a investitorului. Investitorul are acces pe piaţa internaţională

unde portofoliul pieţei are rentabilitatea aşteptată * 14%M şi riscul * 15%M . Piaţa

internaţională şi cea naţională nu sunt corelate. Să se determine rentabilitatea aşteptată a

portofoliului ales de investitor. Explicaţie.

8. Pe o piaţă cotează un număr de trei active. Se cunoaşte:

0,2871 0,2771

0,0585 ; 0,1029 , 0,17035, 0,1667, 10%,

0,6545 0,6199

V W W W fx x R

Se cere:

a) structura Mx şi rentabilitatea M a portofoliului pieţei

b) ştiind că 0,1838M să se calculeze structura portofoliului P situat pe CML cu

0,2298P .

5

9. Se consideră o piaţă pe care cotează 3 active. Matricea de varianţă covarianţă este:

1

0,0802 0,0683 0,0209 25,7969 14,1377 4,9596

0,1187 ? ; 16,5251 ?

0,0603 18,8368

8%, 0,1548f VR , 0,17 0,22 0,14T

a) să se calculeze portofoliul de frontiera Markowitz care asigură o rentabilitate de 18,5%

b) să se determine structura, rentabilitatea şi volatilitatea unui portofoliu de CML cu

riscul 8,2%Q

c) ca urmare a creşterii pieţei, toate rentabilităţile activelor cresc cu 10%. Să se determine

modul în care se modifică rentabilitatea, riscul şi structura portofoliilor V şi M.

10. Pe o piaţă cotează 4 active cu risc. Pentru frontiera Markowitz se cunosc următoarele

elemente:

0,2191 0,3695 0,3028 0,1086

0,2328 0,3515 0,2968 0,1185

0,1346; 0,1359;cov( , ) 0,0014

T

V

T

W

V W V W

x

x

x x

a) să se determine structura şi riscul portofoliului P cu rentabilitatea 15%

b) să se determine senzitivitatea riscului portofoliului P în raport cu rentabilitatea sa P

P

c) să se determine în ce interval trebuie să se situeze rentabilitatea lui P astfel încât

portofoliul să aibă o componentă, respectiv 2 negative. Există valori pentru care P are 3

componente negative?

d) să se determine riscul, rentabilitatea şi structura lui M dacă Rf=7%

e) să se precizeze în ce interval trebuie să se situeze Rf astfel încât M să aibă o

componentă sau 2 negative.

11. Se consideră pieţele de capital din ţările Home şi Foreign. Pe piaţa Home ecuaţia

frontierei Markowitz este 2 250,0862 13,5035 0,928p p p , iar pe piaţa din ţara

Foreign ecuaţia frontierei Markowitz este 2 210,5 3,55 0,322p p p . Rentabilitatea

activului fără risc este aceeaşi în cele două ţări 9%fR . Se notează cu V şi V*

portofoliul din din vârful frontierei Markowitz din ţara Home, respectiv Foreign.

Coeficientul de corelaţie dintre cele 2 pieţe de capital este 0.

6

a) Să se determine rentabilitatea aşteptată şi riscul celor două portofolii V şi V*;

b) Să se determine rentabilitatea aşteptată şi structura pe cele două fonduri mutuale V şi

W pentru un portofoliu de pe frontiera Markowitz din ţara Home care are riscul

13,57%P ;

c) Să se determine rentabilitatea aşteptată şi structura pe cele două fonduri mutuale fR şi

M pentru un portofoliu de pe CML din ţara Home care are riscul 13,57%P ;

d) Fie U portofoliul de risc minim care se poate construi folosind V şi V*. Să se

determine structura, rentabilitatea şi riscul lui U.

e) Rentabilităţile aşteptate ale tuturor activelor de pe ambele pieţe de capital cresc cu

10%. Cum se modifică structura, riscul şi rentabilitatea lui U?

f) Să se construiească un portofoliu eficient format din fR , V şi V* şi care are riscul

13,57%P .

Indicații și soluții

1. a. Ştim că structura oricărui portofoliu eficient se poate scrie ca o combinaţie convexă

a portofoliilor V şi W :

1P V Wx x x , unde : W P

W V

, 1 P V

W V

Înlocuim valoarea indicatorilor şi obţinem ca rezultat ponderea pe care investitorul

trebuie să o investească în fondurile mutuale V şi W :

5851.10094.0

0149.0

1756.01851.0

20.01851.0

, iar 5851.2)5851.1(11

Observaţie : 1. Investitorul face short-selling pe fondul mutual V (vinde 1,5851 unităţi

V) şi cumpără 2,5851 unităţi din fondul mutual W.

2. Portofoliul W este acel portofoliu eficient care asigură cea mai mare

rentabilitate dacă pe piaţă nu există posibilitatea de a efectua operaţiuni de short-selling.

(acest lucru se realizează atunci când λ este subunitar ).

Structura portofoliului P este egală cu:

7

0,0990

1,5851 2,5851 0,4416

0,4594

v W px x x

b. Covarianţa între cele două fonduri mutuale V şi W se determină astfel :

T

VW V Wx x 1 11 1 1T Be

A B AB A

1

0.01758.7631VW

Covarianţa între fondul mutual V şi portofoliul eficient P se determină astfel:

T

VP V Px x 1 1T T T

x x x x x x xV V W V V V W

AAAVP

111

1 0170.0

7631.58

1

VP

!Atenţie! Fondul mutual V, care are riscul minim global, va avea aceaşi covarianţă

cu orice portofoliu eficient.

2. a. V: Structura V : 11Vx e

A

Varianţa: 2 1V

A Rentabilitate:

V

B

A

2 10.009625

103.88791V , respectiv riscul 0.0981109V

15.024090.144618

103.88791V

W: Riscul portofoliului W : 2

2W

C

B

2 2.238870.0099186

215.02409

W 0.0099186 0.099592W

8

Rentabilitatea portofoliului W : W

C

B

2.238870.149018

15.02409W

b. Riscul un portofoliu eficient de pe Frontiera Markowitz are coordonatele:

2 2 21 12 103,88791 2 15,02409 2,23887

6,8683P A B C

D

22

15,12 4,37 0,33 Frontiera Markowitzp

(*)

Ştim că pentru portofoliul P rentabilitatea este 0,22 şi înlocuind în formula (*)

obţinem 3091.00955755.0 P

.

Structura portofoliului eficient P se scrie ca o combinaţie de V şi W:

W

xV

xp

x 1 ,

unde :

W P

W V

1 P V

W V

1303.16

1446.01490.0

22.01490.0

, iar

1303.17)1303.16(11

Observaţie 1. investitorul face short-selling pe fondul mutual V (vinde 16.1303 unităţi

V) şi cumpără 17.1303 unităţi din fondul mutual W.

Structura portofoliului P este :

0.3522

16.1303 17.1303 1.0465

0.4952

0.1895

V W Px x x

c. Se ştie că portofoliul Q de pe frontiera Markowitz are riscul egal cu 3445.0P

.

Folosind relaţia (*) obţinem: 2 215,12 4,37 0,33 0,3445 . Rezolvând ecuaţia de

gradul 2 obţinem: 0.229529QR

9

W P

W V

, 1 P V

W V

29596.181446.01490.0

229529.01490.0

, iar 295967.19)29596.18(11

0.444230

18.295967 19.295967 1.182207

0.545005

0.282982

Q V Wx x x

d. M: Rentabilitatea portofoliului pieţei (M) este egală cu:

2.23887 15.02409 0.08

0.1544615.02409 103.88791 0.08

f

M

f

C BR

B AR

Riscul portofoliului pieţei este:

2

22

0.499899f f

M

f

AR BR C

B AR

0.105322M

Deoarece portofoliul M se află pe frontiera Markowitz, acesta poate fi format utilizând

portofoliile V şi W:

W MM

W V

, iar 1 P M

M

W V

1.238039 , iar 238039.2)238039.1(11

0.279988

0.113311

0.153458

0.453243

xM

.

e. S: 0.3445S

Structura portofoliului S situat pe CML:

- active cu risc: active fără risc:

10

SS M

M

x x

4826.1

5018.03708.0

9157.0

Sx 0 1 2.2716S

M

x

Rentabilitatea portofoliului S:

Ştiind că ecuaţia dreptei CML este: S f M f

S M

R R R R

M f

S f S

M

R RR R

0.34450.08 0.0744 0.3234

0.1053SR

f. Modelul CAPM presupune că: ifMfi RRERRE )( fM

fi

iRRE

RRE

)(

)(

Cunoaştem rentabilitatea aşteptată pentru fiecare activ în parte şi de aici putem să

determinăm cât este coeficientul de volatilitate:

2085.108.015446.0

08.01700.0

)(

)( 1

1

fM

f

RRE

RRE

671440.0

940017.0

880034.1

208593.1

1 1.2085 ,

4 0.6714

i

MiiM

2642.0

2749.0

3919.0

3064.0

iM 3064.01 M , 2642.04 M

g. Ştiim că rentabilitatea aşteptată a lui M este: f

f

MARB

BRCRE

)(

11

Astfel

22

2

2

fARB

D

fARB

BAC

fARB

fBRCA

fARBB

fR

MRE

3. a) ecuaţia frontierei Markowitz se scrie:

22 1

2A B Cp D

Calculăm A, B, C, D:

1 1 1

1 2

suma elementelor matricii 32,8886; 5,0178;

0,7962; 1,0072

T T

T

A e e B e

C D AC B

2 22 1

2 32,65 9,96 0,79A B Cp D

Frontiera Markowitz

b) 1

0,1528; 0,1744; 0,1587; 0,1778V v w w

B C C

A B BA

1 11 10,321 0,0367 0,6422 '; (0,2528 0,1386 0,6086) 'V Wx e x

A B

c) se foloseşte ecuaţia frontierei Markowitz în care se înlocuieşte

0,2 0,3223P p

Structura lui P se scrie ca o combinaţie de V şi W; (1 )P v Wx x x , iar ponderea în

V este dată de:

6,77 0,2 0,83 0,37 'W PP

W v

x

d) se foloseşte tot frontiera Markowitz şi se rezolvă ecuaţia de gradul II:

2 2 2 2

1,2

0,089532,65 9,96 0,79 0,4 32,65 9,96 0,63 0

0,2155Q B B

Se alege evident rentabilitatea mai mare adică 0,2155 . Structura se determină tot ca

o combinaţie de V şi W: 0.38 1.08 0.3 'Qx

e) 1 1 1 1 11 1 1 1 1cov( , )

T

T T T

v w v w

B

x x x x e e eA B AB AB A

12

În cele de mai sus am folosit faptul că 1 este simetrică deci 1 1T

şi relaţia de

transpunere a produsului două matrici oarecare X şi Y T T TXY Y X .

2 cov( , )

1 1 1cov( , ) 1 1 (1 )

v wv

T T T T

v P v P v v w v v v w

x x

x x x x x x x x x x xA A A

f) 2

2

cov( , )

1cov( , ) 1 1 (1 )

v w W

T T T T

w P w P w v w w v v w

x x

Cx x x x x x x x x x x

A B

g) coeficienţii de volatilitate se determină folosind formula:

1

2 2

3

M

M

xBETA

(*)

În acest scop vom calcula structura şi varianţa portofoliului pieţei. Pentru a afla structura

lui M trebuie să calculăm rentabilitatea sa folosind formula:

0,1654f

M

f

C BR

B AR

Determinăm varianţa folosind formula frontierei Markowitz, iar structura folosind

descompunerea lui M în V şi W.

2 232,65 9,96 0,79 0,0357 0,1889M M M M

(1 )M M v M Wx x x , iar

0,177

1,1 1,1 2,1 0,251

0,571

W MM M V W

W v

x x x

Revenim la formula (*), în care cunoaştem acum toate elementele. Efectuând calculele

obţinem:

1,053

1,639

0,702

BETA

Ponderea din riscul individual recunoscut de piaţă este egal cu k M , adică înmulţim

vectorul BETA cu 0,39 0,74 0,18 'M .

h) portofoliul P care se află pe CML poate fi descompus în M şi activ fără risc astfel:

13

0,64

1 0,36 activ fara risc

PM M

M

P

P

M

x x

x

Pe de altă parte, şi portofoliul M se scrie ca o combinaţie de V şi W cu ponderile pe care

le-am determinat mai sus:

0,64 1,1 2,1 0,7 1,34

1 0,36 activ fara risc

PM V W V W

M

P

P

M

x x x x x

x

4. Formula frontierei Markowitz se scrie astfel:

D

C

D

B

D

APPP 222

În problemă frontiera Markowitz arată astfel:

928.0529.15239.66 22 PPP

Comparând relaţiile obţinem:

8456.0)7645.7(928.0239.66

928.0,7645.7,239.66928.0,7645.7,239.66

2222

DDDDBACD

DCDBDAD

C

D

B

D

A

a.

10.1172, 0.1336, 0.1195, 0.1349V V W W

B C C

A B BA

b.

2174.0

WV

WP

14

WVP xxx 2174.12174.0

c. nu se modifică!

d.

1557.0928.01271.0529.15)1271.0(239.66

1271.0

2

M

f

f

MARB

BRC

Se scrie ecuaţia CML:

0,126M f P f

P f P P M

M M f

R RR

R

0

0,8086

1 0,1913

PM M

M

P

P

M

x x

x

x

Astfel investitorul va investii 80,86% din capitalul initial in active cu risc şi 19,13% in

active fără risc. În aceste condiţii va obţine portofoliul P care îi asigură o rentabilitate de

12,6%.

e.

Se scrie utilitatea înlocuind inlocuind varianţa cu ecuaţia frontierei Markowitz.

)928.0529.15239.66(2

),( 22

U

478.132

1529.15

20),(max 2

UU

Dacă 1172.0 , deci portofoliul ales este chiar V.

5. a) A=144,9275; B=18,51; C=2,442; D=11,01;

b) 9.25 10.25 ; 0,174P V W Px x x

15

c) 0,092, 1,67 2,67 , 8%M M V W fx x x R

d) 1 1

1,530,1411;

0,53

M

P P

M

xx

x

6. a) A=49,2319 B=8,80129 C=1,6104 D=1,8183

0,3802 0,3421 0,2777 , 0,1425, 0,1787T

V V Vx

0,4158 0,3812 0,203 , 0,1441, 0,1829T

W W Wx

0,4446 0,4128 0,1425 , 0,1478, 0,1864T

M M Mx

b) Creşterea tuturor rentabilităţilor cu 10% presupune modificarea vectorului de

rentabilităţi astfel:

1 01,1

În continuare vom determina felul în care se modifică A, B, C odată cu modificarea

vectorului de rentablităţi.

1 1

1 1 0 0

T TA e e e e A - evident matricea de varianţă covarianţă nu se modifică în

momentul în care se modifică rentabilităţile activelor.

1 1 1

1 1 1 0 0 0 0 01,1 1,1 1,1T T TB e e e B

1 1 2 1 2

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 01,1 1,1 1,1 1,1T T TC C

Utilizând aceste informaţii, plus faptul că 1 01,1f fR R putem determina toate

modificările astfel:

1 1

1 1 0 0

1 0

1 1nemodificatV Vx e e x

A A

1 0

1 0

1 1nemodificatV V

A A

011 0

1 0

1,11,1 creste cu 10%V V

BB

A A

În mod similar se obţin toate celelalte modificări.

c) se tratează în mod similar cu punctul b). de data aceasta, modificarea riscurilor

activelor are un impact asupra matricei de varianţă covarianţă şi nici un impact asupra

vectorului de rentabilităţi, deci 1 0 .

Ce impact are însă asupra matricei de varianţă-covarianţă? Se ştie faptul că matricea de

varianţă covarianţă poate fi descompusă astfel:

16

1 12 1 1

2 21 2 2

1 2

0 ... 0 1 ... 0 ... 0

0 .. 0 1 .. 0 .. 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 ... ... 1 0 0 ...

n

n

n n n n

S M S

corr corr

corr corr

corr corr

Fiecare i se modifică cu 1,1 , deci S se modifică cu 1,1, ceea ce înseamnă că se

modifică cu 21,1 , avînd în vedere că M rămâne constant. În concluzie:

2 2

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 01,1 1,1 1,1 1,1S M S S M S S M S 1 2 1

1 01,1

De aici problema decurge exact ca mai sus:

1 2 1 2 1 2

1 1 0 0 01,1 1,1 1,1T T TA e e e e e e A

1 2 1 2 1 2

1 1 1 0 0 0 0 01,1 1,1 1,1T T TB e e e B

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 01,1 1,1 1,1T T TC C

1 2 1

1 1 0 02

1 0

1 11,1 nemodificat

1,1V Vx e e x

A A

1 02

1 0

1 11,1 creste cu 10%

1,1V V

A A

2

011 02

1 0

1,1nemodificat

1,1V V

BB

A A

ş.a.m.d.

d)

d.1. 15,97 16,97 ; 0,397; 1,59P V W P Px x x

d.2. 1,59

; 0,2364; 1,590,59 pondere in activul fara risc

M

P P P

xx

7. a) A=55,9125 B=7,2093 C=0,9478

0.1289; 0,1337V V

b) 0.1422; 1.589 2,589P P V Wx x x

c) nu se modifică

17

d) 0,96

0.1417;0,04 pondere in activ fara risc

M

P P

xx

e) se determină 0,1373; 0,1474M M

se investeşte pe piaţa naţională în portofoliul pieţei 1

0,20,045

0,0884x

şi pe piaţa

internaţională în portofoliul pieţei 11 x

9. a) 1

41,6932 0,558 6,481; 1,0587; 2,1386V A x B C DA

0,0451

0,1554; 0,1633; 2,7323; 0,5446 ; 20,25%

0,4106

V W p Px

b)

0,2035 0,3203 0,4762 ; 0,1717; 0,1246

0,5196; 0,4804

0,4804 pondere activ fara risc

T

M M Q

M

Q Q

x

xx

11. a) pe piaţa Home:

56,033; 7,5539; 1,0382; 1,11873; 0,1348; 0,1336V VA B C D

pe piaţa Foreign:

45,58; 7,705; 1,3977; 4,34; 0,169; 0,1481V VA B C D

b) 0,138; 0,1374; 0,2154 1,2154P W P V Wx x x

c) 0,93

0,1427; 0,021; 0,13933;0,07 pondere in activ fara risc

M

M M P M

xx

d)

2 2

0,169 0,0342

min 0,03978 0,04386 0,02193 0,5512; 0,4488H

U H

U H H H Fx

R x

x x x x

e) structura si riscul nu se modifica, iar rentabilitatea creşte cu 10%.

f) 0,54; 0,776;1 =pondere in activ fara risc H F H Fx x x x

18

Modelul de evaluare a activelor CAPM (Capital Asset Pricing Model) –

Aplicații

1. Pentru modelul CAPM să se răspundă la următoarele întrebări:

a) ştiind că 1 >0 şi fM RRE )( să se precizeze în ce situaţie ponderea unui activ în

portofoliul pieţei poate fi negativ ( 0ix ).

b) să se arate că dacă două active au acelaşi risc ji , activul care are coeficientul de

corelaţie cu portofoliul pieţei mai mare va avea şi rentabilitatea aşteptată mai mare.

2. In perioada următoare se anticipează pentru acţiunea AB că preţul va fi P1=240 um, iar

dividendul ce se va plăti este D1=15 um. Se ştie că rentabilitatea activului fără risc este

Rf=9%, rentabilitatea portofoliului pieţei este E(RM)=15%, iar indicatorul BETA al

acţiunii este 5,1 . Cat este cursul de echilibru al acţiunii in prezent (P0)?

3. Se cunoaşte că portofoliul pieţei are următoarele caracteristici: E(RM)=20%;

%12M . Un portofoliu A format numai din active cu risc are rentabilitatea

E(RA)=15%, iar coeficientul de corelaţie cu portofoliul pieţei este 75,0AM .

Rentabilitatea activului fără risc este Rf=5%.

Să se calculeze rentabilitatea şi structura (active cu risc şi fără risc) a portofoliului B

situat pe dreapta CML şi având acelaşi risc A cu portofoliul A.

4. Pentru un activ cu riscul egal cu 15% se cunoaşte coeficientul de volatilitate egal cu

0,4 şi coeficientul de corelaţie cu portofoliul pieţei egal cu 0,8. Determinaţi riscul

nesistematic. Care risc va fi răsplătit de piaţă printr-un plus de rentabilitate şi de ce?

5. Se cunosc următoarele elemente pentru activele 1 şi 2.

Activ P0 E(P1) E(D) i

1 100 117 6 1,5

2 6000 6510 120 0,7

De asemenea se ştie că Rf=10% şi E(RM)=16%. Presupunând ca modelul CAPM

evaluează corect activele de pe piaţă să se determine modul în care piaţa evaluează

titlurile.

19

Indicații și soluții

1. a) Pornim de la vectorul de structura al portofoliilor de pe CML pe care o

particularizăm pentru portofoliul pieţei care este şi el tot un portofoliu aflat pe CML.

eRfCBRAR

RREx

ff

fM

M

1

2 2

)( (1)

Din ipoteză se cunoaşte faptul că 1 >0 şi fM RRE )( . Vom demonstra că şi

CBRAR ff 22> 0.

In acest scop trebuie să calculăm delta acestui trinom de gradul II, astfel:

0444 2 DACB

Deoarece delta este mai mic decât 0, rezultă că trinomul va avea mereu semnul lui A. Dar

A reprezinta suma tuturor elementelor din 1 care sunt toate pozitive, deci şi A va fi

pozitiv.

Din cele de mai sus rezultă că semnul ponderii activului i în portofoliul pieţei este dată

doar de relaţia dintre rentabilitatea sa i şi rentabilitatea fără risc fR . Mai precis, pentru

ca xi<0 este necesar ca fi R .

b) Pornim de la faptul că jMiM . Folosim relaţia dintre coeficientul de corelaţie cu

portofoliul pieţei şi coeficientul de volatilitate dedusă la aplicaţia 1:

i

MiiM

.

Deducem faptul că j

Mj

i

Mi

. Stim insă că ji şi deviaţiile standard sunt

pozitive ceea ce inseamnă că relaţia se reduce la:

ji

20

Vom folosi in continuare o alta relaţie dedusă in aplicaţia 1 şi care determină coeficienţii

de volatilitate al activelor conform modelului CAPM:

fM

fi

iRRE

RRE

)(

)(

Rezultă că putem scrie inegalitatea dintre coeficienţii de volatilitate astfel:

0)(

)()(

)(

)(

)(

)(

fM

ji

fM

fj

fM

fi

RRE

RERE

RRE

RRE

RRE

RRE

cunoaştem insă faptul că fM RRE )( ceea ce ne duce la concluzia că )()( ji RERE ,

adică exact ceea ce trebuia demonstrate.

! Atenţie: am pornit de la faptul că activul i are un coeficient de corelaţie mai mare cu

portofoliul pieţei decât j ceea ce am vazut că inseamnă că activul i are un risc sistematic

mai mare decât j. Concluzia este că un activ financiar care are un risc sistematic mai mare

trebuie să aducă investitorilor şi o rentabilitate mai mare, adică investitorii vor cere o

primă pentru riscul suplimentar asumat. De asemenea, doar riscul sistematic este rasplătit

prin prima de risc; riscul nesistematic nu este plătit de piaţă pentru ca el poate fi

diversificat.

2. Vom determina rentabilitatea aşteptată a activului pe baza modelului CAPM.

18,05,109,015,009,0)( 1 fMfAB RRERRE

Pe de altă parte rentabilitatea aşteptată se calculează luând în considerare câştigurile

realizate din creşterea aşteptată a cursului acţiunilor şi din dividend, raportate la investiţia

iniţială:

10,216

18,01

15240

)(1)(

1

0

0

01

ABRE

DEPEP

P

DEPPERE

21

3. Pornim in rezolvarea aplicaţiei de la relaţia existentă pe SML:

1066,0

)(

)(

)()()()(

AM

M

fM

fA

A

M

AAMfMfAAfMfA

RRE

RRE

RRERRERRERRE

Cunoaştem faptul că faptul că BA şi că portofoliul B se afla pe CML deci vom

obţine rentabilitatea portofoliului B din ecuaţia CML scrisă astfel:

1833,01066,012,0

05,02,005,0

)(

A

M

fM

fB

RRERRE

Structura pentru partea de active cu risc se obţine din faptul că:

M

M

AB xx

, deci ponderea de active cu risc este egală cu 888,0

M

A

.

Ponderea activului fără risc se determină astfel ca diferenţă până la 1 :

112.01 M

A

4. Pornim de la relaţia pe care am dedus-o la problema 1 intre coeficientul de corelaţie al

unui activ cu portofoliul pieţei şi volatilitatea activului. Mai precis:

3.04,0

15,08,0

A

AAMM

A

MAAM

Descompunerea riscului unui activ financiar in risc sistematic şi nesistematic se scrie

astfel:

09,00081,022222222 MAAMAA

22

Piaţa va răsplati numai riscul sistematic printr-un spor de rentabilitate, adică riscul

reprezentat de MA . Partea nesistematică a riscului nu va fi răsplătită de piaţa tocmai

pentru că această parte a riscului poate fi diversificată prin deţinerea de catre investitor a

mai multe active.

5. Modul in care piaţa evaluează rentabilităţile aşteptate se determină după formula:

0

01)(P

DEPPERE

(1)

obţinem din calcul că piaţa apreciază că rentabilităţile aşteptate sunt egale cu:

105,0

23,0

2

1

piata

piata

RE

RE

Vom compara aceste valori obţinute cu rentabilităţile aşteptate determinate pe baza

modelului CAPM.

142.0)(

19.0)(

22

11

fMfCAPM

fMfCAPM

RRERRE

RRERRE

Se observă că, luând drept referinţă modelul CAPM, piaţa nu evaluează corect activele

financiare. Vom aşeza cele două rentabilităţi aşteptate de piaţă pe SML şi vom discuta

despre modul în care investitorii de pe piaţă trebuie să acţioneze în acest caz pentru a

ajunge la evaluarea activelor conform modelului CAPM.

Activ 1

10,0fR

1

16,0)( MRE

5,17,0

Activ 2

23

Se poate observa că activul 1 se afla potrivit pieţei deasupra SML. Trebuie să determinăm

ce acţiune a investitorilor (cumpărarea sau vânzarea activului în prezent ) va readuce

activul 1 pe SML adică la adevărata valoare a rentabilităţii aşteptate.

In acest scop pornim de la formula (1) pe care o rescriem astfel:

1)(

0

1

P

DEPERE piata (2)

Ce acţiune a investitorilor de pe piaţă va duce la reducerea rentabilităţii activului 1 de la

valoarea aşteptată de piaţă de 23% la valoarea sa determinată prin CAPM de 19%?

Observăm relaţia inversă dintre P0 şi rentabilitatea aşteptată. Acest lucru inseamnă ca

pentru a reduce rentabilitatea aşteptată trebuie ca pe piaţa cursul prezent P0 trebuie să

crească. Acest lucru se întâmplă doar dacă investitorii cumpără activul, iar cererea mai

mare decât oferta pe piaţă va duce la creşterea preţului activului financiar.

In mod similar, ce acţiune a investitorilor de pe piaţă va duce la creşterea rentabilităţii

activului 2 de la valoarea aşteptată de piaţă de 10,5% la valoarea sa determinată prin

CAPM de 14,2%? Pentru a creşte rentabilitatea aşteptată trebuie ca pe piaţa cursul

prezent P0 trebuie să scadă. Acest lucru se întâmplă doar dacă investitorii vând activul,

iar oferta mai mare decât cererea pe piaţă va duce la scăderea preţului activului financiar.