pol, polara

Pol i polar fa de cerc

DefiniieFie A , B , C , D patru puncte coliniare. Spunem c C i D sunt conjugate armonic fa de

punctele A i B dac AC ADCB DB

.Observaii1) Dac E este mijlocul segmentului (AB) , iar F cel al lui (CD) , se verific uor c C i D suntconjugate armonic fa de A i B dac i numai dac 2 2 21EF AB CD4 .2) Dac C i D sunt conjugate armonic fa de A i B , punctele C i D sunt separate de A i B ,astfel nct exact unul dintre punctele C i D aparine segmentului (AB) , cellalt fiind n afarasegmentului (AB) .DefiniieFie (O;r)C C un cerc, iar P Int( ) C , Q Ext( ) C . Spunem c P i Q sunt conjugate armonicfa de cercul C dac P i Q sunt conjugate armonic fa de punctele de intersecie ale drepteiPQ cu cercul C .DefiniieDou cercuri secante 1 1 1(O , r )C i 2 2 2(O , r )C se numesc ortogonale dac tangentele duse la 1C i

2C ntr-un punct de intersecie sunt perpendiculare. Mai general, unghiul dintre dou cercurisecante este unghiul dintre tangentele la cele dou cercuri ntr-un punct de intersecie.

ObservaieO condiie necesar i suficient ca dou cercuri 1 1 1(O , r )C i 2 2 2(O , r )C s fie ortogonale este dat deegalitatea 2 2 21 2 1 2O O r r .PropoziieFie (O;r)C C un cerc, iar P Int( ) C i Q Ext( ) C dou puncte n plan. Atunci P i Q suntconjugate armonic fa de cercul C dac i numai dac cercul de diametru [PQ] este ortogonalcercului C .

Demonstraie:Fie PQ {V,W} C , S - mijlocul segmentului (PQ) , iar U mijlocul segmentului (VW) . Atunci auloc egalitile:

2 21SP PQ4

, 2 2 2 21UV VW r OU4

, 2 2 2SO SU OU .Prin urmare P , Q - conjugate fa de C P , Q - conjugate fa de V , W

2 2 21SU PQ VW4 2 2 2 2 2SO OU SP r OU 2 2 2SO SP r (O,r)C i S, SPC -ortogonale.

Proprietatea demonstrat mai sus permite extinderea definiiei noiunii de pereche de punctearmonic conjugate fa de un cerc la perechi oarecare de puncte din plan.

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro Ediia a IV-a 2012-2013


DefiniieFie (O,r)C C un cerc, iar P i Q dou puncte n plan. P i Q se numesc armonic conjugatefa de cercul C dac cercul de diametru [PQ] i cercul C sunt ortogonale.

PropoziieDou puncte P , Q din plan sunt armonic conjugate fa de cercul (O,r)C C dac i numaidac 2 2 2 2OP OQ PQ 2r . (*)

Demonstraie:Notnd cu S mijlocul segmentului (PQ) , din teorema medianei avem c

2 2 2 21OS 2 OP OQ PQ4 .Atunci P , Q - conjugate armonic fa de C 2 2 21SO PQ r

4 2 2 2 2 21 1 1OP OQ PQ PQ r2 4 4 2 2 2 2OP OQ PQ 2r .

ObservaieDin relaia (*) de mai sus se vede c centrul O al cercului C nu poate fi conjugat armonic fa de Ccu niciun punct din plan.

DefiniieFie (O;r)C C un cerc, iar P un punct n plan, diferit de centrul O al cercului C . Loculgeometric al punctelor din plan care sunt conjugate armonic cu P fa de cercul C , 2 2 2 2P Q | OP OQ PQ 2r P se numete polara punctului P fa de cercul C .PropoziieFie (O;r)C C un cerc, iar P un punct n plan, diferit de centrul O al cercului C . Atunci polara

P a punctului P fa de cercul C este o dreapt perpendicular pe OP ntr-un punct P' careeste inversul punctului P fa de cercul C .( P' se numete inversul lui P fa de cercul C dac P ' OP i 2OP OP' r )

Demonstraie:Fie P' inversul punctului P fa de cercul C . Atunci

22 2 2 2OP OP' OP OP' 2 OP OP' PP ' 2r , astfel c PP ' .Atunci, notnd cu d dreapta perpendicular n P' pe OP au loc relaiile:

PQ 2 2 2 2OQ PQ OP' PP' OQ PQ OQ PQ OP ' PP ' OP ' PP ' OP OQ PQ OP ' PP ' 0 2 OP P 'Q 0 OP P'Q Q d .

Rezult c P d , ceea ce demonstreaz afirmaiile din enun.ObservaieDin definiia polarei unui punct fa de un cerc rezult imediat echivalenele urmtoare: PQ P ,Q - conjugate fa de cercul C QPObservaieDac M este mijlocul unui segment [AB] , M nu este conjugat armonic cu niciun punct al drepteiAB fa de punctele A , B . Totui, dac dreptei AB i s-ar aduga un punct la infinit, care s fie ladistan infinit fa de orice punct al dreptei AB , acest punct P ar verifica egalitatea

APAM 1MB P B

i ar fi astfel conjugatul punctului M fa de A , B .



ObservaiePrin adugarea de puncte la infinit fiecrei drepte putem nlocui relaia 1 2d d cu 1d i 2d au acelaipunct la infinit. Cu alte cuvinte, dou drepte paralele se intersecteaz la infinit.Observaien acest mod, fiecare punct la infinit corespunde nu doar unei drepte, ci unui ntreg fascicol de drepteparalele.ObservaieMulimea tuturor punctelor la infinit ale tuturor dreptelor din plan vor forma o aa-numit dreapt lainfinit d a planului.Observaieinnd cont de cele de mai sus, centrul O al unui cerc (O;r)C C este conjugat armonic fa de C cuorice punct de la infinit, astfel c are polara O d .Observaieind cont de echivalena QP PQ rezult imediat urmtoarele dou proprieti:a) Polarele unei familii de puncte coliniare sunt concurente (n polul dreptei pe care se afl punctelefamiliei)b) Polii unei familii de drepte concurente sunt coliniari (pe polara punctului de intersecie al dreptelorfamiliei).ObservaieDeoarece pentru un punct P O , POP {P '} , unde P' este inversul punctului P fa de cercul

(O;r)C C , avem c PP P P ' 2 2OP r P (O,r)C . n cazul n care P (O,r)C ,polara P a punctului P este tangenta n P la cerc.

ObservaieConstrucia polarei P a unuipunct P Ext( ) C decurgeatunci n modul urmtor: fie

1PT i 2PT tangentele prin Pla cercul C . Atunci

1 2T TP

1 2 PT ,T P 1 2T T .Observaie Fig.1Dac P Int( ) C , considerminterseciile 1M i 2M aleperpendicularei n P pe OPcu cercul C . Tangentele n

1M i 2M se intersecteaz(din motive de simetrie, deexemplu) ntr-un punctP ' (OP , care este exactinversul lui P fa de C .ntr-adevr, aplicnd teoremacatetei n 1OM P' avem c :

2 21OP OP' OM r . Fig.2

Prin urmare, polara punctului P este perpendiculara n P' pe dreapta OP .



DefiniieFie ABCD un patrulater, iar E AB CD , F AD BC , punctele de intersecie ale laturiloropuse. Figura ABCDEF , format din cele 4 drepte AB , AD , BC , CD i cele 6 puncte deintersecie ale lor A , B , C , D , E , F se numete patrulater complet. Segmentele [AC] , [BD] i[EF] se numesc diagonalele patrulaterului complet ABCDEF.

Folosind proprietile biraportului a patru puncte coliniare, respectiv ale fascicolelor de cte patrudrepte concurente, se poate demonstra uor Teorema lui Pappus: Fiecare dreapt suport a uneidiagonale a unui patrulater complet este intersectat de dreptele suport ale celorlalte dou diagonale ndou puncte care sunt conjugate armonic fa de capetele diagonalei.

ObservaiePe baza teoremei lui Pappus P Ext( ) Cputem indica o alt construcie apolarei unui punct fa de un cerc :Fie A , B , respectiv C , Dpunctele de intersecie cu Ca dou secante duse prin P ,AC BD {R} , AD BC {Q} ,AB QR {U} , CD QR {V} . Fig.3

Diagonalele patrulaterului completARBQCD sunt atunci [AB] , [CD]i [QR] , astfel c, pe baza teoremeilui Pappus, punctele P , U suntconjugate fa de A , B , respectivP , V sunt conjugate fa de C , D . P Int( ) CRezult c P UV QR .

Pentru a obine polara P este decisuficient s ducem dou secanteoarecare PAB i PCD prin punctulP , cu A,B,C,DC i s determinmpunctele de intersecie Q AD BC i R AC BD . Atunci P QR .

Fig.4



Aplicaii

1. Fie ABCD un patrulater inscriptibil, P AB CD , Q AD BC , R AC BD , 1T i 2Tpunctele n care tangentele din P la cercul (ABCD)C ating cercul, M - punctul de intersecie altangentelor n A i B la cerc, iar N - punctul de intersecie al tangentelor n C i D la cerc.Atunci punctele Q , R , 1T , 2T , M i N sunt coliniare.

Demonstraie:

Fig.5

Din construciile descrise ale polarelor tim c 1 2 PT T QR , astfel c punctele 1T , 2T , Q i R suntcoliniare.Deoarece MP AB rezult c PM , iar cum NP CD avem c PN . Deci PMN .Rezult coliniaritatea punctelor 1T , 2T , Q , R , M , N .

2. Fie ABCD un patrulater inscriptibil, At , Bt , Ct , Dt tangentele la cercul (ABCD)C n puncteleA , B , C , D , A BE t t , B CF t t , C DG t t i D AH t t . Atunci diagonalelepatrulaterelor ABCD i EFGH sunt concurente.

Demonstraie:

Fie P AB CD ,Q AD BC iR AC BD .Atunci PE,G QR i QF,H PR .

Rezult cEG FH {R} AC BD .

Fig.6



3. Fie A , B , C , U , V cinci puncte conciclice, iar M UA VB , 1M UB VA , N UB VC ,1N UC VB , P UC VA , 1P UA VC . Atunci dreptele 1MM , 1NN i 1PP sunt

concurente sau paralele.

Demonstraie:

Fie 1 1L MM NN i 1 1L' MM PP .

Deoarece polul dreptei 1MMeste punctul de intersecieAB UV , iar polul dreptei

1NN este BC UV , rezult Fig.7c L este polul dreptei UV .

n mod analog, L' este polul dreptei UV , astfel c L L' , deci dreptele 1MM , 1NN i 1PP suntconcurente, sau, dac 1 1MM NN , atunci L este punctul de la infinit al dreptelor 1MM i 1NN , UVeste un diametru al cercului (ABCUV)C , iar 1 1MM PP .

4. Fie ABCD un patrulater nscris ntr-un cerc (O;r)C C . Dac P AB CD , Q AD BC iR AC BD , atunci O este ortocentrul triunghiului PQR .

Demonstraie:

DeoarecePQR OP ,

QPR OQ i RPQ OR ,afirmaia este imediat.

Fig.8

5. Fie D , E , F punctele de contact ale cercului nscris (I; r)C n triunghiul ABC cu laturile[BC] , [CA] , respectiv [AB] , iar P BC EF . Atunci AD PI .

Demonstraie:

A P

D P

P

P EF AP BC D

AD PI

Fig.9



6. Fie [AB] o coard ntr-un cerc C , M - mijlocul ei, iar [CD] o alt coard care trece prin M .Dac E AC BD i F AD BC , atunci EF AB .Demonstraie:

Fie O centrul cercului. AtunciMEF OM i OM AB

EF AB . Fig.10

7. Fie A' , B' , C ' mijloacele arcelor BC , CA i AB ale cercului C circumscris triunghiuluiABC , arce care nu conin vrfurile A , B , respectiv C . Tangentele n A i A' la C se

intersecteaz n 1A , cele n B i B' n 1B , iar cele n C i C ' n 1C . Atunci 1A , 1B i 1C suntcoliniare.

Demonstraie:

Evident, (AA ' , (BB' i (CC' suntbisectoarele interioare ale ABC .De asemenea,

1AAA' ,

1BBB' ,

1CCC' .Cum AA ' BB' CC ' , rezultc 1A , 1B , 1C sunt coliniare,aflndu-se pe polara I acentrului I al cercului nscris.

Fig.11

8. Fie [AB] un diametru al unui cerc (O;r)C C , iar M, NC astfel nct N BM . Dac P estepunctul de intersecie al tangentelor n M i N la C , iar Q AM BN , atunci PQ AB .

Demonstraie:

Fie R AB MN .Cum PMN , din PR rezult c RP .De asemenea, din construcia polareiunui punct n raport cu un cerc bazatpe teorema lui Pappus, avem c RQ .

Rezult c RPQ OR , deci PQ AB . Fig.12



9. Fie ABCD un patrulater circumscris unui cerc (O;r)C C , iar M AB C , N BC C ,P CD C , Q DA C punctele de tangen ale laturilor cu cercul. Dac U AB CD ,V AD BC i W MP NQ , atunci OW UV .

Demonstraie:

Din enun rezult cUMP i VNQ ,

astfel c U VW .Dar atunci WU,V ,astfel c WUV OW . Fig.13

10. Fie ABCDEF un hexagon convex, nscris ntr-un cerc (O;r)C C . Dac tangentele At i Dtla C n punctele A i D sunt concurente cu dreptele BF i CE , artai c dreptele AD , BC iEF sunt concurente sau paralele.

Demonstraie:

Fie A DP t t BF CE i Q BC EF .Rezult atunci c PQ .Dar P AD , astfel cAD , BC i EF suntconcurente n punctul Q .Dac BC EF , atunci Q va fi Fig.14punctul de la infinit al dreptelorBC i EF , iar PO BC i PO EF .Cum ns PAD PO rezult atunci c i AD BC EF .

Bibliografie:

[1] C. Coni Teoreme i probleme alese de matematici, Ed.Didactic i Pedagogic, 1958[2] Gh.ieica Probleme de geometrie, Ed. Tehnic, 1981[3] L.Nicolescu, V.Boskoff Probleme practice de geometrie, Ed. Tehnic, 1990[4] V.Nicula, C.Pohoa Diviziune armonic, Ed. Gil., 2007

Lector Dr. Mihai Chi, Universitatea de Vest TimioaraProf. Petrior Neagoe, Grup Mathias Hammer Anina



pol, polara

Documents