CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ

„ADOLF HAIMOVICI”, 2017

ETAPA JUDET,EANĂ

profilul tehnic

Clasa a IX-a

1. Se consideră funct,ia f : R → R, f(x) = x2 +mx+ 2017, unde m ∈ R.

a) Determinat,i valoarea lui m s

,tiind că f(−1), f(1) s

,i f(2) sunt termeni consecutivi ai unei progresii

aritmetice.

b) Dacă f(1) = f(4), să se demonstreze că f(2) = f(3).

c) Dacă m este un număr întreg impar, să se demonstreze că ecuat,ia f(x) = 0 nu are rădăcini întregi.

2. Se consideră triunghiul ABC, punctele M , N s,i P astfel încât

# »

BM =# »

MC,# »

AN = 2# »

NC,# »

AP = 3# »

PB s,i Q

mijlocul segmentului [PM ].

a) Demonstrat,i că

# »

BN =2

3

# »

BC +1

3

# »

BA s,i

# »

BQ =1

4

# »

BC +1

8

# »

BA.

b) Demonstrat,i că punctele B, Q, N sunt coliniare.

c) Calculat,i valoarea raportului

BQ

QN.

3. a) Pentru q ∈ R se consideră numerele a = q2 − q + 1 s,i b = q2 + q + 1. Să se demonstreze că a · b ≥ 1,

oricare ar fi q ∈ R.

b) Determinat,i primul termen s

,i rat

,ia unei progresii geometrice crescătoare (bn)n≥1, având termeni

pozitivi, s,tiind că b1 + b2 + b3 = 7 s

,i b21 + b22 + b23 = 21 (utilizând, eventual, identitatea obt

,inută la

punctul anterior).

4. Patru persoane A, B, C, D au primit împreună pentru efectuarea unei lucrări suma de 2017 lei. S,tiind că

A a primit cel mai mult, fiecare a primit mai mult de 100 de lei s,i A împreună cu D au primit cu 537 de

lei mai put,in decât B împreună cu C, să se determine ce sumă a primit A? (sumele primite sunt numere

naturale)

1

Clasa a X-a

1. Se consideră numerele reale x s,i y astfel încât 2x = 3 s

,i 3y = 4.

a) Arătat,i că x · y = 2.

b) Demonstrat,i că x ∈

(

3

2, ∞

)

.

c) Arătat,i că y ∈

(

−∞,3

2

)

s,i deducet

,i că x > y.

2. a) Verificat,i egalitatea a+ a2 + a3 − 3 = (a− 1)(a2 + 2a+ 3), ∀ a ∈ R.

b) Rezolvat,i în R ecuat

,ia 2x + 4x + 8x = 3.

c) Să se rezolve ecuat,ia 4 log2 x+ 8 log24 x+ 27 log38 x = 24, x ∈ (0, ∞).

3. Se consideră numărul complex z = 1 + i√3 + m(−1 + i

√3), unde m ∈ R \ {−1}.

a) Demonstrat,i că |z| = 2

√m2 +m+ 1.

b) Să se determine m astfel încât modulul numărului z să fie minim.

c) Dacă z3 ∈ R, demonstrat,i că z3 = −8.

4. Doi frat,i au în proprietate comună un teren în forma trapezului ABCD. Ei hotărăsc să împartă terenul

în două părt,i cu aceeas

,i suprafat

,ă s

,i să le separe printr-un gard MN .

a) Justificat,i dacă punctele M s

,i N pot fi alese ca mijloace ale bazelor trapezului.

b) Justificat,i dacă punctele M s

,i N pot fi dispuse în altă pozit

,ie pe cele două baze.

2

Clasa a XI-a

1. Să se calculeze:

a) limx→0

3√1 + 2x− 1

3x;

b) limx→0

e2x − (1 + x)2

x.

2. O echipă de cercetători constată că starea calorică a unei anumite substant,e se modifică în timp după

legea:

T (t) =√

t2 + at+ b− ct+ 5,

unde a, b, c ∈ R sunt constante ce trebuie determinate s,i în care T (t) este temperatura, măsurată în grade,

înregistrată la momentul t ≥ 0 ce reprezintă numărul de secunde scurs de la începutul experimentului.

a) Determinat,i a, b, c ∈ R, s

,tiind că T (1) = 7 s

,i limx→t→∞

T (t) = 8.

b) Cu a, b, c astfel determinat,i, stabilit

,i dacă este posibil ca la un moment al experimentului temperatura

substant,ei să fie de 0◦.

3. Fie matricea A =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, A ∈ M3(R).

a) Demonstrat,i că A2 = 6A.

b) Determinat,i a ∈ R astfel încât matricea Y = aA− I3 să fie inversa matricei X = A− I3.

c) Demonstrat,i că I3 +A+A2 +A3 + · · ·+A2017 =

62018 − 5 · 62017 − 1

5·A+ I3

4. Se dă matricea A =

(

0 1

−2√3

)

∈ M2(R). Demonstrat,i că:

a) det(A− xI2) > 0, ∀ x ∈ R.

b) det(A+ I2) + det(A− I2) ∈ N.

c) Ecuat,ia X ·A−A ·X = A nu are solut

,ii în M2(R).

3

Clasa a XII-a

1. a) Să se determine funct,ia f : (0, ∞) → (0, ∞) care admite primitive astfel încât f(1) = 1 s

,i

∫

f(x) dx = −x2f(x) + C .

b) Să se calculeze integrala I(x) =

∫

cosx− sinx

e−x + cos xdx, x < 0.

2. Se dă funct,ia f : R → R, f(x) =

e2x

e + e2x.

a) Arătat,i că f(x) + f(1− x) = 1, ∀ x ∈ R.

b) Determinat,i primitiva F a funct

,iei f pentru care F (0) = 0.

c) Calculat,i I =

∫ 1

0

f(x) sin(πx) dx.

3. Pe mult,imea numerelor reale se defines

,te legea de compozit

,ie „◦” prin

x ◦ y = 4(x+ 1)(y + 1)− 1, ∀x, y ∈ R.

a) Demonstrat,i că legea de compozit

,ie este asociativă s

,i determinat

,i elementul neutru.

b) Calculat,i(

−2017

1008

)

◦(

−2016

1008

)

◦ . . . ◦(

− 1

1008

)

.

c) Determinat,i numerele reale x care sunt egale cu simetricele lor fat

,ă de legea „◦”.

4. Pe mult,imea numerelor reale definim legea de compozit

,ie „⋆” prin x ⋆ y = 3

√xy, ∀ x, y ∈ R.

a) Demonstrat,i că legea „⋆” nu este asociativă.

b) Fie H = {−1, 0, 1}. Demonstrat,i că H este parte stabilă a mult

,imii R în raport cu legea „⋆” s

,i că

operat,ia indusă de „⋆” pe H este asociativă.

4

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ

„ADOLF HAIMOVICI”, 2017

ETAPA JUDET,EANĂ

profilul real, specializarea s,tiint

,ele naturii

Clasa a IX-a

1. a) Determinat,i numerele întregi x pentru care fract

,ia

3x+ 2

2x− 1este număr întreg.

b) Determinat,i numerele rat

,ionale x pentru care fract

,ia

3x+ 2

2x− 1este număr întreg.

2. Demonstrat,i că, oricare ar fi numărul natural nenul n, are loc inegalitatea:

1

2<

1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n+ 1<

5

6.

3. a) Demonstrat,i că suma inverselor lungimilor a două înălt

,imi ale unui triunghi este mai mare decât

inversul lungimii celei de-a treia înălt,imi a triunghiului.

b) Un triunghi neisoscel are două înălt,imi de lungimi 2 respectiv 5. Determinat

,i lungimea celei de-a

treia înălt,imi, s

,tiind că este tot un număr natural.

4. La ora 14:30, din Ias,i pleacă un tren care ajunge la Bucures

,ti la ora 22:00. În aceeas

,i zi s

,i pe acelas

,i

traseu, la ora 16:00, din Bucures,ti pleacă un tren care ajunge la Ias

,i la ora 23:00. Presupunem că fiecare

dintre cele două trenuri parcurge traseul cu viteză constantă.

Stabilit,i, cu eroare de cel mult un minut, care este ora întâlnirii celor două trenuri.

5

Clasa a X-a

1. Se dau numerele reale x, y, z ∈ (0, ∞). Demonstrat,i că:

a) 3√

(2x+ y)(2y + z)(2z + x) ≤ x+ y + z.

b) 3√

(2x+ y)(x+ 2y)(2y + z)(y + 2z)(2z + x)(z + 2x) ≤ (x + y + z)2.

2. Fie a, b, c ∈ C∗, cu |a| = |b| = |c|. Demonstrat,i că ecuat

,ia az2 + bz + c = 0 are cel put

,in o rădăcină de

modul 1 dacă s,i numai dacă b2 = ac.

3. Rezolvat,i ecuat

,ia⌊

x− 1

2−⌊x

2

⌋

⌋

= lg x.

4. Avem la dispozit,ie un număr n ≥ 2000 de saci goi. Alegem 10 dintre aces

,tia. În unii dintre cei 10 saci

ales,i s-au pus câte 9 saci goi, apoi în unii dintre tot

,i sacii goi s-au pus câte 9 saci goi, etc. După câteva

operat,ii de acest fel, numărul sacilor care nu sunt goi este 223. Care este numărul total de saci pe care îi

avem la dispozit,ie?

6

Clasa a XI-a

1. Fie A =

(

a b

c d

)

, a, b ∈ R.

a) Calculat,i det(A2).

b) Demonstrat,i că An =

(a+ b)n + (a− b)n

2

(a+ b)n − (a− b)n

2(a+ b)n − (a− b)n

2

(a+ b)n + (a− b)n

2

, ∀ n ∈ N∗.

c) Rezolvat,i în M2(R) ecuat

,ia X2017

(

2 1

1 2

)

(folosit,i, eventual, faptul că X ·X2017 = X2017 ·X).

2. Considerăm mult,imea M formată din toate matricele cu trei linii s

,i trei coloane s

,i care au elemente din

mult,imea {−1; 1}.

a) Aflat,i cardinalul mult

,imii M .

b) Dacă A ∈ M , demonstrat,i că 4 | det(A).

c) Dacă A ∈ M , argumentat,i că det(A) ∈ {−4; 0; 4}.

d) Demonstrat,i că ∀ A ∈ M , matricea A2017 are toate elementele nenule.

3. Pe o insulă trăiesc 12 cameleoni. La un moment dat, trei dintre ei au culoarea ros,ie, patru au culoarea

galbenă, iar ceilalt,i cinci au culoarea verde. Se s

,tie că, dacă se întâlnesc doi cameleoni de culori diferite,

atunci ambii îs,i schimbă culoarea în cea de-a treia culoare, în rest ei nu îs

,i schimbă culoarea. Demonstrat

,i

că:

a) Este posibil ca, la un moment dat, niciun cameleon să nu aibă culoarea verde.

b) Nu este posibil ca, la un moment dat, tot,i cameleonii să aibă culoarea verde.

4. Fie f : R → R o funct,ie astfel încât | f(x)− x2| ≤ 2|x|, ∀ x ∈ R.

a) Arătat,i că f(0) = 0.

b) Dat,i un exemplu de funct

,ie care să îndeplinească inegalitatea din enunt

,.

c) Justificat,i continuitatea funct

,iei f în origine.

7

Clasa a XII-a

1. Două lentile având distant,ele focale f1, respectiv f2 sunt situate la distant

,a d > 0 una fat

,ă de cealaltă; în

această situat,ie, distant

,a focală f a sistemului de lentile este dată de legea de compozit

,ie

f = f1 ◦ f2 =f1 · f2

f1 + f2 − d. Considerând legea de compozit

,ie definită pe G = (0, ∞), se cere:

a) Să se demonstreze că legea este asociativă.

b) Să se studieze dacă legea admite element neutru.

c) Să se calculezed

2017◦ d

2016◦ . . . ◦ d ◦ 2d ◦ 3d ◦ 4d ◦ . . . ◦ 2017d.

2. Se consideră funct,iile f , g : R∗ → R, f(x) =

x

1 + x2s,i g(x) =

1

x(x2 + 1).

a) Să se calculeze∫ 1

0

f(x) dx.

b) Calculat,i limx→0x→−∞

G(x), unde G este primitiva lui g care se anulează în x = 1.

c) Să se demonstreze că∫ tan x

1

f(t) dt +

∫ cot x

1

g(t) dt = 0, ∀ x ∈(

0,π

2

)

.

3. Se consideră funct,ia f : R → R, f(x) = ex

2

.

a) Să se calculeze∫ 1

0

xf(x) dx.

b) Să se demonstreze că funct,ia F : R → R, F (x) =

∫ x3

0

f(t) dt este strict crescătoare pe intervalul

[0, 1].

c) Demonstrat,i că

∫ 1

0

f(x) dx ∈ (1, 2).

4. Fie G =

{

A(k) =

(

2k 2k

2k 2k

) ∣

∣

∣

∣

∣

k ∈ Z

}

. Pentru fiecare t ∈ Z, notăm Ht = {A(kt− 1) | k ∈ Z}. Se admite

faptul că (G, ·) este un grup, unde ” ·” este înmult,irea matricelor. Demonstrat

,i că:

a) Pentru orice n, p ∈ Z, A(n) ·A(p) = A(n+ p+ 1).

b) Pentru orice t ∈ Z, Ht este un subgrup al grupului (G, ·).

c) Grupurile (G, ·) s,i (Z, +) sunt izomorfe.

8

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ

„ADOLF HAIMOVICI”, 2017

ETAPA JUDET,EANĂ

filiera tehnologică: profilul servicii, resurse naturale s,i protect

,ia mediului

Clasa a IX-a

1. Un joc de calculator se desfăs,oară după regula următoare: la fiecare rundă, jucătorul alege un număr

a ∈ N∗, după care calculatorul alege la întâmplare un număr x ∈ R s,i dacă

15− 3x

7≥ a sau x + 25 ≥ a,

atunci jucătorul câs,tigă a puncte.

a) Stabilit,i dacă, pentru a = 12 s

,i x = −24, jucătorul câs

,tigă 12 puncte.

b) Demonstrat,i că pentru alegerea a = 12 jucătorul poate să nu câs

,tige 12 puncte.

c) Demonstrat,i că se pot alege numere a ∈ N încât la orice x ∈ R ales de calculator, jucătorul să câs

,tige

a puncte s,i aflat

,i numărul maxim de puncte pe care le poate câs

,tiga la o rundă a jocului.

2. a) Arătat,i că

1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + · · ·+ 1

(n− 1)n= 1− 1

n, pentru orice n ∈ N, n ≥ 2.

b) Determinat,i numerele naturale nenule x s

,i y, care verifică

1

xy= 1− 1

y.

c) Determinat,i funct

,ia f : N∗ → N∗ care, pentru orice n ∈ N, n ≥ 2, verifică relat

,ia:

1

f(1) · f(2) +1

f(2) · f(3) +1

f(3) · f(4) + · · ·+ 1

f(n− 1)f(n)= 1− 1

f(n).

3. Fie triunghiul ABC s,i punctele M , N , P astfel încât

# »

BN = 3 · # »

AN ,# »

CM = 3 · # »

AM s,i

# »

BP =# »

PC.

a) Demonstrat,i că MN ‖ BC.

b) Dacă BM ∩ CN = {Q}, demonstrat,i că A este centrul de greutate al triunghiului QBC s

,i

# »

AB +# »

AC +# »

AQ =#»

0 .

c) Demonstrat,i că triunghiurile QBC s

,i MNP au acelas

,i centru de greutate.

4. Fie mult,imea tuturor funct

,iilor de gradul al doilea fm : R → R, de forma fm(x) = x2+2(m−1)x+1−4m,

m ∈ R s,i considerăm familia parabolelor asociate acestor funct

,ii.

a) Arătat,i că există m ∈ R pentru care punctul A(−1, 3) este pe parabola asociată funct

,iei fm.

b) Arătat,i că există un punct situat pe toate parabolele familiei.

c) Arătat,i că punctul B(2, 3) nu este situat pe niciuna dintre parabolele familiei s

,i determinat

,i mult

,imea

tuturor punctelor cu această proprietate.

9

Clasa a X-a

1. Pe un cerc cu raza de1

2πmetri se deplasează doi melci, notat

,i A s

,i B, plecând în acelas

,i moment, din

acelas,i loc s

,i în sensuri diferite. Se s

,tie că în fiecare a n-a secundă de la începutul deplasării lor, melcul A

parcurge1

2nmetri, în timp ce melcul B parcurge doar

1

4nmetri.

a) Arătat,i că distant

,a parcursă de melcul A în primele n secunde este egală cu 1− 1

2nmetri.

b) Determinat,i după câte secunde distant

,a parcursă de melcul B este egală cu

3

8din distant

,a parcursă

de melcul A.

c) Aflat,i de câte ori se întâlnesc cei doi melci, considerând că după fiecare întâlnire ei îs

,i continuă

deplasarea după aceleas,i reguli.

2. a) Demonstrat,i că 4 < 4 log7 10 < 5.

b) Calculat,i ⌊log3 256⌋.

c) Comparat,i numerele a = log7 10 s

,i b = log3 4.

3. Considerăm ε =−1 + i

√3

2, cu i2 = −1.

a) Arătat,i că ε2 + ε+ 1 = 0 s

,i ε3 = 1.

b) Demonstrat,i că pentru orice x, y ∈ R are loc x2 + xy + y2 = |x− εy|2.

c) Dacă x, y, z ∈ R s,i a = x2y + y2z + z2x, respectiv b = xy2 + yz2 + zx2, calculat

,i în funct

,ie de a s

,i b

expresia E = (x3 − y3)(y3 − z3)(z3 − x3).

4. Fie f : R → R, f(x) =

2x, dacă x ∈ Q

3x, dacă x ∈ R \Q.

a) Arătat,i că log3 2 ∈ R \Q.

b) Arătat,i că f(log3 2) ∈ Q.

c) Demonstrat,i că ecuat

,ia f(x) = 3 nu are solut

,ie în R.

d) Demonstrat,i că funct

,ia f nu este nici injectivă s

,i nici surjectivă.

10

Clasa a XI-a

1. Fie matricea A =

0 1 1

1 0 1

1 1 0

.

a) Rezolvat,i ecuat

,ia det(I3 + xA) = 0.

b) Demonstrat,i că A2 = A+ 2I3.

c) Demonstrat,i că matricea B = 2A+ I3 este inversabilă s

,i inversa ei este matricea C =

2

5A− 3

5I3.

d) Matricea B o transformăm în 2017 pas,i, în felul următor: la fiecare pas, în mod aleator, elementele

de pe diagonala principală se măresc toate deodată sau se mics,orează toate deodată cu 1, iar toate

celelalte elemente se măresc toate deodată sau se mics,orează toate deodată cu 3. Aflat

,i dacă este po-

sibil ca după parcurgerea celor 2017 pas,i matricea B să se transforme într-o matrice cu determinantul

egal cu 2017.

2. Considerăm matricele A =

(

6 11

0 6

)

, B =

(

2 1

0 2

)

s,i mult

,imea G = {X ∈ M2(R) | A ·X = X ·A}.

a) Demonstrat,i că B ∈ G.

b) Dacă X ∈ G, demonstrat,i că există x, y ∈ R asfel încât X =

(

x y

0 x

)

.

c) Matricea X ∈ M2(R) verifică egalitatea X3 −X = A. Demonstrat,i că X ∈ G s

,i determinat

,i toate

matricele X cu această proprietate.

3. a) Fie a, b, c numere reale strict pozitive s,i funct

,ia f : R → R, f(x) = ax+

√bx2 + cx+ 1. Determinat

,i

a, b, c, s,tiind că lim

x→∞

f(x)

x= 4 s

,i limx→−∞

f(x) = −1

4.

b) Determinat,i ecuat

,iile asimptotelor la graficul funct

,iei f : R → R, f(x) = 2x+

√4x2 + x+ 1.

4. Funct,ia f : [0, 12] → R, f(t) =

3t2 − 10t+ a

t2 − 2t− 3, t ∈ [0, 3)

b− log2(t− 2), t ∈ [3, 12]determină temperatura unui corp, măsurată

pe parcursul a 12 ore.

a) S,tiind că la momentul t = 1 temperatura corpului este de 1◦ C, iar la momentul t = 2 temperatura

este de 2◦ C, aflat,i temperatura corpului la momentul t = 10.

b) Determinat,i a, b ∈ R în cazul în care f are limită în t = 3.

c) În cazul a = 3 s,i b = 2, arătat

,i că f este continuă pe intervalul [0, 12] s

,i determinat

,i intervalele pe

care f(t) > 0.

11

Clasa a XII-a

1. Definim pe mult,imea numerelor întregi legea de compozit

,ie x ◦ y = 3xy + 3x+ 3y + 2, ∀ x, y ∈ Z.

a) Verificat,i că x ◦ y = 3(x+ 1)(y + 1)− 1, ∀ x, y ∈ Z.

b) Arătat,i că legea „◦” este comutativă s

,i asociativă.

c) Stabilit,i dacă structura (Z, ◦) are element neutru.

d) Dacă d1, d2, d3, . . . , d4034 sunt divizorii întregi ai numărului 22017, calculat,i d1 ◦ d2 ◦ d3 ◦ . . . ◦ d4034.

2. Consumul de energie electrică realizat de familia Popescu, pe durata a 24 ore, este modelat de o funct,ie

K : [0, 24] → R+, cu K(0) = 0 s,i care este derivabilă s

,i verifică relat

,ia:

K ′(t) = (t+ 1)e1−t, ∀ t ∈ [0, 24],

unde K(t) reprezintă cantitatea de energie electrică consumată în intervalul de timp [0, t], exprimată în

Kw/h.

a) Demonstrat,i că F (t) = −(t+ 1)e−t, t ∈ R, este o primitivă a funct

,iei f : R → R, f(t) = te−t.

b) Demonstrat,i că K(t) = 2e− (t + 2)e1−t, ∀ t ∈ [0, 24].

c) Verificat,i că, în prima oră, familia Popescu consumă mai put

,in de 2, 5 Kw/h.

d) Considerând, pe parcursul unei zile, intervalele orare [0, 1], [1, 2], [2, 3], . . . , [23, 24], arătat,i că cel

mai mare consum de energie electrică se realizează în intervalul orar [0, 1].

3. Se consideră mult,imea G =

{(

a b

b a

)∣

∣

∣

∣

∣

a, b ∈ Z6

}

.

a) Determinat,i numărul elementelor mult

,imii G.

b) Arătat,i că (G, +) este grup abelian.

c) Calculat,i suma elementelor mult

,imii G.

4. Fie funct,ia f : R → R, f(x) =

√x2 + 4.

a) Demonstrat,i că

∫ 1

0

f2(x) dx =13

3.

b) Calculat,i∫ 2

√3

√5

1

x · f(x) dx.

c) Calculat,i limx→0

1

x4

∫ x

0

t3f(t) dt.

12

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ

„ADOLF HAIMOVICI”, 2017

ETAPA JUDET,EANĂ

profilul filologie / s,tiint

,e sociale

Clasa a IX-a

1. Se consideră funct,iile fm(x) = (m− 1)x2 + 2(m− 2)x− 3 +m, m ∈ R, m 6= 1.

a) Să se determine m astfel încât Gfm să intersecteze axa Ox în două puncte separate de axa Oy.

b) Să se demonstreze că parabolele asociate funct,iilor fm trec printr-un punct fix (cu coorodonatele

independente de m).

2. Pe latura [AB] s,i diagonala [AC] a paralelogramului ABCD se iau punctele M s

,i respectiv N astfel încât

# »

AM =1

5

# »

AB s,i

# »

AN =1

6

# »

AC. Demonstrat,i că punctele M , N s

,i D sunt coliniare.

3. Să se determine patru numere reale în progresie geometrică s,tiind că suma termenilor extremi este egală

cu triplul mediei aritmetice a termenilor egal depărtat,i de cei extremi, iar primul termen este a ∈ R∗.

4. a) Media vârstelor persoanelor dintr-o cameră este egală cu numărul lor. În cameră intră un bărbat de

29 de ani. Surprinzător, media vârstelor persoanelor rămâne egală cu numărul lor. Câte persoane

erau init,ial în cameră?

b) Un elev a ales un număr întreg, l-a înmult,it cu 0, 42 s

,i rezultatul l-a aproximat cu cel mai apropiat

întreg. După aceasta a înmult,it numărul astfel obt

,inut cu 0, 42 s

,i rezultatul l-a aproximat din nou

cu cel mai apropiat întreg, ultimul fiind egal cu 8. Ce număr a ales elevul?

13

Clasa a X-a

1. Rezolvat,i în R ecuat

,iile:

a) log2( log2(5x− 4) ) 1 + log2(log2 x);

b) 2√

log2(x+1) − 2 = 2− (x+ 1)√

logx+1 2.

2. Se consideră funct,ia f : R → R, f(x) =

x

1 + |x| .

a) Să se demonstreze că funct,ia f este strict crescătoare pe R.

b) Să se rezolve în R ecuat,ia f(x) = m, m ∈ R. Discut

,ie după valorile parametrului m.

3. a) Să se demonstreze că 3√

20 + 14√2 +

3√

20− 14√2 = 4.

b) Să se rezolve ecuat,ia

√7− x+

√x− 5 =

√2.

4. a) Sisif duce în fiecare zi câte o piatră din vârful unui munte. În prima zi i-au fost necesare 7 ore urcând

s,i coborând. A doua zi a petrecut 8 ore urcând s

,i coborând. În fiecare zi urcă de două ori mai încet

decât în ziua precedentă, dar coboară de două ori mai repede. Cât timp va munci în cea de-a treia

zi?

b) Pe cele două maluri ale unui râu se află doi palmieri înalt,i de 10 m, respectiv 15 m. Distant

,a dintre ei

este de 25 m. În vârful fiecărui palmier stă câte o pasăre. La un moment dat, la suprafat,a râului, pe

linia ce unes,te palmierii, apare un pes

,te situat la distant

,e egale cu cele două păsări. La ce distant

,ă

de palmierul cel mai înalt a apărut pes,tele?

14

Clasa a XI-a

1. La livrarea din fabrică către dealer, un autoturism are pret,ul de 7500 euro. Dealer-ul aplică un adaos

comercial de 10%, iar la suma adăugată se aplică un TVA de 20%, obt,inându-se astfel pret

,ul de vânzare.

Un cumpărător achită un avans de 20% din pret,ul de vânzare, urmând ca restul să fie achitat în 24 de

rate lunare egale.

a) Care este pret,ul de vânzare, fără TVA, al autoturismului?

b) Care este pret,ul de vânzare al autoturismului cu TVA?

c) Cât este rata lunară?

2. În tabelul de mai jos este înregistrată distribut,ia elevilor clasei a XI-a după numărul de pagini scrise la

simulare la proba de limba română:

Număr de pagini Număr de pagini

0-4 10

4-8 16

8-12 5

12-16 1

a) Calculat,i media s

,i mediana seriei statistice.

b) Arătat,i că abaterea medie pătratică este mai mică de 3, 10.

c) Care este procentul elevilor care au scris mai mult de 8 pagini?

3. Dacă tatăl ar avea cu 7 ani mai mult decât are, atunci vârsta actuală fiului mai mic ar fi1

6din vârsta

tatălui. Peste 15 ani, vârsta fiului mai mare va fi1

2din vârsta tatălui. Să se determine vârsta fiecăruia,

dacă peste 18 ani suma vârstelor celor doi copii va fi egală cu vârsta tatălui.

4. La balul de absolvire a liceului participant,ii sunt as

,ezat

,i câte s

,ase la fiecare masă. Să se arate că la fiecare

masă există trei persoane care se cunosc între ele sau trei persoane care nu se cunosc deloc.

15

Clasa a XII-a

1. Se consideră matricea A(x) =

(

x 1

1 x

)

, unde x este număr real.

a) Calculat,i det(A).

b) Determinat,i numărul real x pentru care A(x) · A(−x) = I2, unde I2 =

(

1 0

0 1

)

.

c) Calculat,i det(A(1) +A(2) + · · ·+A(n) ), unde n ∈ N.

2. Se consideră matricele B =

0 1 0

0 0 1

1 0 0

, I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

s,i A = aI3 + bB + cB2, unde a, b, c sunt

numere reale.

a) Să se calculeze B2 s,i B3.

b) Să se demonstreze că (a+ b+ c) det(A) ≥ 0, pentru orice a, b, c numere reale.

3. În reperul cartezian xOy se consideră punctele An(3n+1, 1− 3n) s,i Bn(2n− 1, 4n− 3), unde n ∈ Z. este

număr natural.

a) Determinat,i aria triunghiului A0A1B2.

b) Demonstrat,i că există numerele întregi k s

,i ℓ astfel încât Ak = Bℓ.

4. Alin s,i Dan joacă următorul joc. Alin alege un număr a, apoi Dan alege un număr x. După aceasta, Alin

alege un număr b s,i apoi Dan alege un număr y. Formăm matricea M =

1 a 0

0 b x

y 0 1

, unde a, b, x, y sunt

numere reale. Matricele de această formă, care au determinantul egal cu 1, se numesc matrice norocoase.

În acest caz, Alin câs,tigă jocul.

a) Cine câs,tigă jocul dacă a = 1, b = −1, x = 0, y = −1?

b) Fie A =

1 0 0

0 1 0

y 0 1

, unde y este număr real. Demonstrat

,i că A este o matrice norocoasă.

c) Determinat,i valorile lui a s

,i b care asigură victoria lui Alin, oricare ar fi alegerile făcute de Dan.

16