olimp.cunoasterii-9-12.6.1

8/17/2019 olimp.cunoasterii-9-12.6.1

1/13

Proiectul Naţional Olimpiadele Cunoa şterii e diţia a VI-a, etapa I 2

Matematica clasa a IX-a

1. Se dau numerele : x = 23 − ; y = 34 − ;

z = 45 − ; t = 56 − . Cel mai mare este :

a) t; b) y; c) z; d)x ; e) x=y=z=t

2. Numarul 2010 , aproximat cu o eroare de o zecime prin lipsa,

este :a) 4,4; b) 4,3; c) 44,7; d) 44,8; e) 448,3.

3. Solutia ecuatiei 23

1−=

− x

x , este :

a) S = {1}; b) S = {2}; c) S

=

2

5;1 ; d) S ∅= ; e) S={ }0 .

4. Se dau intervalele I =

−

2

5;2 , J =

−

3

8;

2

1. Atunci I C J

(complementara lui J in raport cu I) , este egala cu :

a)

−−

2

1;2 ; b) ∅ ; c)

−

2

1; d)

−

2

5,

,2

1; e)

3

8,

2

5

5. Suma masurilor unghiurilor unui poligon cu n laturi este 54000.

Atunci n ia valoarea:a) 30; b) 31; c) 32; d) 100; e) 54.

6. Suma numarelor naturale de doua cifre, care impartite la 3 daurestul 2, este egala cu:a)1000; b) 2000 ; c)2010; d);1515 ; e)1635.

7. In ∆ ABC, m ( ) A = 90 0 si m ( ) B = 15 0 . Fie AD⊥ BC, D ∈ [BC]. Atunci:

a) AD =2

BC ; b) AD =

6

BC ; c) AD =

3

BC ;

d) AD =4

BC ; e) AD =

5

BC


2/13


8. Fie ABCD un trapez si relatia intre baze AD = 3BC.

Descompunerea vectorului AB dupa vectorii necoliniari AC = u

si BD = v , este :

a) )(

4

3vu +− ; b) vu

4

1

4

1+− ; c) ( )vu +

4

1;

d) vu4

1

4

1− ; e) vu

4

3

4

3+ .

9. Fie un segment [AB]. Daca E si F nu apartin dreptei AB si

AF AE AB += , atunci ABEF este :a) patrat; b) romb; c) paralelogram

d) trapez; e) dreptunghi.

10. Intr-o clasa sunt 30 elevi. 14 elevi vorbesc engleza, 8 elevivorbesc franceza, iar 7 elevi vorbesc ambele limbi. Cati elevi nucunosc nicio limba straina ?

a) 12; b) 13; c) 14; d) 15; e) 16.

11. O sala de teatru are 14 rânduri,iar pe fiecare rând sunt cu 2locuri mai multe decât pe rândul din fata sa. Daca in ultimul rândsunt 52 locuri, atunci numarul de locuri din sala, este:a) 412; b) 600; c) 508; d) 546; e) 548.

12. Suma S = ( )23...8251 +++⋅+⋅ nn este egala cu:

a) ( )42 +nn ; b)( )( )

2

231 ++ nnn; c)

( )( )2

321 ++ nnn;

d)( )( )

2

141 ++ nnn; e)

( )( )

2

41 ++ nnn

13. Numarul laturilor unui poligon convex, care are 54 dediagonale, este egal cu :a) 12; b) 14; c) 16; d) 10; e) 20.


3/13


14. Pentru*

N∈∀n , suma S=n+++

++++

++

+...21

1...

321

1

21

11

este egala cu :

a) n; b)n

n

2

1+; c)

1

2

+n

n; d)

2n ; e)

2

1+n.

15. Cel mai mic numar intreg x, care verifica inecuatia

11

2010<

+

−

x

x , este :

a) 1000; b) 1005; c) 2010; d) –1004; e) 1004.

16. Fie a,b,c∈N, iar n nu este patrat perfect. Atunci Q∈+

+

cnb

bna ,

daca :

a) a + b = c; b) a +b + c =0; c) b2 = 4ac;

d) b = ac; e)b2=ac;

17. Pentru n∈N* , 1+11+...+

orinde −−1...111 in baza 10 este egal cu :

a)9

110 −n

; b)81

10910

1+−

+

n

n

; c)99

110

2−

n

;

d)9

110 12 −−n; e)

81

10910 1 −−+ nn.

18. Se da predicatul P(x,y) : “ y x

y x

32

53

+

+ nu este fractie ireductibila,

x N∈ , y N∈ “. Numarul perechilor (x,y) pentru care P(x,y) esteadevarat, este :a) o infinitate; b) 1; c) 2; d) 0; e) orice numar natural finit.

19. Determinati in interiorul unui paralelogram ABCD un punct M

astfel incat 0=+++ MD MC MB MA . Punctul gasit este unic ?


4/13


Matematica clasa a X-a

1.Domeniul maxim de definitie pentru expresia E(x)5

6

21

1

x

x

+

+= , este :

a) R ; b) [–1,∞ ); c) R –

− 2

1;

d) [–1,∞ ) –

−

2

1; e)

−− 1,

2

1.

2. Partea intreaga a numarului 666 ++ este :

a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.

3. Se dau numerele a =5

13 − ; b =

2

3; c = 3 – 2 . Atunci :

a) a < b < c; b) b


5/13


8. Fie f : N*→C, f(n) =

n

i

+

2

31. Perioada T , a functiei f , este :

a) 2; b) 3; c) 4; d) 5; e) 6.

9. Fie x = 33 549549 −++ . Atunci :a) x = 1; b) x = 2; c) x = 3; d) x = 4; e) x∉Q.

10. Valoarea lui x∈R pentru care expresia E(x) = x x x x −+−− 236

are sens, este : a) x = 4; b) x = 5; c) x = 2; d) x = 3; e) x = 1.

11. Fie E(x) = log ( )

−− x x 2log

2

132 . Multimea valorilor lui x∈R

pentru care exista E(x), este :

a) ( )2,∞− ; b)

2;

2

3; c)

2

3;1 ; d)

+∞;

2

3 – {1}; e)

2,

2

3.

12. Fie A(–4 – 2i), B(2), C(1+3i), D(–5+i). Atunci ABCD este :

a) Patrat; b) Paralelogram; c) Dreptunghi;d) Trapez; e) Romb.

13. Fie a, b, c > 0. Atunci expresia E =

cba

b

a

a

c

c

b lglglg

⋅

⋅

este

egala cu :

a) 0; b) abc; c)abc

1; d) 1; e) alt raspuns.

14. Suma S =2010321 ... iiii ++++ este egala cu :

a) 0; b) 1; c) i; d) 1 – i; e) i – 1.

15. In ∆ ABC cunoastem afixele z A = 1 + 2i; z B = 2 + 3i;

z G = 3 + 4i. Atunci z C este egal cu :a) 0; b) i; c) 7 +8i; d) 6 + 7i; e) 4 + 5i.


6/13


16. Forma cea mai simpla a expresiei E =radicali−

++++2010

2...222 ,

este :

a) 2010 2 ; b) 2cos 20102

Π

; c) cos 20112

Π

;

d) 2 cos20112

Π; e) 2cos

20092

Π.

17.Fie z∈C , z=i

i

+

−

1

1. Cel mai mic numar n∈N

* , pentru care

zn

=1 , este :a) 0; b) 2; c) 3; d)4; e) alta solutie.

18. Fie functia f: (–1, 1)→(–1, 1), f(x) = x x

x x

−++

−−+

11

11. Atunci

f 1−

(x) este egala cu :

a)

1

22

+

x; b)

1

22

− x

x; c)

x

x

2

12 +;

d) x

x

2

12 −; e) alt raspuns.

19. Determinati a, b ∈Q , m∈Z si expresia functiei f: R →[a, b],

f(x) =12 ++

+

x x

m x , astfel incat aceasta sa fie surjectiva.


7/13


Matematica clasa a XI-a

1.Se da permutarea

=

3142

4321σ . Cel mai mic numar n

*N∈

pentru care en=σ , este :

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5.

2.Inversa permutarii

=

132

321τ , este :

a)

231

321; b)

312

321; c)

321

321;

d)

213

321; e)

123

321.

3. Fie matricile A =

654

321 , B =

65

43

21

, atunci :

a) A + B =

1185

642; b) A + B =

116

84

52

; c) A + B = 3I ;

d) A + B = imposibil; e) A + B = B A ⋅ ;

4. Fie A =

123

321 , B =

31

22

13

, atunci B A ⋅ este egal cu :

a) imposibil; b)

52

257 ; c)

57

752 ;

d)

6810

888

1086

; e) alt rezultat.


8/13


5. Valorile m, n∈R pentru care punctele A(m+n, m+1), B(2m-n,1),C(m,n+1) se gasesc pe aceeasi dreapta , sunt :a) m = 0, n = 0; b) m = n = 1; c) m =2, n = 1;

d) m = 1; n = 2; e) m, n ∅∈ .

6. Pentru ( )∀ A =

d c

ba)(2 C M ∈ , expresia :

A ( ) 22 I bcad −+ este egala cu :

a) A; b) Tr ( ) A A ⋅ ; c) ( ) Ad a − ;

d) ( ) Abcad − ; e) alt rezultat

7. Determinatul matricei A =

d c

ba

0

010

0

)(3 C M ∈ este egal cu :

a) 0; b) abcd; c) ad + bc; d) ad – bc; e) ab – cd.

8. Solutia ecuatiei matriceale

=

⋅

87

65

43

21 X este :

a)

32

21; b)

−

32

21; c)

−

−

32

21;

d) I 2 ; e) alt rezultat.

9. Daca 321 ,, x x x sunt radacinile ecuatiei 20103

++ x x =0, atunci

determinantul matricei

213

132

321

x x x x x x

x x x

, este egal cu :

a) 3 ( )321 x x x ++ ; b) 2010; c) 321 x x x ; d) –1; e) 0.10. Daca a,b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi pentru care

111

bac

cba

=0, atunci triunghiul este:

a) dreptunghic; b)isoscel ; c)echilateral ; d)scalen ; e) obtuzunghic.


9/13


11. Limita siruluinn

nn

na20102009

201020081

1

+

+=

+

+

, n∈N, când ∞→n , este :

a) +∞ ; b) 1; c) 0; d) 2010; e)2009

2008.

12. Sirul ( )nna 11 −−= , n∈N, este :a) monoton crescator; b) monoton descrescator; c) marginit;

d) convergent; e) nemarginit

13.Fie A(1,0) , B(2,3) , C(-3,4). Aria triunghiului ABC este egala cu:a)4 b)6 ; c)10; d)7; e)8.

14. Se da relatia de recurenta : 00 =a si2

1 1++

= nn aa , n∈N*.

Atunci :

a) 14 −= nna ; b) 12 −= n

na ; c)n

na 21−= ;

d) nan = ; e) nnn

a2

= .

15. Fie A =

2412 . Atunci pentru n∈N * , A n este egala cu :

a)

−

−−

122

2212

22

22nn

nn

; b)

−

−−

12

212

24

42nn

nn

; c) An⋅4 ;

d)

nn

n

24

12; e) alt rezultat.

16. Fie o radacina cubica a unitatii( o radacina complexa a

ecuatiei x2

+x+1=0). Valoarea determinantului

222

222

222

)1(1)1(

1)1()1(

)1()1(1

ω ω

ω ω

ω ω

+−+

−++

++−

este :

a) 0; b) - 4; c) – 3 ; d) 1; e)2.


10/13


17. Fie A =

63

21. Atunci A + A

2 + A

3 + ... + A

n , n∈N

* , este

egala cu :

a) An

⋅−1

7 ; b) ( ) An

⋅−+

176

1 1; c) ( ) A

n

⋅−176

1;

d) ( ) An ⋅−17 ; e) n A.

18. Fie A(-2,0) , B(0,4) , C(1,m). Punctele A,B,C sunt coliniare dacam ia valoarea:a) 2 ; b) -2 ; c)6; d) -6; e)5.

19. Fie A =

−−

3264 si X(a) = I 2 + Aa ⋅ , ∈a R, I

=

1001

2 .

Calculati P = )2010(...)2()1( X X X ⋅⋅⋅ .


11/13


Matematica clasa a XII-a

1.Se da legea de compozitie 543* ++= y x y x . Atunci 3*5 este

egal cu :a) 20; b) 25; c) 30; d) 35; e) 34.

2. Daca legea de compozitie este xο y = xy y x ++ 22 , ( )∀ x, y ∈ R,solutia ecuatiei xο 5 = 39, este :

a) x = 1; b) x = 2; c) x = 3; d) x = 4; e) x =5.

3. Pe R se defineste legea de compozitie xTy = xy + x + y + λ ,

∈λ R. Legea “T” este asociativa pentru :

a) λ = 0; b) λ = 1; c) λ = 2; d) λ = –2; e) ∅∈λ .

4. Pentru legea x⊥ y = xy + x + y, (∀ ) x, y ∈ Z, elementelesimetrizabile sunt :

a) { };0 b) { }1 ; c) { }1;0 ; d) { }2;0 ; e) { }2;0 − .

5. Elementul neutru pentru legea y x y x ln* = , ( ) { }1,0,)( −∞∈∀ y x ,

este :

a) 1; b) 0; c) e

1; d) e; e) Nu exista.

6.Functia F:R →R , F(x)=x2011

+C , este o primitiva a functiei

f:R →R :

a)f(x)=2010x2009

; b)f(x)=2012

2012 x

; c)f(x)=lnx2010

;

d)f(x)=2011x2010

; e) f(x)=2010x2010

7. Numarul elementelor inversabile in multimea intregilor luiGauss,Z[i]={x+yi | x,y ∈Z}, este : a) 1; b) 2; c) 4; d) 0; e) 3.

8. Restul impartirii lui20103 la 13 este :

a) 0; b) 1; c) 3; d) 5; e) 12.

9. Numarul de numere prime cu 2010 si mai mici decat 2010, este :a) 520; b) 524; c) 528; d) 2010; e) 67.


12/13


10. Functia care are proprietatea lui Darboux,este:a)Functia cu discontinuitati de prima speta;

b)Functia f:I→R, ( )∀ J⊂ I , I, f(J) intervale;

c)Functia sgn:R →R , sgn(x)=

−

=

>

0,,1

0,0

0,1

x

x

x

;

d)Functia continua pe R;e)Functia care admite primitive pe R

11. Ordinul matricei A =

−

01

10 este :

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) ∞ .

12. Pentru x>0, integrala ∫ + )ln1(cos2 x x

dx , este egala cu:

a))ln1(sin

12

x++C ; b) ln(1+tgx)+C ; c) ln(tgx)+C ;

d) tg(1+lnx)+c ; e) tg(lnx) + C

13. Derivata functiei ln

2 xtg , x∈ (0 ;

2

π ) este :

a) xcos

1; b) sec

2

x; c) tg

2

x; d)

xsin

1; e) ctg

2

x.

14. (Z n* ,• ) este grup daca si numai daca:

a)n par ; b)n impar ; c)n prim ; d)n patrat perfect; e) n ∈N*

15.Functia f:R →R,care nu are primitive ,este:

a)f(x)=

<

≥

1,

1,2 x x

x x ; b)f(x)=min(e

x, e

x−) ; c)f(x)=

≤+

>

0,1

0,1

2

x x

x x

d) f(x)=1||

||

+ x

x; e)f(x)=

<

≥

0,

0,

x x

x x


13/13


16. Pe G=(0;1) se defineste12

*+−−

= y x xy

xy y x , G∈∀ y x, .

Fie G 1 =(0, ∞ ).

Este izomorfism de grupuri, functia : f: (G ,*) → (G 1 ,• ) :

a) f(x) =1−

x; b) f(x) =

x

x 1−; c) f(x) =

x

−

+

1

1;

d) f(x) =1+ x

x; e) f(x) =

x

x

−1

17. Pentru legea 622 +−−=∆ y x xy y x , ( )∀ x, y,a ( )∞∈ ,2 ,

orin aaa − ∆∆∆ ... , n∈N*

,este egal cu :

a)n

a ; b) an ⋅ ; c) ( )na 2− ;

d) ( ) 12 +− na ; e) ( ) 22 +− na .

18.Valoarea lui a ∈R,pentru care functia f:R →R ,

f(x)=

=

≠

0,

0,1

xa

x

x

arctg admite primitive pe R,este:

a)a=0 ; b)a=1 ; c)a=π

4 ; d) a=

2

π ; e)Nu exista

19.Demonstrati ca functia f:R →R ,f(x)=

=

≠−

0,0

0,1

cos1

sin2

x

x x x

x are

primitive. Determinati o primitiva a sa,F,cu proprietatea F(0)=2010

olimp.cunoasterii-9-12.6.1

Documents