o metodă de optimizare a managementului riscului folosind ...store.ectap.ro/articole/614_ro.pdf ·...

O metodă de optimizare a managementului riscului folosind derivativele

Ovidiu ŞONTEA Academia de Studii Economice, Bucureşti

[email protected] Ion STANCU

Academia de Studii Economice, Bucureşti [email protected]

Rezumat. Acest articol îşi propune să dea un procedeu ce poate fi folosit în managementul riscului financiar prin probleme de minimizare a măsurii riscului (VaR) folosind produse financiare derivate, opţiuni şi obligaţiuni. Această problemă de optimizare a fost formulată în situaţia de hedging al unui portofoliu format dintr-un activ şi o opţiune put având ca suport acest activ, respectiv, o obligaţiune şi o opţiune având ca suport această obligaţiune. În prima problemă de optimizare vom obţine raţia de acoperire a preţului optimal de exercitare a opţiunii care este de fapt costul relative la valoarea opţiunii. În a doua problem de optimizarea am obţinut preţul optim de exercitare pentru o opţiune put care are ca suport o obligaţiune.

Cuvinte-cheie: opţiune; obligaţiune; managementul riscului.

Cod JEL: G32. Cod REL: 11B.

Economie teoretică şi aplicată Volumul XVIII (2011), No. 7(560), pp. 64-75


65

Introducere În articolul de faţă propun un procedeu ce poate fi folosit în

managementul riscului financiar prin probleme de optimizare a măsurii riscului (VaR) folosind produse financiare derivate. Problemele de minim pe care le-am formulat au fost luate într-o situaţie de hedging al unui portofoliu format dintr-un activ şi o opţiune put având ca suport acest activ, respectiv, o obligaţiune şi o opţiune având ca suport această obligaţiune.

Motivaţiile pentru gestionarea riscurilor nu sunt conduse de mărimea riscului de piaţă al firmei, ci mai degrabă de magnitudinea la risc. Mai precis, este probabilitatea şi amploarea pierderilor potenţiale care le determină dorinţa speculativă, în special în cazul de hedging motivat de costurile de finanţare externe şi dificultăţile financiare. Un instrument pentru măsurarea riscului este Value-at-Risk. VaR este o estimare a probabilităţii şi dimensiunea potenţialului de pierdere ce poate fi aşteptat într-o anumită perioadă de timp. Voi oferi o abordare analitică prin probleme de optim de gestionare a riscurilor într-un cadru care se bazează pe două ipoteze cheie. În primul rând, criteriul principal al măsurării riscului este VaR. În al doilea rând, strategia de acoperire implică folosirea de instrumente financiare derivate. Problema este de a găsi o o strategie folosind opţiunile care minimizează VaR (dat unui maxim de cheltuieli pentru acoperire), prin determinarea unui compromis optim între opţiunile put care au capacitatea de a reduce nivelul VaR şi costul iniţial al acestor opţiuni. Analiza este efectuată folosind formula Black-Scholes, prin urmare, este mai bine adaptată la problema de acoperire a expunerii faţă de ratele de schimb, acţiuni.

O abordare a acestui subiect este realizată şi de Dong Hyun Ahn în articolul Optimal risk management using options, The Journal of Finance no. 1, 1999. În acest articol se prezintă o abordare analitică a managementului de risc optimal plecând de la presupunerea că instituţiile financiare doresc să-şi minimizeze Value-at-Risk folosind opţiunile. Aici se arată că cel mai important factor este distribuţia condiţionată a expunerii activului suport, prin urmare, preţul de exercitare optim este foarte sensibil la mărimea relativă a driftului.

Plecând de la definiţia VaR, Ahn foloseşte măsura riscului ca fiind ,

unde ,

iar c(.) este punctul de separare a celor două regiuni ale distribuţiei cumulative normal standard. Această relaţie va fi folosită şi în acest articol.

Ovidiu Şontea, Ion Stancu

66

Problemă de minim în cazul unui portofoliu format dintr-un activ şi o opţiune put Vom considera mai întâi un activ financiar care verifică o ecuaţie clasică

, unde reprezintă trendul, reprezintă volatilitatea activului, iar este mişcare browniană.

Pentru o operaţiune de acoperire vom folosi o opţiune put definită astfel

, unde reprezintă perioada contractului, K este preţul de exercitare, iar r rata dobânzii.

Evident, preţul opţiunii este dat de modelul Black-Scholes

,

iar este funcţia de repartiţie a legii normale normate. O strategie de folosire a opţiunilor put este aceea de a lua poziţiile long

cu n opţiuni al căror preţ de exercitare , i = 1, ..., n astfel încât preţul total al strategiei să fie mai mic sau egal cu C fixat,

.

În plus, vom pune condiţia de neacoperire totală, adică . Având în vedere că trebuie observată expunerea la risc a activului pentru

următoarele perioade, va fi necesară caracterizarea măsurii riscului, VaR. Vom defini ca fiind pierderea cu a unei unităţi monetare relativ la expunerea unei instituţii (financiare) pentru a investi la momentul t într-un activ cu risc.

Această definiţie trebuie tradusă printr-o formulă, de aceea vom considera şi vom aplica lema Ito

tttt

tt

tt

t dzdtdzSSdtS

SS

SdY σσμσσμ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 2222 2

111211

.


67

Adică

, m=ln τσμ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ 2

21

tS ,

şi putem spune că pentru o poziţie fără acoperire avem ,

unde ,

iar c(.) este punctul de separare a celor două regiuni ale distribuţiei cumulative normal standard.

Observăm că al doilea termen al formulei VaR poate fi interpretat ca

speranţa câştigului activului la nivelul de . Pentru a uşura calculul o să presupunem că opţiunea put va fi „în bani”,

astfel obţinem valoarea viitoare a activului ce va fi acoperit, τ

ττr

ttt ehPhKShV −+−= ++ )1(

. Putem, acum, formula o problemă de optimizare

,

, ceea ce înseamnă că se doreşte minimizarea VaR, folosind poziţii long cu opţiuni put şi restricţii ale costului de hedging.

Aşa cum se procedează de cele mai multe ori, pentru a putea trage câteva

concluzii pe care ulterior le vom putea generaliza, eventual, vom considera problema de mai sus cu o singură poziţie long pe o opţiune put. Astfel, vom putea rescrie problema de minim

Dacă folosim restricţia de cost a acoperirii, vom obţine

.


68

Putem rescrie

ceea ce ne conduce la

(*)

Se observă că este independentă de alegerea lui C, iar K optim

este determinat în funcţie de cash-flow-ul activului şi acoperirea este ajustată în funcţie de costul acoperirii. VaR este funcţie liniară în raport cu cheltuielile cu acoperirea, deci fiecare unitare monetară adăugată generează o reducere de acelaşi nivel în VaR.

Din ultima relaţie, putem deduce că minimizarea VaR este acelaşi lucru cu maximizarea diferenţei dintre preţul de exercitare şi nivelul al câştigurilor neacoperite relative la preţul opţiunii put.

Intuitiv, putem spune că funcţia obiectiv a problemei de optimizare poate fi interpretată ca rata dintre profitul acoperirii şi costul acestei acoperiri. Mai mult, dacă preţul de exercitare al opţiunii va descreşte vom acoperii o porţiune mai mare din distribuţie, însă opţiune va deveni mai scumpă.

Problema de optimizare (*) cere o condiţie de maxim

= 0,

adică

.

De aici

ultima relaţie conduce la

mai mult


69

.

Putem observa că datorită inegalităţii existenţa soluţiei este

asigurată doar pentru . Obţinem, mai departe

ceea ce înseamnă că am obţinut raţia de acoperire a preţului optimal de exercitare a opţiunii, care este costul relativ la valoarea opţiunii.

Observăm că dacă 1~ h , atunci

vom considera 1~ =h şi deci ).(KPC = Voi exemplifica cele spuse mai sus pentru un caz în care

%5,2,05,0,15,0,10,0,100 ===== ασμ rSt .

Pentru aceste valori se obţine ..6,87~ muK = şi se poate observa că valoarea opţiunii este cu 12,4% out-of-the-money. În cazul în care nu efectuăm vreun fel de acoperire la risc, valoarea VaR este 237 u.m., pe când cu ajutorul hedging-ului valoarea se reduce la 2,11 u.m. Din cele spuse mai sus se observă că în acest caz VaR este funcţie liniară în raport cu cheltuielile cu acoperirea la risc, astfel la fiecare u.m. cheltuită se va reduce VaR cu 7,2 u.m.

În figura de mai jos prezentăm variaţia VaR şi VaR optim, calculate după cele spuse mai sus plecând de la datele de mai sus pentru rata, h, subunitară.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85

VaRVaRoptim


70

VaR-VaRoptim

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85

VaR-VaRoptim

În cazul unor costuri C1 = 0,2, C2 = 0,3, C3 = 0,5 şi pentru datele de mai

sus am calculat VaR şi am comparat cele trei rezultate, reprezentarea acestora fiind făcută în figurile următoare:

0

5

10

15

20

25

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80

VaR1VaR2VaR3


71

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

H1H2H3

0

5

10

15

20

25

30

103

101 99 97 95 93 91 89 87 85 83 81

VaR1VaR2VaR3

Problemă de minim în cazul unui portofoliu format dintr-un activ şi o obligaţiune

Vom încerca în continuare să procedăm asemănător folosind de data aceasta bonduri.

Considerăm că avem la dispoziţie la un moment t=0 , un bond zero-cupon pe care-l putem vinde la momentul T .

În situaţia în care rata dobânzii va creşte, neacoperirea unui portofoliu poate duce la pierderi, de aceea putem decide să facem o acoperire de nivel maxim C. Această acoperire se poate face cumpărând o opţiune put ce are ca suport o obligaţiune, aşa că, în cazul unei puternice descreşteri a preţului bondului, opţiunea put poate acoperii pierderi majore. Rămâne de stabilit


72

alegerea preţului de exercitare, acesta putând fi ales după minimizarea VaR la un preţ de acoperire C.

Să presupunem că avem la dispoziţie un bond P(0,S) cu principalul N=1 şi maturitatea la momentul S şi vom acoperi acest bond cu un procent h ( al unei opţiuni put cu preţul de exercitare K la data T .

Preţul obligaţiunii este dat de ,

unde rata cu parametrii independenţi de ea, . Vom considera, aşa cum se face de obicei, portofoliului acoperit format

din obligaţiunea P şi opţiunea BP, iar valoarea acestuia la momentul T este

În cazul în care opţiunea termină contractul „în bani”, cazul cel mai rău,

cel care ne interesează, valoarea portofoliului va fi

Putem exprima valoarea pierderilor ca fiind

în cazul în care opţiunea este “în bani”.

Dacă notăm

, unde este distribuţia cumulativă a r(T).

Cum măsura riscului o putem considera aşa cum am mai subliniat în cele

spuse în prima parte,

=.

Funcţia L este inversabilă şi strict crescătoare, ceea ce conduce la

.


73

Considerând egalitatea duală avem

Din relaţiile de mai sus putem scrie

). Asemănător situaţiei tratate în prima parte a acestui articol, vom formula

o problemă de minim

.

Considerăm lagrangeianul de multiplicator

şi punem condiţiile Kuhn-Tucker

.

Deducem că

.

Se observă că preţul optim de exercitare este independent de costul de

acoperire C, ceea ce înseamnă că VaR este funcţie liniară de h:

*)),(*),,,0((

),(),0()()1(),(

)1(),(,

1)(

1)(

KeSTAKSTBPh

eSTASPLVaRTr

Tr

FSTB

FSTBT

−++

+−=−−

−−

−

−

α

αα .


74

Cum funcţia este descrescătoare, din figura de mai sus, va rezulta

1*),,,0( <∂∂ KST

XBP

şi *),,,0(),(* )1(),(

1)( KSTBPeSTAK TrFSTB >− −−

− α . Din ultima relaţie observăm că preţul de exercitare optimal K* este mai

mare decât maximul VaR, adică

*)1(),( 1 )(),( KeSTA TrFSTB


75

Bibliografie

Ahn, Dong-Hyun, Boudoukh, J. Richardson, M., Whitelaw, R., „Optimal risk management

using options”, The Journal of Finance, no. 1, 1999 Gregoriu, N.G. (2007). Advances in Risk Management, Palgrave Macmillan Kwok, Yue-Kuen (2000). Mathematical Models of Financial Derivatives, Springer Stancu, I. (2007). Finanțe, Editura Economică, Bucureşti Stulz, R. (1998). Derivatives, Financial Engineering, and Risk Management, South-Western

College Publishing Whaley, R., Derivatives, Markets, Valuation, and Risk Management, John Wiley & Sons Wilmott, P. (1996). The Mathematics of Financial Derivatives, University of Cambridge

o metodă de optimizare a managementului riscului folosind ...store.ectap.ro/articole/614_ro.pdf ·...

Documents