nyquist - politehnica timişoara · prof. dr. ing. toma l. dragomir, teoria sistemelor i -...

Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I - 2013/2014 141

3. Construcţia caracteristicilor Bode Din punct de vedere practic se disting două 2 situaţii: -cazul când sunt necesare construcţii exacte ale caracteristicilor Bode, -cazul când sunt suficiente construcţii aproximative ale caracteristicilor Bode.

Construcţia caracteristicilor Bode se poate face exact numai prin puncte. Mediul Matlab permite calculul şi reprezentarea grafică a hodografului Nyquist şi a caracteris-ticilor de pulsaţie ale sistemelor lineare.

Astfel, calculul celor două componente P şi Q din (3.45) se poate face cu funcţia nyquist folosind instrucţiunea

[P,Q]=nyquist(num,den,omega), în care num şi den definesc, prin vectori de coeficienţi, numitorul, respectiv numără-torul funcţiei de transfer H(s), iar

omega=logspace(d1,d2,N); este domeniul pulsaţiilor pe care se calculează P şi Q, ω d1 d210 ,10 , discretizat la

scară logaritmică prin N puncte echidistante.

Calculul caracteristicilor Bode se poate face folosind funcţia bode prin instrucţiuni de forma

[Am,fi]=bode(num,den,omega);

unde Am = F1(lg) şi fi = F2(lg) şi convertind apoi raportul Am al amplitudinilor în dB:

HdB=20*log10(Am).

În Fig. 113 sunt reprezentate caracteristi-cile Bode obţinute pe această cale pentru un sistem cu f.d.t.

)15s()10s()1s(1800)s(H

.

Vom observa notarea axelor logaritmice ca în Fig. 111 jos, precum şi notarea or-donatelor. Abscisa este o axă logaritmică notată prin valorile lui , din decadă în decadă (decada este intervalul dintre două pulsaţii aflate în raportul 1:10). Ordonata caracteristicii amplitudine-pulsaţie este notată din 20 în 20 de decibeli, iar ordonata caracteristicii fază-pulsaţie este notată în grade (sau radiani).

Totodată sunt de remarcat două trăsături ale caracteristicilor Bode:

i) La pulsaţii mari caracteristicile Bode au un aspect monoton descrescător. El redă caracterul inerţial al sistemului;

ii) La pulsaţii mari, panta caracteristicii amplitudine-pulsaţie şi asimptota orizon-tală a caracteristicii fază pulsaţie sunt egale cu dec/dB20 , respectiv 090 , unde reprezintă excesul polilor faţă de zerouri din expresia lui H(s).

Fig. 113. Exemplu de caracteristici Bode


În continuare ne referim la cea de a doua situaţie pentru care, de regulă, se foloseşte metoda grafo-analitică. Principiul de construcţie este cel al construcției modulare (jocul de lego) în sensul realizării unei construcţii complexe prin combinarea unui număr limitat de tipuri de module (piese):

Caracteristicile Bode ale unui sistem se obţin prin compunerea unor „piese” reprezentate de caracteristicile Bode ale unor elemente de transfer tipizate (v. §.2.8) identificate în descompunerea serială a sistemului dat. Compunerea se realizează prin însumarea, punct cu punct, a caracteristicilor Bode ale elementelor componente.

În continuare se prezintă argumentarea acestei afirmaţii.

La început considerăm conexiunea a două subsisteme (Fig. 114). Apoi generalizăm rezultatul pentru mai multe subsisteme (Fig. 115).

Astfel, pentru conexiunea serială din Fig. 114 avem )s(H)s(H)s(H 21 , respectiv

)j(H)j(H)j(H 21 . (3.56)

Întrucât )j(Hargj)j(Hargj)j(Hargj e)j(H)j(H,e)j(H)j(H,e)j(H)j(H 212211 ,

prin înlocuire în (3.56) obţinem egalităţile

2H1HH

dB2dB1dB

21

21 HHH

)j(Harg)j(Harg)j(Harg

)j(H)j(H)j(H (3.57)

Similar, structura cu p subsisteme de tip SISO din Fig. 115, are funcţia de transfer

p

1ii )s(H)s(H , respectiv funcţia răspuns la pulsaţie H(jω) =

p

1ii )j(H .

Fig. 115. Structură cu p sisteme liniare înseriate.

Rescriind această egalitate sub forma:

|H(jω)|ejargH(iω) =

p

i

)j(Hargji e)j(H

1

,

rezultă:

p

1ii

p

1ii

)j(Harg)j(Harg

|)j(H||)j(H| sau

p

1iHiH

dB

p

1iidB |H||H|

(3.58)

Deci, caracteristicile Bode ale unei conexiuni serie se obţin prin însumarea punct cu punct a caracteristicilor Bode ale subsistemelor înseriate.

Reciproc, acest rezultat poate fi folosit în următoarea idee (principiul construcţiei aproximative):

Considerăm că avem un sistem a cărui f.d.t. H(s) este o expresie raţională. Atunci, caracteristicile Bode ale sistemului se obţin parcurgând următoarele etape:

i) Descompunem f.d.t. H(s) în factori corespunzător formei canonice:

H1 H2

u y

Fig. 114. Structură cu două sisteme liniare înseriate.


H(s)= qsK

)1sT()1s'T(

i

j

)1s''T2s''T()1s'''T2s'''T(

kk22

k

ll22

l .e-Tm s (3.59)

ii) Interpretăm rezultatul ca funcţie de transfer a unei conexiuni serie în care avem câte un element de transfer pentru fiecare factor din (3.59) (aceste elemente de transfer sunt piesele jocului de lego);

iii) Se reprezintă caracteristicile Bode ale tuturor acestor factori: c.a-p1) pe o diagramă, iar c.f-p pe altă diagramă;

iv) Se determină caracteristicile Bode ale sistemului însumând punct cu punct caracteristicile reprezentate în fiecare dintre cele două diagrame.

Problema reprezentării grafice poate fi simplificată folosind noţiunea de element de transfer invers.

Se numeşte element de transfer invers al unui sistemului cu f.d.t. H(s) un sistem

a cărui f.d.t. este )s(H

1 .

Simplificarea se bazează pe faptul că două elemente de transfer inverse au caracteristicile Bode simetrice în raport cu axa ωlg (axa logaritmică a pulsaţiei)2. De exemplu, caracteristicile Bode ale unui ET-PD sunt simetrice în raport cu axa ω, faţă de caracteristicile Bode ale ET-PT1 corespunzător, iar caracteristicile Bode ale unui ET-PD2 sunt simetrice în raport cu axa ωlg faţă de caracteristica ET-PT2 corespunzător 3.

În continuare se trec în revistă ET utilizate cel mai des pentru trasarea caracteristicilor Bode ale sistemelor pe baza descompunerii (4.10) şi a metodei de mai sus.

(Pentru fiecare ET se indică: denumirea, f.d.t., uneori detalii de calcul, aplicaţii, urmând ca în spaţiile libere cititorul să traseze caracteristicile Bode.) 1. ET-P Deoarece K)s(H avem:

0)j(HargK|)j(H|

0

20

H

dBdB |H|Klg|H|

.

Rezultă reprezentarea grafică din Fig. 116.

2. ET-I În acest caz s1)s(H , deci

H(jω) = j1 = -

1j = 21

je .

Ca urmare:

|H| = 1

|H|dB = -20lgω = -20ωlg,

Fig. 116. Caracteristicile Bode ale ET-P.

1) c.a-p = caracteristică amplitudine-pulsaţie. c.f-p = caracteristică fază-pulsaţie. 2 Acest lucru rezultă din (3.57) având în vedere în vedere că produsul funcţiilor de transfer a două elemente de transfer inverse este egal cu 1, adică cu un număr complex al cărui modul exprimat în decibeli este egal cu 0 şi al cărui argument este egal cu 0. Ca urmare, membrul stâng din ambele relaţii (3.57) este nul. 3) V. Dragomir, T. L., Teoria Sistemelor - Aplicaţii 2, Ed. Politehnica, 2008. (v. Explicaţiile din culegerea de probleme).


arg H = -2 φH = -

2 .

Caracteristicile Bode au aspectul din Fig. 117. Panta c.a-p este

dec/dBd

Hd

g

dB 20 )(

)(

.

3. ET-D s)s(H 4. ET-Tm se)s(H

je)j(H 0H1)j(H dB ,

lglg

H )j(Harg 1010

5. ET-PT1 1Ts

K)s(H

H(jω) = )T(jarctg2)T(jarctg2

e)T(1

1

e)T(1

1Tj1

1

.

Deci, |H|=2)T(1

1

iar arg H = -arctg ωT.

Modulul |H| se poate aproxima astfel:

|H|≈

;1Tdaca,T

1;1Tdaca,1

(3.60)

Se introduce, cu denumirea de pulsaţie de frângere, notaţia:

Fig. 117. Caracteristicile Bode ale ET-I


ω0 = T1 , (3.61)

Prin aproximare, |H| devine:

|H|≈

;daca,

;daca,

00

01 |H|dB ≈

00

0

200

daca),(;daca,

lglg.

Ultima expresie conduce la reprezentarea grafică din partea de sus a Fig. 118. Observăm că în urma aproximării c.a-p se reduce la o linie frântă alcătuită din două semidrepte: una orizontală, alta cu panta de dB/dec20 . Frângerea se face pentru pulsația ω = ω0. Ca urmare, pentru trasa-rea caracteristicii este suficient să cunoș-tem coordonatele punctului de frângere.

Caracteristica astfel obținută se numește caracteristică amplitudine-pulsație simplifi-cată. Caracteristeristica exactă este o linie continuă situată sub caracteristica exactă, având semidreptele caracteristicii exacte ca asimptote. Distanța cea mai mare dintre cele două caracteristici este în dreptul pulsației de frângere și măsoară 3 dB.

Pentru c.f-p avem:

0

arctgTarctgH .

Ţinând seamă de domeniul de valori al funcţiei arctg x rezultă reprezentarea grafică din partea de jos a aceleiaşi figuri.

Exemplul 1: Să se determine caracteristicile Bode ale cuadri-polului din Fig. 119 pentru cazul când R = 10 kΩ şi C = 0,01 F. Soluţie: Cuadripolul are MM-II RCy(1)(t)+y(t)=u(t), rspectiv

f.d.t. H(s) =1RCs

1

. Sistemul are constanta de timp T = RC

= 104 10-2 10-6 = 10-4sec = 0,1msec. In consecinţă pulsatia de frangere este ω0 = 14 sec10

T1 .

6. ET-PD )sT1(K)s(H D Caracteristicile Bode pentru acest caz se pot obține observând că elementeul de transfer invers este de tip PT1.

Fig. 118. Caracteristicile Bode ale ET-PT1.

Fig. 119. Cuadripol RS


Exemplul 2. Să se reprezinte caracteristicile Bode ale ET-PDT1 cu f.d.t. sT1sT1K)s(H D

.

Pentru simplitate adoptăm K=1.

Soluţie: Trasarea caracteristicilor Bode pentru ET-PDT1 constituie o aplicaţie la cele prezentate până aici. Pe baza descom-punerii f.d.t. în factori, sub forma

sT11s)T(1H(s) D

, elementului de

transfer i se poate asocia schema bloc din Fig. 120.

Se disting 2 cazuri :

TD > T ET cu anticipare-întârziere (lead-lag)

T > TD ET cu întârziere anticipare (lag-lead)

Exemplul 3. Să se construiască caracteristicile Bode ale unui sistem cu f.d.t.

sss)s(H

31010 2

.

(http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/LPSA/Bode/BodeExamples.html)

Soluţie: Se rescrie f.d.t. sub forma 1)10s(

13s

1s3

100

1)3ss(

110s

31010H(s)

1 . Ei îi

corespunde o conexiune serie a unui ET-P, unui ET-I, unui ET-PT1 și unui ET-PD. Se obţin caracteristicile Bode din Fig. 121.

u sT1 D

y

sT11

Fig. 120. Descompunere unui ET-PDT1 într-o conexiune serie a unui ET-PD cu un ET-PT1.


Fig. 121. Caracteristicile Bode ale sistemului de ordinul II din exemplul 3.

7. ET-PT2 are f.d.t. 1Ts2sT

K)s(H 22

sau 2nn

2

2n

s2sK)s(H

. Pulsația natu-

rală și constanta de timp sunt legate

prin relaţia T1

n . Amortizarea joa-

că rol de parametru. Ca urmare, spre deosebire de cazurile anterioare nu mai avem o singură caracteristică ci o fami-lie de caracteristici corespunzătoare diferitelor valori ale lui (figura din dreapta).

Caracteristicile Bode sunt redate în Fig. 122. În partea de sus apar c.a-p iar în partea de jos c.f-p. În ambele cazuri în abscisă s-a considerat valoarea normată a

pulsației lgn

lgˆ

. Caroiajul vertical corespunde lui lg = ..., 1, 2, ..., 10, 20, ...

Pentru o valoare foarte mică a amortizării în c.a-p apare un vârf de rezonanţă, cu atât mai pronunţat cu cât valoarea lui este mai redusă.

Fig. 122. Caracteristicile Bode ale ET-PT2.


Figurile 123 și 124 detaliază cele două familiile de caracteristici.

Fig. 123. Caracteristicile amplitudine-pulsație ale ET-PT2. Pulsația ωd este pulsația corespunzătoare

vârfului de rezonanță.

Fig. 124. Caracteristicile fază-pulsație ale ET-PT2.

În abscisă sunt indicate valorile raportului ω/ωn. (Deci: 0.1 înseamnă ω/ωn=0.1, adică ω = 0.1ωn etc.).

8. ET-DT2 În acest caz 1Ts2sTH(s) 22 . Se observă că este vorba despre elementul de transfer invers al celui de la punctul 7.

Caracteristicile Bode sunt în principiu simetrice în raport cu axa lgn

faţă de cele de

la punctul 7.

Dacă analizăm caracteristicile Bode ale elementelor de transfer raţionale prezentate anterior la punctele 1 - 4, 6 - 8 şi dacă notăm cu δ diferenţa dintre numărul de poli şi numărul de zerouri (δ = np - nz este aşa-numitul exces de poli), constatăm că toate caracteristicile amplitudine-pulsaţie tind asimptotic către o asimptotă cu panta egală cu –20δ dB/dec şi că toate caracteristicile fază-pulsaţie tind asimptotic către o asimptotă

orizontală situată la nivelul rad2

. Aceste constatări sunt valabile la modul general

pentru partea raţională a f.d.t. (3.59). Cititorul poate verifica acest lucru în cazul exem-plului 3, pentru care δ = 1.


4. Tipuri de probleme care folosesc caracteristici Bode.

1. Filtre

Transmiterea, generarea sau prelucrarea de semnale este afectată în general de perturbații. Pentru prelucrarea semnalelor afectate de perturbaţii se interpun, în aval de receptor filtre. Filtrele sunt sisteme destinate prelucrării semnalelor de intrare astfel încât semnalele de la ieșirea lor să reţină numai o parte din componentele semnalului de intrare (sau din spectrul semnalului de intrare). Cu ajutorul filtrelor:

i) pot fi eliminate componentele parazite ale semnalului de intrare, atunci când acesta este afectat din anumite cauze de perturbaţii para-zite, reţinându-se semnalul util (semnalul purtător de informaţie);

ii) pot fi selectate componente din-tr-o bandă îngustă din semnalul de intrare necesare pentru prelu-crări ulterioare (filtre selective) sau dintr-o bandă largă (filtre trece-jos, - trece bandă sau –trece-sus); componentele din afara plajei fiind rejectate.

Principalul mod de caracterizare al filtrelor îl reprezintă f.d.t. şi caracte-risticile Bode asociate.

Ca exemplu, ne referim la trei filtre de ordin 2 care apar frecvent în apli-caţii. C.a-p. ale acestora sunt repre-zentate în Fig. 125. De obicei amorti-

zarea lor are valoarea F 22

. Pulsa-

ţia F este pulsaţia proprie a filtrului.

F.d.t. ale celor trei filtre sunt:

a) Filtrul trece-jos cu f.d.t.

121

22

sTsT)s(H

FFFFTJ

sau 22

2

2 FFF

FFTJ

ss)s(H

b) Filtrul trece-bandă cu f.d.t.

22 2 FFF

FFTB

sss)s(H

c) Filtrul trece-sus cu f.d.t.

FFFFTS

sss)s(H

22

2.

Fig. 125. C.a-p ale unor filtre de ordinul II


2. Definirea unor indicatori de calitate ai sistemelor cu ajutorul caracteristicilor Bode

În tehnică, pentru evaluarea diverselor aparate destinate prelucrării de semnale se utilizează mărimi denumite indicatori de calitate. În numeroase cazuri se folosesc și indicatori definiţi pe baza caracteristicilor Bode ale aparatelor.

De regulă se consideră că un sistem realizează o atenuare semnificativă a semnalului

aplicat la intrare atunci când amplificarea sa verifică relația 22H . Aceasta înseam-

nă dBHlgH dBdB 32220 . În acest context pe c.a-p a unui sistem se definesc

două mărimi: banda de pulsaţie şi pulsaţia de bandă (Fig. 126). Banda de pulsaţie este notată cu b şi reprezintă domeniul de valori ale lui pentru care | |dBH dB3 .

Banda de pulsaţie este mărginită superior de valoarea b numită pulsaţie de bandă.

Fig. 126. Indicatori de calitate ai sistemelor definiți cu ajutorul c.a-p.

Figura evidenţiază şi posibilitatea producerii unor procese rezonante. Ele se manifestă faţă de componentele sinusoidale ale semnalului de intrare de pulsaţii apropiate de r , pe care le amplifică foarte mult.

Banda de pulsaţii, pulsaţia de bandă şi dBr )j(H sunt considerate indicatori de calitate ai sistemelor. De regulă se cere ca primele două să aibă valori cât mai mari, iar cea de a treia să tindă spre valoarea 0 dB.

3. Utilizarea caracteristicilor Bode pentru evaluarea și asigurarea calității buclelor de reglare automată

Într-o primă aproximare o structură de reglare au-tomată poate fi redusă la schema bloc din Fig. 127a, adică la un sistem cu reacţie unitară negati-vă. )s(H~ este f.d.t. a sistemului deschis (Fig. 122b). Această schemă stă la baza dezvoltării principale-lor rezultate din domeniul reglajului automat, bunăoară, a celui mai important criteriu de stabi-litate, datorat lui Nyquist. În continuare detaliem doar două aspecte:

a) Definirea indicatorilor utilizați pentru evalua-rea calității sistemului de reglare.

Presupunem că sistemul deschis are caracteris-ticile Bode din Fig. 128. Cu ajutorul lor se definesc următoarele mărimi:


t - pulsaţia de trecere (sau de tăiere) reprezentând valoarea lui pentru care c.a-p traversează axa g , adică 1)j(H t .

rez - rezerva de fază (margine de fază) )j( tH~rez (3.62)

dB

)j(H~ - rezerva de amplitudine (margine de amplitudine) reprezentând valoa-

rea modulului dB

)j(H~ pentru 1sec .

Fig. 128. Indicatori de calitate ai sistemelor de reglare definiți cu ajutorul

caracteristicilor Bode ale sistemului deschis.

Aceste mărimi pot fi folosite ca indicatori de calitate ai sistemelor de reglare automată.

De exemplu, în cazul în care în vecinătatea pulsaţiei de trecere t panta caracteristicii

dBH~ este de cca. dec/dB20 , valoarea lui t este o măsură aproximativă pentru durata

proceselor tranzitorii ale sistemului închis. Raţionamentul este următorul: În cazul sistemelor cu reacţie unitară negativă caracteristica amplitudine-pulsaţie a sistemului închis poate fi aproximată, în primă instanţă sub forma:

tdB

t

dBdB pentru,)j(H~

pentru,dB

)j(H~)j(H~)j(H

0

1.

Întrucât în vecinătatea pulsaţiei de trecere t panta caracteristicii dB

H~ este de

cca. dec/dB20 vom putea spune că în primă aproximaţie sistemul în circuit

închis se comportă ca şi un ET-PT1 cu constanta de timp t

1

şi amplificare K = 1.

Răspunsul la semnal treaptă unitară a unui astfel de sistem, în condiţii iniţiale nule, este )e1(K)t(y tt . (v. relația (2.44))


Practic, acest răspuns se stabilizează după cca. t

4

secunde (v. fig. 48).

Această durată este considerată pe baza analizei modale ca durată maximă de răspuns tranzitoriu a sistemului (denumită în acest caz „timp de reglare”).

b) Principiul proiectării buclelor de reglare cu ajutorul caracteristicilor Bode ale siste-mului deschis.

In domeniul reglajului automat sunt dezvoltate procedee de proiectare a comportării sistemului de reglare (sistemul în circuit închis) bazate pe folosirea caracteristicilor Bode ale sistemului deschis. Esenţa acestor metode este următoarea:

Se consideră un sistem de reglare cu structura din Fig. 129. În figură apar doar două blocuri: procesul cu f.d.t. HP(s) și regulatorul cu f.d.t. HR(s). F.d.t. HP(s) și cerințele impuse sistemului de reglare se cunosc.

Fig. 129. Structură de reglare cu reacție după mărimea reglată.

Există metode prin care cerinţele pe care trebuie să le îndeplinească sistemul închis (sistemul de reglare) se pot transpune pe caracteristicile Bode ale sistemului deschis. Fie

dBcH~ şi cH~

caracteristicile Bode astfel configurate. Le

denumim caracteristici dorite.

Potrivit Fig. 129 avem

dBPdBRdBHHH~ şi PHRHH ~ . (3.63)

Impunem sistemului deschis real, caracteristicile dorite, adică egalităţile

dBc

dBH~H~ şi cH~H~ . (3.64)

Întrucât caracteristicile Bode ale procesului condus se cunosc, din (3.63) și (3.64) se pot calcula caracteristicile Bode ale regulatorului:

dBPdBc

dBR HH~H , respectiv PcR HH~H . (3.65)

Metodele de proiectare care folosesc acest principiu, fac uz de numeroase alte conside-rente de fineţe, cum ar fi verificarea condiţiei de realizabilitate fizică, corecția locală şi rejecţia perturbaţiilor.

nyquist - politehnica timişoara · prof. dr. ing. toma l. dragomir, teoria sistemelor i -...

Documents