NUMERE ZECIMALENumerele zecimale ca fraciiNotaia zecimal reprezint o cale mai scurt de a scrie anumite tipuri de fracii i anume acele fracii care au numitorii puteri ale lui 10 (de aici i numele lor de numere zecimale). De ex., considerm numrul2.345Scriind sistematic acest numr obinem

Transformarea numerelor zecimale n fraciiDeoarece toi numitorii sunt puteri ale lui 10, este simplu s gsim cel mai mic numitor comun: el este cea mai mare putere a lui 10 care apare. n acest exemplu, este 1000 i gsim

Aceasta sugereaz o regul general de transformare a numerelor zecimale n fracii: Scriem toate cifrele la numrtor, iar la numitor punem numitorul care corespunde ultimei cifre zecimale (sau 1 urmat de cte un 0 pentru fiecare zecimal a numrului)n numrul 2.345, ultima zecimal corespunde miimilor, deci vom avea 2345 la numrtor i 1000 la numitor.Desigur, va trebui s simplificm fracia pentru a oine o fracie ireductibil. n acest caz

Fracii periodicetim c 1/3=0.3333333... dar cum gsim fracia 1/3 din 0.3333....? Acest numr zecimal nu are o ultim zecimal, deci nu putem aplica regula de mai sus. Din fericire un simplu 'truc' rezolv dilema. Dac avem o singur cifr care se repetPunem cifra respectiv la numrtor, iar la numitor punem 9.Deci, n acest caz cifra care se repet este 3 i vom avea 3/9 care simplificat devine 1/3 i am rezolvat problema.Dac avem la partea zecimal un grup de cifre care se repet, Plasm acest grup la numrtor, iar la numitor punem cte un 9 pentru fiecare cifr a numrtorului.De ex., n numrul zecimal

observm c grupul 15 se repet, deci punem numrtorul 15 pe numitorul 99 i gsim

oAtenie: Aceste reguli se aplic numai dac partea ntreg este 0. Dac avem de ex., 2.33333..., va trebui s considerm acest numr ca suma dintre partea ntreg i partea fracionar, transformndu-le n parte n fracii.oNumerele iraionale, casau nu au parte periodic i nu pot fi scrise ca fracii. Putei, n schimb, s considerai rotunjiri ale lor care pot fi transformate n fracii.De ce funcionez 'trucul'?S ncercm s nelegem regula de transformare prezentat mai sus. S lum chiar acel exemplu, numrul 0.33333... i s artm c el reprezint 1/3. Urmrii procedura prin care vom face acest lucru:Fiex=0.3333333...nmulind ambii termeni cu 10 obinem10x=3.33333...Remarcm c partea zecimal (.33333) a rmas aceeai. Mai mult, observm c 3.3333...=3+0.3333.., adic10x= 3+xAflm pex:

Aceast metod poate fi aplicat i pentru numere periodice care conin un grup periodic, acum nmulind ambii membri cu o putere a lui 10 care face ca grupul periodic s apar n faa virgulei. De ex., s presupunem c avem 0.345345345....Fiex=0.345345345....nmulim ambii membri cu 10001000x=345.345345345....Observm c membrul drept poate fi scris ca suma dintre un ntreg ixadic1000x=345+xAflmx:

Transformarea fraciilor n numere zecimaleCunoatem echivalentul zecimal pentru anumite fracii 'utilitare', de ex: 1/2=0.5, 3/4=0.75, etc. Dar cum ajungem la aceste numere? S ne amintim c linia de fracie indic o mprire. Pentru a transforma o fracie ntr-un numr zecimal, mprim numrtorul la numitor.De exemplu,

Putei face mprirea manual sau cu un calculator.Rotunjiri Privesc numai cifra din dreapta numrului. Cifra 5sau mai mare rotunjete n adaos pe cnd celelalte cifre rotunjesc n lips.RotunjiriDe ce 5,6,7,8,9 rotunjesc la numrul mai mare? Numrul 3.5 esteexactla mijlocul distanei dintre 3.0 i 4.0, aadar numerele mai mari ca 3.5 sunt mai apropiate de 4.0 decat de 3.0.Aceste rotunjiri la cel mai apropiat numr,dei sunt utile n simplificarea unor calcule pot crea probleme atunci cnd se aplic, de ex., unui mare numr de valori. nchipuii-v c aplicm aceste rotunjiri pentru cteva milioane de numere (de ex. preurilor unor produse livrate de o fabric) i vom constata c 'micile resturi', adunate n suma lor poate fi considerabil.Din acest motiv, s-au adoptat reguli auxiliare de rotunjire dar acestea privesc alte domenii, diferite de matematic.

Exemplu: Rotunjim 11.3826 la cea mai apropiat sutime.Solutie: Pe locul sutimilor avem cifra 8. Urmtoarea cifr (spre dreapta) este 2, care fiind mai mic dect 5 va genera o rutunjire 'n minus', adic 11.38.Exemplu: Rotunjim 11.3826 la cea mai apropiat miime.Solutie: Cifra miimilor este 2. La dreapta ei gsim 6, care fiind mai mare ca 5 va determina o rotunjime 'n adaos', adic 11.383.Probleme cu cifra 9.Dac cifra la care se face rotunjirea n adaos este 9, dup regula anterioar, n locul ei ar trebui s punem 10, care este prea mare pentru a ocupa un singur loc. Vom pune n locul lui 9 doar 0, cifra 1 'transportndu-se' la cifra din stnga.Exemplu: Rotunjim 3.49721 la cea mai apropiat sutime.Solutie: Locul sutimii este ocupat de cifra 9 . Cifra urmtoare este 7, deci rotunjim n adaos. Acest lucru transform pe 9 n 10, dar nu putem scrie numrul n forma 3.4(10). De aceea cifra 1 se adun la cifra din stnga, 4, obinnd 3.50. Se poate ntmpla ca naitea acelui 9 bucluca s gsim alt 9 care, mpreun cu cifra de transport va genera o nou cifr de transport care va trebui adunat la cifra anterioar.Exemplu:Rotunjim 75.69996217 la cea mai apropiat zecime de miime.Solutie: Locul n cauz este ocupat de 9 i n dreapta lui avem 6 care determin o rotunjire n adaos. Transfomnd pe 9 n 10, am avea:75.699(10)Desigur c nu vom scie aa, punem doar 0, cifra 1 migrnd spre stnga. Aici ea gsete alt 9care va deveni 10:75.69(10)0Facem aceeai 'micare':75.6(10)00Cifra 1 deplasndu-se spre stnga l gsete pe 6mpreuna cu care d cifra 7, n final gsind un rspuns acceptabil:75.7000Aritmetica numerelor zecimaleCu ajutorul unui calculator nu se pune problema cum efectum operaii simple cu numere zecimale, dar s vedem cum efectum aceste operaii fr calculator.Adunarea i scdereaPentru a aduna sau a scdea dou numere zecimale (neperiodice), cea mai simpl metod este s folosim 'metoda coloanelor'. Pentru aceasta aezm numerele unul sub altul aa nct virgulele s fie una sub alta, completnd eventual cu 0 locurile libere.Exemplu:5.46+11.2Va fi:

nmulireaPentru a nmuli dou numere zecimale, putei folosi metoda utilizat pentru nmulirea numerelor ntregi. Ignorai virgula i nmulii numerele ca numere ntregi dup care, la rezultat, punei virgula; rezultatul trebuie s aib dup virgul un numr de cifre egal cu numrul total de cifre de la partea zecimal a celor dou numere. n exemplul urmtor, primul factor are 2 cifre la partea zecimal, al doilea are o cifr, deci produsul trebuie s aib 2+1=3 cifre dup virgul.

mprireaPutei mpri dou numere zecimale utiliznd tehnica familiar(?) de mprire a numerelor ntregi. Pentru aceasta putem considera mprirea ca o fracie pe care o amplificm convenabil aa nct numitorul s devin numr ntreg. De ex.:

reprezint acelai numr cu fracia, care ese echivalent cu fracia, obinut prin amplificare cu 10. Aadar,care se efectueaz dup tehnica de mprire a numerelor ntregi, cu precizarea c atunci cnd ajungem la virgul, o ducem la ct: