numere rationale pozitive

8/13/2019 Numere Rationale Pozitive

1/16

82

4. Numere raionale pozitive

4.1. Determinarea unei fracii folosind divizibilitatea n mulimea numerelornaturale

Amintim rezultatele teoretice care vor fi necesare n rezolvarea problemelorprezentate la aceasttem:

O pereche de numere naturale a i b, cu 0b , scris sub formab

a se

numete fracie.Orice fracie reprezint un numr, care se numete numr fracionar. Vom

folosi cuvntul "fracie" i pentru a desemna un numr.

Fraciile se clasific astfel: subunitare )( ba< , echiunitare )( ba= isupraunitare )( ba> .

Dou fraciib

a i

d

c sunt echivalente i scriem

d

c

b

a= , dac cbda =

( Ndcba ,,, , )0, db . A amplifica o fracie cu un numr diferit de 0 nseamn a nmuli att

numrtorul ct i numitorul cu acel numr. A simplifica o fracie cu un numr diferit de 0 nseamn a mpri att

numrtorul ct i numitorul cu acel numr.Prin amplificarea i simplificarea unei fracii cu un numr se obine o fracie

echivalentcu fracia dat.O fracie

b

ase numete ireductibil, dac 1),.(.... =bacdmmc .

Vom prezenta cteva probleme care se rezolv folosind divizibilitatea nmulimea numerelor naturale legate de clasificarea fraciilor:

Model 1.Sse aflexiynumere naturale astfel nct:

a) fracia)2)(1(

6

+ yxsfie echiunitar

b) fracia)2)(1(

4

yxsfie supraunitar

c) fracia3

)2)(1( + yx sfie subunitar.

Soluie. a) O fracieb

a este echiunitar dac ba= ; deci fracia este

echiunitardac 6)2)(1( =+ yx . Rezultc 1+x i 2y sunt divizori naturali ailui 6, deci avem urmtoarele posibiliti:

62,11 ==+ yx , de unde 0=x i 8=y


2/16

83

32,21 ==+

yx , de unde 1=

x i 5=

y 22,31 ==+ yx , de unde 2=x i 4=y 12,61 ==+ yx , de unde 5=x i 3=y

b) Fraciab

a este supraunitar dac ba> , deci valorile posibile ale

produsului )2)(1( yx sunt 1, 2 i 3. Avem urmtoarele situaii:12,11 == yx , de unde 2=x i 3=y 22,11 == yx , de unde 2=x i 4=y 12,21 == yx , de unde 3=x i 3=y 32,11 == yx , de unde 2=x i 5=y

12,31 == yx , de unde 4=x i 3=y .

c) Fraciab

aeste subunitardac ba< , deci valorile posibile ale produsului

)2)(1( + yx sunt 0, 1 i 2. Avem urmtoarele situaii:12,11 ==+ yx , de unde 0=x i 3=y 22,11 ==+ yx , de unde 0=x i 4=y 12,21 ==+ yx , de unde 1=x i 3=y

1,02 += xy orice numr natural, de unde N= xy ,2 1+x nu poate fi 0 pentru Nx .

Alt tip de probleme care se rezolv folosind divizibilitatea n mulimeanumerelor naturale sunt legate de simplificarea fraciilor:

Model 2.Artai curmtoarele fracii se pot simplifica:

a) )(42

2

N+

+n

n

nn

b) )(18

110N

n

n

c)658765876587

341234123412

d)91

3...333155531

++++

e)30

79 4040

f) )(6532

63232122

111

N+

+++++

+++

nnnn

nnnnn


3/16

84

Soluie. a) Numrtorul se poate scrie )1( +nn . Produsul a dou numerenaturale consecutive este par. Numitorul se scrie )2(2 +n , deci este divizibil cu 2.

Fracia se poate simplifica cu 2.

b) Se observc{ 321

cifrencifren

n 9...9910...01110 == , pentru 1n , iar pentru 0=n ,

0110 =n , deci numrtorul se divide cu 9 pentru orice Nn ; fracia se simplificcu 9.

c) Numrtorul se divide cu 1234, iar numitorul se divide cu 8765; obinem

1000100018765

1000100011234

, deci fracia se poate simplifica cu 100010001.

d) Suma de la numrtor are (155-1):2+1 termeni, adic 78 termeni; 78 sedivide cu 3, deci se pot face grupe de cte 3 termeni, deoarece 3+3 3+35=273=3713, iar91=713. Numrtorul se scrie:

=+++++++++ )333(...)333()333( 1551531511197531

=+++++++= )333(3...)333(3273 531505316

)3...31(1373 1506 +++= . Fracia se simplificcu 713.

e) Se stabilete ultima cifr a numrului 4040 79 : 1)9( 40 =u i

1)7()7( 10440 == uu , deci 0)79( 4040 =u , numrtorul se divide cu 10, deci fraciase poate simplifica cu 10.

f) Se poate scrie 63253322

63233232222 +

++nnnn

nnnnnn

i n continuare

)6594(32

)632(32

+

++nn

nn

, adic6632

1132

nn

nn

, fracia se poate simplifica cu 1132 nn .

Probleme rezolvate

R4.1.1. Determinai cea mai mici cea mai mare fracie de forma46

31

ab

yxcare

se poate simplifica cu 36.

Soluie. Trebuie sse determine numerele de forma yx31 i 46ab divizibile

cu 36; 36=49, 4 i 9 sunt prime ntre ele. Avem 431 Myx i 931 Myx ; numerele carendeplinesc condiiile sunt 1332 i 1836. Iar, la numitor 446 Mab i 946 Mab . Numerelecare ndeplinesc condiiile sunt 6804, 6624, 6444, 6264, 6084 i 6984.

Cea mai micfracie care ndeplinete condiia ceruteste6984

1332, iar cea mai

mare fracie este6084

1836.


4/16

85

R4.1.2. Sse arate c

frac

ia:

nnnnnnn

nnnnnnnn

7734011211173

75452875232112

21212211262

+

+++++++

+++++++

se poate simplifica cu 2000 pentru orice Nn .Soluie. Pe baza proprietilor operaiilor cu puteri, avem:

)3401173117(1173

)75257252(752322

222622

+

++nnn

nnn

,

de unde rezult n urma efecturii calculelor fracia2000113

200052 22

nn

nn

, deci fracia se

poate simplifica cu 2000.

R4.1.3. a) Sse efectueze

9753

1098765432

33333

3333333333

++++

+++++++++

b) Dac 10032 3...333 ++++=A , sse arate cAse divide cu 12 i c

N+++++ 999753 33...333

A.

Soluie. a) Pentru a simplifica fracia se grupeaztermenii de la numrtor cte

5: )33333()33333( 1086429753 +++++++++ , de unde rezult

)31)(33333( 9753 +++++ , deci numrtorul este egal cu

4)33333(

9753 ++++ . Dupsimplificare se ob

ine 4.

b) Se observc 1233 2 =+ , deci cei 100 termeni ai lui Ase grupeazcte 2i se obine )3...331(12 9842 ++++=A , deciAse divide cu 12. Pentru a simplificafracia se grupeaztermenii de la numrtor cte 2:

)33(...)33()33()33( 1009965432 ++++++++ , de unde rezult

)31(3...)31(3)31(3)31(3 9952 ++++++++ sau )3...333(4 9953 ++++ .

Fracia se simplificcu 9953 3...333 ++++ . Dupsimplificare se obine 4.R4.1.4. Sse determine numerele naturale npentru care urmtoarele fracii s

fie numere naturale:

a)12

15

n; b)

1

5

+

+

n

n; c)

2

143

+

n

n; d)

23

32

+

+

n

n.

Soluie. a) Fracia12

15

neste numr natural dac 12 n este divizor natural

al lui 15, adic }15,5,3,1{12 n , de unde se obine }8,3,2,1{n .

b) Fracia1

5

+

+

n

nse poate scrie

1

41

+

++

n

n, adic

1

41

++

n. Problema se reduce

la 1+n este divizor natural al lui 4, deci }4,2,1{1+n , de unde }3,1,0{n .


5/16

86

c) Fracia 2143

+

nn se poate scrie 2 2063

+

nn , adic 2203 + n . Problema se

reduce la 2n este divizor natural al lui 20, deci }20,10,5,4,2,1{2n , de unde}22,12,7,6,4,3{n .

d) Dac23

32

+

+

n

n este numr natural, atunci i

23

323

+

+

n

n este natural. Avem

23

52

23

546

23

96

++=

+

++=

+

+

nn

n

n

neste natural cnd }5,1{23 +n , adicpentru 1=n .

R4.1.5. Sse determine numerele naturalepi qastfel nct

255

35 1=

++

pq

p

.

Soluie. Egalitatea din enun se mai poate scrie )55(235 1 pqp =++ . Toate

puterile cu exponent natural nenul ale lui 5 au ultima cifr5, 01+p , deci 35 1 ++p

are ultima cifr8. Rezultcultima cifra numrului )55(2 pq este 8 i innd contde relaia dat, 0=p i 1=q .

R4.1.6. S se determine perechile de numere naturale ),( yx , care verificegalitatea:

113 =+ xyxy .Soluie. Egalitatea dat se poate scrie 113)1( +=+ xxy , de unde

1113

++=

xxy sau

183+

+=x

y . Pentru caysfie numr natural, avem 81 Dx + , de

unde }7,3,1,0{x . Se deduce soluia problemei: (0,11), (1,7), (3,5), (7,4).

4.2. Fracii reductibile i fracii ireductibile

O fracieb

a, a, bnumere naturale, 0b este ireductibildaci ai bsunt

prime ntre ele.O fracie care nu este ireductibil, deci care se poate simplifica cu un numr

natural diferit de 0, se spune ceste reductibil(sau simplificabil).

Model.a) Sse arate cfracia3523

++

n

neste ireductibilpentru orice nnumr

natural.

b) Sse arate cfracia9

)2)(( 2 ++ nnneste reductibilpentru orice nnumr

natural.


6/16

87

Soluie. a) Fie d c.m.m.d.c. al numerelor 23 +n i 35 +n , deci dn M)23( + idn M)35( + . Conform proprietilor divizibilitii numerelor naturale dn M)23(5 + i

dn M)35(3 + , ceea ce este echivalent cu dn M)1015( + i dn M)915( + ; atunci ddivide

diferena lor, prin urmare dM1 i cum 1 are divizor numai pe 1, rezult 1=d . tim cdeste c.m.m.d.c. al numrtorului i numitorului, atunci acestea sunt prime ntre ele ifracia este ireductibil.

b) Numrtorul se scrie )2)(1( ++ nnn . Produsul a trei numere naturaleconsecutive se divide cu 6, deci fracia se poate simplifica cu 3.

Probleme rezolvate

R4.2.1. S se arate c fracia122...222

122...2222199819992000

2199920002001

++++++

++++++

n

n este

ireductibil, oricare ar fi Nn .Soluie. Fie dc.m.m.d.c. al numrtorului i numitorului, deci

dn M)122...222( 2199920002001 ++++++ i

dn M)122...222( 2199819992000 ++++++ .Atunci innd cont de proprietile divizibilitii:

dn M)122...222( 2199920002001 ++++++ i

dn M)122...222(2 2199819992000 ++++++ ,

de unde avem mai departe:dn M)122...222( 2199920002001 ++++++ i

dn M)222...222( 23199920002001 ++++++ ,

atunci i diferena lor se divide cu d, deci dM1 , rezult c 1=d . C.m.m.d.c. alnumrtorului i numitorului este 1, deci sunt prime ntre ele, fracia este ireductibil.

R4.2.2. Artai cfracia:

1501002...181221282642

1751253...2115314103753

++++

++++

este reductibil.

Soluie. Fracia se poate scrie:)2525...33221(642

)2525...33221(753

++++

++++, deci

fracia se poate simplifica cu 222 25...321 ++++ .

R4.2.3. Sse arate cfracia)54)(43(

97

++

+

nn

neste ireductibil, pentru orice

numr natural n.Soluie. Se aratc 43 +n i 54 +n sunt prime ntre ele; fie dc.m.m.d.c. al

numerelor 43 +n i 54 +n , deci dn M)43( + i dn M)54( + , de unde dn M)43(4 + i


7/16

88

dn M)54(3 + , deci dnn M)]54(3)43(4[ ++ , adic dM1 , de unde 1=d . C.m.m.d.c.al lui 43 +n i 54 +n este 1, deci ele sunt prime ntre ele. De aici rezult c5443 +++ nn , adic 97 +n i )54)(43( ++ nn sunt prime ntre ele, deci fracia

)54)(43(

97

++

+

nn

neste ireductibil.

R4.2.4. Aflai numerele naturale npentru care fracia72

53

+

+

n

neste reductibil,

apoi calculai suma primelor 2001 de numere astfel obinute, considerate n ordinecresctoare.

Soluie. Fie d c.m.m.d.c. al numerelor 53 +n i 72 +n , deci dn M)53( + i

dn M)72( + , de unde dn M)53(2 + i dn M)72(3 + , deci i diferena lor se divide cu d,dnn M)]106()216[( ++ , adic dM11 , rezult c 11=d (se cere ca fracia s fie

reductibil). Se poate scrie pn 1153 =+ i qn 1172 =+ , Np , *Nq , deci)(112 qpn = sau kn 112 = , Nk , de unde 211 += kn .

Numerele naturale pentru care fracia dat este reductibil sunt de forma211 += kn , Nk . Se cere suma primelor 2001 numere; avem

=++++++++ )2200011(...)2211()2111()2011(

=+

=++++= 40022

200120001120012)2000...21(11

2201500240022001100011 =+= .R4.2.5. S se arate c dac suma a dou fracii ireductibile este un numr

natural, atunci cele doufracii au acelai numitor.

Soluie. Fieb

ai

d

ccele doufracii ireductibile, unde 1),( =ba i

1),( =dc . Se d nd

c

b

a=+ , Nn , de unde nbdbcad =+ (1).

Din (1) rezultc )( anbdbc = , de unde dbc M)( , dar 1),( =dc , deci dbM (2).

Din (1) rezultc )( cndbad = , de unde bad M)( , dar 1),( =ba , deci bdM (3).

Din (2) i (3) rezultc db= .R4.2.6. Fie }5,4,3,2,1{ 20022002200220022002=A . S se arate c oricare ar fi

Ax , exist Azy , , xzy , astfel nct fraciazx

yx

+

+sfie reductibil.

Soluie. Dac 20021=x lum 20022=y i 20023=z , atunci 5)21( 20022002 =+u

i 0)31( 20022002 =+u , decizx

yx

+

+se simplificcu 5.


8/16

89

Dac2002

2=x lum2002

1=y i2002

4=z , atunci 5)( =+yxu i0)( =+zxu , deci

zx

yx

+

+se simplificcu 5.

Dac 20023=x lum 20021=y i 20024=z , atunci 0)( =+yxu i

5)( =+zxu , decizx

yx

+

+se simplificcu 5.

Dac 20024=x lum 20022=y i 20023=z , atunci 0)( =+yxu i

5)( =+zxu , decizx

yx

+

+se simplificcu 5.

Dac

2002

5=

x lum

2002

1=

y i

2002

3=

z , atunci 6)( =+yxu i

4)( =+zxu , decizx

yx

+

+se simplificcu 2.

4.3. Calculul unor sume

n programa colarse nvaadunarea numerelor fracionare (sau a numerelorraionale). n acest paragraf se va prezenta calculul unor sume finite care nu va fi fcutrespectnd algoritmul obinuit de la orele de clas.

Model.Sse calculeze10099

1

9998

1...

43

1

32

1

21

1

+

++

+

+

=S .

Soluie. Pentru a calcula aceastsumtrebuie sfolosim urmtoarea remarc:

1

11

)1(

1

+=

+ nnnn, *Nn . Suma datse scrie

+

++

+

+

=

100

1

99

1

99

1

98

1...

4

1

3

1

3

1

2

1

2

1

1

1S ,

iar dupefectuarea calculelor:100

11=S , adic

100

99=S .

Generalizare.nnnnn

11

)1(

1

)1)(2(

1...

43

1

32

1

21

1=

+

++

+

+

de unde se poate deduce c rezultatul unei astfel de sume este ntotdeauna un numrsubunitar.Observaie. Se poate aplica rezultatul obinut mai sus pentru calculul

urmtoarelor sume:

5

1

20

4

20

1

4

1

2019

1...

76

1

65

1

54

11 ===

++

+

+

=S

25

2

50

4

50

1

10

1

5049

1...

1312

1

1211

1

1110

12 ===

++

+

+

=S


9/16

90

=++++= 60595...2322522215212053S

=

++

+

+

=

6059

1...

2322

1

2221

1

2120

15

6

1

60

25

60

1

20

15 ==

=

Remarc. Dac numitorul fraciei nu este produsul a dou numere naturaleconsecutive, pentru a calcula suma trebuie stim c:

*,;11

)(N

+=

+ kn

knnknn

k

Vom folosi aceastremarcpentru a calcula suma

106101

5...

1611

5

116

5

61

5

++

+

+

=S .

Suma devine:

++

+

+

=

106

1

101

1...

16

1

11

1

11

1

6

1

6

1

1

1S ,


11=S , adic

106

105=S .

Observaii.Sse calculeze

3128

1

...107

1

74

1

41

1

++++=S .n acest caz nu putem aplica nici una din formulele de mai sus, pentru c la

numrtor nu este diferena celor doi factori de la numitorul fraciei. Atunci vomcalcula

3128

3...

107

3

74

3

41

33

++

+

+

=S ,

folosind formula *,;11

)(N

+=

+ kn

knnknn

ki vom avea:

++

+

+

=

31

1

28

1...

10

1

7

1

7

1

4

1

4

1

1

13 S ,

adic31

113 =S , deci

31

303 =S i de aici deducem

31

10=S .

Probleme rezolvateR4.3.1. Sse calculeze suma:

1998...321

1...

321

1

21

1

1

1

+++++

+++

++=S


10/16

91

Soluie. Calcul

m sumele de la numitori, folosind:

2

)1(...321 +

=++++ nn

n , Nn .

Vom avea mai departe:

2

199919981

...

2

431

2

321

1

1

++

+

+=S ,

efectund obinem:

19991998

2...

43

2

32

2

1

1

++

+

+=S ,

adic

++

+

+

=

199919981

...43

132

121

12S ,

deci

=

1999

112S rezult

1999

19982 =S ,

1999

3996=S .

R4.3.2. Sse compare:

19991997

1...

75

1

53

1

31

1

++

+

+

=a i

1999

10001=b .

Soluie. Calculm19991997

2...

75

2

53

2

31

22

++

+

+

=a , adic

1999112 =a sau

199919982 =a , de unde

1999999=a . Efectund diferena, rezultc

1999

999=b . Rezultc ba= .

R4.3.3. Sse calculeze suma:

20032000

1

20021999

1...

74

1

63

1

52

1

+

++

+

+

=S

Soluie. Avem

20032000

3

20021999

3

20011998

3...

85

3

74

3

63

3

52

33

+

+

++

+

+

+

=S ,

adic

+

++

+

+

+

=

2001

1

1998

1...

8

1

5

1

7

1

4

1

6

1

3

1

5

1

2

13 S

+

+

2003

1

2000

1

2002

1

1999

1,

iar dupefectuarea calculelor rezultc


11/16

92

++++= 2003120021200114131213

S ,

de unde

3

1

2003

1

2002

1

2001

1

36

13

++=S .

R4.3.4. Sse demonstreze c:

*,2

1...

2

1

1

1

2

1

12

1...

4

1

3

1

2

11 N++

++

+=

+++ n

nnnnn.

Remarc.Aceastegalitate poartnumele de "Identitatea lui Botez-Catalan".Soluie. Se poate scrie c

++++++=+++ nnnn 2112 1...41312112112 1...4131211

++++

n2

1...

6

1

4

1

2

12 .

Dupefectuarea calculelor obinem:

+

+++++=

+++nnnn 2

1

12

1...

4

1

3

1

2

11

2

1

12

1...

4

1

3

1

2

11

++++

n

1...

3

1

2

11 ,

adic:

nnnnn 21...

21

11

21

121...

41

31

211 ++

++

+=

+++ .

R4.3.5. Sse calculeze urmtoarele sume:

1098

2...

654

2

543

2

432

21

++

+

+

=S i

10987

3...

5432

3

4321

32

++

+

=S

Soluie. Suma 1S se poate scrie:

++

+

+

=

109

1

98

1...

65

1

54

1

54

1

43

1

43

1

32

11S ,

iar dupefectuarea calculelor devine:109

1

32

11

=S , adic

90

1

6

11 =S , deci

90

141=S sau 45

71=S .

Suma 2S se poate scrie:


12/16

93

++

+

= 1098 1987 1...543 1432 1432 1321 12

S ,


1

321

12

=S , adic

720

1

6

12 =S , deci

720

1192 =S .

Remarc. O alt categorie de exerciii de calcul al unor sume ce apar laconcursuri i olimpiade se bazeazpe reguli de calcul cu puteri n mulimea numerelornaturale. Aceste exerciii sunt de felul urmtor:

Sse calculeze:

a) *32 ,2

1...2

1

2

1

2

1N++++= nA n

b) *1032

,1

...111

N

++

+

+

= nn

n

n

n

n

n

n

nB

c) *32

,2

1...

2

1

2

1

2

1N= nC

n

d) *102

,1

...11

N

= nn

n

n

n

nD .

Soluie. a) Se aduc fraciile la acelai numitor i vom avea

n

nnn

A

2

12...222 321 +++++=

saun

n

A

2

12 = ,

innd cont c1

1...1

112

=+++++

+

a

aaaaa

nnn (din Capitolul 1, tema 1.4)

( ** , NN na ), suma puterilor consecutive ale unui numr natural.b) Pentru calculul luiBfolosim din nou scrierea fiecrui termen ca difereni

vom avea:

+

++

+

+

=

10998322

1111...

111111

nnnnnnnnnB ,

iar dupefectuarea calculelor10

11

n

B = sau10

10 1

n

nB

= .

4.4. Aflarea unei fracii dintr-un numr

Model.Mihai are de parcurs 30 km pnla o caban. El parcurge trei cincimidin distan cu bicicleta i restul drumului cu o main. Ci kilometri parcurge cu

bicicleta?Soluie. Pentru a nelege mai bine, apelm la un desen ajuttor, unde am

figurat drumul parcurs de Mihai i observm c:


13/16

94

10 km

5

5din drum reprezint30 km

5

1din drum reprezint30:5=6 km

5

3din drum reprezint63=18 km

Deci, Mihai a parcurs cu bicicleta 18 km.Pentru a afla o fracie dintr-un numr nmulim fracia cu acel numr.

b

adinAnseamn A

b

a

Remarc.Pentru a afla un numr cnd se tie o fracie din el procedmastfel:

dacb

adinxesteB, atunci

b

aBx :=

Probleme rezolvate

R4.4.1. Dourobinete pot umple mpreunun bazin n 16 ore. Dacrobinetelesunt deschise timp de 12 ore i se oprete primul atunci al doilea robinet va umple

bazinul singur n 20 ore. n ct timp ar umple bazinul fiecare robinet dac ar curgesingur?

Soluie. Daccele dourobinete pot umple mpreunbazinul n 16 ore, atunci

ntr-o or, mpreun, pot umple16

1din bazin. Cele dourobinete n 12 ore pot umple

16

12din bazin, adic

4

3din bazin. Restul, adic

4

1din bazin, va fi umplut de al doilea

robinet singur n 20 ore, deci al doilea robinet curgnd singur va umple bazinul ntr-un

timp de 4 ori mai mare, deci n 80 ore.Dac mpreuncele dourobinete umplu ntr-o or

16

1din bazin i al doilea

umple ntr-o or80

1din bazin, atunci primul robinet umple ntr-o or

80

1

16

1din


14/16

95

bazin, adic 201 din bazin. Atunci primul robinet va umple bazinul ntr-un timp de 20

de ori mai mare, adicn 20 de ore.Rspuns: Primul robinet poate umple bazinul n 20 de ore, curgnd singur, iar

al doilea n 80 de ore.R4.4.2. Dourobinete 1R i 2R umplu fiecare acelai bazin n 1n , respectiv

2n ore. Sse afle numerele naturale 1n i 2n , tiind cdacele curg mpreunumplu

bazinul n 12 ore.

Soluie. Robinetele 1R i 2R i 21 RR + umplu ntr-o or cte1

1

n,

2

1

n i

211

nn +din bazin i avem de rezolvat ecuaia:

12

111

21

=+nn

Evident 121n i 122n i notm 11 12 kn += , 22 12 kn += . Avem

12

1

12

1

12

1

21

=+

++ kk

.

Efectund calculele obinem)12)(12()1212(12 2112 kkkk ++=+++ ,

de unde 1443212242

21 ===kk . Numrul 1k poate fi luat oricare din divizorii lui14 n 53=15 moduri i 2k este restul pn ce produsul devine 144. Obinem pentru

),( 21 RR posibilitile ),( 21 kk egale cu: (1,144), (2,72), (3,48), (4,36), (6,24), (8,18),(9,16), (12,12). Dacnu conteaznumerotarea robinetelor obinem 8 soluii.

Observaie. Dac robinetele 1R i 2R umplu bazinul n n ore curgnd

mpreun, numrul soluiilor este numrul divizorilor lui 2n ( 221 nkk = ). Dack

kpppn = ...21 21 este descompunerea n factori primi a lui n, atunci numrul

soluiilor este )12)...(12)(12( 21 +++= kN (impar), iar dac nu conteaz

numerotarea robinetelor el este2

1'

+=

NN .

R4.4.3. Un pescar a prins un pete despre care spune: "Coada are 1 kg, capulcntrete ct coada i jumtate din trunchi, iar trunchiul ct capul i coada la un loc".Ct cntrete petele?

Soluie. Dactrunchiul cntrete ct capul i coada, adicct capul i 1 kg, iar

capul cntrete ct coada i2

1trunchi, rezultctrunchiul cntrete ct

2

1trunchi i


15/16

96

2 kg, deci 21 trunchi reprezint2 kg, adictrunchiul are 4 kg, de unde capul cntrete

3 kg. Petele cntrete 8 kg.R4.4.4. Pe piatra funerar a lui Diofant*: "Trectorule! Sub aceast piatr se

odihnesc osemintele lui Diofant, care a murit de btrnee. A asea parte a vieii lui adurat copilria, a dousprezecea adolescena, a aptea tinereea. Dupce s-a scurs nc

jumtate din via s-a nsurat, dup 5 ani soia i-a nscut un biat i cnd fiul lui amplinit 4 ani a murit." Ci ani a trit Diofant?

Soluie. Se poate afla ce parte din viaa lui Diofant reprezint ultimii 9 ani

trii. Pnnainte cu 9 ani de a muri a trit

+++

2

1

7

1

12

1

6

1din via, adic

28

25din

via, deci 9 ani reprezint283 din via, de unde Diofant a trit

283:9 , adic84 de

ani.R4.4.5. Ct mai este pnla satul urmtor? "Distana pnla satul din care vii

este o treime din distana de la el pnla satul n care te duci, iar dacmai mergi 2 kmvei ajunge la jumtatea distanei dintre ele". Ct i-a mai rmas de mers celui ce antrebat?

Soluie. Persoana a parcurs o treime din distana dintre cele dou sate; 2 kmreprezintdiferena dintre jumtate din aceastdistani o treime din ea, adic2 kmreprezinto esime din distan, rezultcdistana dintre cele dousate este de 12 km.Persoana a parcurs 4 km, deci i-a mai rmas de mers 8 km.

R4.4.6. Doi vecini vor scumpere o maincu 7200$. "D-mi31 din banii ti

i voi cumpra eu maina". "Mai bine d-mi tu4

3din banii ti i voi putea s-o cumpr

eu". Ci bani are fiecare?Soluie. Dacse noteazxiysumele celor doi vecini, avem

72004

3

3

1=+=+ yxyx . Din prima egalitate rezultc yx

3

2

4

1= , adic yx

3

8= i

nlocuind obinem 72003

1

3

8=+ yy , de unde 2400=y , iar 6400=x . Primul vecin

are 6400$, iar al doilea 2400$.R4.4.7. (Newton) Iarba pe o pune crete uniform i cu aceeai vitez. Se tiec70 de vaci consumaceastiarbn 24 de zile, iar 30 de vaci o consumn 60 dezile. Cte vaci consumaceastiarbn 96 de zile?

*Diofant a fost nvat grec din antichitate. n matematicnumele lui e legat de anumite ecuaiicu soluii n mulimea numerelor ntregi, numite ecuaii diofantice.


16/16

97

Soluie. O vac

consum

ntr-o zi o ra

ie. n primul caz 70 de vaci consum

n

24 zile 1680 raii, iar n al doilea caz 30 de vaci consumn 60 zile 1800 raii. O partedin iarbcrete n perioada punatului:1800-1680=120 de raii. 120 de raii reprezintcantitatea de iarbcare a crescut n 60-

24=36 zile. Iarba crete n medie3

10

36

120= raii pe zi.

Atunci, n 24 de zile cresc 803

1024 = raii, dar iniial punea coninea 1600

de raii. n 96 de zile cresc 480=320 raii i 1920 raii sunt consumate n 24 zile de 20de vaci.

R4.4.8. Cinci prieteni au participat mpreun la cumprarea unui obiect:

primul a participat cu jumtate din ct au dat ceilali; al doilea a participat cu o treimedin ct au contribuit ceilali; al treilea cu o ptrime din contribuia celorlali; al patruleacu o cincime din contribuia celorlali, iar al cincilea a participat cu 75000 lei. Care afost suma totali cu ct a participat fiecare?

Soluie. Dac primul prieten a contribuit cu jumtate din ct au dat ceilali,

rezultcprimul a contribuit cu3

1din sum. Analog, al doilea a contribuit cu

4

1din

sum, al treilea cu5

1din sum i al patrulea cu

6

1din sum. Partea din sum ce i

revine celui de al cincilea este

20

1

60

57

16

1

5

1

4

1

3

1

1 ==

+++ .

20

1din sumreprezint75000 lei. Suma totaleste 1500000 lei. Primul a contribuit

cu 500000 lei, al doilea cu 375000 lei, al treilea cu 300000 lei i al patrulea cu 250000lei.

R4.4.9. Doi arabi edeau sub un palmier i se pregteau smnnce, cnd uncltor a aprut i i-a rugat sia masa mpreun. Primul arab a scos un ulcior cu lapte,al doilea o pine i cltorul a scos 6 curmale. Dupce au consumat tot ce aveau nmod egal, cltorul le-a lsat 20 de monede. Ct a revenit fiecrui arab, dac4 ulcioarecu lapte costct 3 pini, iar un ulcior cu lapte costct 36 de curmale?

Soluie. Dacun ulcior cu lapte costct 36 de curmale, atunci 3 pini costct 436=144 curmale, deci o pine costct 48 curmale. Primul arab are echivalentul a36 curmale, iar al doilea a 48 curmale. n total cei trei au 90 curmale, deci fiecaremnncechivalentul a 30 curmale. Cltorul primete 6 curmale de la primul arab i18 curmale de la al doilea. Deci 20 monede reprezintcostul a 24 de curmale. Primul

primete 524

206 = monede, iar al doilea primete 15

24

2018 = monede.

numere rationale pozitive

Documents