navier stokes prezentare

Estimare a prioriın sistemul

Navier-Stokesstationar

Iulian Danciu

Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala

Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie

Estimare a priori ın sistemul Navier-Stokesstationar

Iulian Danciu

UVTMAGS

6 aprilie 2013



Iulian Danciu



1 Prezentarea generala a sistemului Navier-Stokesformulare variationala

2 Demonstrarea faptului ca sistemul (∗′) are solutie



Iulian Danciu



Sistemul Navier-Stokes. Forma generala.

Fie Ω un domeniu marginit ın RN cu frontiera Γ de clasa C1,f = (f1, f2, . . . , fN) ∈ L2 :=

(L2(Ω)

)N si constanta µ > 0.Consideram problema determinarii unui sistem de functiiu = (u1, . . . ,uN) si p definite pe Ω satisfacand:

(N − S)

−µ∆u + (u · ∇)u +∇p = f ın Ω,

div u = 0 ın Ω,

u|Γ = 0.

Remarca 1.1Sistemul (N − S) descrie miscarea unui fluid incompresibil vıscos- cu vıscozitatea µ, situat ın Ω si supus unei forte exterioare dedensitate volumica f . Se presupune ca miscarea este stationara,nu si lenta. Necunoscutele u si p reprezinta viteza, respectivpresiunea fluidului.



Iulian Danciu



1 Prezentarea generala a sistemului Navier-Stokesformulare variationala

2 Demonstrarea faptului ca sistemul (∗′) are solutie



Iulian Danciu



Formulare variationala

Explicitand termenul (u · ∇)u, avem:

(u·∇)u =

(u1

∂

∂x1+ . . .+ uN

∂

∂xN

)u1. . .uN

=

u1∂u1∂x1

+ . . .+ un∂u1∂xN

. . .

u1∂uN∂x1

+ . . .+ uN∂uN∂xn

−µ∆ui +N∑

j=1

uj∂ui

∂xj+∂p∂xi

= fi , (1.1)

N∑i=1

∂ui

∂xi= 0, (1.2)

ui |Γ = 0, (1.3)

pentru i = 1,N.



Iulian Danciu



Pentru a face formularea variationala presupunem ca u si p suntsolutii regulate ale sistemului (N − S), consideramv = (v1, . . . , vN) ∈ (D(Ω))N arbitrar ales, ınmultim ın ?? cu vi ,integram pe Ω si ınsumand de la 1 la N obtinem:

µ

N∑i=1

∫Ω

∇ui∇vi +N∑

i,j=1

∫Ω

uj∂u1

∂xjvi −

∫Ω

pdiv(v) =N∑

i=1

∫Ω

fivi . (1.4)

Notam:

b(u, v ,w) =N∑

i,j=1

∫Ω

uj∂vi

∂xjwi (1.5)

Daca div(u) = 0 atunci 1.4 devine

µ

N∑i=1

∫Ω

∇ui∇vi + b(u,u, v) =N∑

i=1

∫Ω

fivi . (1.6)



Iulian Danciu



Din 1.6 suntem condusi la problema:

(∗)

µ((u, v)) + b(u,u, v) = (f , v) (∀)v ∈ Vu ∈ V .

numita formulare variationala a sistemului (N-S).



Iulian Danciu



Exemplul de studiat

Exemplul 2.1

In cele ce urmeaza propunem spre rezolvare (adica determinareanaturii punctelor de echilibru ale sistemului) un sistem provenit dinsistemul FitzHugh-Nagumo:

ut = uxx − f (u)− v , vt = ε(u − γ · v)

unde f (u) = u(u − 1)(u − a) si 0 < a <12

constanta; ε > 0 siγ > 0. Exemplul initial a mai fost modelat si de matematicieniichinezi: Wenliang Gao si Jinghua Wang. Modelul initial poate fiscris si sub forma urmatoare:

x = zy = b(x − dy)

z = x(x − 1)(x − a) + y + cz.



Iulian Danciu



Exemplul de studiat

Exemplul 2.2

Asadar exemplul de studiat dupa transformarile facute este:dxdt = ydydt = x(x − 1)(x − a)

,a ∈ R (2.1)



Iulian Danciu



Bibliografie

Abraham R., Marsden J. E., Ratiu T., Manifolds, TensorAnalysis, and Applications, Springer-Verlag, New York, 1988.

Andrica D., Casu I. N., Grupuri Lie, Aplicatia exponentiala simecanica geometrica, Presa Universitara Clujeana,Cluj-Napoca, 2008.

Hirsch M. W., Smale Stephen, Differential Equations,Dynamical Systems, and Linear Algebra, Academic Press,San Diego, California, 1974.

Ivan G., Bazele algebrei liniare si aplicatii, Editura MirtonTimisoara, Timisoara, 1996.



Iulian Danciu



Bibliografie

Marsden J. E., Ratiu T., Introduction to Mechanics andSymmetry, Springer-Verlag, New York, 1990. 4.

Mos I., An Introduction to Geometric Mechanics, ClujUniversity Press, Cluj-Napoca, 2005.

Puta M., Elemente de mecanica Poisson, Mirton, Timisoara,2005.

Gao W., Wang J., Existence of wavefronts and impulsesFitzHugh-Nagumo equations, Nonlinear Analysys 57 (2004)667-676,www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0362546X04000768.



Iulian Danciu



Sfarsit

VA MULTUMESC

navier stokes prezentare

Documents