Download - Navier Stokes Prezentare
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Estimare a priori ın sistemul Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
UVTMAGS
6 aprilie 2013
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
1 Prezentarea generala a sistemului Navier-Stokesformulare variationala
2 Demonstrarea faptului ca sistemul (∗′) are solutie
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Sistemul Navier-Stokes. Forma generala.
Fie Ω un domeniu marginit ın RN cu frontiera Γ de clasa C1,f = (f1, f2, . . . , fN) ∈ L2 :=
(L2(Ω)
)N si constanta µ > 0.Consideram problema determinarii unui sistem de functiiu = (u1, . . . ,uN) si p definite pe Ω satisfacand:
(N − S)
−µ∆u + (u · ∇)u +∇p = f ın Ω,
div u = 0 ın Ω,
u|Γ = 0.
Remarca 1.1Sistemul (N − S) descrie miscarea unui fluid incompresibil vıscos- cu vıscozitatea µ, situat ın Ω si supus unei forte exterioare dedensitate volumica f . Se presupune ca miscarea este stationara,nu si lenta. Necunoscutele u si p reprezinta viteza, respectivpresiunea fluidului.
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
1 Prezentarea generala a sistemului Navier-Stokesformulare variationala
2 Demonstrarea faptului ca sistemul (∗′) are solutie
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Formulare variationala
Explicitand termenul (u · ∇)u, avem:
(u·∇)u =
(u1
∂
∂x1+ . . .+ uN
∂
∂xN
)u1. . .uN
=
u1∂u1∂x1
+ . . .+ un∂u1∂xN
. . .
u1∂uN∂x1
+ . . .+ uN∂uN∂xn
−µ∆ui +N∑
j=1
uj∂ui
∂xj+∂p∂xi
= fi , (1.1)
N∑i=1
∂ui
∂xi= 0, (1.2)
ui |Γ = 0, (1.3)
pentru i = 1,N.
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Pentru a face formularea variationala presupunem ca u si p suntsolutii regulate ale sistemului (N − S), consideramv = (v1, . . . , vN) ∈ (D(Ω))N arbitrar ales, ınmultim ın ?? cu vi ,integram pe Ω si ınsumand de la 1 la N obtinem:
µ
N∑i=1
∫Ω
∇ui∇vi +N∑
i,j=1
∫Ω
uj∂u1
∂xjvi −
∫Ω
pdiv(v) =N∑
i=1
∫Ω
fivi . (1.4)
Notam:
b(u, v ,w) =N∑
i,j=1
∫Ω
uj∂vi
∂xjwi (1.5)
Daca div(u) = 0 atunci 1.4 devine
µ
N∑i=1
∫Ω
∇ui∇vi + b(u,u, v) =N∑
i=1
∫Ω
fivi . (1.6)
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Din 1.6 suntem condusi la problema:
(∗)
µ((u, v)) + b(u,u, v) = (f , v) (∀)v ∈ Vu ∈ V .
numita formulare variationala a sistemului (N-S).
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Exemplul de studiat
Exemplul 2.1
In cele ce urmeaza propunem spre rezolvare (adica determinareanaturii punctelor de echilibru ale sistemului) un sistem provenit dinsistemul FitzHugh-Nagumo:
ut = uxx − f (u)− v , vt = ε(u − γ · v)
unde f (u) = u(u − 1)(u − a) si 0 < a <12
constanta; ε > 0 siγ > 0. Exemplul initial a mai fost modelat si de matematicieniichinezi: Wenliang Gao si Jinghua Wang. Modelul initial poate fiscris si sub forma urmatoare:
x = zy = b(x − dy)
z = x(x − 1)(x − a) + y + cz.
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Exemplul de studiat
Exemplul 2.2
Asadar exemplul de studiat dupa transformarile facute este:dxdt = ydydt = x(x − 1)(x − a)
,a ∈ R (2.1)
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Bibliografie
Abraham R., Marsden J. E., Ratiu T., Manifolds, TensorAnalysis, and Applications, Springer-Verlag, New York, 1988.
Andrica D., Casu I. N., Grupuri Lie, Aplicatia exponentiala simecanica geometrica, Presa Universitara Clujeana,Cluj-Napoca, 2008.
Hirsch M. W., Smale Stephen, Differential Equations,Dynamical Systems, and Linear Algebra, Academic Press,San Diego, California, 1974.
Ivan G., Bazele algebrei liniare si aplicatii, Editura MirtonTimisoara, Timisoara, 1996.
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Bibliografie
Marsden J. E., Ratiu T., Introduction to Mechanics andSymmetry, Springer-Verlag, New York, 1990. 4.
Mos I., An Introduction to Geometric Mechanics, ClujUniversity Press, Cluj-Napoca, 2005.
Puta M., Elemente de mecanica Poisson, Mirton, Timisoara,2005.
Gao W., Wang J., Existence of wavefronts and impulsesFitzHugh-Nagumo equations, Nonlinear Analysys 57 (2004)667-676,www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0362546X04000768.
Estimare a prioriın sistemul
Navier-Stokesstationar
Iulian Danciu
Prezentareagenerala asistemuluiNavier-Stokesformularevariationala
Demonstrareafaptului casistemul (∗′) aresolutie
Sfarsit
VA MULTUMESC