1

Cr u

ue

M

Modelarea proceselor de conversie a marimilor electrice in marimi mecanice

Modelul matematic al motorului de c. c. cu excitatie separata Se considera un motor de c. c. la care se poate modifica atat tensiunea indusului cat si tensiunea de excitatie, cu schema fizica de mai jos: unde:

u tensiunea la bornele indusului; i curentul rotoric; eu tensiunea de excitatie;

ei curentul de excitatie; R, L parametrii (rezistenta si inductanta) circuitului rotoric; eR , eL parametrii circuitului de excitatie;

- viteza de rotatie; aC cuplul activ;

rC cuplul rezistent;

vC cuplul datorat frecarii vascoase;

vK coeficient de frecare vascoasa; J momentul de inertie.

Acest obiect fizic poate fi modelat printr-un obiect orientat. Comportarea motorului este descrisa de urmatorul sistem de ecuatii diferentiale:

edtdiLRiu ++= (1)

dtdi

LiRu eeeee += (2) ( )eif= (3) iKCa = 2 (4)

vra KdtdJCC += (5)

= eKe (6)

i

KV

J RL

u(t)

Re, Le

ie

ue

Cr

Ca

2

Acest sistem de ecuatii reprezinta modelul matematic neliniar al motorului de curent continuu (neliniaritate introdusa atat de (3) cat si de (4)). In ipoteza ca punctul de functionare se gaseste in zona liniara (nu se ajunge la saturatie), atunci relatia (3) se aproximeaza cu: eiK = 1 (7)

Motorul de curent continuu poate fi comandat atat prin indus (u variabil, eu constant) cat si prin excitatie ( eu variabil, u constant). a) Modelul matematic al motorului de curent continuu comandat prin indus Eliminand , aC si e din relatiile de mai sus, se obtine:

uLL

KiLR

dtdi e += 1 (8)

ee

ee

ee uL1i

LR

dtdi += (9)

rve CJJK

iiJKK

dtd = 121 (10)

In conditia eu = constant ei = constant, notand Km = K 2 K1 ei se obtine modelul matematic urmator:

)t(uL

)t(LK)t(i

LR

dt)t(di e += 1 (11)

rvm C

J)t(

JK)t(i

JK

dt)t(d = 1 (12)

Daca alegem: ),i()x,x(xT == 21 ca vector de stare, u(t) = u marime de intrare, p = rC perturbatia, y = marimea de iesire, obtinem modelul matematic sub forma ecuatiilor de stare:

=

++=xcy

pbubAxxT

21& (13),(14)

unde:

=

=

=

=101

0

0

121 c;

Jb;Lb;

JK

JK

LK

LR

Avm

e

Modelul matematic al motorului de curent continuu sub forma ecuatiilor (11) si (12) fiind un

model liniarizat putem aplica in conditii initiale nule transformarea Laplace si obtinem

)s(UL

)s(LK)s(I

LR)s(Is e += 1 (15)

)(1)()()( sCJ

sJKsI

JKss rvm = (16)

Schema bloc corespunzatoare acestor ecuatii este urmatoarea:

3

Pentru determinarea modelului matematic sub forma functiei de transfer (atat in raport cu

comanda cat si in raport cu perturbatia) putem aplica principiul superpozitiei:

0== ru C)s(U)s()s(H

0== u)s(C)s()s(H

rp

Considerand C r = 0 din (16) scoatem I(s):

m

vKJ

JKs)s()s(I

+= (17)

si inlocuind in (15) obtinem:

)s(UL

)s(LK)s(

KJ

JKs

LRs e

m

v =+

+

+ 1 (18)

)s(UJL

KJLKK

JK

LRs

JK

LRs)s( mmevv =

++

++ 2 (19) de unde:

222 2 nnmevv

m

u ssK

JK

LK

JK

LRs

JK

LRs

JLK

)s(H ++=++

++= (20)

unde:

LJKK

JK

LR

JK

LR

JK

LR

JK

LK

JK

LR;

JLKK

mev

vv

n

mevn

m

+

+=+=

+==

22

2

Procedand similar in raport cu perturbatia rezulta

22 2

1

0 nnrp ss

LRs

Ju)s(C

)s()s(H

++

+=== (21)

4

Cu acestea, modelul matematic al motorului de curent continuu comandat prin indus (sub forma functiilor de transfer) devine:

b) Motorul de curent continuu comandat prin circuitul de excitatie

La prima vedere, aceasta metoda de comanda a motorului de curent continuu pare foarte indicata, deoarece puterea ceruta de circuitul de comanda este mult mai redusa decat cea din circuitul indusului, reprezentand cateva procente fata de cea din urma. Totusi, pentru o tensiune de alimentare a circuitului indusului u = constant, comanda prin circuitul de excitatie conduce la caracteristici incompatibile cu cerintele sistemelor automate si ca urmare utilizarea sa va fi limitata.

Modelul matematic al convertorului electromecanic

Acest dispozitiv se foloseste in foarte multe sisteme de reglare pentru convertirea unei marimi electrice intr-o marime mecanica, de regula a unei tensiuni (curent ) intr-o deplasare (forta). Constructiv, convertorul electromecanic se compune dintr-o armatura fixa si una mobila. Armatura mobila este reprezentata de regula de o bobina in care se stabileste un curent determinat de tensiunea aplicata la bornele bobinei, tensiunea fiind marimea de intrare in convertor. Armatura fixa este reprezentata in majoritatea cazurilor de un magnet permanent. In unele cazuri poate fi reprezentata de alta bobina.

Acest dispozitiv poate fi realizat si in constructie inversa: armatura fixa reprezentata de bobina parcursa de curent, armatura mobila de magnetul permanent. Sa ne imaginam urmatoarea constructie a acestui dispozitiv:

In bobina se stabileste un curent, deci apare un flux care interactioneaza cu fluxul magnetului permanent dand nastere unei forte de interactiune.

edtdiLRiu ++= (1)

dtdyKe e = (2) iKF F = (3)

Kydtdyf

dtydmF ++= 2

2 (4)

5

Cele patru ecuatii reprezinta modelul matematic al dispozitivului. Daca se considera ca punctul de functionare se gaseste in zona de dependenta liniara flux-curent, atunci acest model este liniar. Schema bloc cu functii de transfer este urmatoarea:

Alegand vectorul de stare de forma

obtinem modelul matematic sub forma ecuatiilor de stare:

=+=

+==

xcyLux

LRx

LKx

xmKx

mfx

mKx

xx

T

e

F

323

3212

21

&

&

&

(5)

Notand: [ ]001100

0

010==

=

= T

e

F c;uu;

L

b;

LR

LK

mK

mf

mKA

avem ( ) ( ) ( )( )

=+=

txcy

tubtxAtxT

& (6)

Aplicand transformarea Laplace (in conditii initiale nule) relatiilor (1 4) obtinem modelul

matematic sub forma functiei de transfer

++=

++=)s(Y)Ksfsm()s(IK

)s(YsK)s(IsL)s(IR)s(U

F

e2 (7)

( )

( )( ) sKKKfsmsLsR K)s(U )s(Y)s(H)s(YsK

KKs

Kfs

KmsLR)s(U

eF

F

eFFF

++++==

+

+++=

2

2

( ) ( ) RKKKRfLKsLfRmsLmsK)s(H

eF

F

++++++= 23 (8)

( ) ( )i,y,yx,x,xxT &== 321