2-marimi fizice

35
A. Mărimi fizice A.1. Mărimi fizice scalare A.2. Mărimi fizice vectoriale A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor A.4. Scăderea vectorilor A.5. Inmulțirea unui vector cu un scalar A.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonate A.7. Dependența funcțională a marimilor fizice scalare A.8. Funcția putere și radical A.9. Funcții trigonometrice A.10. Derivata unei funcții A.11. Funcția exponentială și logaritmică A.12. Numere complexe A.13. Formula lui Euler A.14. Derivarea funcțiilor compuse A.15. Funcții vectoriale A.16. Aplicații: a. Compunerea vectorilor perpendiculari b. Compunerea vectorilor în cazul general

Upload: vudat

Post on 02-Feb-2017

458 views

Category:

Documents


11 download

TRANSCRIPT

Page 1: 2-Marimi fizice

A. Mărimi fiziceA.1. Mărimi fizice scalare A.2. Mărimi fizice vectorialeA.3. Adunarea (compunerea) vectorilorA.4. Scăderea vectorilorA.5. Inmulțirea unui vector cu un scalarA.6. Descompunerea vectorilor. Axe de coordonateA.7. Dependența funcțională a marimilor fizice scalareA.8. Funcția putere și radicalA.9. Funcții trigonometriceA.10. Derivata unei funcțiiA.11. Funcția exponentială și logaritmicăA.12. Numere complexeA.13. Formula lui EulerA.14. Derivarea funcțiilor compuseA.15. Funcții vectorialeA.16. Aplicații:

a. Compunerea vectorilor perpendicularib. Compunerea vectorilor în cazul general

Page 2: 2-Marimi fizice

Mărimile fizice

sunt de doua feluri:1. Mărimi scalare2. Mărimi vectoriale

Page 3: 2-Marimi fizice

A.1. Mărimi fizice scalare

sunt caracterizate de valoare (pozitivă sau negativă)

Exemple: timpul, masa, volumul, densitatea, presiunea, energia, puterea

Page 4: 2-Marimi fizice

A.2. Mărimi fizice vectoriale

sunt caracterizate de: valoare, direcție, sensExemple: viteza, accelerația, forțaVectorii se notează cu litere îngrosate: v sau cu litere

obișnuite cu sageată desupra: v

Vectorul este reprezentat de o sageată

Sensul este spre dreapta sau stânga pe această direcție

Direcția sa este determinată de dreapta suport

Page 5: 2-Marimi fizice

A.3. Adunarea (compunerea) vectorilor a + b = c

a

b

c

se face dupa regula paralelogramului:suma a doi vectori este egală cu diagonala paralelogramului având drept laturi cei doi vectori

Page 6: 2-Marimi fizice

Regula de adunare a triunghiuluiVectorii se pozitionează astfel încat originea celui

de-al doilea să coincidă cu capatul primului.Suma vectorilor este egală cu vectorul care unește

originea primului cu capatul celui de-al al doilea

a

b

c

Page 7: 2-Marimi fizice

A.4. Scăderea vectorilora + b = c → b = c - a

b

a

c

este operația inversă adunării și se face astfel încâtvectorul diferentă c să unească capetele celor doi,cu sensul dinspre scăzător (a) spre descăzut (c)

Page 8: 2-Marimi fizice

A.5. Inmulțirea unui vectorcu un scalar

este operația de multiplicare a vectorului de λ ori

b = a λ

a b

Dacă λ˃0 vectorul rezultant are același sensDacă λ˂0 vectorul rezultant are sens opus

Page 9: 2-Marimi fizice

Vectorii se pot descompune în plan dupa doua componente.Un caz important este descompunereadupa direcțiile unui sistem de axede coordonate perpendiculare (X,Y),numit și sistem cartezien:

a=ax+ay

=axex+ayey

Aici am definit vectorii unitari:ex ey

drept vectorii pe directiile X si Ycare au marimea 1

a

axex

ey

A.6. Descompunerea vectorilor

este operația inversa compunerii

X

Y

ay

Rezulta ca un vector în planeste echivalent cu a defini opereche de marimi scalare (a x,a y)numite componentele vectoruluidupa axele X si Y

Page 10: 2-Marimi fizice

A.7. Dependenta funcționalăa mărimilor fizice scalare

Doua mărimi fizice scalare pot depinde una de cealaltă,definind astfel o funcție de o variabilă.

Reprezentare grafică a funcției într-un sistem decoordonate perpendiculare este dată de mulțimea

punctelor reprezentate de curba: y=f(x)

Funcția inversă: x=f-1(y): este curba simetrica față de prima bisectoare: y=xdeoarece rolul celor doua axe se schimbă reciproc

y=x

Page 11: 2-Marimi fizice

A.8. Funcția putere și radical Funția putere: y(x)=xn, unde n este număr

natural datFuncția inversă radical: y-1(x)=x1/n

prima bisectoare

Page 12: 2-Marimi fizice

A.9. Funcții trigonometricedefinite în triunghiul dreptunghic

φ 90o

90o -φ

a (catetă)

b (catetă)

c (ipotenuza)

cossin)ctg(90

abtg

)90sin(cos

)90cos(sin

o

o

o

cacbcateta opusă / ipotenuză

cateta alturată / ipotenuză

cateta opusă/ catata alaturată

Suma unghiurilor înorice triunghi este 180o

Page 13: 2-Marimi fizice

Cercul trigonometriceste un cerc de raza 1 în care

unghiurile se masoară în sens orar invers

y

xO A

Funcțiile trigonometricesunt definite ca de obicei:sin φ = AP / OP = APcos φ = OA / OP = OA

Din teorema lui PitagoraAP2 + OA2 = OP2 = 1rezultă: sin2 φ + cos2 φ = 1

φ

sin φ

cos φ

Page 14: 2-Marimi fizice

Masurarea unghiurilor în radiani

R

RΔl

Δl

razacercrcului.de.lungimea.aani)unghi(radi

Corespondenta cu gradele obișnuite se face astfel:

360o → 2πR/R=2π180o → π

90o → π/2Numărul irațional π≈3.141593 este egal

cu raportul dintre lungimea cercului și diametru

Page 15: 2-Marimi fizice

a. Caz particular: φ=45o

2145cos45sin

caoo

21

4cos

4sin

sau înradiani:

45o

45o

a

a

Teorema luiPitagora:c2 =2a2

90o

c

Page 16: 2-Marimi fizice

b. Caz particular: φ=30o si 60o

23

230cos60sin

21

260cos30sin

00

00

babb

23

6cos

3sin

21

3cos

6sin

sau înradiani:

60o

60o

60o 3

0o30o

60o

a

b

b

b

b

ba

bab

3

)2( 222

Folosind teorema luiPitagora în triunghiul

dreptunghic ABC exprimăm latura

a funcție de latura b

Ipotenuza ACeste diagonalăcare se imparte

în doua segmente

egale: c=2bA B

CD

Completăm triunghiul dreptunghic ABC cutriunghiul egal ACD formând dreptunghiul

ABCD

Page 17: 2-Marimi fizice

Ecuații trigonometrice simple

)12(1cos21cos

2)12(

20cos

22

1sin

22

1sin

0sin

nn

nn

n

n

n

φcos φ

sin φ

π/2+2nπ

-π/2+2nπ

(2n+1)π

2nπA

B

C

D

A,C

D

B,D

A

C

B

Page 18: 2-Marimi fizice

tgαdxdy

ΔxΔy

A.10. Derivata unei funcțiise definește ca limita raportului dintre

variația funcției și variația argumentului

Δx: este variația argumentuluiΔy: este variația funcției,dy: este variația pe dreaptătangenta in x.Observație: Δx=dx

Concluzie:derivata în punctul M(x,y)este tangenta trigonometrică a unghiului α dintre dreapta tangenta la curba în punctul M și axa Ox

dreapta secantă MM 1 la limitadevine dreapta tangentă la M

Page 19: 2-Marimi fizice

Exemplu de utilizare a derivațeiCalculul punctelor de extrem (maxime,

minime): y=f(x)

x

0dxdf

0dxdf

unde derivata de ordinul doieste derivată derivatei:

dxdf

dxd

dxfd2

2

funcțiacrește

funcțiascade

derivata scade,deci derivatade ordinul doieste negativă:

Page 20: 2-Marimi fizice

0

1

dxdC

nxdxdx n

n

Derivarea funcției putere

xdxdx

xΔxxΔx

xΔx)(xΔxΔy

Δx

2

22

2

0

22

In cazul generalFuncția putere y(x)=xnse derivează dupa formula:

Caz particular: pentru n=0obținem o constanta y(x)=C

Caz particular:y(x)=x2

Observație: n poate fi oricenumăr real pozitiv sau negativ

Produsul dintre o constantăși o funcție se derivează astfel: dx

dfCdxCfd

)(

Derivata sumei de funcții este: dx

dgdxdf

dxgfd

)(

Page 21: 2-Marimi fizice

xx

edxde

A.11. Funcția exponentialăsi logaritmică

Numarul irational e≈2.71828 se poate defini ca bazaa funcției exponentiale y(x)=ex, pentru care derivata coincide cu funcția:

sau cu alte cuvinte: rata de creștere a acestei mărimieste egală cu marimea însăși în fiecare punct x.

Funcția inversă funcției exponențiale în baza e notata: y(x)=ln x (evident echivalenta cu: x=ey )se mai numește logaritm natural .Derivata funcței inverse se calculează astfel:

xedyde

dydxdx

dydxxd

yy

1111ln

Page 22: 2-Marimi fizice

Funcția exponențială (albastru): f(x) = ex, e ≈ 2.71828

Funcția inversă logaritmică (roșu): f-1(x) = loge(x) = ln(x)

Argumentul funcțieilogaritmice trebuiesa fie pozitiv !

Valori particulare

0ln01ln0

10

e

e

Page 23: 2-Marimi fizice

Operații cu exponențiale si logaritmi

nxnx

yxyx

xx

e)(e

eee

eex

lnln

xnx

yx(xy)eeeexy

n

yxyx(xy)

lnln

lnlnln

lnlnlnlnln

axxax e)(ea lnln exex ax

aa loglnloglog ln

Schimbarea bazei cu numarul real a>0

Observație: ultimele egalități sunt valabile chiar daca numarul n are valori reale

Toate relațiile de mai sus sunt valabile în orice bază

Page 24: 2-Marimi fizice

Logaritmul zecimal

n

...n

10lg

310lg

210lg

110lg

3

2

n

....

.

.

-n

10lg

310lg0010lg

210lg010lg

110lg10lg

3

2

1

4343.0lglglnlglglog ln

10

eexexx x

Logaritmul în baza a=10 se numește logaritm zecimal,

care se poate calcula folosind logaritmul natural:

Urmatoarele relații sunt utile:

Invers, logaritmul naturalse poate calcula folosind logaritmul

zecimal:

3026.210ln10lnlg10lnln lg

xx x

Page 25: 2-Marimi fizice

A.12. Numere complexe

1

sincos

i

)ir(ibaz

sincos

22

rbra

bar

Un numar complex este definit asfel:

Numarul i se numește unitate imaginară.Numarul complex z poate fi reprezentat de un vector cu doua componente (a,b)având mărimea (denumită și modul) rși formând unghiul φ cu axa X

a

b

z

φ

r

abtg

Page 26: 2-Marimi fizice

A.13. Formula lui EulerUn număr complex având modulul r=1

poate fi reprezentat de relația de mai jos,care poartă numele de formula lui Euler

iπeiπ)(-e- iπ

ln1ln1

Formula permite definirealogaritmului din numere

negative

Importante sunt urmatoarele

cazuri particulare:

1

2/

i

e

ie

sincos iei

Page 27: 2-Marimi fizice

Leonard Euler (1707-1783)Matematician de origine elvețiana

care a trăit în St. Petersburg (Rusia)

iei

)1ln(

1

Page 28: 2-Marimi fizice

Derivarea funcțiilor trigonometrice

poate fi facută folosind formula lui Euler

cossin)sin(cos)(

)sin(cossincos

iii

ieiddei

ddei

dd

ddi

dd i

ii

Identificand partea reala și cea imaginarăobținem formulele de derivare ale funcțiilor sin și

cos

)2

cos(sincos

)2

sin(cossin

dddd

)2

sin()2

cos()

2(

2

ieeeiii

sau egalitatea echivalenta:

Page 29: 2-Marimi fizice

Concluzie:Prin derivare faza numarului complex zși a funcțiilor trigonometrice crește cu

π/2

iez )

2(

ie

ddz

φ

φ+π/2

Page 30: 2-Marimi fizice

Relațiile trigonometricepot fi deduse în mod simplu

folosind formula lui Euler

)sincoscos(sinsinsincoscos)sin)(cossin(cos)sin()cos(

)(

iiii

eee iii

sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(

Identificand parțile reale și maginare din egalitate obținem:

cossin22sin1cos2sin21sincos2cos 2222

Cazul particular α=β conduce la relațiile (folosind sin2 α+cos2 α=1):

Page 31: 2-Marimi fizice

A.14. Derivarea funcțiilor compusef(x)=f(g(x))

se face înmulțind și împarțind cu dg:

dgdf

dxdg

dxxgdf

))((

Exemple

xxdxdg

dgdg

dxxdxggf

xxdggd

dxdg

dxxdxggf

cossin2sinsin;

cos2sinsin;sin

222

22

2

Page 32: 2-Marimi fizice

A.15. Funcții vectoriale

a. Vectorul dependent de timppoate fi considerat ca o funcție vectorială

dependentă de un scalar (timpul)Exemplu: vectorul de poziție r(t)

este un vector cu originea fixă, al cărui capăt se mișcă pe o curbă numită traiectorie

r(t)

Page 33: 2-Marimi fizice

b. Funcția de două variabilepoate fi considerată o funcție scalară, care

depindede un vector bidimensional, definit

de cele doua coordonate (x,y)

Reprezentare grafică a funcției de 2 variableeste suprafața z=z(x,y)=f(x,y)

Curba de nivel: mulțimea punctelor (x,y) pentru care funcția are o valoare data

Page 34: 2-Marimi fizice

A.16. Aplicatiia. Compunerea vectorilor perpendiculari

F 1 (cateta)

F 2

(cateta)Marimile celor doi vectori sunt respectiv: F 1=3 si F 2=4

Conform teoremei lui Pitagora:Patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor

catetelordeci marimea rezultantei este:

52516922

21 FFF

F (ipotenuza)

Page 35: 2-Marimi fizice

b. Compunerea vectorilor în cazul generalse face completand triunghiul de adunare a vectorilor OAB cu triunghiul

dreptunghic ABC, astfel încât să rezulte triunghiul dreptunghic OBC.Notăm cu φ unghiul între vectorii F1 si F2

F 1

F 2

F

OCA

B

φ φ

F 2cos φ

F 2sin φ

cos2

)sin(coscos2

sin)cos(

212

22

1

222221

21

222

221

2

FFFF

FFFF

FFFF

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul OBC obținem: