Modelare matematică ȋn tehnică

Un model de balistică exterioară

Lector univ. dr. Laurian Suciu

UNIVERSITATEA “LUCIAN BLAGA”, SIBIU

FACULTATEA DE ȘTIINȚE

MASTER MATEMATICǍ – INFORMATICǍ APLICATǍ

ANUL II , SEMESTRUL I

Ruța Daniela

Modelarea matematică

Un model de balistică exterioară

Generalități:

Modelarea matematică presupune transpunerea unei probleme de interes practic ȋn termeni matematici și apoi căutarea unei soluții optime a problemei matematice, ȋn acest fel primind și un răspuns pentru problema practică.

Scopul modelării matematice:

- Realizarea de predicții cantitative

- Compararea alternativelor-simulare

- Identificarea parametrilor guvernanți

- Descoperirea și ȋntelegerea proceselor fizice

Avantaje:

- Rapiditatea realizării modelului

- Analizarea unui număr mare de scenarii

- Posibilitatea de a afla rezultate și informații ȋn orice punct al domeniului

- Acceptarea unei varietăți de condiții de margine

Dezavantaje:

- Includerea ȋn model a tuturor fenomenelor fizice ce apar ȋn natura este imposibilă (suportul matematic devine mult prea complex și nu poate fi rezolvat)

Un model de balistică exterioară

Mișcarea unui obuz de tun sau a unei bombe lansate din avion au prezentat și prezintă un interes. Observații ale acestor mișcări au dus la concluzia că ȋn prima instanță o asemenea mișcare este determinată de câmpul de forță gravitațional constant, ce acționează asupra corpurilor aflate ȋn

apropierea suprafeței Pământului și de viteza inițială v0 pe care o are obuzul sau bomba ȋn momentul lansării.

Ȋn mod usual pentru descrierea cantitativă a acestei mișcări obuzul sau bomba se modelează cu

un punct material de masă m și mișcarea se descrie cu trei variabile scalare (x1 (t ), x2 (t ), x3 ( t )) (o

variabilă vectorială r(t) = x1 (t )•e1 + x2 ( t )•e2 + x3 ( t )•e3 ) care reprezintă coordonatele punctului material

față de un reper ortogonal fix R = ( O; e1 , e2 , e3 ) (r(t) = vectorul de poziție al punctului material față de reper) .

Setul de ecuații referitoare la aceste variabile este dat de legea a doua a lui Newton conform căreia masa ori accelerația punctului material de masa m este egală cu forța care acționează asupra punctului.

m•d2 xk

d t2 = F k k = 1,2,3 . (1)

Ȋn setul de ecuații (1) F1 , F2 ,F3 reprezintă componentele forței de atracție gravitațională ȋn acest

reper F = F1• e1 + F2•e2 + F3•e3 .

Ȋn setul de ecuații care definește modelul este (1) și se referă la variabilele modelului r(t) = x1 ( t ) , x2 (t ), x3 ( t ) care sunt coordonatele obuzului, bombei la momentul t față de un reper ales.

Prima problemă care se pune ȋn cadrul analizei modelului este elucidarea existenței soluțiilor sistemului de ecuații diferențiale (1). Ținând seama că membrii drepți ai sistemului (1) sunt constanți , rezultă imediat că pentru orice condiție inițială sistemul (1) are o soluție definită pe toată mulțimea numerelor reale.

Pentru a identifica ȋn mulțimea soluțiilor sistemului (1) acel set de trei variabile care descrie

mișcarea se folosesc coordonatele x10 , x2

0 , x30ale punctului material ȋn momentul lansării t 0 = 0 și

componentele v10 , v2

0 , v30 ale vitezei v0a punctului material ȋn momentul lansării și se impun următoarele

condiții inițiale:

xk (0) = xk0 ;

dxk

dt (0) = vk

0 ; k = 1,2,3. (2)

Rezolvând problema cu date inițiale (1) si (2) se obține setul de funcții:

xk (t) = xk0 + vk

0 • t + Fk

2m • t 2 k = 1,2,3. (3)

care descrie mișcarea punctului material (obuzului, bombei) față de reperul ales.

Ȋn cazul unui obuz de tun originea O a reperului R se alege la gura de foc a tunului; axa OX, (versorul e1) se alege paralel cu suprafața Pământului și ȋndreptată spre ținta T care se află la o distanță d

> 0 de la O și trebuie lovită; axa OX3 (versorul e3) este verticala locului unde este plasat tunul; și axa O

X2

(versorul e2) astfel ȋncat reperul R să fie drept ca ȋn figura următoare:

Față de acest reper: x10 = x2

0 = x30 = 0; F1 = F2 = 0, F3 = -m • g , g = 9.81[m/s2] iar pentru a lovi

ținta obuzului i se imprimă o viteză medie inițială v0 = ( |v0| •cosθ, 0 , |v0| •sin θ) așa cum este reprezentat pe Fig.1

Cu aceste date formulele (3) devin :

{ x1 (t )=t ∙|v0|∙ cosθx2 (t )=0

x3 (t )=t ∙|v0|∙ sinθ−g ∙ t 2

2

(4)

Ȋn aceste formule |v0∨¿ și g sunt cunoscute : |v0∨¿ este viteza imprimată obuzului de tun iar g este accelerația gravitațională.

Unghiul 𝜽 este necunoscut și trebuie determinat astfel ȋncat obuzul să lovească ținta.

Condiția de lovire a țintei este ca să existe t> 0 astfel ȋncat să avem satisfăcute următoarele egalități:

{ t ∙|v0|∙ cosθ=d

t ∙|v0|∙ sinθ−q ∙ t 2

2=0

(5)

Din (5) rezultă:

t = 2∙|v0|∙ sin θ

g și sin 2θ =

g ∙ d

¿v0∨¿2¿

(6)

De aici rezultă că problema are soluție și aceasta este unică dacă și numai dacă g ∙ d

¿v0∨¿2¿ ≤ 1 .

Soluția este:

𝜽 =

12

∙ arc sing∙ d

¿v0∨¿2¿

și t = 2∙|v0|∙ sin θ

g(7)

Rezultatul exprimat prin formulele (7) confruntat cu rezultate experimentale confirmă autenticitatea modelului.

Ȋn cazul aruncării unei bombe dintr-un avion care zboară către țintă ȋn linie dreaptă paralel cu solul la o ȋnălțime h cu o viteză constantă v0 dacă se alege originea O a reperului la nivelul solului astfel

ȋncât axa OX3 să treacă prin punctul ȋn care se afla avionul la momentul lansării bombei, iar celelalte axe se aleg ca și ȋn cazul obuzului de tun variabilele care descriu miscarea bombei lansate față de reper sunt:

{x1 (t )=t ∙∨v0∨¿x2 (t )=0

x3 (t )=−g ∙ t 2

2+h

(8)

Ȋn această problemă necunoscută este distanța d > 0 la care trebuie lansată bomba pentru a lovi ținta. Condiția de lovire a țintei este ca aceasta să fie la locul la care bomba cade pe sol. Acest loc se determină aflând la ȋnceputul momentul ȋn care bomba atinge solul. Acest moment este :

t 1 = √ 2 hg

(9)

Ȋnlocuind t 1 ȋn expresia lui x1(t) găsim locul x1(t 1) unde bomba atinge solul:

x1(t 1) = v0 ∙√ 2hg

Prin urmare distanța d la care trebuie lansată bomba este:

d = v0 ∙√ 2hg

(10)

Rezultatul exprimat prin formulele (9) și (10) confruntat cu experiența confirmă autentificarea modelului.

Bibliografie:

Modele clasice ȋn științe , Notițe de curs pentru studenții la Master: Informatică aplicată ȋn științe , tehnică și economie, Ștefan Balint, Loredana Tănasie.