lrina Cretu

MrrooE DE REZoLVARE A pRoBLEMELoR DE

GEOMETRIE

Editura Paralela 45

Cuprins

Introducere.......I. Metode generale folosite in geometrie pentru rezolvarea problemelor ..............

1. Metoda sintezei

79.9

t

tt

1.1. Metoda sintezei in rezolvarea problemelor de calcul ...................91.2. Metoda sintezei in rezolvarea problemelor de demonstra{ie ......14

2. Metoda analizei2.1. Metoda analizei in rezolvarea problemelor de calcul .....,...........21Z.2.Metoda analizei in rezolvarea problemelor de demonstralie ......24

3. Metoda analitico-sintetici....... ,A3.1. Metoda analitico-sinteticd in rezolvarea problemelor de calcul..... ....................273.2. Metoda analitico-sinteticd in rezolvareaproblemelor de demonstralie.........29

II. Metode particulare folosite in geometrie pentru rezolvarea problemelor......331. Metoda reducerii la absurd ......................332. Metoda induc{iei complete... .....................36

2.1. Metoda inducJiei matematice in problemele de calcul ...............372.2.Metoda inducliei matematice in probleme de demonstrafie..........................40

3. Probleme de construcfii geometrice ....424. Probleme de locuri geometrice .................45

4.1. Probleme pentru aflarea locurilor geometrice .........454.2. Probleme de construclii cu ajutorul locurilor geometrice. ..........50

5. Metode specifice de rezolvare a problemelor de coliniaritategi concurenf[............... ............535.1. Metode specifice de rezolvare a problemelor de coliniaritate .......................535.2. Metode specifice de rezolvare a problemelor de concurenfi.........................58Metoda vectoriali ...................686.

7.8.

ilI.

Metoda analiticiMetoda numerelor complexe

..................76

Aplicafii privind studiul comparativ al metodelor de rezolvarea problemelor de geometrie

Concluzii...Bibliografie

9l115tl7

r

h

canfitut Metode generale folosite ingeometrie pentru rezolvareaproblemelor

1.. Metoda sintezei

Cuvdntul sintezd vine din grecescul synthesis, care inseamnd slfangerea inff-un intreg a

pdrtilor componente care au fost desp[rfite. tn logicd, sinteza este o metodi de rafio-nament care constd in faptul cd desfbqurarea gdndirii se face de la simplu la compus sau

de la cunoscut la necunoscut. Demonstralia in care se pomegte de la propozilii parti-culare spre propozilii generale se numegte demonstralie sinteticd (metodd inductivdsa;u prin sintezd).In acest tip de demonstralie se pornegte dela cunoscat spre necunoscut,

adic[ pornind de la o propozilie despre care gtim cd este adevirat5, deducem propozitiicare, de asemenea, sunt adevirate qi ultima este cea care trebuie demonstrati. Agadar,in aceast6 metodd, gdndirea elevului este dirijatd pentru a se rdspunde Ia tntrebarea:Dacd Stiw ..., ce pot sd aflu?

1.1. Metoda sintezei in rezolvarea problemelor de calculPrin probleme de calcul inlelegem acele probleme care cer glsirea unor valori nume-

rice atunci cdnd se cunosc anumite date. Dac[ mdrimile din problemd nu sunt exprimateprin numere, rezultatul obJinut se exprim6, in mod general, printr-o formuld. Problemelede calcul se impart in:

a) exercilii gi probleme cu confinut geometric, dar pentru rezolvarea cdrora se cerecunoaqterea rezolvdrii problemelor tip din aritmetic[;

b) probleme care, pentru a le gdsi rezlultatal, cer folosirea mai multor propozifii legateintr-un ra{ionament.

Rezolvarea exerciliilor nu cere din partea celui ce le face un efort mare de gdndire,construclia unor rafionamente complicate, ci numai cunoa$terea temeinicd a regulilor,a formulelor sau a teoremelor studiate. Degi rezolvarea exerciliilor dezvoltd prea putingdndirea logicd, ele au o importanfd mare pentru studiul geometriei deoarece, pe de oparte, contribuie la formarea priceperilor qi deprinderilor pentru a aplica cunogtin{ele teo-retice in rezolvarea problemelorj ceea ce constituie, de fapt, primul pas in aplicareateoriei in practicS, iar pe de alt6 parte, fotmeazL, incetul cu incetul, increderea in for-{ele proprii.

Prin metoda sintezei o problemi de calcul se rezolvl astfel: se iau doul date cu-noscute ale problemei intre care existi o legdturi gi cu ajutorul lor se formuleazd o

10 tRtNA CRETU

problemi ce ne di posibilitatea si calculdm valoarea celei de-a treia mdrimi, care devineastfel cunoscutd. Se iau apoi alte dou[ date cunoscute (fie date prin enunful problemei,fie calculate anterior) gi cu ajutorul lor se formuleaz[ o problemi, care rczolvatd ne d[valoarea unei alte mirimi. Se procedeazl in acest mod pdnd glsim tocmai valorilem6rimilor ce se cer in problemi. ,

Observim ci uneori ne putem folosi gi de o singurd datd aproblemei, daci ea estelegati de o formul[ cunoscuti mai demult. Alteori putem lua, in loc de doud date, maimulte date dac[ intre ele existd o legituri in aga fel incdt si putem formula cu ajutorullor o problemi simpll.

In concluzie, aceasti metodd se poate folosi cu succes la o problemd care necesit[aplicarea directl a unei teoreme invdtate sau c6nd avem destule indicalii care sd neconduci spre rezultatul cerut.

Aplicim metoda sintezei in rezolvarea urmdtoarelor probleme de calcul.

Pnonlnua ISe di pirarnida SABC, in care baza este un triunghi isoscel avdnd laturile AB : AC :

= 82 cm, BC :36 cm, iar muchia &4, perpendicularl pe planul bazei, are o lungime de20 cm. Prin vdrful I se duce un plan care intersecteazi muchiile ,SB qi SC in puncteleM Si N, care sunt, respectiv, mijloacele lor. Se cere s[ se afle:

1o; aria total[ a piramidei;20) volumul piramidei;30; aria sectiunii A MN;40) tangenta unghiului pe care il face fata SBC cu planul bazei.

Sor,ulrnConstruim figura, apoi ne fixdm atenfia asupra primei

intrebiri. Deoarece aceasta cere sd afldm aria totall apiramidei (fig. l), trebuie si gisim ariile tuturor fetelor,apoi sd le adundm.

1o) Trebuie si afl6m aiabazei cu datele 82 cm,35 cmgi vom formula o probleml prin rezolvarea cSreia s6calcul[m iniltimea hiunghiului lBC.

a) Dac[ in triunghiul isoscel BAC se cunoaqte bazaBC : 36 cm gi latura AC : 82 cm, se cere si se cal-culeze indl{imea triunghiului dusl din vArful I pe Abaza BC.

in triungniul isoscel ABC, ducem inilfimea lD, gi seformeazl doud triunghiuri dreptunghice egale, in care cu-noagtem ipotenuzele gi cAte o catet6, deci:

AD2 :AC - DeAD2 :922 - tg2: (82 + lgXS2 _ tg) : 100 _ 64

,qo: Jtoo <q : 8o cm.Formullm o altd problemi, a cdrei intrebare trebuie sd

ciutat la prima chestiune.aibd in vedere rdspunsul

METODE DE REZOLVARE A PROEU

b) in triunghiul BAC:afle aria triunghiuh

^, B.i 36-J4BC:

-

: -2:

in cele ce urmeaz[ vorc) in triunghiul dreptu

culeze aria lui.

ds,cn: AB.AS2

Deoarece triunghiul dSAB, cele dou[ triunghiulghiului SlCeste egald cu a

Pentru calcularea arieiobservlm c[ segmentul cSD L BC. Acest fapt se ve

intr-adev6r, dreapta S,4

perpendicular[ pe BC caitPentru a calcula inll{in

ghic SAD,in care catetele r

d) in triunghiul drepU'n,sd :.qS + Affsfr :202 + Bo2: 4oo -

SD: 20.6 cm.

e) in triunghiul SBC se

culeze aria lui.

, BC.SD .

*SBL=

-

: -

2f) Agadar, in piramida

,&sac:360rEcm2lSe cere s[ se calculeze:

.M:820+820+142") Pentru a afla volung) inpiramida SABC*

S[ se calculeze volur

y: 4"'i : r44CI

333') Secfiunea AMN est

mea dusi din vdrful Apebth) Dac[ in triunghiul Sl

muchiilor SB gi, resp

/-..""::i-':-_

lnrrun CnrTu

lei de-a treia mdrimi, care devine(fie date prin enun{ul problemei,o problem[, care rezolvatd ne dd

nod pAnd gdsim tocmai valorile

m dat5 a problemei, dac6 ea este

tem lua, in loc de dou6 date. maicdt sd putem formula cu ajutorul

cces la o problemd care necesitdrem destule indicalii care sd ne

r probleme de calcul.

isoscel avdnd laturile AB : AC :pe planul bazei, are o lungirne de

zi muchiile SB qi SC in puncteleE se afle:

planul bazel

Imeilliaplor.

6cmla sa

bza: cal-lpe A

gi se

€ cu-

$uie sb aibd in vedere rdspunsul

METODE DE REZOTVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRTE 11

b) in triunghiul BAC se cunoa$te baza BC: 36 cm qi inilfimea AD:80 cm. Si se

afle aria triunghiului,4BC.. B.i 36.g0 : 1440 cm2.sY,4ac: 2

: 2

in cele c€ urmeazi vom calcula aria triunghiului SlB, adicl:c) in triunghiul dreptun ghic SAB se dd cateta AB = 82 cm gi l,S : 40 cm. Si se cal-

culeze aria lui.- AB.AS 82.20 1S(sta: Z = Z

:820cm'.

Deoarece triunghiul dreptunghic S,4C este congruent cu triunghiul dreptunghicSlB, cele doul triunghiuri avdnd catetele respectiv congruente, rentltl cd aria triun-ghiului SlCeste egal[ cu aria triunghiului &4.8, deci; .Msdc: 820 cm2.

Pentru calcularea ariei triunghiului ,SBC ne trebuie inilfimea. Unim pe ,S cu D gi

observlm ci segmentul de dreapt[ ^SD este chiar inilfimea triunghiului SBC, adicd

SD L BC. Acest fapt se vede imediat aplicdnd teorema celor trei perpendiculare.

intr-adevir, dreapta &4 este perpendiculard pe planul bazei. Prin ipotezl, AD este

perpendicularl pe BC ca inilfime in triunghiul isoscel ABC, deci SD L BC.

Pentru a calcula inilfimea ^SD,

observdm cd ea este ipotenuzl in triunghiul dreptun-ghic SAD,in care catetele se cunosc.

d) ln triunghiul drephrnghic SAD: AD:80 cm; SA:20 cm. SI se calculeze SD.sd:.qS +.tffsrt :202 + 802:4oo + 1600:2ooo

SD: 20.6 cm.

e) in triunghiul,SBC se d[ baza BC:36 cm gi indltimea SD: 2Or6cm. S[ se cal-culeze aria lui.

^z , BC SD_ : 36.20J5 :360r6cm2.slsac: Z 2

f) Aqadar, in piramida SABC, ariile fefelor sunt:,MscB:820 ctf ,.Ms.nc:820 cm2,

,ilsnc : 360"6 cm2 $ MAsc : 1440 crfi .Se cere si se calculeze ariatotali.

.il: 820+ 820 + 1440 + 360\6 : 3080 + 360r6cm2.2o)- Pentru a afla volumul piramidei SABC formulIm urmitoarea probleml simpli.g) in pirami da SABC se cunosc aiabazei egal6 cu 1440 cnf gi inillimea SA: 20 r;rn.

Si se calculeze volumul ei.

y: Mu,r' i - t44o'20 : 96oo cm3.333') Secfiunea AMN este un triunghi. Pentru a afla ana lui ne trebuiebaza qi inilti-

mea dusd din vdrful Apebaza MN.h) Daci in triunghiul SBC se di ,BC : 36 cm, iar punctele M qi N sunt miiloacele

muchiilor ^98

qi, respectiv, SC, calculim lungimea segmentului i0lastfel:

' --o:'j--

t2 tnrrue Cnrp

MN este linie mijlocie in triunghiul SBC, deci avem:

MN:BC :19: tg.-.22i) Deoarece intersectia diagonalelor paralelogramului sMDN (ND ll sM, MD ll s\l)

este punctul E, rcztltd cd ME : EN.Pe de alt[ parte, AE este inilllime in triunghiul AMN isoscel (AM :,4N). pentru a

calcula lungimea segmentului,4E, observdm cd el este mediani in triunghiul dreptun-ghic SlD. deci:

SD 20Jt :rn-F^*AL:

-: -

rvvJ w'r.22j) in triunghiul AMN cunoagtem lungimea bazei MN: 18 cm siinill[imea AE:: 10\6 cm. S[ se calculeze aria lui.

" MN.AI : 18 l0J5 : 90J5 cm2.,9,stu r: 2 2 J5 cm'.

4) Unghiul pe care il face fala SBC cu planul bazei ne este dat de unghiul plan alacestui diedru.

Doarece dreapta sD este perpendiculard pe.BC gi AD este perpendiculardpe BC,unghiul IDS este unghiul plan al diedrului dat.

Pentru a calcula tangenta acestui unghi vom aplica functii trigonometrice in triun-ghiul dreptunghic SAD, deoarece avem AD: 80 cm qi lS : 20 cm. Deci:

ter*4Ds)- AS =!=1 .'AD 80 4

Pnonr,nvu 2Un trunchi de con are generatoarea egald ct 25 cm, aria secfiunii medii egald cu

1190,25 n cm2 gi aria secliunii axiale egald cu 1656 cr*. SI se afle volumul trunchiului decon.

Sor,ulroMai intdi construim figura.Se cunosc: generatoarea BC : 25 cm; aria cercului

trapezului isoscel ABCD egal6 cu 1656 crrt.Se cere volumul trunchiului de con (fig.2).Pentru a gdsi volumul trunchiului de con, vom

calcula mirimile de care avem nevoie.Cunoscdnd aria secJiunii medii, putem formula o

problem[ simpl6, din care sd afldm raza acestei sec-

egal6 cu 1190,25 n crrt; aria

{iuni astfel:1. Aria cercului O este egal6 cu 1190,25 TE cm,.

Care este razalul? A

n.OH2: 1190,25 n

oH: Jtlso2s :34,5 cm.

HETODE DE REZOLVARE A PROBLEI

Raza cercului de centn2. Cunosc0nd care este

EC+FB :OH2

Deoarece bazele trapezcon, urrneazd cI avem:

r + R:2 . 34,5 :61Astfel deducern c5 sun

DC+AB:2r+2A3. Folosind aria secliu

mea trunchiului de con, foAria unui trapez este e1

fimea trapezului?DC+AB

. EF: 1I2

inlocuind suma bazelor

) . sp:1656,2

insi in6llimea trapezulEF:24 cm este indlfirDacd din punctul C cot

ghic BCL.4. Dacd in triunghiul c

CL:24 cm, se cere sb se i

Folosind teorema lui PiBL2:nC-ct2BL2 : 625 - 576: 4

insd BL reprezint6 difer5. $tiind ci suma razel

afle razele.R+ r:23 R2R:30 R

Putem acum calcula vo6. Un trunchi de con ar

mea cu 24 cm. Sd se afleaplicim urmitoarea formu

n'iVd.ar"on: j:-:(R:

+3

w/ n'2/o. d"

"on = ::--: (22:

JFrg.2