proiect profesor trunchi de pramida
DESCRIPTION
trunchi de piramidaTRANSCRIPT
Trunchiul de piramidă
arii şi volume
Corpuri geometrice
Poliedre:
• Prisma• Piramida
• Trunchiul de piramidă
Corpuri rotunde:
• Cilindrul• Conul• Trunchiul de con• Sfera
Piramida regulată V
VV
A AA
B
BB
C
CC
DDE
F OO
OM M
M
hh h
abab
ab
ap ap ap
Piramidă triunghiulară regulată (tetraedru)
Piramidă patrulateră regulată
Piramidă hexagonală regulată
Un tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară regulată cu toate fețele
triunghiuri echilaterale
Desfăşurarea piramidei
piramida triunghiulară regulată
piramida patrulateră regulată
piramida hexagonală regulată
Aria şi volumul piramidei regulate
Piramidele au o singură bază, care poate fi orice poligon, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul laturilor
poligonului de bază. În cazul piramidelor regulate, toate aceste feţe laterale sunt triunghiuri isoscele congruente,
ale căror baze sunt reprezentate de muchiile bazei piramidei, şi ale căror înălţimi sunt apoteme ale
piramidei. Prin urmare, aria unei astfel de feţe laterale este semiprodusul dintre lungimea muchiei bazei
piramidei şi cea a apotemei, iar aria laterală, sumă a ariilor tuturor feţelor laterale, este:
Al = Pb · ap / 2
Aria şi volumul piramidei regulate
Aria totală este suma ariei laterale cu aria bazei unice:
At = Ab + Al
Fiind poligon regulat, aria bazei se poate calcula cu formula:
Ab = Pb · ab / 2, de unde rezultă că, pentru a calcula aria totală a
unei piramide, putem utiliza şi formula:At = Pb ·( ap + ab) / 2
Volumul piramidei reprezintă o treime din produsul ariei bazei şi lungimea înălţimii
piramidei:
V = Ab · h / 3
Apotema bazei, apotema piramidei şi înălţimea piramidei sunt legate prin formula:
ap2 = ab
2 + h2
Trunchiul de piramidă regulatăV
A’
A’
A B
B’
B’
C’
C
C’
D
D’
D’
O’
O’
O
Secţionând o piramidă cu un plan paralel cu baza, obţinem două corpuri: o piramidă „mică” şi un alt
corp, numit trunchi de piramidă.
„Piramida mică” este „asemenea” piramidei
„mari”.
ab
aB
atr
h
Trunchiul de piramidă regulatăV
A’
A’
A B
B’
B’
C’
C
C’
D
D’
D’
O’
O’
O
Trunchiul de piramidă are două baze, una mare şi alta mică, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul
laturilor poligonului de bază. Feţele laterale ale trunchiului
de piramidă sunt trapeze.Între apotema bazei mari aB,
apotema bazei mici ab, înălţimea trunchiului h şi apotema acestuia atr există
relaţia:
atr2 = h2 + (aB – ab)2
ab
aB
atr
h
Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată este suma ariilor feţelor laterale, care au formă de trapez. Aria unei astfel de feţe
este:A = (mB + mb) · atr / 2,
unde mB şi mb sunt lungimile muchiilor bazei mari, respective ale bazei mici. Sumând toate ariile feţelor laterale, obţinem pentru
aria laterală formula:Al = (PB + Pb) · atr / 2,
unde PB şi Pb sunt perimetrele celor două baze.
Aria totală este suma ariei laterale cu ariile celor două baze:
At = Al + AB + Ab = (PB + Pb) atr / 2 + PB · aB /2 + Pb ·
ab / 2Volumul se calculează cu
formula:V = h · (AB + Ab + AB · Ab) / 3
mb
mB
atr
ab
aB
h
Exmple de probleme:1.Determinaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat de muchie m.
2. Determinaţi volumul tetraedrului care are două muchii opuse perpendiculare, de lungime a şi respectiv b, şi ambele perpendiculare pe segmentul de lungime c
care uneşte mijloacele lor.
3. Determinaţi aria totală şi volumul conului circular drept care are raza bazei r şi trei generatoare perpendiculare două cate două.
4. Să se determine volumul corpului care rezultă după ce secţionăm o sferă cu două plane paralele, aflate fiecare la 5 cm de centrul sferei şi eliminăm cele două
calote şi cilindrul determinat de cele două plane.
5. Prisma dreaptă ABCA’B’C’ are ca bază triunghiul isoscel ABC (AB = AC). Să se determine măsura unghiului BAC, astfel încât volumul prismei să fie
maxim.
6. Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul unei piramide triunghiulare / patrulatere / hexagonale regulate, cunoscând măsura unghiului diedru format de muchia laterală cu planul bazei / măsura unghiului format de o muchie laterală şi
una din laturile pe care cade.