metoda elementului finit cap4

8/16/2019 Metoda elementului finit cap4

1/8

CAPITOLUL 4MODELAREA CU AJUTORUL MEF ŞI TEHNICI DE

SOLU Ţ IONARE

I SimetriaO structur ă se consider ă simetrică dacă componentele

acesteia sunt aranjate în mod periodic sau în maniar ă reflectivă.

Tipuri de simetrii♦Simetrie geometrică (imagini simetrice, bilaterală);♦Simetrie rotaţională (ciclică);♦Simetria sarcinii;♦Axial simetric (simetria faţă de o axă);♦Simetrie translaţională;

Aplica ţ ii ale propriet ăţ ilor de simetrie de simetrie♦Reduce mărimea problemei (economiseşte timp decalculator, spaţiu pe disc, efort de postprocesare etc.); ♦Reduce considerabil volumul de calcul; ♦Simplifică procesul de modelare; ♦Verifică rezultatele de element finit;

ConcluziiÎn analize de vibraţii şi de stabilitate, prin MEF, în general

conceptul de simetrie nu trebuie să se folosească. O structur ă simetrică poate să aibă o vibraţie sau o instabilitate antisimetrică.

II. Substructurarea

Substructurarea este un procedeu de analiză a structurilormari (o colecţie de componente). Constă din divizarea modeluluiîntr-o structur ă principală şi un număr de subansambluri mutualseparabile, elemente care se mai numescşi superelemente.Substructurile sunt ataşate de structura principală şi sunt discretizateseparat în elemente convenabil aleseţinând cont de supernodurile dela limitele lor comune.

Avantajele folosirii substructurii (a superelementului)♦Se pot rezolva probleme mari, probleme care pot depăşi


2/8

capacitatea calculatorului; ♦Se foloseşte timp de calculator mai redus pentru calculareasuperelementelor;

♦Se pot efectua modificări de componente de grupuriseparate de ingineri diferiţi; ♦Remodelarea necesită o analiză par ţială (deformaţii plastice), care se pot pune într-o substructur ă; ♦Pentru problemele statice soluţiile sunt mai exacte; ♦Volumul datelor de intrare se reduce considerabil faţă desituaţia în care nu se face substructurarea; ♦Se pot determina mai bine stările de tensiuni în zonele cuconcentrator de tensiune.

Fig.4.1. Posibilităţi de structurare

Dezavantaje♦Este necesar ă gestionarea fişierelor;♦În cazul problemelor mari matricea condensată introducenoi aproximări;

III. Rezolvarea ecua ţ iilor Metode directe (elimin ă rile Gaussiene)♦Timpul de rezolvare este propor ţional cu NB2 (unde N estedimensiunea matricii iar B este lăţimea de bandă); ♦Sunt indicate pentru probleme, structuri mediişi mici (culăţime de bandă mică).


3/8

Metode iterative:♦Timpul de soluţionare nu se cunoaşte;♦Sunt necesare fişiere reduse;

♦Sunt aplicabile pentru probleme sau structuri mari (lăţimede bandă mare, convergentă rapidă); ♦Impune rezolvarea din nou în cazul mai multor cazuri deîncărcare.

Exemple:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

3

12

x

xx

330

342028

3

2

1

sau bAx = .

Substitu ţ ia direct ă în sistemul triunghiular inferiorSe formează:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

33301341

2028 ;

(linia 1)+(4) (linia 2)=>(linia2)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−− −

3330212140 2028 ;

(linia 2)+(14/3) (linia 3) =>(linia 3)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

12200212140

2028

;

Substitu ţ ia invers ă în sistemul triunghiular superior

62

12x3 ==

514

x122x 32 =+−= sau

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=65

1,5x


4/8

5,18

x22x 21 =+=

Metode iterative Metoda Gauss-Seidel

Ax=b (4.1)sau

N,...,2,1i bxa N

1 jiiij ==∑

=, (4.2)

unde matricea A este o matrice simetrică.

Se porneşte cu estimarea x0

şi prin folosirea iteraţiilor seobţine:

( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−= ∑∑+=

−

=

++ N

1i j

k jij

1i

1 j

1k jiji

ij

1k i xaxa ba

1x , i=1,2,…,N (4.3)

În formă vectorială se poate scrie:( ) ( ) ( )k T

L1k

L1

D1k xAxA bAx −−= +−+ , (4.4)

unde: ijD aA = este matricea diagonală A, iar AL este matriceainferior triunghiular ă, astfel =>

TLLD AAAA ++= (4.5)

Se continuă cu iteraţiile până ce soluţiile x sunt convergente,de exemplu:

( ) ( )

( ) ε≤

−+

k

k 1k

x

xx, (4.6)

undeε este toleranţa de control a convergenţei.

IV Natura solu ţ iilor metodei elementelor finite♦Modelul de element finit- Modelul matematic a uneistructuri reale se bazează pe mai multe aproximaţii;♦Structura reală- are un număr infinit de noduri (fizic punctesau particule) astfel există un număr de GDL;♦Modelul de element finit- are un finit de noduri, astfel


5/8

există un număr finit de GDL.=>deplasările sunt controlate de un număr limitat de noduri.

Fig.4.2. Controlul deplasărilor funcţie de numărul de noduri

Efectul de rigiditate♦Modelul de element finit este mai rigid decât structurareală;♦În general rezultatele deplasărilor sunt mai mici înmagnitudine decât valorile exacte;Astfel că soluţia deplasărilor furnizează soluţii sub valoarea

reală.

V Erorile numerice

Eroare≠ greşeală în metoda elementelor finite (modelare sausoluţionare).

Fig.4.3. Convergenţa rezultatelor de numărul gradelor de libertate


6/8

Fig.4.4. Sistem de elemente elastice

Tipuri de erori

♦Erori de modelare (bare, plăci,…,teorie); ♦Erori de discretizare (mărimea, forma etc.); ♦Erori numerice (în rezolvarea ecuaţiilor de elemente finite).

Exemplu de eroare numeric ă : Ecua ţ ia MEF

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−

2

1

211

11uu

k k k k k

şi[ ] 21k k K det =

Sistemul este singular dacă k 2 este mult mai mic încomparaţie cu k 1.

♦Diferenţe mari între termenii matricei de rigiditate sau îndiferite păr ţi în modelul de elemente finite poate cauzacondiţionarea slabă a ecuaţiilor. În acest fel se obţinrezultatele cu erori grosolane.♦Slaba condiţionare a sistemului de ecuaţii poate producemari schimbări în soluţii chiar dacă la intrare s-au efectuatschimbări minore.

VI Convergen ţa solu ţ iilor metodei elementelor finiteÎn MEF discretizarea mai fină duce la soluţii mai apropiate

de soluţia reală.Tipuri de adapt ă ri

♦Adaptarea tip „h”- reduce mărimea elementului (se refer ă la


7/8

mărimea tipică a elementului);♦Adaptarea tip „p”- creşte ordinul polinomului pe element(de la liniar la pătratic etc.);

♦Adaptarea tip „r”- rearanjează nodurile în cadrul discretizării;♦Adaptarea tip „ph”- face o combinaţie între adaptarea de tip„h” şi”p” (dă rezultatele cele mai bune).

Fig.4.5. Sistem slab condiţionat k 2


8/8

unde M este numărul total de elemente, Vi este volumul elementului i.Un indicator de eroare este eroarea relativă de energie:

η= 1).(0UU

U

E

E ≤η≤+

(4.8)

Indicatorulη se calculează după fiecare soluţionarea ecuaţieide element finit Se face rediscretizarea modelului pana cândη ≤0,05.

ca soluţia converge către valoarea reală.⇒

metoda elementului finit cap4

Documents