introduce re in mef cursuri 1 6

INTRODUCERE ÎN METODA ELEMENTELOR FINITE

1 Metoda Elementelor Finite

1.1 Introducere

Metoda elementelor finite este o tehnică de analiză numerică pentru obţinerea unor soluţii

aproximative pentru o gamă largă de probleme inginereşti.

În practică, fiecare structură este un continuum. În general definim continuumul ca fiind un

corp material (solid, lichid) sau pur şi simplu o regiune din spaţiu în care apare un anumit fenomen.

Într-o problemă de continuum de orice dimensiune (grindă, placă, solid) variabila câmp (fie

că este presiune, temperatură, deplasare, efort sau o cantitate de altă natură) are infinit de multe

valori, pentru că este o funcţie de fiecare punct generic al corpului sau regiunii soluţie. Prin urmare

problema este una cu un număr infinit de necunoscute. Procedurile de discretizare cu element finit

reduc problema la una cu un număr finit de necunoscute prin împărţirea continuumului real în

elemente şi prin exprimarea variabilei câmp necunoscute în termenii funcţiilor de aproximare

admise în interiorul fiecărui element. Numărul finit de puncte în care sunt legate elementele se

numesc puncte nodale sau pur şi simplu noduri. Funcţiile de aproximare sunt definite în funcţie de

valorile variabilelor câmp în punctele nodale. Nodurile de obicei, se află pe marginile elementelor,

acolo unde elementele adiacente sunt considerate a fi legate. În plus faţă de nodurile marginale,

un element poate avea şi câteva noduri interioare. Valorile nodale ale variabilei câmp şi funcţiile de

aproximare pentru elemente definesc complet comportarea modelului. Elementele, nodurile,

funcţiile de aproximare, variabilele câmp formează toate modelul matematic. Modelul matematic

înlocuieşte în calcule continuumul real. Pentru a genera modelul matematic al unui continuum

elastic se fac aproximări în felul următor:

- Continuumul este împărţit de linii sau de suprafeţe imaginare într-un număr de

elemente finite.

- Elementele se presupun a fi interconectate într-un număr discret de puncte nodale

situate pe marginile lor. Deplasările acestor puncte nodale vor fi parametrii de bază

necunoscuţi ai problemei.

- Se alege un set de funcţii pentru a defini în mod unic starea de deplasări în interiorul

fiecărui element finit în funcţie de deplasările sale nodale.

- Funcţiile de deplasare vor defini în mod unic starea de deformaţii în interiorul fiecărui

element finit în funcţie de deplasările sale nodale. Aceste deformaţii împreună cu orice

alte deformaţii iniţiale şi proprietăţile constitutive ale materialului vor defini starea de

eforturi pe întreg elementul şi ca urmare şi pe marginile sale.

- Se determină un sistem de forţe concentrate în noduri, care echilibrează eforturile

marginale şi orice încărcări distribuite rezultând o relaţie de rigiditate.

Modul de aproximare este foarte important deoarece

a) În primul rând, nu este întotdeauna uşor să se asigure că funcţiile de deplasare alese vor

satisface condiţia de continuitate a deplasării între elementele adiacente. De aceea condiţia

de compatibilitate pe astfel de linii poate fi încălcată.

b) În al doilea rând, prin concentrarea forţelor echivalente în noduri, condiţiile de echilibru sunt

satisfăcute numai în sens global. De obicei vor apare încălcări locale ale condiţiilor de

echilibru în cadrul fiecărui element şi pe marginile acestuia.

Alegerea formei elementului finit şi a formei funcţiei de deplasare pentru diverse cazuri

particulare depinde mult de ingeniozitate.

Am discutat pe scurt despre metoda elementului finit, dar încă nu am menţionat

despre o caracteristică foarte importantă a acestei metode, care o diferenţiază de alte

metode numerice aproximative. Această caracteristică este capacitatea de a formula soluţii

pentru elemente individuale înainte de a le asambla împreună pentru a reprezenta întreaga

problemă. Aceasta înseamnă că, de exemplu, dacă avem o problemă de analiză de

eforturi, putem determina caracteristicile forţă-deplasare sau cele de rigiditate ale fiecărui

element şi apoi să asamblăm elementele pentru a găsi rigiditatea întregii structuri. În

esenţă, o problemă complexă se reduce la a considera o serie de probleme foarte mult

simplificate.

Soluţia unei probleme de continuum cu metoda elementului finit urmează

întotdeauna un proces sistematic pas cu pas. Mai jos este prezentată o listă a acestor paşi:

1. Discretizarea continuumului. Primul pas constă în împărţirea

continuumului în elemente. Poate fi folosită o varietate mare de forme de

elemente şi, cu grijă, elemente cu forme diferite pot fi utilizate în aceeaşi

regiune a soluţiei. Într-adevăr, atunci când se analizează o structură elastică,

care are diferite tipuri de componente, cum ar fi plăci şi grinzi, nu este numai

de dorit ci chiar este necesar să folosim diferite tipuri de elemente în aceeaşi

soluţie. Deşi numărul şi tipul de elemente care urmează să fie utilizate într-o

anumită problemă sunt chestiuni de judecată inginerească, analistul se

poate baza pe experienţa altora pentru ghidare.

2. Selectarea funcţiilor de aproximare (funcţii de interpolare). Următorul

pas constă în atribuirea de noduri fiecărui element şi apoi alegerea tipului de

funcţie de interpolare pentru a reprezenta variaţia variabilei câmp pe

element. Variabila câmp poate fi un scalar, un vector sau un tensor de ordin

superior. Deseori, deşi nu întotdeauna, sunt selectate polinoame ca funcţii

de interpolare pentru variabila câmp, deoarece acestea sunt uşor de integrat

şi de diferenţiat. Gradul de polinomului ales depinde de numărul de noduri

atribuite elementului, de natura şi numărul de necunoscute din fiecare nod,

şi de anumite cerinţe de continuitate impuse în noduri şi de-a lungul

marginilor elementului. Mărimea variabilei câmp, precum şi mărimea

derivatelor sale pot fi necunoscutele din noduri.

3. Determinarea proprietăţilor elementului. Odată ce a fost stabilit modelul

cu elemente finite (adică, odată ce au fost selectate elementele şi funcţiile

lor de interpolare), suntem pregătiţi să determinăm ecuaţiile matriceale care

exprimă proprietăţile elementelor individuale. Pentru aceasta putem folosi

una din următoarele metode: metoda directă, metoda variaţională, metoda

reziduală ponderată sau metoda echilibrului energetic.

4. Asamblarea proprietăţilor elementului pentru a obţine sistemul de

ecuaţii. Pentru a găsi proprietăţile sistemului global modelat de reţeaua de

elemente, trebuie să "asamblăm" toate proprietăţile elementelor. Cu alte

cuvinte, noi trebuie să combinăm ecuaţiile matriceale exprimă comportarea

întregului sistem. Ecuaţiile matriceale pentru sistem au aceeaşi formă ca şi

ecuaţiile pentru un element individual, cu excepţia faptului că acestea conţin

mult mai mulţi termeni, pentru că ele includ toate nodurile. Baza procedeelor

de asamblare rezultă din faptul că într-un un nod în care elementele sunt

interconectate valoarea variabilei câmp este aceeaşi pentru fiecare element

legat în nodul respectiv. Asamblarea ecuaţiilor elementare este o chestiune

de rutina in analiza cu element finit şi de obicei se face automat de

calculatorul electronic. Înainte ca sistemul de ecuaţii să fie gata pentru

rezolvare, acestea trebuie să fie modificate pentru a lua în considerare

condiţiile de margine ale problemei.

5. Rezolvarea sistemului de ecuaţii. Din procedeul de asamblare din pasul

precedent rezultă un set de ecuaţii simultane, pe care le putem rezolva

pentru a obţine valorile nodale necunoscute ale variabilei câmp. Aceste

ecuaţii pot fi liniare sau neliniare.

6. Efectuarea de calcule suplimentare (dacă se doreşte). Uneori, am putea

dori să folosim soluţia sistemului de ecuaţii pentru a calcula alţi parametri

importanţi. De exemplu, pentru o anumită structură în domeniul elastic

soluţia sistemului de ecuaţii reprezintă distribuţia de deplasări din cadrul

sistemului. Din valorile nodale ale deplasărilor putem apoi calcula distribuţia

tensiunilor tangenţiale, dacă dorim.

2 Discretizarea structurii (sau definirea elementelor)

După cum am văzut, în orice analiză cu element finit, primul pas constă în a înlocui un

sistem complex cu un sistem echivalent idealizat alcătuit din elemente individuale conectate între

ele în puncte sau noduri specificate. Gradul până la care asamblarea elementelor reprezintă

întregul de obicei depinde de numărul, mărimea şi tipul de elemente alese pentru reprezentare.

Uneori este posibil să se aleagă elementele într-un mod care conduce la o reprezentare exactă,

dar acest lucru se întâmplă doar în cazuri speciale. Cel mai adesea alegerea elementelor este o

chestiune de judecată inginerească bazată pe experienţa acumulată.

Împărţirea unui continuum în elemente finite Ve trebuie să îndeplinească următoarele două

cerinţe principale:

a) Două elemente distincte pot avea puncte comune, numai pe marginile lor comune. În cazul

în care există astfel de margini nu este permisă nici un fel de suprapunere a lor. Marginile

comune pot fi puncte, linii sau suprafeţe.

v1 v2

margine

o dimensiune

v1

v2

margine

2 dimensiuni

v1 v2

margine

3 dimensiuni

v1 v2

Suprapunere

b) Elementele asamblate trebuie să nu lase nici un gol în interiorul continuumului (domeniului)

şi să aproximeze geometria reală a domeniului cât mai exact posibil.

v1 v2

gol

Atunci când marginea unui continuum (domeniu) nu poate fi exact reprezentată de

elementele selectate, o eroare nu poate fi evitată. O astfel de eroare se numeşte eroare de

discretizare geometrică şi poate fi micşorată prin reducerea mărimii elementelor sau prin utilizarea

de elemente care permit marginilor să devină curbe.

Eroare de discretizare

cresterea numarului

de elemente

folosirea marginilor

curbe

Cele două condiţii sunt îndeplinite dacă elementele sunt construite astfel:

- Fiecare element este unic definit de nodurile geometrice situate pe acest

element. De cele mai multe ori nodurile sunt pe marginea elementului şi pot fi

comune altor elemente adiacente.

- Fiecare porţiune de margine trebuie să fie unic definită de coordonatele

nodurilor geometrice aparţinând porţiunii respective. Astfel, o porţiune a marginii

comune a două elemente diferite este definită identic într-unul sau altul din

elementele care împart acea margine comună.

1

2

3margine

marginea 1-2-3 trebuie definitã în

mod unic de nodurile 1, 2 si 3

DM FM

3 Tipuri de elemente finite

3.1 Element de bară dublu articulată – Element de grindă cu zăbrele (truss)

Elementul de bară dublu articulată este cel mai simplu element structural. El necesită două

forţe elementare în metoda deplasărilor (DM) şi doar de o singură forţă elementară în metoda

forţelor (FM). Acest element nu are nici o rigiditate la încovoiere şi preia doar o distibuţie de eforturi

unidimensională. În fig. 1 şi în toate figurile ulterioare din acest capitol forţele corespunzătoare

elementului în FM sunt indicate cu săgeţi cu linii continue, în timp ce reacţiunile corespunzătoare

sunt prezentate cu săgeţi cu linii punctate.

Fig. 3.1 Bară dublu articulată

3.2 Element de grindă (Beam)

În DM sunt necesare patru forţe tăietoare, două forţe axiale, patru momente încovoietoare

şi două momente de răsucire pentru acest tip de element. Toate forţele acţionează la capetele

grinzii. În FM pentru acest element sunt necesare două forţe tăietoare, o forţă axială, două

momente încovoietoare şi un momente de răsucire.

DM FM

Fig. 3.2 Element de grindă

3.3 Element de placă triunghiular (forţe în plan)

Deformaţiile în plan şi cele din încovoiere sunt necuplate pentru valori mici ale deplasărilor

şi ca urmare proprietăţile elastice pot fi evaluate separat în plan şi în afara planului. În DM vom

folosi două forţe în fiecare vârf al triunghiului, în timp ce în FM este de preferat să fie selectate trei

seturi de forţe marginale, aşa cum se prezintă în fig. 3.3. În FM sunt posibile şi alte opţiuni pentru

alegerea forţelor elementului.

Fig. 3.3. Element de placă triunghiular

3.4 Element de placă dreptunghiular (forţe în plan)

DM FM

Fig. 3.4. Element de placă dreptunghiular

Numărul de forţe elementare este DM = 8, FM = 5

3.5 Tetraedru

Numărul de forţe elementare este în DM = 12

Numărul de forţe elementare este în FM = 6

DM FM

DM FM

Fig. 3.5. Tetraedru solid

3.6 Element de placă triunghiular (eforturi din încovoiere)

Considerând doar efectele din încovoiere (forţe ce acţionează în afara planului) avem



Fig. 3.6 Element de placă triunghiular (eforturi din încovoiere)

3.7 Element de placă dreptunghiular

Considerând doar eforturile din încovoiere avem



DM FM

DM FM

Fig. 3.7 Element de placă dreptunghiular (eforturi din încovoiere)

3.8 Panou pentru fluxuri constante de forfecare

Idealizarea fixării continue (panoul pentru fluxuri constante de forfecare) a fost utilizată pe

scară largă în analiza eforturilor din învelişul structurilor de aeronave. În general, dă rezultate

excelente cu condiţia ca efectele coeficientului lui Poisson să poată fi neglijate.



DM FM

Fig. 3.8 Panou pentru fluxuri constante de forfecare

3.9 Panou cu noduri centrate

Fluxurile constante de forfecare pot fi înlocuite cu forţe tăietoare aplicate în mijlocul laturilor

panoului. Această idealizare se poate utiliza apoi în combinaţie cu elementele de bară dublu

articulată pentru a reprezenta capacitatea portantă a panoului la tensiuni normale.



DM FM

Fig. 3.9 Panou pentru fluxuri constante de forfecare cu noduri centrate

DM FM

3.10 Element pentru forţe axiale

Acest element este folosit în combinaţie cu panoul pentru fluxuri constante de forfecare

pentru a reprezenta capacitatea portantă a panoului la tensiuni normale.



Fig. 3.10 Element pentru forţe axiale

3.11 Element de placă curbă axial simetrică

Elementul constă dintr-un trunchi de con cu forţe şi momente distribuite pe margini ca forţe

elementare. Forţele tangenţiale sunt, de asemenea, incluse între forţele elementare.



DM FM

Fig. 3.11 Element de placă curbă axial simetrică

3.12 Element de inel triunghiular axial simetric

Acest element este folosit în analiza inelelor solide axial simetrice. Forţele tangenţiale însă

nu sunt considerate.



DM FM

Fig. 3.12 Element de inel triunghiular axial simetric

4 Construirea matricei de rigiditate a elementului finit

4.1 Metoda analitică (recapitulare)

Conceptul de matrice de rigiditate a elementului finit

Matricea de rigiditate a unui element se defineşte ca relaţia între deplasările independente

de la capetele elementului şi eforturile corespunzătoare, care nu trebuie să fie neapărat

independente.

De exemplu, să considerăm elementul prismatic 1-2 capabil să preia doar forţe axiale,

prezentat în figura 1. Deplasările axiale vor fi iar eforturile corespunzătoare în capătul

1, respectiv 2.

u1

F1

u2

F21 2

Fig. 4.1

Trebuie remarcat faptul că datorită condiţiilor de echilibru trebuie ca . Cu alte

cuvinte, în timp ce şi sunt independente, depinde de sau vice-versa. Pentru acest

element relaţia forţă – deformaţie se obţine astfel:

alungirea netă

deformaţia axială unde = lungimea elementului

tensiunea axială , unde E = modulul lui Young

forţa axială , unde A = aria secţiunii transversale

şi

Relaţia forţă-deplasare de mai sus poate fi exprimată sub formă matriceală astfel

Aceasta este matricea de rigiditate a unui element capabil să preia doar forţe axiale având

deplasările orientate numai după direcţia axială.

Ca un alt exemplu, să considerăm elementul prismatic din figura 4.2 supus încovoierii

drepte pure. Deplasările independente sunt translaţiile şi rotirile la capătul 1, respectiv

2. Eforturile corespunzătoare sunt forţele tăietoare şi momentele încovoietoare at

din capătul 1, respectiv 2.

Ca şi în cazul elementului solicitat doar axial din condiţiile de echilibru trebuie ca

şi = 0. Cu alte cuvinte din cele patru eforturi doar două sunt

independente, de exemplu sau sau etc.

v1v2

1 2 1 2

T1 T2

M1

M2

Fig. 4.2

Relaţia dintre eforturi şi deplasări poate fi obţinută utilizând binecunoscutele expresii ale

deformatei unei structuri (de exemplu din metoda deplasărilor) care sunt date de

Din condiţiile de echilibru

EI = modulul de rigiditate la încovoiere şi l = lungimea elementului. Relaţiile de mai sus pot fi scrise

sub formă matriceală astfel

Trebuie subliniat faptul că matricea de rigiditate este pătrată şi simetrică. Simetria este o

proprietate generală a matricei de rigiditate şi este o consecinţă a reciprocei teoremei lui Maxwell-

Betti.

4.2 Determinarea matricei de rigiditate a elementului folosind soluţia exactă

a ecuaţiilor diferenţiale de echilibru

În acest capitol vom determina matricea de rigiditate pentru elementul supus la încovoiere

pură dreaptă din fig. 4.2. Ecuaţia diferenţială relevantă este dată de

Ecuaţia de mai sus este o ecuaţie diferenţială liniară cu coeficienţi constanţi. Ea este şi

omogenă pentru că membrul drept este egal cu zero. De aceea soluţia particulară este egală cu

zero şi soluţia generală (sau funcţia complementară), care este şi soluţia completă, este dată de

, la constante arbitrare

Condiţiile de margine sunt

Trebuie remarcat că şi

În figura următoare sunt prezentate funcţiile de formă şi

N

0

0.5

1

0.5 1

N1

N2

Fig. 4.3

Funcţiile de formă şi sunt polinoame Hermite. Un alt mod de calcul pentru este, de

exemplu, următorul.

Gradul maxim al lui poate fi trei în cazul nostru. Presupunând că este un polinom el

poate fi exprimat ca

cu constante arbitrare. Constantele vor fi determinate

cu ajutorul condiţiilor de margine

pentru

care este identic cu cel obţinut cu metoda precedentă.

În acelaşi mod pot fi calculate . De exemplu

Obţinem

Presupunând că cu constante arbitrare, avem

Condiţiile de margine pentru sunt

şi pentru

Eforturile la capetele elementului sunt date de

După efectuarea diferenţierilor şi simplificărilor, matricea de rigiditate pentru elementul

solicitat la încovoiere este dată de (4.2).

F

[N] M ( F

u]O

A

B

d

Fig.4.4 Fig. 4.5

Fig. 4.4 arată o curbă generală efort (F) – deformaţie (δ) pentru un element alcătuit dintr-un

material caracterizat de o curbă tensiune – deformaţie specifică neliniară elastică. Acesta este

cazul cel mai general dar în exemplele noastre viitoare vom considera doar materiale cu

comportare liniar elastică (cu relaţii liniare între eforturi şi deformaţii) ca în fig. 4.5.

Aria AOB de sub curba (linia) OA se numeşte energie de deformaţie W şi aria AOD

deasupra curbei OA este numită energie complementară W*.

sau

Efort (F) Deformaţie (δ) Energia de deformaţie pentru grinzi (W)

F

T

M

4.3 Calculul automat al matricei de rigiditate a unui element cu ajutorul

metodei echilibrului energetic

4.3.1 Obiectivul metodei

Energia de deformaţie şi energia complementară sunt ambele energii potenţiale. Expresia

matricei de rigiditate în metoda elementelor finite poate fi obţinută după minimizarea energiei

potenţiale totale a sistemului.

Energia potenţială totală este o funcţională (notată π), care este o funcţie de un ansamblu

de funcţii şi derivatele lor.

(4.3)

unde - este energia potenţială interioară

şi - este energia potenţială exterioară

În cazul în care deplasările nodale sunt notate cu şi încărcările aplicate (în noduri) cu

atunci

(4.6)

Deformaţiile specifice pot fi scrise ca

(4.8)

unde este un operator diferenţial.

De exemplu, pentru un element în plan

;

(4.9)

În metoda elementelor finite domeniul V este împărţit într-un număr discret de elemente. În

aceste condiţii toate relaţiile (4.3)-(4.9) trebuie scrise în funcţie de valori discrete în loc de valorile

continue. Acesta este motivul pentru care deplasările u şi v trebuie exprimate ca funcţii de

deplasările de la capetele fiecărui element .

(4.10)

unde sunt funcţii de formă care depind de tipul elementului finit.

Considerând aceste aproximări ecuaţia (4.8) devine

(4.11)

unde (4.12)

Folosind ecuaţia (4.11) în relaţia (4.7) avem

În metoda elementelor finite această funcţională este o sumă de valori corespunzătoare fiecărui

element

unde este numărul de elemente finite.

Structura este în echilibru în prezenţa condiţiilor de margine numai dacă funcţionala este minimă.

Acest lucru este echivalent cu

Unde m este numărul tuturor deplasărilor elementului i.

Întregul domeniu (structura) poate fi discretizat (împărţit) la limită într-un singur element. De aceea

condiţia (4.15) este aceeaşi cu

(4.17)

Dar

conduce la condiţia

care poate fi scrisă ca

Matricea este matricea de rigiditate a elementului i şi este vectorul

forţelor nodale echivalente.

4.3.2 Aproximarea nodală

4.3.2.1 Soluţia analitică

Prima aproximare făcută în metoda elementelor finite a fost cea dată de relaţia (4.10).

Trebuie să exprimăm un câmp continuu de deplasări ca o funcţie de un număr finit de deplasări

cunoscute. Dacă un element are deplasările verticale prezentate în fig. 4.6. este necesară o

expresie pentru a aproxima .

x1

ve(x)v1 v2

x x2 x

Fig. 4.6.

(4.21)

Cel mai des se aleg polinoame ca funcţii de aproximare .

Funcţia satisface condiţiile

(4.22)

În cazul nostru considerând un polinom de gradul întâi pentru

Similar pentru

Condiţiile pentru rezultă din

sunt coordonatele nodale

sunt numite variabile nodale

sunt numite funcţii de interpolare.

x1

v(x)v1 v2

x x2 x

Fig. 4.7.

Fig. 4.7. arată aproximarea pentru obţinută utilizând funcţiile de interpolare , .

Un mare dezavantaj al funcţiilor este că ele sunt diferite pentru fiecare element. De aceea în

practică, pentru simplitate, un element real este definit într-un spaţiu abstract adimensional cu o

formă geometrică foarte simplă. Geometria elementului de referinţă este apoi transpusă în

geometria elementului real folosind expresii geometrice de transformare. De exemplu pentru o

grindă

-1 0 1

Vr

Element de referinta

xi xj x

e

Element real

Ve

Fig. 4.8.

Transformarea defineşte coordonatele punctului elementului real în funcţie de

coordonatele abstracte ale punctului corespunzător al elementului de referinţă.

Transformarea depinde de forma şi poziţia elementului real. Astfel, există o transformare

diferită pentru fiecare element real.

-1 0 1

Vr

1

x1 x2 x3V1

V2

2

Fig. 4.9

Elementul 1:

Elementul 2:

Vom utiliza o transformare liniară în funcţie de coordonatele geometrice ale unui element

real

(4.24)

(4.25)

Funcţiile , în mod normal, alese ca polinoame în ξ se numesc funcţii de transformare

geometrică. Cu transformarea geometrică este posibil acum să se înlocuiască definiţia analitică a

fiecărui element real în funcţie de coordonatele reale x cu definiţia analitică mai simplă a

elementului său de referinţă în funcţie de coordonatele adimensionale . Astfel avem

(4.26)

Care, pentru simplitate va fi notată

Funcţiile şi sunt diferite, dar iau aceeaşi valoare în punctele corespondente.

Considerând and

-1 0 1 x1 x2x

cu şi

4.3.2.2 Calculul automat al funcţiilor and

Pentru aproape fiecare tip de element finit funcţiile şi pot fi construite cu polinoame

Lagrange sau Hermite.

Se poate demonstra că

(4.28)

unde sunt variabilele generalizate. Ele sunt distincte de . Numărul de variabile

generalizate trebuie să fie egal cu numărul de grade de libertate ale elementului .

Pentru a construi transformarea geometrică , vom selecta expresii de aceeaşi formă

pentru x, y şi z.

(4.29)

Numărul funcţiilor şi al coeficienţilor şi este egal cu numărul nodurilor

geometrice ale elementului. Dar şi relaţia (4.28) poate fi scrisă de ori.

(4.30)

(4.31)

Inversând matricea nodală de ordinul

(4.32)

Pentru a defini în mod unic matricea în funcţie de în (4.30) aceasta nu trebuie să

fie singulară. Cum este independentă de geometria elementului real, odată ce am stabilit că

matricea nu este singulară aceasta va fi aşa pentru toate elementele reale care au acelaşi

element de referinţă.

În mod similar, vom scrie ecuaţia (4.29) pentru coordonatele nodurilor geometrice şi

obţinem

(4.33)

astfel, după inversarea matricei

(4.34)

Înlocuind (4.32) în (4.28)

(4.35)

(4.36)

În mod similar, obţinem

(*)

unde (4.37)

Diferenţiind (4.35) se obţine

Trebuie remarcat faptul că nu s-a găsit nici o metodă sistematică pentru construirea

funcțiilor şi . Dar pentru elementele clasice s-au determinat câteva formule bine cunoscute. În

aceste formule termenii sunt de obicei monoame ca şi aşa mai departe.

a. Aplicaţie pentru un element solicitat axial

-1 1

1 2u1 u2

1 2u1 u2

xx1 x2

Elementul de referinţă Elementul real

Fig. 4.10

- numărul de noduri

- numărul de coordonate geometrice de acelaşi tip

– numărul de grade de libertate

Prin convenţie nodurile se numerotează de la stânga la dreapta. Nodurile geometrice şi

nodurile de interpolare sunt identice, iar elementul este isoparametric. Datorită acestei ultime

proprietăţi funcţiile şi sunt identice.

(Elementul este isoparametric deoarece 2 parametri

2 parametri)

Vectorul din (4.30) conţine doar doi termeni .

Relaţia (4.30) devine

(4.40)

Doar două condiţii de margine pot fi scrise pe element, de aceea gradul maxim al monoamelor

utilizate pentru şi este unu. Rezultă că unica posibilitate de a construi este de a alege

şi .

Din (4.40) rezultă

(4.41)

şi sunt coordonatele nodurilor de interpolare 1 şi 2 din elementul de referinţă.

În conformitate cu (4.28)

(4.42)

Din (4.36)

dar

deci

şi (4.44)

b. Aplicaţie pentru un element supus la încovoiere pură dreaptă

-1 1

1 2 1 2

xx1 x2

Element de referinţă Element real

Fig. 4.11.

Numărul maxim de condiţii de margine este astfel încât gradul maxim al monoamelor

care formează sau poate fi trei.

Funcţiile sunt identice cu cele ale elementului solicitat axial.

Ca urmare (4.45)

Determinarea funcţiilor N trebuie să ia în considerare faptul că există două variabile în

fiecare nod (o deplasare şi o rotire). Alegând format din următoarele monoame

( (4.46)

rezultă

Astfel

(4.50)

c. Aplicaţie pentru un element de placă plană triunghiular

(0,0) (1,0)

Element de referinta

(0,1))

) )

Element real

x

y

(x3,y3)

(x1,y1) (x2,y2)

Fig. 4.12.

- numărul de noduri

- numărul de coordonate geometrice de acelaşi tip

(4.51a)

(4.51b)

Din (4.37)

Vom considera următoarele monoame astfel încât

(4.52)

Inversa lui este

(4.53)

(4.54)

(0,0) (1,0)

(0,1)

x

yv3

u3

v2

u2

v1

u1

v1

u1

v3

u3

v2

u2

Fig. 4.13.

Numărul de grade de libertate pe nod este de două (u şi v). Variabilele nodale sunt însă

independente.

În conformitate cu (4.35)

(4.55a)

(4.55b)

Urmând aceiaşi paşi ca în cazul coordonatelor geometrice rezultă că

(4.56)

introduce re in mef cursuri 1 6

Documents