Ce este MEF şi unde se aplicǎ ?

Metoda elementelor finite (MEF) este o metodǎ generalǎ de rezolvare aproximativǎ a ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale care descriu sau nu fenomene fizice. Principial MEF constǎ în descompunerea domeniului de analiză în porţiuni de formă geometrică simplă, analiza acestora şi recompunerea domeniului respectând anumite cerinţe matematice.

Problema derivatelor parţiale este redusǎ la un sistem de ecuaţii algebrice, la o problemǎ de valori şi vectori proprii sau la un sistem de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul unu sau doi. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii sau a problemelor de valori si vectori proprii ar fi practic imposibilǎ dacǎ nu s-ar dispune de CALCULATOR şi SOFT - totalitatea programelor de calcul care realizeazǎ funcţionalitatea şi folosirea calculatorului inclusiv a unui program cu elemente finite. Pentru rezolvarea unei aplicaţii este nevoie şi de un ANALIST, adică o persoană care să fie în măsură a folosi calculatorul şi programul cu elemente finite pentru a rezolva o aplicaţie.

Din punct de vedere al domeniilor de aplicaţie metoda poate fi extinsǎ în orice domeniu de activitate care descrie un fenomen cu ajutorul unor ecuaţii diferenţiale. Pânǎ în prezent metoda s-a dezvoltat în mod deosebit în domenii ca: analiza structuralǎ; analiza termicǎ; analiza fluidelor; analiza electricǎ; analiza magneticǎ, dar şi în analiza fenomenelor complexe interdisciplinare cum ar fi: analiza termoelastică, analiza cuplată termic şi structural, analiza interacţiunii fluid-solid; analiza electro-magnetică; analiza piezoelectrică şi altele.

Scurt istoric

1943 – Courant studiază răsucirea - problema Saint Venant, prin discretizare cu triunghiuri.1953 – 1959 se formulează şi definitivează metoda deplasărilor la Boeing de către Turner.1960 – Se utilizează pentru prima dată termenul de element finit de către Clough.

1

1967 – Prima carte despre metoda elementelor finite - Zienkiewicz şi Cheung.1965 – 1972 NASTRAN1965 – SAMCEF1970 – ANSYS1973 – apare SAP4 primul cod MEF sursă free. 1975 – ADINA1978 – ABAQUS1985 – COSMOS-MAlte programe: IDEAS-MS, PATRAN, ALGOR etc. Din 1967 MEF se aplică şi în alte domenii decât structural (termal, fluid, electromagnetic, etc).

Cunoştinţe necesare pentru a realiza programe cu elemente finite

MEF are un caracter pluridisciplinar. Implementarea unor programe cu elemente finite pentru anumite tipuri de probleme sau chiar a unui program general de calcul în domeniul ingineriei mecanice, cu precǎdere pentru calcule ale structurilor de rezistenţǎ, impune stǎpânirea diciplinelor (vezi Fig. 1):

-mecanica structurilor (mecanica staticǎ, dinamicǎ, rezistenţa materialelor, vibraţii);-analiza numericǎ (proceduri şi algoritmi de calcul precum şi cunoştinţe de graficǎ pe

calculator);-programare într-un limbaj de nivel înalt (FORTRAN, C, BASIC sau PASCAL).De obicei grupǎri mici de cercetǎtori într-un domeniu relativ restrâns elaboreazǎ

programe de calcul folosind MEF pentru nevoile imediate sau probleme relativ simple.

Fig. 1: Caracterul pluridisciplinar al MEF

Programe mari, cu facilitati multiple sunt realizate de firme specializate, astfel se pot enumera câteva programe (coduri executabile) care sunt folosite de colectivele de proiectare/cercetare din ţarǎ sau în universitǎţi, în scop educaţional şi de cercetare: NASTRAN-Patran, ANSYS, ABAQUS (în CATIA), COSMOS (în SolidWork), ADINA, ALGOR, variante SAP şi altele.

Programele prezentate şi folosite la laborator sunt scrise în limbajul de programare FreePascal 1.0.10, sunt programe mici, specializate pe diverse tipuri de probleme şi au fost realizate în principal pentru scop didactic.

În ultimul timp a luat avânt programarea în MATLAB care pentru studenţi este foarte comodǎ şi permite rezolvarea unor aplicaţii la temele de casă.

2

Cunoştinţe necesare unui utilizator al MEF

Un utilizator – student – posibil viitor analist, este pus în situaţia rezolvǎrii unei anumite probleme şi nu în a implementa un program cu elemente finite pentru rezolvarea ei, de aceea utilizatorul trebuie sǎ afle dacǎ problema se preteazǎ rezolvǎrii cu MEF şi sǎ foloseascǎ un program adecvat problemei respective.

Odatǎ stabilit programul de calcul este necesar a se face o informare asupra posibilitaţii programului. Dacǎ performanţele programului convin trebuie sǎ ne informǎm despre modul de lucru al programului şi sǎ pregǎtim problema pentru rezolvare !

Trebuie sǎ menţionǎm de la început cǎ programul de calcul folosit pentru analiza problemei nu rezolvǎ structura reală, ci doar un MODEL al ei pe care în general îl face utilizatorul.

STRUCTURA DE CALCUL → MODEL → ANALIZĂ cu MEF

Rezultatele pot fi confirmate sau nu, funcţie de cum a fost ales modelul de calcul. Modelarea este o activitate de simplificare a structurii prin încadrarea diverselor porţiuni ale structurii în categoria barelor, plǎcilor, blocurilor, prin simplificarea încǎrcǎrilor şi a rezemǎrilor etc. Modelarea corectǎ (cât mai aproape de realitate) ţine de experienţǎ, inspiraţie şi nu mai puţin de cunoaşterea bazelor teoretice ale metodei. De regulă un model se dezvoltă funcţie de scopul analizei.

Scopul cursului şi a lucrǎrilor de laborator este de a scoate în evidenţǎ unele aspecte ale modelǎrii şi a fixa noţiunile generale ale MEF astfel încât dupǎ promovarea acestei discipline utilizatorul sǎ poatǎ aborda şi utiliza, cu mici rezerve, orice cod de MEF.

Cunoştinţele necesare se dobândesc pe mǎsurǎ ce utilizatorul rezolvǎ diverse probleme. Nu trebuie uitat faptul cǎ pentru a rezolva corect o problemǎ este absolut necesarǎ (nu şi suficientă) livrarea tuturor datelor care definesc problema.

Programele de firmǎ respectǎ anumite reguli generale de introducere a datelor (notaţii unificate, ordonarea comenzilor de pregǎtire a datelor, import modele din CAD, etc), ceea ce faciliteazǎ lucrul la programe diferite pentru utilizatori experimentaţi. Pentru începǎtori este indicat a se folosi un singur program de lucru.

Odatǎ stabilit modelul de calcul, se impune pregǎtirea datelor de intrare pentru rezolvarea problemei. Fiecare program cu elemente finite prezintǎ particularitǎti care trebuie învǎţate dar existǎ o serie de reguli de bazǎ ale metodei care odatǎ stǎpânite permite abordarea oricǎrui program cu elemente finite.

Indiferent de metoda abordată, analiza unei structuri reale prezintă câteva etape esenţiale:

-structura reală se identifică, prin folosirea unor ipoteze simplificatoare, cu un model fizic primar, numit “model conceptual”;

-modelul primar serveşte la formularea unui “model matematic”, adică la un set de ecuaţii care urmează a fi rezolvate;

-rezultatele obţinute sunt interpretate şi dacă există motive întemeiate acestea pot fi validate. Astfel seria celor două modele conceptual şi matematic pot fi folosite şi pentru alte probleme similare.

Concepte de bază în MEF - introducere

Un domeniu solid oarecare, considerat plan numai din considerente de prezentare (Fig. 2.a), este raportat la un sistem de referinţă cartezian XOY, este încărcat cu o forţă F şi încastrat pe conturul din stânga. Fiecare punct al domeniului prezintă o deplasare pe direcţia OX, notată ( )YXu , şi una pe direcţia OY, ( )YXv , . Domeniul prezentat poate fi identificat cu un model de calcul conceptual, totuşi în continuare acesta se va numi structură. Problema

3

prezentată reprezintă practic o bară de secţiune variabilă în consolă încărcată în capătul liber pentru care se caută soluţia, adică de exemplu săgeata şi tensiunea echivalentă maximă.

(a) (b)

Fig. 2: Abordarea unei probleme în MEF. (a) Domeniu de analiză; (b) Discretizarea domeniului de analiză

Din punct de vedere matematic, în teoria elasticităţii, problema prezentată este descrisă de un set de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale şi de anumite condiţii la limită. Pentru anumite cazuri particulare, adică forme geometrice simple şi încărcări bine alese, există soluţii analitice pentru expresiile câmpului deplasărilor şi al tensiunilor. În general problema nu se poate rezolva pe cale analitică. Se menţionează că o rezolvare analitică prezintă soluţii pentru o infinitate de puncte din domeniul de analiză. Se spune că domeniul de analiză reprezintă o structură continuă. O alternativă de a rezolva astfel de probleme o constituie metoda elementelor finite (MEF).

Pentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiză (sau volumul structurii) notat V, se împarte într-un număr NE de subdomenii sau fragmente (porţiuni de formă geometrică relativ simplă, fiecare de volum Ve) numite elemente finite. Deoarece elementele finite nu se

intersectează între ele se poate scrie că ∑=

=NE

e

eVV1

. Fiecare element finit se numerotează

(este identificat printr-un număr), de obicei de la 1 la numărul total de elemente finite NE. Raportarea la un element oarecare se face de obicei printr-un indice superior (“e” pentru un element oarecare).

Elementele finite se pun în evidenţă (geometric) prin intermediul unor puncte, de exemplu colţurile triunghiului, dacă elementul finit are forma unui triunghi. Aceste puncte poartă denumirea de noduri. Elementele finite "se leagă" (interacţionează) între ele prin intermediul nodurilor comune, astfel că în domeniul de analiză există un număr finit de noduri. Similar elementelor, nodurile se numerotează, de obicei, de la 1 la numărul total de noduri NN.

Operaţia de împărţire a unui domeniu în noduri şi elemente finite de un singur tip sau chiar mai multe tipuri, precum şi numerotarea acestora, adică atribuirea unor numere de identificare, poartă denumirea de discretizare (Fig. 2,b). Discretizarea nu este unică, în general ea se realizează astfel încât să răspundă unor cerinţe practice.

Pentru exemplul prezentat, fiecare nod din domeniul de analiză are o deplasare posibilă pe orizontală-axa OX şi una pe verticală-axa OY, se poate spune că există doi parametri independenţi care definesc unic deplasarea unui nod în plan. Aceşti parametri poartă denumirea de grade de libertate ataşate nodului. De obicei, gradele de libertate ale tuturor nodurilor definite reprezintă necunoscutele primare ale problemei în MEF, în exemplul de faţă, gradele de libertate nodate UX şi UY definesc deplasarea "posibilă" a unui nod oarecare.

Pentru unele noduri (1, 2, 3 şi 4 din încastrare), deplasările sunt nule, deci în aceste puncte gradele de libertate se definesc "potenţial", ele nu reprezintă necunoscute. Numărul total de grade de libertate al problemei N se obţine prin însumarea gradelor de libertate

4

active ale tuturor nodurilor. Prin grade de libertate active se înţeleg acele grade de libertate care definesc o deplasare necunoscută.

Din cele prezentate mai sus rezultă că un domeniu continuu cu un număr infinit de grade de libertate este transpus într-un model discret cu N grade de libertate, deci necunoscutele problemei se limitează funcţie de discretizare.

Deoarece analiza cu elemente finite este dependentă de implementarea unor programe de calcul, mărimile cu care aceasta lucrează sunt de regulă vectori şi matrice.

Fig. 3: Gradele de libertate şi forţele nodale pentru un element oarecare e

Fig. 4: Forţele exterioare care lucrează în model şi echilibrul unui nod oarecare n

Pentru toată structura se defineşte vectorul deplasărilor nodale totale sau al structurii{ } { } T

NNyNNxyxyx UUUUUUU ,,2,2,1,1, = , (1)şi vectorul forţelor nodale exterioare

{ } { } TNNyNNxyxyx FFFFFFF ,,2,2,1,1, = . (2)

Se consideră un element oarecare e din discretizarea precedentă (Fig. 3), pentru care cele trei noduri se notează cu I, J şi K. Se defineşte vectorul deplasărilor nodale al elementului, de fapt al tipului de element finit triunghiular

{ } { } TKyKxJyJxIyIx

e UUUUUUU ,,,,,,= , (3)care, din condiţii de continuitate, este un subset al vectorului definit de relaţia (1), şi vectorul forţelor nodale al elementului

{ } { } TeKy

eKx

eJy

eJx

eIy

eIx

e FFFFFFF ,,,,,,= , (4)între care se poate obţine relaţia matriceală

{ } [ ]{ }eee UKF = , NE,,2,1e = , (5)similară relaţiei de echilibru a unui sistem elastic (arc) cu un grad de libertate F=kx. Matricea pătratică [ ]eK poartă denumirea de matricea de rigiditate a elementului finit. Aceasta se poate determina pentru fiecare element finit folosind ecuaţiile fundamentale din teoria elasticităţii, pentru moment se neglijează modul în care ea se poate obţine.

Dacă se izolează un nod oarecare n din modelul cu elemente finite (vezi Fig. 4), pentru care există Nc elemente concurente, atunci fiecare element finit acţionează cu o forţă

5

în acel nod şi din motive de echilibru suma tuturor forţelor trebuie să fie zero. Atunci când în nodul izolat acţionează şi forţe exterioare acestea trebuie incluse şi echilibrul nodului n se scrie

nx

Nc

i

inx FF ,

1, =∑

=; ny

Nc

i

iny FF ,

1, =∑

=; NNn ,,2,1 = . (6)

Dacă seţine seama de cele NN2 ∗ ecuaţii (6), şi în expresiile sumelor se introduc forţele obţinute din relaţiile (5), se obţine o relaţie matriceală de forma

{ } [ ]{ }UKF = , (7)

în care [ ]K este numită matricea de rigiditate globală a structurii. Această operaţie de obţinere a matricei de rigiditate globale din matricele de rigiditate a elementelor poartă denumirea de asamblarea matricei de rigiditate globală şi se prezintă sugestiv în schema

[ ]{ } { } [ ]{ } { }FUKFUKASAMBLARE

NEe

eee == →= ,,2,1

.

Dimensiunea matricei de rigiditate [ ]K este NNNN 22 × şi de obicei aceasta rezultă singulară, deci din ecuaţia (7) nu se pot obţine direct deplasările necunoscute. Dacă însă se ţine seama de condiţiile la limită, adică pentru unele noduri se cunosc deplasările iar pentru altele forţele exterioare aplicate şi gradele de libertate se clasifică în două seturi (vezi Fig. 4)

-a: deplasări cunoscute (de cele mai multe ori nule) şi forţe exterioare reacţiuni necunoscute şi

-b: deplasări necunoscute şi forţe exterioare aplicate cunoscute, ecuaţiile (7) se pot partiţiona (rearanja) în raport cu acestea astfel

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }

=

b

a

b

a

bbba

abaa

FF

UU

KKKK

. (8)

Din a doua ecuaţie matriceală (8) rezultă deplasările necunoscute{ } [ ] { } [ ] { }( )ababbbb UKFKU 1= , (9)

iar apoi din prima ecuaţie (8) rezultă forţele necunoscute (reacţiuni){ } [ ] { } [ ] { } babaaaa UKUKF += . (10)

Deplasarea nodului 27 (vezi Fig. 2.b) pe direcţia OY reprezintă practic săgeata maximă a grinzii. Din formularea completă a MEF, folosind deplasările nodale, se pot obţine şi tensiunile în elemente. Aceste aspecte însă se prezintă în ale capitole.

Cunoscând câmpul deplasărilor în cele NN noduri se poate reprezenta, scalat pentru o vizualizare convenabilă, configuraţia deformatei structurii (Fig. 5,a). Dacă însă matricele de rigiditate ale elementelor nu au fost "adecvat" calculate, având în vedere că elementele sunt legate între ele numai în noduri, e posibil uneori ca deformata să arate ca în figura 5,b, adică să apară goluri sau suprapuneri între laturile elementelor finite adiacente (nu este îndeplinită condiţia de continuitate între laturile comune elementelor finite). Rezultă că modul în care sunt “proiectate” elementele finite este foarte important şi practic soluţia unor probleme depinde esenţial de formularea elementelor finite care trebuie să satisfacă unele cerinţe fundamentale pentru a putea fi incluse în categoria elementelor finite dintr-un program.

6

(a) (b)

Fig. 5: Posibile configuraţii ale deplasărilor obţinute prin utilizarea MEF. (a) Deformata corectă; (b) Elementele nu asigură continuitatea pe laturile comune

Discretizarea – tipuri de elemente finite

Se pune problema discutǎrii aspectelor MEF din punctul de vedere al utilizatorului. S-a menţionat mai sus cǎ MEF considerǎ modelul de calcul format dintr-o sumǎ de porţiuni numite elemente finite legate între ele punctual, adicǎ în noduri. Este clar cǎ o structurǎ (un domeniu) poate fi împǎrţitǎ în diverse moduri, cu mai multe sau mai puţine noduri şi elemente finite.

MEF a dezvoltat o serie de tipuri de elemente finite (Fig. 6) care din punct de vedere al formei pot fi clasificate în:

-elemente finite unidimensionale (reprezentând bare, grinzi, tiranţi dar nu numai ...);-elemente finite bidimensionale (reprezentând plǎci, învelişuri şi chiar volume !);-elemente finite tridimensionale (reprezentând solidele, blocurile).Din punct de vedere al modului de variaţie al câmpului necunoscutelor (de exemplu

deplasările) în interiorul sau pe conturul lor pot fi clasificate în:-liniare;-parabolice;-cubice, etc.Dacă se consideră numărul şi felul gradelor de libertate pentru un nod, elementele finite

structurale uzuale 3D pot avea maxim 3 grade de libertate translaţii şi 3 grade de libertate rotaţii. Uneori gradele de libertate pot fi completate şi cu temperaturi, presiuni, viteze sau alte mărimi funcţie de formulările particulare fiecărui tip de element finit.

Elemente Liniare Parabolice CubiceUnidimensionale

Bidimensionale

Tridimensionale

Alte tipuri Masa Arc Contact

Fig. 6: Tipuri de elemente finite

În figura 6 se prezintǎ diverse tipuri de elemente finite. Se observǎ cǎ elementele finite sunt definite de puncte care nu sunt altceva decât viitoare noduri ale structurii. Existǎ elemente

7

de grad superior celor cubice (care sunt mai performante), dar cel mai des utilizate sunt elementele liniare şi parabolice.

Sǎ nu uitǎm cǎ necunoscutele unei probleme sunt alese chiar în nodurile elementelor finite, noduri mai multe pe element înseamnǎ în general precizie mai bunǎ.

Unele elemente finite au noduri interioare (pe feţe sau în interiorul volumelor) pentru a îmbunǎtǎţi precizia, dar utilizatorul de regulă nu lucreazǎ cu aceste noduri pentru cǎ ele sunt generate şi apoi condensate în faza de calcul a matricelor de rigiditate ale elementelor.

Un exemplu sugestiv al discretizǎrii poate fi consideratǎ o oglindǎ spartǎ şi lipitǎ cu bucǎţi mici de bandǎ adezivǎ la colţuri. Alt exemplu ilusrativ ar fi o hainǎ din petece cusute doar la colţurile petecelor.

Reuniunea contururilor elementelor genereazǎ reţeaua discretizǎrii.Operaţia de discretizare este de obicei dirijatǎ de utilizator chiar dacǎ programele de

firmǎ permit utilizarea discretizarii automate pe diverse domenii.

Factori de influenţǎ a discretizǎrii

Se poate face o distincţie netǎ între: -1.discretizarea structurilor care au un suport fizic respectiv discretizarea în elementele

sale componente (structuri din bare);-2.discretizarea corpurilor solide sau fluide care este un proces pur matematic, arbitrar. O serie de factori care condiţioneazǎ discretizarea sunt:-tipul elementelor finite - se aleg funcţie de tipul problemei şi domeniul de analizǎ, de

precizia doritǎ, de variaţia mǎrimii necunoscute etc. Elementele parabolice sunt preferate elementelor liniare, întrucât la acelaşi numǎr de noduri soluţia discretizǎrii cu elemente parabolice este mai precisǎ decât cea cu elemente liniare. Dacǎ existǎ mai multe tipuri de elemente finite la graniţǎ dintre ele trebuie sǎ se asigure continuitatea;

Fig. 7: Influenta numarului de elemente (noduri) asupra preciziei în analiza cu elemente finite

-mǎrimea şi numǎrul elementelor finite influenţeazǎ convergenţa soluţiei (vezi Fig. 7). Se observǎ cǎ la un numǎr mai mare de elemente rezultatul se apropie cǎtre soluţia exactǎ dar creşterea excesivǎ nu face decât să conducă la un volum foarte mare de calcule şi deci să crească timpul de analiză. Convergenţa de regulă corespunde curbei 1 dar sunt elemente finite pentru care convergenţa este de tipul curbei 2 sau chiar cu convergenţă oscilantă;

-poziţionarea nodurilor, care în general se face uniform în structurǎ. Discontinuitaţile în geometrie sau în încǎrcare impun alegerea unor noduri suplimentare. Trecerea de la o zonǎ cu discretizare finǎ la una cu discretizare modestă se face progresv, nu brusc;

8

-gradul de uniformitate al reţelei de elemente finite. Se evitǎ folosirea elementelor cu formǎ exagerat distorsionată, adică elemente alungite şi/sau elemente care au feţe care nu se încadrează într-un plan. Preferabil ar fi ca discretizarea cu triunghiuri sǎ conţinǎ numai triunghiuri echilaterale, discretizarea cu patrulatere sǎ conţinǎ doar pǎtrate iar cea spaţialǎ cu brickuri sǎ conţinǎ elemente cubice etc;

-stabilirea zonelor de frontierǎ, pentru introducerea corectǎ a condiţiilor la limitǎ;-numǎrul maxim de noduri sau elemente permis de program.

Exemple practice de discretizări

Figura 8 prezintă câteva componente discretizate cu elemente finite, biela şi pistonul sunt discretizate cu elemente finite de tip hexaedric cu 20 de noduri iar automobilul prezintă discretizări cu elemente de mai multe tipuri: elemente de înveliş (SHELL) triunghiulare cu 6 noduri, elemente unidimensionale de tip grindă, elemente de masă concentrată, arcuri şi elemente de contact şi amortizare, etc.

(a) (b) (c)

Fig. 8: Exemple de discretizări. (a) Bielă pentru analiza cvasistatică; (b) ½ dintr-un piston pentru analiza termică; (c) automobil pentru analiza de impact

9