GABRIELA PROCA

MECANICA CONSTRUCIILOR

PENTRU CADASTRU

2005

2

CUPRINS 1. MECANIC GENERAL

2. STATICA

3.APLICAII TEHNICE ALE STATICII

4. REZISTENA MATERIALELOR

3

Capitolul I. MECANIC GENERAL

1.1 Introducere Mecanica studiaz legile obiective ale deplasrii corpurilor materiale i ale

schimbrii formei lor, n raport cu un corp presupus convenional, rigid i

imobil, denumit reper sau sistem de referin.

Deplasarea corpurilor i schimbarea formei lor reprezint micarea

mecanic a materiei. Micarea mecanic are loc n spaiu i timp, acestea fiind

forme obiective de existen a materiei i purtnd numele de spaiu fizic i timp

fizic.

Procesul de cunoatere a micrii mecanice este un proces de abstractizare

prin care se stabilete corespondena biunivoc dintre proprietile obiective ale

materiei, spaiului i timpului pe de o parte i pe de alta de conceptele

matematice.

Corespondena este justificat de corectitudinea cu care conceptele

matematice pot modela fenomenul fizic al micrii mecanice.

Studiul mecanicii poate abordat prin analiza a trei pri de baz i anume:

cinematica, dinamica i statica.

Cinematica studiaz micarea corpurilor materiale din punct de vedere

geometric, independent de cauzele care o genereaz i o modific.

Este analizat dependena n timp a coordonatelor punctelor unui corp, a

vitezelor i acceleraiilor lor ct i problema transformrii acestor mrimi prin

trecerea de la un sistem de referin la altul.

4

Dinamica studiaz micrile mecanice ale corpurilor n funcie de forele

care acioneaz asupra lor.

Noiunile fundamentale de cinematic i dinamic sunt abordate de ctre

studenii seciei de cadastru, cu precdere de cursurile universitare de fizic.

Statica analizeaz un caz particular al dinamicii i anume acela al

echilibrului corpurilor.

Prezenta divizare a studiului mecanicii este convenional ntruct nu se

poate stabili o limit clar ntre fenomenele care se refer la fiecare dintre cele

trei pri.

Cursul Elemente de mecanic a construciilor trateaz noiunile de baz

de care studentul are strict necesitate n aprecierea general a alctuirii

construciilor i a modului de lucru al elementelor structurale precum i al

alctuirii i modului de lucru a unor dispozitive i construcii pe care le folosete

la efectuare msurtorilor n teren. Noiunile primite permit studentului

elaborarea unor programe de strict specialitate n vederea msurtorilor relative

la urmrirea comportrii construciilor

1.2 Noiuni fundamentale ale mecanicii

Noiunile fundamentale ale mecanicii clasice sunt spaiul, timpul i masa.

Spaiul este conceput tridimensional. Este raportat n mod curent la un

triedru de axe ortogonale: Ox, Oy, Oz.

Timpul este conceput ca o mrime scalar t, independent, susceptibil de a

lua orice valoare real i de a varia continuu, monoton, cresctor. Originea

timpului poate fi aleas convenional n orice moment. Valoarea negativ poate

indica un moment anterior celui de referin, iar cea pozitiv, fenomene

urmtoare momentului de referin.

Masa m este considerat o mrime scalar pozitiv care reflect dou dintre

proprietile generale ale materiei care intervin n micarea mecanic i anume

ineria i gravitaia.

5

Ineria este proprietatea general a materiei care se manifest prin acea c

un corp aflat n repaus n raport cu un sistem de referin considerat fix, opune o

anumit rezisten atunci cnd un factor extern tinde s-i modifice aceast stare.

Gravitaia este proprietatea general a materiei, care se manifest prin

existena n spaiu a unui cmp gravitaional. Un corp prezent n acest cmp

sufer o aciune mecanic datorit prezenei cmpului. Se poate vorbi deci de o

mas inert i de o mas gravitaional, identice valoric n urma experimentelor

efectuate.

n mecanica general, masa este independent de viteza corpului. Este o

mrime aditiv, n sensul c prin reunirea a n corpuri de mase mi se obine un

corp de mas M.

Deci: M = n

mi1

1.3 Concepte matematice ale mecanicii

n mecanica general se utilizeaz urmtoarele concepte matematice:

a) Punctul material este un punct geometric cruia i se ataeaz o mas m.

Punctul material este folosit la studiul micrii corpurilor materiale ale cror

dimensiuni nu joac un rol important. Chiar i planetele pot fi considerate ntr-o

prim aproximaie puncte materiale n studiul micrii acestora n jurul Soarelui.

b) Sistemul de puncte materiale este format din n puncte materiale, aezate

n poziiile A1, A2, , An, de mase m1, m2, , mn ntr-un sistem de referin plan

sau spaial i ntre care se exercit aciuni mecanice.

Sistemele de puncte materiale pot fi rigide, dac distanele AIAj rmn

constante n timpul micrii i deformabile dac aceste distane variaz.

c) Mediul continuu este un volum din spaiu, complet umplut cu substan.

Masa unitii de volum se numete densitate i se noteaz cu . Mediul continuu

6

este omogen dac densitatea este constant n spaiu i neomogen n caz contrar.

Masa total se determin cu relaia:

M = dv ,

unde dv este un volum infinitezimal.

Mediul continuu poate fi rigid sau deformabil.

d) Sistemul de corpuri este generat de un numr de corpuri ntre care se

exercit aciuni mecanice.

Problema de baz a mecanicii generale este studiul micrii sistemelor de

corpuri.

1.4 Noiuni derivate ale mecanicii

a) Viteza este prima derivat n raport cu timpul a vectorului de poziie a

unui punct.

v = tr

b) Acceleraia este prima derivat n raport cu timpul a vectorului de vitez

a unui punct.

a = tv

c) Fora este o mrime vectorial care msoar interaciunea dintre

corpurile materiale. Aceast aciune reciproc dintre corpurile materiale are ca

urmare modificarea strii lor de repaus sau de micare rectilinie i uniform. Se

exprim cu relaia:

F = am

Fora este caracterizat prin punct de aplicaie, (A), mrime sau modul, |F|,

direcie () i sens (A ctre B) (Fig.1.1)

7

.

() A F B B

Fig.1.1 Reprezentarea vectorului for

Fora aplicat unui punct material este reprezentat printr-un vector legat

avnd punctul de aplicaie n punctul geometric corespunztor. For aplicat

unui solid rigid este reprezentat printr-un vector alunector, adic se poate

considera ca punct de aplicaie oricare dintre punctele suportului ca fiind

invariabil legat cu rigidul.

n funcie de modul n care se aplic forele asupra corpurilor materiale se

deosebesc:

a)fore concentrate (F, Q), considerate teoretic c se aplic i acioneaz

ntr-un singur punct al corpului, cu ntreaga lor intensitate (Fig.1.2 a, b);

b) fore distribuite dup o anumit lege (q, qn), considerate c se aplic i

acioneaz pe o anumit distan sau suprafa; cel mai des ntlnite sunt forele

uniform distribuite, dreptunghiular sau triunghiular (Fig.1.2 c, d, e, f)

Fig.1.2 Tipuri de fore aplicate asupra corpurilor materiale

8

Not: Pentru simplificarea calculelor, forele distribuite se asimileaz cu

fore concentrate egale cu aria forelor distribuite i care sunt aplicate n centrul

de greutate al ariei ncrcrii distribuite dup o anumit lege de variaie.

Dup poziia punctului de aplicaie al forelor exterioare n timp a forelor

se deosebesc:

- fore fixe, ale cror puncte de aplicaie sunt aceleai n permanen i

- fore mobile, ale cror puncte de aplicaie se schimb n timp (ex:

ncrcrile din poduri rulante asupra structurii de rezisten).

Dup variaia intensitii forelor exterioare n timp se ntlnesc:

- ncrcri statice, cu intensitatea practic constant n timp (ex: greutatea

proprie a materialelor, mpingerea pmntului, a.) ;

- ncrcri dinamice, la care variaia intensitii forelor este variabil n

unitatea de timp (ex: aciunea vntului, seimelor, exploziilor, a.).

Observaii: Greutatea este atracia pe care Pmntul o exercit asupra unui

rigid. Deci, greutile sunt fore. Greutatea aceluiai corp variaz cu latitudinea

i altitudinea.

d) Sistemul de fore este alctuit din mai multe fore care acioneaz

simultan asupra aceluiai corp. Dac un corp material acionat de un sistem de

fore rmne n repaus sau n micare rectilinie i uniform, se spune c sistemul

de fore este n echilibru.

e) Lucrul mecanic al unei fore, al crei punct de aplicaie se deplaseaz pe

arcul de curb AB, este dat de integrala curbilinie:

L = AB

Fdr

f) Energia cinetic a unui punct material de mas m i de vitez v este:

E = mv2

9

1.5 Uniti de msur

n Romnia se folosete din 1961 Sistemul internaional de uniti de

msur SI, sistem general aplicabil n toate domeniile. SI are la baz 6 uniti

fundamentale i 2 uniti suplimentare definite de STAS 737/62 i anume:

a) uniti fundamentale

- pentru lungime (L) : metrul [m] definit ca lungimea egal cu 1650763,73

lungimi de und n vid ale radiaiei care corespunde tranziiei dintre nivelele

2p10 i 5d5 ale atomului de Kripton 86;

- pentru mas (M): kilogramul [kg] care reprezint masa kilogramului

prototip internaional adoptat ca unitate de mas de Conferina general de

msuri i greuti din 1889;

- pentru timp(T): secunda [s] definit c durata a 9192631770 perioade ale

radiaiei corespunztoare tranziiei ntre cele dou nivel hiperfine ale strii

fundamentale a atomului de Cesiu 133;

- pentru intensitatea curentului electric: amperul [A], care reprezint

intensitatea unui curent electric constant, care meninut ntre dou conductoare

paralele, rectilinii, de lungime infinit i seciune circular neglijabil, aezate n

vid la o distan de 1 m unul fat de altul ar produce ntre acestea, pe o lungime

de 1m, o for egal cu 210-7 N;

- pentru temperatura termodinamic: kelvinul [K] care este fraciunea de

1/273,16 din punctul triplu al apei;

- pentru intensitatea luminoas: candela [cd] ce este definit ca inten-

sitatea luminoas n direcia normalei a unei suprafee de 1/600000 m2 a unui

corp negru la temperatura de solidificare a Platinei, la presiunea de 101.325

N/m2;

b) uniti suplimentare:

- pentru unghiul plan (): radianul [rad] definit ca unghiul plan cu vrful n

centrul unui cerc care delimiteaz pe circumferina cercului un arc a crui

lungime este egal cu raza cercului;

10

- pentru unghiul solid (): steradianul [sr] definit ca unghiul solid cu

vrful n centrul unei sfere i care delimiteaz pe suprafaa sferei o arie egal cu

aria unui ptrat a crui latur este egal cu raza sferei.

Not: n mecanica tehnic a fost utilizat sistemul de uniti de msur

MKfS care avea ca uniti de msur: metrul, kilogramul for (kgf), secunda.

Dezavantajul sistemului este c unitatea de for este variabil cu latitudinea i

altitudinea producnd confuzii ntre unitatea de mas (kg) i unitatea de for

(kgf). n Tabelul 1.1 se dau principalele mrimi folosite n mecanica construciilor i unitile

lor de msur. Tabel 1.1

Mrimi folosite n mecanica construciilor i unitile lor de msur. Denumire i simbol

mrime Ecuaia de definiie

Dimensiuni

Unitatea de msur

Simbol unitate de msur

Lungime (l) - L metru m Mas (m) - M kilogram kg Timp (t) - T secund s For (F) Greutate (G)

F = ma G = mg LMT

-2 Newton N

Vitez (v) v = tl LT-1

metru pe secund m/s

Acceleraie (a, g) a = tv LT-2

metru pe secund la ptrat m/s

2

Vitez unghiular () = t T-1

radian pe secund rad/s

Turaie (n) (rotaie) n = 2

T-1 rotaie pe secund

rot/s

Acceleraie unghiular () = t T-2

radian pe secund la ptrat rad/s

2

Densitate () = Vm L-3M

kilogram pe metru cub Kg/m

3

Greutate specific () = VG L-2MT-2

Newton pe metru cub N/m

3

Moment de inerie geometric al suprafeei (I)

I = Al2 L

4 metru la puterea a patra m4

Momentul unei fore (M) M = Fl L2MT-2 Newton metru Nm Presiune (p) Tensiune (, ) p = A

F L-2MT-2 Newton pe metru

ptrat N/m2

Lucru mecanic (L) Energie (E)

L = Fl L2MT-2 joule J

11

1.6 Principiile mecanicii

Principiile mecanicii enunate de Isaac Newton sunt:

Principiul ineriei (legea I): Un punct material izolat n spaiu se gsete n

raport cu un sistem de referin fix, fie n stare de repaus, fie n stare de micare

rectilinie i uniform.

Principiul proporionalitii forelor cu acceleraiile (Legea a II a): Dac

asupra unui punct material se exercit aciunea unei fore F, impulsul mv variaz

proporional cu fora, variaia fiind dirijat pe suportul forei, n sensul acesteia,

dup legea:

F = dtmvd )( .

Principiul aciunii i reaciunii (Legea a III a): Dac asupra unui punct

material se exercit aciunea unei fore F , asupra agentului motor care a

provocat aceast aciune se va exercita o reaciune egal cu F .

Pe baza principiului al II- lea, reaciunea este egal n modul cu ma; se

numete for de inerie.

1.7 Vectori

1.7.1 Noiuni generale

Mrimile fizice sunt de dou feluri:

- mrimi scalare, determinate numai de valoarea lor numeric (ex.:

lungime, timp, arie, volum)

- mrimi vectoriale, determinate prin valoare numeric (modul), punct de

aplicaie, direcie i sens (ex.: for, vitez, acceleraie, momentul forei).

Vectorii se clasific n urmtoarele categorii:

- vectori liberi, care pot avea punctul de aplicaie oriunde n cadrul unui

sistem de referin dat, pstrnd modulul, direcia i sensul;

- vectori alunectori, la care punctul de aplicaie se deplaseaz oriunde pe

direcia lor;

12

- vectori legai a cror origine este bine precizat, ntr-un anumit punct.

Vectorii care au acelai modul, direcie sau direcii paralele se numesc

vectori echipoleni.

1.7.2 Operaii cu vectori

Suma (rezultanta) a doi vectori i 2V este un vector R care reprezint

diagonala paralelogramului construit pe vectorii dai (regula paralelogramului).

(Fig. 1.3a)

Construcia grafic a adunrii vectoriale se poate generaliza pentru un

numr oarecare de vectori construind poligonul vectorilor echipoleni cu vectorii

dai. Vectorul de nchidere al poligonului reprezint chiar rezultanta vectorilor

dai.(Fig.1.3b)

1V 2V 1V 2V R A

a

2V

1V 31V

2V 31V

1V R

b

Fig.1.3 Poligonul forelor

Scderea vectorilor. A scade un vector 2V dintr-un vector 1V nseamn a

gsi un vector 3V care adunat cu vectorul 2V s dea vectorul 1V . Construcia

grafic este similar adunrii vectoriale.

Practic se poare aduna direct vectorul (- 2V ).

nmulirea unui vector V cu un scalar k (pozitiv sau negativ), ntreg sau

subunitar) conduce la obinerea unui vector de modul kV, avnd aceeai direcie

cu vectorul dat i sens identic sau contrar n funcie de semnul multiplicatorului

k.

13

1.7.3 Fore concurente coplanare

Forele din acelai plan () se numesc fore coplanare (Fig.1.4).

2F

1F

z

O x 3F

()

Fig.1.4 Fore coplanare

a. Compunerea forelor coplanare.

Forele care au acelai punct de aplicaie se numesc fore concurente.

Operaia de nlocuire a forelor concurente printr-o for unic (rezultant) se

numete reducerea sistemului de fore concurente. Rezultanta are acelai punct

de aplicaie ca i forele date (Fig.1.3a).

Metoda grafic const n construcia poligonului vectorilor echipoleni cu

vectorii dai, numit poligonul forelor (Fig.1.3a, b).

Metoda analitic de determinare a rezultantei unui sistem de fore

iF concurente se bazeaz pe teorema proieciilor i const n proiectarea ecuaiei

vectoriale de descompunere a forelor.

Teorema proieciilor

Suma proieciilor mai multor vectori coplanari pe o ax este egal cu

proiecia rezultantei vectorilor dai pe aceeai ax.

Deci rezultanta forelor date, ca de exemplu a celor din Fig.1.4, este:

R = n

iF1

iar proieciile pe cele dou axe de coordonate rectangulare Ox i Oz sunt:

Rx ==

n

iiX

1i R z =

=

n

iiZ

1.

14

Modulul rezultantei este dat de relaia:

R = 22 zx RR + .

Direcia rezultantei este determinat prin tangenta unghiului de nclinare

al suportului rezultantei fat de axa Ox.

tg = x

z

RR .

Dac dou fore concurente au direcii oarecare (Fig.1.5) mrimea

rezultantei se determin cu teorema lui Pittagora generalizat:

R = cos2 212221 FFFF ++ , unde este unghiul dintre direciile forelor 1F i 2F .

Direcia rezultantei se determin cu relaia lui Stevin:

sinsinsin21 RFF == .

z

1F R

2F

O x

unde:

este unghiul dintre R i F2,

este unghiul dintre R i F1,i

este unghiul dintre F2 i F1.

Fig.1.5 Compunerea a dou fore coplanare avnd direcii diferite

Dac dou fore concurente sunt perpendiculare una pe alta mrimea

rezultantei este:

R = 2221 FF + ,

iar direcia este dat de valoarea tangentei:

tg =2

1

FF .

Dac dou fore au aceeai direcie i sens, ecuaia de compunere

vectorial se transform ntr-o sum aritmetic.

Rezultanta este:

R = F1 + F2.

15

Generaliznd pentru n fore concurente de aceeai direcie i sens:

R = =

n

iiF

1.

Forele concurente de aceeai direcie i sensuri contrare se adun

algebric. Dou fore egale i de sens contrar care acioneaz asupra unui corp l

menin n echilibru.

Aparatul topografic fixat de trepied (Fig.1.6) este n echilibru sub aciunea

forei F , exercitate de operator care o susine la transport, i a greutii proprii

G .

F

G (G = F )

Fig. 1.6 Corp n echilibru sub aciunea a dou fore egale i de sens contrar

b) Descompunerea unei fore n dou componente concurente coplanare

este operaia invers compunerii a dou fore. Se dau rezultanta i cele dou

direcii concurente coplanare. Se poate folosi metoda grafic sau metoda

analitic.

n metoda grafic se duc paralele la cele dou direcii prin extremitile

forei pn n punctul de intersecie cu acestea. Practic se construiete un

paralelogram ale crui laturi sunt chiar cele dou fore componente, a crei

direcie se cunoate, pornind de la o diagonal (rezultanta) i sensul acesteia

(Fig.1.5).

Metoda analitic folosete relaia lui Stevin.

16

Aplicaie:

S se determine valoarea rezultantei a trei fore concurente 1F (2N), 2F (3N)

i 3F (2,5N).

z

2F O x

1F 3F

Rezolvare:

R= )()( 22 + ii ZX = 0,822 N

tg =

i

i

XZ 24

Problem propus Se dau dou fore concurente 1F (200 N) i 2F (350 N). Se cere valoarea

rezultantei dac unghiul fcut de suporturile forelor ia succesiv valorile: 0, 45,

60, 90, 120, 135, 180.

c. Echilibrul forelor coplanare

Un sistem de fore concurente se afl n echilibru atunci cnd rezultanta

forelor este nul ( R =0).

Analitic, condiia de echilibru este dat de relaiile:

n

iX1

= 0 i n

iZ1

= 0.

Grafic, condiia este ndeplinit la forele concurente coplanare prin

nchiderea poligonului vectorilor echipoleni.

1.7.4. Fore paralele coplanare

Prin fore paralele se neleg forele ale cror suporturi sunt paralele.

Punctul de aplicaie al rezultantei forelor paralele se numete centrul forelor

paralele (Fig.1.7)

Determinarea analitic a mrimii rezultantei unui sistem de fore paralele

i a poziiei centrului forelor parale const n scrierea ecuaiilor de proiecii pe

17

direcia forelor (de unde rezult modulul rezultantei) i a ecuaiei de momente

fa de un punct oarecare (rezult poziia rezultantei).

z

O x 2F

G

R a b

1F

Fig.1.7 Centrul forelor paralele

Deci:

- modulul rezultantei este R= iF ,

- coordonatele centrului forelor

paralele (G) sunt:

xC=

i

ii

FxF , zC=

i

ii

FzF

n cazul de fa R = F1 F2, i centrul forelor paralele este G (xG, zG),

unde

21

21

FFbFaFxG

= , zc = 0 datorit alegerii convenabile a sistemului de axe.

1.7.5 Momente. Cupluri

Prin definiie se numete moment al forei F n raport cu punctul O un

vector legat avnd:

- modulul egal cu produsul dintre valoarea numeric a forei i lungimea

perpendicularei coborte din O pe direcia forei FdM FO =)( ;

- originea n polul O;

- direcia perpendicular pe planul format de fora considerat i pol

[ M )(AOB ]

- sens trigonometric. M

B O d F A

Fig.1.8 Momentul unei fore n raport cu un punct

18

- Unitatea de msur a momentului n SI este [Nmm].

Proprietile momentului unei fore fa de un punct sunt:

- cnd fora trece prin punctul considerat, momentul este nul;

- cnd fora alunec pe suportul ei, momentul rmne constant.

Pentru un sistem de fore oarecare n spaiu, momentele forelor au direcii

oarecare i prin urmare se nsumeaz vectorial.

Teorema lui Varignon.

Momentul rezultantei unui sistem de fore coplanare n raport cu un punct

dat este egal cu suma algebric a momentelor tuturor forelor sistemului dat n

raport cu acelai punct.

Cuplul de fore. Prin definiie dou fore egale, paralele ( F ), de sensuri

contrare, avnd suporturi diferite formeaz un cuplu de fore (Fig. 1.9). Distana

d msurat pe perpendiculara comun celor dou fore se numete braul

cuplului.

M

F d F

Fig. 1.9 Cuplul de fore

Un cuplu de fore are rezultanta R = 0, dar momentul su este diferit de

zero avnd modulul egal cu produsul dintre valoarea numeric a uneia din

forele cuplului i braul cuplului:

M = d F .

Momentul cuplului este un vector liber care are direcia perpendicular pe

planul forelor cuplului i sensul astfel nct rotaia forelor cuplului s fie de la

dreapta la stnga, (sens trigonometric).

19

Cuplul de fore are urmtoarele proprieti:

- Valoarea cuplului de fore nu se modific dac este mutat (deplasat,

rotit), oriunde n planul su;

- Un cuplu poate fi nlocuit cu un alt cuplu coplanar dac momentele

cuplurilor sunt egale ca modul, direcie i sens:

F d = F1 d1.

- Momentul rezultant al unui sistem oarecare de cupluri coplanare este egal

cu suma lor algebric.

Un sistem de cupluri este n echilibru dac momentul lor rezultant este nul.

Cuplul care pune n micare de rotaie un corp se numete cuplu motor, iar

cel care se opune micrii se numete cuplu rezistent.

Un corp aflat sub aciunea exterioar a unor cupluri motoare i a unor

cupluri rezistente se afl n echilibru dac suma cuplurilor motoare este egal i

de sens contrar cu suma cuplurilor rezistente.

Aplicaii:

1. Pentru a deuruba o piuli este necesar un moment M = 16000 Nmm.

Utiliznd o cheie de lungime 8 cm msurat de la axa piuliei, se cere s se

determine valoarea forei cu care trebuie s acioneze un executant.

M

d

Rezolvare: F = 200080

16000==

dM N

2. Asupra unei axe acioneaz cuplurile de fore din figura alturat. S se

determine momentul rezultant al sistemului de cupluri. Se dau: b = a2

2a i

forele F1 = F4 = 100 N; F2 = F5 = 2270 N, F3 = F6 = 2

230 N.

Suportul forelor formeaz succesiv un unghi de 60.

20

Rezolvare:

MR = 100a - 2270 .

12a -

2230 .

12a = 0 (echilibru)

Problem propus:

Se dau 3 cupluri coplanare ale cror fore i brae sunt: 6, 3, 2, N i

respectiv 2; 1; x; m care acioneaz asupra axului motor din figur.

S se determine mrimea braului x cunoscnd c sistemul acestor cupluri

este n echilibru i c primul cuplu are moment pozitiv, iar celelalte cupluri au

momentele negative.

6N 3N 2N

2m 1m

x

3N 2N

6N

1.8 Caracteristici geometrice ale suprafeelor plane

1.8.1 Moment static. Centrul de greutate

La determinarea tensiunilor i deformaiilor elementelor solicitate de fore

exterioare, intervin mrimi dependente de forma i dimensiunile seciunii

transversale, denumite caracteristici geometrice. Dintre acestea se menioneaz:

21

aria, momentele statice, momentele de inerie, razele de inerie.

a. Momentul static.

Pentru cazul general, ntr-un sistem ortogonal plan de axe Oxz pentru un

sistem de puncte materiale A1, A2, , An, de mase m1, m2,, mn i de vectori

de poziie 1r , 2r ,.., nr (Fig.1.10), se definete momentul static al sistemului n

raport cu punctul O, vectorul OS definit de relaia:

OS = in

ii rm

=

1

.

Proieciile acestui vector pe axele de coordonate Ox, Oz, sunt prin definiie

momentele statice n raport cu planele de coordonate.

SOz = in

ii xm

=1, SOx = i

n

ii zm

=

1

z

A1,m1, (x1, z1) ,

ir 1

1r i Ai mi, (xi, zi)

O x

Fig.1.10 Sistemul de puncte materiale

Momentul static al sistemului n raport cu un alt punct C are expresia:

= ==

)(11

n

iii

n

iiC mrmS , unde este vectorul OC .

b. Centrul de mas (centrul de greutate) este punctul n raport cu care

momentul static este nul.

Deci dac CS = 0, atunci vectorul are expresia: =

=

=

n

ii

n

iii

m

rm

1

1 .

Pentru o plac omogen:

22

=

A

A

dA

rdA,

unde dA este elementul de arie.

Pentru o bar sau un fir omogen:

=

S

S

ds

rds,

unde ds este elementul de arc.

Proiectnd pe axele de coordonate formulele anterioare, expresiile

coordonatelor centrelor de greutate (, ,) sunt prezentate n Tabelul 1.2.

Tabelul 1.2

Proiecie pe axa Ox ()

Proiecie pe axa Oz ( )

Sistem de puncte

=

=

n

ii

n

iii

m

xm

1

1

=

=

n

ii

n

iii

m

zm

1

1

Plac omogen

A

A

dA

dAx

A

A

dA

dAz

Bar omogen

s

s

ds

dsx

s

s

ds

dsz

Fie o suprafa plan (Fig. 1.11) i un sistem de axe rectangulare (xOz).

Se alege un element de arie infinitezimal dA, al crui centru de greutate

este P de coordonate (x, z).

23

z dA

x P

z

O x

Fig. 1.11 Momentul static al suprafeei plane

Expresiile:

=A

x dAzS

=A

z dAxS

se numesc momente statice fa de axa Ox, respectiv, Oz.

Dintre proprietile momentului static amintim:

- momentul static n raport cu ax care trece prin centrul de greutate, este

nul;

- unitatea de msura a momentului static este o lungime la puterea a treia,

[mm3].

Aplicnd teorema lui Varignon se obin egalitile:

=A

GA

dAxdAx

=A

GA

dAzdAz

care conduc la obinerea relaiilor generale de calcul ale poziiei centrului de

greutate ale suprafeei plane oarecare:

=

A

AG dA

dAxx i

=

A

AG dA

dAzz .

Dac suprafaa este alctuit din mai multe suprafee simple (Fig.1.12), ale

cror centre de greutate sunt cunoscute, formulele generale folosite la

P

24

determinarea poziiei centrului de greutate devin:

z xi Ai

A1 An

x

xG =

=

=

n

ii

n

iii

A

Ax

1

1

i

zG =

=

=

n

ii

n

iii

A

Az

1

1

Fig.1.12 Determinarea poziiei centrului de greutate la o alctuit din mai multe suprafee simple ale cror centre de greutate sunt cunoscute

Proprietile centrului de mas

a) Dac o suprafa are o ax de simetrie, centrul de mas se afl pe acea

ax. Exemplu: centrul de mas al suprafeei unui triunghi isoscel se gsete pe

mediana corespunztoare bazei, care este ax de simetrie n triunghi.

b) Dac suprafaa are dou axe de simetrie, centrul de greutate se afl la

intersecia acestor axe. Exemplu: centrul de mas al ptratului, rombului, se afl

la intersecia diagonalelor care sunt axe de simetrie).

c) Centrul de mas n transformarea afin.

Dac un sistem de puncte materiale (A) poate fi dedus dintr-un sistem de

puncte materiale (A) prin transformarea afin:

x = k1 x, z = k3 z (ki constante),

atunci centrul de mas C al sistemului (A) este transformatul afin al centrului de

mas C al sistemului (A), adic ntre coordonatele (, ) i (, ) exist

relaiile:

= k1 i = k3 .

Pentru cazul suprafeelor (problema plan) procedeul de calcul al centrului

de greutate este:

- se descompune suprafaa dat n mai multe suprafee componente ale

G

zi

25

cror centre de greutate sunt cunoscute sau se pot determina uor;

- se aleg axele de coordonate care conduc la calcule simple;

- se aplic relaiile de calcul xG =

=

=

n

ii

n

iii

A

Ax

1

1 i zG =

=

=

n

ii

n

iii

A

Az

1

1 pentru

determinarea poziiei centrului de greutate, inndu-se cont de urmtoarele

precizri:

- suprafeele care se scot sau se scad din componena suprafeei date

se consider negative;

- semnele coordonatelor centrelor de greutate ale suprafeelor

componente se stabilesc n raport cu axele de coordonate alese.

Pentru suprafee simple ntlnite n practic se dau n continuare poziiile

centrelor de greutate:

Figura geometric Poziia centrului de greutate Triunghi z A h h/3 x B O C

xG = 0, zG = 3h

Semicerc z r x O

xG = 0, zG = 34r

Trapez z B M h G zG O x b N

Notm cu M mijlocul bazei mari (B) i cu N mijlocul bazei. Alegem sistemul axe din figur.

xG = 0, zG = hbBbB

++

)(32

- La suprafee plane n form de dreptunghi, ptrat, romb, cerc i seciune

26

inelar, centrul de greutate coincide cu centrul lor de simetrie.

Aplicai:

1. S se determine coordonatele centrului de greutate ale suprafeei din

figura alturat.

z a O x a a

SI : x1 = 2

a ; z1= 2a ; A1= a;

A1x1= 23a A1z1= 2

3a ;

SII:

x2 = 3a ; z2= 3

a ; A2= 22a

A2x2= 63a A2z2= 6

3a ;

23 22

1

aAi

i ==

; =

2

1iAi xi= 2

3a ; =

2

1iAi zi= 3

23a , deci: xG= 9

2a= ; zG= 9

4a

2. S se determine poziia centrului de greutate (poziia firului cu plumb) la

a o nivel fixat n punctul de staie tiind c distanele dintre picioarele

trepiedului, msurate la nivelul terenului sunt: 1,00 m, 1,00 m; 1,00 m.

Poziia centrului de greutate se afl la intersecia bisectoarelor triunghiului

median; problema poate fi rezolvat grafic sau analitic.

z

C

zG

A O B x

Rezolvare

Alegem un sistem convenabil de axe: Ox, n lungul laturii AB i Oz n

lungul medianei corespunztoare bazei AB, astfel nct originea O a sistemului

I G(xG, zG)

II

G (0, 0,29)

27

de axe s coincid cu mijlocul bazei.

Fiind vorba de un triunghi echilateral, liniile importante din triunghi se

confund i sunt egale.

Deci: mh 87,05,01 2 == , (h = OC)

Poziia centrului de greutate a suprafeei triunghiulare date se afl la o

distan de 1/3 fa de baza AB i 2/3 de vrful C.

Coordonatele centrului de greutate sunt:

xG = 0 i zG= m29.0387,0

=

1.8.2 Moment de inerie

a. Moment de inerie polar, axial, planar

Pentru un sistem de puncte materiale, se numete moment de inerie polar,

axial, planar al unui sistem de puncte materiale, o sum de forma:

J = 21

i

n

iim

=

unde i este distana de la punctul material Ai de mas mi al sistemului respectiv

la polul, axa sau planul n raport cu care este definit momentul de inerie

(Fig.1.13).

z

1 A1,m1, (x1, z1) ,

i Ai mi, (xi, zi)

i

O x

y

Fig.1.13 Moment de inerie al unui sistem de puncte materiale Exemplu: i. distana fa de axa Ox

Pentru un mediu continuu, J = dm 2 , integrala extinzndu-se la toat

suprafaa ocupat de mediul continuu.

28

Elementul dm poate fi nlocuit n cazul unei plci cu dA ( fiind

densitatea superficial i dA elementul de arie).

Astfel, pentru o plac omogen, momentul de inerie n raport cu un punct

sau o ax din planul ei este:

J = dA 2 = I,

I = dA 2

care se numete momentul de inerie geometric al figurii plane corespunztoare.

Aceste momente de inerie intervin n studiul mediilor continue deformabile.

b) Momente de inerie fa de axe i plane de coordonate. Moment

centrifugal

Dat fiind un diedru ortogonal de referin xOz i un sistem de puncte

materiale, se pot defini urmtoarele momente de inerie n raport cu originea,

axele de coordonate i planele de coordonate.

a) momentul de inerie polar:

JO= )( 221

ii

n

ii zxm +

=

;

b) momentele de inerie axiale:

JX = 21

i

n

ii zm

=

; JZ = 21

i

n

ii xm

=

.

c) momentul de inerie centrifugal (moment de deviaie, produs de inerie):

Jzx= iin

ii xzm

=1

.

Analiznd expresiile momentelor de inerie rezult:

JO= 21 (Jx +JZ);

c) Variaia momentelor de inerie fa de axe paralele

Dac JO este momentul de inerie fa de o dreapt (0) care trece prin

centrul de mas, iar J este momentul de inerie fa de o dreapt (), paralel cu

29

(0) i situat la distana d de aceasta (Fig.1.14), atunci se aplic relaia lui

Steiner:

J = JO + M d2.

z

(0)

d

()

O x

Fig.1.14 Variaia momentului de inerie fa de drepte paralele

Consecine:

Momentul de inerie polar n raport cu centrul de mas este mai mic dect

oricare alt moment de inerie polar.

Momentul de inerie n raport cu o dreapt care trece prin centrul de mas

este mai mic dect momentele de inerie n raport cu oricare alt dreapt paralel

cu aceasta.

d) Variaia momentelor de inerie fa de axe concurente

Dac o dreapt (), face cu axele Ox, Oz ale diedrului de referin

unghiurile , expresia momentului de inerie fa de aceast dreapt este de

forma:

J= JXcos2 , + Jzcos2 + JZX cos cos

e) Elipsa de inerie

Fie o dreapt () care trece prin O i pe ea segmentul OP =J

1 .

Locul geometric al punctului O este pentru cazul general elipsa:

JXx2 + Jzz2 2 Jzxzx = 1

M G

30

Dac punctul O este chiar n centrul de greutate al sistemului, elipsa de

inerie corespunztore se numete elips central de inerie, iar axele principale

respective, axe centrale de inerie. Astfel, se deosebesc pentru suprafeele plane urmtoarele momente de

inerie:

- momente de inerie axiale (ecuatoriale), calculate fat de o ax;

- momente de inerie polare, calculate fat de un punct;

- momente de inerie centrifugale, calculate fa de dou axe rectangulare.

Particulariznd relaiile de calcul anterioare pentru suprafaa plan situat

ntr-un sistem rectangular de referin xOz rezult:

z x dA z

yy

z

x

Fig.1.15

z x dA z r x

Fig.1.16

- momentele de inerie axiale:

Iz = in

ii xA

=1 i Ix = i

n

ii zA

=1

Observaie:

Dac momentele se calculeaz fa de axe care trec prin centrul de

greutate al suprafeei, se numesc momente de inerie centrale.

- momentul de inerie polar al unei suprafee plane:

IP = 21

i

n

ii rA

=

,

31

Unde,

r2 = z2 + x2

IP = Iz +Ix [cm4]

- momentul de inerie centrifugal:

Izx = iin

ii xzA

= 1

Dac cel puin una din axe este ax de simetrie, momentul de inerie

centrifugal este nul.

Observaii:

Pentru calculul momentelor de inerie centrifugale ale figurilor plane

simple (seciunile barelor) se utilizeaz relaiile din Tabelul 1.3.

Valorile momentelor de inerie ale profilelor laminate la cald sau la rece se

gsesc calculate n standardele de stat aferente fabricaiei lor.

Pentru suprafee complexe, metoda de calcul a momentelor statice i de

inerie const n descompunerea n suprafee simple crora li se stabilesc mai

uor momentele statice i de inerie, urmat de nsumarea algebric a

rezultatelor obinute.

Alturat sunt prezentate pentru seciunile plane uzuale momentele de

inerie fa de axele ce trec prin centrul de greutate al seciunilor (Tabelul 1.3).

Tabelul 1.3 Forma i dimensiunile seciunii transversale Ix Iz

Dreptunghi z h x b b

12

3bh

12

3hb

32

Ptrat z a x a

12

4a 12

4a

Cerc z x d

64

4d

64

4d

Coroan circular z D x d d

64)( 44 dD

64)( 44 dD

1.8.3 Raza de inerie (giraie)

Se numete raz de giraie mrimea i dat de expresia: i = MJ

Raza de giraie i capt semnificaia unei distane fa de un plan, dreapt,

ax, pol la care trebuie aezat un punct material ipotetic, avnd aceeai mas ca

i corpul, pentru ca momentul su de inerie (planar, axial, polar) s fie egal cu

al corpului de mas M (Fig.1.17).

Raza de inerie (i) a unei suprafee de arie A, calculat fa de o ax este:

Ix = AIx , n care Ix este momentul de inerie n raport cu axa Ox, respectiv

Iz = AIz , n care Iz este momentul de inerie n raport cu axa Oz.

z

M

O i x

Fig.1.17 Interpretarea semnificaiei fizice a razei de giraie

33

Aplicaii:

1. S se calculeze momentul static al dreptunghiului de lime a, lungime b,

fa de o dreapt () aflat la o distan d de centrul de greutate al

dreptunghiului.

() d b

S = A d2 = 2dba

a

2. S se determine momentele de inerie ale suprafeei dreptunghiulare din

figura alturat fa de axele O1x1z1 care sunt paralele cu axele Oxz care trec

prin centrul de greutate al dreptunghiului.

z z1 b/4 x1

h/4

h x

b

Rezolvare

Se aplic formula lui Steiner

Iz1= Iz + Ad2 = 487)

4(

12

32

3 bhhbhbh =+

Iy1= Iy + Ad21 = = 487)

4(

12

32

3 hbhbhhb =+

Aplicaie propus:

Determinai momentul static fa de axele de coordonate Ox i Oz al

triunghiului echilateral de latur a.

Indicaie:

Pe axa Ox se aeaz baza triunghiului, iar axa Oz se consider c trece prin

centrul de greutate al triunghiului.

1.8.4 Modul de rezisten

Mrimea geometric maxzIW xx = este denumit modul de rezisten fa de

axa xx.

G

G

34

zmax reprezint ordonata z a celui mai deprtat punct fa de axa xx este

denumit modul de rezisten fa de axa xx (Fig.1.18). zmax este n cazul figurat

egal cu h/2.

Unitatea de msur folosit pentru modulul de rezisten este [L3], unde L

este unitatea de lungime.

z

h z zi zi zmax x

b

Fig.1.18 Modul de rezisten al figurii geometrice plane fa de axa xx.

Modulul de rezisten fa de un pol P, se calculeaz folosind relaia:

maxRIW PP = ,

unde P este polul (centrul de greutate al seciunii), iar Rmax este distana la cel

mai deprtat punct de pe conturul exterior al seciunii fa de punctul P.

Aplicaie:

S se calculeze modulii de rezisten Wz i Wy pentru seciunea

dreptunghiular din figura alturat.

Rezolvare

z

h y

b

12

3bhIz = , zmax = 2h Wz = 6

2bh

62;

12

2

max

3 hbWbxhbI yy ===

35

Capitolul II. STATICA

2.1 Statica punctului material liber

Punctul material poate fi liber sau supus la legturi.

Punctul material liber se poate deplasa n orice direcie fr a fi mpiedicat

de ceva. n spaiu, punctul material are trei grade de libertate, iar n plan, dou

grade de libertate.

n plan, condiiile de echilibru sunt date de relaiile de echilibru ale forelor

exterioare iF concurente scriind ecuaiile de proiecie 01

==

n

iiX i 0

1=

=

n

iiZ

Forele aplicate unui punct material sunt fore concurente.

Pentru ca un punct material s poat rmne n repaus sub aciunea unui

sistem de fore este necesar i suficient ca rezultanta sistemului s fie nul.

n general problemele legate de echilibrul punctului material liber sunt

static determinate (numrul de ecuaii este egal cu numrul de necunoscute).

Dac numrul de necunoscute este mai mare de trei, sistemul este static

nedeterminat.

Punctul material supus la legturi se poate deplasa numai pe anumite

direcii ca exemplu menionnd butonul unei manivele care rmne legat de un

volant.

2.2 Statica punctului material supus la legturi ideale, fr frecare

a. Axioma legturilor:

Dac un punct material este obligat geometric s ocupe numai anumite

poziii n spaiu se spune c este supus la legturi. Axioma postuleaz

36

echivalena din punct de vedere mecanic dintre un punct material supus la

legturi i un punct material liber asupra cruia ar aciona n afar de forele iF i

o for de legtur sau reaciune.

Aplicarea axiomei legturilor transform punctul material supus la legturi,

ntr-un punct material liber asupra cruia acioneaz forele date i forele de

legtur.

Legturile punctului material pot fi: rezemare pe o suprafa sau curb sau

legtura cu fire sau bare (Fig.2.1, Fig.2.2).

Legtura de rezemare pe o suprafa se poate nlocui cu o for N ,

normal la suprafa avnd sensul ctre sensul posibil de deplasare, dar de

mrime necunoscut (Fig.2.1a).

Punctul material obligat s rmn pe o suprafa are dou grade de

libertate, iar punctul material obligat s rmn pe o curb are un singur grad de

libertate (Fig.2.1b).

N

a

N

b

Fig.2.2 Legturi de rezemare a) pe o suprafa. b) pe o curb

S S

G

Fig.2.2 Legtur cu fire

37

Legtura cu fire (bare) se nlocuiete cu o for S avnd ca punct de

aplicaie punctul de prindere al firului (barei) de punctul material, direcia firului

(barei), sensul ctre exteriorul punctului material i mrimea necunoscut.

Rezolvarea problemelor de echilibru ale punctului material se face astfel:

- se stabilesc forele care se aplic punctului material;

- se nltur legturile corpului i se nlocuiesc prin forele de legtur;

- se scriu i se rezolv ecuaiile de echilibru.

b. Punct material obligat s rmn pe o suprafa

n cazul n care legtura ideal este o suprafa, reaciunea este normal,

iar numrul de grade de libertate ale punctului este egal cu doi (coordonatele

curbilinii u i v).

Determinarea poziiilor de echilibru ale punctului material poate fi fcut

rezolvnd sistemul de ecuaii:

zf

Z

xf

Xn

ii

n

ii

=

== 11 ,

unde f(x, , z) = 0 reprezint ecuaia suprafeei n coordonate carteziene.

c) Dac legtura ideal este o curb, reaciunea este situat n planul

normal, iar numrul de grade de libertate ale punctului material este egal cu unu

(abscisa curbilinie s).

Determinarea poziiilor de echilibru ale punctului material poate fi fcut

cu ajutorul ecuaiei:

0)()(11

=+ ==

n

ii

n

ii Zd

dzXddx

unde x = x (), z = z () sunt ecuaiile parametrice ale curbei.

d) Dac punctul material este obligat s ocupe o anumit poziie n spaiu,

38

reaciunea are direcie oarecare (Fig..2.3)

z

iF ziR

o xiR

yiR x

y iR

Componentele reaciunii sunt:

=

=

=

=

=

=

n

iiZ

n

iiY

n

iiX

ZR

YR

XR

1

1

1

;

;

Fig.2.3 Punct material este obligat s ocupe o anumit poziie n spaiu

2.3 Statica punctului material supus la legturi cu frecare

Dac legtura (suprafaa sau curba) nu sunt ideale, reaciunea are o

component normal i suplimentar, una tangenial.

Componenta T a reaciunii, tangent la suprafa sau curb, se numete

for de frecare. Sensul ei este invers tendinei de alunecare, iar modulul ei,

pentru echilibru, trebuie s rmn inferior unei valori Tmax. Aceasta se numete

frecare de aderen.

Dac punctul material este pus n micare, Tmax, are o alt valoare numit

frecare de micare.

Legile lui Coulomb

1. Frecarea de micare este proporional cu reaciunea normal (valori

scalare). NT =max

2. Coeficientul de frecare este independent de viteza punctului material.

3. Coeficientul de frecare depinde de natura corpurilor care vin n

contact.

Observaii:

Legile sunt aproximativ juste. Pentru valori mari ale componentei normale

N , frecarea crete mai repede dect puterea nti a lui N . Diagrama lui Galton

pune n eviden valorile experimentale ale lui . S-a dedus n condiii

39

experimentale c valoarea coeficientului de frecare scade n general cu viteza

v, avnd valoare maxim pentru v = 0 (0 coeficient de aderen). Se poate

explica astfel frnarea roilor unui vagon pn la blocare.

Coeficientul de frecare depinde nu numai de natura corpurilor, ci i de

natura suprafeelor de contact. Astfel, dac suprafeele sunt unse, problema de

micare devine una de micare a fluidelor vscoase. Ungerea are ca efect

scderea simitoare a frecrii de alunecare. Se ntrebuineaz n acest sens: talc,

spun, vaselin, uleiuri organice sau anorganice. Apa poate reprezenta unguentul

n unele situaii practice (ex.: deplasarea cu vitez mare a roilor unui autoturism

pe o osea n timpul ploilor abundente sau dup depunerea stratului de zpad;

deplasarea cu patinele pe ghea).

Tabelul 2.1 prezint cteva valori semnificative ale coeficienilor de frecare

i 0.

Tabel 2.1

Coeficieni de frecare i 0 Coeficieni de frecare Nr.

crt. Natura corpurilor Natura suprafeelor de contact 0 Metal pe metal

Oel pe oel Unse cu seu 0,07 - Oel pe oel Unse cu ulei 0,15 - Oel pe oel Uscate (nedegresate) 0,220,25 - 1

Oel pe oel - 0,15 2 Bronz pe bronz Puin unse 0,20 - 3 Bronz pe font Puin unse 0,21 -

Puin unse 0,15 - 4 Font pe font Cu ap 0,31 - Metal pe ghea

5 Oel pe ghea 0,014 0,027 Corpuri de natur organic

Uscate || (n lungul fibrei) 0,48 0,62

Uscate (normal pe fibr) 0,34 0,54 6 Stejar pe stejar Uscate (n captul fibrei) 0,19 0,43 Puin unse - 0,28 7 Curea de piele pe font Cu ap - 0,36 uscate 0,27 - 8 Curea de piele pe tambur de stejar Puin unse - 0,47

40

Problemele de echilibru ale punctului material supus la legturi cu frecare

se rezolv introducnd pe lng reaciunea normal N i o reaciune tangenial

T , n sens invers tendinei de alunecare, al crei scalar trebuie s satisfac

relaia:

NT .

n general, problemele de echilibru ale punctului material supus la legturi

cu frecare sunt nederminate. Cazul de egalitate, n relaia precedent, se obine

doar n cazul poziiilor de echilibru la limit.

Aplicaie: S se analizeze echilibrul punctului material care se deplaseaz

cu frecare pe planul nclinat din figura alturat.

z

N x

T

G

O

Rezolvare:

a) Deplasare n sens ascendent

F G sin T = 0

N- G cos = 0 i condiia: NT conduc la: )cos(sin + GF

b) Dac punctul material tinde s se deplaseze n sens descendent, sensul

forei de frecare se schimb, i se obine ca rezultat: )cos(sin)cos(sin + GFG

c) Dac tg ,

0)cos(sin G , deci punctul material poate rmne n echilibru pe

planul nclinat chiar cnd F = 0

Condiia tg poart numele de condiie de autofixare.

41

Unghi de frecare. Conuri de frecare

Unghiul pe care l face reaciunea cu normala, n cazul unei legturi cu

frecare este dat de relaia:

NTtg = .

Unghiul nu poate depi valoarea corespunztoare cazului T = Tmax

pentru care avem:

==N

Ttg max .

Unghiul se numete unghi de frecare.

Dac se consider poziiile limit ale suporturilor reaciunilor se obine un

con circular denumit con de frecare.

Pentru o suprafa, conul de frecare are ca ax normala la suprafa,

unghiul dintre o generatoare a sa i ax fiind .

La echilibru, suportul rezultantei forelor propriu zise care acioneaz

asupra punctului trebuie s fie interior conului de frecare (Fig.2.4a).

a.

b

Fig.2.4 Conul de frecare a)n cazul unei suprafee; b) n cazul unei curbe

42

Pentru o curb (), conul de frecare are ca ax tangenta la curb, unghiul

dintre o generatoare a sa i ax fiind egal cu 2

.

La echilibru, suportul rezultantei forelor propriu - zise care acioneaz

asupra punctului trebuie s fie exterior conului de frecare (Fig.2.4b)

2.4. Statica rigidului supus la legturi ideale, fr frecare

2.4.1 Tipuri de legturi

Legturile la care poate fi supus un rigid sunt mai variate i mai complexe

dect n cazul punctului material.

n general, rezemrile se fac pe suprafee ale cror ntindere nu poate fi

neglijat totdeauna. Pe aceste suprafee de rezemare se dezvolt reaciuni n

toate punctele lor. Cele mai frecvente tipuri de reazeme sunt legturi sunt:

reazemul simplu, articulaia cilindric, articulaia sferic sau spaial, ncastrarea

plan i ncastrarea spaial (Fig.2.5, Fig.2.7).

Fig.2.3 Tipuri de legturi

Reazemul simplu mpiedic deplasarea dup o direcie, respectiv yy. Se

reprezint printr-un pendul n elevaie i printr-un ptrat cu un cercule la mijloc,

43

n plan (Fig.2.5a).

Din punct de vedere geometric, acest reazem micoreaz numrul de grade

de liberate ale rigidului cu unu.

Din punct de vedere mecanic, reazemul simplu poate fi nlocuit cu o

reaciune normal pe suprafa n punctul de sprijin, echivalent cu o

necunoscut scalar (modulul reaciunii).

Articulaia cilindric sau reazemul dublu, mpiedic deplasrile n dou

direcii. Se reprezint n elevaie prin doi penduli AA, AA i n plan printr-un

cercule ntr-un ptrat avnd laturile normale pe direcia dup care deplasarea

este mpiedicat (Fig.2.5b).

Poate fi nlocuit cu o reaciune situat n punctul A, creia trebuie s i se

determine modulul i direcia. n consecin comport dou necunoscute scalare

(proieciile reaciunii pe dou axe din planul respectiv).

Articulaia sferic este legtura prin care un punct al rigidului este

imobilizat. Corpul poate avea doar micare de rotaie n jurul oricrei axe care

trec prin articulaie. n elevaie se reprezint sub forma a trei penduli, iar n plan

printr-un ptrat cu laturile haurate i un cercule central (Fig.2.5c).

Din punct de vedere geometric acest tip de reazem micoreaz numrul

gradelor de libertate cu trei.

Din punct de vedere mecanic, reazemul poate fi nlocuit cu o for de

direcie arbitrar echivalent cu trei necunoscute scalare (proieciile reaciunii pe

trei axe de coordonate).

ncastrarea plan mpiedic translaiile dup dou direcii i rotaiile dup

normala la planul format de direciile deplasrilor mpiedicate.

Din punct de vedere mecanic, reazemul poate fi nlocuit cu o for de

direcie arbitrar i cu un cuplu acionnd ntr-un plan arbitrar. Determinarea

acestora se face din ecuaiile de proiecii ale forei pe cele trei axe de coordonate

i proieciile momentului cuplului pe aceleai axe.

Reprezentarea schematic n plan a reazemului simplu, articulaiei i

44

ncastrrii este artat n Fig.2.6.

ncastrarea spaial imobilizeaz complet rigidul (Fig.2.7c). Poate fi

nlocuit de reazeme simple, iar din punct de vedere mecanic de reaciuni i

momente dup direciile celor trei axe de coordonate.

Fig.2.6. Reprezentarea legturilor n plan

Fig.2.7 Legturi spaiale, n cazul rigidului

45

2.4.2 Calculul reaciunilor

Din considerente practice, ecuaiile de ecuaiile de echilibru pentru un

sistem de fore trebuie scrise astfel nct necunoscutele s rezulte pe ct

posibil din ecuaii independente.

Bara din Fig.2.7 articulat la un capt i simplu rezemat la cellalt are

denumirea general de grind simplu rezemat.

Sistemul este plan i are legturile corecte. Dac direcia reazemului

simplu B ar trece prin articulaia A, sistemul de legturi ar fi critic.

Se aleg i se noteaz reaciunile ca n figura. 2.7.

z

px O x

HA

A l

RA RB

Fig. 2.7 Grind simplu rezemat. Reprezentarea, notarea i calculul reaciunilor

Valorile reaciunilor se determin n mod independent dintr-o ecuaie de

proiecii scris pe axa Ox i dou ecuaii de moment scrise fa de punctele A i

B, dup cum urmeaz:

A

n

ii HX =

=

01

;

A

n

iB VM =

=

01

B

n

iB VM =

=

01

2.5 Statica rigidului supus la legturi cu frecare

n cazul a dou corpuri care reazem unul pe altul exist o suprafa de

46

contact n jurul punctului teoretic de contact O, ntruct corpurile se deformeaz

puin (Fig.2.8).

Dac se iau n considerare reaciunile de pe aceast suprafa i se

calculeaz torsorul reaciunilor fa de punctul O, se obine n cazul general o

for i un cuplu. Descompunnd aceste elemente dup direcia normalei i dup

acea a planului tangent la suprafa teoretic de contact se constat:

Normala

R Plan tangent

rM T

M pM

Fig.2.8

a) Reaciunea normal N asigur legtura.

Ea mpiedic interptrunderea celor dou

corpuri pe direcia normalei.

b) Reaciunea tangenial T se opune

deplasrii (alunecrii)corpului n planul

tangent. T se numete for de frecare de

alunecare.

c) Cuplul de moment rM , tangent la suprafa, se opune tendinei de rotaie

a corpului n jurul unei axe care trece prin planul tangent. Aceast micare de

rotaie se numete rostogolire, iar rM este momentul cuplului de frecare de

rostogolire.

d) Cuplul de moment PM , normal pe suprafa, se opune tendinei de

rotaie n jurul normalei. O astfel de rotaie se numete pivotare, iar PM este

momentul cuplului de frecare de pivotare.

Frecarea de alunecare.

Dac se fac aceleai ipoteze ca n cazul punctului material, se observ c

inegalitatea NT trebuie scris n toate punctele de rezemare ale rigidului.

Tendinele de alunecare se apreciaz mai dificil.

Dac se studiaz echilibrul la limit, n general, nu trebuie scrise egaliti

NT = n toate punctele de sprijin, ci numai n punctele n care are loc efectiv

N

O

47

lunecarea.

Aplicaie:

O scar de lungime l i greutate G este rezemat de perete i podea. S se

stabileasc nclinarea scrii (unghiul ) fa de podea, astfel nct scara s fie n

echilibru. Se dau coeficienii de frecare 1 i 2..

1 1T

1 1N

l

G l/2 2N

2 2T 2

Rezolvare:

Ecuaiile de proiecie scrise n punctele de rezemare 1 i 2 sunt:

=

n

iiZ

1

= N2 T1 = 0;

=

n

iiZ

1

=T2 N1 G = 0

Ecuaia de moment fa de punctul 2:

=

n

iiM

1

= 0sincoscos2 22

= lNlTGl

La limit, n ambele puncte de sprijin 1 i 2, sunt satisfcute egalitile:

11 NT = i 22 NT =

Se rezolv sistemul de ecuaii, la limit unghiul avnd valoarea:

1

210 2

1 =tg .

Echilibrul este asigurat dac ndeplinete condiia 0 .

Frecarea de rostogolire se manifest printr-un cuplu de moment rM .

Experimental s-a demonstrat c pentru echilibru este necesar ca acest moment s

rmn inferior unei anume valori maxime i anume: sNM r , unde s este

48

coeficientul de frecare de rostogolire.

Observaie:

Coeficientul de frecare de alunecare este adimensional, iar s este o

lungime, reprezentnd distana maxim cu care se poate deplasa suportul

reaciunii normale N fa de punctul teoretic de contact.

La contactul dintre cele dou corpuri pe distana AA se produce o

deformare cu caracter plastic.

Coeficientul de frecare de rostogolire se calculeaz cu relaia: s = kR, unde

k = 0,0006, iar R este raza exprimat n cm. (ex. pentru roata vagoanelor de tren

R =0,5 m; s = 0,050,045 (Grashof)

O F

A G A

s

Frecarea de pivotare.

Pentru un arbore vertical, cu seciune circular de raz R (Fig.2.10),

admind o presiune uniform pe suprafaa de sprijin i un coeficient de frecare

de alunecare = constant, se obine pentru momentul de frecare de pivotare

expresia: MP = PR32 . P

P Fig.2.11

Fig.2.10

2R

2 R

2 r

Fig.2.9 Interpretarea

frecrii de rostogolire

49

Pentru arborele inelar (Fig.2.11) se obine: MP = PR32 )()( 2233 rRrR

Frecarea n lagre i articulaii.

Dac fusul unui arbore de raz r se rotete ntr-un lagr cu frecare uscat

sau mixt, frecarea care acioneaz tangenial este egal cu N, N fiind normala

ntr-un punct oarecare. Momentul tuturor forelor de frecare este dat de relaia:

PrNrNrMn

i

n

iiif ===

= =1 11 ,

unde 1 (coeficientul de frecare n lagr) este superior coeficientului ntruct

=

n

iiN

1> P.

Coeficientul 1 este singurul accesibil msurtorii, repartiia forelor N

fiind nederminat.

N r

Fig.2.12 Lagr (articulaie)

N

2.6 Statica sistemelor de corpuri

2.6.1 Echilibrul sistemelor de corpuri

a) Relaia de invariabilitate geometric

Pentru legarea invariabil n plan a unui corp, pe baza de sprijinire sunt

necesare trei legturi simple, care nu trebuie s fie paralele sau concurente

pentru a nu se produce deplasri (Fig.2.14).

Fig.2.14

50

Legarea invariabil a unui sistem de corpuri se poate face cu un numr de 6

legturi simple, 3 pentru a lega solidar ntre ele cele dou corpuri i trei pentru a

lega ansamblul astfel format de baza de sprijinire (Fig.2.15).

Fig.2.15 Se observ c pentru a lega strict invariabil un sistem de corpuri sunt

necesare:

1. pentru un corp minim 1 x 3 = 3 legturi simple;

2. pentru 2 corpuri minim 2 x 3 = 6 legturi simple;

3. pentru 3 corpuri minim 3 x 3 = 9 legturi simple;

4. pentru c corpuri minim 3 x c = 3c legturi simple.

Notnd cu I numrul legturilor interioare (legturi ntre corpuri) i cu R

numrul legturilor cu baza de sprijinire (rezemri), condiia necesar i

suficient pentru a lega strict invariabil un sistem de c corpuri este:

I + R = 3c.

b) Relaia de determinare static

Se cunoate c unei legturi simple i corespunde o singur necunoscut, i

anume fora ce ia natere n aceast legtur atunci cnd sistemul de corpuri este

solicitat de fore exterioare. Suprimnd toate legturile sistemului de corpuri i

punnd n eviden forele de legtur respective, rezult un numr de I+R

necunoscute.

Pentru un corp, n plan, se pot scrie numai 3 ecuaii de echilibru static,

distincte, rezultnd c pentru ntregul sistem de c corpuri exist un numr de 3c

ecuaii.

Pentru ca problema s fie static determinat, trebuie ca numrul

necunoscutelor s fie egal cu numrul ecuaiilor de echilibru static disponibile,

adic: I + R = 3c.

I II

51

Dac I + R > 3c, exist mai multe necunoscute dect ecuaii (structura are

mai multe legturi dect numrul minim necesar pentru asigurarea

invariabilitii geometrice), structura este static nedeterminat.

Dac I + R < 3c structura are mai puine legturi dect numrul minim

necesar pentru asigurarea invariabilitii geometrice, formnd un mecanism.

Mecanismele sunt caracterizate prin numrul gradelor de libertate.

c) Determinarea reaciunilor la structuri static determinate

n vederea determinrii diagramelor de eforturi, dimensionrii corecte a

dimensiunilor elementelor de construcie este necesar pentru nceput

determinarea a forelor de legtur ce iau natere n reazeme, denumite n mod

curent reaciuni.

Aplicaii

1. S se determine reaciunile grinzii simplu rezemate din figura alturat

solicitat de o for exterioar concentrat.

P z HA x RA a b RB

Rezolvare: 0= AM ; Pa RB(a+b) = 0 ; ba

PaRB +=

0= BM ; RB(a+b) Pb = 0; baPbRA +

=

= 0iZ ; RA+RB = P = 0iX ; HA = 0

2. S se determine reaciunile grinzii simplu rezemate din figura alturat

acionat de o for exterioar uniform distribuite pe lungimea grinzii.

p

HA RA l RB

Rezolvare:

02

=

= lRlplM BA ; 2plRB =

2pllRM AB = = 0; 2

plRA =

= 0iX ; HA = 0 Verificare: 022 ==plplZi

52

3. S se determine reaciunile grinzii Gerber din figura alturat. 1 P 2 3 p 4 H4 R1 I R3 II R4 a a a 3a

- Se verific dac sistemul este static determinat folosind relaia:

I + R = 3c

Numrul corpurilor c = 2 (notate cu I i II). 2 x 2 + 2 x 1 3 x 2 = 0

- Grinda 2-3-4 este o grind principal, deoarece considerat independent,

are suficiente legturi cu baza de susinere (rezemri), pentru a putea suporta

ncrcrile care o acioneaz.

- Grinda 1-2 este o grind secundar, pentru c articulaia 2 reazem pe

grinda principal asupra creia i transmite efectul.

Pentru rezolvare, se consider mai nti grinda secundar i, dup

rezolvarea acesteia, se ncarc grinda principal att cu ncrcrile aferente ei,

ct i cu efectul grinzii secundare. Reaciunea R2 a grinzii secundare se

transform prin inversare (-R2) n aciune asupra grinzii principale.

P 1 2 R1 a a R2

R1 = R2 = 2

P

V2 p 2 3 R3 4 R 4 a 3a

035,13 423 =+= aRaapaRM

paPaapPaR 5,16

3:)5,42

( 24 +=+=

0432 =++= RRRZ

35,162RpaPP =++ ; )5,1

3(3 paPR +=

Verificare: 04 =M

53

Capitolul III

APLICAII TEHNICE ALE STATICII

3.1 Grinzi cu zbrele

3.1.1 Generaliti

Un sistem geometric nedeformabil, alctuit din bare articulate perfect n

noduri i avnd legturi (reazeme) i aciuni aplicate numai n noduri, poart

denumirea de grind cu zbrele.

Grinda cu zbrele este plan cnd toate barele i reazemele sistemului sunt

n acelai plan sau spaial cnd barele i rezemrile sunt dispuse pe cele trei

direcii.

Se regsesc n practic la lucrri de construcii civile i industriale, ci de

comunicaii (poduri rutiere i de cale ferat, pasarele, estacade), construcii

inginereti (turnuri TV, castele de ap), iar n geodezie la realizarea semnalelor

geodezice.

O grind cu zbrele uzual ntlnit este cea din Fig.3.1

Fig.3.1 Grind cu zbrele triunghiular

Orice bar hj a unei grinzi cu zbrele izolat din sistem reprezint un corp

solicitat la fore la capete (Fig.3.2a).

54

Fig.3.2 Bare izolate aparinnd grinzilor cu zbrele

Pentru echilibru trebuie ca cele dou rezultante hR i jR s fie egale, de

sens contrar, i pe suportul dreptei hj . Astfel, dac bara este dreapt, n orice

seciune a ei torsorul eforturilor se reduce la o for axial N, care poate fi de

ntindere (Fig.3.2b) sau de compresiune (Fig.3.2.c).

Dac se secioneaz bara, eforturile corespunztoare trag de noduri la

bara solicitat la ntindere (Fig.3.2b) i comprim nodurile dac bara este

solicitat la compresiune (Fig.3.2c).

Pentru rezemarea grinzilor cu zbrele, ntruct s-a admis c forele se aplic

n noduri, trebuie folosite numai reazeme la care reaciunea are punctul de

aplicaie cunoscut. Acestea sunt: reazemul simplu, articulaia plan i spaial

(Fig.3.3)

A B

RA RB

Fig.3.3 Rezemarea grinzilor cu zbrele

Ne vom referi n continuare la principiile de alctuire constructiv pentru a

forma un sistem geometric nedeformabil, liber sau fixat, precum i la modul de

determinare a eforturilor din bare, care se noteaz cu plus cnd sunt ntinderi .

55

3.1.2 Condiii de nedeformabiltate geometric

Sistemele plane sau spaiale din bare articulate se analizeaz n ipoteza c

barele sunt nedeformabile (rigide).

A. Cazul sistemelor plane

Un triunghi alctuit din bare articulate n noduri (Fig.3.4) constituie cel mai

simplu sistem plan geometric nedeformabil. Pentru fiecare alt nod 4, 5,..., n ce

se ataeaz corect figurii de baz sunt necesare cte dou bare.

Fig.3.4 Sistem plan, geometric nedeformabil

Dac b reprezint numrul barelor necesare pentru fixarea celor n noduri

are loc relaia:

b = 2 n

ntruct figura de baz are trei noduri i trei bare, notnd pentru ntregul

sistem, cu n = n + 3 numrul total de noduri i cu b = b + 3 numrul total de

bare i folosind expresia de mai sus, se obine relaia:

b +3 = 2 n

care reprezint condiia de nedeformabilitate geometric a grinzilor cu zbrele

plane.

Sistemele care respect aceast condiie sunt denumite sisteme libere; au

nevoie pentru a fi fixate de trei legturi simple care trebuie dispuse corect.

n consecin, fixarea celor n noduri se realizeaz prin barele b i prin legturile

cu terenul, care se echivaleaz n legturi simple al cror numr se noteaz cu r

56

(r 3). Condiia de nedeformabilitate geometric a grinzilor cu zbrele plane

poate fi scris sub forma general:

b + r = 2 n; r 3

Dac se secioneaz toate barele din jurul unui nod (Fig.3.4b) i se introduc

eforturile corespunztoare, atunci n nod acioneaz un sistem plan de fore

concurente pentru care se pot scrie dou ecuaii de echilibru i anume, proieciile

pe dou direcii oarecare. Procednd similar cu toate nodurile unei grinzi cu

zbrele, se constat obinerea a 2n ecuaii de echilibru din care se determin

eforturile din cele b bare i r reazeme.

Astfel, se deosebesc grinzi cu zbrele:

- static determinate b + r = 2 n

- static nedeterminate b + r > 2 n

- mecanisme b + r < 2 n

Observaii:

O grind cu zbrele alctuit numai din triunghiuri alturate este totdeauna

corect. Este necesar ca i legturile cu terenul la rndul lor s fie corect

realizate.

ndeplinirea condiiei de nedeformabilitate geometric de ctre o grind cu

zbrele static determinat este necesar dar nu i suficient. Exist cazuri n care

sistemele ndeplinesc condiia de nedeformabilitate geometric, dar n domeniul

infinitezimal au deplasri i deci nu sunt strict indeformabile. Astfel de sisteme

sunt denumite sisteme critice (exemplu, fig.3.5)

Fig.3.5 Sistem critic

57

Sistemele critice nu pot fi admise ca structuri de rezisten; rezult c

analiza oricrei grinzi cu zbrele trebuie s nceap cu verificarea sistemului de

bare din punct de vedere al invariabilitii geometrice.

B. Cazul sistemelor spaiale

Informativ, pentru sistemele spaiale din grupa crora fac parte i scara de

recunoatere de tip I, semnalele geodezice (provizorii sau definitive) folosite n

msurtorile terestre, se precizeaz urmtoarele:

- Se ataeaz un triunghi de baz alctuit din trei bare i trei noduri, n nod

fiind necesare n spaiu 3 bare. Pentru n noduri sunt necesare b bare, astfel

nct b= 3n.

- Numrul total de noduri este n = n + 3; numrul total de bare este b = b + 3.

Relaia general ntre bare i noduri devine:

b + 6 = 3 n

i care reprezint condiia de nedeformabilitate geometric pentru o grind

cu zbrele spaial.

Dar, o grind spaial necesit 6 legturi simple, corecte. Dac numrul r al

reazemelor, echivalent n legturi simple este mai mare dect 6, atunci condiia

de nedeformabilitate geometric devine:

b + r = 3 n,; r 6.

Pentru r > 6, grinda ridicat de pe reazeme nu mai reprezint un corp

geometric nedeformabil.

Condiia de nedeformabilitate geometric este necesar dar nu i suficient,

aadar orice grind cu zbrele spaial trebuie analizat din punct de vedere a

alctuirii pentru a nu fi critic.

3.1.3 Alctuirea grinzilor plane cu zbrele

n funcie de poziia ocupat n alctuirea grinzii, barele grinzii cu zbrele

au denumiri diferite. Barele de pe contur se numesc tlpi (talp superioar, talp

inferioar), iar cele care leag tlpile se numesc zbrele (Fig.3.6).

58

Zbrelele nclinate se numesc diagonale, iar dac cele verticale i

perpendiculare pe tlpi se numesc montani (Fig.3.6).

Dup forma i conturul tlpilor se deosebesc: grinzi cu tlpi poligonale

(Fig.3.6.a), cu tlpi paralele (Fig.3.6.b).

Dup dispoziia zbrelelor se deosebesc urmtoarele sisteme: dreptunghiu-

lare (Fig.3.6.b), triunghiulare (Fig.3.6.c), cu diagonale n K (Fig.3.6.d).

Fig.3.6 Alctuirea grinzilor cu zbrele

3.1.4 Metode analitice de calcul pentru grinzile cu zbrele

Calculul grinzilor cu zbrele are drept scop determinarea eforturilor axiale

n barele acesteia, n vederea dimensionrii economice a seciunilor acestora sau

dup caz, n vederea consolidrii grinzilor urmare a schimbrii condiiilor din

exploatare.

Metodele analitice de calcul a grinzilor cu zbrele sunt: metoda izolrii

nodurilor, metoda seciunilor (Ritter) i metodele combinate. Corespunztor

acestora exist i se pot folosi metodele grafice Cremona i Culman.

n general, etapele de calcul ale unei grinzi cu zbrele plane sunt

urmtoarele:

- verificarea grinzii n ceea ce privete respectarea condiiei de

59

nedeformabilitate geometric;

- determinarea forelor de legtur (reaciunilor) din nodurile de rezemare.

n acest scop se nlocuiesc legturile grinzii cu baza de rezemare prin elementele

mecanice corespunztoare, se scriu i se rezolv ecuaiile de echilibru static:

01

=n

iX 01

=n

iY 00 =M .

- determinarea eforturilor din bare prin una din metodele menionate

anterior.

GRINZI PLANE

A. Metoda izolrii nodurilor Se parcurg urmtoarele etape de lucru:

- Se secioneaz barele care concur ntr-un nod i se nlocuiesc cu fore n

lungul barelor, de mrime cunoscut, avnd iniial un sens arbitrar ales ctre

exteriorul nodului. Este necesar ca primul nod analizat s aib doar dou bare,

deoarece nodul este considerat punct material n plan i se pot scrie doar dou

ecuaii de echilibru static i anume 01

=n

iX i 01

=n

iY .

- Se scriu i se rezolv ecuaiile de echilibru static scrise pentru nodul

studiat, obinndu-se mrimile forelor necunoscute din bare. Calculul poate da

valori pozitive pentru forele din bare n acest caz forele marcnd ntinderea,

sau valori negative, marcnd compresiunea, iar sensul real al acestora este

contrar celui arbitrar ales iniial.

- Se continu succesiv calculul pentru toate nodurile, avnd grij ca la nici

un nod s nu se ntlneasc mai mult de dou fore necunoscute. Pe tot parcursul

calculului se va ine cont c la orice bar, n lungul acesteia, fora axial este

constant.

60

B. Metoda seciunilor Se respect urmtoarele indicaii pentru a putea fi aplicat:

- Se secioneaz grinda cu zbrele n dou pri i se studiaz echilibrul

uneia din pri prin luarea n considerare a forelor exterioare, a reaciunilor din

rezemare i a forelor din bare.

- Seciunea n grind se face tindu-se maximum trei bare, dintre care cel

mult dou pot fi concurente. Aceast indicaie este consecina faptului c n plan

se pot scrie numai trei ecuaii de echilibru static pentru o poriune izolat

considerat corp rigid: 01

=n

iX , 01

=n

iY , 00 =M i ca atare, cu ajutorul lor

se pot calcula numai trei necunoscute.

- n scopul simplificrii calculelor se aplic ecuaia momentelor n raport cu

punctul de ntlnire a dou bare.

- Pentru determinarea forelor axiale din celelalte bare se face o nou

seciune prin grind printr-un grup de maximum trei bare i se aplic metoda

descris anterior.

- Forele axiale din acele bare ce nu au putut fi determinate prin aplicarea

metodei seciunilor, se determin din ecuaii de echilibru static scrise n nodurile

n care se ntlnesc aceste bare.

Note:

Metoda prezint avantajul determinrii directe a unui efort axial ntr-o

bar a grinzii, care prezint interes din anumite considerente constructive.

Exist numeroase programe de calcul pentru determinarea eforturilor n

barele grinzilor cu zbrele care depesc ns cadrul prezentei lucrri.

Aplicaii

1. Utiliznd metoda izolrii nodurilor, s se determine eforturile n barele

grinzii cu zbrele din figura alturat.

61

Rezolvare

Sistemul este corect constituit ntruct este alctuit din triunghiuri alturate.

- Verificarea condiiei de invariabilitate geometric:

b + r = 2 n

b = 13; r = 3; n = 8 (13 + 3 = 2 x 8 = 16)

- Din ecuaiile de echilibru ale grinzii, avnd n vedere rezemarea acesteia

se determin reaciunile H1, R1 i R2.

01

=n

iX , H1 = 0

01

=n

iY , 50 + 60 = R1 + R2.

00 =M , 60 x 2,5 + 60 x 7,5 10 x R2 = 0, deci, R2 = 45 kN

rezult R1 = 75 kN

Echilibrul nodului 1

01

=n

iY , deci 0sin75 12 = S kNS 8,1052150

12 =

= (compresiune)

= 45

62

01

=n

iX , deci ;0cos1213 =+ SS S13 = 75 kN (ntindere)

Echilibrul nodului 3

01

=n

iY , 06032 =+S , S32 = 60 kN

01

=n

iX , 07535 =S , kNS 7535 =

Echilibrul nodului 2

Datorit construciei grinzii putem alege ca ax xx axa 2-4 i ca ax yy,

axa 2-5.

0'1

=n

iX , 0cos602150

24 =+ S ; S24= kN5,63290

=

0'1

=n

iY , 0sin6025 =+ S ; 260

25 =S = -42,3 kN

Echilibrul nodului 4

01

=n

iX , ;0sin290sin46 =+ S kNS 5,6346 =

01

=n

iY , cos290

45 S + 0cos46 =S ; kNS 9045 =

Nodul 7 nu este ncrcat cu fore exterioare i are dou bare n prelungire.

Bara 7-6 este bar cu efort nul ( 01

=n

iY ), iar barele n prelungire au eforturi

egale i de acelai sens ( 01

=n

iX , 7875 SS = , la fel n nodul 6, unde ( 0'1

=n

iX ),

S65= 0, ( 0'1

=n

iY ), kNSS 5,63290

6864 ===

Echilibrul nodului 5

01

=n

iY , 0sin26060 54 =+ S ; kNS 9054 =

63

01

=n

iX , ;0cos2607557 =+ S kNS 4557 =

Verificarea se face pentru ultimul nod (8).

01

=n

iX : 045cos290

=

01

=n

iY : 045sin290

=

Aplicaie propus

S se determine eforturile n barele grinzii cu zbrele de la semnalul

geodezic din figura alturat, prin metoda izolrii nodurilor.

Indicaii.

Se caut barele cu efort nul. Se observ c nodul 6 este nod nencrcat, are

dou bare n prelungire, iar a treia bar este normal pe cele dou.

2. S se determine eforturile n barele secionate ale semnalului geodezic

din figura alturat. (Se va folosi metoda seciunilor).

Rezolvare

Seciunea 1-1 mparte grinda cu zbrele n dou pri distincte. Dac se

scrie echilibrul prii inferioare este necesar s se determine reaciunile din

punctele de rezemare.

64

Rezolvare

01

=n

iX ; 01

=n

iY ; 00 =M , rezult H1 = 120 kN; R0 = -R1 = 400 kN

Eforturile n barele secionate se determin scriind echilibrul prii

superioare a grinzii.

04 =M ; ;034120 53 =+ S kNS 16053 =

;03 =M 038120 42 = S ; kNS 32042 =

;05 =M 033204120 43 = dS ; kNS 20043 = , unde md 4,2sin3 ==

Verificare 01

=n

iX : 0cos200120 = i 01

=n

iY : 01608,0200320 =

Aplicaie propus

Pentru aceeai grind s se determine eforturile din barele: 4-6, 6-5, 7-5

aplicnd metoda seciunilor.

GRINZI SPAIALE

Calculul i alctuirea semnalelor geodezice este asemntor celui aferent

turlei clasice de foraj reprezentat de o grind cu zbrele spaial (Fig.3.7).

65

Fig.3.7 Turla clasic de foraj

Se prezint n continuare, principial, modul de rezolvare.

Se verific respectarea condiiei de nedeformabilitate geometric:

b +r = 3n, reazemele simple, r = 12, sunt realizate prin patru articulaii

sferice n nodurile 1, 1, 2 i 2.

n acest fel, fiecare fa a turlei reprezint o grind cu zbrele plan, corect

rezemat n planul ei. n concluzie, pentru calculul eforturilor, turla se poate

descompune n grinzi cu zbrele plane.

Descompunnd fora F10 n trei componente: F10 dup direcia montantului

10-2, F10 dup d