MATRICEA MAGICA

ING. ȘOAVĂ V. SORIN INGINERIA STRUCTURILOR

2010 - 2011

PATRAT MAGIC - MATRICE MAGICA

În matematică, un pătrat magic de ordinul n este o aranjare de n² numere într-un pătrat, în aşa fel încât toate numerele n din aceeaşi coloană, rând sau diagonală să dea adunate aceeaşi constantă. Un pătrat magic normal conŃine întregii de la 1 la n².

Pătrate magice exista pentru toate ordinele n ≥ 1 în afară de n = 2, deşi cazul de ordine n = 1 este trivial - Consistă dintr-o singură celulă conŃinând numărul 1. Cel mai mic caz nontrivial, arătat dedesubt, este de ordinul 3.

INTRODUCERE Să considerăm succesiuna aritmerică 1, 2, 3, 4, ... 36 (pătrat de ordinea 6) şi să dispunem

numerele în două rânduri in zig-zag: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 Aceasta rezultă în faptul că orice pereche de numere aliniate vertical da aceeaşi suma, ştiind

că cu cât ne-am deplasat înainte în coloane, cu atât numerele de sus cresc cu o unitate, pe când cele de jos scad. Suma în toate cazurile este aceea a extremelor:

n2 + 1 = 36 + 1 = 37 Dacă aranjăm ansamblul numerelor în şase randuri:

1 2 3 4 5 6 12 11 10 9 8 7

13 14 15 16 17 18 24 23 22 21 20 19

25 26 27 28 29 30

36 35 34 33 32 31 Cum se poate vedea, suma în diferitele coloane este necesar egală, fiind că numerele sunt

grupate în perechi ca şi în primul caz (se pot compara perechile de rânduri 1ª-6ª, 2ª-5ª şi 3ª-4ª cu dispunerea originală). Acum oarecum, cele trei perechi de coloane fiind (n/2), suma va fi:

ceea ce se numeşte constanta magică, care în cazul nostru este de n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Ordinea n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

M 2(n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105

Sare în ochi ca pătratul precedent nu este un pătrat magic, pentru că aranjând numerele de manieră consecutivă, sumele cifrelor din fiecare rând cresc de fiecare dată. Oricum am găsit şase serii de numere între 1 şi 36, a căror sumă, fară să se repete niciunul, este constanta magică. Dacă în loc de dispunerea precedentă plasăm numerele în ordine consecutivă, obŃinem o dispunere în care numerele din diagonala principala pot fi scrise sub forma (a-1)×n + a.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 Calculând suma, ştim că rândurile a merg de la 1 la n:

Orice serie de şase valori în care nu sunt două din acelaşi rând sau din aceeaşi coloană se va

aduna să formeze constanta magică. Scriind termenul i, j al matricei ca (i-1)×n + j şi luând şase termeni oarecare ci condiŃia ca nici i, nici j să se repete, şi să varieze de la 1 la n, ecuaŃia rezultând este aceeaşi ca şi în cazul anterior şi suma, în consecinŃă, constanta magică.

Cum se şi poate demonstra, cantiatea de serii posibile de n numere care îndeplinesc condiŃia anterioară este n !, 720 în pătrate de ordinea 6, şi nici chiar toate sunt posibile, fiind dat că am obŃinut şase care nu sunt incluse printre ele. Prin definiŃie, fiind posibil să se construiască (n²) ! matrice în care nici un termen să nu se repete şi în care să existe cel puŃin n ! (de fapt mult mai multe) combinaŃii de numere care se adună să formeze constanta magică, se înŃelege intuitiv că ce ar fi magic despre pătrat este că cu atâtea posibilităŃi era imposibil să construiască un pătrat magic.

De ordinea 3 există doar un pătrat magic (variaŃiile diferite se pot obŃine prin rotaŃie sau oglindire), în 1693 Bernard Frenicle de Bessy a stabilit că există 880 pătrate magice de ordinea 4 [1], posterior se gasiseră 275.305.334 pătrate magice de ordinea 5; numarul de pătrate magice de o ordine mai mare este necunoscut, dar după estimaŃiile lui Klaus Pinn şi ale lui C. Wieczerkowski realizate în 1998 cu ajutorul metodelor lui Monte Carlo şi ale mecanicii statistice există (1,7745 ± 0,0016) × 1019 pătrate de ordinea 6 şi (3,7982 ± 0,0004) × 1034 de ordinea 7.

În ceea ce priveşte ordinele inferioare, este evident că de ordinul unu există numai un pătrat magic, 1 , iar de ordinul 2 nu există niciunul, ceea ce poate fi demonstrat în figura pătratului magic a, b, c, d; pentru ca această dispoziŃie să fie un pătrat magic ar fi trebuit să se îndeplinească urmatoarele ecuaŃii (M fiind constanta magică sau orice altă cantitate, dacă este dorită): a b

c d a + b = M a + c = M a + d = M b + c = M b + d = M c + d = M scriind sistemul de ecuaŃii de manieră matricială şi căutând ordinul matricei de coeficienŃi,

se obŃine că este trei, pe când numărul de necunosute este patru, de aşa fel încât sistemul să aibă doar soluŃia trivială a = b = c = d = M/2, fiind imposibil să se construiască un pătrat magic în care cele patru cifre să fie distincte.

PĂTRATUL MAGIC AL LUI ALBRECHT DÜRER

16 3 2 13 5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1 Pătratul magic al lui Albrecht Dürer, sculptat în opera sa Melancolía este considerat primul

din artele europene. În pătratul de ordinea patru se obŃine constanta magică (34) în rânduri, coloane, diagonale principale, şi în cele patru submatricii de ordinul (2) în care se poate împărŃi pătratul, adăugând numerele din colŃuri, cele patru numere centrale, numerele centrale ale primelor şi ultimelor rânduri (sau coloane) etc. şi cifrele centrale ale ultimului rând 1514 fiind anul creaŃiei operei.

CONSTRUCłIA PĂTRATELOR MAGICE Sunt numeroase forme de a construi un pătrat magic, dar cele mai simple consistă în a

urmări anumite configuraŃii sau formule care produc rezultate regulare. Mai mult, se poate să se impună condiŃii adiŃionale pătratului, obŃinându-se pătrate bi-magice, tri-magice etc. Prin analogie, se pot construi cercuri, poligoane şi cuburi magice.

Nu există o metodă generală pentru a construi pătrate magice de orice ordin, fiind necesar să se facă distincŃia între cele de ordin impar, cele de ordin multiplu de 4 şi restul de ordin par (4×m + 2).

PĂTRATE MAGICE DE ORDIN IMPAR (I) Aceste pătrate pot fi generate cu metoda publicată în 1691 de Simon de la Loubere, numită

câteodată metoda siameză, metodă cunoscută de astrologii orientali. Începând în căsuŃa centrală a primului rând cu primul număr, umplem diagonala ruptă cu urmatoarele, în sens NV (sau NE). Odată umplută prima diagonală, este coborâtă de o poziŃie şi se umple a doua în acelaŃi sens ca şi prima, apoi repetând pasurile anterioare până se termină pătratul.

Evident, se putea începe în orice căsuŃă centrală a rândurilor sau coloanelor perimetrale,

fiind în fiecare caz direcŃia diagonalelor în afara pătratului şi sensul deplasării o dată teminată fiecare diagonală dat prin poziŃia relativă din centrul pătratului în ceea ce priveşte căsuŃa centrală.

Rezultă evident că începănd cu orice altă căsuŃă suma rândurilor şi a coloanelor va fi constanta magică, dat fiind că poziŃia relativă a cifrelor va fi aceeaşi ca şi în cazul anterior; totuşi, în paralela diagonală a direcŃiei umplute nu se confirmă aceste condiŃie (confirmată în celaltă). De fapt, alegerea iniŃială particulară a casuŃei iniŃiale răspunde necesităŃii ca în diagonala paralelă direcŃiei care trebuie umplută cele cinci numere centrale ale seriei să fie plasate consecutiv dat fiind că orice alte cinci numere consecutive nu se vor aduna la constanta magică.

PĂTRATE MAGICE DE ORDIN IMPAR (II) Pasul întâi: Se scriu numerele de la 1 la n². Se scrie 1 în casuŃa superioară a rombului şi se

urmează în formă oblică ca şi în exemplul de mai jos. Pătratul magic va fi unul înscris în rombul format.

Pasul al doilea: Transferăm numerele din colŃurile rombului în casuŃele goale în partea

opusă a rombului.

Pasul al treilea: Scoatem colŃurile rombului: acum avem un pătrat magic de ordin impar.

PĂTRATE MAGICE DE ORDIN MULTIPLU DE 4 Se construieşte un pătrat cu numerele dispuse consecutiv (să se vadă al doilea pătrat de

ordinea 6 în introducere), dispoziŃie în care ştim că suma diagonalelor este constanta magică. O dată facut, şi conservând submatricea centrală de ordinul n/2 şi cele din colŃuri de ordinul n/4, învârtim de 180º numerele care rămân în jurul centrului pătratului, sau, dacă se preferă sunt puse în ordin descrescător (în ambele cazuri rezultatul este acelaşi).

Plecând de la aceaşi dispoziŃie şi alegând patroane simetrice similare numerelor a fi

conservate se pot construi pătrate magice diferite de cele obŃinute înainte, ca şi următoarele:

PĂTRATE MAGICE DE ORDIN MULTIPLU DE 4 PLUS 2N Pentru a construi această clasă de pătrate magice se poate folosi metoda LUX. Se bazează în

parte pe metoda lui la Loubere, care se foloseşte în construcŃia pătratelor magice de ordin impar (a se vedea mai sus).

Ca exemplu, o să construim un pătrat magic de latura zece. Pasul întâi: Regrupăm căsuŃele în grupuri de 2x2, şi le etichetăm pe fiecare în parte cu forma următoare: -Pătratele k+1 din primele rânduri, unde k este împărŃirea completă a mărimii pătratului în

patru, sunt etichetate cu litera L (3 rânduri în cazul acesta). -Pătratele rândului următor se etichetează cu litera U. -Pătratele rândurilor rămase se etichetează cu litera X.Aceste litere ne vor arăta pe urmă cum

să umplem fiecare pătrat de 2x2.

Pasul al doilea: Se schimbă pătratul U central cu pătratul L imediat superior.

Pasul al treilea Etichetăm fiecare pătrat de 2x2 cu un număr, ghidându-ne după metoda lui la Loubere. Cu

această forma indicăm în ce ordine se va umple fiecare subpătrat.

Pasul al patrulea Acum, subpătratului al i-lea îi corespund numerele 4i-3, 4i-2, 4i-1 şi 4i. De exemplu,

subpătratului 10 îi corespund numerele 37, 38, 39 şi 40. Tot ce ne mai rămâne să ştim este cum să plasăm cele patru numere în subpătratul

corespunzător, şi aici intră în joc etichetetele LUX.

al patrulea număr primul număr al doilea număr al treilea număr

Subpătrat tip L primul număr al patrulea număr

al doilea număr al treilea număr Subpătrat tip U

primul număr al patrulea număr

al treilea număr al doilea număr Subpătrat tip X

După cum se poate vedea, lierele ne spun forma pe care o iau numerele aşezându-se în fiecare subpătrat.

Cu toate acesete elemente se poate construi pătratul. 68 65 96 93 4 1 32 29 60 57 66 67 94 95 2 3 30 31 58 59

92 89 20 17 28 25 56 53 64 61

90 91 18 19 26 27 54 55 62 63 16 13 24 21 49 52 80 77 88 85

14 15 22 23 50 51 78 79 86 87 37 40 45 48 76 73 81 84 9 12

38 39 46 47 74 75 82 83 10 11

41 44 69 72 97 100 5 8 33 36 43 42 71 70 99 98 7 6 35 34

PĂTRATE MAGICE EZOTERICE Un pătrat magic ezoteric, foloseşte criterii mai restrictive în ceea ce priveşte condiŃiile unui

pătrat magic, în aşa fel încât să existe una pentru fiecare n. În continuare sunt descrise condiŃiile. Proprietate de echivalenŃă În sens ezoteric, se consideră numai pătratele magice care au aceleaşi cifre ca şi numărul

căsuŃelor (care urmăresc seria naturală de la 1 la n²). Pătratul din stânga nu este un pătrat magic ezoteric. În acest caz este rezultaul unui pătrat magic de n=3 a căror cifre au fost adăugate 20 (a fi comparat cu pătratul original din dreapta).

28 21 26 23 25 27

24 29 22 Proprietatea colŃurilor

• În sens ezoteric, un pătrat magic trebuie să îndeplinească unele condiŃii de sumă a colŃurilor lui (Pe care le numim Cifra magică-2, sau de al doilea ordin). ExplicaŃia cum se alfă: • Dacă numim CompoziŃie sumarea numerelor care compun pătratul magic: C= sum (1+2+3....), sau C= ((n²+1)×(n²/2) ... • ...şi dacă numim Numărul bază (Nb) CompozăŃia împărŃită la numărul căsuŃelor care compun pătratul, vom avea Nb= C / (n²). • ObŃinem şi Cifra magică, ÎnmulŃind Numărul bază cu n Cm=Nb×n (sau invers, obŃinem Nb, împărŃind cifra magică la n Nb= Cm/n ).

Şi fiind Cifra magică-2 suma colŃurilor, atunci: Cm2= r+s+t+u. Deci Cm2, suma colŃurilor Cm2= Cm - (Nb( n-4)) au (plecând de la faptul că Cm=Nb×n) : Cm2= Nb×n - (Nb(n-4)). Sau reducând : Cm2= 4Cm / n.

8 1 6

3 5 7 4 9 2

r _ _ s _ _ _ _

_ _ _ _ t _ _ u

Se semnalează în figuri căsuŃele din colŃuri, pentru pătrate de n=4 şi n=3. • Se deduce că dacă pătratul are mai puŃine colŃuri decăt 4, atunci această cifră este adunată, şi

dacă este mai mare decât 4 colŃuri, este scăzută. Pentru cazul în care sunt exact 4 colŃuri, nici nu este adunată nici scăzută, sau adunată şi scăzută,(cum este preferat să fie considerat).

• Putem să verificăm că în pătratul magic de 4 suma celor 4 colŃuri Cm2 = Cm (Cifra magică-2 = Cifra magică). Iar suma cifrelor care formează o cruce (CRUX) (cele care sunt în mijloc între două colŃuri

adiacente), au ca sumă Cm2. Particularitatea n=par_impar produce două cazuri. • Pentru cazul unde n=impar: Cm2= C +R +U +X (figura din stânga) • Şi pentru cazul unde n=par cele două casuŃe adiacente care formează o cruce în aceleaşi

condiŃii, doar că în acest caz fiind două grupuri de 4 căsuŃe, este de două ori CM ; =2 Cm2): Cm2=(C1 +C2 +R1 +R2 + U1 +U2 +X1 +X2 )/2 (figura din dreapta)

_ C _

R _ U _ X _

Se arată un pătrat de n=3 ca exemplu de caz par, şi unul de n=6 ca exemplu de caz impar. Să

se observe că în cazul impar, se iau cele două căsuŃe centrale de CRUX, motivul, pentru că trebuie împărŃit după aceea în doi.

• S-a remarcat că în tablă exemplul arătat despre pătratul magic cu cazul unde n= 7 : aplicat este C=1225 ; Nb=25 ; Cm= 25×7=175 ; Cm2= 175- (25(7-4)=100

• Se poate verifica Cm2=R+S+T+U , (colŃurile, în bleu deschis 22 + 4 + 46 + 28 ) = 100 • În acelaşi mod se poate verifica Cm2=C+R+U+X ,(centrele crucii, en turquoise închis 41 +

13 + 9 + 37 ) = 100 22 47 16 41 10 35 4

5 23 48 17 42 11 29 30 6 24 49 18 36 12

13 31 7 25 43 19 37

38 14 32 1 26 44 20 21 39 8 33 2 27 45

46 15 40 9 34 3 28

r _ s _ _ _

t _ u

_ _ C1 C2 _ _ _ _ _ _ _ _

R1 _ _ _ _ U! R2 _ _ _ _ U2

_ _ _ _ _ _

_ _ X1 X2 _ _

Latura n a pătratului

CăsuŃe n×n

Sumare (n²+1)×(n²/2)

Cifra magică

C/n

Număr bază Cm/n

Cifra magică-2 Cm2= 4Cm

/ n

n n² C Cm Nb Cm2

1 1 1 1 1 4 Non mag.

2 4 10 5 2,5 10 Non. mág.

3 9 45 15 5 20

4 16 136 34 8,5 34

5 25 325 65 13 52

6 36 666 111 18,5 74

7 49 1225 175 25 100

8 64 2080 260 32,5 130

9 81 3321 369 41 164

• Se poate înŃelege că pătratul de 1 nu are 4 colŃuri, şi totodată a lui cifră mágică-2, este 4, nefiind posibil să se adune mai mult decăt 1, nu poate fi un pătrat magic ezoteric.

• Pătratul de doi, chiar dacă are 4 colŃuri, a lui cifră mágică-2 face să apară un rezultatul 10, ceea ce este imposibil să rezulte. Se explică mai sus în acest articol de ce un pătrat magic n=2, nu poate fi (Cm nu are resultat), şi acum de ce nu este ezoteric. ProprietăŃi poziŃionale Ceea ce face ca un pătrat magic ezoteric să fie ordonat sunt îndeplinirea unor alte condiŃii

care sunt lejer diferite în pătratele cu n-par pe lângă cele cu n-impar. (acelaşi pătrat rotit sau reflectat nu mai rămâne ordonat dar continuă să fie ezoteric.

• n-impar: Nb ocupă căsuŃa centrală. Cifra cea mai mare este în susul căsuŃei centrale şi cea mai mică dedesubt. ColŃul r este ocupat de cifra Nb-(n/2-(1/2)) şi colŃul opus u de cifra Nb+(n/2-(1/2)). ColŃul s este ocupat de cifra n/2+(1/2) şi căsuŃa opusă t, de 2×Nb-(cifra s), sau, ceea ce dă aceelaşi rezultat, de cifra cea mai mare a pătratului magic, - (n/2-(1/2)).

• n-par : CăsuŃa r (prima), este ocupată de cifra n, cifra 1 ocupă căsuŃa s, şi ultima cifră, diagonala t, şi căsuŃa u=t+s-r. Dacă este par, nu există căsuŃă centrală, şi pentru acelaşi Nb, nu este întreg, şi nu ocupă nici o căsuŃă.

PĂTRATUL MAGIC RENATO

1 399 3 397 396 395 7 8 9 391 390 12 13 14 386 385 384 18 382 20 21 22 23 377 376 375 374 28 29 371 370 32 33 367 366 365 364 38 39 40

41 359 43 357 45 46 354 48 352 351 350 349 53 347 55 56 344 58 342 60

61 62 63 64 336 335 334 68 332 331 330 329 73 327 326 325 77 78 79 80 81 319 83 317 85 315 87 88 312 311 91 309 308 307 306 96 97 98 99 301

300 102 103 104 296 106 294 108 292 291 290 289 113 287 115 285 117 118 119 281 121 279 123 277 276 275 127 128 129 271 270 132 133 134 266 265 264 138 262 140

141 259 143 257 256 146 147 148 252 150 250 249 153 247 246 245 244 158 159 160

161 239 238 237 236 235 234 233 169 231 170 172 173 174 175 176 177 178 222 180 200 199 198 197 196 195 194 193 212 190 191 209 208 207 206 205 204 203 202 201

220 219 218 217 216 215 214 213 192 210 211 189 188 187 186 185 184 183 182 181 240 162 163 164 165 166 167 168 229 171 230 232 228 227 226 225 224 223 179 221

260 142 258 144 145 255 254 248 149 251 151 152 253 154 155 156 157 243 242 241

280 122 278 124 125 126 267 273 272 130 131 269 268 274 135 136 137 263 139 261 101 299 298 297 105 286 107 293 109 110 111 112 288 114 295 116 284 283 282 120

320 82 318 84 305 86 314 313 89 90 310 92 93 94 95 316 304 303 302 100 340 339 338 324 65 66 67 333 69 70 71 72 328 74 75 76 337 323 322 321

360 42 343 44 356 355 47 353 49 50 51 52 348 54 346 345 57 358 59 341

380 362 378 24 25 26 27 373 372 30 31 369 368 34 35 36 37 363 379 361 381 2 398 4 5 6 394 393 392 10 11 389 388 387 15 16 17 383 19 400

Acesta este pătratul magic "RENATO" al cărui autor este Jorge Egúsquiza Loayza. Acest

pătrat magic care conŃine numerele de la 1 la 400 are suma de 4,010 în direcŃiile orizontale, verticale şi diagonale. Crearea lui a fost posibilă folosind o metodă de creat pătrate magice de dimensiuni mari. Această metodă se bazează pe extrapolarea numerelor folosind o succesiune logică de inversare, unde se schimbă un număr superior cu unul inferior:

Numărul 2 de pe prima linie se inversează, schimbându-l cu numărul 382, care ia locul numărului 19, care trece în locul lui 399, şi care se termină în căsuŃa numărului 2. Este o metodă logică de inversare a colŃurilor.