mathcad sisteme de ecuatii

5/10/2018 Mathcad Sisteme de Ecuatii - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mathcad-sisteme-de-ecuatii 1/9

48

LUCRAREA Nr. 6

REZOLVAREA ECUAIILOR I SISTEMELOR DE

ECUAII ALGEBRICE

1. Scopul lucrrii

Lucrarea are ca scop prezentarea, i însuirea de ctre studeni, amodului de rezolvare a ecuaiilor algebrice i sistemelor de ecuaii algebriceutilizând produsul Mathcad.

2. Noiuni teoretice

2.1. Rezolvarea sistemelor liniare de ecuaiiPentru rezolvarea sistemelor liniare se apeleaz funcia lsolve(M,v)

care determin soluia vectorului x, prin rezolvarea sistemului M·x = v.

Sistemul trebuie s aib o soluie unic.Argumentele funciei lsolve(M,v) sunt:• M este matrice real sau complex, ptratic, nesingular ;• v este vector real sau complex care trebuie s aib acelai numr de

linii ca i matricea M.Fie sistemul liniar de n ecuaii cu n necunoscute:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

........................................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + =

+ + =

+ + =

.

Se definete matricea coeficienilor sistemului astfel:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...:

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aM

a a a

=

, iar vectorul termenilor liberi

1

2:...

n

b

bv

b

=

.



REZOLVAREA ECUA2IILOR 4I SISTEMELOR DE ECUA2II ALGEBRICE

49

Se apeleaz funcia lsolve(M,v), urmat de semnul de evaluare aexpresiei (=) i se obine vectorul coloan al soluiilor sistemului.

sol:=lsolve(M,v) , rezult:1

2sol=...

n

x

x

x

.

Utilizând facilitile permise de utilizarea Mathcad-ului, legate dedefinirea vectorilor i matricelor, se pot gsi i alte modaliti de rezolvare asistemelor liniare de ecuaii. O modalitate simpl de rezolvare se obine

dac ecuaia matriceal care înlocuiete sistemul liniar de n ecuaii cu nnecunoscute, de forma:

: x v = ,se înmulete la stânga cu inversa matricei M, rezultând vectorul x deforma:

1: x M v= , iar dup operaia de evaluare se determin soluiile

sistemului:

1

2x=...

n

x

x

x

.

Aplica ie:

S se determine soluiile sistemului liniar de 3 ecuaii cu 3necunoscute:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1

3 02 3 1

x x x

x x x x x x

+ =

+ = + + = Se definesc:

Rezult soluia:

M

1

1

1

2

1

2

1

3

3

:= v

1

0

1

:=



Îndrumar de laborator – APLICA2II ÎN MATHCAD 4I MATLAB

50

X : lsolve( , )v= , deci:

1

X 1

0

=

.

2.2. Rezolvarea sistemelor neliniare

Pentru rezolvarea sistemelor neliniare Mathcad-ul dispune de dou

funcii: Find i Minerr. Pentru aproximarea soluiei cutate este necesar s

se precizeze un punct iniial (de obicei în apropierea soluiei cutate) cu careva începe procesul iterativ al funciilor Find i Minerr. Dac punctul iniialnu este ales din domeniul de convergen al procesului iterativ, procesul nu

va converge sau va converge ctre o alt soluie.Cuvântul cheie Given trebuie s precead ecuaiile sistemului. Semnul“ G ” dintre partea stâng i partea dreapt a ecuaiilor se realizeaz prinapsarea simultan a tastelor [Ctrl]= sau din instrumentul Boolean semnul“ G ”.

Aplica ie:

S se rezolve sistemul neliniar:

2 2

log 1

0.4 2

220

y x

z y z x

y z x

= +

= +

= +

Se va rezolva sistemul în apropierea soluiei: : 1, : 2, z:=2 x y= = .

Pentru rezolvarea sistemului se scrie cuvântul rezervat Given, apoiecuaiile sistemului cu semnul „egal Boolean”. Se insereaz funcia Minerr i rezult soluia:

1.088Minerr( , , ) 2.624

2.143

x y z

=

2.3. Rezolvarea ecuaiilor algebriceForma general a unei ecuaii algebrice este urmtoarea:

11 1 0... 0n n

n na x a x a x a + + + + = ,

unde:




51

- n este gradul ecuaiei;- p(x) este polinomul asociat, 1

1 1 0( ) ...n n

n n p x a x a x a x a= + + + + ,

- ak sunt coeficienii polinomului, care pot fi numere reale saucomplexe.

Rezolvarea ecuaiei presupune utilizarea funciei polyroots caredetermin toate r dcinile polinomului. Pentru aceasta, se definete vectorulv, care conine coeficienii polinomului (începând cu termenul liber pe

prima poziie), dup care se aplic funcia polyroots(v) i rezult r dcinile polinomului p(x).

Aplica ie:

Fie polinomul: 3( ) : 10 2 p x x x= + .Pentru determinarea r dcinilor se definete vectorul v care conine

coeficienii polinomului p. Dac nu exist toi coeficienii, în locuriler mase libere se vor completa cu zerouri.

Definirea vectorului v se poate face atât direct, prin crearea vectoruluii identificarea componentelor acestora, dar i prin instrumentul Symbolic.

Pentru aceasta, din instrumentul Symbolic, utilizând cuvântul rezervatcoeffs, se pot determina coeficienii polinomului, deci i vectorul v.

v p x( ) coeffs x,

2

10

0

1

:=

Se insereaz funcia polyroots i rezult vectorul r care coniner dcinile polinomului p.

Reprezentând grafic polinomulp(x), pe intervalul de variaie alr dcinilor, se poate evidenia i

posibilitatea determinrii direct, de pe grafic, a r dcinilor polinomului,ca în figura alturat.

r polyroots v( ):=

r T

3.258 0.201 3.057( )=

5 0 540

20

0

20

40

p x( )

p r j( )

r 0 r 1

x r j

,




52

2.4. Ecuaii transcendente

Pentru rezolvarea ecuaiilor transcendente de forma f(x)=0, se

utilizeaz funcia definit root. Funcia root(f(var1,var2,…),var1,[a,b]) determin valoarea variabilei var1 pentru care funcia f este egal cu zero.Dac se specific valorile a i b, funcia root determin valoarea variabileivar1 în intervalul [a,b]. Altfel, variabila var1 trebuie s fie definit, cu ovaloare posibil, înainte de apelarea funciei root. Când valoarea posibileste definit, funcia root utilizeaz metoda Secantei sau Mueller ; în cazulîn care funcia root definete un interval se utilizeaz metoda Ridder sau

Brent .Argumentele funciei root sunt:• f este funcie scalar cu oricâte variabile;• var1 este variabila scalar , gsit în f, în raport cu care se determin

r dcina;• a, b (opional) sunt numere reale, a<b, i reprezint marginile

intervalului în care se presupune c este r dcina. Dac r dcina se aflîntre aceste valori, atunci f(a) i f(b) trebuie s fie de semne diferite.

Pentru determinarea valorii presupuse a r dcinii, necesare la aplicareafunciei root, se reprezint grafic funcia f(x) i se determin valoarea lui x

pentru care funcia f se anuleaz; cu aceast valoare se iniializeaz

algoritmul pentru determinarea soluiei ecuaiei.Funcia root rezolv o ecuaie pentru o necunoscut. Pentru a rezolva

mai multe ecuaii simultan, se utilizeaz funciile Find sau Minerr.

Aplica ie:

Fie funcia de intrare:

( ) : sin 0.845.2

x x f x e

= +

Se introduce valoarea

presupus a soluiei i se modificaceasta pân când rezolvarea esteconvergent în apropiere. Apoi, sedetermin r dcina ecuaiei prinutilizarea funciei root.

20 10 0 10 2010

0

10

20

0

f x( )

r 1 r 0

x

r 0

root f x( ) x,( ):=

r 0

0.707=

x 1:=




53

Dac se definete un interval în care se presupune c se gseter dcina, se obine:

3. Chestiuni de studiat

3.1. S se rezolve urmtoarele sisteme liniare:

1)

3

3

2 1 33 1

3 5

17

11 7 4 0

x y z

x y e z e

y x z

+ + + =

= + + =

;

2)

3 2 7 2

2 4 2 1

3 2 1

2 3 4 3

x y z t

x z t y

x t y z

t y x z

+ + = + + =

+ + =

+ =

;

3)

2.1 4.5 2 19.07

3 2.7 5.2 2.31

7 2.7 1.7 0.35

u v t

v u t

t v u

=

+ = + =

;

4)

2 73

3 25 2

23 5

22 0

2 5

=

+ =

+ =

.

3.2. S se rezolve urmtoarele sisteme neliniare:

1)2

2 2

tan( )

0.5 2 1

x y x

x y

=

+ =, în apropierea soluiei : 0.2, : 0.9 x y= = .

r 1

5.192=

r 1 root f x( ) x, 6, 2,( ):=




54

2)2 2 6

2

u v

u v

+ =

+ =, în apropierea soluiei : 2; : 1u v= = ,

i în apropierea soluiei : 1; : 1u v= = .

3.3. S se determine r dcinile pentru urmtoarele polinoame:1) 5 4 3 2( ) : 7 3 11 8 0.4 0.9 p x x x x x x= + + + ;

2) 4 3 2( ) : 7 11 3 4 9q x x x x x= + + + ;

3) ( ) ( )3 2( ) : 3 2 4 6 8r x x i x i x i= + + + + ;

4) 5 4 3 2( ) : 2 5 20 8 3 s x x x x x x= + + + ;

5) 4 3 2( ) : 3 2 4 1t x i x i x x= + + + .

3.4. S se rezolve urmtoarele ecuaii transcendente:

1) cos( )2

x x = ;

2) 2 ln( ) 0 x x+ = ;

3) 2 0 x x e = .

4. Modul de lucru

4.1. Pentru rezolvarea sistemelor liniare se parcurg etapele prezentateîn §2.1. În continuare, se exemplific rezolvarea pentru primul sistem de la§3.1.

b

1

e0

:=

x lsolve A b,( ):=

x

2.749

3.266

1.393

=

A

2 1+

3

1

37

3

17

11

3

35

e

4

:=




55

4.2. Pentru rezolvarea sistemelor neliniare se procedeaz conform §2.2:Se definete soluia iniial, se scrie cuvântul rezervat Given i apoi

ecuaiile, cu semnul egal Boolean între termeni, dup care se aplic funciaFind:

2

2 2

: 0.2; : 0.9

tan( )

0.5 2 1

x y

Given

x y x

x y

= =

=

+ =

0( , )

0.707 Find x y

=

4.3. Pentru determinarea r dcinilor unui polinom se procedeaz

conform §2.3. Aplicând indicaiile se determin vectorul a, care coninecoeficienii polinomul p(x) i apoi r dcinile, prin utilizarea funcieipolyroots:

a

0.9

0.4

811

3

7

:=

polyroots a( )

1.711

0.299

0.405

0.588 0.523i

0.588 0.523i+

=

4.4. Pentru rezolvarea ecuaiilor transcendente se procedeaz conform§2.4. Exemplificând pentru prima ecuaie, se obine:

f x( ) cos x( )x

2:=

x 5

5

0.01+, 2..:=




56

x 1.0297:=

root f x( ) x,( ) 1.029867=

sau, definind un interval, se obine:

root f y( ) y, 0, 5,( ) 1.03=

5. Coninutul referatului

Referatul trebuie s conin:• Titlul i scopul lucr rii• Noiuni teoretice• Chestiuni de studiat• Rezultatele obinute i observaii personale.

5 0 52

0

2

4

0

f x( )

1.0297

x

mathcad sisteme de ecuatii

Documents