matematici financiare partea a doua

7/23/2019 Matematici financiare partea a doua

http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-partea-a-doua 1/11

2. Plăţi eşalonate

2.1. Generalităţi

Vom utiliza termenul de plată în sens larg, de operaţie financiar ă ce poatefi o plată propriu-zisă, un plasament bancar, un venit etc. Dacă operaţiunea de plată se face la anumite intervale de timp, deci cu regularitate, spunem că avemde-a face cu plăţi eşalonate (uneori în acest sens se utilizează şi termenul derentă). După anumite elemente care le caracterizează, plăţile eşalonate sunt dediferite tipuri. Astfel, sunt:

— constante sau variabile (după cum este suma (sau rata) plătită); — anticipate sau posticipate (după momentul la care se face plata); — temporare (numărul de plăţi este finit), perpetue (numărul de plăţi este

nelimitat), viagere (plăţi pe viaţă, legate de viaţa unei persoane); — anuităţi (plăţi anuale), semestrialităţi, trimestrialităţi, mensualităţi (plăţi

lunare) etc.; — imediate sau amânate (după momentul în care începe eşalonarea); — cu procent constant sau variabil; — de fructificare, de amortizare (sau de rambursare) etc. (după scopul lor).

Eşalonarea poate fi la intervale de timp egale, deci periodică, sau nu.Pentru majoritatea tipurilor de plăţi eşalonate (în cele ce urmează ne vomrezuma doar la cele periodice) prezintă interes valoarea finală şi valoareaactuală a tuturor plăţilor.

2.2. Anuităţi

Plăţile eşalonate anual sunt numite anuităţi. Vom folosi următoarelenotaţii: S k pentru suma (rata) plătită în anul k , ik pentru dobânda anuală unitar ă din anul k , n pentru numărul plăţilor, ( ) ( ) A

n

P

nS S , pentru valoarea finală a tuturor

plăţilor posticipate, respectiv anticipate, ( )P

n A şi ( ) A

n A pentru valoarea actuală

(actualizată la momentul t = 0) a tuturor plăţilor posticipate şi respectiv a celoranticipate.

54



2.2.1. Anuităţi posticipate temporare imediate

Avem următoarea schemă de plăţi:

n

n

nn

n S i

S S i

S i

S i ↓

−↓

−↓↓↓

1

1

3

3

32

2

21

1

10

( ) ( )↑↑

P

n

P

nS A

Considerând că operaţiunea este în regim de dobândă compusă, sumafinală a tuturor plăţilor (adică suma sumelor finale pentru fiecare plată)conform relaţiilor (1.14) şi (1.16) va fi:

( ) ( ) ( ) ( ) +++⋅+⋅= n

P

niiiS S 111 321

( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 11 1 1 1n n nS i i i S i−+ ⋅ + ⋅ + + + + ⋅ + + nS , deci

( ) ( )1

1 1

1nn

P

j k n j k j

S S i−

= = +

⎛ ⎞== ⋅ + +⎜

⎝ ⎠∑ ∏ nS ⎟ . (2.1)

Dacă procentele anuale sunt constante, adică iiii n ==== 21 , avem:

( ) ( )1

1

1n

n jP

jn j

S S i−

−

=

= ⋅ + +∑ nS . (2.2)

Dacă atât anuităţile, cât şi procentele sunt constante, adică

S 1 = S 2 =…

= S n = S şiiiii

n ====

21 , atunci avem:( ) ( ) ( )

( )1

1 1

11 1

nn n

n j n jP

n j j

iS S i S S i S

i

−− −

= =

1+ −= ⋅ + + = ⋅ + = ⋅∑ ∑ . (2.3)

Valoarea actuală a tuturor anuităţilor se obţine asemănător. Avem:( ) =

++⋅

+⋅++

+⋅

+⋅+

+⋅=

n

n

P

n iiiS

iiS

iS A

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

21212

11

1 11 1

1

1

j jn n

j j

j jr r r

S S

i= == =

⎛ ⎞ ⎛ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜

+ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ r v

⎞⎟∏ ∏ , (2.4)

under

r i

v+

=1

1 este factorul de actualizare corespunzător anului r .

Dacă iiii n ==== 21 , atunci:

( )

( ) ∑∑

==

⋅=+

⋅=n

j

j

j

n

j j j

P

nvS

iS A

11 1

1, (2.5)

unde iv += 1

1

este factorul de actualizare anual.

55



Dacă S 1 = S 2 =…= S n = S şi iiii n ==== 21 , rezultă:

( )

i

vS

v

vvS vS A

nnn

j

jP

n

−⋅=

−

−⋅⋅=⋅= ∑

=

1

1

1

1

(2.6)

Notând cu sn suma finală şi cu an valoarea actuală a unui şir de anuităţi

posticipate de câte o unitate monetar ă (S = 1 u.m.), din (2.3) şi (2.6) avem:

s( )

i

u

i

i nn

n

111 −=

−+= ,

i

va

n

n

−=

1 (2.7)

( ) ⋅= S S P

n sn ,

( )n

P

naS A ⋅= (2.8)

Aşadar, sn şi an acţionează ca un factor de fructificare şi respectiv de actua-lizare (pentru procedurile manuale de calcul există tabele cu acestea).

2.2. Anuităţi posticipate temporare amânate

Consider ăm următoarea schemă de plăţi:

n

n

nn

n

r

r

r r

r

r r

S i

S S i

S iii ↓

−↓

−

+↓

+

++

↓+

+ 1

1

2

2

21

1

12

21

10

…

…

( ) ( )

↑↑

Pnr

Pnr S A

Aici r reprezintă numărul de ani după care încep plăţile şi n reprezintă nu-mărul de ani care limitează plăţile, deci efectiv sunt n − r plăţi (evident r < n).În acest caz, suma finală a tuturor plăţilor este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++⋅+++⋅+⋅= +++++ nr r nr r r

P

nr iiS iiiS S 11111 32321

( ) ( )1

1

1 1

1 1nn

n n n j k

j r k j

S i S S i−

−

= + = +

⎛ ⎞+ ⋅ + + = ⋅ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∏ nS . (2.9)

Dacă anuităţile şi procentele sunt constante, adică S S S S nr r

==== ++ 21 şi iiii nr r ==== ++ 32 , rezultă:

( ) ( ) =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⋅= ∑

−

+=

−1

1

11n

r j

jnP

nr iS S

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 1 11 1 1 1 1

n r

n r n r iS i i i i S

i

−− − − − + −

= ⋅ + + + + + + + + + = ⋅ ,

56



deci ( )P

n r r nS S −= ⋅ s (2.10)

Notând cum

mi

v+

=1

1 factorul de actualizare pentru anul m, valoarea

actuală (la momentul 0) a tuturor anuităţilor este:( )

+⋅⋅⋅+⋅⋅= +++++ 212121211 r r r r r P

nr vvvvS vvvS A

∑ ∏+= =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=⋅⋅+

n

r j

j

m

m jnn vS vvvS 1 1

21 (2.11)

În cazul anuităţilor şi procentelor constante ( S S S S nr r ==== ++ 21 şi

iiii nr r ==== ++ 32 ), rezultă:

( ) 1

1

1 1

1

n r n r nP j r r r

n r r n j r

v v

A S v S v S v S v av i

− −+

−= +

− −= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

−∑ (2.12)Să observăm că, în cazul anuităţilor şi procentelor constante, avem:

( ) ( )P

r n

P

nr S S

−= şi ( ) ( )P

r n

r P

nr Av A

−⋅= . (2.13)

2.2.3. Anuităţi posticipate perpetue imediate

Suntem în cazul anuităţilor posticipate imediate şi nelimitate, deci pot fi

tratate ca fiind temporare dar cu ∞→n . În acest context, valoarea finală aacestor plăţi este infinită, astfel că prezintă interes doar valoarea actuală a lor

(notată ). Avem:( )P A ∞ ( ) ( ) ∑ ∏

= =∞→∞→ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅==∞

n

j

j

m

m jn

P

nn

PvS A A

1 1

limlim

Pentru anuităţi şi procente constante, rezultă:

( )

i

S

i

vS A

n

n

P =−

⋅=∞∞→

1lim (2.14)

2.2.4. Anuităţi posticipate perpetue amânate r ani

În cazul general (cazul cu anuităţi variabile), valoarea actuală a lor este:

. În particular, când anuităţile şi procentele sunt

constante, avem:

( ) ∑ ∏∞

+= =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=∞

1 1r j

j

m

m j

PvS A

( ) ( ) 1lim lim

n r P P r r

r n

n n

v S A A S v

i i

−

∞→∞ →∞

−v= = ⋅ ⋅ = ⋅ . (2.15)

57



2.2.5. Anuităţi anticipate temporare amânate

Schema acestor plăţi amânate r ani şi limitate la n ani este:

nnn

n

r r

r

r

r r

r

iS

iS

iS

ii12

21

2

1

1

22

11

0 −↓

++

+↓

+

+↓

+ …

…

( ) ( )↑↑

A

nr

A

nr S A

Suma finală a acestor plăţi este:( ) ( ) ( ) ( ) +++⋅+⋅= +++ nr r r

A

nr iiiS S 111 211

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 11 1 1 1 1r r n n n n n nS i i S i i S i+ + − −+ ⋅ + + + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =

m ⎟

( )1

1nn

j

j r m j

S i= + =

⎛ ⎞= ⋅ +⎜

⎝ ⎠∑

∏ (2.16)

Valoarea actuală este:( )

+⋅⋅+⋅⋅= +++ 1212211 r r r r

A

nr vvvS vvvS A

∑ ∏+=

−

=− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=⋅⋅

n

r j

j

m

m jnn vS vvvS 1

1

1121 (2.17)

În particular, pentru anuităţi şi procente constante (S 1 = S 2 = şi

) avem:

S S n ==

iiii n ====

21

( ) ( ) ( ) ( )

i

iiS iS S

r nn

r j

jn A

nr

1111

1

1 −+⋅+⋅=+⋅=

−

+=

+−∑ (2.18)

( ) ( )i

vviS

v

vvS vS A

r nr

r nr

n

r j

j A

nr

−−

+=

− −⋅⋅+⋅=

−

−⋅⋅=⋅= ∑

11

1

1

1

1 (2.19)

Pentru , avem cazul anuit ăţ ilor anticipate temporare imediate,situaţie în care formulele de calcul pentru suma finală şi valoarea actuală sunt:

0=r

( ) (∑ ∏= =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅=n

j

n

jm

m j

A

niS S

1

1 ) (2.20)

( ) ∑ ∏=

−

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+=

n

j

j

m

m j

A

nvS S A

2

1

11 (2.21)

În cazul anuităţilor şi procentelor constante, avem:

( ) ( ) ( ) ( )

i

iiS iS S

nn

j

jn A

n

1111

1

1 −+⋅+⋅=+⋅= ∑

=

+− (2.22)

58



( ) ( )i

viS

v

vS vS A

nnn

j

j A

n

−⋅+⋅=

−

−⋅=⋅= ∑

=

− 11

1

1

1

1 (2.23)

Facem notaţiile: ( ) ( )

i

iis

n

n

111

−+⋅+= (2.24) şi ( )

1a 1

−= + ⋅

n

n

vi

i (2.25);

obţinem: ( )n

A

nsS S ⋅= şi ( ) a= ⋅

Ann

A S .

Cum sn ( ) ( )

( ) ( )

111

11111 1

+−+

⋅+=+−−+

=−+

=−

i

ii

i

iii

i

i nnn

rezultă că

sn . De asemenea,11 += −ns ( )

1 1

1

11

1 1a 1

nn

n n

ii v

ai i

− −

−

+ −+ −

= = + = 1+ .

În cazul că anuităţile şi procentele sunt constante, pentru anuităţileanticipate perpetue, din relaţiile (2.19) şi (2.23) obţinem:

( ) ( )

i

vS

v

vS A A

r r A

nr n

A

r

1

1lim

−

∞→∞ ⋅=

−⋅== (2.26)

( ) ( )

i

iS A A A

nn

A +⋅==

∞→∞

1lim (2.27)

2.3. Plăţi eşalonate fracţionate sau fracţionalităţi

Vom considera că anul este împăr ţit în m păr ţi egale şi că operaţiuneadurează n ani. Vom nota cu suma plătită în fracţiunea p din anul k , cu

dobânda unitar ă anuală corespunzătoare fracţiunii p din anul k şi cu

dobânda unitar ă anuală nominală corespunzătoare dobânzii reale . Şi aici se

pune problema determinării valorii finale a tuturor plăţilor la sfâr şitul ultimului

an de plată şi a valorii actuale a lor la începutul primului an.

pk S pk i

pk j

pk i

Mai întâi, vom considera că este vorba de fracţionalităţi posticipateconstante temporare (limitate la n ani) amânate r ani şi cu procente constante,adică avem următoarea schemă a plăţilor:

59



nnr r r

S S S S S S S S S S S S S

mmmm 12112112121121

12110−↑↑−↑−↑↑−↑

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

−++

( ) ( )↑↑

mP

nr

mP

nr S A

,,

Suma finală este:

( ) ( ) =+⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅= −

+=

−−

∑ k nn

r k

mm

mP

nr i

m

j

m

j

m

jS S 11111

1

21,

( )1 1

1 1 1 11

m m

n nn k n k

k r k r

j j

m mS i m S

j j

m

− −

= + = +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ =∑ ∑ u

( )1 1 1 1

1

n r n r i u um S m S

j u j

− −+ − − −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

− (2.28)

unde şiiu += 1 ( )1−⋅= m

um j .Valoarea actuală este:

( ) =⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +++⋅= ∑

+=

−n

r k

k m

m

mmmP

nr vvvvS A

1

121

,

11

11

1 1 1

1 11 11

1

n r nk r m

mk r mm

v vS v v S v

viv

i

−−

= +

− −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

−⎛ ⎞+ ⋅ −− ⎜ ⎟

+⎝ ⎠

∑ v−

1 1

r n r n

m

v v v vS m S

ji

− −= ⋅ = ⋅ ⋅

+ − (2.29)

undei

v

+

=

1

1. Pentru fracţionalităţile posticipate constante temporare (limitate

la n ani) imediate (deci r = 0) şi cu procente constante avem:

( )

j

uS mS

nmP

n

1, −⋅⋅= şi ( )

j

vS m A

nmP

n

−⋅⋅=1, . (2.30)

Frac ţ ionalit ăţ i anticipate constante temporare. În cazul fracţionalităţiloranticipate constante temporare (limitate la n ani) amânate r ani şi cu procentconstant avem: - suma finală (notată ( )m A

nr S

, ):

60



( )1 2 1

,

1

m m mn A m n k m m m m

r n

k r

S S u u u u u

− −−

= +

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ =

( )1

1 21

1 11 1

11

n r mn r n r m

m

m

u iS u u u u S i

iiu

−− − − −− −

= ⋅ ⋅ ⋅ + + + + = ⋅ + ⋅ ⋅ =+

−

u

( ) (1

1 1n r n r

j

mmS u S u j j

m

− −+ ⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ − = ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

)1 . (2.31)

Valoarea actuală la momentul zero, notată ( )m A

nr A

, , este:

( ) =

−

+⋅⋅

−

−⋅=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ++++⋅⋅=

−−

=

−

∑v

vv

v

vS vvvvS A

r nr

m

n

r k

m

m

mmk m A

nr

1

1

1

11

1

1 121,

( ) (11

1

r nr n r n

m

v v m j mS S v v S v

j jv

⎛ ⎞− += ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠−

)v (2.32)

În cazul fracţionalităţilor imediate (r = 0), avem:

— suma finală: ( ) ( 11, −⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅= nm A

nu

j

mS S ); (2.33)

— valoarea actuală: ( ) ( nm A

nv

jmS A −⋅⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +⋅= 11, ) . (2.34)

Menţionăm şi relaţiile de legătur ă între fracţionalităţile anticipate şi cele posticipate:

( ) ( ) ( )mP

nr

r nm A

nr S uS S

,, 1 +−⋅= − ; (2.35)

( ) ( ) ( )mP

nr

nr m A

nr AvvS A

,, +−⋅= . (2.36)

În mod asemănător putem deduce relaţiile de calcul şi în celelalte cazuri.

2.4. Exemple de calcul

1. O persoană depune timp de 5 ani, la începutul fiecărui an, câte 30 000 u.m. pentru fructificare. Se consider ă că procentul anual de dobândă este de 6%.

a) Să se determine suma revenită deponentului la finele acestei perioade.

61



b) Să se determine valoarea actuală la momentul iniţial a depunerilorefectuate.

c) Dacă se vrea obţinerea aceleiaşi sume finale ca la punctul a), dar prindepunerea unei sume constante la începutul fiecărei luni, cu capitalizarea luna-r ă a dobânzii calculată cu procentul lunar echivalent cu cel anual menţionat, să

se determine suma lunar ă depusă. Valoarea actuală a sumelor lunare depusecoincide cu aceea de la punctul b)?

Solu ţ ie: Avem S = 30 000 u.m.,06,1

1,06,11 ==+= viu , n = 5 ani.

a) ( )5

5 4

5

1179 260

1 A u

S S u S u S u S uu

−= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ ≈

− u.m.

b) ( ) 133953

1

1 5432

5

≈

−

−⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+=

v

vS vS vS vS vS S A

A u.m.

c) Avem 0584106,0106,11211,12 12 =−=−+⋅== m

im jm şi fie S l

suma lunar ă. Trebuie să avem: ( ) ( ) A AS S

5

12,

5 = , şi cum

( ) ( ) l

n

l

AS u

j

mS S ⋅=−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⋅= 82402,691112,

5, rezultă

179 2602 567,31136

69,82402

lS = = u.m. şi ( ) ( )≈−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +⋅= 512,

51

121 v

j

S A l

A 133953 u.m.,

deci coincide cu valoarea de la punctul b).

2. Un împrumut de trei milioane u.m. este achitat în 3 ani prin rate egale:a) trimestriale, b) semestriale.Considerând că procentele anuale utilizate sunt: în primul an , în

al doilea şi în al treilea an

%401 = p

%502 = p %603 = p , să se determine mărimea ratei.

Solu ţ ie: Fie u.m.,6

0 103 ⋅=V 6,1

1

,5,1

1

,4,1

1321 === vvv şi R mărimea

ratei.

a) Din ⎜⎝ ⎛ +⋅++++⋅= 4

1

2114

3

14

2

14

1

10 vvvvvv RV

)3 32 1 2

4 4 4 4 41 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3v v v v v v v v v v v v v v v v v v+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + , rezultă

R = 215 113 u.m.

62



b) Din ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅++⋅= 321

21

321212

1

2112

1

10 vvvvvvvvvvvv RV , rezultă

R = 911 045 u.m.

3. Achitarea unei datorii presupune plata anuală posticipată timp de cinci

ani consecutivi a unei rate de 18 milioane u.m. calculată pentru un procentanual de 30%, în primii trei ani, şi de 40% în următorii doi. Dacă se vreaachitarea lunar ă posticipată a datoriei, în aceleaşi condiţii procentuale, prin rateconstante (egale), să se determine valoarea acestora.

Solu ţ ie: Vom utiliza soluţia comercială pentru calculul valorilor finale sauvalorilor actuale şi vom nota cu: V 0 valoarea iniţială a datoriei, T rata lunar ă,

R = 18·106 u.m. rata anuală şi3,1

11 =v , respectiv

4,1

12 =v factorii de actualiza-

re. Avem: ( )2 3 3 2 30 1 1 1 2 1 2 1 42 722 265V R v v v v v v v= ⋅ + + + ⋅ + ⋅ = Cum V 0 este şivaloarea actuală a ratelor lunare, avem:

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++⋅⋅+⋅++⋅+⋅= 12

24

212

2

212

1

231

12

36

112

2

112

1

10 vvvvT vT vT vT V

1 13 231 212 12

1 1 21 1

12 12

1 2

1 11315 012

1 1

v vT v v v T

v v

⎛ ⎞− −⎜ ⎟= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ =

⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

u.m.

4. O bancă acordă un împrumut de 40 de milioane u.m. rambursabil în 3 ani,cu procentul anual de 35%, prin rate semestriale. În contract se prevedecompensarea devalorizării, ratele calculându-se iniţial conform unei previziunia acesteia, urmând ca ultima rată să lichideze obligaţia debitorului conformdevalorizării reale înregistrate. Determinaţi ratele dacă s-a prevăzut odevalorizare de 15%, iar cea înregistrată a fost în primul an de 20%, în aldoilea 25% şi în al treilea de 20%.

Solu ţ ie: Notăm cu R rata calculată iniţial, cu T ultima rată (aceea efectivă),

1321 ,25,135,1

1,

2,135,1

1,

15,135,1

1vvvvv =

⋅=

⋅=

⋅= factorii aparenţi de

actualizare şi cu S valoarea împrumutului (deci u.m.). Avem:61040 ⋅=S

32

522

3

2

1

v Rv Rv Rv Rv Rv RS ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= , S

v

vv R =

−

−⋅⋅

2

1

32

1

1

1,

şi rezultă R = 13 428 389 u.m. Pentru a stabili ultima rată (rata efectivă), avem:

63



123122

1

31212

1

212

1

1 vvvT vvv Rvv Rvv Rv Rv RS ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅= ,1 1 1

2 2 21 1 1 2 1 2 1 2 3

1 2 3

126 608 665T S R v v v v v v v v v

v v v

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ + + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ u.m.

5. Care sunt plasamentele constante efectuate la începutul fiecărui an, timpde 6 ani consecutivi, pentru a avea în final un capital de 60 milioane u.m. dacă:

a) procentul anual este de 70%; b) în primii 3 ani procentul anual este de 70%, în al patrulea de 80% şi în

ultimii doi ani este de 90%;c) în primii doi ani şi jumătate procentul anual este de 70%, apoi în a doua

jumătate a anului trei, în al patrulea şi în primele trei trimestre din al cincilea an procentul anual este de 80%, după care este de 90%.

Solu ţ ie: Notăm cu R mărimea fiecărui plasament (rata).a) Avem ( ) 106778210607,17,17,17,1 6256 =⇒⋅=++++⋅ R R u.m.

b) Cum 8,1,7,1 21 == uu şi 9,13 =u avem: ( +⋅⋅⋅=⋅ 236 9,18,17,11060 R

)2 2 2 2 21,7 1,8 1,9 1,7 1,8 1,9 1,8 1,9 1,9 1,9+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + , deci R = 813 466 u.m.

c) Folosind soluţia comercială, avem: ⎜⎜⎝

⎛ +⋅⋅⋅

++++ 14

1

34

31

2

1

22

12

1 uuu R

1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 3 11 1 1 1 1 1 1 1 62 2 4 4 2 2 4 4 4 4 4 41 2 3 1 2 3 2 3 2 3 3 60 10u u u u u u u u u u u

+ + + + + + + + + + ⎞+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅⎟ ⎠

,

rezultă R = 826 196 u.m.Folosind soluţia raţională, avem:

⎢⎣

⎡⎜⎜⎝

⎛ ⎜⎝

⎛ +⋅+⋅+⋅⎟

⎠

⎞⋅+⋅+⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅+⋅⋅

2

17,01

4

19,0

4

38,01

2

18,0

2

17,01 132

21 uuuu R

2 3 2

1 3 1 1 1 3

0,8 1 0,8 0,9 1 0,7 0,8 1 0,82 4 4 2 2 4u u u

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

3 2 3 3 3

1 3 1 3 10,9 1 0,8 0,9 1 0,8 0,9

4 4 4 4 4u u u u u

⎤ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥

⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

61060 ⋅= .Rezultă R = 825 690 u.m.

64

matematici financiare partea a doua

Documents