matematici financiare
DESCRIPTION
Curs matematici financiareTRANSCRIPT
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 1/49
I . E L E M E N T E D E M A T E M A T I C I
F I N A N C I A R E
Introducere
Matematicile financiare studiazÄ proprietÄÅ£ile Åi relaÅ£iile matematice dintrediferitele concepte Åi elemente Ć®ntĆ¢lnite Ć®n studierea structurii Åi funcÅ£ionÄrii pieÅ£e-lor monetar-financiare Åi valutare, Ć®n analiza proceselor inflaÅ£ioniste, a investiÅ£iilorÅi a altor fenomene Åi activitÄÅ£i economice.
ActivitÄÅ£ile economice necesitÄ utilizarea unui activ special āÆ banul
(moneda) āÆ care Ć®n baza unei convenÅ£ii general acceptate este folosit ca mijloc demÄsurare a activitÄÅ£ii economice, ca etalon al valorii Åi ca mijloc de intermediere aschimbului. Banii reprezintÄ denumirea genericÄ pentru toate felurile de monedÄ Åisemne ale valorii (semne bÄneÅti).
DeÅi Ć®n limbajul comun curent prin monedÄ se Ć®nÅ£elege banul de metal,moneda reprezintÄ ansamblul mijloacelor de platÄ utilizabile Ć®n mod direct pentruefectuarea tranzacÅ£iilor pe piaÅ£a bunurilor Åi serviciilor, deci este denumirea datÄ pentru toate semnele bÄneÅti, indiferent de forma lor de existenÅ£Ä, de exemplu:
moneda de hĆ¢rtie (bancnotele emise de Banca CentralÄ), moneda divizionar Ä (moneda confecÅ£ionatÄ din aliaj de metale comune, care are o valoare nominalÄ cereprezintÄ o subdiviziune sau un multiplu al unitÄÅ£ii monetare legale) Åi monedascripturalÄ sau moneda de cont (disponibilitÄÅ£ile din conturile bancare).
AÅadar, masa monetar Ä (totalitatea monedelor existente Ć®ntr-o economie Ć®ntr-o perioadÄ datÄ) este eterogenÄ. Aceasta poate fi structuratÄ Ć®n urmÄtoarele active:
a) moneda efectivÄ (numerarul sau banii cash); b) moneda de cont (se refer Ä la disponibilitÄÅ£ile din conturile bancare curente
sau la vedere);c) depozitele la termen (se refer Ä la plasamentele f Äcute la bÄnci, case de eco-
nomii Åi alte instituÅ£ii financiare, Ć®n vederea economisirii Åi fructificÄrii sumelor de bani depuse; au un grad de lichiditate mai scÄzut decĆ¢t primele douÄ componente);
d) alte active (diferite titluri aflate Ć®n circulaÅ£ie pe piaÅ£a financiar āÆ monetar Ä,de exemplu: active pe termen scurt āÆ cambiile, biletele de trezorerie, biletele laordin; active pe termen lung āÆ acÅ£iuni, obligaÅ£iuni, titluri de ipotecÄ; opÅ£iuni Åi alteactive derivate.
5
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 2/49
MenÅ£ionÄm cÄ Ć®n cele ce urmeazÄ vom utiliza termenii de capital sau decapital bÄnesc Ć®n accepÅ£iunea restrĆ¢nsÄ de sumÄ de bani (o valoare Ć®n expresie mo-netar Ä). Vom trata dobĆ¢nda Åi regimurile de plasament financiar atĆ¢t Ć®n cazul dis-cret cĆ¢t Åi Ć®n cazul continuu. Vom analiza operaÅ£iunea de scontare Åi vom deduceformulele de calcul utilizate pentru plÄÅ£ile eÅalonate. Sunt prezentate diferitemetode de rambursare a Ć®mprumuturilor, de evaluare a investiÅ£iilor de capital Åi demÄsurare a riscului aferent unei investiÅ£ii financiare Ć®n condiÅ£ii probabilistice.Expunerea teoreticÄ este Ć®nsoÅ£itÄ de numeroase exemple Åi aplicaÅ£ii.
6
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 3/49
1. DobĆ¢nda
1.1. GeneralitÄÅ£i
Termenul de dobĆ¢ndÄ apare spre sfĆ¢r Åitul Evului Mediu ca alternativÄ lacel de camÄtÄ, care r ÄmĆ¢ne cu sensul de dobĆ¢ndÄ exorbitantÄ, exageratÄ,excesivÄ, ruinÄtoare. DobĆ¢nda este suma de bani plÄtitÄ de cÄtre debitor (celcare se Ć®mprumutÄ) creditorului (cel care Ć®mprumutÄ) pentru suma de baniĆ®mprumutatÄ. O cerere mare pentru credit Ć®n condiÅ£iile unor resurse bÄneÅtilimitate constituie cauza unor dobĆ¢nzi ridicate. Ćmprumutul (creditul) bÄnesc
poate fi considerat ca fiind un serviciu f Äcut celui Ć®mprumutat, astfel cÄ dobĆ¢nda poate fi privitÄ ca fiind o remuneraÅ£ie (sau remunerare) a acestuiserviciu. Deci, cea mai simplÄ tranzacÅ£ie sau operaÅ£ie financiar Ä este investirea(plasarea pentru fructificare) unei sume de bani pentru o perioadÄ de timp.Suma investitÄ iniÅ£ial o numim sumÄ iniÅ£ialÄ (valoare iniÅ£ialÄ sau capital
principal) iar suma obÅ£inutÄ (desigur mai mare) dupÄ perioada de investire onumim sumÄ finalÄ (sumÄ revenitÄ, valoare finalÄ sau valoare revenitÄ,valoare acumulatÄ la scadenÅ£Ä āÆ adicÄ la momentul respectiv). Putemdescrie aceasta folosind notaÅ£ia matematicÄ Åi noÅ£iunea de funcÅ£ie. Astfel, dacÄ t este lungimea perioadei de timp pentru care suma iniÅ£ialÄ āÆ notatÄ cusau cu S
( )0S
0 āÆ a fost investitÄ, vom nota valoarea finalÄ cu ( )t S sau cu S f .
DeocamdatÄ consider Äm cÄ . FuncÅ£ia0ā„t ( )t S se numeÅte funcÅ£ie sumÄ, iar
raportul ( ) ( )
( )0S
t S t a = se numeÅte factor (sau funcÅ£ie) de acumulare. Avem
Åi( ) 10 =a ( ) ( ) ( )t aS t S ā = 0 .Se pune Ć®ntrebarea: Care funcÅ£ii pot fi funcÅ£ii de acumulare? R Äspunsul
teoretic este cÄ orice funcÅ£ie ( )t a cu ( ) 10 =a poate fi o funcÅ£ie de acumulare.Evident cÄ apare Åi cerinÅ£a practicÄ de a avea o funcÅ£ie crescÄtoare. Dar este eacontinuÄ? Aici r Äspunsul depinde de situaÅ£ia consideratÄ. Astfel, dacÄ
reprezintÄ suma datoratÄ la un Ć®mprumut dupÄ t ani de la luarea lui, atunci poate fi privitÄ ca fiind continuÄ considerĆ¢nd cÄ dobĆ¢nda continuÄ sÄ seacumuleze pentru valori neĆ®ntregi ale lui t . DacÄ
( )t a
( )t a
( )t a reprezintÄ suma de banidin contul tÄu bancar la t ani de la depunerea iniÅ£ialÄ (presupunĆ¢nd cÄ nu ai
f Äcut Ć®ntre timp alte depuneri sau retrageri), atunci ( )t a este o funcÅ£ie Ć®n scar Ä,adicÄ se menÅ£ine constantÄ pentru o perioadÄ de timp Åi face un salt ori de cĆ¢teori dobĆ¢nda este plÄtitÄ (introdusÄ) Ć®n cont.
7
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 4/49
Ćn practicÄ, Ć®n general, se utilizeazÄ trei tipuri de funcÅ£ii de acumulare: ā primul reprezintÄ cazul cĆ¢nd suma cĆ¢ÅtigatÄ prin dobĆ¢ndÄ este aceeaÅi Ć®n
fiecare an, deci ( )t a este o funcÅ£ie liniar Ä; ā al doilea reprezintÄ cazul cĆ¢nd suma cĆ¢ÅtigatÄ prin dobĆ¢ndÄ creÅte de la
an la an (cu alte cuvinte dobĆ¢nda cĆ¢ÅtigÄ dobĆ¢ndÄ sau āaltfel zis ā dobĆ¢nda secapitalizeazÄ), cea mai des utilizatÄ este curba exponenÅ£ialÄ;
ā al treilea corespunde cazului menÅ£ionat anterior cĆ¢nd dobĆ¢nda este plÄtitÄ dupÄ perioade de timp fixate (lunÄ, an etc.); sÄ observÄm cÄ dacÄ sumacĆ¢ÅtigatÄ prin dobĆ¢ndÄ este constantÄ pe perioada de timp, atunci salturilefuncÅ£ie au aceeaÅi Ć®nÄlÅ£ime.( )t a
AÅadar, putem defini dobĆ¢nda ca fiind diferenÅ£a dintre valoarea finalÄ Åivaloarea iniÅ£ialÄ. Pentru a putea face o analizÄ mai amÄnunÅ£itÄ a diferitelorsituaÅ£ii financiare, este necesar Ä utilizarea unor instrumente matematice mai
bune (Ć®n speÅ£Ä funcÅ£ii cu proprietÄÅ£i adecvate: monotonie, derivabilitate etc.).
Defini Å£ ia 1.1: Numim dobĆ¢ndÄ corespunzÄtoare plasÄrii sumei S pe
durata de timp t valoarea D(S , t ) a funcÅ£iei D : [0, +ā) Ć [0, +ā) ā [0, +ā)care Ć®ndeplineÅte condiÅ£iile
0
0
:a) este strict crescÄtoare Ć®n raport cu fiecare argument; b) D(S , t ) = D(0, t ) = 00 .
AÅadar, dobĆ¢nda este funcÅ£ie (depinde) de suma plasatÄ Åi de durata plasa-
mentului, ceea ce justificÄ exprimarea cÄ dobĆ¢nda este funcÅ£ia D(S , t )0 . DacÄ aceastÄ funcÅ£ie este derivabilÄ Ć®n raport cu fiecare argument, atunci condiÅ£ia a)din definiÅ£ia 1.1 poate fi Ć®nlocuitÄ cu:
aā²)( )0
0
,0
D S t
S
ā>
ā Åi
( )0 ,0
D S t
t
ā>
ā.
Defini Å£ ia 1.2: Numim valoare finalÄ (sumÄ sau valoare revenitÄ, valoare
acumulatÄ etc.) pentru suma iniÅ£ialÄ S plasatÄ pe durata de timp t , valoarea
S (S , t ) a funcÅ£iei S : [0, +ā) Ć [0, +ā) ā [0, +ā) care Ć®ndeplineÅte condiÅ£iile:
0
0
a) este strict crescÄtoare Ć®n raport cu fiecare argument Åi S (S , t )0 este maimare decĆ¢t S 0; dacÄ S este derivabilÄ Ć®n raport cu fiecare argument, aceasta
Ć®nseamnÄ cÄ:( )0 ,
0S S t
t
ā>
ā Åi
( )0
0
,1
S S t
S
ā>
ā;
b) S (S , t )0 = S 0, S (0, t ) = 0.
Propozi Å£ ia 1.1: DacÄ funcÅ£ia S (S , t )0 Ć®ndeplineÅte condiÅ£iile din definiÅ£ia 1.2
Åi este aditivÄ Åi omogenÄ Ć®n primul argument, atunci D(S , t ) = S (S , t ) ā S 0 0 0 este o dobĆ¢ndÄ corespunzÄtoare plasÄrii sumei S 0 pe durata de timp t .
8
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 5/49
Demonstra Å£ ie: Vom ar Äta cÄ D(S , t )0 Ć®ndeplineÅte condiÅ£iile din definiÅ£ia1.1, adicÄ: D(S , 0) = S (S , 0) ā S 0 0 0 = S 0 ā S 0 = 0, D(0, t ) = S (0, t ) ā 0 = 0.
Fie . RezultÄ 't t < ( )t S S ,0 < ( )',0 t S S , deci ( ) ( ) 0000 ',, S t S S S t S S ā<ā Åi
, adicÄ ( ) ( ',, 00 t S Dt S D < ) ( )t S D ,0 este strict crescÄtoare Ć®n t .
DacÄ ' atunci00 S S <( ) 0000 ',' S S t S S S ā>ā ā ( ) ( ) '
0 0 0', ,S S t S S t S S 0ā > ā ā
ā ( ) ( )' '0 0 0, ,S S t S S S t S ā > ā 0 ā ( ) ( )'
0 0, , D S t D S t > ,
deci este strict crescÄtoare Ć®n S ( t S D ,0 ) 0. ā
Defini Å£ ia 1.3: DacÄ t = 1 an Åi S 0 = 100 unitÄÅ£i monetare, atunci dobĆ¢ndacorespunzÄtoare se numeÅte procent, notat cu p, iar pentru t = 1 an Åi S 0 = 1 uni-
tate monetar Ä dobĆ¢nda corespunzÄtoare se numeÅte dobĆ¢ndÄ unitarÄ anualÄ sau ratÄ anualÄ efectivÄ a dobĆ¢nzii, notatÄ cu i.
Are loc relaÅ£ia: i p ā = 100 .Ćn practica operaÅ£iunilor bancare pentru procedurile de calcul se folosesc
frecvent trei convenÅ£ii privind aÅa numitul an bancar:ā¢ Ć®n procedura germanÄ, anul bancar are 360 de zile, iar luna bancar Ä are
30 de zile;ā¢ Ć®n procedura francezÄ, anul bancar are 360 de zile, iar luna bancar Ä
coincide cu luna calendaristicÄ;ā¢ Ć®n procedura englezÄ, anul bancar are 365 de zile, iar luna bancar Ä
coincide cu luna calendaristicÄ.SÄ menÅ£ionÄm Åi legÄtura dintre dobĆ¢nda unitar Ä anualÄ Åi funcÅ£ia de acu-
mulare: ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 11,1 1 1 1
0 0
S S S i D a
S S
ā= = ā = ā =
0.
Deci i apare ca fiind suma cĆ¢ÅtigatÄ prin dobĆ¢ndÄ Ć®ntr-un an Ć®mpÄr Å£itÄ la su-ma investitÄ iniÅ£ial, ceea ce justificÄ folosirea pentru i a sintagmelor: āratÄ
anualÄ efectivÄā Åi āratÄ anualÄā a dobĆ¢nzii. Putem sÄ generalizÄm puÅ£in Åi sÄ definim rata efectivÄ a dobĆ¢nzii Ć®n al n-lea an:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )1
1
0
10
1
0
1
1
āāā
=ā
āā
=ā
āā=
na
nana
S
nS
S
nS
S
nS
nS
nS nS in .
Evident, avem ii =1 . DupÄ modelul ratei anuale putem calcula Åi rate core-
spunzÄtoare altor perioade de timp. De asemenea, sÄ remarcÄm cÄ, dacÄ perioa-dele avute Ć®n vedere sunt plasate undeva Ć®n timp, atunci se impune considerarea
9
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 6/49
dependenÅ£ei de timp (mai precis de momentul respectiv) a ratei dobĆ¢nzii,vorbim deci de ( ) ( )t it i n, etc. Dar despre acestea vom discuta mai tĆ¢rziu.
SÄ presupunem acum cÄ suma S 0 plasatÄ pe duratele de timp t Åi dÄ valorile finale Åi
dt t +( )t S S ,0 ( )dt t S S +,0 a cÄror variaÅ£ie este propor Å£ionalÄ cu va-
riaÅ£ia timpului, iar factorul de propor Å£ionalitate este funcÅ£ie de S 0 Åi t Åi Ć®l notÄmcu ( )0 ,S t Ļ . Deci ( ) ( ) ( )0 0 0, ,S S t dt S S t S t dt ,+ ā = Ļ ā , unde ( )0 , 0S t Ļ ā„ .
RezultÄ:( ) ( )
( )0 00
0
, ,lim ,dt
S S t dt S S t S t
dt ā
+ ā= Ļ
AÅadar, valoarea finalÄ ( )t S S ,0 este soluÅ£ia ecuaÅ£iei diferenÅ£iale de ordinul
Ć®ntĆ¢i:( )
( ) (00
,, 1.1
S S t S t
t
ā= Ļ
ā )
dt )
cu condiÅ£iile: i) S (S , 0) = S 0 0 Åi S (0, t ) = 0;ii) S (1, 1) = 1 + i.IntegrĆ¢nd ecuaÅ£ia (1.1) Åi folosind condiÅ£iile i) Åi ii), obÅ£inem:
( ) ( ) ( )1
0
1, 1 1, 0 1,S S t ā = Ļā« , de unde rezultÄ ( ) (1
0
1, 1.2i t dt = Ļā«
Cum din propoziţia 1.1 avem( ) ( )0 , , D S t S S t
t t
ā ā=
ā ā0 , obÅ£inem relaÅ£ia:
( ) ( ) (00, , 1.3 D S t S t
t ā = Ļā )
cu condiÅ£iile: d1) D(S , 0) = 00 Åi D(0, t ) = 0;d2) D(1, 1) = 1.
Exemple de calcul:
1. Pentru funcÅ£ia de acumulare ( ) 15 2 +ā = t t a vrem sÄ calculÄm rateleefective ale dobĆ¢nzii: i Åi in, Ć®n particular, i5.
Solu ţ ie: Avem ( ) 5111511
2
=ā+ā =ā= ai ,( )
( ) 6105
510
115
11515
)1(
)1()(22
22
+ā āā +ā
=+āā
āāā ā+ā =
āāā
=nn
n
n
nn
na
nanain ,
679,081
55
651055
551025 ā=
+ā āā +ā
=i .
2. SÄ calculÄm dobĆ¢nda unitar Ä anualÄ Åi dobĆ¢nda ( )t S D ,0 pentru factorul
de propor ţionalitate:
a) ( )0 01,
1S t S
t Ļ = ā
+; b) ( ) ( )
3
0 0, 1S t S t Ļ = ā + .
10
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 7/49
Solu ţ ie: a) Avem ( ) ( ) 693,02ln1ln1
1,1
1
0
1
0
1
0
ā=+=ā +
== ā«ā« t dt t
dt t i Ļ
Din( )
t S
t
t S D
+ā =
ā
ā
1
1,0
0 , rezultÄ ( ) ( ) ( )t S S Dt S D +ā =ā 1ln0,, 000 , deci
( ) ( t S t S D )+ā = 1ln, 00 (aceasta nu este o formulÄ uzualÄ pentru calculul dobĆ¢n-zii, dar este o formulÄ posibilÄ Åi chiar vÄ propun sÄ o comparaÅ£i cu formuleleuzuale pentru procentul p = 69,3 %).
b) ( ) ( )
75,34
15
4
11
1
0
41
0
3 ==+
=+= ā« t dt t i . Din
( )( )3
00 1,
t S t
t S D+ā =
ā
ā,
obţinem ( ) ( ) ( )
44
10,, 0
40
00
S t S S Dt S D ā
+ā =ā , deci
( ) ( ) ( 2224
, 2200 +ā +ā ā +ā = t t t t
S t S D ) (credeÅ£i cÄ ar putea fi o camÄtÄ?).
1.2. DobĆ¢nda simplÄ
1.2.1. Definire
Defini Å£ ia 1.4: DacÄ pe Ć®ntreaga duratÄ de plasare t valoarea consideratÄ Ć®ncalcul a sumei S 0 nu se modificÄ, vom spune cÄ avem un proces de dobĆ¢ndÄ
simplÄ sau cÄ plasarea sumei S 0 s-a efectuat Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ simplÄ.
AÅadar, Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ simplÄ, avem:
( ) ( )0 0,S t S f t Ļ = ā ,
unde f (t ) ā„ 0, ā t ā„ 0.
Ćn condiÅ£iile regimului de dobĆ¢ndÄ simplÄ, integrĆ¢nd ecuaÅ£iile (1.1) Åi (1.3),
obÅ£inem: Åi .
Deci (1.4)
( ) ( ) ( )ā«ā =āt
dx x f S S S t S S 0
000 0,, ( ) ( ) ( )ā«ā =āt
dx x f S S Dt S D0
000 0,,
( ) ( )0 0
0
,t
D S t S f x dx= ā ā«
Åi (1.5)( ) ( )0 0
0
, 1t
S S t S f x dxā ā
= ā +ā ā
ā ā
ā«UrmÄtorul rezultat ne dÄ formulele uzuale pentru calculul dobĆ¢nzii Åi
sumei finale Ć®n regimul de dobĆ¢ndÄ simplÄ.
11
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 8/49
Propozi Å£ ia 1.2: DacÄ f (t ) = i, ā t ā„ 0, atunci:( )0 0, D S t S i t = ā ā (1.6)
Åi ( ) ( )0 0, 1S S t S i t = ā + ā (1.7)
Demonstra ţ ie: Avem
( ) ( ) t iS xiS dxiS dx x f S t S D t t t
ā ā =ā ā =ā ā =ā = ā«ā« 000
0
0
0
00 , Åi
( ) ( ) ( t iS idxS dx x f S t S S
t t
ā +ā =āā ā
āāāā
ā +ā =āā
ā
āāāā
ā +ā = ā«ā« 111, 0
0
0
0
00 ) . ā
Factorul ( ) ( )t it u ā += 1 se numeÅte factor de fructificare (sau de acumu-lare). Pentru t = 1 an, acest factor se numeÅte factor anual de fructificare (acu-mulare) Åi se noteazÄ mai simplu cu u, deci iu += 1 .
Factorul ( )t i
t vā +
=1
1 se numeÅte factor de actualizare, iari
v+
=1
1 este
numit factor anual de actualizare.
Observa Å£ ie: DacÄ pe durata de plasare a sumei S 0 procentul se modificÄ (deexemplu: j j i p ā = 100 este procentul corespunzÄtor perioadei t j, iar durata de
plasare este ), atunci dobĆ¢nda cuvenitÄ plasÄrii sumei S ā=
= j
jt t 1
m
0 Ʈn regim de
dobĆ¢ndÄ simplÄ este datÄ de relaÅ£ia:
( )0 01
,m
j j
j
D S t S i t =
ā ā= ā ā ā
ā ā ā ā , (1.8)
iar suma finalÄ este calculatÄ cu formula:
( )0 01
, 1m
j j
j
S S t S i t =
ā ā= ā + ā ā ā
ā ā ā . (1.9)
1.2.2. Elementele dobĆ¢nzii simple
Din relaÅ£iile (1.6), (1.7) Åi (1.8) putem deduce prin calcul urmÄtoarelemÄrimi, numite Åi elementele dobĆ¢nzii simple:
1. Valoarea finalÄ (suma finalÄ, suma revenitÄ Å.a.), notatÄ cu S f , este:ā¢ ( t iS S f )ā +ā = 10 dacÄ procentul este constant pe durata plasamentului;
ā¢ dacÄ procentul este variabil pe durata plasamentu-
lui , unde
āā
ā
āāā
ā
ā ā +ā = ā
=
m
j
j j f t iS S
1
0 1
ā=
=m
j
jt t 1
j j i p ā = 100 este procentul anual corespunzÄtor perioadei t j.
12
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 9/49
2. Valoarea actualÄ (valoarea sau suma iniÅ£ialÄ, capitalul iniÅ£ial), notatÄ cu S 0,este datÄ de relaÅ£ia:
ā¢ t i
S S
f
ā +=
10 dacÄ procentul este constant;
ā¢
ā=
ā += m
j
j j
f
t i
S S
1
0
1 dacÄ procentul se schimbÄ de m ori pe durata plasamentului.
3. Procentul anual de plasare, notat cu p, Åi dobĆ¢nda unitar Ä anualÄ, notatÄ
cu i sunt date de relaţiile:t S
S S i
f
ā
ā=
0
0 Åi p = 100Ā·i.
4. Durata de plasare sau scadenÅ£a, notatÄ cu t , este datÄ de relaÅ£ia:
0
0
S iS S t f
ā ā= .
1.2.3. OperaÅ£iuni echivalente Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ
simplÄ
SÄ presupunem cÄ deponentul P plaseazÄ sumele S 1 , S 2 ,ā¦,S n pe duratelecu procentele anuale corespunzÄtoare . Vom nota o
astfel de operaÅ£iune multiplÄ (sau matricealÄ) cunt t t ,...,, 21 n p p p ,...,, 21
n j j j j t pS A,1
,,=
= , iar
dobĆ¢nda corespunzÄtoare cu ( ) A D . Deci .( ) ā=
ā ā =n
j
j j j t iS A D1
Defini Å£ ia 1.5: Spunem cÄ operaÅ£iunile matriceale ( )nk k k k t pS A ,1,, == Åi
( )m j j j j t pS B
,1,,
== ''' sunt echivalente Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ simplÄ dacÄ
, adicÄ dacÄ aduc aceeaÅi dobĆ¢ndÄ. Se noteazÄ ( ) ( ) B D A D = BS D ..~ .
Defini Å£ ia 1.6: DouÄ operaÅ£iuni echivalente se numesc substituibile, iar dacÄ B substituie pe A, atunci elementele lui B se numesc elemente Ć®nlocuitoare.
PrezintÄ interes douÄ cazuri:1. CĆ¢nd A se Ć®nlocuieÅte (se substituie) cu B de acelaÅi tip dar avĆ¢nd o
componentÄ constantÄ (componentÄ numitÄ element mediu Ć®nlocuitor sauvaloare medie Ć®nlocuitoare);
2. CĆ¢nd A se Ć®nlocuieÅte cu o operaÅ£iune unicÄ Ć®n care douÄ elemente suntdate Åi al treilea, numit element unic Ć®nlocuitor, se determinÄ.
13
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 10/49
Elementele medii Ć®nlocuitoare pentru operaÅ£iunea ( )nk k k k t pS A ,1,, == :
a) Suma medie Ć®nlocuitoare: Din ( )nk k k t pS B ,1,, == Åi B
S D ..~ , rezultÄ
1
1
1
n
k k k nk
k k nk
k k
k
S i t
S S
i t
=
=
=
ā ā
= = Ī±ā
āā
āā , unde
1
k k k n
k k
k
i t
i t =
ā Ī± =ā ā
. Cum 0k Ī± > Åi ,
suma medie Ć®nlocuitoare S este o combinaÅ£ie liniar convexÄ a sumelor S
1
1n
k
k =Ī± =ā
k .
b) Scaden Å£ a medie Ć®nlocuitoare: Din ( )nk k k t pS B ,1,, == Åi B
S D ..~ , rezultÄ
1
1
1
n
k k k nk
k k nk
k k
k
S i t
t t S i
=
=
=
ā ā
= = Ī² ā ā
ā
āā , unde1
k k
k n
k k
k
S i
S i=
ā
Ī² = ā ā Åi 1 1
n
k k = Ī² =ā .
c) Procentul mediu Ć®nlocuitor: Din ( )nk k k t pS B ,1,, == Åi B
S D ..~ , rezultÄ
1
1
1
n
k k k nk
k k nk
k k
k
S p t
p p
S t
=
=
=
ā ā = =
ā
āā
āĪ³ ā , unde
1
k k k n
k k
k
S t
S t
=
ā Ī³ =
ā ā Åi .
1
1n
k
k =
Ī³ =ā
AÅadar, elementele medii Ć®nlocuitoare sunt combinaÅ£ii liniar convexe aleelementelor Ć®nlocuitoare.
Elementele unice (sau comune) Ć®nlocuitoare pentru substituirea opera-Å£iunii ( )
nk k k k t iS A ,1,, == cu operaÅ£iunea unicÄ echivalentÄ ( )t iS B ,,= :
a) Suma unicÄ sau comunÄ Ć®nlocuitoare: ā=
ā ā ā ā
=n
k
k k k t iS t i
S 1
1.
b) Scaden Å£ a unicÄ sau comunÄ Ć®nlocuitoare: ā=
ā ā ā ā
=n
k
k k k t iS iS
t 1
1 .
c) Procentul unic sau comun Ć®nlocuitor: ā=
ā ā ā ā
=n
k
k k k t pS t S
p1
1.
1.3. DobĆ¢nda compusÄ
1.3.1. Definire
14
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 11/49
Defini Å£ ia 1.7: DacÄ valoarea luatÄ Ć®n calcul a sumei plasate S 0 se modificÄ periodic, pe durata plasamentului, prin adÄugarea (sau capitalizarea) dobĆ¢nziicuvenite pe perioada anterioar Ä, spunem cÄ avem un proces de dobĆ¢ndÄ compusÄ sau cÄ plasarea sumei S 0 s-a efectuat Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ compusÄ.AÅadar, Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ compusÄ, Ć®n relaÅ£ia (1.1), factorul de propor-
Å£ionalitate Ļ este de forma: ( ) ( ) ( )0 0,S t S S t f t Ļ = ā , unde f (t ) ā„ 0, ā t ā„ 0.
Deci( )
( ) (00
,,
S S t S S t f t
t
ā= ā
ā ) (1.10)
Åi( )
( ) (00
,,
D S t S S t f t
t
ā= ā
ā ) , (1.11)
cu condiţiile: i) ( ) ( ) 0,0,0, 00 == t S S S S , ii) ( ) iS += 11,1 ,
d1) ( ) ( ) 0,00,0 == t DS D , d2) ( ) i D =1,1 .
PunĆ¢nd (1.10) sub forma
( )
( ) ( )t f
t S S
t
t S S
=āā
,
,
0
0
Åi integrĆ¢nd pe [0, t ], obÅ£inem
( ) ( )ā«==
t t
x dx x f xS S 0
00 ,ln ,( )
( )ā«=t
dx x f S
t S S
00
0 ,ln , deci
( )
( )
00 0,
t
x dx
S S t S e
ā«
= ā (1.12)
Åi (1.13)( ) ( )( )
00 0 0 0, ,
t
f x dx
D S t S S t S S e
ā āā«ā ā
= ā = ā āā āā ā
1ā ā
Propozi Å£ ia 1.3: DacÄ ( ) ( ) ( ) 0,1ln ā„ā+= t it f , atunci:
( ) (0 0, 1 t
S S t S i)= ā + (1.14)
Åi ( ) ( )0 0, 1 t D S t S i 1ā” ā¤= ā + āā£ ā¦ (1.15)
Demonstra ţ ie: Avem
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )ln 1
ln 1 ln 10 00 0 0 0 0 0, 1
t t
f x dx i dxt t i t i
S S t S e S e S e S e S i
++ ā +
ā« ā«= ā = ā = ā = ā = ā +
Åi
( )
( )
( )[ ]111, 00
00 ā+ā =āāā
ā
ā
ā
āāā
ā
ā
ā
ā
ā«
ā = t
t
dx x f
iS eS t S D ā
15
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 12/49
PropoziÅ£ia de mai sus ne dÄ formulele uzuale pentru calculul sumei finaleÅi al dobĆ¢nzii Ć®n regimul de dobĆ¢ndÄ compusÄ. Expresia ( ) ( it f + )= 1ln se
numeÅte dobĆ¢nd Ä unitar Ä instantanee Åi va fi notatÄ cu Ī“, deci ( )ln 1 iĪ“ = + .
Expresia se numeÅte factor de fructificare (acumulare) Ć®n cazul reg-
imului de dobĆ¢ndÄ compusÄ. Analog, expresia
( ) ( )t it u += 1
( )( )t
it v
+=
11 constituie factorul
de actualizare. Pentru t = 1 an se obÅ£in factorii anuali: iu += 1 Åii
v+
=1
1.
Observa Å£ ie: Ćn regimul de dobĆ¢ndÄ compusÄ, dacÄ , iar corespun-
zÄtor perioadei de timp t
ā=
=n
k
k t t 1
k se utilizeazÄ procentul anual pk = 100Ā·ik Ć®n regim de
dobĆ¢ndÄ compusÄ (de regulÄ cĆ¢nd t k reprezintÄ un numÄr de ani), atunci sumafinalÄ va fi datÄ de relaÅ£ia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 16.1,1111,1
0210021 ā
=
+ā =+ā ā ā +ā +ā =n
k
t
k
t
n
t t k n iS iiiS t S S )
Ćn cazuln
t t t t n ==== 21 , notĆ¢nd cu g media geometricÄ a factorilor de
fructificare nn iuiu +=+= 1,,1 11 ā¦ , adicÄ ( ) ( ) ( )nniii g ++ā += 111 21 ,
rezultÄ .( ) t
g S t S S ā = 00 ,DacÄ pe perioada t k , plasarea este Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ simplÄ (de regulÄ,
cĆ¢nd t k este sub un an), iar dobĆ¢nda cuvenitÄ se capitalizeazÄ (deci genereazÄ dobĆ¢ndÄ pe perioada ), atunci valoarea finalÄ este datÄ de relaÅ£ia:1+k t
( ) ( ) ( 17.1,1,1
00 ā=
ā +ā =n
k
k k t iS t S S )
Revenind la formula (1.14) care dÄ suma finalÄ Ć®n cazul plasamentului Ć®nregim de dobĆ¢ndÄ compusÄ cu procent constant pe durata t , deci la
, observÄm urmÄtoarele:( )t
f iS S +ā = 10
1. Formula poate fi utilizatÄ Åi Ć®n cazul cÄ t reprezintÄ un numÄr de peri-oade de timp diferite de an (de exemplu: luni, trimestre etc.), iar i este dobĆ¢ndaanualÄ unitar Ä corespunzÄtoare perioadei respective Åi evident capitalizareadobĆ¢nzii se face dupÄ fiecare perioadÄ.
2. DacÄ m
t nt m+= , unde n este un numÄr Ć®ntreg de perioade (de regulÄ ani),
iar perioada este Ć®mpÄr Å£itÄ Ć®n m pÄr Å£i egale, t m fiind un numÄr Ć®ntreg de astfel de pÄr Å£i, atunci pentru calculul sumei finale avem aÅa numita solu Å£ ie ra Å£ ional Ä:
16
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 13/49
( ) ( )18.1110 ā ā
āāā
ā ā +ā +ā =
m
t iiS S mn
f
AdicÄ, pentru partea Ć®ntreagÄ se foloseÅte regimul de dobĆ¢ndÄ compusÄ, iar pentru partea fracÅ£ionar Ä se foloseÅte regimul de dobĆ¢ndÄ simplÄ.
3. Ćn condiÅ£iile punctului anterior, se poate determina suma finalÄ Åi cuformula:
( )0 1 mt n
m f S S i
+= ā + , (1.19)
care constituie aÅa numita solu Å£ ie comercial Ä.
UtilizĆ¢nd variaÅ£ia funcÅ£iei ( ) ā1,0: f R ( ) ( ) xi xi x f +āā += 11 , se aratÄ
cÄ ( ) m
t m
m
im
t i +ā„ā + 11 , deci soluÅ£ia raÅ£ionalÄ duce la o dobĆ¢ndÄ mai mare,
astfel, ea este convenabilÄ celui care Ć®ncaseazÄ dobĆ¢nda Åi evident soluÅ£iacomercialÄ va fi preferatÄ de cel care plÄteÅte dobĆ¢nda.Pentru , notÄm cu21 t t < ( )21 , t t A acumularea (sau capitalizarea) la momen-
tul t 2 a unei investiÅ£ii de o unitate monetar Ä f ÄcutÄ la momentul t 1 pe perioada. Deci este valoarea finalÄ a unei unitÄÅ£i monetare plasatÄ pe
durata t
12 t t ā ( 21 , t t A ))2 ā t 1. se mai numeÅte Åi factor de acumulare. Ćn cazul relaÅ£iei
(1.14), funcţia de acumulare este:( 21 , t t A
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )t
t
iS
iS
S
t S t a +=
+ā == 10
10
0 .
ObservÄm legÄtura acesteia cu dobĆ¢nda instantanee:
( )( )( )( )
( )
( )
''1
ln 11
t
t
i a t i
a t i
+Ī“ = + = =
+.
RemarcÄm cÄ, Ć®n cazul particular al acestei funcÅ£ii de acumulare, dobĆ¢ndainstantanee este independentÄ de timp. Ori este de aÅteptat ca dobĆ¢nda instan-
tanee sÄ fie dependentÄ de momentul respectiv, fapt evidenÅ£iat Åi de raportul( )( )t a
t a' dacÄ ne gĆ¢ndim la funcÅ£ii de acumulare arbitrare. De aceea vom defini
dobĆ¢nda instantanee ca fiind raportul menÅ£ionat, deci ( ) ( )
( )
'a t t
a t Ī“ = , unde a(t )
este o funcÅ£ie de acumulare oarecare. DacÄ notÄm cu F (t ) valoarea revenitÄ (nu-mitÄ Åi valoare acumulatÄ) la momentul t a unei investiÅ£ii de 1 u.m. f ÄcutÄ lamomentul t 0 avem ( ) ( )t ak t F ā = Åi ( ) ( )t t At F ,
0
= .
17
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 14/49
Deci ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )0
0
lim'lim
h
h
a t h a t a t k a t h k a t ht a t a t h k a t
ā
ā
+ āā + ā ā
Ī“ = = =ā ā
=
( ) ( )
( )
( )
( )0
'1
limh
F t h F t F t
h F t F ā
+ ā
= ā t = .AÅadar, dobĆ¢nda instantanee este raportul dintre panta creÅterii valorii acu-
mulate Åi mÄrimea valorii acumulate la momentul respectiv.
Cum ( ) ( ) 1, 000 == t t At F Åi ( ) ( )
( ) ( )(
'ln '
F t t
F t Ī“ = = ) F t
0
, integrĆ¢nd pe [t 0, t ]
obţinem
( ) ( ) ( )0ln ln
t
t F t F t x d ā = Ī“ā« x, deci
( )
( )
0
t
x dx
t F t e
Ī“ā«= sau
( )( )
00 ,
t
x dx
t A t t e
Ī“ā«= . (1.20)
SÄ observÄm cÄ nu am fixat ordinea momentelor t 0 Åi t , astfel cÄ, pentrut 0 < t , A(t 0, t ) este factor de fructificare (acumulare, capitalizare), iar pentru t 0 > t , A(t 0, t ) este factor de actualizare. Vom prezenta acum aceste noÅ£iuni Ć®ntr-uncadru mai general.
Fie ( ){ } ( ) I y x y x y x I ā¤ā¤= 0, Åi ā, . MenÅ£ionÄm cÄ pÄstr Äm pentrumomentele de timp cerinÅ£a de nenegativitate, deÅi, este evident cÄ ea nu esteesenÅ£ialÄ, momentul originii putĆ¢nd fi stabilit conform unui sistem de referinÅ£Ä arbitrar. NotÄm cu ( ) y xd , dobĆ¢nda unitar Ä pe intervalul [ x, y] (adicÄ dobĆ¢nda
corespunzÄtoare sumei iniÅ£iale de o unitate monetar Ä investitÄ āÆ plasatÄ āÆ lamomentul iniÅ£ial x Åi cu scadenÅ£a la momentul y, deci y ā x este durata plasamentului). Avem ( ) ( ) y xd y x A ,1, += (1.21)
PresupunĆ¢nd cÄ suma iniÅ£ialÄ S x este omogenÄ, adicÄ fiecÄrei unitÄÅ£i
monetare din aceastÄ sumÄ Ć®i corespunde Ć®n intervalul [ ] y x, aceeaÅi dobĆ¢ndÄ
, vom avea:( y xd , ) ( ) ( ) ( )22.1,,,, y xd S y xS D x x ā =
( ) ( ) ( )23.1,,,, y x AS y xS S x x ā =
unde este dobĆ¢nda produsÄ de suma iniÅ£ialÄ S ( y xS D x ,, )
] ) x Ʈn intervalul de timp
, iar este suma finalÄ sau revenitÄ la scadenÅ£a y. MenÅ£ionÄm cÄ
ipoteza de omogenitate a sumelor bÄneÅti a fost utilizatÄ (f Är Ä sÄ fie menÅ£ionatÄ
distinct) Åi la relaÅ£iile anterioare. RelaÅ£ia
[ y x, ( y xS S x ,,
( ) ( ) x
x
S y xS D y xd ,,, = justificÄ pentru
Åi denumirea de rat Ä a dobĆ¢nzii Ć®n intervalul( y xd , ) [ ] y x, , iar relaÅ£ia (1.23)
18
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 15/49
justificÄ pentru ( ) y x A , sintagma de factor de fructificare sau de capitalizare,
de unde Åi notaÅ£ia ( ) y xu , (evident, numai Ć®n contextul menÅ£ionat, adicÄ pentru
x ā¤ y avem ( ) ( ) y x A y xu ,, = ). Privind invers operaÅ£ia financiar Ä, pornind de la
suma finalÄ (revenitÄ sau capitalul rambursat) la scadenÅ£Ä ( ) y xS S S x y f ,,= ,
suma S x este numitÄ valoarea actual Ä (sau valoarea scontat Ä ori anticipat Ä) lamomentul x a lui Åi este datÄ de diferenÅ£a dintre viitorul capital Åi
scontul aferent lui. Deci y f S y f S
( ) y xS DS S x y f x ,,ā= Dar, despre scont vom vorbi
mai mult Ʈn paragraful respectiv.
MenÅ£ionÄm Åi cÄ raportul ( ) ( )
( ) y xS S
y xS D y xr
x
x
,,
,,, = este numit rat Ä de scont (Ć®n
engl. discount rate) sau taxÄ de scont (ori scont unitar efectiv, rat Ä de discont ).
Raportul ( )( ) y xS S
S y xv
x
x
,,, = se numeÅte factor de actualizare.
SÄ observÄm cÄ, pentru dobĆ¢nda unitar Ä ( ) ( ) x yi y xd āā =, notĆ¢nd yt ā= din relaÅ£iile (1.22) Åi (1.23) regÄsim formulele de calcul (1.6) Åi (1.7)
de la regimul de dobĆ¢ndÄ simplÄ, iar pentru dobĆ¢nda unitar Ä
regÄsim formulele de calcul (1.14) Åi (1.15) de la regimulde dobĆ¢ndÄ compusÄ. SÄ reÅ£inem cÄ aceste dobĆ¢nzi unitare sunt sta Å£ ionare,
adicÄ nu depind de situarea Ć®n timp a intervalului
( ) ( ) 11, ā+= ā x yi y xd
[ ] y x, ci depind de lungimeaintervalului. AÅadar, putem vorbi despre dobĆ¢nda simplÄ Åi dobĆ¢nda compusÄ Ć®ntr-un cadru mult mai general.
Defini Å£ ia 1.8: DobĆ¢nda d : I ā R
este simplÄ dacÄ, pentru orice x, y, z ā Z
cu z y x ā¤ā¤ , se verificÄ egalitatea: ( ) ( ) ( ) z yd y xd z xd ,,, += .
Defini Å£ ia 1.9: DobĆ¢nda d : I ā R
este compusÄ dacÄ, pentru orice x, y, z ā
Z
cu z y x ā¤ā¤ , se verificÄ egalitatea:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z yd y xd z yd y xd z xd ,,,,, ā ++= .
Propozi Å£ ia 1.4: DobĆ¢nda R ā I d : + este compusÄ dacÄ Åi numai dacÄ, pentru orice ā z y,, R + cu z y ā¤ā¤ , are loc egalitatea:
( ) ( ) ( ) z y A y x A z x A ,,, ā = ,unde A este factorul de fructificare (acumulare).
Demonstra Å£ ie. Cum ( ) ( ) y xd y x A ,1, += , relaÅ£ia ( ) ( ) ( z y A y x A z x A ,,, ā )=
este echivalentÄ cu ( ) ( )( ) ( )( ) z yd y xd z xd ,1,1,1 +ā +=+ , deci( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,d x z d x y d y z d x y d y z = + + ā , . ā
19
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 16/49
Propozi Å£ ia 1.5: DacÄ dobĆ¢nda R ā I ds : + este simplÄ, atunci dobĆ¢nda
R ā I dc : +, unde ( ) ( ) ( ),, 1 , ,dc x y e x y I ds x y= ā ā ā , este compusÄ.
Demonstra Å£ ie: Avem ( ) ( ) ( ) y xdse y xdc y x A,,1, =+= Åi
( ) ( ) ( ) ( ) =ā =ā z yds y xdsee z y A y x A
,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) z x Aee z xds z yds y xds ,,,, ==+ ,
deci, conform propoziÅ£iei 1.4, dc este o dobĆ¢ndÄ compusÄ.
Propozi Å£ ia 1.6: Fie R ā I d : + o funcÅ£ie care admite derivate par Å£iale deordinul Ć®ntĆ¢i continue pe I . Atunci d este o dobĆ¢ndÄ simplÄ dacÄ Åi numai dacÄ existÄ o funcÅ£ie continuÄ h: R + R ā + astfel Ć®ncĆ¢t
( ) ( ) ( ), , , y
xd x y h t dt x y I = ā āā« .
Demonstra Å£ ie: Fie z t t x +<< , presupunĆ¢nd cÄ d este dobĆ¢ndÄ simplÄ,
rezultÄ: ( ) ( ) ( ) z t t d t xd z t xd ++=+ ,,, ,( ) ( ) ( ) ( ) z
t t d z t t d
z
t xd z t xd ,,,, ā+=
ā+ .
TrecĆ¢nd la limitÄ cu , obÅ£inem0ā z ( ) (t ht xt
d =
ā )
ā, , unde ( ) ( t t d t h y ,'= )
iar este derivata par Å£ialÄ de ordinul Ć®ntĆ¢i a lui d Ć®n raport cu a doua varia-
bilÄ. IntegrĆ¢nd pe intervalul [ x, y], rezultÄ .
' yd
( ) ( ), y
xd x y h t dt = ā«
Reciproc, fie funcÅ£ia continuÄ h astfel Ć®ncĆ¢t .( ) ( ), y
xd x y h t dt = ā«
Pentru z y x ā¤ā¤ , avem , deci( ) ( ) ( ) z y z
x x yh t dt h t dt h t dt = +ā« ā« ā«
( ) ( ) ( ) z yd y xd z xd ,,, += ,adicÄ d este o dobĆ¢ndÄ simplÄ.
Ćn plus, ( ) ( ) xh y xd x ā=,' Åi ( ) ( ) yh y xd y =,' , deci existÄ derivatele par Å£iale
de ordinul Ć®ntĆ¢i Åi sunt continue. ā
SÄ remarcÄm Åi faptul cÄ d fiind descrescÄtoare Ć®n primul argument (deri-vata este negativÄ) Åi crescÄtoare Ć®n al doilea argument (derivata este
pozitivÄ) este Ć®n concordanÅ£Ä cu faptul cÄ
' ' xd yd
21 x x < implicÄ [ x2, y] _ [ x1, y] Åi, prin urmare, este natural ca dobĆ¢nda pe intervalul [ x1, y] sÄ fie mai mare decĆ¢tdobĆ¢nda de pe intervalul [ x2, y], deci ( ) ( ) y xd y xd ,, 21 > . Analog, pentru
avem [ x, y21 y y < 1] _ [ x, y2] Åi ( ) ( )21 ,, y xd y xd < .
Å¢inĆ¢nd cont de propoziÅ£iile 1.5 Åi 1.6, se obÅ£ine urmÄtorul rezultat privitorla dobĆ¢nda compusÄ.
20
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 17/49
Propozi Å£ ia 1.7: FuncÅ£ia R ā I d : + admite derivate par Å£iale de ordinul Ć®ntĆ¢icontinue pe I Åi este o dobĆ¢ndÄ compusÄ dacÄ Åi numai dacÄ existÄ o funcÅ£iecontinuÄ h: R + R ā + astfel Ć®ncĆ¢t:
( ) ( )
( ), 1 , , y
xh t dt
d x y e x y I ā«= ā ā ā .
Demonstra Å£ ie: FuncÅ£ia R ā I ds : + , ( ) ( )( ) y xd y xds ,1ln, += este odobĆ¢ndÄ simplÄ deoarece pentru orice z y ā¤ā¤ , avem:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ), , ln 1 , ln 1 ,ds x y ds y z d x y d y z + = + + + =
( )( ) ( )( )ln 1 , 1 ,d x y d y z ā” ā¤= + ā + =ā£ ā¦
( ) ( ) ( ) ( )ln 1 , , , ,d x y d y z d x y d y z = + + + ā =ā” ā¤ā£ ā¦
( )( ) ( )ln 1 , ,d x z ds x z = + = .
Cum ( ) ( )
( ) y xd
y xd y xds x
x ,1
,,
''
+= Åi ( )
( )( ) y xd
y xd y xds
y
y ,1
,,
''
+= , ds are derivate
par Å£iale de ordinul Ć®ntĆ¢i continue Åi, conform propoziÅ£iei 1.6, existÄ h continuÄ
astfel Ć®ncĆ¢t: . RezultÄ ( ) ( ), y
xds x y h t dt = ā« ( ) ( ) ( ),, 1
y
xh t dt ds x y
d x y e eā« 1= ā = ā .
Reciproc, fie funcÅ£ia h continuÄ astfel Ć®ncĆ¢t ( ) ( )
, 1 y
xh t dt
d x y eā«= ā .
Pentru z y x ā¤ā¤ avem: ,( ) ( ) ( ) z y z
x x yh t dt h t dt h t dt = +ā« ā« ā«( )
( ) ( ) ( ), 1
y z z
x y x
h t dt h t dt h t dt
d x z e e+ā« ā«ā«= ā = ā1 =
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
z y z z y y
y y y y x x
h t dt h t dt h t dt h t dt h t dt h t dt
e e e e e eā ā ā āā« ā« ā« ā«ā« ā«= ā ā = ā ā ā + ā + ā =ā ā ā āā ā ā ā
( ) ( ) ( ) ( ), , ,d x y d y z d x y d y z = ā + + , , deci d este o dobĆ¢ndÄ compusÄ.
Ćn plus Åi , adicÄ existÄ derivatele par Å£iale de ordinul Ć®ntĆ¢i Åi sunt continue. ā
( ) ( ) ( )' , y
x h t dt xd x y h x eā«= ā ā ( ) ( ) ( )' ,
y
x h t dt yd x y h y eā«= ā
Ćn cazul Ć®n care d este o dobĆ¢ndÄ staÅ£ionar Ä, avem ( ) ( ) x yd y xd ā= ,0, .
Propozi Å£ ia 1.8: FuncÅ£ia R ā I d : + admite derivate par Å£iale de ordinul Ć®ntĆ¢icontinue Åi este o dobĆ¢ndÄ simplÄ staÅ£ionar Ä dacÄ Åi numai dacÄ existÄ oconstantÄ astfel ca0>i ( ) ( ) ( ) I y x x yi y xd āāāā = ,,, .
Demonstra Å£ ie: Fie d o dobĆ¢ndÄ simplÄ staÅ£ionar Ä Åi z y y +<< . Avem
( ) ( ) ( ) z y yd y xd z y xd ++=+ ,,, ,
21
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 18/49
( ) ( ) ( ) ( )=
ā+=
ā+ z
y yd z y yd
z
y xd z y xd ,,,, ( ) ( ) z
d z d 0,0,0 ā.
TrecĆ¢nd la limitÄ cu , obÅ£inem0ā z ( )
i y
y xd =
āā ,
, unde constanta i este
( 0,0 yd i
āā= ) ). IntegrĆ¢nd pe [ x, y], rezultÄ ( ) (, y
xd x y i dt i y x= ā = ā āā« .
Reciproc, dacÄ ( ) ( ) ( ) I y x x yi y xd āāāā = ,,, , funcÅ£ia d admite derivate par Å£iale de ordinul Ć®ntĆ¢i continue. Cum, pentru z y ā¤ā¤ , avem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z xd x z i y z i x yi z yd y xd ,,, =āā =āā +āā =+ , rezultÄ cÄ d este odobĆ¢ndÄ simplÄ. Evident, ea este Åi staÅ£ionar Ä. ā
CoroborĆ¢nd acest rezultat cu propoziÅ£iile 1.1 Åi 1.2 Åi adÄugĆ¢nd ipoteza de
omogenitate a sumei S 0, avem unicitatea formulelor de calcul (1.6) Åi (1.7) pentru dobĆ¢nda simplÄ Ć®n ipotezele ānaturaleā: omogenitatea capitalului,staÅ£ionaritatea dobĆ¢nzii Åi monotonia crescÄtoare a acesteia Ć®n raport cucapitalul Åi durata.
Propozi Å£ ia 1.9: FuncÅ£ia R ā I d : + admite derivate par Å£iale de ordinul Ć®ntĆ¢icontinue Åi este o dobĆ¢ndÄ compusÄ staÅ£ionar Ä dacÄ Åi numai dacÄ existÄ oconstantÄ astfel ca0>i ( ) ( ) ( ) I y xe y xd āāā= ,,1, . x yi āā
Demonstra Å£ ie: Pentru implicaÅ£ia directÄ, fie ( ) ( )( ) y xd y xds ,1ln, += .Conform demonstraÅ£iei propoziÅ£iei 1.7, ds este o dobĆ¢ndÄ simplÄ. Cum d estestaÅ£ionar Ä, avem ( ) ( )( ) ( )( ) =ā+=+= x yd y xd y xds ,01ln,1ln, ,deci ds este staÅ£ionar Ä. Conform propoziÅ£iei 1.8, existÄ constanta astfelĆ®ncĆ¢t
( ) x yds ā,00>i
( ) ( ) x yi y xds āā =, . AÅadar ( ) ( ) ( ) 11, , ā=ā= āā x yi y xds ee y xd .
Reciproc, dacÄ existÄ astfel ca0>i ( ) ( ) ( ) I y xe y xd x yi āāā= āā ,,1,
avem ( ) ( ) ( ) ( ) x yi
y
x yi
x ei y xd ei y xd āā āā ā =ā ā= ,,, '' . LuĆ¢nd ( ) it h = , conform pro-
poziÅ£iei 1.7, d este o dobĆ¢ndÄ compusÄ. Evident, d este Åi staÅ£ionar Ä (verificÄ definiÅ£ia dobĆ¢nzii staÅ£ionare). ā
ExistÄ Åi un aÅa numit regim de capitalizare cu dobĆ¢ndÄ anticipatÄ (re-gim de capitalizare comercialÄ sau hiperbolicÄ). Acesta se obÅ£ine conside-rĆ¢nd cÄ variaÅ£ia factorului de fructificare ( ) ( )t At u ,0= pe intervalul [t , t + | t ]
este propor Å£ionalÄ cu ( )2 t u , iar factorul de propor Å£ionalitate este t r Īā . Ćn acest
caz, ( )1
, 0,1
u t t r t r
1ā” ā= ā ā āā¢ā ā ā£ ā , unde r este rata anualÄ de scont. Ćntr-adevÄr,
22
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 19/49
( ) ( )( )t ur
t
t ut t u
t
2
0lim ā =
ĪāĪ+
āĪ,( ) ( ) ( ) t r t ut ut t u Īā ā =āĪ+ 2 implicÄ
( )( )
r t u
t u=
2
'.
IntegrĆ¢nd pe rezultÄ [ t ,0 ]( )
t r t u
ā =ā1
1 , deci ( )t r
t uā ā
=1
1.
Revenim la dobĆ¢nda instantanee ( )t Ī“ Åi reamintim legÄtura ei cu factorul
de acumulare : . Acest factor de acumulare defineÅte
aÅa numita capitalizare exponenÅ£ialÄ (regimul de capitalizare exponenÅ£ialÄ sau continuÄ). Cum regimul de capitalizare compusÄ (sau regimul de dobĆ¢ndÄ
compusÄ) este definit de factorul de acumulare
( ) y x A , ( ) ( )
, y
xt dt
A x y eĪ“ā«=
( ) ( ) x yi y xu
ā+= 1, , constatÄm cÄ
aceste capitalizÄri coincid (sunt echivalente) dacÄ ( ) ( )ln 1t iĪ“ = Ī“ = + .
Ćn concluzie, Ć®n modelul de capitalizare exponenÅ£ialÄ (continuÄ), Ć®n ipotezaomogenitÄÅ£ii unitÄÅ£ilor monetare, suma finalÄ S fy la scadenÅ£a y Åi dobĆ¢nda produsÄ de suma iniÅ£ialÄ S x Ć®n intervalul [ x, y] sunt date de relaÅ£iile:
( ) ( ) ( )
, , , y
xt dt
f y x x xS S S x y S A x y S eĪ“ā«= = ā = ā , (1.24)
( ) ( )
, , 1 y
xt dt
x f y x x D S x y S S S eĪ“ā āā«= ā = ā āā
ā ā ā . (1.25)
SÄ menÅ£ionÄm Åi faptul cÄ, deoarece ( ) ( ) ( )
( )0
,
lim ,h
, x t h A x t
t h A x t ā
+ ā
Ī“ = ā , notaÅ£ia
( , ) x t Ī“ ar fi āmai potrivitÄā pentru dobĆ¢nda instantanee (Ć®n general, se renunÅ£Ä
la ea considerĆ¢ndu-se cÄ momentul iniÅ£ial al operaÅ£iunii este momentul zero).DacÄ dobĆ¢nda este staÅ£ionar Ä, adicÄ dacÄ ( ) ( ) xt d t xd ā= ,0, , atunci avem:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )0 0
, , 1 , 1, lim lim
, 1 ,h h
, x t h A x t d x t h d x t x t
h A x t h d x t ā ā
+ ā + + ā āĪ“ = =
ā ā + =
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )0 0
1 0, 1 0, 0, 0,lim lim0,1 0,h h
d t x h d t x A t x h A t xh A t xh d t xā ā
+ ā + ā ā ā ā + ā ā= =ā āā + ā
=
( ) ( )0,t x t x= Ī“ ā = Ī“ ā ;
deci, Åi ādobĆ¢nda instantanee este staÅ£ionar Äā.De asemenea, menÅ£ionÄm cÄ unii autori folosesc pentru dobĆ¢nda instan-
tanee sintagmele: rata instantanee de dobĆ¢ndÄ, for Å£a dobĆ¢nzii sau intensitatea dobĆ¢nzii (aceasta pare a fi sintagma cea mai potrivitÄ).
23
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 20/49
Defini Å£ ia 1.10: Un regim financiar (de capitalizare) se numeÅte scindabil Ć®ntr-un interval de timp T dacÄ pentru orice T z y x ā,, cu z y ā¤ā¤ verificÄ
relaÅ£ia: ( ) ( ) ( ) z x A z y A y x A ,,, =ā .
Pentru regimul de dobĆ¢ndÄ simplÄ, cum ( ) ( ) x yi y x A āā += 1, , rezultÄ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z x A x z i y z x yi x z i z y A y x A ,11,,2
=āā +>āā āā +āā +=ā ). AÅa-dar, regimul de dobĆ¢ndÄ simplÄ nu este scindabil.
Pentru regimul de dobĆ¢ndÄ compusÄ, avem: ( ) ( ) x yi y x A
ā+= 1, Åi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z x Aiii z y A y x A x z y z x y ,111,, =+=+ā +=ā āāā . Deci, regimul de do-
bĆ¢ndÄ compusÄ este scindabil.Pentru regimul de dobĆ¢ndÄ exponenÅ£ialÄ, Ć®n cazul particular cĆ¢nd
( ) ( ), t t Ī“ = Ī“ ā x
,
, avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , z y z
y x xt dt t dt t dt
x y A y z e e e A x z Ī“Ī“ Ī“ā«ā« ā«ā = ā = = .
AÅadar, regimul de capitalizare exponenÅ£ialÄ, Ć®n cazul acesta particularcĆ¢nd intensitatea dobĆ¢nzii este independentÄ de originea operaÅ£iunii, estescindabil.
1.3.2. Elementele dobĆ¢nzii compuse
Ca Åi Ć®n cazul dobĆ¢nzii compuse, din relaÅ£iile (1.14)Ć·(1.20), putemdetermina urmÄtoarele mÄrimi numite elemente ale dobĆ¢nzii compuse:1. Suma final Ä ( suma revenit Ä, valoarea final Ä sau valoarea acumulat Ä):
( ) t t
f uS iS S ā =+ā = 00 1 ,
unde este factorul de fructificare anualÄ, iariu += 1 ( ) ( )t it u += 1 este factorul
global de fructificare (Ć®n condiÅ£iile unui procent anual i p ā = 100 constant).
DacÄ procentele sunt variabile, atunci , unde
, iar este factorul global de fructificare (sau de
acumulare).
( )ā=
+ā =n
k
k t
k f iS S 1
0 1
ā=
=n
k
k t t 1
( ) ( )ā=
+=n
k
k t
k it u1
1
DacÄ procentul este dependent de timp (modelul capitalizÄrii continue),
atunci , unde( )
(00 0 0,
t
x dx
f S S e S A t Ī“ā«= ā = ā ) ( )t Ī“ este dobĆ¢nda unitar Ä
instantanee la momentul t , iar ( )
( )0
0,
t
x dx
A t e
Ī“ā«= este factorul global de
fructificare (acumulare).2. Suma ini Å£ ial Ä sau valoarea actual Ä:
24
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 21/49
( )t
f t f vS i
S S ā =+
ā =1
10 ,
undei
v+
=1
1 este factorul anual de actualizare, iar procentul anual utilizat este
constant.DacÄ procentele anuale sunt variabile, atunci:
( )ā
= +ā =
n
k k t
k
f i
S S 1
01
1, unde
. Ćn cazul capitalizÄrii continue:ā=
=n
k
k t t 1
( )( )0,0
0 t AS dx x
eS S f
t
f ā =ā«
ā =ā Ī“
,
unde este factorul de actualizare globalÄ.( )0,t A
3. Procentul de plasare p Åi dobĆ¢nda unitar Ä i:
1
0
1t f S i
S ā ā= āā āā ā
, p = 100ā i.
4. Durata de plasare sau scaden ţ a t :( )i
S S t
f
+
ā=
1ln
lnln 0 .
1.3.3. Procente proporţionale, procente echivalente,
procent nominal, procent real sau efectiv
Defini Å£ ia 1.11: Procentele p1 Åi p2 corespunzÄtoare perioadelor de timp t 1 Åit 2, diferite (an, trimestru etc.) se numesc propor Å£ ionale Ć®n raport cu aceste peri-
oade dacÄ 2
2
1
1
t
p
t
p= .
De exemplu, procentul semestrial p s este propor Å£ional cu procentul anual p dacÄ , iar procentul trimestrial p s p p ā = 2 t este propor Å£ional cu procentul anual
p dacÄ t p p ā = 4 .Observa Å£ ie:
DacÄ i este dobĆ¢nda unitar Ä anualÄ Åi i s este dobĆ¢nda unitar Ä se-mestrialÄ, atunci ele sunt propor Å£ionale dacÄ sii ā = 2 . PlasĆ¢nd Ć®n regim de do-
bĆ¢ndÄ simplÄ 1 u.m. pe durata de un an, obÅ£inem suma revenitÄ u.m.
dacÄ folosim procentele propor Å£ionale
iS a += 1
i p ā = 100 Åi s s i p ā = 100 . DacÄ plasarea
s-ar face Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ compusÄ folosind procentul semestrial propor Å£ional (capitalizarea dobĆ¢nzii se face semestrial), obÅ£inem suma revenitÄ:
( ) a s s S ii
ii
iS =+>++=ā ā āā
ā ā +=+= 1
41
211
222 .
25
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 22/49
La plasarea unei unitÄÅ£i monetare Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ compusÄ, cu capita-lizare trimestrialÄ, cu procentul trimestrial t t i p ā = 100 propor Å£ional cu procen-
tul anual i p ā = 100 , suma revenitÄ dupÄ un an este:
( ) a st t S iS
ii
iiii
iiS =+>=++>++++=
ā ā
ā
āā
ā +=+= 14
1156168
31
411
243244 .
AÅadar, pentru cel ce primeÅte dobĆ¢nda, existÄ tendinÅ£a de a propunecalculul dobĆ¢nzii pe perioade cĆ¢t mai scurte Åi capitalizarea ei. Apare astfel problema gÄsirii unui procent āechivalentā cu procentul anual, Ć®n sensul cÄ suma revenitÄ este aceeaÅi. De exemplu, pentru procentul trimestrial avem
, deci( ) iit +=+ 11 4 114 ā+= iit Åi t t i p ā = 100 .
DacÄ anul este divizat Ć®n m fracÅ£iuni egale, atunci procentul
corespunzÄtor fiecÄrei fracÅ£iuni este echivalent cu procentul anualdacÄ .
mm i p ā = 100
i p ā = 100( ) ii m
m +=+ 11
Defini Å£ ia 1.12: Procentele p1 Åi p2 corespunzĆ¢nd la perioade diferite (an,lunÄ etc.) sunt echivalente dacÄ pentru aceeaÅi duratÄ de plasare a unei sume,conduc la aceeaÅi valoare finalÄ.
ConsiderĆ¢nd douÄ diviziuni ale anului, odatÄ Ć®mpÄr Å£it Ć®n m1 fracÅ£iuni egaleÅi apoi Ć®n m2 fracÅ£iuni egale, dacÄ Åi sunt dobĆ¢nzile unitare corespun-
zÄtoare acestor fracÅ£iuni de an, atunci ele sunt echivalente dacÄ:
1mi 2mi
( ) ( )1 2
1 21 1
m m
m mi i+ = + ,
adicÄ, dau aceeaÅi sumÄ finalÄ la plasarea unei unitÄÅ£i monetare Ć®n regim dedobĆ¢ndÄ compusÄ pe durata de un an.
DacÄ anul este fracÅ£ionat Ć®n m pÄr Å£i egale, notÄm cu jm dobĆ¢nda unitar Ä anualÄ corespunzÄtoare fracÅ£ionÄrii, adicÄ dobĆ¢nda unitar Ä a fiecÄrei fracÅ£iuni
de an este
m
jm , iar la plasarea sumei S 0 Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ compusÄ pe durata
de un an, obÅ£inem valoarea finalÄ:
0 1m
m f
jS S
m
ā = ā +āā ā
āā . (1.24)
Defini Å£ ia 1.13: OperaÅ£iunile de plasare a sumei S 0 pe durata de un an cu procentul anual i p ā = 100 Åi de plasare, Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ compusÄ, cu
procentul anual corespunzÄtor fracÅ£ionÄrii mm j p ā = 100 sunt echivalente dacÄ
( )0 01 1m
m jS i S
m
ā ā + = ā +āā ā
āā (1.25)
26
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 23/49
sau ( )1
1 mm j m i 1
ā” ā¤= ā + āā¢ ā„ā£ ā¦. (1.26)
Defini Å£ ia 1.14: Procentul i p ā = 100 se numeÅte procent anual real sau
efectiv, iar procentul mm j p ā = 100 se numeÅte procent anual nominal.Raportul
i
ir
+=
1, reprezentĆ¢nd valoarea actualÄ a dobĆ¢nzii unitare anuale,
este numit ratÄ efectivÄ de scont sau discount.
1.3.4. OperaÅ£iuni echivalente Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ
compusÄ
Vom considera operaÅ£iunile multiple A Åi B, reprezentĆ¢nd efectuarea a n1 Åirespectiv n2 plÄÅ£i de valori finale, deci
( )1,1111 ,,
nk k k k t pS A == ,2,1222 ,,
n j j j j t pS B=
= ,
unde sunt valori finale corespunzÄtoare procentelor Åi scadenÅ£elor
respectiv Åi . jk S S 21 ,
k k t p 11 , j p2 jt 2
Defini Å£ ia 1.15: Spunem cÄ operaÅ£iunile A Åi B sunt echivalente Ć®n regim
de dobĆ¢ndÄ compusÄ, notĆ¢nd BC D ..~ , dacÄ ele au aceleaÅi valori actuale
totale, adicÄ: . (1.27)( ) ( )1 2
21
1 1 2 21 1
1 1 jk
t t
k k j j
k j
S i S iāā
= =
ā + = ā +ā ān n
Avem aceleaÅi tipuri de substituiri ca la dobĆ¢nda simplÄ:1. CĆ¢nd A se Ć®nlocuie cu B de acelaÅi tip, dar care are o componentÄ
constantÄ numitÄ element mediu Ć®nlocuitor sau valoare medie Ć®nlocuitoare. De
exemplu, suma medie Ʈnlocuitoare este( )
( )
1
2
1 11
21
1
1
k
j
nt
k k
k
nt
j
j
S i
S
i
ā
=
ā
=
ā +=
+ā
ā.
( )t pS B ,,2. CĆ¢nd A se Ć®nlocuieÅte cu o operaÅ£iune unicÄ = , Ć®n care douÄ elemente sunt date, iar al treilea, numit element unic Ć®nlocuitor , se determinÄ.
De exemplu, scadenÅ£a unicÄ Ć®nlocuitoare este( )
( )
1
1 11
ln 1 ln
ln 1
k
nt
k k
k
S i S
i
ā
=
ā” ā¤ā + āā¢ ā„
ā£ ā¦=
+
āt .
Ćn general, vom spune cÄ niÅte sume (sau operaÅ£iuni financiare) suntechivalente la un moment dat t , dacÄ valorile lor actualizate la momentul t sunt
27
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 24/49
egale. De exemplu, dacÄ S k este suma finalÄ la scadenÅ£a (momentul) t k cores-
punzÄtoare procentului pk , 2,1=k , atunci S 1 Åi S 2 sunt echivalente dacÄ:
( ) ( )1
1
1 21 1t t t t
S S
i iā =
+ + 2
2ā , pentru regimul de dobĆ¢ndÄ compusÄ;
sau( ) ( )t t i
S
t t i
S
āā +=
āā + 22
2
11
1
11, pentru dobĆ¢nda simplÄ.
Evident, Ć®n cazul regimului de dobĆ¢ndÄ simplÄ, momentul echivalÄrii tre- buie sÄ fie anterior celor douÄ scadenÅ£e.
Analog, avem Åi echivalenÅ£a unor operaÅ£iuni multiple:
ā pentru dobĆ¢nda compusÄ:( ) ( )1 2
21
1 11 21 1
k j
n m jk
t t t t k jk j
S S
i iā ā
= =
=+ +
ā ā ;
ā pentru dobĆ¢nda simplÄ:( ) ( )
21
1 11 1 2 21 1
n m jk
k jk k j j
S S
i t t i t t = =
=+ ā ā + ā ā
ā ā .
1.3.5. Devalorizare Åi plasament Ć®n condiÅ£iiinflaÅ£ioniste
LegatÄ de masa monetar Ä Ć®n circulaÅ£ie Åi de raporturile acesteia cu cererea
de monedÄ, inflaÅ£ia poate fi consideratÄ un dezechilibru fundamental Ć®ntreoferta de bani Åi cererea de bani, ce se manifestÄ prin creÅterea preÅ£urilor.Astfel, inflaÅ£ia este definitÄ ca fiind fenomenul de creÅtere continuÄ a preÅ£urilorsau de depreciere continuÄ a valorii banilor. ExistÄ o serie de teorii ale inflaÅ£iei,care Ć®i cautÄ originea pe piaÅ£a for Å£ei de muncÄ, Ć®ncearcÄ sÄ o explice prin rata decreÅtere a ofertei de bani sau prin dezvoltarea unei teorii a aÅteptÄrilorinflaÅ£ioniste etc. Pe baza lor avem o clasificare Åi o terminologie a proceselorinflaÅ£ioniste. Astfel, vorbim de infla Å£ ie tĆ¢rĆ¢toare dacÄ preÅ£urile au creÅterea sub2-3% anual Åi nu se anticipeazÄ o inflaÅ£ie propriu-zisÄ; de infla Å£ ie deschisÄ,
cĆ¢nd practic economia de piaÅ£Ä funcÅ£ioneazÄ ca un mecanism Ć®n care preÅ£urilesunt fixe (orice exces de cerere, deci insuficienÅ£Ä a bunurilor sau a for Å£ei demuncÄ, atrage o creÅtere a preÅ£urilor Åi a salariilor); de infla Å£ ie reprimat Ä, cĆ¢ndcontrolul guvernamental Ć®mpiedicÄ creÅterea preÅ£urilor bunurilor de consum Å£i asalariilor (deci excesul de cerere este doar reprimat nu Åi redus); de infla Å£ iemoderat Ä, cĆ¢nd creÅterea preÅ£urilor este de 5-10% anual; de infla Å£ ie galopant Ä,cĆ¢nd creÅterea preÅ£urilor este de peste 15% anual Åi deja se creeazÄ dezechilibreeconomice; de hiperinfla Å£ ie, cĆ¢nd nivelul general al preÅ£urilor creÅte cu peste50% lunar, deci practic banii Ć®Åi pierd funcÅ£ia de rezervÄ de valoare Åi, par Å£ial,chiar Åi pe aceea de mijloc de schimb.
i p = ā Pentru un plasament cu procentul anual 100 , vom considera cÄ mo-neda se depreciazÄ sau se devalorizeazÄ cu un coeficient anual unitar Ī± , adicÄ
28
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 25/49
100 ā Ī± este procentul anual de devalorizare. Suma revenitÄ la finele anului, din plasarea sumei iniÅ£iale de 1 u.m. este i+1 , dar Ć®n termeni reali (deci
considerĆ¢nd devalorizarea) aceasta este de fapt1
1
i++ Ī±
jq
u.m.
ObservÄm urmÄtoarele:1. DacÄ rata devalorizÄrii este mai micÄ decĆ¢t rata dobĆ¢nzii (Ī± < i), atunci
valoarea finalÄ (aici Ć®n sensul de āvaloareā Åi nu de sumÄ, mÄrime etc.) a plasÄrii unei u.m. (unitÄÅ£i monetare) este supraunitar Ä, deci plasamentul f Äcutaduce un cĆ¢Åtig oarecare.
2. DacÄ Ī± = i, atunci cĆ¢Åtigul real al plasamentului este nul.3. DacÄ Ī± > i, atunci plasamentul este Ć®n pierdere, deÅi se cĆ¢ÅtigÄ Ć®n termeni
nominali (suma se mÄreÅte) se pierde Ć®n termeni reali (Ć®n puterea de cumpÄrarea sumei respective, āvaloareaā sa scade).
Defini Å£ ia 1.16: DacÄ āse cunoaÅteā coeficientul de devalorizare Ī± Åi sefoloseÅte Ć®n mod corespunzÄtor pentru a Ć®mpiedica pierderea de valoare amonedei, se spune cÄ are loc o devalorizare controlatÄ.
Coeficientul 1 + Ī± se numeÅte factor de devalorizare, iar Ć®n devalorizareacontrolatÄ, pentru compensarea devalorizÄrii de ratÄ anualÄ Ī± se utilizeazÄ aÅanumitul factor de compensare ( factor de anulare a devaloriz Ärii sau factor de
fructificare aparent Ä): 1 + j = (1 + i)ā (1 + Ī±). Ćn aceste condiÅ£ii, j = i + Ī± + iā Ī± se numeÅte dobĆ¢nd Ä anual Ä unitar Ä aparent Ä, iar = ā 100 se numeÅte
procent anual aparent . MenÅ£ionÄm cÄ neglijarea termenului iā Ī± (adicÄ iā Ī± ā 0)conduce la formulele de calcul Ć®ntĆ¢lnite Ć®n unele lucr Äri (formule Ć®n care ratadobĆ¢nzii se adunÄ cu rata devalorizÄrii sau, dupÄ caz, se scad).
Pentru a atrage depuneri pe un termen minim dat, bÄncile utilizeazÄ diferiteinstrumente financiare, contracte, convenÅ£ii etc., care sÄ cointereseze depunÄ-torii. Astfel, un bon de capitalizare este un contract cu primÄ unicÄ pentru oanumitÄ duratÄ minimÄ, plÄtitÄ integral la data rambursÄrii sau cumpÄr Ärii bonului de cÄtre emitent. AÅadar, suma este plasatÄ pe durata t cu procentul
anual p dat de: ( )ā©āØā§
ā„ā=
12
11
pentru,,0 pentru,
t t pt t p p
21 p p
, unde t 1 este durata minimÄ obliga-
torie a bonului, 0 <ā¤ , procentele p1 Åi p2 fiind constante sau variabile pedurata corespunzÄtoare, dar cu p2 sensibil superior lui p1.
1.4. ModalitÄÅ£i echivalente de platÄ a dobĆ¢nzilor
29
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 26/49
Vom considera un credit S 0 pe durata t , cu un procent anual ,
pentru care trebuie achitatÄ o dobĆ¢ndÄ . Vom studia douÄ modalitÄÅ£i
de platÄ (implicit Åi de calcul) a dobĆ¢nzilor.
i p ā = 100( )t iS D ,,0
( )
( )t iS DS ,,00 +
i p
Defini Å£ ia 1.17: Spunem cÄ operaÅ£iunea de creditare (sau de plasament) este
cu dobĆ¢nda pre-calculat Ä sau anticipat Ä dacÄ dobĆ¢nda se reÅ£ine la Ć®nceputulduratei operaÅ£iunii de creditare din suma S 0. AÅadar, se Ć®mprumutÄ efectivsuma Åi se ramburseazÄ suma S t iS DS ,,00 ā 0.
Defini Å£ ia 1.18: Spunem cÄ operaÅ£iunea este cu dobĆ¢nd Ä post-calculat Ä sau posticipat Ä dacÄ dobĆ¢nda se plÄteÅte la sfĆ¢r Åitul duratei operaÅ£iunii Ć®mpreunÄ cusuma S 0. AÅadar, Ć®n acest caz se Ć®mprumutÄ efectiv suma S 0 Åi se ramburseazÄ suma .
Evident, cele douÄ modalitÄÅ£i difer Ä, dar se pune problema echivalenÅ£ei lor.Pentru Ć®nÅ£elegerea definiÅ£iei acesteia sÄ ne imaginÄm ca fiind posibilÄ urmÄ-toarea situaÅ£ie: un partener al bÄncii sÄ ia un credit cu dobĆ¢ndÄ pre-calculatÄ (procent ā = 100
jq ā = 100
i p
), cu suma respectivÄ sÄ constituie, la aceeaÅi bancÄ, un de- pozit pe aceeaÅi duratÄ de timp, operaÅ£iune cu dobĆ¢ndÄ post-calculatÄ cu pro-centul , urmĆ¢nd ca la scadenÅ£a comunÄ, din suma revenitÄ la depozitsÄ achite creditul S 0 Åi sÄ obÅ£inÄ Åi un anume cĆ¢Åtig.
Defini Å£ ia 1.19: Spunem cÄ procentele anuale = ā 100 j
(al dobĆ¢nzii pre-cal-culate) Åi q ā = 100 (al dobĆ¢nzii post-calculate) sunt echivalente dacÄ verificÄ:
( )[ ] ( ) 00 1 S t jS 0 ,, t iS D , pentru regimul de dobĆ¢ndÄ simplÄ ā ā + ā =
sau [ ( )] ( ) 01,, S jt iS DS t =+ā ā , Ć®n cazul dobĆ¢nzii compuse. 00
Vom spune cÄ cele douÄ modalitÄÅ£i de platÄ a dobĆ¢nzilor (pre- Åi post-calculate) sunt echivalente dacÄ procentele de pre-calcul Åi post-calcul utilizatesunt echivalente, Ć®n sensul definiÅ£iei anterioare.
Propozi Å£ ia 1.10: Ćntre dobĆ¢nzile unitare anuale echivalente de pre-calcul i Åi de post-calcul j existÄ relaÅ£ia:
ā pentru dobĆ¢nda simplÄ: j
i1 j t
=+ ā
( )
; (1.27)
1
2 1 1t t i j
āā” ā¤ ā pentru dobĆ¢nda compusÄ: = + + āā£ ā¦ . (1.28)
( ) t iS t iS D Demonstra Å£ ie: Pentru dobĆ¢nda simplÄ, cum = ā ā 00 ,, rezultÄ:
( )( ) ( )00 1 S t jt iS S ,ā ā ā ā + ā = 0 0
2
0 1 S t jit it jS =ā ā āā āā +( ) 01
Åi=ā +ā ā t ji j , deci
t j
ji
ā +=
1.
30
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 27/49
( ) ( )00 1,, S iS t iS t ā+ā =Pentru dobĆ¢nda compusÄ, 0 D
( ){
, implicÄ
} ( )0 0 01 1 1t t
S S i j S ā” ā¤ā ā + ā ā + =ā£ ā¦ ( ),( )t
j
1t i
+=+ā
112 ( )( )
1
2 1 1t t j
āi, deci ā + ā .ā =
Ćn modalitÄÅ£ile de platÄ a dobĆ¢nzii descrise mai sus, sumele iniÅ£iale Åi finaleefective au fost diferite, respectiv, la plata anticipatÄ DS ā0 Åi S 0, iar la plata
posticipatÄ S 0 Åi DS +0 . SÄ consider Äm Åi cazul cĆ¢nd, Ć®n ambele modalitÄÅ£i de
platÄ, sumele efective sunt aceleaÅi, deci, Ć®n cazul dobĆ¢nzii anticipate (achitatÄ anticipat) se Ć®mprumutÄ suma DS S f ā=0 Åi se ramburseazÄ suma S f , iar Ć®n
cazul dobĆ¢nzii posticipate (achitatÄ posticipat) se Ć®mprumutÄ suma S 0 Åi se ram- burseazÄ suma DS S f = +0
( )
. AÅadar, Ć®n cazul plÄÅ£ii posticipate, rata dobĆ¢nzii
(dobĆ¢nda unitar Ä posticipatÄ) este 0,0 S
D
t d jt == , iar Ć®n cazul plÄÅ£ii anticipate
a dobĆ¢nzii, scontul unitar (rata de scont) este f
t S
D= ( )t f jS S +ā =r . Cum 10 ,
rezultÄ t
t
jt
jr
+=
1
jt
. Pentru regimul de dobĆ¢ndÄ simplÄ, cu dobĆ¢nda unitar Ä
anualÄ posticipatÄ j, avem t j ā = Åi
( ) t j
t j
t j
t
ā +
ā =
ā S
jS r t
+ā
ā ā =
10
0
1t ir t ā =
. ConsiderĆ¢nd
(deci i este dobĆ¢nda unitar Ä anualÄ anticipatÄ), rezultÄ t j
ji
ā +=
1,
adicÄ am regÄsit Åi Ć®n aceastÄ situaÅ£ie relaÅ£ia (1.27). Pentru regimul de dobĆ¢ndÄ compusÄ avem:
( )( ) 1āt 1
11
0
0
0
+=ā+ā
==t
t jS
jS
S
D j Åi
f
t S
Dr ==
( )t j+
ā1
11 .
(ConsiderĆ¢nd ) 11 ā+=
t
t ir
), unde i este dobĆ¢nda unitar Ä anualÄ anticipatÄ,
rezultÄ ( )(1
2 1 1t
t i j ā
= ā + ā , adicÄ regÄsim relaÅ£ia (1.28).
1.5. Operaţiuni de scont
1.5.1. Definire
31
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 28/49
Ćn general, operaÅ£iunea de scont (sau scontare) constÄ din cumpÄrarea decÄtre unele bÄnci (de regulÄ bÄncile comerciale) a unor efecte de comer Å£ sau poliÅ£e (hĆ¢rtii de valoare, chitanÅ£e, certificate de depozit la purtÄtor, conosa-mente, scrisori de tr Äsur Ä, trate, bilete la ordin, scrisori de garanÅ£ie bancar Ä ā pescurt efecte, poliÅ£e etc.) cu reÅ£inerea din valoarea lor nominalÄ a dobĆ¢nzii pĆ¢nÄ
la scadenÅ£Ä Åi a unui comision (pe scurt, costul scontÄrii sau taxa de scont).Uneori, banca scontatoare vinde poliÅ£a unei alte bÄnci comerciale sau
bÄncii centrale Ć®nainte de scadenÅ£Ä, operaÅ£iune numitÄ rescontare. Ćn practica bancar Ä romĆ¢neascÄ, avem:
1. opera Å£ iunea de scontare ce presupune cumpÄrarea de cÄtre o bancÄ aunor titluri de creanÅ£Ä pe termen scurt (maximum 90 de zile);
2. opera Å£ iunea de forfetare ce presupune cumpÄrarea de cÄtre bancÄ (forfetor) a creanÅ£elor Ć®n valutÄ ale exportatorului Ć®nainte de ajungerea acestora
la scadenÅ£Ä.SÄ presupunem cÄ un partener de afaceri P1 la un moment dat Īø0 (pentru
simplificare vom considera cÄ Īø0 = 0) beneficiazÄ de un serviciu Ć®n valoare deS 0 u.m. (poate fi chiar un Ć®mprumut) din partea partenerului P2. DacÄ P1 estecreditat de banca B el emite un document financiar prin care banca va plÄti luiP2 la o datÄ suma S 0Īø > Īø 0 plus dobĆ¢nda aferentÄ calculatÄ cu un procent anual
, vom nota aceastÄ sumÄ ce urmeazÄ a fi primitÄ de Pi p ā = 100
(
2 cu
) K 0 , , K S p= Īø1
. DacÄ, din diverse motive, P2 vrea sÄ Ć®ncaseze contravaloarea poliÅ£ei la momentul Īø < Īø 1t , deci Ć®nainte de scadenÅ£Ä cu = Īø ā Īø ani, el se va
adresa pentru scontare unei bÄnci comerciale de la care va Ć®ncasa pe poliÅ£Ä suma K a numitÄ valoare scontat Ä , capital scontat sau valoarea actual Ä a po-
li Å£ ei la momentul scontÄrii. Vom nota cu ( )1 1 0 , , K K S p 1= Īø
1 0
valoarea finalÄ a
sumei iniÅ£iale S 0 plasatÄ cu procentul anual p, pe durata Īø ā Īø , K 1 este valoa-
rea nominalÄ a poliÅ£ei la momentul scontÄrii. S 0 se numeÅte Åi pre Å£ sau valoare
de emisiune a poliÅ£ei, iar K se numeÅte valoare final Ä a operaÅ£iunii, valoarenominal Ä la scaden Å£Ä a poliÅ£ei sau capital disponibil la scaden Å£Ä.
Defini Å£ ia 1.20: DiferenÅ£a a K K S ā= se numeÅte taxÄ de scont sau scont.
S K K aDin +=
jq ā = 100
putem sÄ interpretÄm scontul ca fiind dobĆ¢nda aferentÄ
valorii scontate pe durata r ÄmasÄ pĆ¢nÄ la scadenÅ£Ä, cu un procent anual, notat, numit procent de scont . Cum scontul revine bÄncii scontatoare,
aceasta cautÄ sÄ-l mÄreascÄ prin perceperea unor comisioane, taxe pe comisi-oane, alte taxe (fixe sau variabile) Åi chiar mÄrind perioada pĆ¢nÄ la scadenÅ£Ä
32
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 29/49
prin adÄugarea unor zile de bancÄ. Suma astfel obÅ£inutÄ se numeÅte taxÄ de
scont modificat Ä total Ä sau agio.SÄ menÅ£ionÄm cÄ, Ć®n cazul achitÄrii datoriilor Ć®nainte de scadenÅ£Ä, uneori se
foloseÅte scontul ca avĆ¢nd semnificaÅ£ia unei prime acordate debitorului, princare se diminueazÄ datoria nominalÄ K .
1.5.2. Scont simplu
DacÄ dobĆ¢nda aferentÄ capitalului scontat K a se calculeazÄ Ć®n regim dedobĆ¢ndÄ simplÄ, atunci spunem cÄ avem o operaÅ£iune de scont simplu. Ćn acestcaz, scontul calculat se numeÅte scont simplu ra Å£ ional , va fi notat S sr . Deci:
S K j sr a
= ā ā t , (1.29)
1 K K K K j t K a a a
j t = + ā ā ā = + ā . (1.30)
RezultÄ:1
K j t S sr
j t
ā ā =
+ ā . (1.31)
DacÄ pe durata 1t = Īøā Īø procentul de scont este variabil, deci t ,
iar pe durata t
ā=
=n
e
et 1
ee jqe se opereazÄ cu procentul anual de scont ā 100 , atunci:=
1
n
sr a e
e
S K j t =
= ā ā ā e (1.32)
1
1a n
e e
e
K K
j t =
=+ ā ā
(1.33) Åi 1
n
e e
e sr n
K j
S
1
1 e e
e
t ā
j t
=
=
ā =
+ ā
ā
āt
. (1.34)
j ā (adicÄ 1 1+ ā ā NeglijĆ¢nd Ć®n (1.31) termenul t j
t
) obÅ£inem o aproximarea scontului raÅ£ional numitÄ scont simplu comercial , notat S sc. RezultÄ:
(1.35), caz Ć®n care scS K j= ā ā ( )t j K S K K sca = ā = ā ā ā 1 .
scS sr S
SÄ observÄm cÄ < Åi cÄ scontul simplu comercial nu poate fi
calculat pentru 1ā„ā t j (am obÅ£ine a K 0).ā¤
1.5.3. Scont compus
DacÄ dobĆ¢nda aferentÄ capitalului scontat K a este evaluatÄ Ć®n regim de
dobĆ¢ndÄ compusÄ, atunci vom spune cÄ avem o operaÅ£iune de scont compus,iar scontul calculat Ć®l vom numi scont compus ra Å£ ional , notat S cr .
33
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 30/49
Deci . (1.36)( )1 t
cr a aS K j K = ā + ā
RezultÄ ,( )1 t
a K K j= ā +( )1
t
a t
K K K v
j= = ā
+
( )1
t
cr S K v= ā ā
(1.37)
Åi (1.38),unde
j+1v =
1
1=t 1
se numeÅte factor de scont sau factor de actualizare.
=Pentru an Åi K u.m. se obÅ£ine scontul unitar sau unitatea de scont
(notatÄ cu d sau cu r ): r j
jvd =
+=ā=
11 . DezvoltĆ¢nd Ć®n serie MacLaurin
funcţia obţinem:( ) ( j = 1 )t j f +
( ) ( ) ( ) ( ) ++āāā +ā ā ā +āā +2
t j jt +=+!
11!2
111n
nt t t jt jn
t
2ā„n
( NeglijĆ¢nd termenii cu jn , obÅ£inem ) t j j
t ā +ā+ 11 Åi o aproximarea scontului compus raÅ£ional numitÄ scont compus comercial , notat S cc:
11
1 1ccS K K j t ā ā ā ā j t j t
= ā ā =ā ā+ ā +ā ā ā . (1.39)
Deci1a cc
K K K S
j t = ā =
+ ā . (1.40)
Observa Å£ ie: Regimul de scont comercial nu este scindabil. Ćntr-adevÄr, pentru scontul simplu comercial, factorul de fructificare pe [ x, y] este:
( )( ) x y j
y x Aāā ā
=1
1, ,
( ) ( ) ( ) z x A z y A ycare nu verificÄ relaÅ£ia , deoarece z y x x A ,
( ) ( )
<ā=ā ,,, <
=ā z y A y x A ,, ( )( ) ( ) ( ) =ā y
1
ā āā +āā āāā ā z x y j y z j x y j 21
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 1,
1 1 x z
j y x z y j z x= ā =
ā + ā ā ā ā ā ā ā
( ) y x A
. j z xā ā
Pentru scontul compus comercial, factorul de fructificare pe [ x, y] este( ) x y j āā + y z << , avem:deci, pentru= 1,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =āā āā +āā +āā +=ā y z x y j y z j x y j z y A y x A21,,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 , j z x j y j z x A x z = + ā ā + ā ā + ā ā = x z yā ā ā .
1.5.4. Procentul real de scont Åi procentul de revenire
34
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 31/49
al operaţiunii de scont
Defini Å£ ia 1.21: Se numeÅte procent real de scont procentul anual q1 careverificÄ relaÅ£ia:
Agio ā Taxa pe comisionul fix = t
q
K ā ā 1001
1= Īø ā Īø,
unde t este durata pĆ¢nÄ la scadenÅ£Ä.
Defini Å£ ia 1.22: Se numeÅte procent de revenire (sau procentul efectiv) aloperaÅ£iunii de scont, procentul anual q2 care verificÄ relaÅ£ia:
Agio ā Taxa pe comisionul fix = t q
a K ā ā 100
2
1 2,Īø Īø
1 2~
S
A A
1 2~ A A
.
1.5.5. OperaÅ£iuni echivalente Ć®n regim de scont
Se consider Ä douÄ operaÅ£iuni de scont, notate cu A1 Åi A2, corespunzĆ¢ndcapitalurilor nominale la scadenÅ£Ä K 1, K 2 cu procentele de scont q1, q2 Åi descadenÅ£e .
Defini Å£ ia 1.23: OperaÅ£iunile A1 Åi A2 sunt echivalente Ć®n regim de scont dacÄ,
la o datÄ comunÄ de scontare t , au aceeaÅi valoare scontatÄ; notÄm .Deci Ć®nseamnÄ:
S
1. Ć®n regimul de scont simplu raÅ£ional:22
2
11
1
11 t j
K
t j
K
ā +=
ā +;
( ) ( )222111 1 t K t j K 1 j ā āā 2. Ć®n regimul de scont simplu comercial: ;ā ā ā =
( ) ( ) 22
2
11
1
11 t j
K t
j
K
+=
+3. Ć®n regimul de scont compus raÅ£ional: ;
4. Ć®n regimul de scont compus comercial:2211 11 t jt j ā +
=ā +
21 K K
1 1t t = Īø ā 2 2t t
,
unde Åi Īø ā .=DacÄ avem douÄ grupuri de operaÅ£iuni de scont atunci ele sunt echivalente
dacÄ, pentru aceeaÅi datÄ comunÄ de scontare, au aceeaÅi valoare scontatÄ totalÄ.
1.6. Exemple de calcul
35
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 32/49
Pentru simplificare vom conveni ca atunci cĆ¢nd nu se specificÄ altfel:ā pentru durate de timp sub un an sÄ folosim dobĆ¢nda simplÄ, iar pentru
durate peste un an sÄ folosim dobĆ¢nda compusÄ;ā vom folosi procedura germanÄ de calcul (anul bancar = 360 zile; luna
bancar Ä = 30 zile);
ā ziua depunerii banilor intr Ä Ć®n calculul dobĆ¢nzii, iar ziua retragerii lor nuse ia Ć®n calcul.
1. Cu ce procent anual trebuie plasatÄ suma de 1500 u.m. pe durata de10 luni, Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ simplÄ, pentru a obÅ£ine suma finalÄ de 1600 u.m.
Solu Å£ ie: Avem ( )t iS S f ā +ā = 10 ,
%8,08,012
10115001600 ==āā
ā
āāā
ā ā +ā = pii
( )
.
2. O persoanÄ depune la o bancÄ suma de 4000 u.m. la data de 1 martie Åisuma de 6000 u.m. la data de 16 aprilie. ConsiderĆ¢nd cÄ procentul anual utilizateste de 8% , sÄ se determine suma revenitÄ deponentului la data de 11 octom- brie a aceluiaÅi an.
Solu Å£ ie: Avem( )ā + ā + ā +ā = 2211 11 t iS t iS S f =
220 1751 0,08 10428,89 u.m.
360
ā ā ā āā + ā =ā ā
ā ā
( )
4000 1 0,08 6000
360
= ā + ā +ā ā
ā ā
3. Cu suma de 18000 u.m., o persoanÄ constituie la o bancÄ un depozit petermen de 3 luni. Åtiind cÄ, iniÅ£ial procentul anual oferit de bancÄ a fost de14%, iar dupÄ o lunÄ a fost modificat la 7%, sÄ se determine suma revenitÄ deponentului la data scadenÅ£ei.
Solu ţ ie: Avem
0 1 1 2 2
1 21 18000 1 0,14 0,07 18420 u.m.
12 12 f S S i t i t ā ā= ā + ā + ā = ā + ā + ā =ā ā
ā ā
4. O persoanÄ depune Ć®n data de 1 iulie 1997 la o bancÄ, Ć®ntr-un depozit petermen de 3 luni, suma de patru milioane lei. Ćn contractul de depozit se prevede cÄ nivelul dobĆ¢nzilor se modificÄ de cÄtre bancÄ Ć®n funcÅ£ie de evoluÅ£iadobĆ¢nzii pe piaÅ£a interbancar Ä. ConsiderĆ¢nd cÄ la formarea depozituluidobĆ¢nda era de 80% pe an, cÄ de la 15 august 1997 banca a modificat procentulanual la 60% Åi de la 1 septembrie 1997 a trecut la procentul anual de 50% ÅiÅtiind cÄ dobĆ¢nda este la termen (adicÄ nu se vireazÄ lunar Ć®ntr-un cont dedisponibilitÄÅ£i la vedere), sÄ se determine suma revenitÄ deponentului lascadenÅ£Ä. Se va utiliza procedura englezÄ de calcul.
36
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 33/49
Solu ţ ie: Avem S 0 = 4 000 000, i1 = 0,8, i2 = 0,6, i3 = 0,5, t 1 = 45 zile,
t 2 = 17 zile, t 3 = 30 zile. RezultÄ āāā ā
āāāā
ā ā +ā = ā
=
3
10 365
1 j
j
j
t iS S 4 670 685 lei.
5. O persoanÄ plaseazÄ, cu acelaÅi procent, trei sume egale pe duratele de
120, 150 Åi, respectiv, 180 de zile. Åtiind cÄ dobĆ¢nda cuvenitÄ reprezintÄ otreime din capitalul plasat, sÄ se determine procentul utilizat.
i p Solu Å£ ie: Fie = ā 100 procentul plasamentelor Åi 3S capitalul plasat.
Avem 8,0450
360
360
180150
360
120==ā=ā ā +ā ā iS iS iS
360 +ā ā iS Åi p = 80%.
6. O persoanÄ a luat de la o bancÄ trei credite: Ć®n data de 20 martie uncredit de 11500 u.m., cu un procent anual de 16%, pentru durata de 5 luni; Ć®n
data de 15 mai un credit de 13800 u.m. pentru durata de 4 luni cu un procentanual de 18% Åi Ć®n data de 1 iunie un credit de 16000 u.m. pe 2 luni cu un procent anual de 20%. De comun acord cu banca, debitorul Ć®Åi achitÄ datoria ladata de 16 iulie printr-o singur Ä platÄ echivalentÄ. UtilizĆ¢nd procedura englezÄ de calcul, sÄ se determine suma achitatÄ de debitor dacÄ:
a) aceasta reprezintÄ chiar datoria la momentul respectiv; b) echivalenÅ£a este definitÄ Ć®n raport cu valoarea actualÄ calculatÄ cu
procentul unic Ć®nlocuitor de 17%;c) echivalenÅ£a este definitÄ Ć®n raport cu dobĆ¢nda calculatÄ cu procentul unic
Ć®nlocuitor de 17% pe durata datÄ de scadenÅ£a medie Ć®nlocuitoare. Solu Å£ ie: Avem S 1 = 11 500, S 1 = 13 800, S 3 = 16 000, i1 = 0,16, i2 = 0,18,
i3 = 0,20, 1 2 3
153 123 61, ,
365 365 365t t t = = = ;
a) =ā ā
āāā
ā ā ++ā ā
āāā
ā ā +=365
452,0116000
365
6218,01S +ā
ā
āāā
ā ā + 13800365
11816,0111500
= 42 711,31 u.m.
b)1 365ā ā
15311500 1 0,16 12 271,288 f S ā ā= ā + ā =ā ā ,
2
12313 800 1 0,18 14 637,074
365 f S ā ā= ā + ā =ā ā
ā ā ,
3
6116 000 1 0,2 16 534,795
365 f S ā ā= ā + ā =ā ā
ā ā ,
3
1
12 271,288 14
351 0,17 1 0,17 1 0,
f k
k f k
S
S t == =+ ā + ā ā
637,074
6117365 365
+ ++ ā
37
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 34/49
16 534,79516
1 0,17365
++ ā
= 42719,65 u.m.
c) ScadenÅ£a medie Ć®nlocuitoare este3651043
1
3
1 āā
ā ā
=ā
ā
=
=
k
k k
k
k k k
iS
t iS
t ani.
Din , rezultÄ 3
1k k k
k
S i t S i t =
ā ā = ā ā ā
3
1 782 25244245
0,17 104
k k k
k
S i t
S i t
== = āā ā
ā
1
u.m.
4424515,4344332 <=++ f f S S AnalizĆ¢nd acest rezultat ( f S
( )
), constatÄm
cÄ definirea echivalenÅ£ei operaÅ£iunilor financiare Ć®n cazul regimului dobĆ¢nziisimple, prin egalitatea dobĆ¢nzilor produse, este āpur teoreticÄā, valabilitate practicÄ avĆ¢nd definiÅ£ia bazatÄ pe valoarea actualÄ.
7. Un om de afaceri a primit de la o bancÄ trei credite:āŗ la data de 1 februarie, un credit de 160 000 u.m. scadent la data de 1 septem-
brie (acelaÅi an);āŗ la data de 16 martie, un credit de 130 000 u.m. scadent la data de 1 august:āŗ la data de 1 mai, un credit de 200 000 u.m. scadent la data de 1 octombrie.
De comun acord cu banca, debitorul stabileÅte lichidarea datoriei printr-o platÄ unicÄ efectuatÄ la data de 1 iulie. Åtiind cÄ banca a utilizat pĆ¢nÄ la 1 iunie procentul anual de 20% Åi apoi procentul anual de 16%, sÄ se determinemÄrimea plÄÅ£ii efectuate de cÄtre debitor dacÄ:
a) achitÄ exact suma datoratÄ la data efectuÄrii plÄÅ£ii; b) achitÄ o sumÄ echivalentÄ Ć®n sensul valorii actuale a datoriilor la
scadenÅ£Ä;c) achitÄ suma datoratÄ la data efectuÄrii plÄÅ£ii, calculatÄ pe baza procen-
tului mediu convenit cu banca. Solu ţ ie:
a)3
1 1 2 21
4 11 160 000 1 0,2 0,16
12 12k k k
k
S S i t i t =
ā ā= ā + ā + ā = ā + ā + ā +ā āā ā
ā
75 1 1 1
12ā ā ā āā =ā
ā 130 000 1 0,2 0,16 200 000 1 0, 2 0,16
360 12 12+ ā + ā + ā + ā + ā +ā ā ā
ā ā ā
= 515 950 u.m.
1
4 3160 000 1 0, 2 0,16 177 066,667
12 12 f
S ā ā= ā + ā + ā =
ā āā ā b) u.m.;
38
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 35/49
2
75 3130 000 1 0, 2 0,16 140 616,667
360 12 f S ā ā= ā + ā + ā =ā ā
ā ā u.m.;
3
1 3200 000 1 0,2 0,16 211333,333
12 12 f S ā ā= ā + ā + ā =ā ā
ā ā u.m.;
3
1 2
177 066,667 140 616,667 211333,3332 11 1 0,16 1 0,16 1 0,16
12 12 12
f k
a
k k
S S
i t =
= = + ++ ā + ā + ā + ā
ā 3 =
= 514 439,11 u.m.
c) Consider Äm procentul mediu %182
1620=
+= p . Obţinem:
( )3
1
51 160 000 1 0,18
12
k k
k
S S i t
=
ā ā= ā + ā = ā + ā ā āā ā
ā +
105 2130 000 1 0,18 200 000 1 0,18 514 825
360 12ā ā ā ā+ ā + ā + ā + ā =ā ā ā āā ā ā ā
u.m.
8. Un om de afaceri are de efectuat cÄtre un partener urmÄtoarele plÄÅ£i: 35 demilioane la 10 septembrie, 42 de milioane la 1 octombrie, 68 de milioane la15 octombrie Åi 110 milioane la 15 noiembrie acelaÅi an. De comun acord, ceidoi hotÄr Äsc sÄ se facÄ o singur Ä platÄ la 10 octombrie, care sÄ echivaleze Ć®nraport cu valoarea actualÄ pentru un procent anual de 45% sumele menÅ£ionate.
SÄ se determine mÄrimea plÄÅ£ii efectuate considerĆ¢nd:a) procedura englezÄ de calcul; b) procedura germanÄ de calcul.
Solu Å£ ie: Fie S suma cerutÄ.
( ) ( )a) Avem 3 41 1 2 2
3 4
1 11 1
S S S S i t S i t
i t i t = ā + ā + ā + ā + + =
+ ā + ā
66 630 9 68 10
35 10 1 0,45 42 10 1 0, 455365 365
ā ā ā ā ā= ā ā + ā + ā ā + ā + +ā ā ā āā ā ā ā 1 0,45
365+ ā
6110 1036
ā + ā
1 0, 45365
+ ā 251669227 u.m.;
b) +ā ā
āāā ā +ā ā +ā
āāā ā +ā ā =
945,011042
3045,011035 66S
ā ā ā 360360
6 6
68 10 110 10 2517518615 35
1 0, 45 1 0, 45ā ā + + =
+ ā + ā u.m.
360 360
39
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 36/49
9. O persoanÄ depune spre fructificare la o bancÄ suma de 400 000 u.m. ladata de 1 martie, suma de 600 000 u.m. la data de 16 aprilie, suma de 650 000 u.m.la 1 iunie Åi suma de 800 000 u.m. la 11 iulie (acelaÅi an). Åtiind cÄ banca a uti-lizat urmÄtoarele procente anuale de dobĆ¢ndÄ: de la 1 martie 46%, de la 1 mai42%, de la 16 iunie 51%, de la 1 august 55% Åi Åtiind cÄ la scadenÅ£Ä persoana
respectivÄ dispune de suma de 2966345 u.m., considerĆ¢nd procedura englezÄ de calcul, sÄ se determine data scadenÅ£ei.
Solu Å£ ie: Fie t numÄrul de zile de la 1 august la data scadenÅ£ei. Avem:
646 15 312 450 000 400 000 0,46 10 0,46 0, 42
365 365 365ā ā+ ā ā + ā ā + ā +ā āā ā
15 25ā ā1650 000 0,42 0,51
365 365+ ā ā + ā +ā ā
ā ā
21 2966345t ā ā =
76=
2 450 000 0,51 0,55365 365+ ā ā + ā ā ā
ā ā .
RezultÄ t , deci data scadenÅ£ei este 16 octombrie.
10. Un investitor dispune de suma de 1 200 000 de dolari SUA, cu careachiziÅ£ioneazÄ titluri de stat de cĆ¢te un milion lei (ROL) pe trei luni cu procentul anual de 56%.
a) DacÄ la data vĆ¢nzÄrii titlurilor cursul de schimb este de 9 600 lei/$,determinaÅ£i cursul de schimb la data scadenÅ£ei titlurilor astfel Ć®ncĆ¢t sÄ se obÅ£inÄ
un cĆ¢Åtig de 92 853 $. b) DacÄ la data scadenÅ£ei titlurilor, cursul de schimb este de 10 830 lei/$ Åi
investitorul a obÅ£inut un cĆ¢Åtig de 102 000 $, determinaÅ£i cursul la care acumpÄrat lei pentru a achiziÅ£iona titluri.
c) Ce procent anual ar trebui utilizat pentru a avea cĆ¢Åtigul de la punctul a)din plasarea dolarilor Ć®ntr-un depozit bancar.
Solu Å£ ie: a) NumÄrul titlurilor de stat achiziÅ£ionate este:61, 2 10 9600
115201 000 000n
ā” ā¤ā ā = =ā¢ ā„ā£ ā¦ .
DacÄ x lei/$ este cursul de schimb la scadenÅ£Ä, avem:
6
6
110 1 0,56
41,2 10
ā āā ā + ā ā āā ā = ā
1152092853
x+ ,
de unde obÅ£inem x = 10 158 lei/$. b) Fie y cursul de schimb (lei/$) la momentul achiziÅ£ionÄrii titlurilor, deci
numÄrul titlurilor achiziÅ£ionate de investitor este n = [1,2, y], unde [Ī±] este partea Ć®ntreagÄ a numÄrului real Ī±. Avem
40
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 37/49
6 6110 1 0,56 1,2 10 102 000
4n
ā āā ā + ā = ā +ā āā ā
.
RezultÄ n = 12 369, deci [1,2, y] = 12 369 ā 10 307,5 ā¤ y ā¤ 10 308,33,aÅadar y = 10 308 lei/$.
c) Avem 31 200 000 92 853 0,309512
i iā ā = ā = , aÅadar un procent al
plasamentului Ʈn dolari de 30,95%.
11. La data de 1 mai o persoanÄ dispune de suma de 24 000 $, pe care Ć®itransformÄ Ć®n lei la cursul de 8 850 lei/$ Åi Ć®i plaseazÄ Ć®ntr-un depozit pe termende 6 luni cu dobĆ¢nda la deschidere de 48% pe an. Åtiind cÄ banca a efectuaturmÄtoarele schimbÄri ale procentului de dobĆ¢ndÄ: 44% de la 15 august Åi 54%de la 11 septembrie, sÄ se precizeze sumele Ć®n lei Åi valutÄ de care dispune
persoana respectivÄ la data scadenÅ£ei (1 noiembrie), cĆ¢nd cursul de schimb estede 10 100 lei/$. CunoscĆ¢nd cÄ la depozitele Ć®n dolari, banca a acordat pĆ¢nÄ ladata de 10 septembrie, inclusiv, un procent anual de 6,5%, iar apoi un procentanual de 8%, sÄ se afle dacÄ persoana respectivÄ a ieÅit Ć®n pierdere sau Ć®n cĆ¢Åtig.
Solu Å£ ie: Suma finalÄ Ć®n lei este:
104 26 5024 000 8 850 1 0,48 0, 44 0,54
360 360 360 f l S ā ā= ā ā + ā + ā + ā =ā ā
ā ā
= 264 532 400 lei,26191
10100 f l
d
S S = āsuma Ć®n dolari $.
Ćn cazul plasamentului Ć®n dolari, obÅ£inem:130 50
0,08 24 830360 360
S ā āā + ā =ā ā
ā ā 24 000 1 0,065 f d = ā + $,
1361=ā d f d S S $.deci a ieÅit Ć®n cĆ¢Åtig cu
12. O persoanÄ a depus la o bancÄ, Ć®n urmÄ cu 4 ani, suma de 35 000 u.m.Åtiind cÄ Ć®n primii trei ani, banca a utilizat procentul anual de dobĆ¢ndÄ de 12%,iar Ć®n ultimul an procentul de 7%, sÄ se determine suma revenitÄ depunÄtoruluidacÄ acesta Åi-ar scoate banii.
Solu ţ ie:
( ) ( ) ( ) ( ) =+ā +ā =+ā +ā = 07,0112,013500011 322
110
t t
f iiS S 52 614,55 u.m.
13. SÄ se demonstreze cÄ, pentru fructificarea sumelor, soluÅ£ia raÅ£ionalÄ
este mai convenabilÄ decĆ¢t soluÅ£ia comercialÄ.
41
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 38/49
Solu Å£ ie: Avem de ar Ätat cÄ ( ) ( )0 01 1 1 mt n nm m
t S i i S i
m
+ā āā + ā + ā > ā +ā āā ā
, unde
qān* Ā¾ {1}, t m ā {1, 2, ... , m ā 1}. NotÄm ( )1,0ā=
m
t x m
( )
Åi consider Äm
funcÅ£ia ( ) xi xi x f +āā += 11 .
( )Avem ( ) ( ) ( )iii x f
x +ā +ā= 1ln1' , ( )( )i
i x f
+=
1ln0' 0
i
x +
=ā1ln
ln
ConsiderĆ¢nd ( ) ( )ln 1 g i i iā + ( ), ob'inem=1
' 1 01 1
i g i
i i= ā = >
+ +
( ) ( )( )
, deci g
este crescÄtoare Åi
( ) 01 0 x> ā >0 0 ln 1ln 1
i g i g i ii
> = ā > + ā+
. (a)
( ) ( ) ( ) iiii g ā+ā += 1ln1 , rezultÄ>ConsiderĆ¢nd
( ) ( ) ( ) ( ) 01
1ln' >++= ii g 1ln11
1 =ā+
ā ++i
ii ( ) ( ) 0,0 >ā> i g i g ., deci
ObÅ£inem ( ) ( ) 01ln1 >ā+ā + iii ,( )
ii
i+<
+1
1ln, deci x0 < 1. (b)
AÅadar, pentru f avem urmÄtorul tabel de variaÅ£ie:
x 0 x 0 1
f ā²( x) + + + + + 0 ā ā ā ā ā ā
f ( x) f ( x0)
0 0
AÅadar ( )( ) ( )1,0,0 āā> x x f Åi pentru 1 1m m mt t t
i im m m= ā + ā > + .
14. Cu cĆ¢Å£iva ani Ć®n urmÄ, o persoanÄ a depus la o bancÄ suma de 6,7 mi-lioane u.m., astÄzi revenindu-i suma de 40 270 066 u.m. Åtiind cÄ Ć®n primii ani banca a utilizat pentru dobĆ¢ndÄ procentul anual de 48%, iar Ć®n ultimii trei ani procentul anual de 40%, sÄ se determine durata plasamentului.
Solu Å£ ie: Avem , de unde rezultÄ:3 36 700 000 1, 48 1, 4 40 270 066nāā ā =
5
48,1ln
1904,2ln3 =+=n ani.
15. Suma de douÄ milioane u.m. a fost plasatÄ Ć®n urmÄ cu trei ani Ć®n regimde dobĆ¢ndÄ compusÄ, cu calcularea trimestrialÄ a dobĆ¢nzilor, iar astÄzi capi-
42
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 39/49
talul acumulat este de 6 097 250 u.m. SÄ se determine procentul anual efectiv Åi procentul anual nominal cu care s-a f Äcut plasamentul. DacÄ dobĆ¢nzile s-ar ficapitalizat lunar, ce procent anual nominal ar fi fost folosit.
Solu Å£ ie: Fie i p ā = 100 procentul anual efectiv Åi mm jq = ā 100
12=m
procentul
anual nominal utilizat la divizarea anului Ć®n m pÄr Å£i (m = 4 pentru trimestru, pentru lunÄ). Avem i
j m
m +=ā ā
āā
+ 11m ā ā
, deci12
6 41 64
jā āā +ā āā ā
2 10 097 250=
%9,38,389,0 44
,
obÅ£inem =ā q j ,45,0, %45= = pi .
Analog36
jā āā + =ā ā
( )
6 122 10 1 6 097 25012ā ā
, implicÄ
,377,01112 12
1
12 āā āāā ā+ā = i j %7,3712 ā ā . =q
412 qq
.
ObservÄm cÄ < , deci procentul nominal scade cĆ¢nd durata fracÅ£iunii de
timp scade .( )nmqm ><
( )
qn pentru
16. Se consider Ä dobĆ¢nda instantanee0,02
0,08t +1t
Ī“ =+
.
SÄ se determine:a) valoarea acumulat
Ä la momentul
6=t a unei investi
Å£ii de un milion de
u.m. f ÄcutÄ la momentul 0=t ; b) valoarea actualÄ la momentul t
82= a unei investiţii de un milion de u.m.
f ÄcutÄ la momentul =t .
Solu Å£ ie: NotÄm cu factorul de acumulare (pentru t )
sau de actualizare (pentru ), cu S
( )1 2, t A t t eā«= 21 t <
( )
( )2
1
t t dt Ī“
21 t t > f valoarea acumulatÄ Åi cu S 0 valoareaactualÄ. Avem:
6
06 6 ā«0,02
0,086 0,48 0,02 ln 7110 0, 6 10 10 1680 209
dt t
f S A e e
ā ā+ā ā + ā +ā ā = ā = ā = ā āa) u.m.
( )8
2
0,020,08
6 6 610 0,02 0,48
110 8, 2 10 10 605 336
3
dt t S A e
e
ā āā +ā ā+ā ā ā«= ā = ā = ā ā
ā u.m. b)
(17. Fie dobĆ¢nda instantanee Åi( )t Ī“ )t S
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0t
x dx
S x x dx S e S t S Ī“ā āā«ā Ī“ ā = ā ā = āā āā«
suma (capitalul) la momentul t .
SÄ se arate cÄ:( )
0
0
t
ā ā
(deci, douÄ formule echivalente pentru calculul dobĆ¢nzii). Solu Å£ ie: Avem
43
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 40/49
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )0 0 0
' 't t t a x S x S S x x dx S x dx S x dx
a x S x S xā Ī“ ā = ā ā = ā ā =ā« ā« ā«
0
( )
( ) ( )0t
S x S t S = = ā
( )
0
Åi ( ) ( )
( ) ( )000 1 0
x dx a xS e S e
Ī“ ā«ā āā« ā āā ā = ā āā ā ā āā ā ā ā
'
1t t a x dxā ā
=
( )
( ) ( )
(( ) ( )( ) ( )
)
( ) ( ) ( )0ln
0 1 0 1 0 10 0
a xS e S S S t S
a S = ā ā = ā ā = ā ā = āā ā ā āā ā ā ā
ā ā ā ā 0
t a t S t ā ā ā ā
3 3 2 3 310 000 1,12 1, 08 25 000 1,12 1, 08 30 000 1,12 1,08S = ā ā + ā ā + ā ā +240 000 1, 08 146 185+ ā ā
18. a) Se consider Ä urmÄtoarele sume depuse pentru fructificare: 10 000 u.m. la data de 1 ianuarie 2000, 25 000 u.m. la data de 1 ianuarie 2001, 30 000 u.m. la data de 1 ianuarie 2002, 40 000 u.m. la data de 1 ianuarie 2004.
SÄ se determine valoarea acumulatÄ la 1 ianuarie 2006, considerĆ¢nd cÄ pĆ¢nÄ la finele anului 2002 rata dobĆ¢nzii a fost 0,12 iar dupÄ aceea a fost 0,08.
b) PrecizaÅ£i valoarea actualÄ la data de 1.01.2000 a sumelor depuse.c) DacÄ pe perioada 1.01.2000 ā 1.01.2006 rata anualÄ a dobĆ¢nzii ar fi 0,1,
sÄ se determine suma constantÄ care Ć®nlocuind sumele investite conduce la
acelaÅi capital acumulat. Se pÄstreazÄ echivalenÅ£a Åi Ć®n sensul valorii actuale la1.01.2000 Ć®n contextul menÅ£ionat?
Solu Å£ ie: a) DacÄ S f este valoarea acumulatÄ, atunci
f
u.m.
b) NotĆ¢nd cu S 0 valoarea actualÄ, avem: 0 10 000 25 0001,12
S 1
= + ā +
2 330 000 40 000 82 5991,12 1,08 1,12
+ ā + ā āā
1 1
6 5 4 21,1 1,1 1,1 1,1 146185S S S S ā + ā + ā + ā = 2,24138
u.m.
c) Fie S suma constantÄ Ć®nlocuitoare. Din ecuaÅ£ia:āS u.m., obÅ£inem
DacÄ T este suma constantÄ Ć®nlocuitoare echivalentÄ Ć®n sensul valoriiactuale cu sumele depuse, atunci avem ecuaÅ£ia:
2 482 599
1,1 1,1 1,1T T T T + ā + ā + ā =
1 1 1, Åi rezultÄ 24162,1T ā u.m.
Cum u.m., rezultÄ cÄ nu se pÄstreazÄ echivalenÅ£a, cauza fiind procentele diferite luate Ć®n calcul pentru valoarea acumulatÄ Åi valoarea actualÄ.
24āā S T
44
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 41/49
19. Un Ć®ntreprinzÄtor solicitÄ un Ć®mprumut de 250 milioane u.m. pentrudurata de 270 de zile. Oferta fiecÄrei bÄnci (au fost contactate patru) este:
B1 acordÄ creditul cu procentul de 19% dobĆ¢ndÄ pre-calculatÄ;B2 acordÄ creditul cu procentul de 22,6% dobĆ¢ndÄ post-calculatÄ;B3 solicitÄ la scadenÅ£Ä drept dobĆ¢ndÄ suma de 42,5 milioane u.m.;B4 drept dobĆ¢ndÄ, reÅ£ine din credit, la acordare, suma de 21 milioane u.m.
Åi mai solicitÄ, la scadenÅ£Ä, suma de 20,5 milioane u.m.SÄ se afle varianta aleasÄ, considerĆ¢nd cÄ Ć®ntreprinzÄtorul investeÅte Ć®ntr-o
afacere care Ć®i aduce un profit net de 25% din capitalul investit iniÅ£ial Åi cÄ aredrept unic criteriu maximizarea cĆ¢Åtigului sÄu net.
Solu ţ ie:
ā¢ Pentru oferta lui B1, avem:
āÆ capitalul investit (S ) este:
66600 10375,214
360
27019,01025010250 ā =ā ā ā āā =ā ā ā= t iS S S
=ā ā = t iS D 0
u.m.
āÆ cĆ¢Åtigul net (C ) este:=ā āā ā =āā = 66
0 1025010375,21425,125,1 S S C 17 968 750 u.m.
ā¢ Pentru oferta lui B2 avem: āÆ dobĆ¢nda pentru credit este:
6 270
250 10 0,226 42 375 000360ā ā ā = u.m.: āÆ cĆ¢Åtigul net este:
( ) 60 01,25C S = ā u.m.1, 25 250 10 292 375 000 20125 000S Dā + = ā ā ā =
ā¢ Pentru oferta B3, cĆ¢Åtigul net este:( ) =ā +āā = 6
00 105,4225,1 S S C
( )6 6 6,5 10 20 000 000= ā ā ā ā + ā =1, 25 250 10 250 10 42 u.m.
ā¢ La oferta B4, cĆ¢Åtigul net este:( ) ( ) =ā +āā āā = 60
60 105,20102125,1 S S C
( ) ( )6 61, 25 250 21 10 250 20,5 10 15 750 000= ā ā ā ā + ā = u.m.
Deci cĆ¢Åtigul maxim se obÅ£ine pentru oferta lui B2.
20. Un Ć®ntreprinzÄtor solicitÄ un Ć®mprumut de 60 000 u.m. pe durata de 300 dezile. PrimeÅte trei oferte:
O1: Ć®mprumut cu dobĆ¢ndÄ anticipatÄ calculatÄ cu procentul anual de 22%;O2: Ć®mprumut cu dobĆ¢ndÄ posticipatÄ calculatÄ cu procentul anual de 25%;O3: drept dobĆ¢ndÄ se reÅ£ine din Ć®mprumut suma de 4 000 u.m. Åi se mai
solicitÄ la scadenÅ£Ä suma de 8 400 u.m.SÄ se stabileascÄ oferta aleasÄ de Ć®ntreprinzÄtor.
45
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 42/49
Solu Å£ ie: Vom folosi transformÄrile echivalente ale dobĆ¢nzilor anticipate Åi posticipate. Astfel, procentul de dobĆ¢ndÄ posticipatÄ echivalent cu procentul dedobĆ¢ndÄ anticipatÄ %22100 11 =ā = i p este 11 100 jq ā = , unde
25,027,026938,0
30022,01
22,0
12
1
11 =>ā=
ā ā
=
ā ā
= j
t i
i j
360
,
deci O2 este mai bunÄ decĆ¢t O1.ā¢ La O2, dobĆ¢nda este:
12500360
30025,06000022 =ā ā =ā ā = t iS D
100 i p
u.m.
ā¢ Pentru O3, procentul 33 = ā pentru dobĆ¢nda anticipatÄ de 4 000 u.m.
este: 3
4 0000,0830060 000
360
D
i S t = = =ā ā , procentul echivalent de dobĆ¢ndÄ postici-
patÄ este: 085714,0=
360
30008,01
08,0
1 3
33
ā ā=
ā ā=
t i
i j .
DobĆ¢nda posticipatÄ cumulatÄ la O3 este
1268684003 ā= D
D D > 360
300085714,06000084003 +ā ā =+ā ā t jS u.m.
Cum , rezultÄ cÄ oferta O2 este cea mai bunÄ pentru
Ć®ntreprinzÄtor.23
21. Pentru cumpÄrarea unei case se stabileÅte sÄ se achite un avans de35 000 u.m. Åi sÄ se plÄteascÄ peste 2 ani suma de 49 680 u.m. ConsiderĆ¢nd cÄ Ć®n calcul s-a folosit un procent anual de 20%, sÄ se determine preÅ£ul cu care afost vĆ¢ndutÄ casa. PresupunĆ¢nd cÄ se utilizeazÄ acelaÅi procent anual de 20% ÅicÄ la a doua platÄ cumpÄr Ätorul va achita doar 30 000 u.m., urmĆ¢nd ca diferenÅ£a
sÄ o achite dupÄ Ć®ncÄ un an, sÄ se determine valoarea celei de-a treia plÄÅ£i. Solu Å£ ie: Fie V preÅ£ul de vĆ¢nzare al casei, de fapt āpreÅ£ul negociatā, deoa-
rece vĆ¢nzarea se face Ć®n urma unor plÄÅ£i efectuate la momente diferite de timp, plÄÅ£i echivalate valoric la momentul zero (momentul plÄÅ£ii avansului). Avem:
695002,1
14968035000
2 =ā +=V u.m.
Ćn al doilea caz, dacÄ S este cea de-a treia platÄ, avem relaÅ£ia:
32 2,12,1
300003500069500
S
++= ,
de unde rezultÄ 23616=S u.m.
46
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 43/49
( )49 680 3 000 1,2S AcelaÅi rezultat se obÅ£ine Åi dupÄ relaÅ£ia = ā ā
( ) 3,2,1,11 12,12 =+=+ k ii k k 12,0,2,0,25,0 321
ComentĆ¢nd asupra sintagmei āpreÅ£ de vĆ¢nzareā, sÄ observÄm cÄ putemvorbi de o āvĆ¢nzare Ć®n rateā a casei. De exemplu, Ć®n al doilea caz, se poatespune despre casÄ cÄ s-a vĆ¢ndut Ć®n rate pentru suma de:
35 000 + 30 000 + 23 616 = 88 616 u.m.22. O persoanÄ depune suma de 30 000 u.m. Ć®n regim de dobĆ¢ndÄ compusÄ
capitalizatÄ lunar.
a) SÄ se determine suma revenitÄ depunÄtorului dacÄ durata depunerii afost de 5 ani, iar banca a utilizat Ć®n primele 9 luni procentul anual de 25%, Ć®nurmÄtoarele 18 luni procentul anual de 20%, iar Ć®n restul perioadei procentulanual de 12%.
b) Cu ce procent anual constant ar fi trebuit efectuat plasamentul anterior
pentru a obÅ£ine aceeaÅi sumÄ finalÄ?c) Ćn condiÅ£iile punctului a), considerĆ¢nd cÄ dupÄ 2 ani depunÄtorul retragesuma de 10 000 u.m. Åi cu 6 luni Ć®nainte de scadenÅ£Ä finalÄ mai retrage 8 000 u.m.,sÄ se determine suma revenitÄ depunÄtorului la scadenÅ£a finalÄ.
Solu ţ ie: a) Vom folosi procentul lunar echivalent cu procentul anual
i
k i ,12
k , deci , unde = = =iii .
Avem:
( ) ( ) ( )9 18 339 18 3
0 12,1 12,2 12,31 1 1 f S S i i i= ā + ā + ā + =3 12 12 1230 000 1,25 1, 2 1,12= ā ā ā
3 3 11
i p
u.m.4 2 430 000 1, 25 1,2 1,12 63 668,58= ā ā ā =
( )50 1 iS S f +ā = , de unde rezultÄ:ā = 100 procentul cerut. Avem b) Fie
16,01624,0130000
58,636681 55
0S ā=ā=ā=
S i
f %16ā p .,
( ) ( ) ] ( ) ( ) āā+ā +ā = 273,12
152,12
91,120 11000011 iiiS S f
} ( )
+ā +ā 32,12 1ic)
9 15 3 276
12 12 12 128 000 1 30 000 1, 25 1,2 10 000 1, 2 1,12iā”ā ā
ā ā + = ā ā ā ā ā āā¢ā ā12,3ā¢ā ā ā£
]6
128 000 1,12 40 908,47ā ā = u.m.
23. Un investitor dispune de suma de 45 000 $ pentru care are de ales Ʈntre
varianta plasÄrii Ć®ntr-un depozit Ć®n dolari, pe trei luni, cu procentul anual dedobĆ¢ndÄ de 4 % Åi varianta transformÄrii Ć®n lei (ROL) la cursul de 31 000 lei/$Åi plasarea Ć®ntr-un depozit Ć®n lei, pe trei luni, cu procentul anual la deschidere
47
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 44/49
de 15 %, procent pe care banca Ć®l schimbÄ dupÄ douÄ luni Ć®n 10%. DacÄ lascadenÅ£a depozitului cursul de schimb este de 32 000 lei/$, sÄ se determinesuma finalÄ revenitÄ investitorului Ć®n lei Åi dolari, Ć®n ambele variante. La cecurs de schimb, la scadenÅ£Ä, plasamentul Ć®n $ este mai bun?
Solu ţ ie: $
3
45 000 1 0,04 45 45012 f S ā ā
= ā + ā =ā āā ā $, Ć®n lei aceasta este
lei,45 450 32 000 1454 400 000 ftl S = ā =
60 45 000 31 000 1 395 10l S = ā = ā
Ćn varianta plasamentului Ć®n lei:lei,
61395 10 1 0,15 0,12 f l S
ā = ā ā + ā +ā2 1
1 1 441500 00012
āā =āā ā
lei, Ʈn dolari aceas-
ta este $ 45 04732 000 ft f l
S S = ā
45 450 1 441500 000 x
$, deci mai bun ar fi plasamentul Ʈn dolari.
Fie x lei/$ cursul de schimb cÄutat. Avem ā >31 x >
rezultÄ , deci de la cursul de schimb x = 31 717 lei/$ plasamentul Ć®n
dolari devine mai bun pentru investitor.716,17
24. DouÄ poliÅ£e au valorile nominale de 124 000 u.m. la scadenÅ£a pe 1 iulieÅi respectiv 126 000 u.m. la scadenÅ£a pe 1 august. Prezentate la scont la data de1 mai, banca plÄteÅte posesorului aceeaÅi sumÄ pentru fiecare.
a) SÄ se determine procentul unic de scont folosit. b) Folosind procentul de scont de la punctul a), gÄsiÅ£i data de scontare la
care posesorul ar primi pe cele douÄ poliÅ£e suma de 232 570 u.m.
Solu ţ ie: a)124 000 126 000
0, 2 , 20%2 3
1 112 12
a K j q
j j
= = ā = =+ ā + ā
b) Fie t numÄrul de zile dintre data scontÄrii Åi data de 1 iulie. Avem:124 000
1 0, 2360
+ ā
126 000
232 570301 0, 2360
t t + =++ ā ; notĆ¢nd 1 1800
t
x = +
2 06661
obţinem ecu-
aÅ£ia , de unde rezultÄ 0008886,00582785,1 =āā ā x x ,1= x ,zile, deci scontarea ar fi pe data de 1 martie.
120āt
25. O persoanÄ depune la bancÄ pentru fructificare suma de 52 000 u.m. DupÄ trei ani retrage suma de 15 000 u.m. Åi dupÄ Ć®ncÄ doi ani suma de 8 000 u.m. DacÄ banca a folosit Ć®n primii patru ani procentul anual de dobĆ¢ndÄ de 12 % Åi Ć®n
urmÄtorii patru ani procentul anual de 5 %, determinaÅ£i suma de care dispunedeponentul dupÄ opt ani de la depunere.
48
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 45/49
Solu Å£ ie: ( )3 352 000 1,12 15 000 1,12 1,05 8000 1,05 69 775 f S ā” ā¤= ā ā ā ā ā ā āā£ ā¦ u.m.
26. La data de 1 martie o persoanÄ constituie un depozit la termen, pe treiluni, cu suma de 56 800 u.m. CondiÅ£iile sunt:
a) la expirarea termenului, Ć®n cazul cÄ deponentul nu se prezintÄ pentru
restituire, banca prelungeÅte automat Ć®n aceleaÅi condiÅ£ii; b) Ć®n cazul lichidÄrii depozitului Ć®nainte de scadenÅ£Ä, banca va folosi pentru
Ć®ntreaga sumÄ dobĆ¢nda aferentÄ disponibilitÄÅ£ilor la vedere;c) dobĆ¢nda cuvenitÄ depozitului este livratÄ lunar Ć®ntr-un cont de
disponibilitÄÅ£i la vedere.DacÄ banca a operat pĆ¢nÄ la data de 15 aprilie (inclusiv) pentru depozitele
la termen cu procentul anual de 20 %, iar pentru disponibilitÄÅ£ile la vedere cu procentul anual de 4 % Åi Ć®ncepĆ¢nd cu 16 aprilie a utilizat procentul anual de
dobĆ¢ndÄ la depozitele la termen de 12 %, iar la disponibilitÄÅ£ile la vedere de1 %, sÄ se determine suma revenitÄ deponentului dacÄ acesta nu efectueazÄ alteretrageri decĆ¢t lichidarea conturilor (la termen Åi la vedere) la data de 16 iunie.
Solu Å£ ie: Ćn contul de disponibilitÄÅ£i la vedere la data de 1 aprilie este
introdusÄ dobĆ¢nda 67,94612
12,0568001 =ā ā = D u.m.
Ćn contul respectiv, la data de 1 mai, este introdusÄ Åi dobĆ¢nda
2 56 800 0, 2 D = ā
15 15
0,12 757,33360 360
ā ā
ā + ā =ā āā ā u.m., deci acum Ć®n contul res- pectiv se aflÄ suma de 1 704 u.m. La data de 1 iunie se adaugÄ disponibilitÄÅ£ilor
la vedere dobĆ¢nda 3
156 800 0,12 568
12 D = ā ā = u.m., acum Ć®n contul respectiv se
aflÄ suma de 2272 u.m. Suma revenitÄ deponentului la lichidarea conturilor este:
151 0,02 2 272 1 0
360ā āā + ā + ā ā āā ā
1556 800 ,02
360 f S ā ā= + ā +ā ā
ā ā
15 15 1946,67 0,04 0,02 1704 0,02360 360 12
ā ā+ ā ā + ā + ā ā ā āā ā
59126,43= u.m.
27. Suma de 35 000 u.m. este depusÄ pentru fructificare pe durata de 6 anicu un procent anual de 20%. SÄ se determine valoarea finalÄ a operaÅ£iunii dacÄ:
a) nu existÄ devalorizare; b) existÄ o devalorizare anualÄ necompensatÄ de 10% (evident, aici este
vorba de valoarea finalÄ Ć®n termeni reali);
c) existÄ o devalorizare anualÄ compensatÄ de 15%, Ć®n acest caz sÄ sespecifice procentul anual aparent utilizat.
49
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 46/49
Solu ţ ie: a) u.m.;( ) 60 1 35 000 1,2 104 509
t S S i= ā + = ā ā
b)6
0
1 1,235 000 58 993
t
r
iS S
+ ā āā ā= ā = ā āā ā ā ā
( ) ( )( ) ( )6
0 1 1 35 000 1,2 1,15 241 737
t
S S ic = ā + ā + Ī± = ā ā ā
1 1,1+ Ī±ā ā ā ā u.m.;
c) u.m. Åi( )100 100 38%q j i i= ā = ā + Ī± + ā Ī± = .
28. O persoanÄ subscrie la un bon de capitalizare cu dobĆ¢ndÄ minimÄ garantatÄ. Valoarea bonului este de 8 milioane u.m., durata minimÄ este de 4ani Åi dobĆ¢nda minimÄ garantatÄ este de 8% pe an. DacÄ se respectÄ clauzaduratei minime, atunci procentul anual este de 40% Ć®n primii doi ani Åi de 60%Ć®n urmÄtorii ani.
a) PrecizaÅ£i valoarea revenitÄ dacÄ bonul este schimbat (vĆ¢ndut emi-tentului) peste 3 ani.
b) PrecizaÅ£i valoarea revenitÄ dacÄ bonul este schimbat peste 4 ani.c) DacÄ Ć®n perioada respectivÄ s-a produs Åi o devalorizare necontrolatÄ
(necompensatÄ) de 12% anual, sÄ se precizeze valoarea Ć®n termeni reali a sumei primite la schimbarea bonului peste 4 ani.
Solu Å£ ie: Fie u.m. valoarea nominalÄ iniÅ£ialÄ a bonului, S 6
0 108 ā =S
6 3
3 0 1, 08 10 077 696S S = ā ā =2 40140800=
3 Åi S 4
sumele revenite (primite) la schimbarea bonului peste 3 Åi respectiv 4 ani.
a) u.m.( )1 8 10
t
i+ = ā b) u.m.( ) ( )
2 2 6 24 0 1 21 1 8 10 1, 4 1,6S S i i= ā + ā + = ā ā ā
c) Fie S re valoarea Ʈn termeni reali a bonului, atunci:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 40 4 4 4
1 1 4014080025 510 204re
i i S S S
+ ā += ā = = =
1,121 1+ Ī± + Ī± u.m.
29. O persoanÄ plaseazÄ suma de 245 000 u.m. pe o duratÄ de 9 luni, Ć®nregim de dobĆ¢ndÄ compusÄ, cu calcularea Åi capitalizarea lunar Ä a dobĆ¢nzii cuun procent anual de 32%. DeterminaÅ£i valoarea finalÄ a operaÅ£iunii dacÄ:
a) nu existÄ devalorizare; b) existÄ o devalorizare anualÄ necompensatÄ de 15%;c) existÄ o devalorizare anualÄ compensatÄ de 8%, caz Ć®n care precizaÅ£i Åi
procentul anual aparent utilizat;d) pe lĆ¢ngÄ devalorizarea compensatÄ de la punctul anterior se consider Ä cÄ
existÄ Åi o devalorizare anualÄ necompensatÄ (necontrolatÄ) de 20%. Solu Å£ ie: Vom lucra cu procentele propor Å£ionale:
0,3212 12ii = =
Åi 0,15 0,0125
12 12Ī±Ī± = .= =
50
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 47/49
( )a)9
9
0
0,321 245 000 1 310 478,3S S i
ā ā= ā + = ā + āā ā 12ā ā u.m.
b)
9
0 9
1277 636re
i S S S
ā ā+= ā = āā ā
1 1,0125+ Ī±ā ā
u.m.
Modelul acesta de calcul prin ācapitalizareaā lunar Ä a devalorizÄrii estediscutabil, pÄrĆ¢nd a fi mai adecvat modelul dobĆ¢nzii simple pentru factoruldevalorizÄrii. Am avea astfel:
( )279082
93,3104781 9
0 ā=+
ā = i
S S re
1215,011 ā +ā + t Ī±
u.m.
IatÄ cÄ ādin condeiā, inflaÅ£ia se manevreazÄ uÅor!
c) ,0,32 0,08 0,32 0,08 0, 4256 , 42,56% j i i q= + Ī± + ā Ī± = + + ā = =9 9
0
0,42561 245 000 1 335 267,3
12 12c
jS S
ā ā ā ā= ā + = ā + āā ā ā āā ā ā ā
u.m.
LucrĆ¢nd cu modelul simplu pentru factorul devalorizÄrii, obÅ£inem:
( ) ( )9
0
91 1 310 478,3 1 0,08 329107
12cS S i t ā ā= ā + ā + Ī± ā = ā + ā āā ā
ā ā
u.m.
d)
9
0 91
1 335 267,312 2889240,21 112 12
j
S S
ā ā
+ā ā= ā = āā āĪ± ā āā ā+ +ā āā ā ā ā
u.m. LucrĆ¢nd cu modelul sim-
plu pentru factorul devalorizÄrii avem:329107
2861809
S = ā1 0, 2
12+ ā
u.m.
DacÄ am fi lucrat cu procentul lunar echivalent cu cel anual, aveam:
132,1111212
ā=ā+= ii Åi12 12
1 1 1,15 1Ī± = + Ī± ā = ā .
a)9
12245 000 1,32 301S = ā = u.m.714,749
121,32245 000 271690
1,15reS ā ā
= ā āā āā ā
u.m. b)
( ) ( )( ) ( )c)99
12245 000 1 1 245 000 1,32 1,08 319 642cS i= ā + ā + Ī± = ā ā ā
u.m.9
121,32 1,08245 000 278 7911, 2
S ā ā ā= ā āā ād) u.m.ā ā
51
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 48/49
30. Se consider Ä trei efecte avĆ¢nd valorile nominale la scadenÅ£Ä dupÄ cumurmeazÄ: 2 500 000 u.m. la scadenÅ£a din 15 iulie, 2 812 500 u.m. la scadenÅ£adin 30 august Åi respectiv 3 250 000 u.m. Scontate pe 1 iunie, banca remite purtÄ-torului aceeaÅi sumÄ pentru fiecare. UtilizĆ¢nd scontul comercial, sÄ se determine:
a) procentul unic de scont folosit;
b) scadenÅ£a celui de-al treilea efect;c) procentul unic Ć®nlocuitor necesar pentru a le Ć®nlocui cu o poliÅ£Ä cu
valoarea nominalÄ de 8 milioane u.m. la scadenÅ£a din 30 septembrie;d) data de scontare la care ele ar putea fi Ć®nlocuite printr-o platÄ unicÄ de
7 316 943 u.m. Solu ţ ie:
( ) , decia) Avem 3,1,1 =ā āā = mt j K K mma
6 45 90
2,5 10 1 2 812 500 1 0,8360 j j j
ā ā ā āā ā ā ā = ā ā ā ā =ā ā ā āā ā %80=q .,360ā ā
( ) ā ā
āā
ā āā ā =ā āā ā 360
8,01105,28,011025,3 66 t āā 45
b) Din , obţinem
zile138ani ā26
10=t . Scontarea fiind pe 1 iunie, rezultÄ cÄ data scadenÅ£ei
este 19 octombrie.
( )t j K K ac) Avem ā āā =ā 113 , ā ā
ā
āā
ā
ā āā ā =ā ā 360
120
11081025,23 1
66
j
4687,01 = j %47āq, rezultÄ
, .d) Fie t numÄrul de zile de la data scontÄrii pĆ¢nÄ la prima scadenÅ£Ä (15
iulie). Avem:
6 457 316 943 2,5 10= ā 1 0,8 2 812 500 1 0,8
360 360
t t +ā ā ā āā ā ā + ā ā ā +ā ā ā āā ā ā ā
63,25 10 1 0,8 30360
t + ā ā ā ā ā āā āā ā
94t +ā ā zile, deci data scontÄrii este 15 iunie.
31. La data de 30 iulie, cu 60 de zile Ć®nainte de scadenÅ£Ä, se schimbÄ o poliÅ£Ä Ć®n urmÄtoarele condiÅ£ii impuse de bancÄ:
ā procent de scont de 50%; ā comision de acceptare de 3%, se va adÄuga procentului de scont; ā comision fix pe efect de 2 000 u.m.; ā taxa pe comisionul fix de 20%; ā se adaugÄ 5 zile de bancÄ;
ā se aplicÄ scontul simplu comercial.DacÄ valoarea nominalÄ a poliÅ£ei la scadenÅ£Ä este de 6 milioane u.m., sÄ se
determine:
52
7/18/2019 Matematici financiare
http://slidepdf.com/reader/full/matematici-financiare-56d5fa0789ec1 49/49
a) valoarea scontatÄ a poliÅ£ei; b) procentul real de scont Åi procentul de revenire al operaÅ£iunii de scont.Solu Å£ ie: a) Durata pĆ¢nÄ la scadenÅ£Ä este t = 60 zile, avĆ¢nd de calculat un
agio folosim durata72
13
360
65 zile6551 ===+= t t ani.
Deci =++ā ā += fixcomisionul petaxafixcomisionulagio 11 t j K S sc
1 1 1 2 000 0, 2 2 000 K j t K j t = ā ā + ā ā + + ā =
6 136 10 0,53 2 400 576 566,6
72= ā ā ā + = .
RezultÄ u.m.6,576566106agio 6 =āā =ā= K K a 4,5423433
b) Avem: t q
K ā ā =100
fixcomisionul petaxa-agio 1 , rezultÄ:
( )1
6
576 566, 6 400 10057,617%
606 10
360
qā ā
=ā ā
= (procentul real de scont).
Fie q2 procentul de revenire (sau efectiv) al operaţiunii de scont. Avem:
t q
K a ā ā =100
fixcomisionul petaxa-agio 2 , deci
22
60576 566,6 400 5 423 433, 4 63%
100 360
qqā = ā ā ā ā .