Matematica n Grecia Antic

Dinu RodicaMateescu Cristinagrupa 311

Condiiile sociale n Grecia Antic

Statele sclavagiste ale Greciei antice(polisurile) au aprut n secolele VIII-VI .Hr. Cele mai importante dintre ele au aprut n zona mijlocie a coastei apusene a Asiei Mici, n Ionia. Printre ele Miletul a ocupat mult timp o poziie dominant. Mai trziu, pe coasta Greciei nsi, rolul conductor a fost jucat de Corint, i apoi de Atena; n Italia, de Crotona i Tarent, iar n Sicilia de Siracuza. n statul atenian, procesul de trecere de la forma tiranic a sclavagismului timpuriu la democraia sclavagist s-a ncheiat n preajma anului 500 .Hr. Mai trziu, democraia sclavagist atenian, care i-a supus , n urma rzboaielor greco-persane, nenumrate orae din Balcani i din Asia Mic, s-a transformat ntr-un centru politic, economic i cultural al lumii antice. n 640-630 .Hr., n timpul lui Pericle, democraia sclavagist a atins culmea nfloririi sale i a acordat drepturi politice egale tuturor cetenilor si; sclavii, femeile i metecii erau lipsii de acestea. Caracterul democratic al gndirii sociale greceti, s-a pstrat ns i sub puterea perilor i n perioada elenismului. Spre deosebire de societatea sclavagist timpurie, care dispunea numai de aram, bronz, argint i aur, democraia sclavagist s-a nscut n epoca fierului. Alfabetul, uor de nsuit, a nlturat definitiv scrierea hieroglific greoaie. Cultura, care la egipteni i babilonieni era accesibil numai birocraiei, se rspndea printre pturile mai largi .O importan primordial a avut-o schimbarea caracterului stpnirii de sclavi, care purta n Atena timpurie un caracter patriarhal, de cas, i care s-a transformat apoi n fundamentul existenei societii.

Caracterul matematicii antice greceti. Izvoare.

Necesitile produciei meteugreti i ale construciilor, ce se dezvoltau n polisurile antice greceti, progresul agriculturii i al navigaiei, cereau n mod insistent i dezvoltarea cunotinelor tiinifice. O dat cu secolul al VII-lea .Hr., n Grecia i n primul rnd n Ionia, la ncruciarea culturilor egiptene i babiloniene, ncepe s se nasc o tiin nedifereniat, n care cunotinele astronomice, meteorologice, matematice, mecanice i medicale formeaz un tot unitar cu concepiile filosofice, politice, geografice i economice. n aceast epoc, grecii i luau cunotinele din izvoare egiptene, babiloniene i feniciene. Caracterul acestor cunotine a fost de preferin practic. Istoricul grec antic Herodot(aproximativ 484-425 .Hr.) descrie aceasta n urmtoarele cuvinte:Preoii ns povesteau c acest rege(Sesostris) a mprit ara ntre toi egiptenii, toi acetia cptnd cte o poriune dreptunghiular egal de pmnt, prin aceasta el a creat pentru sine venituri, ordonnd s fie pltit anual un anumit impozit. Dac rul(Nilul) rupea o parte a unei parcele oarecare , proprietarul ei se prezenta la rege i l anuna cele ntmplate. Regele trimitea civa oameni pentru a controla i msura cu ct parcela respectiv s-a micorat, pentru ca n viitor proprietarul ei s plteasc totui corespunztor impozitului iniial stabilit. Mi se pare c aceasta a fost originea geometriei care a trecut din Egipt n Elada. n ceea ce privete ceasornicul solar(gnomon) i mprirea zilei n 12 pri egale, toate acestea elenii le-au mprumutat de la babilonieni. Isocrate (aprox. 390 .Hr.) arat c aceste cunotine au fost preluate de greci de la egipteni, ai cror preoi, dispreuind plcerile, ndeplineau cele mai importante sarcini, instruiau tineretul, se ocupau cu astronomia, cu calculele i cu geometria. Cel mai mare gnditor al Antichitii, Aristotel( 384-322 . Hr.), remarc, de asemenea, n Metafizica, originea egiptean a geometriei greceti.Matematica egiptean i babilonian purtat un caracter practic concret, ns coninea primii germeni ai teoriei. Mai trziu, o dat cu dezvoltarea democraiei sclavagiste, ncepnd cu secolul al VI-lea .Hr., n gndirea matematic a grecilor, se intensific tot mai mult latura teoretic. Sclavilor le era ncredinat partea de salahor a activitii intelectuale:transcrierea crilor, efectuarea calculelor - ceea ce n cele din urm a dus i la separarea matematicii teoretice de cea practic. Din aritmetica practic, numit logistic, i din geometria aplicat care la Arhimede se numea geodezie, ncep s se separe aritmetica i geometria teoretic. Spre deosebire de cele practice, aritmetica i geometria teoretic nu conineau numai prescripii pentru rezolvarea problemelor, ci ddeau i o justificare a soluiei.Delimitarea definitiv a matematicii ntr-o tiin teoretic de sine stttoare s-a produs n Grecia n mijlocul secolului al V-lea, gsindu-i desvrirea chiar n epoca elenistic n Elementele lui Euclid, n preajma anului 300.Din secolul al VI-lea s-au pstrat numai cteva propoziii atribuite autorilor antici, citate mpreun cu diferite legende de mai trziu.

Numrarea la grecii antici

Grecii utilizau un sistem zecimal de numrare, n care se mai pstrau urmele unui sistem mult mai vechi cu baza 4. Numerele mici grecii le numrau pe degete, iar numerele mari cu ajutorul pietricelelor(psephos) aezate pe pmnt, iar mai trziu pe o scndur, creia cu timpul i s-a aplicat o liniatur pentru a distinge ordinele, transformndu-se n abac. Reprezentarea numerelor mari i operaiile cu ele erau destul de dificile. Abia n secolul al treilea .Hr., Arhimede a scris celebra Numrtoare a firicelelor de nisip(Psammit), care a risipit ideea eronat a existenei a unui cel mai mare numr i care coninea un procedeu cu ajutorul cruia se putea exprima un numr orict de mare. n secolul al X-lea a aprut la greci, prin intermediul fenicienilor, scrierea.

coala din Milet

Naterea matematicii greceti este legat de figura legendar a lui Thales(aproximativ 600 .Hr.). Filosofia colii mileziene, la fel ca i a colii din Efes, ntemeiat de Heraclit (aprox. 530-470 .Hr.), a fost orientat mpotriva ideologiei idealiste i metafizice a aristocraiei gentilice. Thales, de origine fenician, a fost negustor n Milet; de aici, a ntreprins o cltorie, n prima jumtate al secolului al aselea .Hr., vizitnd Egiptul, unde a i fcu cunotin cu matematica. Thales a ncercat s explice varietatea naturii dintr-un principiu unic, s gseasc n haosul aparent al fenomenelor o legitate. ncercnd s dea explicaii raionale, logice ale fenomenelor, Thales a nceput s abordeze i propoziiile matematice, cu cerina nu numai de a le expune, ci i de a le demonstra. Lui i se atribuie demonstraia urmtoarelor teoreme: 1. diametrul mparte cercul n 2 pri egale2. egalitatea unghiurilor de la baz n triunghiul isoscel3. egalitatea unghiurilor drepte 4. egalitatea triunghiurilor(cazul U.L.U)5. unghiul nscris ntr-un semicerc e dreptLui Thales i se atribuie prima aplicaie a compasului i a vasometrului, msurarea nlimii unei piramide (sau a obeliscului?) dup lungimea umbrei sale i dup propria sa umbr, precum i procedeul de a determina distana unei corbii de la rm.Continuatorul remarcabil al lui Thales a fost elevul su, Anaximandru (aprox. 610-543 .Hr.), autorul operei Despre natur. Anaximandru considera drept baz a ntregii existene apeiron-ul- nelimitatul - o nemrginit n spaiu i timp, fr caliti, care venic se schimb, se mic, delimiteaz contrariile i le absoarbe din nou. Emind pentru prima dat ipoteza infinitii lumilor n Universul infinit.Lui Anaximandru i se atribuie:1. determinarea elipticii2. reprezentarea Pmntului ca un cilindru circular al crui diametru se raporteaz la nlime ca 3:13. construirea primelor hri geografice ale Greciei i Pmntului, n care a fost folosit pentru prima dat proiecia ortogonal4. fabricarea cadranului solar i al altor aparate astronomice

coala pitagoreic

ntemeietorul colii denumit dup numele su, legendarul Pitagora (aprox. 570-500 .Hr.) era, conform tradiiei, originar de pe insula Samos. Pitagoreicii i-au mprumutat cultul lor religios de la preoii egipteni i babilonieni, mpreun cu cunotinele de aritmetic, geometrie, armonie i astronomie, pe care ei le-au dezvoltat mai departe.Filosofia pitagoreic pornea de la critica munismului materialist naiv al colii mileziene, afirmnd c nelimitatul lui Anaximandru necesit o definiie, la fel precum limita necesit acel ceva care este definit de ea. Numerele - cele mai abstracte elemente ale tiinei din acel timp, erau cel mai puin accesibile nelegerii cercurilor largi. Pitagoreicii le opuneau lucrurilor senzoriale, atribuind numerelor o existen de sine stttoare. Pentru pitagoreici propoziia lucrurile sunt numere exprim nsi esena lucrurilor. Nu atomii materiali, ci punctele geometrice constituie unitile, prile nelimitatului. Explicaia pitagoreic a ntregii existene, prin legile numerelor ntregi, duce la o contradicie logic prin faptul c nii pitagoreicii au descoperit existena segmentelor incomensurabile; fapt care a fost ulterior ascuns. Se cunoate legenda despre pedepsirea pitagoreicului Hippas din Metapont, sec VI-V .Hr. de ctre zei care l-au lovit pentru c el a descoperit ca nedemn includerea n nvturile despre natur a proporiei i incomensurabilitii.Ei cutau s rezolve apoi aceast contradicie, admind existena infinitului unic actual(adic a unei mrimi, indivizibil mai departe, i mai mic dect oricare mrime finit), ca msur comun a laturii i diagonalei ptratului. Mai trziu, aceeai contradicie era rezolvat prin aceea c raportul acestor lungimi era exprimat cu ajutorul unui proces nesfrit de aproximaii succesive.Pitagoreicii reprezentau numerele sub form de puncte, grupate n figuri geometrice. Astfel a aprut noiunea de numere figurative, care i-a gsit reflecia, legtura strns ce exist ntre noiunile de numr i de ntindere spaial. La pitagoreici punctul, care exprima unitatea, nu era divizibil mai departe, el reprezenta un atom matematic. Cel mai simplu i mai vechi exemplu de noiune aritmetic este distincia dintre par i impar. Opoziia dintre par i impar reprezint una dintre cele 10 perechi de contrarii considerate de pitagoreici drept categorii filosofice.Numerele-produse erau mprite de ctre pitagoreici n numere rectilinii, adic numere simple, care, ntruct nu se descompun n factori, erau reprezentate prin puncte situate de-a lungul unui segment; numere plane, care se descompun n doi factori i se reprezint prin puncte ce formeaz un dreptunghi sau un ptrat i numere corporale, care se descompun n trei factori i se reprezint prin puncte ce formeaz un paralelipiped sau un cub.Pitagoreicii au dedus o serie de proprieti ale numerelor, de exemplu suma a dou numere impare succesive este egal cu de patru ori numrul (natural) corespunztor: 1+3=41, 3+5=42, 5+7=43 .a.m.d.: n timp ce noi demonstrm aceste proprieti i altele analoge, de exemplu, cea din urm, cu ajutorul unor transformri algebrice simple (2n-1)+(2n+1) =4n, pitagoreicii le verificau cu ajutorul unei figuri intuitive.Un alt procedeu de reprezentare intuitiv a numerelor ptratice, sub forma de sum, a fost la pitagoreici stadionul, de exemplu, pentru a obine 52 ca sum, se scriau numerele de la 1 la 5 i de aici napoi la 1; n modul acesta unitile stteau la intrarea i ieirea stadionului, iar numrul ridicat la ptrat la cotitur:

123451234

Examinnd figura stadionului, se gsea o serie ntreag de proprieti ale numerelor ntre care i cea dat mai sus. Alturi de numerele ptratice, o mare importan jucau la pitagoreici numerele dreptunghiulare- numerele de forma n(n+1). Se nelege c numrul aparinnd unei categorii putea totodat s aparin i unei alte categorii. Pitagoreicii mai cunoteau i numerele asemenea, de exemplu 6=23, 24=46, 54=69... reprezentate prin dreptunghiuri cu laturi proporionale. Aceste numere posed o serie de proprieti interesante: de exemplu, produsul a dou numere asemenea este un numr ptratic. Studiul numerelor-sume a servit drept baz pentru sumarea seriilor numerice de care se ocupa cu succes Arhimede. Studiul numerelor rectilinii a dat un impuls apariiei numerelor prime. n acest domeniu, rezultate importante au fost obinute de Euclid, care a folosit n crile de teoria numerelor din Elementele sale multe noiuni introduse de pitagoreici. Deosebind, n afar de numerele prime, numerele compuse i numerele relativ prime (adic neavnd factori comuni), pitagoreicii i, cu unele excepii, n general matematicienii greci, acordau mai departe mult atenie i clasificrii numerelor pare i impare, distingnd( ca mai trziu Euclid) numerele par-pare, par-impare, impar-pare, impar-impare etc. Cei care respectau tradiia lui Pitagora nu includeau printre numerele impare i n genere nici chiar printre numere, pe 1, iar printre cele pare - pe 2, considerndu-le principii ale numerelor i aezndu-le n afara irului numeric. Pitagoreicii se ocupau, de asemenea, de problema raportului dintre numr i suma divizorilor lui. Prin divizorii unui numr se nelegeau toi divizorii si, primi i compui, inclusiv 1, exclusiv numrul nsui. Dac suma divizorilor era mai mare dect numrul dat nsui, numrul se numea supraperfect, dac era egal cu el se numea perfect, iar dac era mai mic dect el -imperfect.Cu numerele perfecte s-au ocupat mult matematicienii din Evul Mediu; mai trziu Fermat i Descartes au artat legtura lor cu alte probleme ale teoriei numerelor. n sfrit, pitagoreicii examinau numerele prietene, adic dou numere dintre care fiecare e egal cu suma divizorilor celuilalt. Neoplatonicianul sirian Iamblic(aprox. 250-325 d. Hr.) i atribuie lui Pitagora descoperirea numerelor prietene 220 i 284, unica pereche cunoscut n Antichitate. n evul mediu, se consider c talismanele cu numere prietene sunt capabile s ntreasc apropierea dintre oameni. Matematicianul arab Tabit Ibn Korra (826-900) a gsit regula de formare a numerelor prietene, care a fost uitat i apoi redescoperit de Fermat i publicat (fr demonstraie) de Descartes(1638).

Medii, proporii i progresii

Prin proporie se nelegea n mod curent o proporie geometric cu 4 termeni, n notaia noastr: a:b=c:d, ns uneori i una aritmetic:a-b=c-d. n ceea ce privete mediile, ele constau din trei termeni: a>b>c, ntre care se pot stabili 9 relaii, precum i 9 relaii ntre diferenele a-b, b-c, a-c. Egalnd ntre ele aceste rapoarte i lsnd deoparte cele nepotrivite, obinem 11 tipuri de medii: toate aceste medii au fost cunoscute grecilor antici. Tradiia susine c epoca lui Pitagora cunotea trei medii numite vechi: aritmetic (a-b):(b-c)=a:a, geometric (a-b):(b-c)=a:b i armonic (a-b):(b-c)=a:c. Media aritmetic (a-b):(b-c)=a:a a fost cunoscut pitagoreicului Arhitas din Tarent. n afar de forma iniial a mediei geometrice (a-b):(b-c)=a:b, Arhitas o exprim sub forma a:b=b:c care decurge din prima. Platon a apelat la mediile geometrice pentru a explica structura fizic a lumii, n timp ce media aritmetic i cea armonic erau folosite de el pentru a defini spiritul universal.Media armonic (a-b):(b-c)=a:c era definit de Arhitas i Platon n felul urmtor: dac a>b>c, atunci b este media armonic cu condiia ca i (unde n>1).

Teorema lui Pitagora i mrimile incomensurabile

nvtura pitagoreic care considera c numerele ntregi reprezint msura tuturor lucrurilor s-a lovit de o contradicie insolubil, datorit descoperirii iraionalitii. Tocmai aceast descoperire reprezint ns cea mai nsemnat contribuie a pitagoreismului n matematic.Denumirea latin iraionalitate, este o traducere literal a cuvntului alogon, deoarece ratio nseamn raport. n modul acesta, dup cum se vede din denumirile nsei, pitagoreicii nelegeau prin mrimi iraionale n primul rnd segmente rectilinii care nu au msur comun, fapt pentru care sunt inexprimabile printr-un raport de numere ntregi. Prin urmare, nu avea sens s se vorbeasc de iraionalitatea unei mrimi dect raportat la alta. Probabil descoperirea iraionalitii a fost legat de aa numita Teorem a lui Pitagora. Dup cum tim, aceast teorem a fost cunoscut babilonienilor i, posibil, i egiptenilor cu mult naintea lui Pitagora. Istoricii ns, Plutarh, Diogene Laeriu i Proclus, atribuie aceast descoperire lui Pitagora, repetnd legenda dup care Pitagora, drept mulumire pentru aceast descoperire, a adus jertf zeilor 100 de bivoli. Este posibil ca Pitagora sau elevii si, cunoscnd anumite triunghiuri sacre(adic triunghiuri dreptunghice cu laturi numere ntregi) ale egiptenilor i babilonienilor, pentru care teorema se verific uor, au generalizat pur i simplu aceast teorem asupra tuturor triunghiurilor dreptunghice, fr a poseda nc o justificare satisfctoare. Numerele x,y,z care exprim laturile unor astfel de triunghiuri erau numite numere pitagoreice. Pitagoreicilor li se atribuie regula de obinere a numerelor pitagoreice prime ntre ele: x=2p+1, y=2p2+2p, z=2p2+2p+1, care dau trei astfel de numere pentru orice p natural, aici y i z fiind dou numere naturale succesive.