algeIrilgG0mGttiG

clasa a Ul-a

lanGa I

Edilia a V-a, revizuiti

mare 2000 - iniliGle

Cuprins

TESTE DE EvALUARE nulnrA .....................5

ALGEBRACaprrorw I. DrvrzmuterEA NUMERELoR NATURALE

Leclia L Operalii cu numere naturale. Reguli de calcul cu puteri....... ...................7Lectia2. Divizor. Multiplu...... ..............12Leclia3. Criterii de divizibilitate................... .............15Leclia4. Propriet5li ale relaf;ei de divizibilitate in N ....................18Leclia 5. Numere prime. Numere compuse ................20Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de eyaluare....... -.-.....................23Leclia 6. Descompunerea numerelor naturale in produs

de puteri de numere prime........... ................24Lec[ia7. Cel mai mare divizor comun a doul sau

mai multor numere naturale.... .....................26Lectia 8. Numere naturale prime inte ele...,............ .......................29Leclia9. Cel mai mic multiplu comun a dou[

sau mai multor numere naturale..... ..............31Sd ne veriJicdm cunoStinfele: teste de evaluare.. ........34Aplicdm ce am invd\at ...........................35

Capmorur II. Nur,mnr neTIoNALE pozrrrvELeclia 10. Fraclii echivalente... ..............37Lecf;a I l. Fraclii ireductibile,.. ..............40Lectia 12. Noliunea de numlr ra,tional pozitiv ...........44Leclia 13. Formele de scriere a unui numir ralional pozitiv .....-.....47Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluqre .. ... .. .. . 5 ILectia 14. Aducerea fracliilor la acelagi numitor comun.......... .......52Lec{ia 15. Adunarea numerelor ra}ionale pozitive. Proprietdlile adundrii............55Leclia 16. Scoaterea intregilor din fraclie. Introducerea intregilor in frac!ie........58Leclia 17 . Compararea numerelor ralionale pozitive........ ...............62Lectia 18. Scdderea numerelor rafionale pozitive.... ........................65feciia tS. inmu[irea numerelor ralionaG pozitive. Proprietilile inmullirii.........69Lecfa20. Puterea cu exponent natural a unui numlr ralional pozitiv.

Reguli de calcul cu puteri ..........................72Lec\ia21. Impdrfirea numerelor rafionale pozitive........ ..................76Lectia22. Ordinea efectuirii opera1iilor.... .................80Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare.. ........84

Cepnolw III. Ecurgr iN Q*Leclia23.Mediaaritmetic[.Mediaaritmeticdponderat[ ...............86Lectia24. Ecualii in mu[imea numerelor rafionale po2itive................................89Lectia25. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecualiilor..... .........93

Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare....... ..........'.'..........' 96

Aplicdm ce am invdyat .'.'..98

Ceplrorul II. UNcuruntLeclia 8. Unghiul. Unghiul nu1. Unghiul cu laturile in preIungire......................121Lec[ia 9. Mdsurarea unghiurilor cu raportorul. Clasificarea unghiurilor.

Unghiuri congruente... ..........124Leclia 10. Calcule cu m[suri de unghiuri exprimate in grade gi minute

sexagesimale .......................127Lecliall.Unghiuricomplementare,unghiurisuplementare .........129Leclia 12. Unghiuri adiacente...... ...'...' 131

Leclia 13. Bisectoarea unui unghi '...'.. 133

Leclia 14. Unghiuri opuse la v0rf '....... 135

Leclia 15. Unghiuri in jurul unui punct ..............'.....138Sd ne verificdm cunoqtinlele: teste de evaluare....... .'....'............... 140

Aplicdm ce am invdyat ....142

Caprrorw IIL CoNcnUeNTA TRIUNGHTRILoRLeclia 16. Triunghiul: definilie, elemente .....'.'.'...'..143Leclia 17. Clasificarea triunghiurilor ...'...'.....'.....'.... 146

Leclia 18. Construclia triunghiurilor oarecare....... .'...'...'..'..'...'.... 148

LecSa 19. Congruenla triunghiurilor '...'.....'............' 151

Lec\ia20. Criteriile de congruenf[ a triunghiurilor............... ........ 153

Lec[ia2l. Elemente de rafionament geometric. '....... 156

Lec[ia22. Metoda triunghiurilor congruente... ......... 158

Sd ne verificdm cunoStinlele: teste de evaluare....... ....'......'.......'.. 160

Aplicdm ce am tnvdlat .........................161

ALGEBRACapitolul I

Drvrzrerr,rrATEA NUMERELoR NATURALE

E Competenfe specifice:

O ldentificarea in exemple, in exercitii sau in probleme a notiunilor: divizor, multiplu,numere prime, numere compuse, c,m.m.d.c., c.m.m.m.c,O Aplicarea criteriilor de divizibilitate (cu 10, 2, 5, 3, 9) pentru descompunereanumerelor naturale in produs de puteri de numere prime

O Exprimarea unor caracteristici ale relatiei de divizibilitate in multimea numerelornaturale, in exercitii gi probleme care se rezolvi folosind divizibilitateaO Deducerea unor reguli de calcul cu puteri gi a unor proprietdti ale divizibilititiiinmullimea numerelor naturale, in exercifii gi probleme

Lecfia 1. Operafii cu numere naturale.Reguli de calcul cu puteri

Ell Ce trebuie sA stimConsiderlm mullimile:

N : {0, 1,2,...,10, 11, 12,...) (mullimeanumerelornaturale);

N* : {1, 2, 3, ..., 10, I l, 12, ...} (mullimea numerelor naturale nenule).Pe mullimea numerelor naturale definim urm6toarele operafii: adunarea,scdderea (dac6 descSzutul este mai mare sau egal cu scdzdtorul), inmullirea,implrfirea cu rest zero (dacd imp6(itorul este divizor al deimpdrlitului) qi

ridicarea la putere (cu exceplia canthti 00) a numerelor naturale.

Adunarea gi sciderea sunt operalii de ordinul I, inmul,tirea gi impdrlirea suntgperatii de ordinul II, iar ridicarea la putere este operalie de ordinul III.In calcule, ordinea efectudrii operafiilor este urmltoarea; mai intdi operafiilede ordinul III, apoi operaliile de ordinul II 9i in final operaliile de ordinul I,iar operaliile de acelagi ordin se efectueazdin ordineain care sunt scrise.

Dacd se folosesc paranteze, atunci se efectueazd mai intdi calculele dintre pa-rarrtezele rotunde, apoi cele dinfe parantezele drepte qi in final cele dinffe paratutezele acolade.

(,I

H

(,ovtoGxi.UI(,Eq){-o

=

Opera{ia de ridicare la putere a numerelor naturale (recapitulare)

Defini{ie: Fie a eN, z e N*. Vom numi putere a a n-a a numdrului natutal

a, numlrul natural notat a" gi oblinut astfel: sn = g.'a'a' ...'a.' Numbrul a se

n factoi

numegte baza puterii, iar num[ru] n se numeqte exponentul puterii. Pentru

a +O $in : 0, vom face convenliacd ao : l.Exemple:32:3'3:9; 2s:2'2'2'2'2:32; 190:1'

Reguli de calcul cu puteri. a*.an:a**',oricarearftae N* giz,n e N;. atia':a*-'roricarearfta € N*,m)ne N giz>r;. (a^)":a''n,oricare arfta e N* 9irn,n e N;. (a' b)^ : a^' b*,oticarearfta,b e N- gim e N.

Compararea puterilor1. Dintre doud puteri care au aceeaqi bazd qi exponenlii diferili, este mai mare

puterea cu exponentul mai mare (a') a', da96m> n Si a> 2).Exemple: 7" > 7'e , deoarece 2l > 19; 5" . 5'u, deoarece 75 < 76.

2. Dintre doui puteri care au acelagi exponent nenul gi bazele diferite, este

mai mare puterea cubaza mai mare (a' > bn, dacd a> b Si n> l).Exemple: 3ot , 2o', deoarece 3 > 2; 2gs5 < 315s, deoare ce 29 < 31.

ObservafiePentru a compara doui puteri care au bazele diferite gi exponenfii diferili, se

transformd puterile respective (daci e posibil) in puteri cu aceeagi bazd sau

in puteri cu acelaqi exponent pentru a reduce problema la canil 1, respectiv

2,prezentate mai sus.

ot Oennitie: Un numdr natural 4 se nume$te pltrat perfect dacd existi un

? numdr natural b, astfel incdt a: b2.

$ Exemplu: Num6ru1 natural 25 este pitrat perfect, deoarece 25 : 52 '

o:ci Observatie'! Oacd un numdr natural este pitrat perfect qi este scris zecimal, atunci el se

E termin6 cu una dintre cifrele: 0, 1,4, 5, 6, 9,

P€ U.nnifl.: Un num6r nafixal d se nume$te cub perfect dac6 existI un illmfu

natural D, astfel lncdt a = b3,

8 Exemplu: Numlrul natural 27 esle cub perfect, deoarece 27 =33.

Egtim sd rdspundem?

Propozilia ,,Dacd N este mullimea numerelor naturale qi N. este mullimea

numerelor naturale nenule, atunci N \ N- : {0}." este ............

@l 56 rezolv6m ?mpreun6

1. Calculali:a) 5 . 32 : !5 + 62; b) (30 + 3t + 32 + 33) :23; c) (2 -22 - 2317 : 72815 .

Solulie: a) 5.32 : 15 + 62:5.9: 15 + 36 :45: 15 + 36: 3 +36:39;b) (30+ 3t +32 + 33): 23:(l + 3 +9 +27):8:40:8:5;c) (2 .2' .2')' : (2r)t : (2'*'*t)' :28'5 : (zu)' ,240 - 26'7 :240 :242 :240 :-a4240-a2-t-L -Z -+.

2. Comparafi numerele naturale x gi y in urmitoarele caz:uri'.

a)x:561 $iy:2530; b) r: 2sa qiy:527 .

Solulie: a) y : 2530 : (5')'o : 52'30: 560, prin ufffiare x > y;b)r: 2s4 -22'27 :(2')" :42',prinulrmarex<y.

3. Ardtafi ci num5rul natural:a) 522 este pitrat perfect;

Solu1ie: a) 522:5t1'2 - (5")';

@l SE exers6m singuri

1'Calculali:a)24:8+35; b)28:4+47; c)67-12'3; d)83-15'4;e)40:8+33; f)54:3+2s; g)72-60:5; h)5'-96:4;D3 .26 : 12+72; j)2'Zo: 18 + 52; k) 8'-4'53 : 10; l)6'73 :14-92.

2'Efectua,ti:

a)20:(225:9 -65:13); b) 17 .(57 :3 -84: I2);c)243: [61 + 80: (31 -5a:2\]; d) [(21 .7 +s3.5):4-53]: 10;

e)65: {8 -75:l(sT:13+9).2-11}; 0 {[7+ 5I:(72:12+ 11)].6-4):4.

3'Efechrali:

b) 271e este cub perfect.

b) 27te: (3')" :33'1e: 3re': : (3")'

oI

l-.1

q,

ovloUxi(,EIEq,

E

=a)(20+2t+22+23):5;c) (70 + 7t + 72 -32) :24;e) (20+ 2t +zz +23 +321:22;

b)(50+5r+s2 +s3):22;d)(60+6t+62-52;:32;0 (3n + 31 + 32 + 33 - zxl:24,

C Calcula,ti:

a) 172 + (2 . 5o : 10 - 34) :22f:22;c) I(5 . 33 : 15 + 2o) -22 - 521: 5';

b) [62 + (7 . 2u : 14 + 221 :321:23;d) t(7 . 37 : 63 + 70) : 22 + 331:23.

5* Efectuali scriind rentltatulsub formi de putere:

6* Efectuali scriind rezultatul sub formi de putere:

a)2s1:230;

a)217.2r3;e) 627 .626;

a) (5' . 58) : 53;

d) (2')' : (2.210);

b1320.314;

D7" '7"',;

b) 343 : 31e;

c) 52e . 517'

oy 112 . 119.b, -

d)713.745;h1332-314.

d)772:747;h) 116s: 1138

d) (2')";h) (1115)s.

c) 560: 523;

e) llao : 11re; D l3t' :1323; g) I7o' :1713;

7- nfectuali scriind rezultatul sub formd de putere:

a) (3')"; b) (5')"; c) (70)";e) (1310)7; 0 (12")u; d O9t)';

8* Calculali folosind regulile de calcul cu puteri:

b) (7'. 771 72;

e) (6'f : (6 . 618);

c) (3u . 3e):34;

0 (70)t : (7 -721).

9- Efectuali scriind renitaitlsub forml de putere:

a) (z' -zt '2t'): (2')';c) (50. 5u. 5tu) , (5')u;

b) (3 . 3'6 . 3') : (30)';

d) (7')' : 17 .712 -7181.

oI

l{

o(,vto\)ti.9.F(,Eq)F(,

=10

1O* Efectuafi scriind rezultatul sub formi de putere:

a) [(7')']'o : (72 .7e1a; b) [(50)t]' : (5 . 515)3;

c) (3u)'l' : (3 . 31)6; d) l!o)'y' : (2 . 21013 .

11** Efectuali:a) [(2" .2t'),220 +201:32;c) [(5" . 5'o)

' 532 - 501 :2';

q LQ? . 2")' ,270 + 231: 32;

12' Comparali numerele:a) 1315 9i 1316; b) 1921 gi 1917; c)23s3 si23ae; d)3f7 qi 313e;

e) 1520 sil4zo; f)17" gi 192s; g)25" qi2717; h)4f2 qi3932.

1 3** Compara{i numerele:a)7s1 qi4925; b) 8115 9i 361;

e) 1610 9i 328; f) 27" qi 81e;

b) [(3'.3"), 320 -301:24;d) lQ" . 7") ,733 + 707:23;

f) [(5" . 5')' '

58t - 501 :23.

c) 250 gi

g) 64e pi

16"; d) 253s qi 567;

16"; h) 1^257 9i 2511

1 4* Comparafi numerele:a)724 Si25t2; b) 3615 9i 530; c) 1610 9i 3a0; d) 5st qi2717;e)2s1 gi33a; f)270 qi Il20; g) 5ta gi 32t; h) 2et 9i 53e.

15* Scrieli in ordine crescitoare numerele:a) 4",82',l6's; b)2713,3",9"; c)3u',7",2"; d)5'0, z",3ot.

16* Ardtali cd urmdtoarele numere naturale sunt pdtrate perfecte:

It Xetag c[ urmltoarele numere naturale sunt cuburi perfecte:

a) 5ta;e\ 1726;

a) 3u';e) 1933;

b) 7tt;f) 25";

b) 4t';f) t7o';

c) 4t'ig) t3to;

d) 9'n;h) 4927.

d) 5";h) 6423.

c) gut;

s)27";

18* Aretali ci urmltoarele numere sunt pltrate perfecte:

a) t999 + t9992 + 2000; b) 10002- 1000 -999; c)t0243 .1025-t0244.

19" Aratali cd urmltoarele numere sunt pltrate perfecte:a)221 +218; b)324 +32s; c1 537 - 536.

2O* Ar[ta1i cd urmdtoarele numere sunt pdtrate perfecte:

a)l +2 +3 +... + 1000+ 501 . 1001;

b) 1 + 2+3+... + 1011 + 505. 1011.

2!** Dacdn e N , ardta\icd urmitoarele numere nu sunt pdtrate perfecte:a) 6'+ l; b)5'+2; c)6'+7; d)5'+7.

22** Ardtalici urmitoarele numere sunt cuburi perfecte:

a) 12343 . 3 + t2343 . 4 + 12343; b) 6153 . 23 + 6t53 . 103 - 6153.

23" Aritali cd urmdtoarele numere sunt cuburi perfecte:

a)2.33a + 4.330 +33t; b) 5"; 2.5s2 -7 .5t'; c)2.7a _ 8.741 +741.

EEPutem moi mult!

24'** Se considerl numirul n: 30 + 31 + 32 + ... + 32013. Determinati restulurmitoarelor imp[rliri :

a) n :3; b) n:9.

25'** Aritali cd numdrul natural n nu este pitrat perfect dac6:

a)n:21 +22 +23 + ...+2s3; b)n:20 +21 l-22 + ...+262.

oI

l{

o(,vtoGlci.9+oEq){-o

=11