gtefan Sttt[nArDOrU

Dumitru sAWr-,gSCU

Marius PERIAI{U

Iohana GHEORGHE

MatematicHclasa a VI-a

II

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

CupnINSRLCESRA Capitolul 1. Rapoarte gi proporlii

1.2. Procente.......1 .3. Proporfii.......1.4. Propor(iiderivate

Teste de eval u are ..................

F i ga pentru portofol i u I in d iv i d ual (A1 )

Test - model pentru Evoluarea Nalionala..Mdrimi direct propo(ionaleMdrimi invers proportionaleRegula de trei simplSReprezentarea datelor prin grafice 45

ProbabilitSli 50

Teste de evaluore .................. 53

Figa pentru portofoliulindividual(A2) 55

Test - model pentru Evaluarea Nalionala.. 57'1.10. Probleme cu caracter aplicativ 59

ALGEBRA Capitolul 2. Numere intregi2.1. Numir intre9............ 632.2. Compararea gi ordonarea numerelor intregi ............... 682.3. Adunarea numerelor intregi ............... 71

2.4. Scdderea numerelor intregi ............... 77

Teste de eva1uare................... 81

Figd pentru portofoliulindividuol (A3) 832.5. inmullirea numerelor?ntregi .............. 85

2.6. imparlirea numerelorintregi.............. 902.7. Puterea unui numdr intreg ............. 93

2.8. Ordinea efectudrii operaliilor .. 96

Teste de eva1uare................... 99

FiSa pentru portofoliul individual(A4) ................ 101

2.9. Rezolvarea unor ecualii in Z ............. 103

2-'0. Rezolvarea unor inecuatii in Z .............. 106l' ' . Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecuatiilor sau inecuatiilor ............ 109

-este de evaluare........ 1 1 1

:isa pentru portofoliul individual (A5) 1 13-est - model pentru Evoluarea Nalionald... 1 15

GEOIiETRIE Capitolul 3. Perpendicularitate

7

11

17

2328

303234364'l

: ' Drepte perpendiculare 119

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

Congruenla triunghiurilor dreptunghice .....'............' 122

Mediatoarea 124

Simetria fafi de o dreaPti 128

Bisectoarea 131

Teste de evaluare 134

FiSa pentru portofoliutindividuot{G1) 136

inailimite triunghiului 138

Medlanele triunghiului 141

Teste de evaluore ................. 144

FiSo pentru portofoliutindividuat(G1) 146

Tist - model pentru Evoluarea Nalionala 148

Problemi pentru performanld Scolard 9i olimpiade 150

GEOMETRIE Capitolul 4. Paralelism

4.1. Unghiuri determinate de doud drepte cu o secantd 1 53

4.2. Orepte paralele 153

Teste de eva1uore.................. 162

FiSa pentru portofoliutindividuol(G2) 163

Tist - model pentru Evaluoreo Nalionald 165

4.3. Probleme pentru performanli 5colard Siolimpiade' 167

GEOMETRIE Capitolut 5. ProprietSlile triunghiurilor5.1. Suma mdsurilor unghiurilor unui triunghi 171

5.2. ProprietSlile triunghiului isoscel 175

Teste de evoluare 181

FiSd pentru portofoliulindividuot(G3) 183

5.3. Proprietilile triunghiului echilateral 185

Teste de evaluare ................. 188

Fi5a pentru portofotiulindividuat(G3) 190

5.4. Piopriet5lile triunghiului dreptunghic 192

Teste de evaluare ................. 197

Fi5a pentru portofoliulindividual{G3) 199

5.5. Relaliiintre taturi 5i unghiuri (extindere)-.. 201

Test - model pentru Evoluarea Nalionald 204

5.6. Probleme cu caracter aplicativ........ 208

5.7. Probleme pentru performan!5 gcolari 5i olimpiade. 210

SINTEZE Capitolul 6. Variante de subiecte pentru tezi 215

soLUTll .. 223

ALGEBRA

Rapoarte r,f;:r,T;,t1.1. Rapoarte1.2. Procente1.3. Proporgii1.4. Proporlii derivate

Teste de evaluareFiSd pentru portofoliul individual (AL)T est-model pentru Ev aluarea N alionald

1.5. Mirimi direct proPorlionale1.6. Mirimi invers ProPorfionale1.7. Regula de trei simPli1.8. Reprezentarea datelor prin grafice

1.9. ProbabihtetiTeste de evaluareFiSd pentru portofoliul individual (AZ)

Test-model pentru Evaluarea Nalionald

1.10. Probleme cu caracter practic

CAPITOLUL 1

Rapoarte Si proporfii

@ Rapoarte

Raport. P{rn raportul numerelor ralionale pozitive a Si b, cu b + 0, se inlelege

numdrul rational a: b,notat | .

Scrierea 1 este raportul,iar a Si b srtnttermenil raportului.D

Valoarea unui raport f, ett. num5rul c czre se obline din relalia c = a : b.

Exemplu. intr-o clas[ sunt 12 fete gi 16 bEiefl. Spunem cd raportul dintre numdrul fetelor 9i

cel al bliefilor este egal ," 3 . Valoarea rapomrlui este 1 2 : I 6 = 0.75 .

16

Observatii1. La scrierea raportului a doub mlrimi, de aceeaqi naturd, acestea trebuie expri-

mate in aceeaqi unitate de misur6. De exemplu, dacS l5limea unui dreptunghieste egal5 st 120 cm, iar lungimea este egal[ cu 3,6 m, pentru a afla raportuldintre 15!ime gi lungime, intdi transformdm:

L =3,6m= 360cm gi apoi uu.-, | - l20cm - I .l. 360cm 3'2. Se pot forma rapoarte qi cu cantitdli de tipuri diferite. De exemplu, dacl unui om ii

trebuie 3 ore pentru a parcurge lzkm,se formeazi raportul -* = 4 km/h .

Formarea raporlului duce la un nou concept, de vitezd, cu unitatea de mlsurd km./h.

3. Valoarea unui raport nu se schimb[ dacd inmullim sau impdr]im ambii termeni ai

sdi cu acelaqi num5r real, nenul:

a a-m-=-.m+O $1b b.m

aa:n^_=-, n +u.h h'.n'

Exemple de rapoarte utilizate in practici

1. Raportul procentual este un raport de forma ffi care se noteazd p%o.

Exemplu. l9"r'r=# .

2. karo unei hdrli este raportul dintre distanla pe hartd qi distanla pe teren.

Exemplu. Pe o hart6, unui segment ce are lungimea de 1 cm ii corespunde o distan!5 in teren

egal[ cu 2 km. Deoarece 2 krn : 200 000 cm, scara h6rfii este I : 200 000-

3. Concentralia unei solulii este raportul dintre masa substanlei care se dizolvd qi

maa soluliei.

=I

lE

=ot!lgtJr(v

=lu

=7

fL't!,)t!l

ln

.tE

ouJIt,OE

oItr

r,(oc(EEo

3zsOEglo.)'=(!

==6oz,<OE)<

=vi6OJ

t/.)F

8

Exemplu. in 190 g de api se dizolv[ 10 g sare. Concentralia solu]iei este ega15 cu:

lo _ l0 = 5 =59rn.I90+10 200 100

4.Titlul unui aliaj este raportul dintre masa metalului prelios qi masa aliajului.Exemplu. Un aliaj con{ine 240 g aw qi 960 g cupru. Titlul aliajului este egal cu:

240 240 r 200

240+960 1200 5 1000

J.,L

1. Scrieli raporful numerelor: a) 15 qi 4l; b) 3 qi 10; c) 200 Si251' d) 36 Si a5.

2. Fie numerele a = 24 Si b = 19. Completali:a) Raportul numerelor a qi b este ... . b) Raporhrl numerelor b 9i a este ... .

3. intr-o clasd, din cei 30 de elevi, fiecare al treilea elev participl la olimpiada de

matematicS. Scrieli raportul dintre num5rul celor care participi qi al celor care nuparticipi la olimpiad[.

4. Scrie{i raporhrl dintre num5rul triunghiurilor gi cel al pdtratelor din desenul de

maijos: rrrf]ilraoI ttTAAOTA5. Determinali valoarea raportului numerelor 72 Si 140.

6.Fie a = 9 Ci 6 = 2. Care este valoarea raporrului dintre D qi a?

7. O um6 conline 25 de bile: 10 albe, 5 roqii qi restul albastre. Scrieli raportul dintre:a) num5rul bilelor albe qi num5rul bilelor albastre;D) num[rul bilelor albe 9i num5rul bilelor roqii gi albastre la un loc;c) numdrul total de bile gi numdrul bilelor care nu sunt albe.

8. Scriefl raportul dintre cel mai mic numlr de o cifr5 gi cel mai mare numdr de o cifrE.

9. Scriefi raportul dintre cel mai mare num[r de trei cifre qi cel mai mic numlr de

dou6 cifre.

10. Se daumullimile: A: {2,3,4,5,6} qiB: {4,5,6,7,8,9}.c) Scrieli raportul a doui numere pare, primul din mu[imea A, iar al doilea dinmullimea B. Dali trei exemple.6y' Scrie{i raportul dintre un numdr par dn A qi un numdr impar din B.

&&,L 'L

ll.Sedaumullimile: A: {2,3,4} pi B: {3,4,5,6,8}.CAte rapoarte se pot forma avdnd primul termen un element din mullimea A Si aldoilea termen un element din multimea B?

12. Se dau mullimile: A: {2,3,4} qi B: {3,4, 5, 6. 8}.

a) Cdterapoarte de forma I au valoa.ea 1, daci a e A si b e B?h

b) Cdterapoarte de forma 4 ur rulou..u 2, dace b e B si a e B?a

c) Cfrice rapoartede forma L au valoareaun mnrff rmrral t# m e -4' - B Si n e .4 \ E ln

I 3. Alegeli elemente ale mulflmii a = {o,zs,3;

31: 0.3f 5 )l " "r"*r*

rapoane caret

sI aibd valoarea: a) 12; D) 1,08(3): c/ 1.4(l).

14. AlcStuili patru rapoarte ce au valoarea egali cu t1 l2:<: U O.5: q 2-

15. Determina{i scara unei h64i qtiind ce o distantr de l0 km dintre doue Imlititieste reprezentatl pe harti printr-un segment de I cm.

16. O distanlI de 60 km se reprezinti pe o hartii printr-rm segn€nt de 2 cm- Aflatiscara acestei hlrfi.

t 7. Determina{i concentralia unei solulii oblinuti din240 g ap6 qi l0 g sare.

18. Determinafl titlul unui aliaj ce conline 810 g aur qi 1190 g arumd.

19. Se dau numerele a = 1,25 qi b = I 250.a) Scrieli raportul numerelor a gi 6.

D) Determinali valoarea raportului numerelor f qi I .

t)

20. Valoarea raportului numerelor a gi b este egal5 cu 1,6. Completali pentru a obline

o propozilie adevdratd: ,,Produsul dintre3 si ! esrc egal cu ... ."b"

21 . Valoarea raportului este 0,5. Calculali a, gtiind cd D este egal cu 2,6(3).a

b

22. Fie r gi y doud numere al cdror raport este ] . Oo..-iru1i valoarea raportului,23x

5y

23. Scriefi raportul lungimilor a Si b gtiind c6;

a) a:licmqiD :24cm; b) a--340cm2qiD : 170cm2;c) a-- 4 cm gi b :2 dm) d) a: 18 000 000 mm3 qi b : 15 dm3;

e) a:34000 cm2 qi 6 :6,8fif .

2 tl. C alculali valoarea urmf,toarelor rapoarte :

o)200: ot9, ")3'4r, ot&l: '7s ^42 )L{2-25 t4 0,01 1,817 e) G; I o: r' ,.(o)

25. Pentm fiecare dintre situatiile urmitoare calculati termenul care lipseqtel'aloarea raportului:

To

ooO!(Jlr,

sau E

=UI

EE

9

,)#=a:rff=l,\=t,s; r) Lo =3,5; c)fr=r' ,11=0,

3vv!ut

=utf.!E=oul-loOEou,tEI(!

;=zsc,utr=(s

=3oozEEvtoo

10

26. Se qtie cA | = I . C*" este valoarea raportului numerelory qi x?' 3y 18

27. Raportul lungimilor laturilor a douf, p6trate este 3. Completali:o,) Raporhrl dintre perimetrele lor are valoarea ... .

6) Raportul ariilor este egal cu ... .

28. Raportul perimetrelor a doud pltrate are valoarea 1,8. Care este raportul ariilor?

29. Raporhrl dintre ariile a doul p[trate are valoarea 0,09. Afla{i raporhrl dintrelungimile laturilor lor.

30.Valoarea raporhrlui ld1imilor a dou6 pdtrate este 2,56. Care este raportul

perimetrelor?

3l.Valoarea raportul l[limilor a dou[ dreptunghiuri este 0,(3) , iar valoatea

raportului lungimilor este 1,2. Determinali raporhrl ariilor.

32. Un dreptLrnghi arc aria egal5 cu 6 cm2. Determinali lungimile laturilor sale qtiind

cd raportul dintre 15!ime gi lungime are valoarea 0,(6).

33. Se qtie ca I = 550 . Calculali valoarea raport*lui { ''5bb

34. Se yie ca f = 7,8 . Calculali valoarea raportului |.'3b9b

*?k?k

35. Aflagi valoarearaportului I, urde a =l+2+3+...+60 ;i b =: ?'+ :b' 234 60

36. Despentunerer- a. b.cse gie ,a 1= 4si ! =1. Cut.utut, raporillnumerelorD gic.bc2

37. Aflagi a, b, c ,gtiind cI suma lor este 63 9i ci rapoartefe I ll L atvaloarca 4?

38. Calculaqi termenul necunoscut din:

a1 1= g,2g,x

Q 2=4,x

u !=+,2;9

8.3e) =x:5

c) \=1,4;x

fl 6'(4) =a'

@ Procente

Raportul procentual este un raport de forma ffi ,notatpYo (unde p > 0).

in timUa.l uzual, cdnd spunem cdpYo dlrr.xeste egal cuy, infelege^s5 -P-. a = y .

100

in aceast[relatie: . pohreprezintlraportul procentual'.. x (ceea ce se scrie dupd cuvintul d/n t reprezintA [ntregtrl;. y repreztntd partea corespunzitoare din intreg.

in funclie de datele cunoscute din relalia de mai sus. deo-bim rei ripuri de aplicatii:

1. Aflarea raportului procentual (se cunosc,r ;il ;i se cerErf or

P '.*= l 1, Doo=I.tOO.100 ,r

Exemplu. O gospodina a cheltuit 90 de lei din cei 150 de lei pe care ii area- Ce preent(cdt la sut6) din sum6 a cheltuit?

Rezolvare. evem 4=4= +=1) p=60= p%=60%.t00 150 100 5

2. Aflarea unui procentpo/o dintr-un numir dat (se cunosc polo gi x qi se cere 1')

p%din.=#..Exemplu. O gospodin6 avealaea 120 de lei qi a cheltuit lamagazin 80% din sumi. Ce

sumd a cheltuit?Rezolvare. $tim raportul procentual gi intregul:

80% din 120 lei= 80 .tzo lei=8.l2lei=96lei.100

3. Aflarea unui numir cdnd se gtie un procent din el (se Stiu po/oqi y gi se cere x)

poh din x = ! o+'* - y= x = yi+= * = r''O'" 100 100 p

Exemplu. O gospodini a cheltuit 40% ditt suma pe care o avea, adici 80 lei. Ce sumE

avea gospodinala ea'?

Rezolvare. Fie s suma de bani pe care o avea gospodina. Atunci:

40% din s = 8lleio 40 ., = 80 lei<+ s = 80/el' 100 <> s = 2lei.l 00 = 100/ei. lei.100 40

Cregteri gi scideri cu po/o. Fie x un numdr rational pozitiv dat. TDacd num5rul x cregte ctp%o,atunci. in urma maririi el devine: S

,'=*a!*=[,**.l,,=[*-* .='T=lp.r=(r00+ p)%* $100 ( 100, (loo loo/ 100 \ I e

Dacd numdrul x scade cupoh,atunci, in urma micgordrii el devine: 'g

' -*], =(*-+']'='0,0;'r=(roo- p)%* E*,=*- p *=tr--4-''), =(99--r].= 100-pr=(100- , *r00 ( r00/ (lo0 100/ loo \ r'

EE

T