maps 1

© conf. dr. ing. Victor POPESCU

MAPS

1

Metode Adaptive de

Prelucrare a Semnalelor

conf. dr. ing. Victor POPESCU

catedra Bazele Electronicii

CAPITOLUL 1


MAPS

2

Bibliografie recomandată:

[2] Victor Popescu – Semnale, circuite şi sisteme.

Partea I-a. Teoria semnalelor

Editura Casa Cărţii de Ştiinţă, 2001.

[1] Adelaida Mateescu – Semnale şi sisteme.

Editura Teora, 2001.

[3] Marina Dana Ţopa – Semnale, circuite şi sisteme.

Partea II-a. Teoria sistemelor

Editura Casa Cărţii de Ştiinţă, 2002.

[4] B. Farhang–Boroujeny – Adaptive Filters. Theory and Applications,

John Wiley & Sons, Chichester,

England, 1999.


MAPS

3

SECŢIUNEA I SEMNALE ŞI SISTEME

1.- SEMNALE ÎN TIMP CONTINUU

2.- SISTEME ANALOGICE

3.- SEMNALE ÎN TIMP DISCRET

4.- SISTEME DISCRETE

5.- SEMNALE ALEATOARE

SECŢIUNEA II FILTRAREA ADAPTIVĂ

6.- INTRODUCERE ÎN FILTRAREA ADAPTIVĂ

7.- FILTRE WIENER

8.- VECTORI PROPRII ŞI VALORI PROPRII

9.- METODE DE CĂUTARE

10.- ALGORITMUL LMS

CUPRINS


MAPS

4

Cuprinsul capitolului 1:

1.1. Definiţii

1.2. Spectrul semnalelor

1.3. Clasificarea semnalelor

SEMNALE ÎN TIMP CONTINUU

1.4. Aspecte energetice

1.5. Semnale periodice

1.6. Semnale aperiodice

1.7. Corelaţia şi convoluţia semnalelor


MAPS Capitolul 1 SEMNALE ÎN TIMP CONTINUU

5

1.1. Definiţii

= (conform DEX) un ansamblu de elemente (principii,

reguli, forţe) dependente între ele şi formând un întreg

organizat, care …

Informaţie = orice element nou intervenit în cunoaştere.

Semnal = suportul fizic al informaţiei mărime aleatoare.

Circuit = un ansamblu de componente electrice interconectate

prin conductoare sau prin câmp electromagnetic,

care transmit şi prelucrează semnale.

Sistem

= o mărime fizică deterministă sau aleatoare,

capabilă să transmită informaţie.

= un ansamblu de circuite concepute în vederea

unei funcţionări unitare.



6


1.1. Definiţii







1.2.4. Reprezentarea bilaterală a spectrului

1.2.1. Spectrul armonic (unilateral)

1.2.2. Banda ocupată de un semnal

1.2.3. Noţiunea de frecvenţă negativă



7

x

t

τ

T

X o

în domeniul timp

prin corelaţie

Semnalele pot fi analizate:

în domeniul frecvenţă

spectrul semnalului

spectrul de

amplitudini f

1

A

f

X 1

f f 1

φ φ

X1 spectrul

de faze

… mai târziu

1

1T

fx1 T

2

1 1 x1

1 1 x1

x t X cos 2 f t

X cos 2 f t

1.2.1. Spectrul armonic (unilateral)



8

1.2.2. Banda ocupată de un semnal

DEFINIŢIA 1 Este domeniul de frecvenţe în care sunt localizate

componentele armonice ale semnalului.

OBSERVAŢIE: Există semnale care ocupă o bandă (teoretic) infinită.

DEFINIŢIA 2 (practică):

f

A

A0

αA0

Este domeniul de frecvenţe în care

se găsesc componentele a căror

amplitudine este mai mare decât

un nivel de referinţă ales arbitrar.

OBSERVAŢIE: În interiorul benzii pot exista componente

mai mici decât nivelul de referinţă.

B



9

1.2.3. Noţiunea de frecvenţă negativă

2πf t 1

-2πf t 1

j

1

½ X1

1 1 11 1 j j2 f t1

j j2 f t11 11

1X ex(t) X cos

1X e2 et

2f

2e

f 1

1 -f

-φ 1

φ 1



10

1.2.4. Reprezentarea bilaterală a spectrului

reprezentare bilaterală:

f f 1 2f 1

3f 1

φ

– π

A

f f 1 2f 1 3f 1

0.5 0.15

0.5

-f 1 -2f 1 -3f 1

π

0.5 0.15

-f 1 -2f 1 -3f 1

reprezentare unilaterală:

f f 1 2f 1

3f 1

φ

– π

A

f f 1 2f 1 3f 1

1

0.33 0.5

1 10.33coc sos (20 3 f t.5x t 2 f t )modelul matematic:



11


1.1. Definiţii







1.3.1. Caracterul determinist

1.3.2. Criteriul periodicităţii

1.3.3. Criteriul continuităţii



12

1.3.1. Caracterul determinist

Semnale

= a căror evoluţie poate fi cunoscută dinainte

= a căror evoluţie nu poate fi cunoscută dinainte

deterministe

aleatoare

modele matematice exacte

în domeniul timp

în domeniul frecvenţă

modele statistice

Clasificare :



13

Semnale

periodice

aperiodice

armonice

nearmonice

cvasiperiodice

impulsuri



Un semnal este periodic dacă şi numai dacă: DEFINIŢIE:

T : x t kT x t t, kR : Z

Clasificare :



14

DEFINIŢII:

1 2 2 11

1 ; t t t ; t t Tx t p t x t ; unde : p t

0 ; in restsau:

p(t)



Semnalele periodice se pot scrie sub forma :

n 1 nn 1

x t X cos 2 nf t

1 2 2 11

x t ; t t t ; t t Tx t

0 ; in restDescrierea pe o perioadă este:

Semnale periodice



15

k 1 k 1 k 2k 0



În funcţie de descrierea sa pe o perioadă, semnalul periodic se

poate scrie:

1k

x t x t kT

1

1f

TFrecvenţa fundamentală este, prin definiţie, inversul perioadei:

Pentru n = 1 → componenta fundamentală

→ este cea mai mică frecvenţă care poate apărea în spectru

Pentru n > 1 → componente armonice superioare

→ armonici superioare

→ apar la frecvenţe multiplu (prin n) al frecvenţei fundamentale

→ n este ordinul armonicii

Semnale periodice



16


DEFINIŢIE: Semnalul cvasiperiodic este un semnal care admite dezvoltarea:

cosn n nn 1

x t X t

unde raportul frecvenţelor a cel puţin două componente este un

număr iraţional.

OBSERVAŢIE: Spectrul este tot discret (ca la semnalele periodice),

dar ultima afirmaţie din definiţie face ca perioada sumei să fie infinită

(semnalul să nu fie periodic) .

OBSERVAŢIE: Un semnal periodic devine cvasiperiodic dacă se

„deplasează” puţin o componentă astfel ca frecvenţa sa să fie

într-un raport iraţional cu celelalte.

ÎNTREBARE: cum se vede acest lucru în aspectul semnalului?

Semnale cvasiperiodice



17


STUDIU: Un semnal are componentele:

f1=1 Hz, A1=1, φ1=0;

f3=3 Hz, A3=0.33, φ3=π.

Dacă armonica a treia se deplasează cu 1 μHz, frecvenţa sa devine

f3=3,000001 Hz şi atunci …

Semnalul arată la fel şi după o zi, sau două, sau după o sută de ani …

Graficul arată aşa:

acum: după o zi: după două zile:

OBSERVAŢIE: semnalul rămâne, totuşi, periodic.

El se va repeta după aproximativ 11 zile.

Semnale cvasiperiodice



18


Un impuls poate fi considerat ca provenind dintr-un semnal periodic,

dacă perioada tinde la infinit.

Apar două efecte:

1. în domeniul timp: rămâne doar descrierea pe o perioadă, adică un impuls.

2. în domeniul frecvenţă:

2.a. liniile spectrale devin infinit apropiate, ocupând în mod continuu

un domeniu de frecvenţe;

2.b. amplitudinile componentelor devin nule – aici vom reveni imediat .

DEFINIŢIE: Se numeşte impuls un semnal al cărui spectru ocupă

în mod continuu un domeniu de frecvenţe.

Impuls

În sens comun: un eveniment de (foarte) scurtă durată.

În TS: definiţia de mai sus, chiar dacă durata semnalului

este relativ mare, chiar tinzând la infinit.

Impulsuri



19


Semnal

periodic

impuls

periodic + impuls semnal periodic

impuls

suma lor



20


semnal

valori timp denumire

cuantizat

cuantizat

continuu

discret

continuu a) analogic

continuu d) eşantionat

două niveluri b) logic (digital)

e) logic eşantionat două niveluri

n niveluri c) cuantizat

f) eşantionat-cuantizat n niveluri

antonime utilizate: timp: continuu ↔ discret

valori: continuu ↔ cuantizat

Clasificare :



21


a) analogic x

t

H

L

prag

N2

N1

prag1

N3 prag2

x

t

b) logic (digital)

x

t

c) cuantizat

x

t

d) eşantionat

x

t

e) logic eşantionat

x

t

f) cuantizat – eşantionat



22


x(t) y(t)

sistem analogic

8

1 2 4

EXEMPLU: Un sistem analogic realizat „în jurul” unui nucleu numeric.

CAN CNA FTJ

4 4

DM = 1V codat pe 4 biţi → rezoluţia: 1/(16-1) = 66,7 mV

; . .1 1 1 2 1 4 0 8 7 7 66 7 466 7 mV



23


1.1. Definiţii









24


O secţiune într-un lanţ de transmisie:

u(t)

i(t)

amonte aval

Transmisia semnalelor este întotdeauna însoţită de un transfer de energie.

De reţinut:

Puterea instantanee este:

p t u t i t

Dorim o caracterizare energetică specifică

semnalelor „rupte” de sistemele care le prelucrează.

DEFINIŢIE (pentru semnale electrice – tensiuni, curenţi) :

Energia (puterea) de semnal este energia (puterea) pe care

semnalul respectiv ar dezvolta-o într-o rezistenţă unitară.



25

U

I

amonte aval

Z

22

uu

1 U 1P U

2 R 2

2 2i u

1 1P R I I

2 2

U

Iu

Ru=1 UI

I

RI=1

cos 21

1x t X 2 f t P X

2se generalizează indiferent

de natura fizică

şi, dacă:

MEMENTO:

z zZ R j XÎn complex: U Z I , atunci puterea activă se scrie: 2

2z

z

1 1 UP R I

2 2 R, unde U şi I sunt, acum ,amplitudinile reale.




26

x(t)

x

t t

dt

2dt dW x t dt ,,

2

1

t

21 2 12

t

t t W x t dt

semnal periodic: 2

T

T

W x t dt 2T

T

W 1P x t dt

T T

impuls: 2

tW x t dt

valoarea efectivă: 2efP X 2

ef

T

1X x t dt

T




27


1.1. Definiţii







1.5.1. Seturi de funcţii ortogonale

1.5.2. Seria Fourier armonică (SFA)

1.5.3. Spectrul Fourier armonic

1.5.4. Proprietăţile SFA

1.5.5. Distribuţia spectrală a puterii



28


kg to mulţime de funcţii elementare:

gk(t) = componente ak (constante) = coeficienţi = amplitudini = spectru

( ) ( )k k

k

x t a g to dezvoltare de tip Fourier: (1)

Probleme:

analiza semnalelor

sinteza semnalelor

seria este convergentă

coeficienţii se determină uşor

componentele sunt adecvate scopului

dezvoltare utilă dacă:




29

DEFINIŢIE Setul de funcţii este ortogonal dacă: kg t

* ,( ) ( )

,

2

i j

T

N pentru i jg t g t dt

0 pentru i j

a) N = 1 → setul este ortonormat. OBSERVAŢII:

b) funcţiile pot avea norme diferite.

EXEMPLU:


1 1

T

1 1

T T

cos(n t) cos(m t)dt

1 1cos (m n) t dt cos (m n) t dt2 2

T, pentru m n

2

0 , pentru m n

DEFINIŢIE: Un set complet (sau total [2]) de funcţii elementare pentru o clasă

de semnale este un set cu care se poate analiza orice semnal din acea clasă.




30

P’

a’3

g1

a3

a2

a1

g3

g2

P

* * * 2n k k n k k n n

k kT T T

x t g t dt a g t g t dt a g t g t dt a N

Calculul coeficienţilor (spectrului):

2

*1n nN

T

a x t g t dtSe rezolvă problema analizei semnalului: (2)

ÎNTREBARE: Este posibil ca acelaşi

punct (P) să fie caracterizat de o altă

valoare a coordonatei a3 (eventual

compensată din a1 şi a2)?

RĂSPUNS: O altă valoare a coordonatei

a3 ne situează într-un alt plan, în care

punctul P nu se poate găsi.




31

g1

a3

a2

a1

g3

g2

P

g1

a3

a2

a1

g3

g2

P

ATENŢIE! Ortogonal (funcţii) nu înseamnă perpendicular (geometric).

Ortogonalitatea este foarte importantă şi în alte direcţii.

De exemplu:

Caracteristicile unui filtru (frecvenţă centrală, lărgime de bandă de trecere etc.)

depind de parametrii (R, L, C, factori de amplificare etc.) ai acestuia.

În general, modificarea unui parametru

afectează mai multe dintre caracteristicile

filtrului.

Filtrul este ortogonal atunci când

caracteristicile sale se pot regla

independent una de cealaltă.




32

Este bazată pe setul de funcţii ortogonale: 1 1

1; cos n t ; sin n t ; n 1,

2

0n 1 n 1

n 1 n 1

Cx t C cos n t S sin n t

2Forma trigonometrică:

OBSERVAŢIE:

0

T T

C 1 2 1x t dt x t dt

2 2 T T= valoarea medie = componenta continuă

AVANTAJ: calcul direct.

DEZAVANTAJ: două componente la aceeaşi frecvenţă.

0 n 1 n 1

T T T

2 2 2C x t dt ; C x t cos n t dt ; S x t sin n t dt ;

T T T

Calculul coeficienţilor:





33

Forma armonică: 0 n 1 n

n 1

x t A A cos n t

Relaţii cu forma trigonometrică:

2 20 n0 n n n n

n

C SA ; A C S ; a tan

2 C

DEZAVANTAJ: calcul indirect.

AVANTAJ: o singură componentă la o frecvenţă.

OBSERVAŢIE:

A0 (componenta continuă) este valoarea medie;

se tratează separat de cele armonice.





34

Pe baza setului de funcţii ortogonale: 1jn t1 ; e

1jn t

0 nc

n

1x t A A e

2

AVANTAJE:

1) o singură componentă la o frecvenţă (ca la forma armonică).

2) calcul direct al coeficienţilor (ca la forma trigonometrică).

3) o singură integrală de calculat (la forma trigonometrică sunt două).

1jn t

0 nc

T T

1 2A x t dt ; A x t e dt

T T

Calculul coeficienţilor:



Forma complexă



35

Legături între coeficienţii diverselor forme ale seriei:

njnc n n nA C jS A e

n nc n ncC Re A ; S Im A

n nc n ncA A ; arg A2 2 nn n n n

n

SA C S ; atan

C





36

Pornind de la forma armonică:

f

An

φn

f f1 2f1 3f1 4f1

A4

A2

A1

A3 A0

φ4

φ3=0 φ2

φ1

f1 2f1 3f1

4f1





37

Pornind de la forma complexă:

f

An

f1 2f1 3f1 4f1

½ A4

φn

f

½ A2 ½ A1

½ A3

A0

φ4

φ3=0 φ2

φ1

f1 2f1 3f1

4f1

f1 2f1 3f1 4f1

½ A4

½ A2 ½ A1

½ A3

-φ4 φ3=0

-φ2 -φ1

-f1 -2f1

-3f1 -4f1





38

Notăm simbolic: ncx t A

a) Teorema liniarităţii.

1 2 ncy nc1 nc2y t x t x t A A A

Exemplu:

1nc1 1

n2A X Sa

T 2

2 1nc2 2

n2A X Sa

T 2 2 2

21 1ncy 0 0

n n2 2A Y Sa 1 Y Sa

T 2 T 2 2 2

t T/2 -T/2 θ/2 -θ/2

x1

X1

t T/2 -T/2 θ/2 -θ/2

x2

X2

t T/2 -T/2 θ/2 -θ/2

y

Y0

α Y0

x1(t) y(t)

S x2(t)





39

b) Teorema întârzierii (a deplasării în timp).

1jn

ncy ncxy t x t A A e

OBSERVAŢII:

1) nu are efect asupra amplitudinii componentelor :

ny nxA A

2) introduce un defazaj proporţional cu frecvenţa componentelor:

ny nx n n 1 1 1; n n n

3) defazajul este negativ la întârziere, respectiv pozitiv la devans.

x(t) y(t) S





40

c) Teorema modulării

(a deplasării în frecvenţă).

0 10 01j n tj t j tjn t

ncx ncx

n n

1y x t

1e A e e A e

2 2t

În cuvinte: Înmulţirea cu exponenţiala de frecvenţă f0 are ca efect

deplasarea spectrului bilateral „în jurul” frecvenţei f0.

f f1 f2 -f2 -f1

f0

x(t) y(t) S

f f0 f0+f1 f0-f1 f0+f2 f0-f2





41

f f1 f2 -f2 -f1

f0

f f0 f0+f1 f0-f1 f0+f2 f0-f2

OBSERVAŢII:

1) Aceeaşi deplasare se aplică şi

spectrului de faze.

0y t x t cos t2) Dacă: 0 0j t j t1 1y t x t e x t e

2 2, atunci:

-f0

-f0 -f0+f1 -f0-f1 -f0+f2 -f0-f2

x(t) y(t) S

3) Procedeu neliniar: apar componente la frecvenţe inexistente

în spectrul excitaţiei.





42

x(t) y(t) S

d) Teorema derivării.

ncy 1 ncx

dx ty t A jn A

dt

Efect asupra amplitudinilor:

Efect asupra fazelor iniţiale:

j2

y x j e2 f

φ

π/2

f

A

2π

1

OBSERVAŢIE:

Procedeul este liniar: nx nyA 0 A 0

ny d nx d 1A A unde : nK K





43

e) Teorema integrării.

ncy ncx1

1y t x t dt A A

jn

x(t) y(t) S

Efect asupra amplitudinilor:

Efect asupra fazelor iniţiale:

j2

y x

1e

2 j f

φ

-π/2

OBSERVAŢIE:

Procedeul este liniar: nx nyA 0 A 0

ny i nx i1

1A A unde :

nK K

f

A

1

1

2





44

Efecte ale derivării/integrării asupra benzii. x(t) y(t) S

Derivare Integrare

A A

f f

iKdK





45

1) Pentru semnale periodice, aspectele energetice se exprimă în termenii

puterii medii (pe o perioadă).

2) În domeniul timp, puterea medie se exprimă prin:

2

T

1P x t dt

T

3) Pentru un set complet de funcţii elementare, egalitatea lui Parseval este:

2k

k

2NP aT

Vom adapta ultima relaţie pentru seria Fourier armonică





46

2k

k

2NP aT

Pentru o componentă armonică, avem:

2cos sin

T TN N N

2 2şi: k na A

2

2 2 2 2 2n0 n 0 0 nef n

n 1 n 1 n 1 n 0

A1P A A A A A P

2 2





47


1.1. Definiţii







1.6.1. Transformarea Fourier

1.6.2. Proprietăţile transformării Fourier

1.6.3. Distribuţia spectrală a energiei



48

T T1 T2 T3

t t1 t2

x

t2 - t1 = T

PROPOZIŢIE: Un impuls este un semnal periodic a cărui perioadă tinde la infinit.

ANALITIC: 1 1jn t jn t

nc nc

n T

1 2x t A e A x t e dt

2 T

2 2

1 1 1 1

1 1

t t

jn jn t jn jn t 1

n nt t

1 2x t x e d e x e d e

2 T 2

2

1

t1j j t

1

t

d1

T n x t x e d e d2

integrala dublă Fourier




49

j j t1x t x e d e d

2Integrala dublă Fourier:

j tX x t e dt = transformarea Fourier directă

→ furnizează funcţia de densitate spectrală X(ω).

→ rezolvă problema analizei semnalului.

j t1x t X e d

2= transformarea Fourier inversă .

→ rezolvă problema sintezei semnalului.

Se notează simbolic:

1X x t ; x t XF F




50

1jn t

nc

n

1x t A e

2

j t1x t X d e

2

sumă

oscilaţie elementară

amplitudinea

complexă

dada X f df X f

df

Justificarea denumirii: funcţie de densitate spectrală:

O paralelă între serie şi transformată:




51

OBSERVAŢII:

1) Componentele spectrale ale impulsurilor nu pot fi semnale de sine stătătoare

(au amplitudinea nulă).

2) Spectrul continuu este o reprezentare exclusiv bilaterală.

3) Putem reprezenta grafic (sau ne putem imagina) numai semiplanul drept

(„unilateral”), dar nu trebuie uitat că există componente şi în semiplanul stâng.

4) Dacă x1(t) este descrierea pe o perioadă şi: 1

k

x t x t kT , atunci:

1nc 1 1 1 1 1 1

2 1A X n 2f X nf X n

T T

5) Multiplicarea cu 2/T = 2f1 rezolvă şi dimensional relaţia:

frecvenţă x densitate de amplitudine = amplitudine

6) Anvelopa „naturală” a spectrului discret este transformata Fourier a

descrierii pe o perioadă multiplicată cu 2/T.




52

OBSERVAŢIE: Spre deosebire de semnalele periodice, acum şi spectrul este

o funcţie continuă (de frecvenţă). Unele proprietăţi se vor exprima mai simplu.

Apar noi proprietăţi.

a) Teorema liniarităţii: 1 2 1 2x t x t x t X X X

b) Teorema derivării: x ' t j X

Derivatorul ideal

este caracterizat prin

1) amplificare proporţională cu frecvenţa

2) defazaj constant egal cu π/2

c) Teorema integrării:

t1

x d Xj

Integratorul ideal

este caracterizat prin

1) amplificare invers proporţională cu frecvenţa

2) defazaj constant egal cu – π/2

1.6.2. Proprietăţile transformatei Fourier



53

d) Teorema întârzierii (a deplasării în timp).

j1 1x t x t X X e

OBSERVAŢII:

1) nu are efect asupra amplitudinii componentelor: 1X X

2) introduce un defazaj proporţional cu frecvenţa componentelor:

1 ; 2 f

3) defazajul este negativ la întârziere, respectiv pozitiv la devans.

OBSERVAŢII:

1) Derivarea şi integrarea sunt procedee liniare de prelucrare (nu pot apare

componente la frecvenţe la care excitaţia nu are componente).

2) Ambele procedee introduc distorsiuni liniare de amplitudine (amplificarea

nu este uniformă) şi de fază (defazajul nu este liniar dependent de frecvenţă).




54

e) Teorema modulării (a deplasării în frecvenţă) :

OBSERVAŢII:

0t

1 1 0x(t) x t e X X ( )

1) ambele funcţii sunt continue → o exprimare concisă (vezi cazul seriei).

2) este teorema pereche a teoremei întârzierii (vezi teorema); înmulţirea cu

o exponenţială într-un domeniu (timp, frecvenţă) are ca efect o deplasare

în celălalt domeniu.

Asupra acestei simetrii vom reveni cu o formulare mai generală.




55

t0.1 = 17,5 ms t0.1 = 70 ms

B6 dB = 50 Hz B6 dB = 12,5 Hz

1

f) Teorema comprimării timpului:

1 1

tx t x X X ( )

125 t 250 t1x t e eEXEMPLU:

α = 4




56

g) Teorema simetriei:

1 1x(t) X( ) x (t) X(t) X ( ) x( )

La prima vedere, se dublează numărul de transformate cunoscute.

În realitate:

1) semnal fizic → x1(t) este o funcţie reală.

2) X(t) – deci şi X(ω) – trebuie să fie o funcţie reală.

3) x(t) trebuie să fie cu simetrie pară.




57

h) Teorema lui Parseval:

1 2 1 2

1x (t) x (t) dt X ( ) X ( )d

2

OBSERVAŢII:

1) Datorită comutativităţii produsului de sub prima integrală, semnul minus

poate apare la oricare dintre spectre.

2) Teorema va avea aplicaţii în evaluări energetice.




58


1) pentru impulsuri, aspectele energetice se discută în termenii energiei

de semnal.

2) energia de semnal este energia pe care semnalul ar dezvolta-o pe o

sarcină unitară. (pentru tensiuni şi curenţi: pe o rezistenţă unitară).

3) energia pe care o dezvoltă semnalul în intervalul dt este: dW = x2(t)dt.

4) energia dezvoltată în intervalul (t1, t2) este:

2

1

t

21,2

t

W x t dt

5) energia totală a semnalului este: 2W x t dt



59

Pentru evaluarea energiei în spectru: Teorema lui Parseval, pentru: x1 = x2 = x.

22 1x (t) dt X(f ) df S(f ) df S( ) d

2

2) din simetria pară: S S rezultă:

OBSERVAŢII:

2 1 2

1 2

1 2 1

f ,f

1 1 1W S d S d S d

2 2

a) energia în banda (ω1, ω2):

b) energia totală:

0

1 1W S d S d

2

1) energia nu depinde de spectrul de faze.

densitatea spectrală a energiei.




60


1.1. Definiţii







1.7.1. Funcţia de intercorelaţie

1.7.2. Funcţia de autocorelaţie

1.7.3. Convoluţia semnalelor analogice



61

DEFINIŢIE: 2

xy

2

1R lim x t y t dt

a) Semnale periodice (de aceeaşi perioadă):

xy

T

1R x t y t dtT

b) Semnale aperiodice (de energie finită):

xyR x t y dt

Se particularizează pentru cazurile practice:



Proprietate: xy yxR R



62

21 t

1x t e cos 2 f t t

τ>0

t

τ<0

t

EXEMPLU:

xyR ( ) x(t ) y(t)dtτ

21 t

y t et

τ=0





63

OBSERVAŢII:

1) Funcţia de intrecorelaţie este o măsură a gradului de asemănare a semnalelor.

2) Asemănarea poate proveni dintr-o relaţie de cauzalitate:

t

x covarianţă

t

y

Rxy → extrem pozitiv

contravarianţă t

y

Rxy → extrem negativ

3) Extremul apare la τ1 egal cu întârzierea efectului.

4) Dacă τ1 < 0, x este cauză şi y este efect.

5) Dacă Rxy ≡ 0, semnalele sunt necorelate şi între ele nu poate exista o relaţie

de cauzalitate.





64

Spectrul funcţiei de intercorelaţie a două semnale periodice .

xy

T

1R ( ) x(t ) y(t)dtT

1jn t

ncx

n

1x t A e

2

1

*ncx ncy jn

xy

n

A A1R ( ) e

2 2

1jn txy ncx

nT

11R ( ) A e y t dtT 2

1 1jn t jnncx

n T

1 1A y t e dt eT2

*nc ncx ncy

1S A A

2*

ncx,ef ncy,efA Anx nyj

nx,ef ny,efA A e njnS e

n nc nx,ef ny,efS S A A

n nc n nP S S cosRe

n nc n nQ S S sinIm

putere aparentă

putere activă

putere reactivă

Dacă x(t) este o tensiune

şi y(t) – un curent:





65

COMENTARII:

1) Funcţia de intercorelaţie apreciază „energetic” asemănarea semnalelor.

2) Funcţia de intercorelaţie are componente numai la frecvenţele la care

ambele semnale au componente.

3) Între două circuite, puterea se transferă numai la frecvenţele la care

ambele semnale au componente.

CONCLUZIE:

Funcţia de intercorelaţie poate furniza spectrul de putere efectiv transferată

(nu de semnal), dar pierde informaţia referitoare la faze (prin integrare).





66

Spectrul funcţiei de intercorelaţie a două semnale aperiodice.

j t jxy

1R X e e d y t dt

2

j t j1X y t e dt e d

2

jxy

1R X( )Y e d

2

* j1X Y e d

2

jxy

1S e d

2

* *xy xyS X Y S f X f Y f





67

Funcţia de autocorelaţie se obţine din cea de intercorelaţie luând y(t) = x(t):

xx

T

1R x t x t dtT xxR x t x t dt

Semnale periodice Semnale aperiodice

* 2nc nc nc n n

1 1S A A A P

2 2

2*xxS f X f X f X f

expresia:

proprietăţi:

1) este o funcţie pară: xx xxR R

2) are un maxim în origine:

xx xxR 0 P R

spectrul:



xx xxR 0 W R



68

DEFINIŢII:

Zgomotul este un semnal aleator a cărui funcţie

de autocorelaţie descreşte rapid cu τ.

Zgomotul alb are funcţia de autocorelaţie

de forma impulsului Dirac.

ATENŢIE ! A nu se confunda noţiunile de perturbaţie (care poate fi un

semnal determinist, chiar plăcut, dacă nu ne-ar deranja) şi

zgomot (care are caracteristicile de mai sus).





69

Exemplu de zgomot:

Produsul pentru : 0

Produsul pentru : 1Funcţia de autocorelaţie:

zzR z t z dt

Funcţie de timp (400 pct):





70

Zgomot alb: zzR F zzS f k T

231,37 10 J/K

(Boltzmann)

temperatura

de zgomot KFuncţia de autocorelaţie: zzR kT

Densitatea de amplitudine: Z f kT

APLICAŢIE: Un semnal afectat de zgomot: zx t x t z t

Pentru calculul intercorelaţiei: x t z t x t z t

x t x t x t z t z t x t z t z t

z zx x xx xz zx zzR R R R R

0 0

z zx x xx zzR R R





71

EXEMPLU: Un semnal periodic înecat în zgomot „aproape” alb.

sin

zgomot

autocorelator





72

DEFINIŢIE: Produsul de convoluţie x(t) al semnalelor x1(t) şi x2(t)

se defineşte prin relaţia:

1 2 1 2x t x t x t x x t d

OBSERVAŢIE:

Spre deosebire de corelaţie, aici, al doilea semnal este şi inversat.

Nu mai apare complex-conjugarea unuia dintre spectre. OBSERVAŢIE:

Relaţia între spectre: 1 2X X X

PROPRIETĂŢI:

A. Comutativitatea 1 2 1 2x x t d x t x d





73

B. Derivarea 1 2 1 2x ' t x ' t x t x t x ' t

demonstraţie:

1 2x ' t j X X 1 2j X X 1 2X j X

C. Produsul algebric în timp

1 2 1 2x t x t x t X X X f d

OBSERVAŢIE: este o altă expresie a simetriei transformărilor directă

şi inversă: produsului algebric într-un domeniu îi corespunde

produsul de convoluţie în celălalt.





74

t

1x t t

t

t2x t e t

τ

1x

τ

2x

τ t < 0

1x t

2x

τ t < 0

1x2x t

τ t > 0

1x t

2x

τ t > 0

2x t1x

t

t1 2

0

x(t) x ( ) x (t )d 1 e

A

EXEMPLU:

t

A

t





75

… deocamdată. Asta-i tot

maps 1

Documents