m. rades - dinamica masinilor 1

MIRCEA RADEŞ

DINAMICA MAŞINILOR

I

2007

Prefaţă

Lucrarea este o traducere a primei părţi a cursului Dynamics of Machinery predat din 1993 studenţilor Filierei Engleze a Facultăţii de Inginerie în Limbi Străine (F.I.L.S.) la Universitatea Politehnica Bucureşti. Conţinutul cursului s-a lărgit în timp, pornind de la un curs postuniversitar organizat între 1985 şi 1990 în cadrul Catedrei de Rezistenţa materialelor şi continuat până în 2007 la cursul de masterat în specialitatea Siguranţa şi integritatea maşinilor.

Dinamica maşinilor a fost introdusă în planul de învăţământ al F.I.L.S. în 1993. Pentru a susţine cursul, am publicat Dynamics of Machinery la U. P. B. în 1995, urmată de Dinamica sistemelor rotor-lagăre în 1996 şi Rotating Machinery în 2005, ultima conţinând materialul ilustrativ utilizat în cadrul cursului.

După cum reiese din Cuprins, cursul este orientat spre aplicaţii inginereşti. Materialul prezentat conţine numeroase exerciţii rezolvate care susţin seminarul, în cadrul căruia studenţii sunt îndrumaţi să scrie programe simple cu elemente finite în Matlab, fiind utile şi la rezolvarea temelor de casă.

Cursul are un loc bine definit în planul de învăţământ, urmărind: a) descrierea fenomenelor dinamice specifice maşinilor; b) modelarea sistemelor rotor-lagăre şi analiza acestora cu metoda elementelor finite; c) înarmarea studenţilor cu baza fizică necesară în rezolvarea problemelor de vibraţii ale maşinilor; şi d) familiarizarea cu metodele de supraveghere a stării maşinilor şi diagnosticare a defectelor.

Fiind un curs predat unor studenţi a căror limbă maternă nu este limba engleză, în versiunea în limba engleză au fost reproduse expresii şi fraze din lucrări scrise de vorbitori nativi ai acestei limbi. Pentru studenţii F.I.L.S. s-a definit şi ilustrat în detaliu terminologia specifică limbii engleze.

În partea a doua se prezintă modelarea cu elemente finite a sistemelor rotor-lagăre, lagărele hidrodinamice şi etanşările, stabilitatea precesiei rotoarelor. În partea a treia se tratează lagărele cu rulmenţi, echilibrarea rotoarelor, măsurarea vibraţiilor pentru supravegherea funcţionării maşinilor şi diagnosticarea defectelor, standarde şi recomandări privind limitele admisibile ale vibraţiilor maşinilor, precum şi elemente de dinamica maşinilor cu mecanism bielă-manivelă şi vibraţiile conductelor aferente. Nu se tratează vibraţiile paletelor, discurilor paletate şi ale roţilor centrifuge.

August 2007 Mircea Radeş

Cuprins

Prefaţă i

Cuprins iii

1. Sisteme rotor-lagăre 1 1.1 Evoluţia maşinilor rotative 1 1.2 Obiectul şi problemele Dinamicii rotoarelor 22 1.3 Precesia rotoarelor 24 1.4 Modelul de calcul 26 1.5 Evoluţia concepţiei de proiectare a rotoarelor 29 1.6 Scurt istoric 32 Bibliografie 34

2. Rotoare cu un disc, în lagăre rigide 39 2.1 Modele de rotoare cu un disc 39

2.2 Rotorul simetric neamortizat 40

2.2.1 Ecuaţiile de mişcare 41

2.2.2 Răspunsul la dezechilibru masic 43

2.3 Rotorul simetric amortizat 46

2.3.1 Efectul amortizării vâscoase externe 47

2.3.2 Efectul amortizării interne 54

2.3.3 Efectul combinat al amortizării externe şi interne 62

2.3.4 Efectul greutăţii proprii 65

2.3.5 Efectul îndoirii arborelui 66

2.3.6 Precesia rotoarelor simetrice în lagăre rigide 67

2.4 Rotorul nesimetric neamortizat 68

2.4.1 Sisteme de axe de referinţă 69

2.4.2 Cupluri de inerţie care acţionează asupra discului 69

2.4.3 Ecuaţiile mişcării discului montat pe arbore 72

2.4.4 Moduri proprii de precesie 75

2.4.5 Răspunsul la excitaţie armonică 81

2.4.6 Diagrame Campbell 87

2.4.7 Efectul cuplului giroscopic asupra turaţiilor critice 97

DINAMICA MAŞINILOR iv

2.4.8 Consideraţii asupra precesiei rotoarelor nesimetrice 98

3. Rotoare cu un disc, în lagăre elastice 101 3.1 Rotorul simetric în lagăre elastice 101

3.1.1 Influenţa elasticităţii lagărelor 102

3.1.2 Influenţa amortizării externe 109

3.1.3 Efectul combinat al amortizării externe şi interne 117

3.1 4 Influenţa amortizării lagărelor 119

3.1.5 Efectul combinat al amortizării lagărelor şi masei arborelui 131 3.2 Rotorul simetric în lagăre cu alunecare 136

3.2.1 Răspunsul la dezechilibru 136

3.2.2 Stabilitatea mişcării de precesie 142 3.3 Rotorul nesimetric în lagăre elastice 145

3.3.1 Ecuaţiile de mişcare 145

3.3.2 Pulsaţiile proprii de precesie 148

3.3.3 Răspunsul la dezechilibru 152

3.3.4 Influenţa amortizării lagărelor 156

3.3.5 Moduri de precesie mixte 158

3.4 Exemple de simulare numerică 168

4. Analiza dinamică a rotoarelor 207 4.1 Turaţiile critice neamortizate 207

4.1.1 Influenţa flexibilităţii reazemelor 207

4.1.2 Diagrama turaţiilor critice neamortizate 209

4.1.3 Influenţa masei statorului 217 4.2 Turaţiile critice amortizate 219

4.2.1 Modele liniarizate de lagăre 219

4.2.2 Ecuaţiile mişcării amortizate 220

4.2.3 Problema de valori proprii la rotoare cu amortizare 220

4.2.4 Diagrama Campbell 222

4.2.5 Orbita şi forma modurilor de precesie 223 4.3 Turaţiile critice de răspuns maxim 224 4.4 Analiza stabilităţii precesiei 227 4.5 Exemple de simulare numerică 231 4.6 Moduri de precesie plane 273 Bibliografie 281 Index 283

1. SISTEME ROTOR-LAGǍRE

În prima parte a Dinamicii maşinilor se studiază sistemele rotor-lagăre, incluzând influenţa etanşărilor şi efectul suporţilor lagărelor. Prin neglijarea elasticităţii discurilor şi a paletelor, Dinamica sistemelor rotor-lagăre nu include analiza vibraţiilor roţilor centrifuge (impulsoare) şi a discurilor paletate.

1.1. Evoluţia maşinilor rotative

Interesul crescând pentru studiul vibraţiilor maşinilor cu rotor se datoreşte faptului că peste 80% din problemele care apar la aceste maşini sunt produse de vibraţii. În efortul continuu de a dezvolta mai multă putere pe unitatea de greutate a maşinii, soluţiile constructive s-au apropiat de limitele de rezistenţă ale materialelor şi problemele de vibraţii s-au diversificat. Acestea, împreună cu costul extrem de ridicat al întreruperilor accidentale din funcţionare, la maşinile care lucrează în instalaţii cu flux tehnologic continuu, au determinat dezvoltarea cercetărilor şi metodelor de proiectare în două domenii de prim interes practic: Dinamica sistemelor rotor-lagăre şi Vibraţiile paletelor şi discurilor paletate.

1.1.1 Turbine cu abur

Semnificativă pentru progresul tehnic în acest domeniu este dezvoltarea turbinelor cu abur în Europa [1.1]. De la prima turbină cu acţiune construită în 1883 de inginerul suedez Gustaf de Laval (la 30000 minrot redusă la 3000

minrot prin reductor) şi prima turbină cu reacţiune cu mai multe trepte, construită în 1884 de englezul Charles Parsons (la 18000 minrot şi 10 CP) şi până la turbinele pentru centralele nucleare de astăzi, evoluţia a fost spectaculoasă.

Deja în 1901 firma Brown Boveri a construit o turbină cu abur de 250 kW la 3000 rot/min, cuplată direct la un generator de curent alternativ. Din 1907, înaintea treptelor de presiune cu reacţiune s-a ataşat roata Curtis (inventată în 1896) de reglaj, înlocuită apoi de roţi cu două sau trei coroane de palete. În 1914 cea mai

DINAMICA MAŞINILOR 2

mare turbină cu abur într-o singură carcasă avea 25 MW la 1000 rot/min. Din 1916 au început primele studii sistematice de Dinamica rotoarelor efectuate de profesorul Aurel Stodola la Institutul Federal de Tehnologie din Zürich.

După 1920, creşterea preţului cărbunelui a impus creşterea eficienţei turbinelor cu abur. Printre altele, aceasta s-a realizat prin reducerea diametrului şi mărirea numărului de trepte, deci prin creşterea lungimii rotorului, ceea ce a stimulat dezvoltarea Dinamicii sistemelor rotor-lagăre.

Puterea maximă produsă de o turbină depinde în mare măsură de lungimea paletelor ultimei trepte. Valoarea admisibilă a raportului între lungimea paletei şi diametrul rotorului influenţează randamentul maşinii. Arborii trebuie să aibă diametrul cât mai mic pentru a permite un diametru mic al rotorului şi o lungime mare a paletei. În caz contrar, greutatea sporită a arborelui determină o creştere a încărcării specifice medii a lagărelor. Creşterea secţiunii transversale a unei turbine este limitată de tensiunile mecanice şi de dimensiunile pieselor care pot fi transportate. Aceasta este compensată prin creşterea lungimii active, eventual prin dispunerea în tandem, cu o linie de arbori lungă, în care puterea mecanică este produsă în câteva corpuri.

Prima turbină cu suprapresiune cu trei corpuri (presiune înaltă, ÎP, presiune medie, MP, şi presiune joasă, JP) construită de BBC în 1929 avea 36 MW la 3000 rot/min. Curgerea aburului în rotoarele de ÎP şi MP se făcea în direcţii opuse, pentru echilibrarea împingerii axiale. Rotoarele, care iniţial aveau discuri fretate pe arbore fixate cu pene, au început să fie fabricate prin sudare, ceea ce a permis diametre şi puteri dezvoltate mai mari. Creşterea eficienţei turbinelor cu abur a micşorat cantitatea de cărbune necesară pentru a produce 1 kWh de energie electrică de la 0,75 kg în anii primului război mondial la 0,45 kg în 1927. Puterea celor mai mari turbine în Europa a atins 50-60 MW în mijlocul anilor 1920 când turbine de 1500 minrot au fost cuplate cu generatoare cu patru poli. Între 1926-1928 a fost construit un turbogenerator de 165 MW cu doi arbori, arborele de ÎP la turaţia 1800 minrot şi arborele de JP la 1200 minrot .

În 1948, cea mai mare turbină cu o singură linie de arbori (fig. 1.1) avea patru corpuri, lungimea 27 m (fără generator), puterea 110 MW şi turaţia 3000 rot/min [1.2]. În 1950 s-a ajuns la turbine de 125 MW în Europa şi de 230 MW în S.U.A., apoi în 1956 - la 175 MW iar în 1964 - la turbine de 550 MW cu doi arbori.

În 1972 s-a construit prima turbină în dublu flux pentru centrale nucleare, de 1300 MW la 3600 rot/min, cu două linii de arbori pentru două generatoare de 722 MVA. În figura 1.2 se prezintă o secţiune longitudinală prin corpul de înaltă presiune al unei turbine BBC de 1300 MW la 1800 rot/min.

Construcţii curente au generatoare de 1635 MVA la 1500 rot/min, respectiv de 1447 MVA la 3000 rot/min. În prezent se construiesc turbogeneratoare de 1700-2000 MW pentru 1500 sau 1800 rot/min, respectiv de 1500-1700 MW pentru 3000 sau 3600 rot/min.

1. SISTEME ROTOR-LAGǍRE 3


În general, la grupurile de 1-50 MW arborii au lungimi de 8-20 m, la cele de 100-150 MW arborii au între 25-30 m iar la turbinele peste 1000 MW linia de arbori depăşeşte 75 m.

Fig. 1.2 [1.3]

Cum creşterea lungimii rotoarelor a fost însoţită de creşterea numărului de trepte (sau discuri pe un arbore), a numărului lagărelor şi al cuplajelor între arborii de pe o linie, a complexităţii etanşărilor şi a problemelor legate de dilatarea inegală la pornirea maşinii, toate dublate de problemele de rezistenţă ridicate de creşterea dimensiunilor, rezultă clar creşterea complexităţii calculului dinamic al rotoarelor acestor maşini.

În fig. 1.3 se prezintă o secţiune longitudinală tipică printr-o turbină industrială cu contrapresiune, într-o soluţie constructivă mai veche [1.4]. Aburul este expandat în două părţi principale, una cu acţiune şi a doua cu reacţiune.

În prima parte, aburul este accelerat în ajutajele 1, în care energia cinetică creşte, ceea ce este utilizat în paletele roţii cu acţiune 2. Discul face corp comun cu arborele. Deobicei ajutajele sunt frezate în mai multe segmente fixate în carcasă printr-un bandaj inelar. Paletele sunt frezate din bare din oţel cu crom. Piciorul paletelor este fixat în canalul roţii cu acţiune prin piese de distanţare. Capetele paletelor sunt uneori sudate între ele în grupuri care formează un bandaj întrerupt.

Partea a doua, cea de reacţiune, constă din coroane de palete fixe sau mobile 3, fixate în canale din carcasă sau rotor prin distanţiere de forme adecvate.

Etanşările terminale 4 împiedică scurgerea aburului în lungul arborelui. Etanşările cu labirinţi formează canale cu profil special care permit doar scurgerea unor cantităţi mici de abur. Datorită turbulenţei, scăderea presiunii aburului este suficient de mare pentru a permite etanşări scurte. Inelele de labirint, executate din platbandă subţire, sunt fixate prin ştemuire în bucşele portlabirinţilor. Se evită astfel riscul deteriorării rotorului datorită deformaţiei termice produse de frecările


în etanşări, deoarece transferul de căldură de la exteriorul inelelor subţiri de labirint către arbore este foarte mic.

Fig. 1.3 [1.4]

Pistonul de echilibrare 5 este plasat între roata cu acţiune şi etanşarea terminală de înaltă presiune, pentru a contrabalansa forţele axiale aplicate asupra rotorului de acţiunea aburului. Camera intermediară este legată de conducta de evacuare. Deobicei pistonul de echilibrare este realizat monobloc cu arborele. La turbine mai vechi acesta era fretat pe arbore, soluţie constructivă care poate produce instabilitatea precesiei datorită frecării uscate rotative.

Lagărul 6 de la capătul de admisie al turbinei este radial-axial, pentru a reduce lungimea rotorului. Partea axială acţionează în ambele direcţii asupra gulerelor 7 pentru a prelua forţele neechilibrate de pistonul 5. Se utilizează lagăre de tip Mitchell cu sectoare oscilante din bronz montate pe inele de oţel flexibile.

Lagărul radial al lagărului combinat ‘faţă’ şi lagărul radial ‘spate’ 8 sunt placate cu metal antifricţiune turnat în forme semicilindrice separate. În unele cazuri se utilizeză lagăre cu segmenţi oscilanţi.

Rotorul 9 este fabricat din oţel forjat de înaltă calitate. După ce se montează paletele, rotorul este echilibrat şi supus timp de câteva minute testului de supraturare la o turaţie de 112% faţă de turaţia de funcţionare continuă. Rotoarele de ÎP care lucrează la temperaturi ridicate sunt din oţel cu crom. În fig. 1.4 se prezintă câteva soluţii constructive de rotoare utilizate în turbine cu abur [1.5].

La turbinele cu turaţii mari sunt necesare reductoare de turaţie pentru antrenarea generatoarelor cu 2 sau 4 poli, cu turaţii de 3000 sau 1500 rot/min (pentru 50 Hz).

În general, arborii reductorului de turaţie sunt conectaţi prin cuplaje la maşina motoare şi la cea antrenată. Cuplajele trebuie să compenseze micile erori de


aliniere şi dilatările termice din maşină fără să afecteze roţile dinţate din reductor. Semicuplele sunt corp comun cu arborii forjaţi.

Fig. 1.4 [1.5]

Prima turbină cu abur românească, construită în 1953 la Reşita, a fost o turbină cu acţiune de 3 MW şi 3000 rot/min. În 1967 s-a fabricat prima turbină de 50 MW, în două corpuri. După 20 de ani, la I.M.G. Bucureşti s-a construit turbina cu condensaţie de 330 MW în patru corpuri, după licenţa Rateau-Schneider. Rotoarele au o construcţie monobloc, având discurile corp comun cu arborele. În prezent, societatea General Turbo realizează turbine de 700 MW.

1.1.2 Turbine cu gaze

Dezvoltarea turbinelor cu gaze este de dată mai recentă. De la prima turbină cu gaze pentru avioane, proiectată de Whittle în 19367, şi prima turbină industrială staţionară construită de Brown Boveri în 1939, s-a ajuns la turbine de 80 MW la 3000 rot/min şi de 72 MW la 3600 rot/min în centrale electrice şi la turbine de 16 MW cu gaze de furnal înalt, progresele datorându-se răcirii paletelor şi diminuării efectelor coroziunii şi eroziunii. Turbine moderne fabricate de ABB au 265 MW la 3000 rot/min şi 183 MW la 3600 rot/min.

Cea mai simplă instalaţie cu turbină cu gaze staţionară în circuit deschis cuprinde un compresor, o cameră de ardere şi o turbină cu gaze. La aranjamentul din fig. 1.5, rotorul turbinei 1 şi rotorul compresorului 2 formează o singură linie de arbori, în timp ce generatorul 7 este cuplat prin ambreiajul 6. Starterul 5 este utilizat pentru pornirea turbinei în timp ce generatorul se roteşte. O parte a aerului comprimat este folosită pentru arderea combustibilului. Restul (aprox. 70%) este


utilizat pentru răcirea învelişului camerei de ardere şi a unor componente ale turbinei, şi este amestecat cu gazele calde.

Fig. 1.5 [1.6]

Volumul gazului expandat în turbină este mult mai mare decât volumul aerului comprimat în compresor, datorită încălzirii în camera de ardere. Diferenţa între lucrul mecanic produs de turbină şi lucrul mecanic absorbit de compresor şi pierderile prin frecări este egală cu lucrul mecanic transmis generatorului electric. Lucrul mecanic depinde de randamentele termodinamice ale compresorului şi turbinei, şi de temperatura gazului la intrarea în turbină.

Fig. 1.6 [Power, Jan 1980, p.27]

O soluţie constructivă cu arbori concentrici, asemănătoare turbinelor cu gaze ale avioanelor, este arătată în fig. 1.6.

În figura 1.7 se prezintă o schiţă de principiu a rotoarelor unui turbofan Rolls-Royce RB.211. Turbina de JP cu trei trepte acţionează ventilatorul cu o treaptă care nu are palete directoare de admisie. Turbina de MP cu o treaptă


acţionează compresorul de MP cu şapte trepte. Turbina de ÎP răcită cu aer, cu o treaptă, acţionează compresorul de ÎP cu şase trepte.

Cele opt lagăre principale sunt amplasate în patru panouri rigide (nu apar în figură). Cele trei lagăre axiale cu rostogolire sunt grupate într-o carcasă intermediară rigidă. Între fiecare lagăr cu rulment şi carcasă sunt montate amortizoare cu ulei de tip squeeze-film (cu film expulzat) pentru atenuarea vibraţiilor motorului. Sistemul de ÎP este relativ scurt, fiind rezemat pe numai două lagăre dispuse departe de zona de combustie pentru sporirea durabilităţii.

Fig. 1.7 [1.7]

Ventilatorul de JP cu o treaptă are 33 palete cu picior în coadă de rândunică. Compresorul axial de MP cu şapte trepte are un rotor de tip tambur. El constă din şapte discuri sudate în două tambururi cu cinci şi respectiv două trepte, asamblate prin şuruburi între treptele 5 şi 6. Paletele au piciorul în formă de coadă de rândunică şi au plăcuţe de fixare. Compresorul de ÎP cu şase trepte este fabricat din două tambururi sudate între ele prin discul treptei a treia şi are palete cu piciorul în coadă de rândunică.

Soluţia constructivă cu trei arbori are două avantaje principale: simplitatea şi rigiditatea. Fiecare compresor funcţionează la turaţia optimă, permiţând astfel un raport mai mare de comprimare pe o treaptă. Aceasta conduce la mai puţine trepte şi mai puţine piese componente, pentru realizarea valorii dorite a raportului de comprimare total, decât în alte configuraţii. Arborii scurţi cu diametru mare determină un nivel redus al vibraţiilor şi un motor silenţios. Carcasa scurtă şi amplasarea punctelor de rezemare a motorului conduc la o structură foarte rigidă. Aceasta permite funcţionarea rotoarelor cu jocuri mici la periferie şi deci randament îmbunătăţit.

Turbinele cu gaze fabricate în România sunt: 1) Viper 632-41, sub licenţă Rolls-Royce, cu compresor axial în opt trepte şi turbină în două trepte la 13.800

minrot ; 2) Alouette III B, sub licenţă Turbomeca, de 422 kW la 33.480 minrot ; şi 3) Turmo IV CA, sub licenţă Turbomeca, de 1115 kW.


1.1.3 Compresoare axiale

Deşi variante de compresoare axiale au fost patentate încă din 1884, abia la începutul anilor 1950 acestea au început să fie utilizate extensiv în instalaţii de turbine cu gaze. În prezent, datorită performanţelor ridicate, compresorul axial este folosit cu precădere la aeronave. El este concurat de alte tipuri de compresoare doar în anumite aplicaţii industriale.

Fig. 1.8 [1.8]

Compresorul cu curgere axială a gazului se aseamănă în principiu cu turbinele cu abur sau cu gaze cu curgere axială. Deobicei multietajat, acesta are coroane de palete cu lungimi care scad monoton în lungul unui singur arbore, spre deosebire de turbine unde lungimea paletelor creşte dinspre aspiraţie spre refulare.

În fig. 1.8 s-au notat: 1 – lagăr radial, 2 - etanşări, 3 - prerotitor, 4 – conducta de aspiraţie, 5 – palete rotorice, 6 – palete statorice, 7 – palete statorice de redresare, 8 – conducta de refulare, 9 - difuzor, 10 - cuplaj, 11 – arborele turbinei cu gaze, 12 – rotor de tip tambur, 13 – lagăr radial-axial, 14 – carcasa statorului.

În practic toate variantele constructive, rotorul este rezemat într-un lagăr ‘faţă’ în zona de aspiraţie şi într-un lagăr ‘spate’ în zona de refulare. La aeronave se utilizează lagăre cu rulmenţi, datorită compactităţii, cerinţelor minimale de ungere şi a insensibilităţii la întreruperi momentane ale ungerii cu ulei ce pot apare în timpul zborului acrobatic.


1.1.4 Compresoare centrifuge

Deşi compresoarele centrifuge au randament ceva mai mic decât compresoarele axiale, ele sunt mai uşor de fabricat şi sunt deci preferate în aplicaţii în care simplitatea, robusteţea şi costul mic sunt cerinţe de bază. În plus, o treaptă de turbocompresor poate avea un raport de comprimare de 5 ori mai mare decât o treptă de compresor axial. Ca urmare, compresoarele centrifuge sunt utilizate în centrale termoelectrice, industria petrochimică, la injecţia şi lichefierea gazelor, turbosuflante de supraalimentare la vehicule terestre, locomotive, vapoare, motoare auxiliare etc.

Fig. 1.9 [1.9]

În fig. 1.9 se prezintă schematic o secţiune longitudinală a unui rotor de compresor centrifug cu mai multe trepte. În afara arborelui, roţilor centrifuge, lagărelor şi cuplajului, modelate ca la alte maşini, componente importante în analiza dinamică sunt labirinţii cu gaze, etanşările cu ulei şi cuplajele aerodinamice ale roţilor cu palete. Pentru stabilizarea compresoarelor cu probleme se mai utilizează amortizoare squeeze-film .

Compresoarele centrifuge multietajate au arbori cu diametru relativ mic. Deobicei, roţile centrifuge ocupă aproape jumătate din lungimea rotorului, cealaltă parte fiind necesară pentru etanşarea centrală, discul de echilibrare, etanşările cu ulei, lagărele radiale şi lagărul axial. Diametrul mic al arborelui permite creşterea secţiunii frontale a roţii centrifuge. În comparaţie cu rotorul de tip tambur al compresoarelor axiale, arborele compresoarelor centrifuge este mai flexibil, având frecvenţe proprii relativ joase, ceea ce favorizează instabilităţile.

Nivelul vibraţiilor unui compresor centrifug este determinat de lagăre, geometria arborelui, etanşările cu gaze şi cu ulei, acţiunea fluidului de lucru asupra


roţilor centrifuge şi alţi factori. Pentru a elimina instabilităţile sau pentru a modifica turaţia la care apar se utilizează amortizoare squeeze-film.

În cazul compresoarelor centrifuge, diagrama turaţiilor critice neamortizate nu este concludentă, neoferind informaţii utile. La modurile de precesie puternic amortizate, în special modul al doilea, turaţia critică amortizată poate fi de două până la nouă ori mai mică decât turaţia critică de răspuns maxim.

Încercările în fabrică (‘shop testing’), efectuate după montaj dar înaintea dării în exploatare, pot releva eventualele probleme. Diagramele Bode, obţinute în măsurări la pornirea compresorului, sunt utile pentru a verifica dacă turaţiile critice nu sunt în domeniul turaţiilor de lucru. Conform API Standard 617, rezonanţele trebuie să fie 20% deasupra turaţiei maxime de funcţionare continuă şi/sau 15% sub turaţia de lucru [1.10]. În plus, se impune calculul deplasării relative a arborelui în fiecare etanşare, ca un procent din jocul radial total.

Compresoarele multietajate moderne sunt proiectate să funcţioneze trecând prin şi peste mai multe turaţii critice. Astfel, o roată impulsoare cu diametrul 425 mm a unui compresor centrifug industrial poate fi proiectată pentru o sarcină mult peste 2000 CP la turaţii aproape de 9000 minrot . Pentru a obţine raportul de compresie impus, sunt necesare până la opt trepte de comprimare. Compresoarele pentru procese industriale şi cele folosite la injecţia gazelor naturale pot avea presiuni de refulare de ordinul a 650 bar şi pot vehicula gaze cu densitate mare. Efectul combinat al turaţiei supracritice, presiunii înalte şi sarcinii (lucrul mecanic absorbit) mari ale acestor maşini a dus la creşterea numărului cazurilor de instabilitate la turaţii nesincrone. Din acest motiv analiza stabilităţii compresoarelor centrifuge este de prim interes.

În timp ce numeroase maşini rotative funcţionează sub prima turaţie critică (punctul A în fig. 1.10), turbocompresoarele lucrează deasupra primei turaţii critice (punctul B). Până la mijlocul anilor 1970, orice mărire a turaţiei critice – şi deci orice creştere a numărului maxim de trepte într-o carcasă – a fost limitată de instabilitatea lagărelor. Prin introducerea unor lagăre mai rigide s-a reuşit creşterea turaţiei de funcţionare peste a doua turaţie critică (punctul C).

La compresoarele de înaltă presiune cu lagăre multilobate pot apare instabilităţi violente de tip oil whip la o turaţie puţin peste dublul primei frecvenţe proprii. Prin înlocuirea acestora cu lagăre cu segmenţi oscilanţi (“tilting-pad”), turaţia la limita de stabilitate poate fi mărită peste valoarea egală cu dublul primei frecvenţe proprii. Încercări de creştere suplimentară a turaţiei s-au lovit de o altă limită de stabilitate – instabilitatea rotorului datorită jocului din etanşări, în care componenta tangenţială a vitezei fluidului produce forţe tangenţiale destabilizatoare. Prin folosirea unor “swirl brakes” – canale axiale la intrarea în etanşările cu labirinţi care anulează sau reduc viteza tangenţială a gazului – această limită a fost depăşită şi s-a reuşit funcţionarea la turaţii foarte mari (punctul D).


La motoarele diesel se utilizează turbochargere – turbosuflante de supraalimentare – care preiau o parte a gazului de evacuare şi îl comprimă pentru a mări presiunea efectivă medie (p.e.m.) în motor. Acestea au aplicaţii la vapoare, locomotive şi motoarele diesel din centralele termoelectrice.

Fig. 1.10 [1.11]

Una din primele aplicaţii a fost la motoarele navale. În 1923, BBC şi şantierul naval Vulkan au fabricat turbosuflante pentru motoarele în patru timpi cu 10 cilindri ale navelor Preussen şi Hansestadt Danzig. Motoarele, iniţial proiectate pentru 1700 CP la 235 minrot , după introducerea supraalimentării au ajuns la o putere în marş de 2400 CP la 275 minrot şi la o suprasarcină temporară de 4025 CP la 320 minrot (pentru o p.e.m. de 8,4). Aplicarea turbosuflantelor la motoare navale în doi timpi a început după 1950.

La rotoarele relativ scurte ale turbochargerelor, care deobicei au un compresor monoetajat şi o turbină monoetajată, sunt suficiente două lagăre, un lagăr axial-radial şi un lagăr radial. Lagărele sunt dispuse fie la capetele arborelui (fig. 1.11, a) fie între compresor şi turbină (fig. 1.11, b). În ambele cazuri lagărul axial este amplasat lângă roata compresorului, pentru a menţine jocul axial mic în regiunea respectivă.


În varianta cu lagăre exterioare (fig. .1.11, a), distanţa mare între lagăre reduce forţele radiale în lagăre şi necesită jocuri mai mici la roata compresorului şi discul paletat al turbinei. Pierderile prin frecări în lagăre sunt reduse, în special la sarcini parţiale. La capetele arborelui, care are diametre mici, se pot ataşa o pompă de ungere cu ulei şi o centrifugă, care permit utilizarea unor lagăre cu rulmenţi şi autoungere.

Fig. 1.11

Lagărele interne (fig. 1.11, b) oferă posibilitatea cuplării turbosuflantei la motor prin conducte axiale de aer şi gaze. Turbochargerele mici au o turbină radială cu conductă de refulare axială a gazelor. În diverse aplicaţii, lagărele interne permit modalităţi diferite de ataşare a turbosuflantei de motor.

În aplicaţii la autovehicule, se utilizează un singur lagăr cu bucşă flotantă, din considerente de gabarit şi cost. Lagărul are o bucşă subţire perforată care se roteşte liber între fus şi bucşa fixă, formând două filme de ulei hidrodinamice [1.12]. Acest turbocharger are unele comportări încă neexplicate teoretic: 1) la turaţii foarte mari ale arborelui funcţionează stabil, dar la turaţii mici poate avea instabilităţi fie în modul de precesie conic, fie în modul de încovoiere cu 2 noduri, şi 2) unele variante constructive au o a treia turaţie critică, foarte greu de eliminat, cu un factor de amplificare mare, care conduce la frecări şi deteriorarea lagărului.


1.1.5 Ventilatoare şi suflante

Ventilatoarele pot fi maşini cu curgere radială sau axială. Acestea sunt proiectate pentru rapoarte de comprimare mai mici sau egale cu 1,1. Ventilatoarele centrifuge absorb puteri între 0,05 kW şi 1 MW, au debite volumice până la 3·105 m3/h şi presiuni de refulare până la 1000 mm H2O (~104 N/m2). Suflantele sunt compresoare cu o singură treaptă nerăcite, cu rapoarte de comprimare între 1,1 şi 4, şi presiuni de refulare până la 3,5·105 N/m2. Compresoarele au rapoarte de comprimare mai mari decât 4, astfel încât necesită răcire între trepte.

Fig. 1.12 [1.13]

Fig. 1.13 [1.13]


În fig. 1.12 se prezintă o suflantă de presiune medie, cu rotor în consolă şi etanşări cu labirinţi. Suflanta din fig. 1.13 are dublă aspiraţie şi refulare unilaterală. Rotorul simetric are un disc la mijloc şi corespunde modelului de rotor Laval.

Ventilatoarele centrifuge utilizate cu curent de aer forţat, curent de aer indus (de aspiraţie) şi în circuite de aer primar au rotoare cu diametre mari, care funcţionează la turaţii între 500 şi 900 minrot în lagăre cu alunecare rezemate pe piedestaluri înalte din beton sau din oţel.

Sursa principală de probleme a ventilatoarelor industriale este dezechilibrul produs de: 1) desprinderea sau depunerea neuniformă a materialului antrenat în curentul de aer, şi 2) dezaxarea între arborele motorului electric şi arborele ventilatorului. Acestea produc valori mari ale amplitudinii componentelor vibraţiilor la frecvenţa corespunzătoare rotaţiei şi dublul acesteia.

1.1.6 Pompe centrifuge

Pompele centrifuge sunt utilizate la alimentarea cazanelor cu abur, injecţia apei, încărcarea reactoarelor etc. Problemele de instabilitate care au apărut la turbopompele de hidrogen lichid ale navetei spaţiale şi cerinţele privind siguranţa în exploatare a pompelor din circuitul de răcire al reactoarelor nucleare au determinat dezvoltarea cercetărilor în domeniul etanşărilor inelare.

Etanşările inelare cu joc radial redus sunt utilizate în pompe pentru a preveni scurgerile între porţiuni cu presiuni diferite. Comportarea dinamică a rotoarelor pompelor este puternic dependentă de forţele dezvoltate în etanşările inelare, între roata centrifugă şi stator, şi între roata centrifugă şi difuzor.

Etanşările inelare cu curgere turbulentă din pompele multietajate şi unele pompe unietajate au un efect determinant asupra dinamicii maşinii. Rigiditatea şi amortizarea etanşărilor produc forţele predominante care acţionează asupra arborilor pompelor, cu excepţia forţelor datorite curgerii fluidului prin roţile impulsoare, în special în cazul curgerii parţiale. La aceste maşini, forţele hidrodinamice din lagărele radiale cu ulei sunt inferioare forţelor din etanşări.

Pompele centrifuge multietajate tipice au mai multe inele de fluid între trepte decât lagăre cu alunecare. Inelele de fluid sunt distribuite între lagărele cu alunecare, în secţiuni unde razele orbitelor de precesie sunt maxime şi unde pot acţiona mai eficient ca amortizoare decât lagărele. În aplicaţii tipice, datorită amortizării puternice produse de etanşări, precesia la turaţiile critice este puternic amortizată şi nu produce vibraţii observabile. Unele probleme care au apărut la pompele de alimentare ale cazanelor s-au produs datorită uzurii excesive a etanşărilor, care a dus la micşorarea forţelor dinamice produse de etanşări.

Pompele centrifuge au arbori lungi, rezemaţi pe lagăre în consolă, în carcase relativ flexibile (fig. 1.14), uneori susţinute de piedestaluri elastice.


Fig. 1.14 [1.14]

1.1.7 Turboagregate hidraulice

Turbinele hidraulice sunt utilizate pentru a transforma energia hidraulică a apei în energie mecanică. Prima turbină cu reacţiune cu curgere radială spre interior a fost construită în 1849 de James Francis în Lowell, Massachussetts. În anii 1870 Lester Pelton a inventat turbina cu acţiune cu cupe duble şi muchii centrale. Turbina Pelton modernă cu cupe duble eliptice, injectoare şi ace de control al injectoarelor a fost utilizată după 1900, pentru căderi mari şi debite mici.

Turbina cu curgere axială, cu palete rotorice reglabile, a fost dezvoltată de Viktor Kaplan în Austria între 1910-1924. Turbinele bulb orizontale au un traseu de curgere a fluidului relativ drept între admisie şi evacuare, cu pierderi hidraulice mai mici şi coeficient de cavitaţie redus. În turboagregatul Straflo (straight flow), turbina şi generatorul formează o unitate fără arbore motor.

La turbinele hidraulice, deşi turaţiile sunt relativ mici (200-1800 minrot ), apar probleme datorită poziţiei verticale a majorităţii maşinilor, datorită

regimurilor tranzitorii şi cavitaţiei. Rotoarele sunt deosebit de robuste şi rigide, deci probleme apar datorită lagărelor şi a deplasărilor structurii de suport a acestora.


Fig. 1.15

Hidrocentrala de la Grand Coulée (S.U.A.) are o turbină Francis de 960.000 CP care antrenează un generator sincron de 718 MVA la 85,7 rot/min. Rotorul are diametrul de peste 9 m şi greutatea peste 400 tone, arborele principal având diametrul 3,3 m şi lungimea peste 12 m.

Cea mai mare hidrocentrală din lume, de pe râul Rio Parana care formează graniţa între Brazilia şi Paraguay, la Itaipù, lângă oraşul Foz de Iguaçu, are 18 grupuri generatoare de 824/737 MVA, acţionate de turbine Francis, cu puterea totală de 12600 MW. Turbinele au un rotor de 300 tone şi diametru de 8 m, arborele principal are 150 tone şi diametrul 2,5 m, iar generatorul electric are 2000 tone şi diametrul de 16 m, funcţionând la 90,9 rot/min în cazul generatoarelor de 50 Hz, respectiv 92,3 rot/min la generatoarele de 60 Hz (fig. 1.15).

Hidrocentrala de la Ilha Solteira, Brazilia, are grupuri de 160 MW la 85,8 rot/min. Arborele rotorului are lungimea 6,33 m, diametrul exterior 1,4 m iar cel interior 0,4 m. Generatorul are 495 tone iar turbina Francis are 145 tone. Prima turaţie critică este de 222 rot/min.

Hidrocentrala de la Corbeni-Argeş are patru turbine Francis cu turaţia nominală 428,6 rot/min, căderea 250 m, debitul de apă nominal 20 m3/s şi puterea instalată pe hidroagregat 50 MW.

În fig. 1.16 se prezintă o secţiune longitudinală printr-o turbină Kaplan cu rotor vertical, în care: 1 – rotorul cu palete reglabile, 2 – canalul de fugă, 3 – paletele mobile ale aparatului director, 4 – lagărul de ghidaj inferior, 5 – statorul cu palete fixe şi suportul inelar, 6 – carcasa spirală din beton, 7 – inelul de control cu servomotor al aparatului director, 8 – lagărul axial, 9 – lagărul de ghidaj superior,


10 – servomotorul pentru reglarea poziţiei paletelor rotorice, 11 – tija servomotorului rotorului şi 12 – generatorul electric.

Fig. 1.16 [1.15]

Centrala hidroelectrică Porţile de Fier I are opt turbine Kaplan de 194 MW, căderea 27 m, debitul de apă nominal 840 m3/s, turaţia 71,43 rot/min, 6 palete şi un rotor cu diametrul 9,5 m.

Centrala hidroelectrică Porţile de Fier II are opt unităţi de tip KOT 28-7.45, cu bulbul în amonte şi turbina în consolă în aval. Agregatul are trei lagăre de ghidare şi un lagăr axial, 16 palete statorice şi 4 palete rotorice, şi următoarele caracteristici: căderea 7,45 m, debitul de apă nominal 432 m3/s, puterea instalată 27 MW, diametrul rotorului 7,5 m.

1.1.8 Turbogeneratoare

Turboalternatorul a fost dezvoltat de C. E. L. Brown şi comercializat de Brown Boveri în 1901. Cu un rotor cilindric în care erau îngropate înfăşurările bobinelor, acesta s-a dovedit singura soluţie constructivă posibilă pentru turaţii mari, ca în cazul maşinilor antrenate direct de o turbină cu abur. Există alternatoare


cu puteri între 500 kVA şi 20.000 kVA şi mai mari, dar în mod normal nu sunt utilizate sub 2500 kW, deoarece maşinile cu poli aparenţi sunt mai ieftine. La puteri peste 2500 kW, un alternator cu turaţia 3000 (sau 3600) rot/min permite utilizarea unui reductor cu roţi dinţate mai ieftin decât un alternator de 1500 (sau 1800) rot/min pentru aceeaşi turbină [1.16].

Creşterea spectaculoasă a puterii turbogeneratoarelor nu a fost însoţită de o creştere corespunzătoare a dimensiunilor acestora, datorită cerinţelor privind mărirea puterii dezvoltate pe un kilogram de material. De exemplu, dacă între 1940-1975 puterea maximă a generatoarelor electrice a crescut de la 100 la 1600 MVA, în 1940 un turbogenerator cu turaţia de 3000 rot/min cântărea 2 kg/kW iar în 1975 s-a ajuns la numai 0,5 kg/kW.

În timp, s-au construit rotoare de alternator progresiv mai lungi şi mai flexibile. Semifabricatul forjat al unui rotor de 120 MW are aproximativ 30 tone şi 8 m distanţa între centrele lagărelor, în timp ce un rotor de 500 MW are 70 tone şi 12 m între lagăre. Rotoarele moderne au două sau trei turaţii critice sub turaţia de funcţionare continuă de 3000 rot/min.

Fig. 1.17 [1.16]

Rotorul maşinilor mici este un cilindru plin, forjat din oţel de înaltă calitate, cu canale frezate în care se dispun bobinele de câmp. La maşini mai mari, se montează mai mulţi cilindri găuriţi pe un bolţ central filetat la capete, la care se ataşează extensiile arborelui prin presare la cald. Înfăşurarea rotorică este dintr-o bandă de cupru izolată cu fibră de sticlă, presată şi introdusă în canale. Pentru fixarea capetelor bobinelor se utilizează capace forjate din oţel nemagnetic, prevăzute cu găuri sau canale de ventilare.


Rotorul maşinilor electrice diferă de rotoarele maşinilor cu discuri paletate sau cu roţi centrifuge, fiind mai masiv, ridicând însă probleme din cauza anizotropiei rigidităţii (variaţiei momentului de inerţie al secţiunii transversale faţă de axa orizontală, în timpul rotirii).

În figura 1.17 se arată o secţiune printr-un generator de 400 MVA la 3000 rot/min, rotorul având răcire forţată cu hidrogen, înfăşurările statorice fiind răcite cu apă. Datorită densităţii mari a fluxului magnetic şi a intensităţii curentului electric, generatoarele cu puteri peste 500 MW care utilizează aceste metode de răcire trebuie să aibă coroana magnetică a statorului montată într-o suspensie elastică. Aceasta asigură izolarea fundaţiilor de forţele magnetice vibratorii care se dezvoltă între rotor şi stator.

Rotoarele generatoarelor cu doi poli au crestăturile de bobinaj astfel dispuse încât să rezulte rigidităţi principale de valori cât mai apropiate. Totuşi aceasta nu înlătură vibraţiile parametrice produse de variaţia momentului de inerţie axial al secţiunii transversale faţă de axa orizontală în timpul rotaţiei.

Vibraţiile de ordinul doi (sau “de două ori pe rotaţie”), având o frecvenţă egală cu dublul frecvenţei corespunzătoare rotaţiei, produse de greutatea rotorului datorită variaţiei rigidităţii la încovoiere sunt virtual inevitabile la o maşină cu doi poli. Ele nu pot fi eliminate prin echilibrarea rotorului şi pot fi atenuate doar prin soluţii constructive în stadiul de proiectare. De fapt este foarte dificil de proiectat un rotor de alternator cu izotropie axială în sens dinamic. Rotorul în ansamblu este un electromagnet rotitor de mari dimensiuni, care are o axă a polilor magnetici, şi în care, pentru producerea fluxului magnetic se utilizează conductori de cupru îngropaţi în şanţuri longitudinale dispuse de o parte şi de alta a axei perpendiculare pe axa polilor.

Fig. 1.18 [1.17]

În fig. 1.18, a se prezintă secţiunea transversală a rotorului unui alternator de 120 MW după tăierea canalelor longitudinale. Din figură rezultă clar că


rigiditatea la încovoiere a arborelui este diferită faţă de axa neutră orizontală şi faţă de cea verticală, chiar după înserarea conductoarelor de cupru şi a penelor de fixare din oţel.

În încercarea de egalizare a acestor rigidităţi se adoptă una din cele două soluţii constructive arătate în figură. În prima, se prelucrează canale longitudinale pe toată circumferinţa, ca în fig. 1.18, b. Pentru a menţine densitatea fluxului magnetic, în şanţurile de pe feţele polilor se împănează bare din oţel. În a doua metodă, rotorul se face ca în fig. 1.18, a şi se prelucrează canale transversale în regiunea polilor, la anumite distanţe în lungul rotorului.

În fig. 1.19 se arată două secţiuni transversale diferite în rotorul unui turbogenerator: A-A şanţuri dreptunghiulare pentru bobinele care generează câmpul magnetic şi crestături mai mici în zona polilor, şi B-B şanţuri transversale în zona polilor pentru a realiza aceeaşi flexibiliate faţă de axele principale ale secţiunii transversale.

Fig. 1.19 [1.18]

Rotoarele alternatoarelor sunt rezemate în lagăre cu alunecare circulare. Aceste lagăre hidrodinamice au rigidităţi dinamice diferite pe verticală şi pe orizontală. Anizotropia lagărelor determină o dublare a numărului turaţiilor critice dar nu poate produce vibraţii de ordinul doi.

Dacă la maşinile mici, de exemplu motoarele electrice cu turaţii relativ mici şi lagăre cu rulmenţi, echilibrarea şi calculul dinamic al rotorului nu ridică probleme deosebite, în schimb, maşinile mari, cu rotoare lungi şi flexibile, cu lagăre autoportante, etanşări, piedestaluri şi carcase relativ elastice, cu turaţii mari, au impus dezvoltarea şi perfecţionarea continuă a metodelor de calcul dinamic şi de măsurare a vibraţiilor.


1.2 Obiectul şi problemele Dinamicii rotoarelor

Dinamica sistemelor rotor-lagăre s-a conturat ca o disciplină aparte, distinctă de Vibraţii mecanice şi Dinamica structurilor, devenind un domeniu de cercetare interdisciplinară, pe măsură ce s-a recunoscut importanţa efectului lagărelor şi etanşărilor asupra răspunsului dinamic al rotorului.

Obiectul Dinamicii rotoarelor îl constituie studiul interacţiunii dinamice dintre rotor, stator şi fluidul de lucru, în vederea proiectării, construcţiei şi exploatării unor maşini la care să nu se depăşească limitele admisibile ale vibraţiilor şi tensiunilor dinamice, pe tot domeniul de variaţie al parametrilor de lucru.

Funcţionarea “liniştită” a unei maşini este caracterizată prin orbite de precesie mici şi stabile, şi absenţa oricărei instabilităţi în tot domeniul turaţiilor de lucru ale maşinii.

Pentru a înţelege răspunsul dinamic al unei maşini rotative este necesar să se dispună, încă în faza de proiectare, de informaţii asupra următoarelor aspecte ale comportării sale:

1. Turaţiile critice de precesie ale sistemului rotor-lagăre-piedestaluri-fundaţie. Efectul elasticităţii şi amortizării lagărelor, etanşărilor şi fundaţiei asupra poziţiei fiecărei turaţii critice în domeniul de lucru al maşinii.

2. Răspunsul la dezechilibru: orbitele mişcării de precesie a rotorului ca răspuns la diferite distribuţii ale dezechilibrului, pe tot domeniul turaţiilor de lucru ale maşinii.

3. Pragul de instabilitate dinamică a mişcării: turaţia limită pentru apariţia mişcărilor de precesie instabilă datorită interacţiunii dintre rotor şi lagăre şi/sau agentul termic din maşină, precum şi stabilirea consecinţelor depăşirii acesteia.

4. Răspunsul tranzitoriu în timp, la pierderea unei palete, în special la turbine cu gaze la turaţii supracritice, sau la trecerea printr-o turaţie critică.

5. Frecvenţele proprii ale vibraţiilor torsionale, în special la rotoare cu angrenaje cu roţi dinţate, eventual răspunsul tranzitoriu al liniei de arbori la perturbaţii în circuitul electric al generatorului.

La acestea se adaugă măsurile practice privind echilibrarea şi supravegherea stării dinamice a rotoarelor:

6. Echilibrarea rotoarelor: determinarea şi ataşarea (prelevarea) maselor de corecţie necesare pentru funcţionarea rotoarelor cu nivele reduse de vibraţii.

7. Supravegherea maşinilor: măsurarea parametrilor care caracterizează starea dinamică a maşinilor şi urmărirea evoluţiei lor în timp, pentru detectarea deteriorărilor, în vederea anticipării unor defecţiuni grave care ar impune oprirea forţată a maşinii.


Capacitatea de a prevedea performanţele dinamice ale unui sistem rotor-lagăre depinde în primul rând de informaţiile asupra proprietăţilor lagărelor şi etanşărilor, interacţiunilor fluid-rotor şi distribuţiei dezechilibrului în lungul rotorului. În ultimii ani s-au realizat progrese importante în sensul determinării coeficienţilor dinamici ai lagărelor şi etanşărilor, precum şi în identificarea distribuţiei spaţiale a dezechilibrului dinamic la rotoare flexibile. Rezultatul direct îl constituie elaborarea unor programe de calcul cu ajutorul cărora se pot descrie corect majoritatea fenomenelor dinamice ce apar în funcţionarea maşinilor cu rotor.

În general, interesează următoarele caracteristici dinamice ale maşinilor:

a. Turaţiile critice de încovoiere în tot domeniul de lucru al maşinii.

b. Raza maximă a orbitelor răspunsului la dezechilibru.

c. Turaţia la pragul instabilităţii dinamice produse de lagăre, etanşări sau alte interacţiuni fluid-structură.

d. Forţele transmise lagărelor.

e. Raportul între răspunsul tranzitoriu maxim şi amplitudinea răspunsului staţionar.

f. Turaţiile critice ale vibraţiilor torsionale.

g. Solicitarea dinamică a angrenajelor cu roţi dinţate dintre arbori.

h. Vibraţiile induse în carcasă şi în alte elemente de structură.

La acestea se adaugă:

i. Frecvenţele proprii ale discurilor de turbină sau de compresor.

j. Frecvenţele şi forma modurilor proprii de vibraţie ale paletelor şi pachetelor de palete.

k. Frecvenţele vibraţiilor de tip flutter ale paletelor.

l. Limitele de stabilitate la fenomenele de tip "stall" şi "surge" (pompaj).

m. Zgomotele maşinilor rotative.

În cele ce urmează se vor trata numai aspectele enumerate la primele trei puncte de mai sus. Printre problemele netratate în prima parte se pot enumera:

a. Arborii cu secţiuni cu momente de inerţie principale diferite.

b. Rotoarele fisurate.

c. Precesia inversă datorită contactului cu frecare uscată între rotor şi stator.

d. Precesia în condiţii de frecare parţială.

e. Răspunsul tranzitoriu la trecerea prin turaţiile critice.


1.3 Precesia rotoarelor

Principalele cauze ale vibraţiilor maşinilor cu rotor sunt dezechilibrul rezidual şi instabilitatea rotoarelor.

Majoritatea rotoarelor au cel puţin două lagăre. La rotoarele orizontale, greutatea este preluată de lagăre. Axa de rotaţie coincide cu fibra medie deformată static sub acţiunea greutăţii proprii. Dacă se neglijează efectul greutăţii, axa de rotaţie este linia care uneşte centrele lagărelor.

Orice asimetrie constructivă, de fabricaţie, de montaj sau apărută în timpul funcţionării, face ca linia centrelor de greutate ale secţiunilor transversale ale rotorului să nu coincidă cu axa de rotaţie. Ca urmare, în timpul rotirii, asupra rotorului acţionează forţe centrifuge care au poziţii fixe în raport cu rotorul şi se rotesc odată cu acesta. De exemplu, asupra unui rotor de 50 tone, cu o excentricitate a centrului de greutate de 25 μm faţă de axa de rotaţie, acţionează o forţă de aproximativ 13 tone când se roteşte cu 3000 rot/min. Forţele centrifuge rotative se transmit lagărelor şi produc vibraţii nedorite ale maşinilor.

Spre deosebire de lagăre sau de carcasa maşinii, rotorul nu are o mişcare vibratorie propriu zisă, ci o mişcare de precesie. În cazul lagărelor izotrope, la o anumită turaţie, forma deformată a rotorului rămâne neschimbată în timpul mişcării, centrele de greutate ale secţiunilor transversale descriind în spaţiu orbite de precesie circulare. Deci mişcarea apare ca o vibraţie numai când se măsoară proiecţia deplasării rotorului pe o anumită direcţie fixă în spaţiu.

Deşi din punct de vedere al descrierii analitice există analogie între mişcarea de precesie şi mişcarea vibratorie, implicaţiile practice sunt diferite. Remediul pentru rezonanţă - amortizarea internă - este total neeficient în cazul turaţiilor critice, deoarece forma rotorului deformat se modifică foarte puţin în timpul mişcării de precesie cu turaţie constantă. La o turaţie critică, dacă deformaţiile nu sunt limitate, un rotor mai degrabă se îndoaie permanent decât să se rupă prin oboseală, fenomen care apare în cazul vibraţiilor transversale. În schimb, lagărele autoportante, etanşările cu lichid cu jocuri mici şi amortizoarele squeeze-film sunt sursa principală de amortizare în majoritatea cazurilor. Fără această amortizare sau o sursă similară, ar fi imposibilă trecerea prin turaţiile critice. Astfel lagărele şi etanşările au un rol determinant în Dinamica rotoarelor.

În cazul mişcărilor de precesie stabile, orbitele parcurse la rotaţii succesive sunt identice. Dacă “dimensiunile” orbitelor cresc în timp, mişcarea de precesie este instabilă, creşterea continuând până este limitată de forţe interne din sistem sau de legături exterioare - lovirea cuzinetului, inele de gardă sau oprirea maşinii.

În figura 1.20 se arată forme tipice de orbite pentru mişcarea de precesie a rotoarelor. Orbita circulară (fig. 1.20, a) reprezintă precesia sincronă a rotorului


în reazeme radiale izotrope. Absenţa buclelor în forma orbitei denotă condiţia de sincronism, mişcarea de precesie având o turaţie egală cu cea de rotaţie a rotorului.

Orbita eliptică (fig. 1.20, b) poate apare datorită ortotropiei reazemelor, respectiv rigidităţii diferite pe direcţie orizontală şi verticală. Înclinarea axelor elipsei se datoreşte rigidităţilor de cuplaj între cele două direcţii sau amortizării.

a b c

d e f

Fig. 1.20 [1.19]

Dacă precesia este nesincronă, viteza unghiulară a mişcării de rotaţie diferă de cea a mişcării de precesie. Orbita conţine bucle ca cea din figura 1.20, c, caracteristică pentru precesia de semifrecvenţă datorită instabilităţii mişcării în lagăre hidrodinamice (‘oil whirl’). În cazul precesiei directe (de acelaşi sens cu rotaţia) bucla se află în interiorul orbitei principale.

Alte surse de excitaţie nesincronă pot produce orbite cu mai multe loburi (fig. 1.20, d), ca în cazul rotoarelor generatoarelor electrice cu mai mulţi poli.

Instabilităţile de tipul “precesiei de semifrecvenţă” sunt de obicei limitate. La depăşirea turaţiei corespunzătoare pragului de instabilitate are loc un proces tranzitoriu, în care precesia se face pe o orbită în spirală, cu deplasări care cresc până se atinge o nouă orbită de echilibru (fig. 1.20, e).

Un alt tip de mişcare tranzitorie este ilustrat în figura 1.20, f. Iniţial rotorul are o mişcare de precesie stabilă pe o orbită de dimensiuni reduse. Dacă rotorul primeşte un impuls transversal, fusul se deplasează radial brusc fără să


atingă suprafaţa cuzinetului şi revine pe o orbită în spirală la mişcarea iniţială, de precesie stabilă pe orbită închisă.

În practică pot apare multe alte tipuri de orbite, ca cele produse de neliniarităţi, jocuri nesimetrice sau când fusul loveşte cuzinetul lagărului.

1.4 Modelul de calcul

La proiectarea mecanică a rotorului, lagărelor şi a structurii de suport, se ţine cont că acestea lucrează ca un sistem, răspunzând împreună solicitărilor dinamice, intercondiţionându-se reciproc. Rotorul este o parte integrantă a unui sistem dinamic, comportarea lui fiind determinată de poziţia şi rigiditatea lagărelor, a etanşărilor, a piedestalurilor şi a fundaţiei, precum şi de amortizarea acestora. Masa carcasei şi a fundaţiei joacă de asemenea un rol important.

Rotorul este elementul principal al unei maşini rotative, funcţia lui fiind generarea sau transmiterea puterii. Acesta constă dintr-un arbore pe care se montează discuri cu palete sau roţi centrifuge (impulsoare), iar în cazul maşinilor electrice - înfăşurările bobinelor. Rotorul nu este niciodată perfect rigid. Totuşi, în practică, se numesc rotoare rigide cele care lucrează sub 1/3 din prima turaţie critică de încovoiere. Rotoare elastice sunt cele care lucrează aproape de sau peste prima turaţie critică de încovoiere, astfel că forţele centrifuge datorite dezechilibrului remanent influenţează deformaţiile rotorului.

În cele mai multe maşini, rotoarele au arbori cu secţiunea transversală axial-simetrică. Dacă pe anumite porţiuni secţiunea transversală este nesimetrică, atunci rigiditatea la încovoiere a rotorului faţă de o axă transversală fixă variază în timpul rotirii şi apar mişcări de precesie nesincronă şi instabilităţi (ex., la generatoarele electrice şi la rotoare fisurate). Arborele rotoarelor este modelat ca o grindă de tip Timoshenko, ţinând cont de efectul forfecării şi al inerţiei la rotaţie faţă de axa transversală, incluzând în plus efectul cuplurilor giroscopice. Discurile - considerate deobicei rigide - intervin prin parametri concentraţi - masa şi momentele de inerţie masice, polar şi diametral.

Lagărele se aleg în funcţie de încărcarea pe reazem şi de turaţie, ţinând cont de solicitarea dinamică, de spaţiul disponibil, de pierderile de putere, de simplitatea soluţiei constructive şi cerinţele de durabilitate şi fiabilitate.

La început, lagărele au fost considerate rigide (fig. 1.21, a). Ulterior s-a ţinut cont şi de elasticitatea radială a lagărelor, apoi de amortizarea acestora (fig. 1.21, b). La lagăre cu rulmenţi şi la lagăre cu aer, amortizarea poate fi neglijată. La lagăre cu alunecare, proprietăţile elastice şi de amortizare depind de turaţie şi de încărcare. La lagăre cu rulmenţi, rigiditatea este independentă de turaţia maşinii şi de încărcare. În general, se consideră numai rigiditatea radială de translaţie a lagărelor, cea unghiulară fiind relativ mică.


La lagărele autoportante, în cazul regimului hidrodinamic staţionar, forţa datorită presiunii totale egalează sarcina statică pe lagăr. Dacă fusul în rotaţie are o mişcare de precesie, în filmul de lubrifiant apar presiuni suplimentare, care produc forţe dinamice suplimentare asupra fusului. Forţa dinamică depinde de amplitudinea deplasării şi de viteza mişcării centrului fusului însă, spre deosebire de forţele elastice din alte lagăre, nu are aceeaşi direcţie cu mişcarea pe care o produce, fiind defazată în timp şi în spaţiu.

Fig. 1.21

Descompunând forţa dinamică în două componente, dirijate în lungul unor axe de coordonate Oy şi Oz fixate de lagăr, notând cu y, respectiv z, componentele deplasării centrului fusului pe cele două direcţii, se stabilesc expresiile amplitudinilor componentelor forţei dinamice:

.⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

zy

cccc

zy

kkkk

ff

zzzy

yzyy

zzzy

yzyy

z

y&

& (1.1)

Aceste relaţii sunt exacte numai pentru deplasări mici, însă în practică s-au dovedit valabile pentru deplasări până la o treime din jocul în lagăr. Cei patru coeficienţii de rigiditate zzzyyzyy k,k,k,k şi cei patru coeficienţi de amortizare

, zzzyyzyy cc,c,c se calculează cu ajutorul relaţiilor stabilite în teoria lubrificaţiei


prin liniarizarea forţelor neliniare din lagăre. Aceştia sunt caracteristici unui anumit lagăr, fiind funcţie de configuraţia lagărului şi de proprietăţile lubrifiantului. Mai important, ei sunt funcţie de poziţia staţionară a centrului fusului, variind deci cu turaţia maşinii şi încărcarea statică a lagărelor (de ex. greutatea rotorului).

Neegalitatea termenilor de cuplaj zyyz kk ≠ este cauza unui anumit tip de precesie instabilă a rotoarelor numită precesie datorită uleiului (‘oil whirl’) sau precesie de semifrecvenţă (‘half-frequency whirl’). Datorită dependenţei de turaţie a celor opt coeficienţi dinamici ai lagărelor, amortizarea efectivă este negativă la turaţii mici şi poate deveni pozitivă la turaţii mai mari.

Lagărele magnetice active au aplicaţii la compresoarele centrifuge industriale, turboexpandere şi pompe centrifuge. Ele realizează o suspensie electromagnetică a arborelui, fără contact fizic între rotor şi stator. Poziţia rotorului este determinată cu senzori montaţi lângă electromagneţi. Semnalul produs de traductoarele de deplasări fără contact este trimis unui controler care alimentează, într-o buclă de reacţie, amplificatoarele de putere ale electromagneţilor.

Etanşările inelare scurte cu fluid sau cu gaz se consideră că sunt izotrope, deci coeficienţii diagonali ai matricilor de rigiditate şi de amortizare sunt egali, iar coeficienţii de cuplaj (nediagonali) sunt egali şi de sens contrar. Amplitudinile celor două componente ale forţei cu care etanşările acţionează asupra rotorului se exprimă sub forma

. + ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

zy

Mzy

CccC

zy

KkkK

ff

z

y&&

&&

&

& (1.2)

Termenul inerţial este neglijabil la etanşările cu gaze, la care rigidităţile directe pot fi foarte mici, chiar negative. În cazul etanşărilor relativ lungi se introduc şi coeficienţi dinamici unghiulari, deoarece asupra rotorului acţionează şi cupluri, iar forţele produc şi rotiri, şi cuplurile produc şi deplasări liniare.

Etanşările radiale la pompe centrifuge sunt fie discuri de echilibrare fie etanşări mecanice cu joc radial. Roţile impulsoare produc forţe şi cupluri din interacţiunea cu fluidul în spaţiul dintre marginea roţii şi carcasă (în volută şi difuzor) şi între capacul (şi discul) roţii şi carcasă.

Amortizoarele cu squeeze-film sunt utilizate la turbinele cu gaze pentru reducerea vibraţiilor şi a forţelor transmise datorită dezechilibrelor. Un ‘squeeze-film’ este un inel de ulei (cu film expulzat) creat între inelul exterior al unui lagăr cu rulment (sau inelul unui lagăr monobloc cu bucşă) şi carcasă. El poate fi considerat un element montat în paralel cu un izolator de vibraţii, sau un element montat în serie în carcasa unui lagăr.

Piedestalurile deformabile intervin în răspunsul dinamic al maşinilor, în special în cazul ventilatoarelor, suflantelor, pompelor centrifuge şi turbomaşinilor cu carcase flexibile şi lagăre în consolă. Modelul de calcul (fig. 1.21, c) include


deobicei rigiditatea şi amortizarea suporturilor lagărelor, iar în unele cazuri şi masa echivalentă a acestora.

Fundaţia, placa de bază şi terenul de rezemare sunt incluse mai rar în modelul de calcul (fig. 1.21, d), influenţa lor asupra răspunsului rotorului fiind în general mai mică. Totuşi, în unele cazuri, mai ales la ventilatoare mari pe piedestaluri din beton, se ţine cont de elasticitatea terenului de fundaţie.

De obicei, la lagăre şi piedestaluri, chiar în cazul caracteristicilor independente de turaţie, rigiditatea în plan orizontal este mai mică decât cea în plan vertical. Această anizotropie duce la o dublare a numărului turaţiilor critice. Uneori însă, datorită amortizării puternice, separarea celor două turaţii critice pereche din cauza ortotropiei reazemelor nu apare distinct în răspunsul la dezechilibru al rotoarelor. De asemenea, este posibil ca unele moduri de precesie, în special cele inverse, să fie amortizate supracritic, deci să nu apară în diagramele frecvenţelor proprii de precesie şi nici în cele de răspuns la dezechilibru.

1.5 Evoluţia concepţiei de proiectare a rotoarelor

Metodele de calcul şi modul de interpretare a rezultatelor analizei dinamice a rotoarelor au avut o evoluţie remarcabilă.

În urmă cu 50 de ani, calculul turaţiilor critice se făcea de preferinţă grafic, utilizând metoda lui Mohr, considerând reazeme rigide în dreptul lagărelor şi tratând separat fiecare rotor dintr-o linie de arbori. Analiza se limita la determinarea turaţiilor critice neamortizate şi proiectarea rotorului astfel încât între domeniul turaţiilor de lucru şi orice turaţie critică să existe o oarecare separare. Scopul analizei cu neglijarea amortizării era obţinerea unei estimări iniţiale a turaţiilor critice, cât mai apropiată de realitate.

Multe standarde şi caiete de sarcini prevăd ca turaţiile de lucru să difere de turaţiile critice în limite de siguranţă. În API Standard 610 se recomandă ca turaţia critică să fie cel puţin 20% mai mare sau 15% mai mică decât orice turaţie de funcţionare continuă [1.20]. Pentru satisfacerea acestor cerinţe este necesar să se calculeze turaţiile critice în fazele de proiectare şi de selecţionare a maşinilor rotative. În unele cazuri, de exemplu la pompele centrifuge, se utilizează proceduri specifice de calcul, deoarece turaţiile critice “uscate” (fără considerarea efectului fluidului antrenat) diferă de turaţiile critice “umede” (în care se ţine cont de masa fluidului din maşină).

Discrepanţele mari între calcule şi încercări au dus la eforturi pentru îmbunătăţirea metodelor de analiză. Reazemele rigide au fost înlocuite cu elemente deformabile având rigiditatea egală cu cea a filmului de lubrifiant din lagăre. Ulterior s-a adăugat efectul elasticităţii piedestalurilor. S-a luat în considerare


efectul cuplării mai multor rotori dintr-o linie de arbori şi s-a apelat la calculatoare numerice de mare capacitate pentru analiza rotoarelor cu mai multe discuri.

În unele cazuri, diferenţele mari între calcule şi încercări au fost micşorate introducând efectul amortizării şi determinând turaţiile critice amortizate. Calculând însă răspunsul rotorului la dezechilibru, s-a constatat că turaţiile la care orbitele precesiei sincrone au raze de valori maxime - numite turaţii critice de răspuns maxim - diferă de turaţiile critice neamortizate, fiind mai apropiate de cele amortizate. S-a observat că nu toate turaţiile potenţial critice sunt într-adevăr critice, amortizarea puternică aplatisând diagrama răspunsului la dezechilibru iar trecerea prin turaţia critică făcându-se fără o creştere a amplitudinii mişcării de precesie.

În prezent, în stadiul de proiectare se fac simulări numerice, iar soluţiile constructive ale rotoarelor sunt acceptate sau respinse pe baza răspunsului la dezechilibru al fusurilor din lagăre calculat în funcţie de turaţia rotorului. În plus, se calculează vibraţiile torsionale şi se fac modificări astfel ca frecvenţele proprii ale vibraţiilor torsionale să nu coincidă cu frecvenţa corespunzătoare turaţiei de lucru sau cu alte frecvenţe perturbatoare cunoscute.

Fig. 1.22 [1.21]

În figura 1.22 se prezintă răspunsul fusului unui rotor în funcţie de raportul între pulsaţia proprie şi viteza unghiulară de rotaţie. S-au notat cu R1 şi R2 valorile calculate pentru reazeme rigide, iar cu E1, E2, E3 - cele calculate ţinând cont de elasticitatea lagărelor. Cu linie continuă s-a reprezentat răspunsul la dezechilibru al rotorului, calculat ţinând cont de elasticitatea şi amortizarea lagărelor. S-au notat cu D1, D2, D3 valorile turaţiilor critice reale, măsurate acolo unde precesia rotorului


are orbite de rază maximă. Rezultă clar că, dacă se consideră reazemele rigide, valorile turaţiilor critice sunt calculate eronat.

În figura 1.23 se arată rezultatul analizei unui sistem complet, format din turbină de înaltă presiune (TÎP), turbină de presiune intermediară (TPI), turbină de joasă presiune (TJP), generator (G) şi excitatrice (E).

Fig. 1.23 [1.21]

Considerând elasticitatea lagărelor şi a piedestalurilor, s-au determinat 22 turaţii critice neamortizate între zero şi turaţia de lucru. Cu un spectru atât de larg, separarea dorită între turaţia de lucru şi turaţiile critice este greu de realizat, astfel încât este necesară o modificare a concepţiei de bază privind criteriile de proiectare şi de recepţie a maşinilor rotative.

În domeniul compresoarelor şi turbinelor pentru instalaţii tehnologice şi pentru centrale electrice, tendinţa actuală de creştere a gabaritului maşinilor şi a turaţiilor de lucru a dus la o nouă generaţie de maşini la care, inevitabil, una sau două turaţii critice sunt situate în domeniul turaţiilor de lucru.

Pe măsură ce maşinile devin mai mari, elasticitatea filmului de lubrifiant din lagăre şi a suporţilor acestora joacă un rol tot mai important în comparaţie cu rigiditatea rotorului, ducând la scăderea turaţiilor critice şi interferarea lor cu domeniul turaţiilor de lucru. Deoarece caracteristicile dinamice ale lagărelor nu sunt cunoscute exact, turaţiile critice nu pot fi determinate precis, deci criteriul


tradiţional de proiectare urmărind evitarea funcţionării la, sau aproape de, o turaţie critică nu mai poate oferi siguranţa necesară.

În practică s-a constatat că se poate funcţiona perfect de sigur şi fiabil la turaţii critice bine amortizate dacă nivelele vibraţiilor nu depăşesc limitele admisibile şi dacă rotorul nu are o sensibilitate pronunţată la dezechilibre masice. Rezultă că răspunsul rotorului la dezechilibru poate furniza informaţiile cele mai utile privind viabilitatea unei soluţii constructive. Efectuând acest calcul pentru diferite distribuţii ale dezechilibrului, judicios alese astfel încât să se accentueze deformaţia rotorului la diferite turaţii critice de dezechilibru, se poate stabili cât de critică este fiecare dintre aceste turaţii şi ce măsuri trebuie luate pentru ca amplitudinile vibraţiilor să rămână în limite admisibile, chiar în prezenţa dezechilibrelor care apar în timpul funcţionării normale (eroziuni, depuneri, ruperi de componente, deformări termice etc.).

1.6 Scurt istoric

Primul studiu al turaţiilor critice ale unui arbore elastic cu secţiunea constantă a fost făcut în 1869 de Rankine [1.22], care a introdus termenul eronat de "turaţie critică", crezând că este vorba de o instabilitate, rotorul neputând funcţiona deasupra turaţiei critice. În acest caz, practica a devansat teoria. În 1895 existau deja centrifuge comerciale şi turbine cu abur care funcţionau la turaţii mai mari ca turaţia critică. Gustaf de Laval a fost primul care a demonstrat experimental că o turbină (cu abur, monoetajată) poate lucra peste turaţia corespunzătoare primei rezonanţe la încovoiere şi că funcţionarea în regim supracritic este mai liniştită decât în regim subcritic. În multe articole publicate în Europa, modelul de rotor cu un disc central montat pe un arbore elastic de masă neglijabilă, rezemat la capete, a fost denumit rotorul Laval. Deşi prima rezolvare corectă pentru un model neamortizat a fost dată de Föppl [1.23], care a demonstrat analitic primul că un rotor poate funcţiona supracritic, confuzia a persistat până la publicarea în 1919 a articolului lui Jeffcott [1.24] asupra precesiei datorită dezechilibrului masic, care a utilizat un model cu amortizare. Acest model simplu este denumit rotorul Jeffcott. Recent Dara Childs a propus denumirea de rotor Jeffcott-Laval.

În 1894 Dunkerley [1.25] a publicat rezultatele studiilor sale privind turaţiile critice ale arborilor cu mai multe discuri şi a propus metoda şi formula care-i poartă numele. În 1916 Stodola [1.26] a publicat un studiu asupra influenţei lagărelor asupra precesiei rotorului elastic. El a studiat şi influenţa cuplurilor giroscopice ale discurilor asupra răspunsului arborilor elastici.

Influenţa amortizării interne asupra mişcării rotoarelor a fost considerată pentru prima oară de Newkirk [1.27] în 1924 în studiul vibraţiilor compresoarelor de la furnalele înalte. S-a observat că la turaţii peste prima turaţie critică aceste maşini aveau o instabilitate puternică în care rotorul avea o precesie violentă cu o


viteză unghiulară egală cu cea corespunzătoare primei turaţii critice. Când s-a mărit turaţia maşinii peste această valoare, amplitudinea mişcării de precesie a crescut, conducând în final la deteriorarea rotorului. În cursul investigaţiilor (1924) Kimball a sugerat drept cauză a instabilităţii frecarea internă în arborele rotorului, fenomenul fiind denumit precesie histeretică (“hysteretic whirl”). În 1925, Kimball şi Lovell au studiat frecarea internă în diferite materiale. În final, Newkirk a stabilit că frecarea uscată de pe suprafeţele de fretare pe arbore a roţilor centrifuge (impulsoare) şi distanţierelor este o sursă de instabilitate mai puternică decât frecarea internă în materialul arborelui în rotaţie.

În 1925, Newkirk şi Taylor [1.28] au semnalat fenomenele de instabilitate a rotoarelor în lagăre cu ulei denumite “oil whirl” şi “oil whip” (“resonant whipping”). S-a stabilit astfel că adevărata limită superioară a turaţiilor cu funcţionare stabilă este turaţia la limita de stabilitate a sistemului rotor-lagăre. Aceasta apare la viteze unghiulare de precesie între 1/3 şi 1/2 din prima pulsaţie de rezonanţă, de unde denumirea de precesie de semifrecvenţă sau precesie subsincronă. Fenomenul a fost explicat abia în 1952 de Poritsky [1.29], care a arătat că sursa instabilităţii sunt lagărele hidrodinamice care îşi pierd capacitatea de a amortiza primul mod rezonant de încovoiere al sistemului rotor-lagăre. La o turaţie egală cu dublul turaţiei critice sincrone, viteza unghiulară a precesiei de semifrecvenţă devine egală cu prima pulsaţie proprie a rotorului şi apare fenomenul foarte violent de “oil whip”. La creşterea turaţiei, rotorul continuă mişcarea de precesie cu viteza unghiulară corespunzătoare primei turaţii critice.

În 1933 Smith [1.30] a publicat un articol de sinteză asupra principalelor probleme ale dinamicii rotoarelor, în care descrie calitativ efectul cuplurilor giroscopice, al anizotropiei lagărelor şi asimetriei secţiunii arborelui. Între 1932-1935, Robertson [1.31] a studiat în detaliu principalele probleme de instabilitate a mişcării rotoarelor şi precesia acestora în regim tranzitoriu, la trecerea prin turaţiile critice.

În 1946 Prohl [1.32] a propus metoda matricilor de transfer pentru calculul turaţiilor critice la rotoare cu un arbore şi mai multe discuri, pe reazeme elastice izotrope, cu includerea efectelor giroscopice. Între 1955 şi 1965, Hagg şi Sankey [1.33], Sternlicht [1.34], Lund [1.35] şi alţii au dezvoltat teoria lagărelor hidrodinamice, Yamamoto [1.36] a studiat lagărele cu rulmenţi iar Sternlicht [1.37], Pan şi Cheng au cercetat stabilitatea precesiei în lagăre cu gaze.

În 1948 Green [1.38] a studiat efectul giroscopic al unui disc rigid asupra precesiei unui rotor flexibil în consolă, iar în 1957 Downham [1.39] a confirmat experimental existenţa precesiei inverse.

Între 1963-1967, Lund [1.40] şi Glienicke [1.41] au publicat valori ale coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare pentru mai multe tipuri de lagăre hidrodinamice, prezentate pentru prima dată de Sternlicht în 1959 [1.34]. Lund [1.42, 1.43] a dezvoltat metoda matricilor de transfer propusă de Myklestad şi Prohl pentru calculul turaţiilor critice amortizate şi a răspunsului la dezechilibru al


unui rotor elastic în lagăre anizotrope. Ruhl [1.44] şi Nordmann [1.45] au utilizat în tezele de doctorat metoda elementelor finite pentru analiza dinamică a sistemelor rotor-lagăre, dar primele articole în care s-a utilizat această metodă au fost publicate de Ruhl şi Booker [1.46] în 1972 şi Gasch [1.47] în 1973. Reducerea (condensarea) modelului cu elemente finite a fost studiată începând cu 1980 de Rouch şi Kao [1.48] şi Jäcker [1.49], ultimul introducând şi efectul fundaţiei asupra răspunsului rotorului.

Studiul efectului etanşărilor inelare cu fluid a fost iniţiat de Lomakin [1.50] în 1958, apoi dezvoltat de Black [1.51] şi Childs [1.52]. Efectul etanşărilor cu gaze a fost studiat de Benckert şi Wachter [1.53] şi Iwatsubo [1.54]. Modelarea instabilităţii datorite jocurilor inegale între rotor şi stator produse de excentricitatea poziţiei rotorului a fost iniţiată de Thomas [1.55] şi Alford [1.56].

În România, prima carte cu elemente de dinamica maşinilor a fost publicată în 1958 de Gh. Buzdugan şi L. Hamburger [1.57]. Teoria lubrificaţiei a fost dezvoltată de N. Tipei [1.58] şi V. N. Constantinescu [1.59-1.61]. Tipei ş.a. [1.62] şi Constantinescu ş.a. [1.63] au publicat cărţi despre lagărele cu alunecare.

Prima teză de doctorat în domeniul dinamicii rotoarelor a fost prezentată de M. Rădoi [1.64] în 1971 la Politehnica din Timişoara. În 1973, în cadrul INCREST Bucureşti, un colectiv condus de Olga Biţă [1.65] a elaborat un program scris în limbaj FORTRAN şi bazat pe metoda matricilor de transfer, adaptată de Lund [1.66] studiului sistemelor rotor-lagăre.

Bibliografie

1.1 Hohn, A. and Spechtenhauser, A., Present state and possible applications of turbosets for industrial and medium-sized power plants, Brown Boveri Review, vol.63, nr.6, p.321-332, June 1976.

1.2 Hard, F., 75 years of Brown Boveri steam turbines, Brown Boveri Review, vol.63, nr.2, p.85-93, 1976.

1.3 Somm, E., Developing Brown Boveri steam turbines to achieve still higher unit outputs, Brown Boveri Review, vol.63, nr.2, p.94-105, 1976.

1.4 * * * Back-Pressure Turbosets for Industrial Use, Brown Boveri Publication 3090 E, 1967.

1.5 Bertilsson, J. E. and Berg, U., Steam turbine rotor reliability, EPRI Workshop on Rotor Forgings for Turbines and Generators, Palo Alto, California, Sept 13-17, 1980.

1.6 * * * Turbine à gaz de 6000 kW de l'Electricité de France (E.D.F.) à St-Dizier, Revue Brown Boveri, vol.47, nr.1/2, p.37-42, 1960.


1.7 * * * RB.211 Technology & Description, Rolls-Royce Publ. TS2100, Issue 18, Nov.1977.

1.8 Kostyuk, A. G. and Frolov, V. V., Steam and Gas Turbines (în l. rusă), Energoatomizdat, Moscova, 1985.

1.9 Wachel, J. C., Rotordynamic Instability Field Problems, NASA CP 2250, p.1-19, 1982.

1.10 API Standard 617, Centrifugal Compressors for Petroleum, Chemical and Gas Service Industries, American Petroleum Institute, Washington, 1995.

1.11 Meiners, K., Compressors in energy technology, Sulzer Technical Review, vol.62, nr.4, p.143-148, 1980.

1.12 Shaw, M. C. and Macks E. F., Analysis and Lubrication of Bearings, McGraw Hill, New York, 1949.

1.13 Eck, B., Ventilatoren, Springer, Berlin, 1957.

1.14 Pfleiderer, C. and Petermann, H., Strömungsmaschinen, 6.Aufl., Springer, Berlin, 1990.

1.15 Siekmann, H., Wasserturbinen, Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau, 17. Aufl., Springer, Berlin, p.R30-R36, 1990.

1.16 Krick, N. and Noser, R., The growth of turbo-generators, Brown Boveri Review, vol.63, nr.2, p.148-155, 1976.

1.17 Bishop, R. E. D., and Parkinson, A. G., Second order vibration of flexible shafts, Phil. Trans. Royal Society, Series A, Vol.259, A.1095, p.1-31, 1965.

1.18 * * * Caractéristiques de construction des alternateurs de grande puissance, Revue ABB, nr.1, 11 pag. 1989.

1.19 Rieger, N. F., and Crofoot, J. F., Vibrations of Rotating Machinery. Part I: Rotor-Bearing Dynamics, The Vibration Institute, Illinois, Nov 1977.

1.20 API Standard 610, Centrifugal Pumps for General Refinery Services, American Petroleum Institute, Washington, 1979.

1.21 Traexler, J. F., Turbomachinery vibration, Shock and Vibration Digest, vol.9, nr.8, p.3-10, 1977.

1.22 Rankine, W. J. M., On the centrifugal force of rotating shafts, The Engineer, vol.27, p.249, Apr.1869.

1.23 Föppl, A., Das Problem der Laval'schen Turbinewelle, Civilingenieur, vol.41, p.332-342, 1895.

1.24 Jeffcott, N., Lateral vibration of loaded shafts in the neighbourhood of a whirling speed – The effect of want of balance, Philosophical Magazine, Series 6, vol.37, p.304-314, 1919.


1.25 Dunkerley, S., On the whirling and vibration of shafts, Trans. Roy. Soc. (London), vol.185, Series A, p.279-360, 1894.

1.26 Stodola, A., Neuere Beobachtungen uber die Kritischen Umlaufzahlen von Wellen, Schweizer.Bauzeitung, vol.68, p.210-214, 1916.

1.27 Newkirk, B. L., Shaft whipping, General Electric Review, vol.27, p.169-178, 1924.

1.28 Newkirk, B. L. and Taylor H. D., Oil film whirl – An investigation of disturbances on oil films in journal bearings, General Electric Review, vol.28, 1925.

1.29 Poritsky, H., Contribution to the theory of oil whip, Trans. ASME, vol.75, p.1153-1161, 1953.

1.30 Smith, D. M., The motion of a rotor carried by a flexible shaft in flexible bearings, Proc. Roy. Soc. London, Series A, vol.142, p.92-118, 1933.

1.31 Robertson, D., The vibration of revolving shafts, Phil. Mag. Series 7, vol.13, p.862, 1932; The whirling of shafts, The Engineer, vol.158, p.216-217, 228-231, 1934; Transient whirling of a rotor, Phil. Mag., Series 7, vol.20, p.793, 1935.

1.32 Prohl, M. A., A general method for calculating critical speeds of flexible rotors, Trans ASME, vol.67, J. Appl. Mech., vol.12, nr.3, p.A142-A148, Sept.1945.

1.33 Hagg, A. C. and Sankey, G. O., Some dynamic properties of oil-film journal bearings with reference to the unbalance vibration of rotors, Trans. ASME, J. Appl. Mech., vol.23, p.302-306, 1956.

1.34 Sternlicht, B., Elastic and damping properties of cylindrical journal bearings, Trans. ASME, J. Basic Eng., Series D, vol.81, p.101-108, 1959.

1.35 Lund, J. W., The stability of an elastic rotor in journal bearings with flexible damped supports, Trans. ASME, J. Basic Eng., vol.87, 1965.

1.36 Yamamoto, T., On the critical speed of a shaft supported in ball bearing, Trans. Soc. Mech. Engrs. (Japan), vol.20, nr.99, p.750-760, 1954.

1.37 Sternlicht, B., Gas-lubricated cylindrical journal bearings of the finite length, Trans. ASME, J. Appl. Mech., Paper 61-APM-17, 1961.

1.38 Green, R. B., Gyroscopic effects on the critical speeds of flexible rotors, Trans. ASME, J. Appl. Mech., vol.70, p.369-376, 1948.

1.39 Downham, E., Theory of shaft whirling. A fundamental approach to shaft whirling, The Engineer, p.519-522, 552-555, 660-665, 1957.

1.40 Lund, J. W., Rotor Bearing Dynamics Design Technology. Part III, Design Handbook for Fluid-Film Type Bearings, M.T.I. Report AFSCR 65-TR-45, 1965.


1.41 Glienicke, J., Feder- und Dämpfungskonstanten von Gleitlagern für Turbomaschinen und deren Einfluss auf das Schwingungsverhalten eines einfachen Rotors, Dissertation, T. H. Karlsruhe, 1966.

1.42 Lund, J. W., Stability and damped critical speeds of a flexible rotor in fluid-film bearings, Trans. ASME, J. Engng. Ind., Series B, vol.96, nr.2, p.509-517, May 1974.

1.43 Lund, J. W. and Sternlicht, B., Rotor-bearing dynamics with emphasis on attenuation, Trans. ASME, J. Basic Engng., vol.84, nr.4, p.491, 1962.

1.44 Ruhl, R. L., Dynamics of distributed parameter turborotor systems: Transfer matrix and finite element techniques, Ph. D. Thesis, Cornell Univ., Ithaca, N. Y., Jan.1970.

1.45 Nordmann, R., Ein Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenwerte und Eigenformen von Turborotoren mit Gleitlagern, Spalterregung, ausserer und innerer Dämpfung, Dissertation, T. H. Darmstadt, 1974.

1.46 Ruhl, R. L. and Booker J. F., A finite element model for distributed parameter turborotor systems, Trans. ASME, Series B, J. Eng. Industry, vol.94, nr.1, p.126-132, Febr.1972.

1.47 Gasch, R., Unwucht-erzwungene Schwingungen und Stabilität von Turbinenläufern, Konstruktion, vol.25, Heft 5, p.161-168, 1973.

1.48 Rouch, K. and Kao, J., Dynamic reduction in rotor dynamics by the finite element method, J. Mechanical Design, vol.102, p.360-368, 1980.

1.49 Jäcker, M., Vibration analysis of large rotor-bearing-foundation systems using a model condensation for the reduction of unknowns, Proc. Second Int. Conf. "Vibration in Rotating Machinery", Cambridge, U.K., Paper C280, p.195-202, 1980.

1.50 Lomakin, A., Calculation of critical number of revolutions and the conditions necessary for dynamic stability of rotors in high-pressure hydraulic machines when taking into account forces originating in sealings, Power and Mechanical Engineering, April 1958 (în l. rusă).

1.51 Black, H., Effects of hydraulic forces on annular pressure seals on the vibrations of centrifugal pump rotors, Journal of Mechanical Engineering Science, vol.11, nr.2, p.206-213, 1969.

1.52 Childs, D. and Kim C.-H., Analysis and testing of rotordynamic coefficients of turbulent annular seals, J. of Tribology, vol.107, p.296-306, 1985.

1.53 Benckert, H. and Wachter, J., Studies on vibrations stimulated by lateral forces in sealing gaps, AGARD Proc. nr.237 Conf. Seal Technology in Gas-Turbine Engines, London, p.9.1-9.11, 1978.


1.54 Iwatsubo, T., Evaluation of instability forces of labyrinth seals in turbines or compressors, Rotordynamic Instability Problems in High-Performance Turbomachinery, NASA CP No.2133, p.139-167, 1980.

1.55 Thomas, H., Instabile Eigenschwingungen von Turbinenläufern angefacht durch die Spaltstromungen Stopfbuschen und Beschauflungen, Bull. de l'AIM, vol.71, p.1039-1063, 1958.

1.56 Alford, J., Protecting turbomachinery from self-excited rotor whirl, Trans. ASME, J. Engng. Power, p.333-344, 1965.

1.57 Buzdugan, Gh. şi Hamburger, L., Teoria vibraţiilor, Editura tehnică, Bucureşti, 1958.

1.58 Tipei, N., Hidro-aerodinamica lubrificaţiei, Editura Academiei, Bucureşti, 1957.

1.59 Constantinescu, V. N., Lubrificaţia cu gaze, Editura Academiei, Bucureşti, 1963.

1.60 Constantinescu, V. N., Aplicaţii industriale ale lagărelor cu aer, Editura Academiei, Bucureşti, 1968.

1.61 Constantinescu, V. N., Teoria lubrificaţiei în regim turbulent, Editura Academiei, Bucureşti, 1965.

1.62 Tipei, N., Constantinescu, V. N., Nica, Al. şi Biţă, O., Lagăre cu alunecare, Editura Academiei, Bucureşti, 1961.

1.63 Constantinescu, V. N., Nica, Al., Pascovici, M. D., Ceptureanu, Gh. şi Nedelcu, Şt., Lagăre cu alunecare, Editura tehnică, Bucureşti, 1980.

1.64 Rădoi, M., Contribuţii la studiul dinamicei şi stabilităţii rotorilor, cu considerarea influenţei reazemelor, Teză de doctorat, Inst. Politehnic Timişoara, 1971.

1.65 Biţă, O., Program pentru calculul răspunsului dinamic al unui rotor, INCREST, Bucureşti, 1973.

1.66 Lund, J. W., Rotor-Bearings Dynamic Design Technology Part III: Design Handbook for Fluid-Film Bearings, Mechanical Technology Inc. Report AFAPL-Tr-65-45, 1965.

2. ROTOARE CU UN DISC, ÎN LAGǍRE RIGIDE

În acest capitol se prezintă modele de rotoare cu un singur disc rigid, fixat pe un arbore cu masă neglijabilă, rezemat în lagăre rigide. Se analizează în detaliu influenţa amortizării şi a cuplurilor giroscopice asupra precesiei rotoarelor.

2.1 Modele de rotoare cu un disc

Cel mai simplu rotor elastic constă dintr-un disc rigid, fixat pe un arbore elastic cu secţiunea axial-simetrică, rezemat la capete în lagăre identice. Rotorul simetric, cu arbore de masă neglijabilă, rezemat în lagăre rigide (fig. 2.1) este cunoscut sub numele de modelul Jeffcott-Laval [2.1, 2.2]. În general, se studiază numai primul mod de precesie, la care, din cauza simetriei, se poate neglija inerţia la rotaţie a discului. Modelul serveşte pentru introducerea conceptelor de turaţie critică şi precesie sincronă.

Fig. 2.1 Fig. 2.2

Modelul Stodola-Green [2.3-2.5] constă dintr-un arbore elastic în consolă, cu un disc rigid la capătul liber (fig. 2.2). Modelul permite introducerea efectelor momentului de inerţie masic diagonal şi al cuplurilor giroscopice ale discului asupra precesiei rotorului, a conceptelor de precesie directă şi precesie inversă, precum şi a dezechilibrului produs de montarea oblică a discului faţă de axa arborelui.


În cele ce urmează, se va considera că arborele rotorului este rezemat rigid. Acest lucru este posibil când rigiditatea arborelui este mult mai mică decât (sub 10% din) rigiditatea lagărelor şi a suportului acestora (de exemplu, la lagăre cu rulmenţi în carcase sau blocuri rigide). Simplificarea modelului permite introducerea treptată în calcul a influenţei dezechilibrului masic, a amortizării externe şi interne, a cuplurilor giroscopice, neglijând pentru început elasticitatea şi amortizarea lagărelor.

2.2 Rotorul simetric neamortizat

Se consideră modelul unui un rotor compus dintr-un arbore cu secţiunea circulară şi masă neglijabilă, rezemat la capete în reazeme rigide, la mijlocul căruia este montat un disc rigid (fig. 2.3, a).

Fig. 2.3

Fie punctul G – centrul de greutate al discului cu masa m şi momentul de inerţie masic polar J, şi punctul C – centrul geometric al discului, punctul de intersecţie al planului median al discului cu axa arborelui. Axa care uneşte centrele lagărelor intersectează planul discului în punctul O. Se notează e=GC excentricitatea centrului de greutate G al discului faţă de punctul de fixare pe arbore C.

2. ROTORI CU UN DISC, ÎN REAZEME RIGIDE 41

Coeficientul de rigiditate al arborelui se notează k (raportul între o forţă aplicată la mijloc şi săgeata statică produsă de aceasta în secţiunea respectivă). La rotorul simetric, 3/48 lEIk = unde l este distanţa între lagăre, I este momentul de inerţie axial al secţiunii transversale a arborelui, E - modulul de elasticitate longitudinal al materialului arborelui.

În acest paragraf se neglijează masa proprie a arborelui, forţele de amortizare şi deformaţia statică a arborelui (dispus orizontal) sub acţiunea greutăţii discului. Se consideră că, în repaus, arborele este rectiliniu şi se studiază mişcarea rotorului faţă de această poziţie de echilibru static. Ulterior (în Secţiunea 2.3.4) se va studia şi efectul greutăţii discului asupra rotorului orizontal.

Se alege un sistem de axe fixe, cu originea în punctul O. Axa xO coincide cu axa lagărelor (axa nedeformată a arborelui). Axa orizontală Oz şi axa verticală Oy dirijată în jos se află în planul median al discului (fig. 2.3, b).

Mişcarea discului în planul său poate fi definită prin variaţia în timp a coordonatelor Cy şi Cz ale centrului geometric C, sau a coordonatelor Gy şi Gz ale centrului de greutate G.

Aplicând un cuplu exterior ( )tM , discul este pus în mişcare de rotaţie, astfel că la un moment oarecare t, segmentul GC face unghiul θ (pozitiv în sens antiorar) cu axa Oy.

2.2.1 Ecuaţiile de mişcare

Ecuaţiile mişcării discului se pot scrie utilizând principiul lui d'Alembert. Pentru aceasta se izolează discul, aplicându-i forţele de legătură, cuplul exterior, forţele şi cuplul de inerţie (fig. 2.3, c), scriind apoi ecuaţiile de echilibru dinamic.

Se obţine sistemul

).( cos sin

,0 ,0

tMθezkθeykθJ

zkzmykym

CCG

CG

CG

=−+

=+=+

&&

&&

&&

(2.1)

Între coordonatele punctelor C şi G se stabilesc relaţiile

.θezz,θeyy

CG

CG

sin cos

+=+=

(2.2)

Înlocuind (2.2) în (2.1), rezultă


).( ) cossin (

, cos sin

,sin cos 2

2

tMθzθyekθJ

θθemθθemzkzm

θθemθθemykym

CCG

CC

CC

=−+

−=+

+=+

&&

&&&&&

&&&&&

(2.3)

Dacă se notează ,imJ GG2 = unde Gi este raza de giraţie a discului faţă de

axa de rotaţie, ultima ecuaţie (2.3) se scrie

.ie

iz

iy

mk

J)t(M

GG

C

G

C

G cossin ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= θθθ&&

Deoarece Gie << şi GCC iz,y << , al doilea termen din membrul drept poate fi neglijat în comparaţie cu primul. În cazul mişcării staţionare, când cuplul activ şi cel rezistent se anulează reciproc, 0)( ,tM = deci .0≅θ&& Rezultă că viteza unghiulară este constantă, .,Ωθ const==& iar

.t 0 θΩθ += (2.4)

Primele două ecuaţii ale sistemului (2.3) devin

.) (sin

,) ( cos

02

02

θtemzkzm

θtemykym

CC

CC

+=+

+=+

ΩΩ

ΩΩ

&&

&& (2.5)

Ecuaţiile (2.5) sunt decuplate. Pentru fiecare ecuaţie, soluţia totală se exprimă prin suma soluţiilor ecuaţiei omogene şi a soluţiei particulare a ecuaţiei neomogene.

Soluţiile ecuaţiilor omogene (pentru 0=e , deci pentru disc perfect echilibrat) au forma

,tZtz

,tYty

znCC

ynCC

)(sin )(

)( cos )(

θω

θω

+=

+= (2.6)

unde

mk

n =ω (2.7)

este pulsaţia precesiei libere a rotorului.

Soluţiile particulare, corespunzătoare excitaţiei armonice datorite dezechilibrului masic, caracterizează mişcarea staţionară a rotorului şi au forma

.tzz,tyy

CC

CC

) (sin ) (cos

0

0

θΩθΩ

+=+=

(2.8)


Deoarece, în realitate, mişcarea liberă se atenuează datorită amortizării şi se anulează după o perioadă scurtă de timp, în continuare se va studia numai mişcarea forţată staţionară.

2.2.2 Răspunsul la dezechilibru masic

Înlocuind (2.8) în (2.5), se obţin amplitudinile proiecţiilor deplasării punctului C pe axele Oy şi Oz:

. )/(1

)/( ˆˆ 2

2

22

2

2

2ee

mkemzy

n

n

nCC ωΩ

ωΩΩω

ΩΩΩ

−=

−=

−== (2.9)

Rezultă că, datorită dezechilibrului masic al discului, punctul C descrie un cerc de rază

,/

/ezyrn

nCCC

)(1)(

2

222

ωΩωΩ

−=+= (2.10)

cu viteza unghiulară Ω .

Calculele de mai sus se pot scrie într-o formă mai compactă utilizând reprezentarea prin numere complexe.

Fig. 2.4

În planul yOz se alege axa Oy drept axă reală şi axa Oz drept axă imaginară (fig. 2.4). Se notează

,zyr,zyr

GGG

CCC

i i

+=+=

(2.11)

unde .1 i −=

Înmulţind a doua ecuaţie (2.2) cu i, prin adunare cu prima şi utilizând notaţia (2.4), se obţine


[ ]) (sin i) (cos i i 00 θΩθΩ +⋅++++=+ ttezyzy CCGG

sau .err t

CG) ( i 0e θΩ ++= (2.12)

Analog, relaţiile (2.5) se scriu sub forma

[ ]) (sini) (cos )i()i( 002 θΩθΩΩ +⋅++=+++ ttemzykzym CCCC &&&&

sau .emrkrm t

CC) ( i2 0e θΩΩ +=+&& (2.13)

Soluţia staţionară a ecuaţiei (2.13) este

.eΩ/ωΩ/ωr θΩt

n

nC

)( i2

20e

)(1)( +

−= (2.14)

Înlocuind (2.14) în (2.12), se obţine expresia deplasării centrului de greutate al discului

.eΩ/ω

r θΩt

nG

)( i2

0e )(1

1 +

−= (2.15)

Punctul G descrie un cerc de rază GO=Gr , cu viteza unghiulară Ω . Considerând segmentul GC un vector în planul complex, se poate scrie

.e GC )( i 0θΩte += (2.16)

Dacă se notează

,rr,rr tGG

tCC

) ( i)+ ( i 00 e e θΩθΩ +== (2.17)

deoarece din relaţiile (2.14) şi (2.15) rezultă că Cr şi Gr sunt mărimi reale, urmează că vectorii GO şi CO sunt coliniari cu GC , deci punctele O, C şi G sunt coliniare.

La Ω = const. poziţia relativă a acestor puncte este fixă. Axa deformată a arborelui este situată în planul definit de axa Ox şi linia GCO , având o formă fixă. Arborele se roteşte în jurul axei Ox în această stare deformată, astfel încât, în orice secţiune, tensiunile de încovoiere sunt invariabile în timp. Întrucât mişcarea punctului C în jurul axei lagărelor se face cu aceeaşi viteză unghiulară Ω ca şi rotirea punctului G în jurul axei arborelui (punctul C), mişcarea se numeşte precesie sincronă.


În figura 2.5 s-a reprezentat variaţia cu turaţia a razei Cr a cercului descris de punctul C (linie continuă) şi a razei Gr a cercului descris de punctul G (linie întreruptă).

Fig. 2.5

Pentru nΩ ω= , razele Cr şi Gr devin infinite, săgeata arborelui creşte nedefinit, la fel tensiunile de încovoiere. Starea aceasta a fost considerată drept critică iar turaţia corespunzătoare

mkn n

cr ππω 30 30

== (2.18)

s-a numit turaţia critică a rotorului. Viteza unghiulară critică ncr ωΩ = corespunde deci pulsaţiei (proprii a) vibraţiilor transversale neamortizate ale rotorului.

În domeniul subcritic, pentru nΩ ω<1 , ,COGO 1111 > punctul 1G se află în afara segmentului 11CO , deplasându-se ca în fig. 2.6, a pe un cerc de rază mai mare decât cea a punctului 1C . În domeniul supracritic, pentru nΩ ω>2 ,

,COGO 2222 < punctul 2G se află între punctele 2O şi 2C , deplasându-se ca în fig. 2.6, b pe un cerc de rază mai mică decât a punctului .C2

La viteze unghiulare foarte mari, pentru ,3 nΩ ω>> punctul 3G se confundă cu 3O , deci centrul de greutate al discului tinde să se plaseze pe axa centrelor lagărelor (fig. 2.6, c). Săgeata arborelui devine practic egală cu excentricitatea e. Se spune că rotorul se autocentrează. Este regimul de lucru optim în domeniul supracritic, forţele dinamice în lagăre având valoarea minimă ek .

Rezultatele analizei de mai sus au doar valoare teoretică. În practică, la turaţia critică a rotorului, când viteza unghiulară a acestuia coincide cu pulsaţia


proprie a vibraţiilor transversale, arborele poate avea deformaţii relativ mari, dar nu infinite. Rezultatele se limitează la cazul mişcării sincrone, în care viteza unghiulară de precesie este egală cu cea de rotaţie. Orbitele descrise de punctele rotorului sunt cercuri doar dacă arborele are secţiune cu momente de inerţie principale egale.

Fig. 2.6

2.3 Rotorul simetric amortizat

Mişcarea rotoarelor se face în prezenţa unor forţe de frecare ce apar datorită interacţiunii rotorului cu mediul ambiant şi datorită mişcării relative a particulelor şi componentelor acestuia în timpul deformării.

În continuare, se va face distincţie între forţele de frecare externe, care produc "amortizarea externă", având rolul de limitare a amplitudinii deplasării la turaţia critică şi de stabilizare a mişcării, şi forţele de frecare interne, dintre piesele montate cu prestrângere sau din materialul arborelui, care produc "amortizarea internă", care de asemenea determină o atenuare a amplitudinii mişcării la turaţia critică, dar care, la turaţii mai mari, pot produce fenomene de instabilitate a mişcării de precesie, urmare a caracterului de forţe tangenţiale urmăritoare.


2.3.1 Efectul amortizării vâscoase externe

Se consideră că, datorită mişcării în mediul ambiant, asupra discului rotorului din figura 2.3 acţionează o forţă rezistentă proporţională cu viteza tangenţială absolută a centrului discului. Fie )( Ce yc &− şi )( Ce zc &− componentele acestei forţe pe direcţiile axelor triedrului fix yOz, unde ec este coeficientul de amortizare vâscoasă externă.

2.3.1.1 Ecuaţiile de mişcare

Ecuaţiile de mişcare ale rotorului simetric (2.5) devin

.temzkzczm

,temykycym

CCeC

CCeC

) (sin

) (cos

02

02

θΩΩ

θΩΩ

+=++

+=++

&&&

&&& (2.19)

Dacă se notează CCC zyr i+= şi se adună prima ecuaţie (2.19) cu a doua ecuaţie, înmulţită cu 1i −= , se obţine

.Ωemrkrcrm θtΩCCeC

) ( i2 0e +=++ &&& (2.20)

2.3.1.2 Precesia liberă amortizată

Înlocuind soluţii de forma tC Rtr λe )( = în ecuaţia (2.20) cu membrul

drept egal cu zero, se obţine ecuaţia caracteristică

02 =++ kcm eλλ ,

ale cărei soluţii sunt

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −±−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±−= 2

2

21 1i 22 een

ee, m

km

cm

c ζζωλ (2.21)

unde mkn =ω este pulsaţia proprie a sistemului neamortizat, denumită pulsaţia proprie neamortizată, iar

m

cmk

c

n

eee ω

ζ22

== (2.22)

este raportul de amortizare externă.


Relaţiile (2.21) se mai scriu

ede, ωαλ i21 ±= (2.23)

unde ene ζωα = este un factor de atenuare negativ iar 21 ened ζωω −= este pulsaţia proprie amortizată (pseudopulsaţia), adică pulsaţia mişcării libere amortizate a rotorului perfect echilibrat.

Rezultă soluţia generală

ttttC

edeede RRtr ωαωα i2

i1 ee ee )( −+= , (2.24)

în care constantele de integrare 1R şi 2R se determină în funcţie de condiţiile iniţiale ale mişcării )0(Cr şi ).0(Cr&

Pentru a stabili traiectoria mişcării punctului C, se va considera la început cazul mişcării libere neamortizate, când .0=== eeec αζ Soluţia (2.24) se scrie atunci

.RRtr ttC

nn ωω i2

i1 ee )( −+= (2.25)

În planul complex, aceasta reprezintă suma a doi vectori de lungime

1R , respectiv 2R care se rotesc în sensuri contrare cu viteza unghiulară .nω

Extremitatea vectorului rezultant descrie o elipsă (fig. 2.7, a). Semiaxa mare

21 RRa += este orientată pe direcţia bisectoarei unghiului format de cei doi

vectori. Semiaxa mică este .RRb 21 −=

a b

Fig. 2.7

În cazul mişcării amortizate, soluţia (2.24) reprezintă suma a doi vectori care se rotesc în sensuri contrare cu viteza unghiulară nde

ωω = (pentru )1<<eζ .

Pentru 0<eα , factorul teαe produce o scădere în timp a amplitudinii mişcării, astfel că extremitatea vectorului rezultant descrie o spirală (fig. 2.7, b).


2.3.1.3 Precesia staţionară datorită dezechilibrului

Înlocuind soluţia staţionară ) ( i 0e )( θΩ += t

CC r~tr (2.26)

în ecuaţia (2.20) se obţine 22 ) i ( ΩΩΩ emr~kcm Ce =++−

de unde, după transformări, rezultă expresia deplasării punctului C:

[ ][ ]

.rr//

///e

///er~

IR CCnen

nenn

nen

nC

i 2 ])(1[

)(2i )(1)(=

)(2 i)(1)(

222

22

2

2

+=+−

−−

=+−

=

ωΩζωΩ

ωΩζωΩωΩ

ωΩζωΩωΩ

(2.27)

Soluţia (2.26) se scrie sub forma

) ( i 0e CtCC r~r θθΩ ++= (2.28)

unde

[ ]

,)(1)(2 tg

, )(2])(1[

)(~

2

222

2

n

neC

nen

nC

Ω/ωΩ/ωθ

Ω/ωΩ/ω

Ω/ωer

−−=

+−=

ζ

ζ (2.29)

astfel că vectorul Cr=CO nu este coliniar cu .e θtΩ ) ( i 0e GC +=

Fig. 2.8


În figura 2.8 s-a reprezentat poziţia relativă a acestor vectori în cazul

rotaţiei la o turaţie subcritică ).( nΩ ω< Deoarece ,0 tg <Cθ unghiul Cθ este

negativ şi vectorul CO este defazat în urma lui GC . Partea reală 'CO)( =ℜ Cre

reprezintă componenta în fază cu GC iar partea imaginară 'CC)( =ℑ Crm

reprezintă componenta în cuadratură cu (perpendiculară pe) GC .

Deplasarea centrului de greutate al discului este

)( i 0e θΩtCG err ++=

deci

IR GGnen

neCG rre

///er~r~ i

)(2i )(1)(2i1

2 +=+−

+=+=

ωΩζωΩωΩζ (2.30)

astfel că ) ( i 0e Gt

GG r~r θθΩ ++= (2.31) unde

[ ] [ ],

//

/er~

nen

neG

222

22

)(2)(1

)(41

ωΩζωΩ

ωΩζ

+−

+= (2.32)

222

3

)/(4)/(1)/(2 tg

nen

neG ωΩζωΩ

ωΩζθ+−

−=

În figura 2.8, pentru 0 tg, << Gn θωΩ iar vectorul GO este defazat cu unghiul Gθ în urma lui GC .

2.3.1.4 Diagramele răspunsului la dezechilibru

În figurile 2.9, a şi b s-a reprezentat grafic variaţia cu turaţia a modulului şi unghiului de fază al amplitudinilor complexe Cr~ şi Gr~ , pentru o valoare

.conste =ζ Amplitudinile maxime ale celor două deplasări se înregistrează la turaţii diferite de turaţia critică a sistemului neamortizat. Totuşi, deoarece în practică ,1<<eζ se poate considera că amplitudinea maximă este )2/( ee ζ şi apare la .mkn ==ωΩ


Turaţiile critice de răspuns maxim diferă de turaţia critică neamortizată şi de turaţia critică amortizată, şi au valori diferite dacă răspunsul se măsoară în punctul C sau în punctul G.

a b

Fig. 2.9

Dacă se elimină )/( nωΩ între expresiile componentei reale şi a celei imaginare ale lui Cr~ , se obţine locul geometric al extremităţii vectorului Cr~ în planul complex, numit diagrama polară, diagrama Nyquist sau hodograful vectorului respectiv.

O astfel de curbă, de ecuaţie

( ) ( ) 04

22

222222 =−+++

IIRRIR Ce

CCCCC rerrrerrζ

(2.33)

s-a trasat în figura 2.10 cu linie continuă, pentru o valoare .conste =ζ

La Ω =0, punctul C corespunde cu originea O. Pe măsura creşterii turaţiei, punctul C parcurge curba în sens orar. La nωΩ = punctul C se află pe


semiaxa imaginară negativă, iar pentru ,∞=Ω pe semiaxa reală negativă, la distanţa e de origine.

Cu linie subţire, în figura 2.10 s-a desenat diagrama polară a deplasării .~

Gr De asemenea s-a indicat poziţia relativă a vectorilor CO şi GC la trei viteze unghiulare diferite.

Fig. 2.10

La ,nωΩ < vectorii CO şi GC au poziţia indicată în partea de jos a figurii. În această poziţie relativă, ei se rotesc cu viteza unghiulară Ω în jurul punctului O, în sens antiorar, punctele C şi G descriind cercuri.

La nωΩ = vectorul GC este perpendicular pe CO (poziţia din stânga fig.2.10). La ,nωΩ > vectorul GO devine mai mic decât CO (poziţia de sus) iar la ∞=Ω punctul G coincide cu O, rotorul "se autocentrează".

2.3.1.5 Precesia sincronă

În fig. 2.11 se prezintă poziţia relativă a punctelor O, C şi G la trei turaţii diferite. De remarcat diferenţa faţă de fig. 2.6 desenată pentru rotori neamortizaţi.


Datorită rotaţiei, masa excentrică produce o forţă centrifugă care “împinge” rotorul spre reazeme, îndoind arborele cu partea întinsă spre exterior. Punctul H, în care raza orbitei de precesie este maximă, se numeşte “high spot”. Punctul diametral opus, L, se numeşte “low spot”. Punctul S, de pe raza lui G, se numeşte “heavy spot”. Segmentul GC face cu segmentul CO unghiul Cθ .

Fig. 2.11

Când se neglijează amortizarea (fig. 2.6), unghiul 0=Cθ la nωΩ < , şi 0180=Cθ la nωΩ > . La nωΩ = apare un salt brusc de la 0 la 0180 . La turaţii

subcritice nωΩ < punctul G este între C şi H, deci S coincide cu H, apoi peste

turaţia critică, la nωΩ > , trece brusc în interior, între C şi L.

În prezenţa amortizării externe, unghiul Cθ variază continuu cu turaţia, după cum se arată în fig. 2.9, a şi în (2.29), mai repede în vecinătatea turaţiei critice. Punctul S nu mai coincide cu H. La turaţii foarte mici “high spot” este aproape în fază cu masa neechilibrată şi “partea grea se roteşte în exterior”. Pe măsura creşterii turaţiei, punctul H rămâne în urma lui S. La nωΩ = , defazajul

este 090 . La viteze unghiulare nωΩ > acesta tinde spre 0180 şi “partea grea se roteşte în interior” (fig. 2.11).

În timp ce punctul C parcurge un cerc cu viteza unghiulară constantă Ω , linia GC se roteşte cu aceeaşi viteză unghiulară în jurul lui C, astfel încât, în precesia staţionară, segmentele CO şi GC au o poziţie relativă fixă. Ele se rotesc în jurul lui O ca şi cum ar fi un corp rigid.

În precesia sincronă, arborele rezemat în lagăre rigide nu se îndoaie alternativ ca în timpul vibraţiilor transversale, ci se roteşte ca un corp rigid, având


forma deformată fixă, cu raze constante ale orbitelor de precesie. La o turaţie constantă, tensiunile într-un punct sunt constante. Rezultă că amortizarea internă din materialul arborelui nu are niciun efect. Soluţia pentru reducerea răspunsului dinamic este introducerea amortizării în lagăre şi în suporţii acestora.

Prin urmare, considerând amortizarea externă în analiza dinamică a rotorului simetric, se poate calcula răspunsul finit la turaţia critică şi se poate descrie schimbarea gradată, odată cu creşterea turaţiei, a poziţiei relative a segmentelor CO şi GC , care nu mai sunt coliniare. La creşterea turaţiei, rotorul poate "trece prin turaţia critică" şi poate funcţiona la turaţii mai mari ca aceasta.

Există cel puţin trei metode de reducere a amplitudinii precesiei sincrone: a) echilibrarea rotorului, b) schimbarea turaţiei de lucru sau modificarea turaţiei critice (deci masa sau rigiditatea rotorului) şi c) creşterea amortizării.

2.3.2 Efectul amortizării interne

Amortizarea internă în rotoare este produsă de amortizarea histeretică a materialului sau de amortizarea uscată datorită frecărilor la interfaţa pieselor asamblate prin fretaj. Pentru a accentua diferenţa între amortizarea externă şi cea internă uneori acestea se numesc amortizare staţionară şi amortizare rotativă.

2.3.2.1 Amortizarea rotativă

Forţa datorită amortizării interne a rotorului este

r& ii cF −= , (2.34)

unde ic este coeficientul de amortizare vâscoasă internă şi trr dd=& este viteza de variaţie în timp a deformaţiei arborelui în punctul de ataşare a discului.

La un arbore care nu se roteşte, această forţă este proporţională cu viteza absolută a punctului respectiv, deci amortizarea vâscoasă internă joacă acelaşi rol ca amortizarea externă.

La un arbore în rotaţie, viteza de variaţie a deformaţiei arborelui, egală cu viteza mişcării relative a punctelor sale, este diferită de viteza absolută. Ecuaţia (2.34) este valabilă doar într-un sistem de coordonate rotitor fixat de rotor, de unde numele de amortizare rotativă.

În fig. 2.12 [2.6] se prezintă un model mecanic simplu care ilustrează acţiunea amortizării vâscoase interne. Dacă rotorul are o precesie sincronă,


.constr = , şi forţa de amortizare (2.34) este zero. Forţele de amortizare internă sunt produse doar de tensiunile şi deformaţiile specifice variabile de încovoiere, care apar atunci când orbitele rotorice nu sunt circulare.

Fig. 2.12 [2.6]

O descriere sugestivă a naturii frecării interne, făcută în 1925 de A. L. Kimball [2.7], este redată în continuare.

“La un arbore orizontal rezemat la capete, îndoit în sus sub acţiunea unei forţe centrifuge aplicate la mijloc, fibrele inferioare sunt comprimate iar cele superioare sunt întinse.

Dacă arborele se roteşte, fiecare fibră este întinsă şi comprimată o dată într-o rotaţie completă, datorită tensiunilor alternative de întindere-compresiune. Mărimea lungirii şi comprimării unei fibre depinde de deformaţia la încovoiere a arborelui şi de distanţa de la fibra respectivă la centrul secţiunii arborelui. În centrul arborelui alungirea fibrelor este zero deoarece acestea se află pe axa neutră de încovoiere a arborelui.

În toate metalele, există într-o măsură mai mare sau mai mică o rezistenţă prin frecare la această alungire. Când o fibră se scurtează, se dezvoltă o compresiune de frecare. Când fibra se lungeşte, apare o întindere de frecare. Aceste tensiuni de frecare sunt foarte diferite de tensiunile elastice. Tensiunile elastice sunt proporţionale cu variaţia lungimii fibrelor, având valorile extreme în fibra de jos şi cea de sus a arborelui. Tensiunile de frecare apar în timpul variaţiei lungimii fibrelor. O tensiune de întindere prin frecare apare când lungimea fibrelor creşte şi o tensiune de comprimare prin frecare apare când lungimea fibrelor scade.

În fig. 2.13 se arată o secţiune transversală a arborelui aproape de mijlocul acestuia. Toate fibrele din jumătatea inferioară sunt în compresie elastică

EC , iar cele din jumătatea superioară sunt în întindere elastică ET . Când arborele se roteşte în sens antiorar, toate fibrele din jumătatea din dreapta cresc în lungime, rezultând o forţă de întindere de frecare FT şi toate fibrele din jumătatea din stânga a arborelui descresc în lungime, producând o forţă de compresiune de frecare FC .

Tensiunile elastice produc o forţă de readucere notată elF a cărei direcţie este dinspre porţiunea întinsă elastic spre porţiunea comprimată elastic a arborelui.


În acelaşi timp, tensiunile de frecare produc o forţă de reacţiune transversală iF . Totuşi, intensitatea forţei iF este mult mai mică decât cea a forţei elF . Dacă arborele este rezemat la capete, poate apare o mişcare de precesie în spirală când turaţia depăşeşte prima turaţie critică.

Fig. 2.13

În discuţia precedentă, s-a arătat că reacţiunea de frecare iF apare datorită comprimării şi lungirii fibrelor. Totuşi, acesta nu este singurul mecanism de frecare interioară care poate produce forţe iF .

Orice rezistenţă prin frecare ce apare într-un rotor deformat în rotaţie, prin care jumătate din secţiunea transversală este întinsă şi cealaltă comprimată, poate produce o forţă iF . De exemplu, rotorul poate avea inele fretate pe arbore. În acest caz, frecarea poate apare între suprafaţa arborelui şi suprafaţa interioară a inelelor, datorită deplasării relative a arborelui faţă de inele în timpul rotaţiei. Fibrele de la suprafaţa arborelui deformat trec printr-un ciclu de lungire şi scurtare elastică la fiecare turaţie completă a arborelui. Aceasta produce o frecare pe suprafaţa interioară a inelelor care poate fi suficient de mare pentru a produce tensiuni remanente când arborele este puţin deformat”.

2.3.2.2 Reprezentarea mişcării faţă de axe mobile

Se consideră triedrul Oξηζ care se roteşte împreună cu arborele, cu viteza unghiulară Ω (fig. 2.14). Triedrul "mobil" se alege astfel încât axa Oη să facă unghiul θ cu direcţia vectorului GC (a dezechilibrului). Axa Oζ este perpendiculară pe Oη şi cuprinsă în planul median al discului (v. fig. 2.3). În cazul rotorului simetric, axa Oξ coincide cu axa Ox a triedrului fix. La un moment dat t, axa Oη face unghiul Ω t cu axa Oy

Între coordonatele unui punct oarecare P, în cele două sisteme de axe, se stabilesc relaţiile


cossin

sin cos =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ζη

tΩtΩtΩtΩ

zy

. (2.35)

Introducând variabilele complexe [2.6]

i ,zyr += (2.36)

,ζηρ i+= (2.37)

rezultă e i ,ρr tΩ= (2.38)

tΩrρ ie −= . (2.39)

De notat că PO=r în sistemul de axe fix Oxyz , şi PO=ρ în sistemul de axe mobile, fixate de rotor ξηζO .

Fig. 2.14

În cazul rotorului neamortizat, ecuaţia mişcării centrului discului, în coordonate fixe, are forma (2.13):

.emrkrm )tCC

0 ( i2e θΩΩ +=+&& (2.40)

Pentru trecerea la coordonate mobile, se notează tΩ

CCrieρ= (2.41)

şi, prin derivare succesivă în raport cu timpul, se obţine

,Ωr tΩCCC

ie ) i( ρρ +=& (2.42)

.ρΩρΩρr tΩCCCC

i2 e )2i( −+= &&&&& (2.43)

Înlocuind (2.41) şi (2.43) în ecuaţia (2.40), rezultă


.emmkmm CCC0i22 e )( 2i θΩρΩρΩρ =−++ &&& (2.44)

Pentru considerarea amortizării interne, în ecuaţia (2.44) se mai introduce un termen proporţional cu viteza relativă, de forma .Ci ρc & Se obţine ecuaţia mişcării cu amortizare internă

0i22 e )( 2i θΩρΩρΩρρ emmkmcm CCCiC =−+++ &&&& (2.45)

sau

0i222 e )( 2i θΩρΩωρΩρ emc

CnCi

C =−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ &&& , (2.46)

unde s-a utilizat notaţia (2.7).

Exprimând pe Cρ sub forma complexă CCC ζηρ i+= , separând partea reală de cea imaginară, ecuaţia (2.46) se descompune într-un sistem de două ecuaţii cuplate

.θΩeζΩω ηΩζ

mcζ

,θΩeηΩωζΩηmcη

CnCCi

C

CnCCi

C

0222

0222

sin)(2

cos)( 2

=−+−+

=−+−+

&&&&

&&&&

(2.47)

Deoarece în membrul drept apar termeni constanţi, soluţiile particulare ale ecuaţiilor (2.47) vor fi tot constante, şi anume

,ΩωθΩe, ζ

ΩωθΩeη

nC

nC 22

02

220

2 sincos −

=−

= (2.48)

deci

.e

nC 22

2

ΩωΩρ−

= (2.48, a)

Rezultă că, în cazul rotaţiei cu viteză unghiulară constantă, centrul discului C are o poziţie fixă faţă de sistemul de axe mobile.

În regim staţionar, când forma deformată a arborelui rămâne neschimbată, amortizarea internă nu influenţează amplitudinea precesiei rotorului.

2.3.2.3 Reprezentarea mişcării faţă de axe fixe

Deoarece forţa de amortizare internă are o poziţie fixă faţă de sistemul de axe mobile, rotindu-se odată cu acesta, expresia acesteia în sistemul de axe fixe este

.ρcF tΩCii

ie)( &−= (2.49)


Din relaţia (2.39) rezultă

,rr tCCC

ie)i( ΩΩρ −−= && (2.50)

deci

.rΩr CCtΩ

C i e i −= &&ρ (2.51)

Înlocuind (2.51) în expresia (2.49) se obţine

,yΩzczΩyczyΩzycrΩrcF

CCiCCi

CCCCiCCii

)( i )( ]) i( i i[ )i(

−++==+−+=−=−

&&

&&& (2.52)

deci proiecţiile forţei de amortizare internă pe axele triedrului fix sunt

)( )( CCiiCCii yΩzcF,zΩycFzy

−−=+−= && , (2.53)

sau, în formă matricială,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

C

C

i

i

C

C

i

i

i

i

zy

cc

zy

cc

FF

z

y

0 0

00

ΩΩ

&

&. (2.54)

Considerând că forţa (2.52) acţionează asupra discului, se adaugă termenii de mai sus cu semn schimbat în membrul stâng al ecuaţiilor (2.5) şi se obţine sistemul ecuaţiilor de mişcare cu amortizare internă

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡) (sin ) ( cos

00

00

0

02

θΩθΩ

ΩΩ

Ωtt

emzy

kcck

zy

cc

zy

mm

C

C

i

i

C

C

i

i

C

C

&

&

&&

&&.

(2.55)

Amortizarea internă introduce termeni nediagonali antisimetrici (de cuplaj transversal) în matricea de rigiditate. Aceştia produc forţe tangenţiale destabilizatoare.

Ecuaţiile (2.55) se pot scrie în notaţie complexă sub forma

)( i2 0e) i( θΩtCiCiC ΩemrcΩkrcrm +=−++ &&&

sau

.ΩermcΩr

mcr θΩt

Ci

nCi

C)( i22 0e i +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++ ω&&& (2.56)


2.3.2.4 Stabilitatea precesiei rotorului

Studiul mişcării rotorului perfect echilibrat se face înlocuind 0=e în ecuaţia (2.56) şi căutând o soluţie de forma

tCC Rr λe=

pentru ecuaţia omogenă.

Notând

n

ii m

cω

ζ2

= , nωλΛ = ,

nωΩη = , (2.57)

se obţine ecuaţia caracteristică

( ) 0 2 i122 =−++ ηζΛζΛ ii (2.58) având ca rădăcini

ηζζζΛ iii, 2 i1221 +−±−= , (2.59)

unde iζ este raportul de amortizare internă.

Deoarece sub radical 2iζ este mic în comparaţie cu ceilalţi termeni, se

poate înlocui cu 22ηζ i cu condiţia ca η să nu depăşească mult valoarea 1. Se obţine

( )( ) . i 1

, i 1

2

1

−+−=

+−−=

ηζΛ

ηζΛ

i

i (2.60)

Soluţia ecuaţiei omogene are forma

.RRtr tC

tCC

22

11

ee )( λλ +=

Pentru nωΩ > , partea reală a rădăcinii 1Λ devine pozitivă şi mişcarea asociată este divergentă. La trecerea prin “rezonanţă”, când nωΩ ≥ , mişcarea devine instabilă, deplasarea arborelui crescând brusc.

Ecuaţiile (2.60) arată că pentru 1<η mişcarea asociată cu 1Λ este progresivă, în timp ce mişcarea asociată cu 2Λ este regresivă. Pentru 1>η mişcarea asociată cu 1Λ este divergentă. La creşterea vitezei unghiulare a rotorului Ω , partea reală a lui 1Λ descreşte şi partea reală a lui 2Λ creşte. Stabilitatea componentei progresive descreşte dar cea a componentei regresive creşte.

Acesta este un rezultat general. Forţele care tind să destabilizeze modurile de precesie directă ale unui rotor, în general stabilizează modurile de precesie inversă.


2.3.2.5 Precesia rotoarelor datorită frecării interne

Analiza precedentă a arătat că în prezenţa amortizării interne rotorul devine instabil la turaţii peste ns ωΩ = - turaţia la limita de stabilitate (“onset speed of instability”) deplasarea Cr crescând nelimitat în timp.

O explicaţie fizică simplă a acestui fenomen se poate da considerând că punctul C se mişcă pe un cerc de rază CR cu viteza unghiulară nω , deci

.e )( i tCC

nRtr ω= În acest caz, forţa de amortizare internă are expresia

CniCCii rΩcrΩrcF )( i ) i( −−=−−= ω& . (2.61)

Această forţă este proporţională cu deformaţia arborelui Cr însă este rotită 090 în urmă, deci este o forţă tangenţială. La turaţii nωΩ < , forţa 0<iF , deci

este o forţă de amortizare care se opune mişcării de precesie a rotorului.

Când rotorul traversează turaţia critică, semnul forţei de amortizare se schimbă. La turaţii nωΩ > , forţa 0>iF deci devine o forţă de "amortizare negativă". Lucrul mecanic al acestei forţe este pozitiv, se introduce energie în sistem şi deplasarea discului creşte nelimitat. Forţa acţionează tangenţial în direcţia mişcării, producând o orbită spirală cu rază crescătoare, deci instabilitate.

Instabilitatea datorită frecării interne a rotorului a fost studiată în anii 1920 de B. L. Newkirk [2.8] în legătură cu o serie de defecţiuni ale compresoarelor de la furnalele înalte, proiectate să funcţioneze peste turaţia critică. Descrierea care urmează este adaptată dintr-un articol publicat de Gunter şi Trumpler [2.9].

“S-a observat că la funcţionarea peste prima turaţie critică, aceste compresoare intrau într-o precesie violentă în care rotorul avea o mişcare de revoluţie cu o turaţie egală cu prima turaţie critică. Dacă turaţia maşinii era mărită peste turaţia iniţială de instabilitate, raza orbitelor de precesie creştea, conducând eventual la defectarea rotorului” [2.8]. S-a ajuns la “concluzia că frecarea internă produsă de asamblarea prin fretaj a roţilor centrifugale şi a distanţierelor a fost cauza predominantă a precesiei instabile. La încercări pe un rotor experimental, la care s-au eliminat toate asamblările prin fretaj, nu au apărut instabilităţi. S-a realizat un rotor de încercare special, cu inele pe butuci fretaţi pe arbore [2.7]. Măsurătorile au arătat că frecările produse de asamblările prin fretaj sunt o cauză mai activă de precesie instabilă decât frecarea internă din materialul arborelui şi că fretarea pe porţiuni lungi a dus totdeauna la probleme cu rotoarele care funcţionează peste turaţia critică” [2.10].

“La un butuc sau o bucşă strânsă prin fretare pe un arbore, care este apoi deformat, fie fibrele de la suprafaţa arborelui trebuie să alunece în interiorul bucşei când se lungesc sau se comprimă alternativ, fie bucşa însăşi trebuie să se îndoaie


împreună cu arborele. Deobicei ambele acţiuni au loc simultan într-o măsură care depinde de strângerea prin fretaj şi de rigiditatea relativă a celor două părţi”.

Robertson (1935) a arătat că pot apare probleme şi în cazul asamblărilor prin fretaj scurte, cu prestrângere puternică [2.11]. Acestea pot produce precesie instabilă când rotorul are o deplasare sau o perturbaţie iniţială suficient de mare pentru a produce alunecarea internă relativă între piese. Atunci când trebuie folosite asamblări lungi, ca în cazul roţilor centrifuge (impulsoare) sau a distanţierelor acestora, este important ca în aceste piese să fie frezate canale longitudinale în zona centrală a găurii interioare, astfel încât suprafaţa de contact să se limiteze la capetele zonei fretate.

Un efect similar poate fi produs de orice frecare care se opune variaţiei deformaţiei arborelui, cum este frecarea din cuplajele elastice şi chiar din cuplajele “rigide” sau cele cu caneluri. Acest tip de forţe de frecare au fost denumite “forţe histeretice” şi instabilitatea produsă de acestea – “precesie histeretică” (“hysteretic whirl”).

Încercări pe un rotor experimental au arătat următoarele particularităţi ale acestui fenomen [2.8]: 1) turaţia la limita de stabilitate şi amplitudinea precesiei instabile nu au fost afectate de o echilibrare mai precisă a rotorului; 2) precesia instabilă a apărut totdeauna deasupra turaţiei critice, niciodată sub aceasta; 3) turaţia la limita de stabilitate poate fi diferită la maşini de construcţie similară; 4) viteza unghiulară a precesiei instabile a fost constantă independent de viteza unghiulară de rotaţie a maşinii; 5) precesia instabilă a apărut doar la rotoarele cu roţi fretate pe arbore; 6) creşterea flexibilităţii fundaţiei a dus la creşterea limitei de stabilitate; 7) deformarea sau dezaxarea carcasei lagărelor măreşte stabilitatea; 8) creşterea amortizării fundaţiei a produs creşterea turaţiei la pragul de instabilitate; 9) la un rotor bine echilibrat a fost necesară o mică perturbaţie iniţială pentru a se iniţia precesia instabilă. Dacă se măreşte flexibilitatea fundaţiei, stabilitatea rotorului poate fi îmbunătăţită doar dacă se introduce amortizare în sistem” [2.12].

Pentru a evita instabilitatea produsă de frecarea internă, “pistoanele” de echilibrare ale rotoarelor turbinelor cu abur nu se mai fretează pe arbore ci se prelucrează monobloc cu arborele, rotoarele cu discuri fretate se utilizează numai în turbinele de joasă presiune, iar cuplajele cu caneluri dintre rotoarele corpurilor de turbină se înlocuiesc cu alte tipuri de cuplaje fără frecare uscată.

2.3.3 Efectul combinat al amortizării externe şi interne

În cazul când se consideră atât amortizarea externă cât şi cea internă, ecuaţiile de mişcare ale centrului discului faţă de triedrul fix devin [2.13]

.tΩΩemzkyΩczcczm

,tΩΩemykzΩcyccym

CCiCieC

CCiCieC

)(sin)(

)(cos)(

02

02

θ

θ

+=+−++

+=++++

&&&

&&& (2.62)


Notând

mk

n =2ω , n

ii m

cω

ζ2

= , n

ee m

cω

ζ2

= , ie ζζζ += , (2.63)

ecuaţiile (2.62) se pot scrie matricial sub forma

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

) (sin ) ( cos

2 22

0

022

2

θΩθΩ

ΩωΩωζ

Ωωζωωζtt

ezy

zy

zy

C

C

nni

nin

C

Cn

C

C

&

&

&&

&&.

(2.64)

Introducând următoarele pulsaţii adimensionale

nωλΛ = ,

nωΩη = , (2.65)

studiul mişcării rotorului perfect centrat (e=0) conduce la ecuaţia caracteristică

( ) ( ) 0 4141224 22234 =++++++ ηζΛζΛζΛζΛ i . (2.66)

Dacă ecuaţia (2.66) este scrisă sub forma

,BBBB 0012

23

34 =++++ ΛΛΛΛ

atunci, conform criteriului de stabilitate Routh-Hurwitz [2.6], rădăcinile nu au partea reală pozitivă (sistemul este stabil) dacă

,B,B,B,B 0 0 0 0 3210 >>>>

03021 ≥− BBBB ,

.BBBBBB 0230

21321 ≥−−

De aici rezultă condiţia de stabilitate

022

≥−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η

ζζ

i,

sau

.ni

e 01 ≥−+ωΩ

ζζ (2.67)


Prin urmare, la viteze unghiulare ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+>

i

enωΩ

ζζ1 mişcarea rotorului este

instabilă şi deplasarea relativă a punctului C faţă de punctul O creşte nelimitat în lipsa amortizării.

Un rotor perfect echilibrat, care se roteşte cu viteza unghiulară Ω , nu poate funcţiona deasupra vitezei unghiulare la limita de stabilitate

.i

ens ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ζζωΩ 1 (2.68)

În prezenţa amortizării externe, ,ns ωΩ > deci amortizarea externă extinde domeniul condiţiilor de funcţionare stabilă (fig. 2.15).

Ca în toate mişcările autoexcitate, precesia rotorului are loc la pulsaţia proprie nω . Forţa tangenţială datorită frecării interne (2.61) este echilibrată de forţa datorită amortizării externe Cne rc ω astfel încât

CneCsni rcrΩc ωω =− )( ,

de unde rezultă viteza unghiulară la limita de stabilitate (2.68).

Sub turaţia limită de stabilitate precesia rotorului este stabilă şi sincronă. Peste această turaţie, precesia rotorului are o componentă nesincronă care creşte exponenţial în timp. Precesia este directă. Deşi concluziile de mai sus sunt valabile pentru o excentricitate zero, s-a stabilit că apariţia instabilităţii rotorului este practic independentă de echilibrarea acestuia.

Fig. 2.15

Cazul amortizării interne produse de butucul discurilor sau bucşele fixate pe arbore, asamblările prin fretaj sau cuplajele cu caneluri, este analizat asemănător [2.3]. În prezenţa amortizării, turaţia la limita de stabilitate este totdeauna mai mare decât prima turaţie critică de încovoiere a rotorului.


2.3.4 Efectul greutăţii proprii

La rotoarele orizontale, greutatea proprie modifică poziţia centrului orbitei descrise de centrul discului.

Dacă se adaugă greutatea mg a rotorului (g este acceleraţia gravitaţiei) în membrul drept al ecuaţiei (2.56) în care se include şi efectul amortizării externe, se obţine ecuaţia de mişcare [2.6]

.gmemrckrccrm tCiCieC +=−+++ + ) ( i2 0e) i()( θΩΩΩ&&& (2.69)

Soluţia totală se obţine însumând soluţia ecuaţiei omogene, soluţia particulară datorită dezechilibrului şi soluţia particulară

gCr datorită greutăţii

proprii. Aceasta din urmă are forma

.2 i1

1 i 2

nini

C Ωg

cΩkgmr

g

ωζω −

=−

= (2.70)

Se observă că în absenţa amortizării interne, pentru ,0=iζ

kgmgrr

nCC stg

=== 2ω

valoare egală cu deformaţia statică a arborelui sub greutatea discului

Fig. 2.16

În prezenţa amortizării interne vâscoase, poziţia centrului orbitei circulare descrise de punctul C depinde de turaţie. Atunci când viteza unghiulară Ω creşte, punctul O' descrie un semicerc de rază 2/

stCr (fig. 2.16).


În intervalul nωΩ ≤≤0 deplasarea punctului O' este totuşi foarte mică, datorită valorii în general foarte mici a raportului de amortizare. La nΩ ω= , raza vectoare CO face un unghi iζ2 cu verticala OO ′ .

2.3.5 Efectul îndoirii arborelui

Mişcări de precesie similare apar datorită unei îndoiri iniţiale a arborelui, denumită uneori “dezechilibru elastic” [2.14].

Soluţia ecuaţiei de mişcare are forma (2.27) în care factorul 2Ωe este înlocuit prin 2

naω , unde a este săgeata iniţială a arborelui în dreptul discului.

Când arborele nu se roteşte, punctul C are o deplasare a faţă de linia lagărelor, dar centrul de greutate G nu este excentric faţă de C. Această îndoire iniţială nu trebuie confundată cu o săgeată produsă de greutatea discului.

Dacă arborele este rotit lent, îndoitura se roteşte odată cu rotorul, în timp ce săgeata produsă de greutatea proprie rămâne aproximativ pe verticală în jos. Rotorul se comportă ca şi cum forţa de dezechilibru masic 2Ωem este înlocuită cu

o forţă akam n =2ω .

Diferenţa între cele două forme de mişcare impune modificarea conceptului de rotor “echilibrat”.

Astfel, dacă rotorul are un dezechilibru masic, precesia acestuia poate fi echilibrată la toate turaţiile ataşând o mică masă 1m pe circumferinţa discului într-o

poziţie adecvată (diametral opusă lui GC ), astfel încât 221 ΩΩ emRm = , unde R

este raza discului. Masa necesară pentru echilibrare este Remm =1 . Această masă va atenua complet vibraţiile la toate turaţiile.

Dacă o masă similară 1m este ataşată arborelui cu îndoitură iniţială la o

rază R, forţa totală va avea intensitatea 21

2 Ωω Rmam n − . În acest caz, forţa excitatoare nu poate fi echilibrată la toate vitezele unghiulare Ω . Cea mai bună soluţie este să se aleagă o masă R/amm =1 , astfel încât rotorul să nu aibă o mişcare de precesie la turaţia critică.

Unica modalitate de a echilibra un astfel de rotor la toate turaţiile este îndreptarea îndoirii iniţiale, ceea ce este nerealizabil în practică.

În secţiunea următoare se recapitulează principalele fenomene întâlnite în studiul precesiei rotoarelor simetrice cu un disc, rezemate în lagăre rigide.


2.3.6 Precesia rotoarelor simetrice în lagăre rigide

Deşi există o analogie evidentă între rezultatele analitice din Secţiunea 2.3.1 şi expresiile familiare pentru vibraţiile unui sistem liniar cu un grad de libertate, mişcarea forţată a rotorului nu este o vibraţie propriu-zisă.

Un arbore elastic în rotaţie, cu o masă concentrată, se mişcă într-o formă deformată. Mărimea deformaţiei arborelui şi direcţia acesteia faţă de planul radial care conţine dezechilibrul depind de viteza unghiulară de rotaţie şi de amortizarea externă. În timpul precesiei în lagăre rigide, în arbore nu apar tensiuni variabile deoarece punctele sale parcurg orbite circulare; deci nu există pericol de solicitare la oboseală.

Deformaţia rotorului este produsă de forţa centrifugă datorită dezechilibrului. Rotorul îndoit are o mişcare de revoluţie cu o turaţie egală cu turaţia mişcării de rotaţie. Aceasta este o precesie sincronă, care nu este o vibraţie a rotorului în sensul normal al cuvântului. La o anumită turaţie, forma deformată a rotorului rămâne neschimbată în timpul mişcării de precesie. Doar atunci când amplitudinea mişcării este măsurată în lungul unei direcţii fixe în spaţiu, mişcarea apare ca o vibraţie. Rotorul pare că vibrează doar când se analizează proiecţia mişcării forţate pe orice plan radial fix în spaţiu. Totuşi, asupra lagărelor acţionează forţe rotitoare care apar ca forţe oscilatorii în orice plan radial.

Remediul pentru rezonanţă – amortizarea internă – nu contribuie la limitarea amplitudinii mişcării, deoarece forma rotorului deformat nu se modifică în timpul precesiei. După cum se explică în continuare, sursele principale de amortizare pentru rotoare sunt lagărele autoportante, etanşările cu lichid cu jocuri mici şi amortizoarele squeeze-film.

La rotorul Jeffcott-Laval, îndoitura este maximă când frecvenţa corespunzătoare rotaţiei este egală (sau apropiată de) frecvenţa proprie a vibraţiilor transversale pe care rotorul le-ar avea dacă nu s-ar roti şi dacă ar efectua vibraţii de încovoiere forţate neamortizate. Aceasta se numeşte frecvenţa proprie de precesie. Deoarece precesia este sincronă, adică viteza unghiulară de precesie este egală cu viteza unghiulară de rotaţie, această frecvenţă corespunde turaţiei critice. Îndoirea puternică a arborelui la turaţia critică poate produce tensiuni în domeniul plastic care pot fi limitate prin inele de gardă.

Amortizarea externă este o amortizare “staţionară”, care limitează lungimea razei de precesie. Amortizarea internă este o amortizare “rotativă” care poate produce precesia instabilă la funcţionarea peste turaţia critică. La o anumită turaţie, forţa datorită frecării interne îşi schimbă direcţia şi devine o forţă tangenţială destabilizatoare, care acţionează în sensul mişcării de precesie, deci în sens contrar forţei de amortizare.

În analiza precedentă s-a neglijat momentul de inerţie masic diametral al discului şi precesia unghiulară a discului când nu este montat la mijlocul arborelui.


2.4 Rotorul nesimetric neamortizat

Se consideră un rotor elastic asemănător celui din figura 2.3, având însă discul dispus într-o secţiune oarecare, inegal depărtată de reazeme (fig. 2.17). Discul se roteşte cu viteza unghiulară Ω .

Dacă turaţia arborelui şi momentele de inerţie masice ale discului sunt relativ mici, atunci discul poate fi modelat ca o masă concentrată, problema reducându-se la studiul vibraţiilor transversale ale unei bare cu o masă punctiformă.

În caz contrar, mişcarea unghiulară a axei de simetrie a discului (tangentă la axa arborelui) face ca, la precesia centrului secţiunii transversale a arborelui, să se adauge precesia unghiulară a discului, în care iau naştere cupluri de inerţie care influenţează parametrii mişcării rotorului.

Fig. 2.17

Inerţia unghiulară a discului, datorită momentului de inerţie masic diametral al discului, se opune oricărei acceleraţii unghiulare locale produse de variaţia înclinării discului. Aceasta contribuie la inerţia generală a rotorului şi tinde să micşoreze turaţiile critice ale sistemului. Cuplul giroscopic se opune oricărei variaţii a momentului cinetic al discului. În cazul precesiei sincrone, acesta acţionează în sens contrar inerţiei unghiulare şi introduce aşa-numitul efect de “rigidizare giroscopică”, proporţională cu momentul de inerţie masic polar al discului şi cu viteza unghiulară de rotaţie.

Cuplajul giroscopic produce perechi de moduri cu precesie directă şi precesie inversă ale căror pulsaţii proprii sunt, respectiv, mai mare şi mai mică decât pulsaţiile proprii la turaţia zero. Deoarece pulsaţiile proprii de precesie depind de turaţia rotorului, trebuie făcută distincţie între pulsaţiile proprii ale rotorului şi turaţiile critice. Excitaţia la bază şi forţele armonice cu direcţie fixă în spaţiu excită atât turaţiile critice directe cât şi cele inverse. Apariţia precesiei inverse nu este de dorit în practică, deoarece produce tensiuni de încovoiere


alternante, care pot reduce durata de viaţă la oboseală a rotorului. Dezechilibrul rotoarelor nu excită modurile cu precesie inversă.

2.4.1 Sisteme de axe de referinţă

În studiul rotoarelor nesimetrice se utilizează trei sisteme de axe diferite: a) un triedru fix Oxyz; b) un triedru mobil Gx'y'z' ale cărui axe sunt coliniare cu axele sistemului Oxyz şi c) un triedru mobil 111G zyx care are mişcări de translaţie şi rotaţie faţă de Oxyz însă nu este fixat de discul mobil.

Axa lagărelor intersectează planul median al discului în punctul O. Axele mobile Gx'y'z' au originea în centrul de greutate G al discului. Acestea se rotesc în jurul punctului O însă rămân mereu paralele cu axele triedrului fix. Axa 1Gx coincide cu axa de rotaţie a discului, în timp ce 1Gy şi 1Gz nu se rotesc în jurul axei 1Gx . Axele triedrului 111G zyx pot fi considerate axe centrale principale de inerţie ale discului.

Fig. 2.18

Se presupune că, datorită deformaţiei elastice a arborelui, axa de rotaţie a discului 1Gx face cu planul yOx (deci cu y'Gx') unghiul Gϕ iar cu planul zOx (deci cu z'Gx') – unghiul Gψ (fig. 2.18).

2.4.2 Cupluri de inerţie ce acţionează asupra discului

Momentele de inerţie masice ale discului faţă de sistemul de axe 111G zyx se notează

TzyPx JJJ,JJ ===111

, (2.71)

unde PJ este momentul de inerţie masic polar iar TJ – momentul de inerţie masic diametral (transversal).


Pentru determinarea expresiei cuplurilor care acţionează asupra discului (din partea arborelui), se utilizează teorema momentului cinetic în raport cu punctul G.

Proiecţiile vectorului momentului cinetic al discului pe axele triedrului mobil 111G zyx , alese să coincidă cu axele principale de inerţie ale discului perfect echilibrat, sunt

.ΩJ, KψJ, KJK PxGTzGTy ===111

&&ϕ (2.72)

Proiecţiile zyx , K, KK ale momentului cinetic pe axele triedrului fix zyxO sunt egale cu proiecţiile pe axele corespunzătoare ale triedrului zyx ′′′G

(fig. 2.19).

Fig. 2.19

Din figurile 2.19, a şi b rezultă

.sincos

sincos

11

11

GxGyy'

GxGzz'

ψKψKK

,KKK

+=

−= ϕϕ

Deoarece pentru unghiuri mici ,, ψψψ ≅≅ sin 1cos rezultă

.ψKKKK

,KKKK

Gxyy'y

Gxzz'z

11

11

+==

−== ϕ (2.73)

Înlocuind expresiile (2.72) în relaţiile (2.73), se obţine

.ΩJψJK

,ψΩJJK

GPGTz

GPGTy

ϕ

ϕ

−=

+=

&

& (2.74)


Fig. 2.20

Conform teoremei momentului cinetic, componentele pe axele Oy, respectiv Oz, ale cuplului aplicat discului ca urmare a deformării arborelui, au expresiile

GPGTzG

GPGTyG

ΩJψ JKM

,ψ ΩJ JKM

z

y

ϕ

ϕ

−==

+==

&&&

&&&&

(2.75, a)

sau, sub formă matricială,

.0

0 +

00

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

G

G

P

P

G

G

T

T

G

G

JJ

JJ

MM

z

y

ψϕ

Ωψϕ

&

&

&&

&& (2.75, b)

Atunci când discul este montat pe un arbore elastic, ecuaţiile de mişcare ale sistemului se pot obţine utilizând principiul lui d'Alembert, dacă termenii din membrul drept al ecuaţiei (2.75, b) se introduc cu semn schimbat drept cupluri de inerţie care acţionează asupra discului (fig. 2.20):

.00

=0

0

00

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

G

G

P

P

G

G

T

T

G

G

JJ

JJ

MM

z

y

ψϕ

Ωψϕ

&

&

&&

&& (2.75, c)

↓ ↓ ↓ cupluri cupluri de inerţie cupluri aplicate datorite acceleraţiilor giroscopice discului unghiulare

Ultimul termen în membrul stâng al ecuaţiei (2.75, c) descrie cuplurile giroscopice care acţionează asupra discului. Datorită termenilor nediagonali,


acestea cuplează ecuaţiile de mişcare. Cuplul yM faţă de axa Oy este proporţional cu viteza unghiulară ψ& faţă de axa Oz, şi vice versa.

Din figura 2.20 se observă că un cuplu yM , care produce o rotaţie ϕ , dă

naştere unui cuplu giroscopic ϕ&×ΩJ P dirijat în lungul axei Oz, care "tinde să rotească axa de rotaţie Ox către axa Oy".

Un cuplu zM , care produce o rotaţie ψ , dă naştere unui cuplu giroscopic ψΩJ P &× dirijat în sensul negativ al axei Oy, deci "tinde să rotească axa Ox către

axa Oz".

De aici, regula generală dată şi de produsul vectorial din expresia cuplului giroscopic: "vectorul vitezei unghiulare de rotaţie Ω tinde să se rotească peste vectorul cuplului exterior aplicat".

2.4.3 Ecuaţiile mişcării discului montat pe arbore

Asupra arborelui acţionează cupluri egale şi de sens contrar cu cele aplicate discului

.MM

,MM

zz

yy

GC

GC

−=

−= (2.76)

În plus, asupra arborelui acţionează forţele de inerţie ale discului, ale căror proiecţii pe axele triedrului fix au expresiile

,zmFF

,ymFF

GGC

GGC

zz

yy

&&

&&

−=−=

−=−= (2.77)

unde GG z,y sunt coordonatele centrului de greutate al discului.

În figura 2.21 s-au desenat forţele şi cuplurile care acţionează asupra arborelui în punctul de fixare a discului, precum şi deformaţiile corespunzătoare (pozitive, conform regulii burghiului drept, în sensul pozitiv al axelor).

Ecuaţiile de mişcare se pot scrie utilizând metoda (flexibilităţii) coeficienţilor de influenţă. Se notează: 11δ - săgeata (într-o secţiune) produsă de o forţă egală cu 1 (aplicată în aceeaşi secţiune); 21δ - rotirea (unei secţiuni, sau panta liniei elastice) produsă de o forţă egală cu 1 (aplicată în aceeaşi secţiune); 22δ - rotirea (unei secţiuni) produsă de un cuplu egal cu 1 (aplicat în aceeaşi secţiune);

12δ - săgeata (într-o secţiune) produsă de un cuplu egal cu 1 (aplicat în aceeaşi secţiune). Conform teoremei lui Maxwell, .2112 δδ =


Fig. 2.21

Deplasările centrului discului se pot scrie în funcţie de coeficienţii de influenţă sub forma

2221

1211

δδψ

δδ

zy

zy

CCC

CCC

MF

,MFy

+=

+= (2.78)

şi

.)M(F

,)M(Fz

yz

yz

CCC

CCC

2221

1211

δδϕ

δδ

−+=−

−+= (2.79)

Înlocuind expresiile forţelor (2.77) şi cuplurilor (2.76), (2.75, a) în expresiile (2.78) şi (2.79), se obţine sistemul ecuaţiilor de mişcare

,)JJ(zm,)JJ(zmz,)JJ(ym,)JJ(ymy

GPGTGC

GPGTGC

GPGTGC

GPGTGC

2221

1211

2221

1211

δψΩϕδϕδψΩϕδδϕΩψδψδϕΩψδ

&&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&

++−=−++−=−−−=

−−−=

sau

.JJzm,JJym

,zJJzm,yJJym

CGPGTG

CGPGTG

CGPGTG

CGPGTG

0 0

0 0

222221

222221

121211

121211

=−−−=+−+

=+−−

=+−+

ϕψδΩϕδδψϕδΩψδδ

ψδΩϕδδϕδΩψδδ

&&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&&

(2.80)

În formă matricială


.zψy

zψy

J

JΩ

zψy

Jm

Jm

C

C

C

C

G

G

G

G

P

P

G

G

G

G

T

T

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000

000

000

00

00

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

ϕϕδδδδ

δδδδ

ϕδδδδ

δδδδ

&

&

&

&

&&

&&

&&

&&

(2.80, a)

Pentru condensarea scrierii, se introduc următoarele variabile complexe

.ψ,ψ,rzyrzy

CCCGGG

CCC,GGG

αϕαϕ =−=−

=+=+

i i i i (2.81)

Se înmulţeşte a doua ecuaţie (2.80) cu 1=i − şi se adună cu prima. Se înmulţeşte apoi a patra ecuaţie (2.80) cu i şi se adună cu a treia. Rezultă sistemul de două ecuaţii cuplate

.JJrm

,rJJrm

CGPGTG

CGPGTG

0 i 0 i

222221

121211

=+−+=+−+

ααδΩαδδαδΩαδδ&&&&&

&&&&& (2.82)

În general, dacă discul care se roteşte cu viteza unghiulară Ω are o excentricitate e, atunci centrul de greutate G şi centrul geometric al secţiunii arborelui C nu coincid. Între razele orbitelor parcurse de aceste puncte există relaţia

.err otCG

) ( ie θΩ ++= (2.83)

Dacă discul este montat oblic pe arbore, cu un unghi α , între înclinarea axei arborelui Cα şi înclinarea axei de rotaţie a discului (perpendiculară pe planul acestuia) Gα se stabileşte relaţia

.tCG

) ( ie αθΩααα ++= (2.84)

Eliminând Gr şi Gα între relaţiile (2.82)-(2.84), se obţin ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului C – centrul geometric al discului :


,JJem

JJrm,JJem

rJJrm

tPT

tCCPCTC

tPT

tCCPCTC

o

o

) ( i222

)( i221

222221

) ( i212

)( i211

121211

e )(e

ie )(e

i

α

α

θΩθΩ

θΩθΩ

ΩαδΩδ

ααδΩαδδΩαδΩδ

αδΩαδδ

++

++

−+=

=+−+−+=

=+−+

&&&&&

&&&&&

(2.85)

sau, sub formă matricială,

. e e)(

e

i000

0

0

ii

i

2221

12112

2221

1211

2221

1211

Ωt

PTC

C

C

C

PC

C

T

JJemΩ

r

rΩJ

rJ

m

o

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

αθ

θ

αδδδδ

α

αδδδδ

αδδδδ

&

&

&&

&&

(2.86)

Dacă se introduce matricea de rigiditate, ca inversa matricii de flexibilitate

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2221

12111

2221

1211 kkkk

δδδδ

,

sistemul de ecuaţii (2.86) are forma mai simplă

.e

e )(e

i0

00

00

ii

i2

2221

1211

Ω t

PT

C

C

C

C

PC

C

T

JJemΩ

rkkkkr

ΩJr

Jm

o

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

αθ

θ

α

ααα &

&

&&

&&

(2.87)

În continuare, se vor calcula separat pulsaţiile proprii de precesie ale rotorului, răspunsul la dezechilibru masic şi răspunsul la excitaţie cu o forţă armonică având o direcţie fixă în spaţiu.

2.4.4 Moduri proprii de precesie

Pentru studiul precesiei libere a rotorului nesimetric, se consideră sistemul (2.85) în care se anulează membrul drept

.0i

,0i

222221

121211

=+−+=+−+

CCPCTC

CCPCTC

JJrmrJJrmααδΩαδδ

αδΩαδδ&&&&&

&&&&& (2.88)

Sistemul fiind neamortizat, se caută soluţii de forma

.e ,e i i tC

tC Rr ωω Αα == (2.89)

Înlocuind soluţiile (2.89) în (2.88), rezultă sistemul algebric omogen


.JJRm

,JJRm

PT

PT

0) 1()(

0) ()1(

22222

212

12 122

112

=+−+−

=−−−

ΑδΩωδωδω

ΑδΩωδωδω (2.90)

Pentru a avea soluţii nebanale, trebuie îndeplinită condiţia

0 1

1

22222

212

122

12112

=+−−−−

δωδωδωδωδωδω

PT

TP

JΩJmJJΩm (2.91)

care reprezintă ecuaţia caracteristică a sistemului, sau ecuaţia pulsaţiilor proprii.

Fiind o ecuaţie de gradul patru în ω , aceasta va avea patru soluţii (două pozitive şi două negative), care corespund celor patru pulsaţii proprii iω ( )41,..,i = ale unui disc rezemat elastic. Acestea sunt funcţii de viteza unghiulară de rotaţie Ω .

Fig. 2.22

Pentru a reprezenta grafic această dependenţă este util să se rescrie ecuaţia (2.91) sub forma

[ ] .mJ

JmJm

P

TT

222

1222112

2122211

42211

2

)(

)()(1

δδδδωω

δδδωδδωΩ−−

−++−= (2.92)

Înlocuind valorile lui ω , egale cu pulsaţiile proprii, se obţin valorile corespunzătoare ale vitezelor unghiulare critice.


În figura 2.22 s-a reprezentat grafic dependenţa )(Ωωω = pentru un rotor al cărui disc are momentele de inerţie masice .TP JJ > Cele patru ramuri ale curbei corespund celor patru rădăcini ale ecuaţiei (2.91). Înlocuirea lui Ω prin ( )Ω− antrenează obligatoriu înlocuirea lui ω prin ( )ω− , deci curbele sunt dispuse antisimetric, două câte două, faţă de axele de coordonate.

Punctele de intersecţie cu axa ω corespund pulsaţiilor proprii ale rotorului în absenţa mişcării de rotaţie ( )0=Ω . Se observă că rotaţia rotorului determină o creştere a pulsaţiilor proprii faţă de cele ale rotorului în vibraţie transversală (nerotitor).

Ordonatele asimptotelor orizontale corespund pulsaţiilor proprii ale unui rotor fără precesie unghiulară. Când ∞→Ω , momentul cinetic devine atât de mare încât discul nu poate fi rotit din planul său şi unghiul α rămâne zero în timpul precesiei.

Fig. 2.23

Pentru o caracterizare completă a fenomenului, este suficient să se utilizeze ramurile curbei situate în semiplanul pozitiv al lui ω (fig. 2.23). Se va considera, deci, variaţia vitezei unghiulare de rotaţie Ω între (–∞) şi (+∞) şi variaţia vitezei unghiulare de precesie ω între 0 şi (+∞).

Trebuie însă remarcat că ecuaţiile (2.88) admit şi soluţii de forma

,e ,e i i tC

tC Rr ωω Αα −− ==

ceea ce revine la înlocuirea lui ω prin ( )ω− în ecuaţia (2.87), sau a lui Ω prin ( )Ω− .

Când ω şi Ω au acelaşi semn (în cazul de faţă – pozitiv), rotirea axei deformate a arborelui în jurul axei lagărelor se face în acelaşi sens cu rotirea discului în jurul axei arborelui. Mişcarea este o precesie directă, adică mişcarea de precesie se face în sensul mişcării de rotaţie.


Când ω şi Ω au semne contrare (în cazul de faţă 0>ω , 0<Ω ), segmentul CO se roteşte în sens contrar segmentului GC , mişcarea fiind de precesie inversă. Mişcarea de precesie se face în sens contrar mişcării de rotaţie. Rezultă că punctele curbelor ( )Ωωω = situate în cadranul 0>ω , 0>Ω , corespund precesiei directe iar cele situate în cadranul 0>ω , 0<Ω corespund precesiei inverse (fig. 2.23).

Fig. 2.24

În figura 2.24 s-a reprezentat grafic dependenţa ( )Ωωω = pentru un rotor al cărui disc are momentele de inerţie TP JJ < (disc gros).

Momentele de inerţie masice ale unui disc sunt

2

2RmJ P = , ( )223

12HRmJT += , (2.93)

unde R este raza, H este lungimea (grosimea) şi m este masa discului.

La discuri subţiri, RH << şi TP JJ 2= . Pentru RH 3= , momentele de inerţie masice sunt egale, TP JJ = .

În simulări numerice este util să se folosească mărimi adimensionale [16]. Ecuaţia caracteristică (2.91) se poate scrie

0 11

1

11

222

0

22

2

11

21

11

12

0

22

2

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

δδ

ηωΩηη

δδ

δδ

ηωΩηη

l

ll

l

ll

l

P

TP

P

TP

JJ

mJ

JJ

mJ

(2.91, a)


unde l este lungimea (sau deschiderea) rotorului, pulsaţia adimensională

0ω

ωη = , (2.94)

şi

11

01δ

ωm

= (2.95)

este pulsaţia proprie când discul este înlocuit printr-o masă concentrată.

Ecuaţia (2.91, a) devine

010

12

23

03

44 =++−− η

ωΩηη

ωΩη aaaa , (2.96)

în care

11

222

21 δ

δ l

lmJa P= ,

P

TJJaa 12 1+= ,

( )2

11

22122211

23 δ

δδδ l

l

−=

mJa P , 34 a

JJa

P

T= .

(2.97)

Înlocuind pulsaţiile proprii iω ( )41,..,i = în prima ecuaţie (2.90) se obţin rapoartele amplitudinilor care definesc forma modurilor de precesie

2

12

112

1

iPi

T

i

i

i

JJ

mRA

ωδωΩ

δω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= . (2.98)

Pentru calcule, expresia (2.98) se scrie sub forma

ll

l

i

iiP

TP

ii

R

JJ

mJ

A

11

12

0

22

2

1

δδ

ηωΩη

η

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= , (2.99)

în care pulsaţia proprie adimensională

0ω

ωη i

i = . (2.100)


Exemplul 2.1

Fie un arbore cu secţiunea constantă, având un disc subţire neegal depărtat de capetele simplu rezemate (fig. 2.25). Se cere să se determine modurile proprii de precesie considerând l4,0=a , 216,02 lmJJ TP == şi 08,0 ωΩ = .

Rezolvare. Matricea de flexibilitate este

[ ] ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−=

28,0048,0048,00576,0

331 2

33

22

2 l

lll

l

ll

l IEbaabbaabbaba

IEδ .

Fig. 2.25

Ecuaţia pulsaţiilor proprii (2.96) are forma

038667,11667,46,1 234 =++−− ηηηη

cu rădăcinile

8206,01 −=η , 0137,12 =η , 3217,13 −=η , 7286,24 =η .

Formele modurilor de precesie sunt definite de rapoartele amplitudilor

l11 4664,2 RA = , l22 6955,0 RA = , l33 9013,2 RA −= , l44 3939,31 RA −= .

Pulsaţiile proprii de precesie au valorile

01 8206,0 ωω −= , 02 0137,1 ωω = , 03 3217,1 ωω −= , 04 7286,2 ωω = .

Formele modale sunt prezentate în fig. 2.26, considerând l1,0=iR .

Pentru un arbore nerotitor ( )0=Ω , ecuaţia caracteristică este

031667,4 24 =+− ηη , cu rădăcinile

9621,00201 ==− ηη , 8003,10403 ==− ηη .


Fig. 2.26

Formele modale corespunzătoare sunt definite de

l010201 2052,1 RAA == , l030403 3719,10 RAA −== .

2.4.5 Răspunsul la excitaţie armonică

În general, mişcările de precesie forţată ale rotoarelor apar sub acţiunea unor perturbaţii exterioare periodice, având pulsaţia excitatoare funcţie de viteza unghiulară de rotaţie. Egalitatea unei pulsaţii excitatoare cu o pulsaţie proprie a rotorului duce la apariţia unei stări similare rezonanţei, adică la o stare denumită impropriu "critică" a arborelui, fenomen caracterizat prin valori mari ale razei mişcării de precesie.

2.4.5.1 Răspunsul la dezechilibru masic

Mişcările de precesie datorite dezechilibrului au pulsaţii egale cu viteza unghiulară a discului rotorului. Rezultă că atunci când o pulsaţie proprie iω , calculată la o anumită valoare a vitezei unghiulare de rotaţie Ω , devine egală cu viteza unghiulară corespunzătoare, ia naştere o stare "critică" a rotorului produsă de dezechilibru. Viteza unghiulară respectivă se numeşte viteză unghiulară critică. Exprimată în "rotaţii/minut" ea poartă numele de turaţie critică de răspuns maxim.


Dacă ,0=α atunci, pentru o excitaţie numai prin dezechilibru masic, considerând 00 =θ , răspunsul staţionar are forma

e ˆˆ

iΩ t

C

C rr

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

αα, (2.101)

care descrie o precesie sincronă, cu viteza unghiulară Ω .

Ecuaţiile (2.87) devin

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

01

22

2221

122

11 Ωemˆr

Ω)JJ(kkkΩmk

PT α. (2.102)

Vitezele unghiulare critice sunt soluţii ale ecuaţiei

0 22221

122

11 =−−

−Ω)JJ(kk

kΩmk

PT , (2.103, a)

care rezultă prin anularea numitorului expresiei soluţiilor ecuaţiilor precesiei datorită dezechilibrului. Ele satisfac ecuaţia ).( crcr ΩΩ ω= Când ,crΩΩ = viteza unghiulară a mişcării de precesie a discului este egală cu viteza unghiulară de rotaţie a arborelui.

Înlocuind ω=Ω în (2.91), ecuaţia vitezelor unghiulare critice se mai scrie

[ ] .ΩJJm

ΩJJm

PT

PT

01)(

)()(2

2211

42122211

=+−+−

−−−

δδ

δδδ (2.103, b)

Rezultă că în figurile 2.23 şi 2.24, punctele de intersecţie ale curbelor ( )Ωω i cu dreapta excitaţiei sincrone Ωω = corespund vitezelor unghiulare critice

de precesie directă (sincronă).

În precesie directă, rotorul cu TP JJ > are o singură turaţie critică (fig. 2.23) iar rotorul cu TP JJ < are două turaţii critice (fig. 2.24).

Dezechilibrul poate excita un răspuns la o turaţie critică numai în modurile cu precesie directă.

Pentru determinarea răspunsului sincron la excitaţia prin dezechilibru masic, se consideră ecuaţiile (2.85)


.e i

,e ii2

21222221

i211121211

tCCPCTC

tCCPCTC

emJJrm

emrJJrmΩ

Ω

ΩδααδΩαδδ

ΩδαδΩαδδ

=+−+

=+−+

&&&&&

&&&&& (2.104)

Înlocuind soluţiile (2.101) în (2.104), se obţine următorul sistem de ecuaţii algebrice liniare

[ ] .emˆJJrm

,emˆJJrm

PT

PT

212

222

212

112

122

112

) (1)(

) ()1(

δΩαδΩδΩ

δΩαδΩδΩ

=−−+−

=−−− (2.105)

Ecuaţiile (2.105) se pot exprima prin mărimi adimensionale

.eˆJJ

mJr

,eˆJJ

mJr

P

TP

P

TP

l

ll

ll

l

ll

l

11 11

1 )1(

11

212

11

222

22

11

122

2

11

122

22

δδηα

δδ

ηδδ

η

ηαδδ

ηη

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

(2.106)

Utilizând notaţiile (2.94), (2.95) şi (2.97), soluţia pentru r poate fi scrisă sub forma

( )[ ]

( ) ( ) 1

12

124

34

2234

+−−−

−−=

ηη

ηη

aaaa

aa

er . (2.107)

Fig. 2.27


În general, diagrama variaţiei amplitudinii (adimensionale) er în funcţie de pulsaţia (adimensională) 0ωΩη = , denumită curba de răspuns la dezechilibru, are maxime la turaţiile critice de precesie directă

Pentru rotorul din Exemplul 2.1, curba de răspuns la dezechilibru este prezentată în fig. 2.27. După cum era de aşteptat, există un singur maxim la aproximativ 00137,1 ω , corespunzător primului mod de precesie directă.

2.4.5.2 Răspunsul la forţă armonică fixă în spaţiu

O forţă armonică având o direcţie fixă în spaţiu

tFtF ω cos )( 0= (2.108)

poate fi scrisă sub forma

( ).FtF tt i i0 ee2

)( ωω −+= . (2.109)

Prima componentă produce un răspuns de forma

t

f

f

C

C rr ωαα

ie ˆˆ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ , (2.110)

care descrie o precesie directă cu viteza unghiulară ω .

Când pulsaţia devine egală cu viteza unghiulară a rotorului, Ωω = , prima componentă poate produce rezonanţă în modurile cu precesie directă.

A doua componentă produce un răspuns de forma

t

b

b

C

C rr ωαα

ie ˆˆ

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ , (2.111)

care descrie o precesie inversă cu viteza unghiulară ( )ω− .

Pentru Ωω −= , ecuaţiile (2.87) devin

01

2

02

2221

122

11

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−− F

ˆr

Ω)JJ(kkkmΩk

b

b

PT α. (2.112)

Turaţiile critice de precesie inversă (asincronă) [2.4] sunt soluţii ale ecuaţiei


0 22221

122

11 =+−

−Ω)JJ(kk

kΩmk

PT. (2.113)

Turaţiile critice de precesie inversă pot fi excitate doar de forţe care se rotesc în sens contrar rotorului. O astfel de forţă poate fi o componentă a unei forţe cu direcţie fixă în spaţiu sau rezultatul unei excitaţii cinematice a lagărelor sau suporţilor lagărelor.

În figurile 2.23 şi 2.24, turaţiile critice de precesie inversă sunt abscisele punctelor în care linia excitaţiei asincrone Ωω −= intersectează curbele pulsaţiilor proprii.

Pentru determinarea răspunsului în frecvenţă la o forţă armonică cu direcţie fixă în spaţiu, în membrul drept al ecuaţiilor (2.104) se înlocuieşte excitaţia prin dezechilibru cu forţa armonică (2.109) rezultând

( )( ).ee

2 i

,ee2

i

i i021222221

i i011121211

ttCCPCTC

ttCCPCTC

FJJrm

FrJJrm

ωω

ωω

δααδΩαδδ

δαδΩαδδ

−

−

+=+−+

+=+−+

&&&&&

&&&&&

(2.114)

Deoarece soluţiile pentru precesia directă şi precesia inversă sunt decuplate, vor fi considerate separat [2.15].

Pentru componenta directă a excitaţiei, înlocuind soluţiile (2.110), ecuaţiile de mişcare devin

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−−−

21

110

22222

212

122

12112

2 1 1

δδ

αδωδωδωδωδωδω F

ˆr

JΩJmJJΩm

f

f

PT

TP . (2.115, a)

Pentru componenta inversă a excitaţiei, înlocuind soluţiile (2.111), ecuaţiile de mişcare devin

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−−

21

110

22222

212

122

12112

2 1 1

δδ

αδωδωδωδωδωδω F

ˆr

JΩJmJJΩm

b

b

PT

TP . (2.115, b)

Raza orbitei de precesie a discului are o componentă cu precesie directă

( )[ ]22110 1

2δΩωω

Δδ

PTf

f JJFr −−= (2.116, a)

şi o componentă cu precesie inversă

( )[ ]22110 1

2δΩωω

Δδ

PTb

b JJFr +−= . (2.116, b)

În expresiile 2.116 s-a notat


2222

221

212

21211

2

1 1 δωδωδω

δωδωδωΔPT

TPf JΩJm

JJΩm+−−−−

= (2.117)

şi

2222

221

212

21211

2

1 1 δωδωδωδωδωδωΔ

PT

TPb JΩJm

JJΩm−−−−−−

= . (2.118)

Orbita precesiei discului este o elipsă cu semiaxa mare şi semiaxa mică

( )bf rra +=21 , ( )bf rrb −=

21 . (2.119)

Utilizând notaţiile (2.94), (2.95) şi (2.97), soluţiile de mai sus se pot scrie

1

1

20

12

23

03

44

24

03

110

++−−

−+=

ηωΩηη

ωΩη

ηηωΩ

δ

aaaa

aaFrf , (2.120)

şi

1

1

20

12

23

03

44

24

03

110

+−−+

−−=

ηωΩηη

ωΩη

ηηωΩ

δ

aaaa

aaFrb . (2.121)

Fig. 2.28


Pentru rotorul din Exemplul 2.1, în fig. 2.28 s-a reprezentat variaţia (mărimii adimensionale a) semiaxei mari a orbitei răspunsului la dezechilibru, ( )2110δFa , în funcţie de frecvenţa excitatoare adimensională (2.94), cu linie

continuă, pentru 08,0 ωΩ = şi cu linie întreruptă, pentru 04,0 ωΩ = . Pentru

08,0 ωΩ = , abscisele celor patru maxime corespund cu cele patru pulsaţii proprii calculate în Exemplul 2.1.

2.4.6 Diagrame Campbell

Diagrama pulsaţiilor proprii de precesie )(Ωωω = se reprezintă deobicei într-o formă condensată, numai în primul cadran al sistemului de axe

ΩOω , sub numele de diagrama Campbell.

Dacă în figurile 2.23 şi 2.24 se rabat ramurile curbelor corespunzătoare precesiei indirecte din cadranul al doilea în primul cadran, atunci se obţin diagramele Campbell din figura 2.29. S-a notat F – precesie directă (‘forward’), B – precesie indirectă (‘backward’) şi s-a modificat indicele pulsaţiilor proprii.

a b

Fig. 2.29

La intersecţiile cu linia excitaţiei sincrone Ωω = se obţin punctele ale căror abscise definesc vitezele unghiulare critice

icrΩ .

În practică, pulsaţiile perturbatoare pot fi multipli de pulsaţia corespunzătoare rotaţiei. Abscisele punctelor de intersecţie ale curbelor pulsaţiilor proprii de precesie cu liniile de pante nΩ , unde ....4,3,2,1=n , permit localizarea vitezelor unghiulare critice posibile (fig. 2.30). Intensitatea răspunsului la


rezonanţele respective depinde de amplitudinea armonicei excitatoare respective şi de nivelul amortizării din sistem.

Fig. 2.30

Atunci când turaţiile critice se determină utilizând diagrama Campbell, trebuie avută în vedere remarca făcută în § 2.4.4: dezechilibrul poate produce deformaţii mari doar la sau în vecinătatea unei turaţii critice de precesie directă.

Fig. 2.31

Pentru rotorul din Exemplul 2.1, diagrama Campbell este prezentată în figura 2.31. Linia excitaţiei sincrone este trasată cu linie întreruptă.


Exemplul 2.2

Să se determine modurile de precesie şi să se traseze diagrama Campbell pentru rotorul în consolă din fig. 2.32. Se consideră 216,02 lmJJ TP == şi

08,0 ωΩ = .

Fig. 2.32

Rezolvare. Matricea de flexibilitate este

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

6332

6

2

l

lll

IEδ .

Ecuaţia pulsaţiilor proprii (2.91, a) se scrie

( )( ) 0

6,1 ,240115,1

6,1 ,120 1 2

2

=−−−

−−−

ηηη

ηηη

l

l

sau 01384,024,1096,006,0 234 =++−− ηηηη ,

cu rădăcinile

7868,01 −=η , 0491,12 =η , 8742,33 −=η , 2119,54 =η .

Formele modurilor de precesie sunt definite de

l11 6905,1 RA = , l22 4497,1 RA = , l33 5047,5 RA −= , l44 5821,11 RA −= .

Cele patru pulsaţii proprii au valorile

01 7868,0 ωω −= , 02 0491,1 ωω = , 03 8742,3 ωω −= , 04 2119,5 ωω = .


Pentru un arbore care nu se roteşte ( )0=Ω , ecuaţia caracteristică este

050623 24 =+− ηη , cu rădăcinile

9169,00201 ==− ηη , 4526,40403 ==− ηη .


Fig. 2.33

Fig. 2.34


Formele modale corespunzătoare sunt definite de

l010201 5797,1 RAA == , l030403 9130,7 RAA −== .

Diagrama Campbell este prezentată în figura 2.34.

Exemplul 2.3

Să se determine modurile de precesie şi diagrama Campbell pentru rotorul simplu rezemat, cu un disc în consolă, din figura 2.35. Se consideră

216,02 lmJJ TP == , l2,0=c şi 08,0 ωΩ = [2.16].

Fig. 2.35

Rezolvare. Matricea de flexibilitate are expresia

[ ]( ) ( )

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++=

6,126,026,0048,0

33322

322

31 2

2

l

lll

ll

ll

IEccc

cccc

IEδ .

Ecuaţia caracteristică (2.96) se scrie

012667,46667,35111,03194,0 234 =++−− ηηηη

şi are rădăcinile

2008,01 −=η , 3273,12 =η , 1985,33 −=η , 6721,34 =η .

Formele modurilor de precesie sunt definite de

l11 1241,6 RA = , l22 8552,4 RA = , l33 3879,1 RA −= , l44 7863,3 RA −= .

Pulsaţiile proprii au valorile

01 2008,0 ωω −= , 02 3273,1 ωω = , 03 1985,3 ωω −= , 04 6721,3 ωω = .



Fig. 2.36

Pentru un arbore care nu se roteşte ( )0=Ω , ecuaţia caracteristică

01304,34783,11 24 =+− ηη , are rădăcinile

5287,00201 ==− ηη , 3464,30403 ==− ηη .

Fig. 2.37


Acestea definesc pulsaţiile proprii ale vibraţiilor transversale ale rotorului la turaţia zero. Forma modurilor proprii de vibraţie este definită de

l010201 9478,5 RAA == , l030403 1016,2 RAA −== .

Diagrama Campbell este prezentată în figura 2.37.

Exemplul 2.4

Să se determine modurile proprii de precesie şi diagrama Campbell ale rotorului simetric, cu un disc la mijloc, din figura 2.38. Se consideră

216,02 lmJJ TP == şi 08,0 ωΩ = .

Fig. 2.38

Rezolvare. Acesta este un rotor de tip Jeffcott-Laval care include efectul momentelor de inerţie masice ale discului. Mişcările de translaţie şi unghiulară ale discului sunt decuplate elastic, deoarece discul este ataşat la mijlocul arborelui.

Ecuaţiile mişcării libere de translaţie sunt

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

00

00

zy

kk

zy

mm

T

T

&&

&&,

în care 348 lIEkT = este rigiditatea de translaţie .

Ecuaţiile mişcării unghiulare libere se scriu sub forma

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

00

00

00

ψϕ

ψϕ

Ωψϕ

R

R

P

P

T

T

kk

JJ

JJ

&

&

&&

&&,

unde lIEkR 12= este rigiditatea unghiulară.

Când rotorul nu se roteşte ( )0=Ω , există două moduri independente de vibraţie transversală cu aceeaşi pulsaţie proprie mkTT =ω . Unul dintre moduri este o vibraţie rectilinie pe direcţia y, iar celălalt mod este o vibraţie rectilinie pe direcţia z (fig. 2.39).


Fig. 2.39

Dacă cele două moduri au aceeaşi amplitudine şi un defazaj de o90 , acestea pot fi suprapuse pentru a forma un mod de precesie circulară directă sau inversă. La modelul simetric considerat, aceste pulsaţii sunt independente de viteza unghiulară de rotaţie a rotorului, T, ωω ±=21 .

Pentru mişcarea unghiulară, înlocuind soluţii de forma tt , i i e e ωω ΨψΦϕ ==

în ecuaţiile de mişcare , se obţine următorul sistem de ecuaţii algebrice omogene

.JkJ

,JJk

RP

PR

0)( i

0 i)(

T2

T2

=−+−

=+−

ΨωΦΩω

ΨΩωΦω

Ecuaţia caracteristică este

( ) 0)( 22T

2 =−− PR JJk Ωωω .

Notând [2.17]

T

RR J

k=2ω ,

T

PJJ

=γ , ( )222

41 ΩγωωΩ += R ,

se obţin pulsaţiile proprii

Ωγωω Ω 21

43 m=, ,

sau


T

R

T

P

T

P, J

kJJ

JJ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=

2

43 22ΩΩω .

În figura 2.40 se prezintă variaţia celor două pulsaţii proprii de precesie în funcţie de viteza unghiulară de rotaţie a rotorului. În figură s-au mai desenat linia

excitaţiei sincrone Ωω = , asimptotele Ωγω = şi Ωγω21

= , şi curba Ωω .

Fig. 2.40

Linia excitaţiei sincrone intersectează curbele celor două pulsaţii proprii la

γωΩ += 13 R , γωΩ −= 14 R .

Forme modurilor proprii sunt date de raportul amplitudinilor

i

i

T2

±=−

=P

RJ

JkΩωω

ΦΨ .

Pentru 3ωω = , ( ) i3 −=ΦΨ , precesia este inversă. Pentru 4ωω = , ( ) i4 +=ΦΨ , precesia este directă. Deformata arborelui este plană. Axa de rotaţie a discului descrie un con cu secţiune transversală circulară.

În vederea unei comparaţii cu exemplele precedente, în continuare se prezintă o soluţie în care s-au utilizat notaţiile (2.94), (2.95) şi (2.97).

Matricea de flexibilitate este


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

25,0000625,0

3

2ll

IEδ .

Ecuaţia caracteristică (2.96) este

( ) ( ) 011512,032,0 22 =−−− ηηη

având rădăcinile

11 −=η , 12 =η , 1404,13 −=η , 7404,24 =η .

În cazul arborelui care nu se roteşte ( )0=Ω , ecuaţia caracteristică

( ) ( ) 01125,3 22 =−− ηη , are rădăcinile

10201 ±=,η , 7678,104,03 ±=η .

Fig. 2.41

Diagrama Campbell este arătată în fig. 2.41. Pulsaţiile de precesie adimensionale, 0ωω i , sunt reprezentate în funcţie de raportul 0ωΩ , unde

Tωω =0 . Liniile suprapuse ale pulsaţiilor modurilor de translaţie, T, ωω ±=21 , corespund modelului de rotor Jeffcott-Laval. Singura turaţie critică excitată de dezechilibrul rotitor este localizată la intersecţia liniei excitaţiei sincrone (punctată) cu linia 2ω la Tcr ωΩ = .


2.4.7 Efectul cuplului giroscopic asupra turaţiilor critice

Conform relaţiilor (2.76) şi (2.75, a), în cazul precesiei directe, discul acţionează asupra arborelui cu un cuplu având componentele

.ΩJJM

,ΩJJM

GPGTC

GPGTC

z

y

) (

) (

ϕψ

ψϕ

&&&

&&&

−−=

+−= (2.122)

În general, dacă viteza unghiulară de precesie este ω iar orbita este circulară, şi dacă planul median al discului este perpendicular pe axa arborelui

.t,t

CCG

CCG

cos sin

ωαψψωαϕϕ

==−==

(2.123)

Componentele cuplului aplicat arborelui sunt

,JΩJM

,JΩJM

CTPC

CTPC

z

y

ψωω

ϕωω

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

(2.124)

fiind orientate în sensul micşorării unghiului de înclinare al discului faţă de axa arborelui în repaus, deci produc rigidizarea acestuia (dacă paranteza este pozitivă).

În cazul precesiei sincrone directe, ω=Ω şi expresiile (2.124) devin

.ΩJJM

,ΩJJM

CPTC

CPTC

z

y

ψ

ϕ

2

2

)(

)(

−=

−= (2.125, a)

Cuplul giroscopic produce o scădere aparentă a lui TJ (sau chiar efectul contrar), mărind turaţia critică.

În cazul precesiei inverse asincrone, cu ,ω−=Ω se obţine

,ΩJJM

,ΩJJM

CPTC

CPTC

z

y

ψ

ϕ

2

2

)(

)(

+=

+= (2.125, b)

deci efectul cuplului giroscopic este invers. Acesta produce o creştere aparentă a lui TJ , ceea ce micşoreaza turaţia critică respectivă.

Cele de mai sus explică alura curbelor din figurile 2.23 şi 2.24, care indică o creştere a pulsaţiilor proprii de precesie directă şi o scădere a pulsaţiilor proprii de precesie indirectă cu creşterea turaţiei rotorului.


2.4.8 Consideraţii asupra precesiei rotoarelor nesimetrice

Analiza precesiei rotoarelor nesimetrice a relevat câteva fenomene distincte:

a) Considerarea inerţiei transversale a discului dublează numărul turaţiilor critice. Fiind un efect “inerţial”, prima pulsaţie proprie a rotorului este mai mică decât pulsaţia proprie a rotorului la care discul este modelat ca o masă concentrată. Valoarea proprie adiţională este produsă de considerarea unui grad de libertate în plus, şi anume rotirea discului faţă de axa diametrală transversală. În primul mod de precesie, mişcarea de translaţie şi cea unghiulară sunt în fază. În al doilea mod, cele două mişcări sunt în antifază. Efectul inerţiei unghiulare se manifestă şi la turaţie nulă.

b) Datorită efectelor giroscopice, pulsaţiile proprii are rotorului depind de turaţie. În general, cuplurile giroscopice dublează numărul pulsaţiilor proprii. Acestea apar în perechi de moduri, unul cu precesie directă şi unul cu precesie inversă. Efectul giroscopic nu acţionează la turaţia zero.

Numărul turaţiilor critice poate fi diferit de numărul pulsaţiilor proprii de precesie. Turaţiile critice directe (“forward”) pot fi întâlnite doar în cazul excitaţiei corotitoare. Acestea sunt turaţii critice sincrone. Turaţiile critice inverse (“backward”) se mai numesc turaţii critice asincrone. O forţă armonică cu direcţie fixă în spaţiu poate produce atât precesie directă cât şi precesie inversă.

Numărul turaţiilor critice depinde de raportul momentelor de inerţie masice TP J/J . La un rotor cu disc subţire, cu TP JJ > , există o singură turaţie critică directă. La un rotor cu disc gros, cu TP JJ < , există două turaţii critice în precesie sincronă directă. Când TP JJ = , sistemul nu mai trece prin a doua turaţie critică. Unele maşini de spălat cu tambur rotitor sunt proiectate pentru a avea momentul de inerţie masic polar egal cu cel diametral. Indiferent de valoarea raportului momentelor de inerţie, există totdeauna două turaţii critice asincrone.

c) Discurile montate înclinat pe arbore produc aşa-numitul “dezechilibru oblic” care este o sursă de excitaţie armonică sincronă a rotorului asemănătoare cu dezechilibrul masic.

Deoarece ( ) α2sin21

TPxy JJJ −= , efectul montării oblice a discului

poate fi considerat un “dezechilibru centrifugal”.

d) Când discul este ataşat la mijlocul arborelui, rotorul are o mişcare plană în modul de precesie cilindric, nu apar efecte giroscopice, pulsaţiile proprii de precesie directă şi inversă coincid şi sunt independente de turaţie. Curbele corespunzătoare din diagrama Campbell sunt linii drepte suprapuse.


e) La rotoarele în lagăre rigide, cu secţiunea transversală axial-simetrică, toate punctele se mişcă pe orbite circulare. Rotoarele au moduri de precesie cu orbite circulare şi cu forme deformate plane.

f) Amortizarea internă a rotorului, datorită frecării în asamblările prin fretaj sau a amortizării histeretice, poate produce instabilitatea acestuia. La turaţii sub limita de stabilitate, mişcarea rotorului este stabilă. Peste această turaţie, apar forţe destabilizatoare perpendiculare pe raza orbitei de precesie şi în sensul rotaţiei arborelui, care produc amplitudini mari ale precesiei, cu deteriorarea sau distrugerea maşinii. Razele de precesie cresc până ating o orbită limită staţionară.

Bibliografie

2.1 Föppl, A., Das Problem der Lavalschen Turbinenwelle, Der Civilingenieur, vol.4, p.335-342, 1895.

2.2 Jeffcott, N., Lateral vibration of loaded shafts in the neighbourhood of a whirling speed - The effect of want of balance, Philosophical Magazine, Series 6, vol.37, p.304-314, 1919.

2.3 Childs, D., Turbomachinery Rotordynamics. Phenomena, Modeling and Analysis, Wiley, New York, 1993.

2.4 Stodola, A., Neuere Beobachtungen uber die Kritischen Umlaufzahlen von Wellen, Schweizer. Bauzeitung, vol.68, p.210-214, 1916.

2.5 Green, R., Gyroscopic effects on the critical speeds of flexible rotors, J. Appl. Mech, vol.15, p. 369-376, 1948.

2.6 Gasch, R. and Pfützner, H., Rotordynamik, Springer, Berlin, 1975.

2.7 Kimball, A. L., Jr., Measurement of internal friction in a revolving deflected shaft, General Electric Review, vol.28, no.8, p.554-558, Aug 1925.

2.8 Newkirk, B. L., Shaft whipping, General Electric Review, vol.27, p.169, 1924.

2.9 Gunter, E. J., Jr. and Trumpler, P. R., The influence of internal friction on the stability of high speed rotor with anisotropic supports, ASME Journal of Engineering for Industry, Series B, vol.87, p.1105-1113, Nov 1969.

2.10 Kimball, A. L., Internal friction as a cause of shaft whirling, Philosophical Magazine, vol.49, p.724-727, 1925.

2.11 Robertson, D., Transient whirling of a rotor, Philosophical Magazine, Series 7, vol.20, p.793, 1935.

2.12 Gunter, E. J., Jr., The influence of internal friction on the stability of high speed rotors, ASME Journal of Engineering for Industry, Series B, vol.89, p.683-688, Nov 1967.


2.13 Dimentberg, F., Flexural Vibrations of Rotating Shafts, Butterworths, London, 1961.

2.14 Bishop, R. E. D. and Parkinson, A. G., Vibration and balancing of flexible shafts, Appl. Mech. Reviews, vol.21, no.5, 1968, p.439-451.

2.15 Gasch, R., Nordmann, R. and Pfützner, H., Rotordynamik, Springer, Berlin, 2002.

2.16 Krämer, E., Dynamics of Rotors and Foundations, Springer, Berlin, 1993.

2.17 Ewins, D. J., Modal Testing: Theory, Practice and Applications, 2nd ed., Research Studies Press, Baldock, 2000.

3. ROTOARE CU UN DISC, ÎN LAGǍRE ELASTICE

În acest capitol se analizează influenţa elasticităţii şi amortizării lagărelor asupra precesiei rotoarelor elastice. Se examinează doar rotoare cu un disc rezemate în lagăre elastice. Se consideră atât lagăre izotrope şi ortotrope cu coeficienţi constanţi, cât şi lagăre hidrodinamice cu coeficienţi de rigiditate şi de amortizare dependenţi de turaţie şi încărcare.

3.1 Rotorul simetric în lagăre elastice

În acest paragraf se consideră modele de rotor cu un disc, montat pe un arbore simetric radial şi longitudinal, rezemat în lagăre elastice identice sau pe reazeme identice. Se neglijează momentul de inerţie masic diametral al discului şi se analizează doar precesia de translaţie a acestuia.

a b Fig. 3.1

Se presupune că lagărele nu au rigidităţi şi amortizări de cuplaj, ca în cazul lagărelor cu rulmenţi în suporturi elastice, lagărelor radiale cu segmenţi oscilanţi şi suporturilor cu “squeeze film” proiectate să lucreze în domeniul liniar.


3.1.1 Efectul elasticităţii lagărelor

Se consideră un rotor simetric, rezemat în două lagăre elastice anizotrope identice (fig. 3.1, a). Lagărele au două direcţii principale de rigiditate, în lungul cărora rigiditatea are valori extreme. La lagăre ortotrope se definesc numai rigidităţile principale.

Se aleg axele Oy şi Oz în lungul direcţiilor principale de rigiditate ale lagărelor. Fie 1k şi 2k rigidităţile principale.

Se notează BB z,y proiecţiile deplasării centrului fusului pe axele triedrului fix Oxyz (fig. 3.1, b). Celelalte notaţii sunt identice cu cele adoptate la studiul rotoarelor în lagăre rigide (fig. 2.3).

a b

Fig. 3.2

3.1.1.1 Ecuaţiile de mişcare

Aplicând principiul lui d'Alembert, se scriu ecuaţiile de echilibru dinamic al forţelor şi cuplurilor care acţionează asupra discului (fig. 3.2, a) [3.1]:

( )( )( ) ( ) ( ),tMezzkeyykJ

,zzkzm,yykym

BCBCG

BCG

BCG

=−−−+

=−+=−+

θθθ cossin

00

&&

&&

&&

(3.1)

şi al forţelor care acţionează asupra arborelui (fig. 3.2, b):

( )( ).2

,2

2

1

BCB

BCB

zzkzkyykyk

−=−=

(3.2)

3. ROTOARE CU UN DISC, ÎN LAGǍRE ELASTICE 103

Între coordonatele punctelor C şi G se stabilesc relaţiile

.ezz,eyy

CG

CG

θθ

sincos

+=+=

(3.3)

Considerând un regim staţionar de mişcare, dacă ( ) 0=tM , rezultă 0≅θ&& , viteza unghiulară .const== Ωθ& şi poziţia unghiulară 0 θθ += tΩ . Printr-o alegere convenabilă a originii timpului

tΩθ = . (3.4)

Eliminând coordonatele BB z,y şi GG zy , între ecuaţiile (3.1)-(3.3) şi ţinând cont de (3.4), se obţin ecuaţiile de mişcare ale punctului C :

,temzkzm

,temykym

CzC

CyC

sin

cos 2

2

ΩΩ

ΩΩ

=+

=+

&&

&& (3.5)

unde s-a notat

kkkkk,

kkkkk zy +

=+

=2

2

1

122

22 . (3.6)

Ecuaţiile (3.5) se deosebesc de ecuaţiile (2.5), deduse pentru rotorul în lagăre rigide, numai prin rigidităţile echivalente (3.6), diferite pe cele două direcţii Oy şi Oz.

Datorită simetriei sistemului, lagărele pot fi considerate elemente elastice legate în paralel, arborele elastic fiind legat în serie cu acestea. Expresiile rigidităţilor echivalente, pe cele două direcţii, se stabilesc cu ajutorul relaţiilor:

.kkk

,kkk zy 21 2

111 2111

+=+=

Înlocuind pe k prin yk în prima ecuaţie (2.5) şi prin zk în a doua ecuaţie (2.5), se obţine direct sistemul (3.5).

Soluţiile complete ale ecuaţiilor (3.5) au forma

. sin )(sin )(

, cos )(cos )(

22

2

22

2

tetZtz

tetYty

zzzCC

yyyCC

ΩΩω

Ωθω

ΩΩω

Ωθω

−++=

−++=

(3.7)


În membrul drept, primul termen corespunde precesiei libere, în timp ce al doilea termen descrie precesia forţată produsă de dezechilibru.

S-au notat mkmk zzyy == ωω , , (3.8)

pulsaţiile proprii ale vibraţiilor pe direcţiile Oy, respectiv Oz.

În general, zy ωω ≠ şi dacă rigiditatea orizontală este mai mică decât cea

verticală, 12 kk < , atunci .mknyz =<< ωωω Pulsaţia proprie a vibraţiilor pe direcţia Oz este mai mică decât cea pe direcţia Oy şi ambele sunt mai mici decât pulsaţia proprie a sistemului cu lagăre rigide.

3.1.1.2 Răspunsul la dezechilibru

Mişcarea în regim staţionar este descrisă de soluţiile particulare ale ecuaţiilor (3.5)

.tetz)t(z

,tety)t(y

zCC

yCC

sin sin

cos cos

22

2

22

2

ΩΩω

ΩΩ

ΩΩω

ΩΩ

−==

−==

(3.9)

În figura 3.3 s-a reprezentat grafic variaţia amplitudinii celor două componente ale deplasării punctului C în funcţie de viteza unghiulară de rotaţie Ω . Se observă că atunci când zωΩ = şi yωΩ = , amplitudinea deplasării creşte nelimitat. Rotorul simetric în lagăre elastice anizotrope are două turaţii critice.

Deoarece ,ˆˆ CC zy ≠ relaţiile (3.9) sunt ecuaţiile parametrice ale unei elipse. Eliminând timpul între aceste relaţii, rezultă

122

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

C

C

C

Czz

yy . (3.10)

deci traiectoria punctului C este o elipsă ale cărei axe sunt coliniare cu axele principale de rigiditate ale lagărelor.

Punctul C parcurge elipsa într-un timp Ωπ2=T , egal cu perioada de rotaţie a discului, deci mişcarea are caracterul unei precesii sincrone.

La viteze unghiulare zωΩ < şi yωΩ > punctul C se deplasează în lungul elipsei în acelaşi sens ca Ω ; precesia este directă (“forward”). La viteze unghiulare yz ωΩω << punctul C se deplasează în lungul elipsei în sens contrar faţă de Ω ; precesia este inversă (“backward”).


Din figura 3.3 rezultă că pentru *ΩΩ = şi ,** ∞→=ΩΩ orbita devine circulară. La viteze unghiulare *ΩΩ < elipsa are axa mare paralelă cu direcţia Oz. Pentru *ΩΩ > axa mare este paralelă cu Oy.

Ortotropia lagărelor determină o dublare a numărului turaţiilor critice şi orbite eliptice ale mişcării de precesie sincronă.

Fig. 3.3

Deşi precesia este sincronă, viteza unghiulară a deplasării punctului C în lungul orbitei eliptice este variabilă, iar Ω este viteza unghiulară a mişcărilor circulare în sensuri contrare care generează elipsa.

În timpul deplasării în lungul orbitei eliptice, rotorul accelerează şi încetineşte pentru conservarea energiei şi momentului cinetic. Viteza unghiulară de precesie nu este viteza unghiulară a mişcării rotorului în lungul elipsei. Aceasta este egală cu vitezele unghiulare constante, a mişcării circulare directe şi a mişcării circulare inverse, prin compunerea cărora rezultă mişcarea pe elipsă.

Utilizând notaţia cu numere complexe, raza vectoare a orbitei de precesie a centrului discului se poate scrie

tztyzyr CCCCC ΩΩ sin i cos i +=+= , (3.11)

sau

( ) ( )ttCttCC

zyr i i i i eei2

i ee2

ΩΩΩΩ −− −++= ,


,rrzyzyr tb

tf

tCCtCCC

i i i i eee2

e2

ΩΩΩΩ −− +=−

++

= (3.11, a)

( ) ( ) trrtrrr bfbfC ΩΩ sin i cos −++= , (3.11, b)

unde

.er

,er

zy

zyb

zy

zyf

)()(2

)()(

22

2222

222

2222

2222

ΩωΩω

ωωΩ

ΩωΩω

ΩωωΩ

−−

−−=

−−

−+=

(3.12)

Primul termen din expresia (3.11, a) reprezintă (în planul complex) un vector de lungime fr care se roteşte în sensul de rotaţie al discului, sincron cu acesta. Al doilea termen reprezintă un vector de lungime br care se roteşte în sens contrar, cu aceeaşi viteză unghiulară. Prin compunerea celor două mişcări circulare de sensuri contrare ( ).const=Ω rezultă o elipsă (fig.3.4).

Fig. 3.4

La 0=t , ===+= ayrrr CbfC ˆ)0( semiaxa mare a orbitei eliptice. La =t π /(2Ω ), ===−= bzrrr CbfC ˆ)2/( Ωπ semiaxa mică.

Sensul de rotaţie al vectorului sumă Cr (deci de deplasare a punctului C în lungul elipsei) depinde de mărimea relativă a celor doi vectori componenţi.

Dacă ,rr bf > atunci punctul C se “roteşte” în acelaşi sens cu discul;

mişcarea este o precesie directă. Dacă ,rr bf < atunci punctul C se “roteşte” în


sens contrar discului, mişcarea este o precesie inversă. Dacă bf rr = , elipsa

degenerează într-o linie dreaptă iar punctul C are o mişcare oscilatorie rectilinie.

Referitor la figura 3.3, unde ,yz ωω < şi pe baza relaţiilor (3.12) se pot

stabili următoarele. La viteze unghiulare zΩ ω< şi ,yΩ ω> bf rr > , precesia

este directă. La viteze unghiulare, ,yz Ω ωω << bf rr < , precesia este inversă.

La zΩ ω= axa mare a elipsei devine (teoretic) infinită iar la trecerea prin turaţia critică mişcarea se transformă din precesie directă în precesie inversă. Analog, la

yΩ ω= are loc trecerea de la precesie inversă la precesie directă. Trecerea de la o elipsă cu precesie într-un sens, la o elipsă cu precesie în sens contrar, se poate face numai printr-o traiectorie rectilinie, deci o elipsă degenerată în linie dreaptă.

Mişcarea pe orbite eliptice produce tensiuni variabile în arbore chiar la viteze unghiulare de rotaţie constante. În timpul precesiei sincrone directe, partea întinsă a (secţiunii) arborelui rămâne întinsă, iar cea comprimată rămâne comprimată, dar tensiunile normale de încovoiere din arbore variază într-un ciclu oscilant, datorită variaţiei lungimii razei orbitei de precesie. În timpul precesiei inverse, tensiunile de încovoiere variază într-un ciclu alternant nesimetric, având două schimbări de sens pe rotaţie (fig. 3.3), deci dezavantajos pentru comportarea la oboseală.

Mişcarea centrelor fusurilor este definită de variaţia în timp a coordonatelor punctului B (fig. 3.1). Din ecuaţiile (3.2) rezultă

.zkzkk,ykykk CBCB =+=+ )2( )2( 21 (3.13)

Utilizând ecuaţiile (3.9) se obţine, în regim staţionar,

.tekk

ktz

,tekk

kty

zB

yB

sin2

)(

cos2

)(

22

2

2

22

2

1

ΩΩω

Ω

ΩΩω

Ω

−+=

−+=

(3.14)

deci orbita punctului B este tot o elipsă, însă cu semiaxele mai mici decât cele corespunzătoare punctului C. Mişcarea punctelor B şi C este sincronă, amplitudinile maxime înregistrându-se la aceleaşi valori yω şi zω ale vitezelor unghiulare critice ale rotorului.

Din ecuaţiile (3.3), (3.9) şi (3.14) rezultă că punctele O, B, C şi G sunt coliniare. Acest fenomen apare datorită neglijării amortizării. După cum se arată în continuare, la rotoarele amortizate segmentele BO , CB şi GC nu sunt coliniare.


La rotoare cu arborele foarte rigid în comparaţie cu reazemele, se consideră k→∞ şi 21 2 ,2 kkkk zy == . Din (3.13) rezultă CBCB zz,yy == , deci centrul discului are o orbită de precesie identică cu cea a centrelor fusurilor.

3.1.1.3 Moduri proprii de precesie

Renunţând la indicele C, ecuaţiile precesiei libere, obţinute înlocuind 0=e în (3.5), sunt

.zkzm

,ykym

z

y

0

0

=+

=+

&&

&& (3.15)

Utilizând notaţia cu numere complexe

zyr i+= , zyr i−= , (3.16)

ecuaţiile (3.15) devin

,rkrkrm 0 =++ Δ&& (3.17)

unde

2

zy kkk

+= , 0

2>

−= zy kk

kΔ . (3.18)

Mişcarea de precesie poate fi analizată în funcţie de componentele cu precesie directă şi precesie inversă. Înlocuind

tb

tf rrr i i ee ωω −+= , t

ft

b rrr i i ee ωω −+= (3.19)

în (3.17), se obţine un sistem de ecuaţii omogene

( )

( ) .rmkrk

,rkrmk

bf

bf

0

02

2

=−+

=+−

ωΔ

Δω (3.20)

Ecuaţia caracteristică este

( ) ( ) 0222 =−− kmk Δω , (3.21)

m

kk Δω m=2 , (3.21, a)

deci pulsaţiile proprii sunt

2221 z

z, m

km

kk ωΔω ==−

= , 2243 y

y, m

km

kk ωΔω ==+

= . (3.22)


Din prima ecuaţie (3.20) se obţine raportul amplitudinilor

k

mkrr

f

bΔω2−

−= . (3.23)

Pentru z, ωω ±=21 , omiţând indicii, rezultă

fb rr −= , 0=+= bf rry , brrz bf =−= . (3.24, a)

Mişcarea este o vibraţie (orizontală) de amplitudine b în lungul axei z.

Pentru y, ωω ±=43 , omiţând indicii, rezultă

fb rr += , arry bf =+= , 0=−= bf rrz . (3.24, b)

Mişcarea este o vibraţie (verticală) de amplitudine a în lungul axei y.

Orbitele modurilor proprii de precesie degenerează în linii drepte. Se poate considera că orbitele liniare sunt generate de două mişcări pe orbite circulare de raze egale, una în sensul mişcării de rotaţie şi una în sens contrar.

3.1.2 Efectul amortizării externe

În acest paragraf se studiază influenţa amortizării externe asupra răspunsului rotorului rezemat elastic. Într-o primă aproximaţie, se admite că amortizarea externă este izotropă şi vâscoasă, acţionând prin forţe proporţionale cu viteza absolută a discului. Principalele efecte sunt valoarea finită a răspunsului la dezechilibru masic şi înclinarea faţă de verticală a orbitelor de precesie eliptice.


Pentru calculul precesiei amortizate a rotorului, în ecuaţiile (3.5) se introduc termeni proporţionali cu viteza centrului discului CC zcyc && , .

Se obţin următoarele ecuaţii de mişcare:

.temzkzczm

,temykycym

CzCC

CyCC

sin

cos 2

2

ΩΩ

ΩΩ

=++

=++

&&&

&&& (3.25)

În regim staţionar, soluţiile ecuaţiilor (3.25) au forma

,tzz

,tyy

zCC

yCC

) (sin

) (cos

θΩ

θΩ

+=

+= (3.26)

unde


22

2

2

2

2

22

2

2

2

2

21

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

=

zz

z

zC

yy

y

yC

ez,

e

y

ωΩζ

ωΩ

ωΩ

ωΩζ

ωΩ

ωΩ

(3.27)

2

2

2

21

2 tg ,

1

2tg

z

zz

z

y

yy

y

ωΩωΩζ

θ

ωΩ

ωΩζ

θ−

−=

−

−

= (3.28)

În expresiile (3.27) şi (3.28) s-au utilizat notaţiile (3.8) şi

zz

zyy

y mc

mkc,

mc

mkc

ωζ

ωζ

22

22==== . (3.29)

În continuare, pentru simplificarea expunerii, se consideră lagăre cu rigiditatea orizontală de patru ori mai mică decât cea verticală [3.2]

kk,kk41 21 == .

În acest caz rezultă

kk,kk zy 31

32

== .

Rigiditatea totală verticală a sistemului este de două ori mai mare decât rigiditatea totală orizontală.

Coeficientul de amortizare vâscoasă externă se alege [3.2]

.21,021,0 mkmc n ⋅=⋅= ω

Pulsaţiile proprii neamortizate sunt

.577,031 , 816,0

32

nzny mk

mk ωωωω ====

Rapoartele de amortizare au valorile

.17,0577,0

1,02

,12,0816,0

1,02

======z

zy

y mc

mc

ωζ

ωζ

Se introduce pulsaţia adimensională


nωΩη = . (3.30)

Expresiile (3.27) şi (3.28) devin

2

22

2

22

2

2

)2,0(31

ˆ ,

) 2,0(32

ˆ

ηη

η

ηη

η

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=e

ze

y CC (3.31)

.

31

2,0 tg,

32

2,0tg22 η

ηθη

ηθ−

=−

= zy (3.32)

În figura 3.5, a s-a reprezentat dependenţa de viteza unghiulară de rotaţie a componentelor răspunsului la dezechilibru al discului, utilizând expresiile (3.31). Spre deosebire de curbele din figura 3.3, trasate pentru rotorul neamortizat, răspunsul are amplitudini maxime finite:

.885,2ˆ

, 08,4ˆ

577,0816,0=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

== ηη ez

ey CC

a b

Fig. 3.5

În figura 3.5, b s-a reprezentat dependenţa de turaţie a unghiurilor de fază

yθ and zθ . Vitezele unghiulare la care defazajul este 90o s-au notat ∗1Ω şi

∗2Ω . După cum se arată în continuare, defazajul yz θθθΔ −= produce orbite


eliptice înclinate pentru precesia rotoarelor amortizate, spre deosebire de rotoarele neamortizate ale căror orbite eliptice au semiaxele verticală, respectiv orizontală.

3.1.2.2 Analiza orbitei de precesie a discului

Dacă în (3.26) se înlocuiesc Cy şi Cz prin y şi z, se obţine

.tztztztzz

,tytytytyy

sczCzC

scyCyC

sin cos cossin sincos

sin cos sinsin coscos

ΩΩΩθΩθ

ΩΩΩθΩθ

+=+=

+=−= (3.33)

Ecuaţiile (3.33) definesc o elipsă în planul yOz. Eliminând timpul, rezultă ecuaţia orbitei de precesie

.zyzyzyyzyzyzyyzz sccsscssccsc2222222 )()()(2)( −=+++−+ (3.34)

Deobicei însă, ecuaţia (3.34) se scrie în funcţie de semiaxele a şi b, şi de unghiul de înclinare α al semiaxei mari.

Într-un sistem de referinţă principal 11Ozy , având axele 1Oy şi 1Oz dirijate în lungul axelor elipsei (fig. 3.6), mişcarea este descrisă de ecuaţiile

,tbz,tay

) (sin ) ( cos

1

1

αγΩαγΩ

−+=−+=

(3.35)

unde γ este un unghi de fază la 0=t .

Fig. 3.6

Ecuaţia elipsei în coordonate principale este

.bz

ay 1

21

21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (3.36)


Transformarea de coordonate (rotaţia cu unghiul α )

,zyz,zyy

αααα

cossinsincos

11

11

+=−=

(3.37)

conduce la ecuaţii parametrice de forma (3.33).

Din relaţiile (3.33), (3.35) şi (3.37) se obţin a, b, şi α în funcţie de .z,z,y,y scsc Rezultă

222222

22222

)()(41+

)(21

csscscsc

scsc

zyzyzzyy

zzyya

−−+++

++++=, (3.38)

,zyzya

b cssc )( 1−= (3.39)

.)(

)(22 tg 2222scsc

sscc

zzyyzyzy+−+

+=α (3.40)

Cu notaţiile (3.33), ecuaţiile de mişcare (3.25) devin

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

−

1001

0000

0000

2

2

2

2

2

Ωem

zyzy

mΩkcΩmΩkcΩ

cΩmΩkcΩmΩk

s

s

c

c

z

y

z

y

, (3.41)

care se decuplează două câte două.

În cazul particular considerat, ecuaţiile (3.41) devin

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

1001

)31(02,000)32(02,02,00)31(002,00)32(

2

2

2

2

2

e

zyzy

ηηηη

ηηηη

s

s

c

c

η .

Rezultă

1

22

32

Δ

ηη ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=eyc ,

1

22,0Δ

ηη ⋅=

eys ,


2

22,0Δ

ηη ⋅−=

ezc ,

2

22

31

Δ

ηη ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=ezs ,

unde

.)2,0()31( ,)2,0()32( 2222

2221 ηηΔηηΔ +−=+−=

Înclinarea axei mari a elipsei este dată de

.21 4,02 tg 2ηηα

−=

Semiaxa mică se anulează atunci când ,b 0= deci când

.yy

zz

c

s

c

s = (3.42)

Din (3.33) rezultă

, tg , tg yc

sz

s

cyy

zz θθ −==

deci condiţia (3.42) devine

yz θ

θ tg1 tg −= (3.43)

sau

.yz 2πθθ =−

Rezultă că atunci când defazajul yz θθθΔ −= între proiecţiile

mişcării de precesie pe axele Oy şi Oz este de o90 , orbita eliptică degenerează într-o linie dreaptă. De fapt cele două mişcări sunt în fază şi unghiul de 090 indică defazajul spaţial între cele două direcţii. Condiţia (3.43) defineşte viteza unghiulară la graniţa între domeniile de funcţionare cu precesie indirectă şi cu precesie directă. Înlocuind (3.28) în (3.43) se obţin vitezele unghiulare de graniţă ∗

1Ω şi ∗2Ω .

Din figura 3.5, b rezultă că există două viteze unghiulare, ∗1Ω şi ∗

2Ω , la care este satisfăcută condiţia (3.43) şi că acestea diferă de turaţiile critice de răspuns maxim. La rotoarele neamortizate (fig. 3.3), trecerea de la precesia directă la cea indirectă, şi invers, se face la pulsaţiile proprii neamortizate ale sistemului, deci la turaţiile critice neamortizate. La rotoarele amortizate, schimbarea sensului mişcării de precesie, posibilă doar când orbita degenerează într-o linie dreaptă, se


face la turaţii care diferă de turaţiile critice de răspuns maxim, la care componentele mişcării de precesie au amplitudini maxime.

Fig. 3.7 [2]

În cazul particular considerat, înlocuind (3.32) în (3.43) rezultă

092960 24 =+− ηη , ,

cu soluţiile .,, 7550 , 6240 21 == ∗∗ ηη

În figura 3.7 s-au desenat orbitele precesiei la diferite turaţii ale rotorului.

În figura 3.8 se prezintă răspunsul la dezechilibru, dat ca diagrame de variaţie cu viteza unghiulară de rotaţie a semiaxelor orbitelor eliptice de precesie.


Turaţiile critice de răspuns maxim corespund absciselor în care diagrama semiaxei mari e/a are maxime. Diagrama semiaxei mici, e/b , intersectează axa orizontală la abscise care corespund vitezelor unghiulare de graniţă între domeniile de funcţionare cu precesie indirectă şi cu precesie directă, ∗

1Ω şi ∗2Ω .

Fig. 3.8

3.1.2.3 Descompunerea în două mişcări circulare

Dacă mişcarea pe o orbită eliptică este reprezentată ca suma a două mişcări circulare având sensuri contrare, ca în ecuaţia (3.11, a), rezultă

2

2bar,bar bf

−=

+= (3.44)

şi, spre deosebire de fig. 3.4, vectorii fr şi br au defazaje diferite de zero la .t 0=

În figura 3.9 se prezintă diagramele de variaţie ale razelor fr şi br în

funcţie de viteza unghiulară de rotaţie. Deoarece pentru bf rr > precesia este

directă, şi pentru bf rr < precesia este inversă, abscisele punctelor de intersecţie

ale celor două curbe (pentru bf rr = ) determină vitezele unghiulare

(adimensionale) de graniţă ∗1η şi ∗

2η .

Rezumând, răspunsul la dezechilibru poate fi reprezentat prin trei feluri de diagrame de răspuns în frecvenţă: a) diagramele componentelor y şi z ale mişcării pe direcţiile axelor de coordonate (fig. 3.5, a); b) diagramele semiaxelor a


şi b ale orbitei eliptice (fig. 3.8) şi c) diagramele razelor cercurilor care generează elipsa (fig. 3.9).

Fig. 3.9

Deoarece semiaxa mare a reprezintă valoarea maximă a deplasării relative a rotorului faţă de stator, diagrama din figura 3.8 este cea mai utilă, fiind utilizată, împreună cu figura 3.7, care prezintă evoluţia formei orbitei mişcării de precesie cu variaţia turaţiei, la supravegherea condiţiei maşinilor rotative.

3.1.3 Efectul combinat al amortizării externe şi interne

În cazul când se consideră atât amortizarea externă cât şi cea internă, ecuaţiile de mişcare ale centrului discului faţă de triedrul fix devin

.tΩΩemzkyΩczcczm

,tΩΩemykzΩcyccym

CzCiCieC

CyCiCieC

)(sin)(

)(cos)(

02

02

θ

θ

+=+−++

+=++++

&&&

&&& (3.45)

Dacă se notează

2zy kk

k+

= , 2

zy kkk

−=Δ ,

kkq Δ

= , mk

n =2ω ,

n

ii m

cω

ζ2

= , n

ee m

cω

ζ2

= , ie ζζζ += , (3.46)

ecuaţiile (3.45) se pot scrie matricial sub forma


( )( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

) (sin ) ( cos

1 2 212

0

022

2

θΩθΩ

ΩωΩωζ

Ωωζωωζtt

ezy

qq

zy

zy

C

C

nni

nin

C

Cn

C

C

&

&

&&

&&.

(3.47)

Introducând variabilele adimensionale

nωΛΛ = ,

nωΩη = , (3.48)

studiul mişcării rotorului perfect echilibrat ( )0=e , conduce la ecuaţia caracteristică

( ) ( ) 0 4141224 2222234 =−++++++ qi ηζΛζΛζΛζΛ . (3.49)

Comparând ecuaţia (3.49) cu (2.66) se observă o diferenţă numai între ultimii termeni, datorită coeficientului de asimetrie a rigidităţii q. Aplicând criteriul Routh-Hourwitz [3.1], se obţine condiţia de stabilitate

0 44 2222 ≥+− qi ηζζ . (3.50)

Viteza unghiulară la limita de stabilitate este (Smith, 1933)

.q

ii

ens

22

21 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ζζζωΩ (3.51)

O comparaţie cu expresia (2.68) arată că ortotropia rigidităţii suportului lagărelor poate fi utilizată pentru a mări turaţia la limita de stabilitate a rotorului. La rotoarele rezemate în lagăre cu rulmenţi aceasta se realizează prin suporturi cu rigidităţi diferite pe două direcţii perpendiculare între ele, în timp ce la lagăre cu alunecare se realizează prin creşterea excentricităţii relative.

Explicaţia fizică a efectului ortotropiei rigidităţii lagărelor în restrângerea instabilităţii produse de amortizarea rotativă este următoarea: “deoarece frecvenţele proprii ale sistemului rotor-lagăre sunt diferite în două direcţii transversale principale, tendinţa de a produce o precesie instabilă în sensul rotaţiei nu apare până când forţele de amortizare rotativă n-au crescut atât de mult prin creşterea turaţiei încât să ajungă de ordinul de mărime al diferenţei între forţele elastice pe cele două direcţii principale”.

Analiza răspunsului la dezechilibru arată că, în cazul ortotropiei lagărelor, amplitudinea mişcării staţionare datorită dezechilibrului este limitată de amortizarea externă şi cea internă, dar amortizarea internă are o influenţă mai mică în acest caz, în special atunci când există doar o mică anizotropie în rigiditatea lagărelor.


3.1.4 Efectul amortizării lagărelor

Pentru a pune în evidenţă efectul amortizării din lagăre asupra dinamicii rotoarelor, se va studia cazul simplificat al rotorului din figura 3.1, rezemat însă în lagăre izotrope amortizate (fig. 3.10). Se consideră deci lagăre izotrope, care au aceeaşi rigiditate 1k pe toate direcţiile. De asemenea, se admite că forţele de frecare din lagăre sunt proporţionale cu viteza absolută a fusului, coeficienţii de amortizare vâscoasă c fiind aceiaşi în orice direcţie radială [3.3].

Fig. 3.10

Când discul se roteşte cu viteză unghiulară constantă Ω =const., ecuaţiile mişcării se scriu la fel ca pentru rotorul cu lagăre neamortizate (v. Secţiunea 3.1) adăugând însă forţele de amortizare. Pentru arbore

)zz(kzkzc),yy(kykyc

BCBB

BCBB

−=+−=+

1

1

2 22 2

&

& (3.52)

şi pentru disc

,zzkzm,yykym

BCG

BCG

0 )( 0 )(

=−+=−+

&&

&& (3.53)

unde

.tΩezz,tΩeyy

CG

CG

sin cos

+=+=

(3.54)

Utilizând notaţia cu mărimi complexe

,zyr,zyr,zyr GGGCCCBBB i i i +=+=+= (3.55)


din relaţiile (3.52)-(3.54) rezultă ecuaţiile de mişcare ale centrului discului şi centrului fusului

.Ωemrrkrm

,rrkrkrctΩ

BCC

CBBB i2

1

e )(

0 )(22

=−+

=−++

&&

& (3.56)

Pulsaţia proprie nω a rotorului în lagăre rigide şi raportul N între rigiditatea arborelui şi cea a lagărelor (în paralel) au expresiile

12

kkN,

mk

n ==ω . (3.57)

Raportul de amortizare

mkc

mc

n 22

22

==ω

ζ (3.58)

este definit faţă de coeficientul de amortizare critică al rotorului rezemat rigid.

Se obţine sistemul de ecuaţii cuplate

.Ωerrr

,rrrN

r

tΩBCnC

CBnBnBn

i22

22

e )(

0 )( 1 2

=−+

=−++

ω

ωωωζ

&&

& (3.59)

3.1.4.1 Pulsaţia proprie amortizată

Anulând în (3.59) funcţia de excitaţie şi admiţând soluţii de forma

,Rr,Rr tCC

tBB

e e λλ == (3.60)

rezultă sistemul algebric omogen

( ) .0

,012

222

222

=++−

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

CnBn

CnBnnn

RR

RRN

ωλω

ωωωλζω (3.61)

Pentru a avea soluţii nebanale, trebuie îndeplinită condiţia

011 2

222

22=

+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

nn

nnn Nωλω

ωωλζω.


Se obţine ecuaţia caracteristică

.NN

N

nnn0

21

21

23

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ζω

λωλ

ζωλ (3.62)

Dacă 0=ζ , atunci 1

1i+

=Nnω

λ şi se obţine viteza unghiulară critică a

rotorului în lagăre elastice neamortizate

.N

nel 1+=

ωω (3.63)

Dacă ,0≠ζ ecuaţia (3.62) are coeficienţi pozitivi şi se poate scrie sub forma

.CBBAnnn

0 2 222

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ωλ

ωλ

ωλ (3.64)

Aceasta are o rădăcină reală negativă A)( n −=1ωλ şi două rădăcini complexe conjugate, cu partea reală negativă CB)( ,n i32 ±−=ωλ , sistemul fiind totdeauna stabil.

Mişcarea liberă amortizată a punctului C este descrisă de o soluţie de forma

.RRRtr tCtBC

tCtBC

tACC

nnnnn ωωωωω ii eeeee)(321

−−−− ++= (3.65)

Pulsaţia precesiei libere amortizate (a rotorului perfect echilibrat) este

nd Cωω = (3.66)

unde C este partea imaginară a rădăcinilor complexe ale ecuaţiei caracteristice (3.62).


Dacă se studiază numai mişcarea staţionară datorită dezechilibrului masic al rotorului, se caută soluţii de forma

,r~tr,r~tr tCC

tBB

ΩΩ ii e )( e )( == (3.67)

unde Cr~ şi Br~ sunt amplitudini complexe.


Utilizând pulsaţia adimensională (3.30) şi înlocuind (3.67) în (3.59) se obţine

( ) .er~r~

,r~r~N

CB

CB

22 1

0 2 i 11

ηη

ζη

=−+−

=−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

(3.68)

Soluţiile acestui sistem sunt

( )

,

NN

er~B22

2

12 i 111 ηζηη

η

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

= (3.69)

( )

.

NN

Ner~

n

C22

32

12 i 111

2 i 11

ηωΩζη

ζηη

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= (3.70)

În planul complex (fig. 3.11) mişcarea centrului fusului B este reprezentată prin vectorul BO .

Fig. 3.11

Lungimea acestuia este

( )2222

2

2

1 411 ηηζη

η

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

=

NN

N

er~B (3.71)


iar defazajul faţă de vectorul GC este

( ). 11

1 2arctg2

2

η

ηηζθ

NN

N

B +−

−−= (3.72)

Mişcarea centrului discului C este reprezentată prin vectorul CO , de modul

( )22222

2

6242

2

1 4 11

4)1(

ηηζη

ηζη

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

++

=

NN

N

NNe

r~C (3.73)

şi unghi de fază

( )

.1

1411

111 2

arctg2222

2

ηηη

ηηθ

−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−

=

NNζ

NN

N

Nζ

C (3.74)

Rezultă că punctele B şi C parcurg orbite circulare în jurul punctului O, dar cele patru puncte O, B, C şi G nu sunt coliniare. Segmentul CO este defazat cu unghiul Cθ în urma lui GC iar segmentul BO este defazat cu Bθ în urma lui

GC (fig. 3.11).

Dacă se reprezintă grafic variaţia cu nωΩ a razelor orbitelor de precesie (3.71) şi (3.73), pentru valori prescrise N şi ζ , se observă că deplasările maxime ale punctelor B şi C apar la vitezele unghiulare ,BΩ respectiv CΩ , diferite de elω şi dω (fig. 3.12).

Derivând în raport cu 2η expresiile acestor deplasări, se obţin două ecuaţii diferite.

Din condiţia de maxim a deplasării fusului

0)(d

d2 =Br~η

rezultă ecuaţia

,NNN

01 11122 22262 =−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−− ηζηζ (3.75)


Fig. 3.12 [3.3]

iar din condiţia de maxim a deplasării centrului discului

0)(d

d2 =Cr~η

rezultă ecuaţia

.NN

NN

ζNN

NN

ζζζ

01111112 421

1124416

2

22

32

2

42264

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−

η

ηη (3.76)


Soluţia reală acceptată fizic a ecuaţiei (3.75) se notează )( nB ωΩ iar cea a ecuaţiei (3.76) se notează )( nC ωΩ .

În general, se poate stabili următoarea ordonare a valorilor diferitelor viteze unghiulare critice

.nCBael ωΩΩωω <<<<

Dacă se consideră şi amortizarea din arbore, este posibil ca .nC ωΩ >

Vitezele unghiulare CΩ şi ,BΩ la care amplitudinile deplasărilor radiale ale rotorului amortizat au valori maxime, se numesc viteze unghiulare critice de răspuns maxim. Uneori acestea diferă considerabil de viteza unghiulară critică elω a sistemului fără amortizare, fiind mult mai mari.

Prin urmare, un calcul în care se neglijează amortizarea din lagăre poate conduce la valori eronate ale turaţiilor critice.

Exemplul 3.1

Se consideră un rotor ca în figura 3.10, având următoarele caracteristici: masa discului m = 500 kg, rigiditatea arborelui 102 5⋅=k N/mm, rigiditatea lagărului k1

510= N/mm, coeficientul de amortizare vâscoasă al lagărului c = 316,225 Ns/mm [3.3].

Se calculează

1=N , 1=ζ ,

== mknω 632,45 rad/s,

ω ωel n= =/ 2 447,2 rad/s.

Turaţia critică a rotorului în reazeme rigide este

=nn rot/min6040 .

Turaţia critică neamortizată a rotorului în reazeme elastice este

=eln rot/min4270 .

Ecuaţia (3.62) se scrie

05,0)()()( 23 =+++ nnn ωλωλωλ


şi are rădăcinile

=nωλ1 6478,0− , .8607,0 i1761,03,2 ±−=nωλ

Din partea imaginară se obţine

35,5448607,0 == nd ωω rad/s.

Turaţia critică amortizată a rotorului este

rot/min5198=dn .


01)(2 6 =−nωΩ , deci

4,5638909,0 == nB ωΩ rad/s.

Turaţia critică de răspuns maxim calculată pe baza răspunsului la dezechilibru al fusului este

rot/min5380=Bn = 1,26 eln .


02)(3)(8 26 =++− nn ωΩωΩ , deci

5749076,0 == nC ωΩ rad/s.

Turaţia critică de răspuns maxim calculată pe baza răspunsului la dezechilibru al centrului discului este

rot/min5481=Cn = 1,28 eln .

3.1.4.3 Modelul echivalent

Variaţia turaţiilor critice cu amortizarea din lagăre se poate explica simplu observând că sistemul rotor-lagăre poate fi reprezentat prin modelul unidimensional simplificat din figura 3.13.

Masa m este rezemată pe un arc de rigiditate 12 kNk ⋅= (reprezentând arborele), legat în serie cu un element format din amortizorul cu coeficientul de amrtizare 2c şi arcul cu rigiditatea 12k legate în paralel (reprezentând lagărele).

Asupra masei acţionează o forţă .e)( i2 ΩtΩemtF =


Fig. 3.13

Se consideră întâi două cazuri limită.

Pentru o valoare infinită a coeficientului de amortizare vâscoasă ∞=c , arcul inferior este blocat şi deplasarea fusului este nulă, .rB 0= Curba de răspuns în frecvenţă a centrului discului (fig. 3.14) are un maxim (infinit) la pulsaţia proprie a sistemului format din masă şi arcul superior, .mkn =ω Situaţia corespunde rotorului cu lagăre rigide.

Fig. 3.14

Dacă amortizarea este nulă, 0=c , arcurile de rigidităţi k şi Nkk /2 1 = sunt legate în serie, având o rigiditate echivalentă .)1( +Nk

Curba de răspuns în frecvenţă are un maxim (infinit) la pulsaţia proprie neamortizată .1+= Nnel ωω Situaţia corespunde rotorului în lagăre elastice fără amortizare.


Pentru valori intermediare ale coeficientului de amortizare, notate c′ , respectiv c ′′ , curbele de răspuns în frecvenţă au vârfuri la pulsaţiile proprii de răspuns maxim crΩ′ , respectiv crΩ ′′ , situate în intervalul ] ,[ nel ωω . Ele corespund rotorului în lagăre elastice cu amortizare.

Fig. 3.15

Se observă că există o valoare optimă optc a coeficientului de amortizare al lagărului, care produce curba de răspuns cu cea mai mică amplitudine maximă. Se poate arăta că această amplitudine este egală cu ordonata punctului de intersecţie al tuturor curbelor de răspuns în frecvenţă, trasate pentru diferite valori ale amortizării din lagăre.

Modelul din figura 3.13 poate fi înlocuit cu un model echivalent, care are un singur arc şi un amortizor legate în paralel (fig.3.15).

Între rigiditatea echivalentă echk şi coeficientul de amortizare vâscoasă echivalent echc pe de o parte, şi parametrii k, c şi N ai sistemului iniţial, pe de altă parte, se stabilesc următoarele relaţii:


,cΩ

NNk

cΩNNk

kkech22

2

22

222

2

4)1(

4)1(

++

++= (3.77)

.cΩ

NNk

kccech22

2

22

2

4)1(2

++

= (3.78)

În figura 3.15 s-a reprezentat variaţia acestor mărimi în funcţie de coeficientul de amortizare c. Rigiditatea echk creşte continuu cu coeficientul de amortizare c, deci şi pulsaţia proprie mkech creşte cu c, ceea ce explică creşterea turaţiilor critice ale rotorului cu amortizarea din lagăre. Aceasta este cu atât mai pronunţată cu cât pulsaţiile elω şi nω sunt relativ mai depărtate, deci cu cât raportul N (între rigiditatea arborelui şi cea a lagărelor) este mai mare.

Coeficientul de amortizare vâscoasă echivalent echc are o valoare maximă pentru valoarea optimă a coeficientului de amortizare c, ceea ce explică valoarea minimă a amplitudinii maxime a mişcării în acest caz.

Exemplul 3.2

Se consideră un rotor rigid )( ∞→k rezemat în lagăre ortotrope identice, cu următoarele caracteristici:

rot/min,60030==

mk

n yy π

rot/min,50030==

mkn z

z π

161

2=

mkc

y

y , 201

2=

mkc

z

z .

Se cere să se traseze diagramele răspunsului la dezechilibru şi câteva orbite de precesie pentru o excentricitate μm10=e [3.4].

Rezolvare. În fig. 3.16, a se prezintă diagramele de variaţie a semiaxelor a şi b, şi a razelor cercurilor cu rotaţie directă şi inversă fr şi br în funcţie de

turaţie. În fig. 3.16, b se arată variaţia componentelor y şi z ale deplasării radiale şi a semiaxei mici b în funcţie de turaţie, precum şi orbitele de precesie la opt turaţii diferite.

Domeniul turaţiilor cu precesie inversă este marcat de turaţiile de graniţă ∗1n şi ∗

2n , la care orbita degenerează într-o linie dreaptă.


a

b

Fig. 3.16 [3.4]


3.1.5 Efectul combinat al amortizării lagărelor şi masei arborelui

În continuare, se studiază efectul amortizării lagărelor asupra răspunsului dinamic al unui model de rotor simetric în care se ţine cont de masa distribuită a arborelui. Pentru simplificare, masa arborelui este concentrată egal la capetele fiecărei jumătăţi. Se obţine astfel un model cu trei mase, la care jumătate din masa totală este concentrată la mijloc şi câte un sfert din masa totală este concentrată la capete (fig. 3.17).

În cazul mişcării staţionare, când .constΩ = , ecuaţiile mişcării se scriu ca şi pentru rotorul neamortizat (v. Secţiunea 3.1) dar adăugând forţele de amortizare. Pentru arbore

)(22 2),(22 2

11

11

BCBBB

BCBBB

zzkzmzkzcyykymykyc

−=++−=++

&&&

&&& (3.79)

şi pentru disc

,0 )(2 ,0 )(2

1

1

=−++=−++

BCGC

BCGC

zzkzmzmyykymym

&&&&

&&&& (3.80)

unde

.tΩezz,tΩeyy

CG

CG

sin cos

+=+=

(3.81)

Fig. 3.17

Utilizând notaţia complexă (3.55), din ecuaţiile (3.79)-(3.81) rezultă

( ) .Ωemrrkrmm

,rrkrkrcrmtΩ

BCC

CBBBB

i21

11

e )(2

0 )(222

=−++

=−+++

&&

&&& (3.82)


Raportul între masa unei jumătăţi de arbore şi masa discului se notează

mm

mms 122

==μ . (3.83)

Cu notaţiile (3.57) şi (3.58), se obţin ecuaţiile de mişcare

( ) .e )(1

,0 )( 1 2

i22

22

tΩBCnC

CBnBnBnB

Ωerrr

rrrN

rr

=−++

=−+++

ωμ

ωωωζμ

&&

&&& (3.84)

3.1.5.1 Pulsaţia proprie amortizată

Anulând membrul drept în (3.84) şi presupunând soluţii de forma (3.60), se obţine sistemul algebric omogen

( )[ ] .RR

,RRN

CnBn

CnBnnn

01

012

222

2222

=+++−

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

λμωω

ωωωλζωλμ (3.85)

Condiţia de a avea soluţii nebanale conduce la ecuaţia caracteristică

( ) ( ) ( ) .NN

N

nnnn012 11121

234

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ωλζ

ωλμμ

ωλμζ

ωλμμ

(3.86)

Se notează

dωαλ i+= , (3.87)

unde α este un coeficient de atenuare negativ, iar dω este pulsaţia proprie amortizată.

Se consideră două cazuri particulare: 1=N , 1=μ şi respectiv 5,2=N , 1=μ , ambele corespunzând unui arbore relativ greu. Diagramele locului

(geometric al) rădăcinilor (“root locus”) sunt prezentate în fig. 3.18, utilizând coordonatele adimensionale nωα şi nd ωω .

La rotorul cu 1=N (fig. 3.18, a), prima pulsaţie proprie amortizată 1dω creşte de la nel ωω 4682,01 = (pentru 0=ζ ) la nrig ωω 707,0= (pentru ∞=ζ ). A doua pulsaţie proprie amortizată 2dω scade de la nel ωω 5102,12 = (pentru 0=ζ ) la zero (pentru 325,1≅ζ ) când modul al doilea devine amortizat supracritic .


a b

Fig. 3.18 [3.5]

Fig. 3.19 [3.5]


Rotorul cu 5,2=N (fig. 3.18, b) are o comportare diferită. A doua pulsaţie proprie amortizată, 2dω , scade de la nel ωω 3372,12 = (pentru 0=ζ ) la

nω 676,0 (pentru 1=ζ ) crescând apoi la nrig ωω 707,0= (pentru ∞=ζ ). Prima pulsaţie proprie amortizată 1dω scade de la nel ωω 3344,01 = (pentru 0=ζ ) la zero (pentru 98,0≅ζ ) când primul mod de precesie devine amortizat supracritic.

În figura 3.19 s-a reprezentat (pentru 1=μ ) variaţia pulsaţiilor proprii adimensionale nd ωω 1 (linii continue) şi nd ωω 2 (linii întrerupte) în funcţie de rigiditatea lagărelor, pentru diferite valori ale amortizării din lagăre. În general, creşterea lui ζ şi a lui N1 duce la amortizarea supracritică a primului mod, pentru valori 1>ζ . Pentru 2=N şi 1=ζ sistemul are pulsaţii proprii identice.


Pentru studiul mişcării staţionare datorite dezechilibrului, înlocuind soluţiile (3.67) în (3.84), se obţine sistemul de ecuaţii algebrice

( )[ ] .~1~

,0~~12i

2222

2222

ΩΩμωω

ωωωΩωζΩμ

err

rrN

CnBn

CnBnnn

=+−+−

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++−

(3.88)

Soluţiile sistemului (3.88) sunt

( ),

N

er~

nnn

nB

111 2 i112

2

2

2

2

2

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

=

ωΩμ

ωΩζ

ωΩμ

ωΩ

(3.89)

( ).

N

Ne

r~

nnn

nnnC

111 2 i11

2 i11

2

2

2

2

2

2

2

2

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

=

ωΩμ

ωΩζ

ωΩμ

ωΩζ

ωΩμ

ωΩ

(3.90)

În figurile 3.20 s-a reprezentat grafic variaţia cu nωΩ a mărimilor adimensionale er~C şi er~B pentru 1=μ şi 5,2=N . Se observă că odată cu creşterea lui ζ , vârful de rezonanţă al primului mod de precesie se deplasează spre dreapta, în timp ce vârful de rezonanţă al celui de-al doilea mod se deplasează în general spre stânga.


Maximele diagramelor de răspuns la dezechilibru apar la vitezele unghiulare BΩ şi CΩ . Vitezele unghiulare de răspuns maxim BΩ se obţin din

condiţia ( ) 0dd 2 =nBr~ ωΩ . Vitezele unghiulare de răspuns maxim CΩ se

obţin din condiţia ( ) 0dd 2 =nCr~ ωΩ .

Pentru 1=μ , 1=N şi 4,0=ζ , rezultă nB ωΩ 4851,01 = ,

nB ωΩ 3745,12 = , nC ωΩ 4837,01 = , nC ωΩ 5589,12 = .

Pentru aceste valori ale parametrilor sistemului, se obţine următoarea ordonare a diferitelor viteze unghiulare critice

22221111 CeldBrigBCdel ΩωωΩωΩΩωω <<<<<<<< .

Pentru alte valori ale parametrilor N, μ şi ζ , ordinea poate fi diferită. Pentru 3,1=ζ , se obţine 12 dd ωω < .

a b

Fig. 3.20 [3.5]

Pentru valori relativ mari ale amortizării, vitezele unghiulare 1dω şi 1BΩ tind spre rigω . Aceasta explică de ce turaţiile critice măsurate sunt mai apropiate de cele calculate pentru rotorul în lagăre rigide decât de cele determinate pentru rotorul în lagăre elastice neamortizate.


3.2 Rotorul simetric în lagăre cu alunecare

După cum s-a arătat în Capitolul 1, teoria liniară a lagărelor cu alunecare permite exprimarea forţei cu care filmul de lubrifiant acţioneaza asupra fusului rotorului, prin cele două componente de intensităţi

zy BB f,f (dirijate în sens

contrar axelor de coordonate), sub forma [3.6]

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

B

B

zzyz

zyyy

B

B

zzyz

zyyy

B

B

zy

cccc

zy

kkkk

ff

z

y

&

&, (3.91)

unde BB z,y sunt proiecţiile pe axele triedrului fix ale deplasării centrului fusului iar BB z,y && sunt vitezele corespunzătoare.

Pentru multe tipuri de lagăre radiale, matricea de rigiditate este nesimetrică, zyyz kk ≠ . În aceste condiţii, în general, nu se pot determina direcţii principale de rigiditate, faţă de care elementele nediagonale ale matricii de rigiditate să se anuleze. Lagărele sunt anizotrope, zzyy kk ≠ , iar asimetria matricii de rigiditate produce mişcări instabile. În continuare se va considera numai cazul rotorului simetric Jeffcott-Laval, neglijând momentul de inerţie masic diametral al discului. Matricea de amortizare a lagărului este în general simetrică, zyyz cc = .

3.2.1 Răspunsul la dezechilibru

Se consideră un rotor Jeffcott-Laval ca în figura 3.10, rezemat însă în lagăre hidrodinamice, caracterizate prin cei opt coeficienţi dinamici definiţi de relaţiile (3.91). Se studiază mişcarea forţată staţionară produsă de dezechilibrul masic al discului.

Ecuaţiile de echilibru pentru arbore se scriu

,)(2

,)(2

BCB

BCB

zzkf

yykf

z

y

−=

−= (3.92)

iar pentru disc

,zzkzm,yykym

BCG

BCG

0)(0)(

=−+

=−+&&

&& (3.93)

unde


t.Ωezzt,Ωeyy

CG

CG

sin cos

+=

+= (3.94)

Înlocuind (3.94) în (3.93) şi (3.91) în (3.92), se obţine

,tΩΩemzzkzm

t,ΩΩemyykym

BCC

BCC

sin)(

cos)( 2

2

=−+

=−+

&&

&& (3.95)

şi

.zcyczkykzzk

,zcyczkykyyk

BzzByzBzzByzBC

BzyByyBzyByyBC

&&

&&

+++=−

+++=−

)( 2

)( 2 (3.96)

Se caută soluţii staţionare de forma

t,ΩBtΩAtyB sin cos)( += (3.97)

,tFtEtzB sin cos )( ΩΩ += (3.98)

,tDtCtyC sin cos )( ΩΩ += (3.99)

.tHtGtzC sin cos )( ΩΩ += (3.100)

Înlocuind expresiile (3.97) şi (3.99) în prima ecuaţie (3.95) şi identificând coeficienţii termenilor în t cosΩ şi t sinΩ , se obţine un sistem algebric neomogen, din care C şi D se exprimă în funcţie de A şi B. După înlocuirea în expresia (3.99) rezultă

,tBteAyn

n

n

nC sin cos 22

2

22

22Ω

ΩωωΩ

ΩωΩω

−+

−+

= (3.101)

unde

mkn =ω (3.102)

este viteza unghiulară critică a rotorului în lagăre rigide.

Analog, înlocuind expresiile (3.98) şi (3.100) în a doua ecuaţie (3.95), după identificarea coeficienţilor şi rezolvarea sistemului algebric, se exprimă G şi H în funcţie de E şi F, obţinând


,teFtEzn

n

n

nC sin cos 22

22

22

2Ω

ΩωΩωΩ

Ωωω

−+

+−

= (3.103)

Se înlocuiesc apoi soluţiile (3.97), (3.98), (3.101) şi (3.103) în ecuaţiile (3.96). Identificând coeficienţii termenilor în t cosΩ şi t sinΩ , se obţine sistemul algebric

,eFkEcBkAc

,FcEkBcAk

,FkEcBkAc

,eFcEkBcAk

zzzzyzyz

zzzzyzyz

zyzyyyyy

zyzyyyyy

)(

0 )(

0 )(

)(

χχΩΩ

ΩχΩ

ΩχΩ

χΩΩχ

=−+−+−

=+−++

=+−−+−

=+++−

(3.104)

unde s-a notat

.k

n22

2

2 ΩωΩχ−

= (3.105)

În continuare, pentru simplificarea rezolvării, cei opt coeficienţi dinamici ai lagărului se reduc la patru coeficienţi zyzy c,c,k,k , definiţi de următoarele relaţii:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

B

B

z

y

B

B

z

y

B

B

zy

cc

zy

kk

ff

z

y

&

&

00

00

(3.106)

Cele patru ecuaţii (3.104) devin

.eFkEc,FcEk

,BkAc

,eBcAk

zz

zz

yy

yy

)( 0 )(

0)(

)(

χχΩΩχ

χΩ

χΩχ

=−+−=+−

=−+−

=+−

(3.107)

Pentru a stabili legătura între cei patru coeficienţi echivalenţi şi cei opt coeficienţi dinamici definiţi de (3.91), se procedează după cum urmează.

În sistemul (3.104) se adună a doua ecuaţie cu a treia şi se scade a patra ecuaţie din prima. Rezultă


.FckEck

BckAck

,FckEck

BckAck

zyzzzzzy

yyyzyzyy

zzzyzyzz

yzyyyyyz

) () (

) () (

) () (

) () (

ΩχΩ

ΩΩχ

ΩΩχ

ΩχΩ

−−++−=

=−−+−

+−−−−=

=+−+−

(3.108)

Rezolvând sistemul (3.108) în funcţie de A şi B se obţine

yy

BAF,BAEχμν

χνμ −

=+

−= (3.109)

unde

.ckck

,ckck

ckck

,ckck

ckck

zzzyzyzzy

zzzyyyyz

zyzzyzyy

zzzyyzyy

zyzzyyyz

22 ) () (

) () (

) () (

) () (

) () (

ΩΩχχ

ΩΩ

ΩχΩχν

ΩΩχ

ΩχΩμ

++−−=

+−−

−−−+−=

++−+

+−−−= (3.110)

Înlocuind (3.109) în prima (sau a doua) ecuaţie (3.104), prin identificare cu prima (sau cu a doua) ecuaţie (3.110) rezultă

.ckcc

,ckkk

yzyzy

yyy

yzyzy

yyy

) (1

) (1

Ωμνχ

ΩΩ

Ωνμχ

+−=

−−=

(3.111)

Rezolvând sistemul (3.108) în funcţie de E şi F, se obţine

,EFB,EFAzz χνμ

χμν +

−=−

= (3.112)

unde

.ckck yyzyzyyyy

z22

22) () ( ΩΩχ

χνμχ ++−−=

+= (3.113)

Înlocuind (3.112) în a treia (sau a patra) ecuaţie (3.104), prin identificare cu a treia (sau cu a patra) ecuaţie (3.107), rezultă


.ckcc

,ckkk

yzyzz

zzz

yzyzz

zzz

) (1

) (1

Ωμνχ

ΩΩ

Ωνμχ

−+=

+−= (3.114)

Relaţiile (3.111) şi (3.114), împreună cu (3.110) şi (3.113), permit reducerea celor opt coeficienţi ai lagărului la numai patru, în sistemul (3.107) ecuaţiile fiind astfel cuplate numai două câte două.

Rezolvând sistemul (3.107), se obţin coeficienţii A, B, E, F :

) ()(

) ()(

)(2222 ,

ck

ceB,

ck

keA

yy

y

yy

y

Ωχ

Ωχ

Ωχ

χχ

+−=

+−

−= (3.115)

.ck

keF,ck

ceEzz

z

zz

z2222 ) ()(

)( ) ()(

Ωχχχ

ΩχΩχ

+−−

=+−

−= (3.116)

Soluţiile (3.97) şi (3.98), care definesc mişcarea fusului în lagăr, se scriu sub forma

,tΩztz

,tΩyty

B

B

zBB

yBB

) (sin )(

) ( cos )(

θ

θ

+=

+= (3.117)

unde

,

tg

,) ()(

ˆ22

22

χθ

χ

χ

−−=−=

+−=+=

y

yy

yyB

kcΩ

AB

cΩk

eBAy

B

(3.118, a)

şi

. tg

,) ()(

ˆ22

22

χθ

χ

χ

−−==

+−=+=

z

zz

zzB

kcΩ

FE

cΩk

eFEz

B

(3.118, b)

Relaţiile (3.117) reprezintă ecuaţiile parametrice ale unei elipse. Eliminând timpul între aceste relaţii, se obţine ecuaţia elipsei (3.34)

.EBAFzBAzyBFAEyFE BBBB 0)()()(2)( 2222222 =−−+++−+


Dacă distanţa de la originea triedrului fix O, la centrul fusului B, este reprezentată în planul complex prin vectorul BO = Br , acesta poate fi scris ca suma a doi vectori care se rotesc în sensuri contrare

.rreBEFAeBEFA

tΩFBtΩEA zyr

tΩb

tΩf

tΩtΩ

BBB

iiii ee 2

i2

2

i2

sin )i( cos )i(i

−− +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

=

=+++=+=

(3.119)

Cei doi vectori au lungimea

,EBAFEFBABEFAr f 2221)()(

21 222222 −++++=−++= (3.120)

respectiv

.EBAFEFBABEFArb 2221)()(

21 222222 +−+++=++−= (3.121)

Ei se rotesc în sensuri contrare cu aceeaşi viteză unghiulară Ω .

Conform celor prezentate în Secţiunile 3.1.1.2 şi 3.1.2.2, extremitatea vectorului Br parcurge o traiectorie eliptică, având semiaxa mare

bf rra += (3.122)

şi semiaxa mică

bf rrb −= , (3.123)

unde a şi b depind de viteza unghiulară de rotaţie Ω .

Înclinarea axei mari a elipsei faţă de axa Oy este definită de (3.40)

.)()(

)(22 tg 2222 FEBAFBEA+−+

+=α (3.124)

Dacă 0>b , centrul fusului are o mişcare de precesie directă, iar dacă 0<b , o precesie inversă.

Concluzii similare se desprind din studiul mişcării punctului C, centrul geometric al discului.

Forţele care acţionează asupra suportului lagărelor au următoarele componente


( )( ) ( ) ( ),t

ck

cke

ycykf

yyByy

yy

ByByBy

φθΩΩχ

Ωχ ++

+−

+=

=+=

cos 22

22

&

(3.125, a)

( )( ) ( )

( ),tck

cke

zczkf

zzBzz

zz

BzBzBz

φθΩΩχ

Ωχ +++−

+=

=+=

sin 22

22

&

(3.125, b)

unde

y

yy k

cΩφ =tg ,

z

zz k

cΩφ =tg . (3.126)

3.2.2 Stabilitatea mişcării de precesie

Experienţele au arătat că mişcarea de precesie sincronă a rotorului în lagăre autoportante devine instabilă la o anumită valoare sΩ a vitezei unghiulare de rotaţie, când raza mişcării de precesie creşte brusc.

Analitic, acest fenomen se studiază considerând ecuaţiile de mişcare (3.95) şi (3.96) ale unui rotor perfect echilibrat ( )0=e .

Pentru 0=e , deci pentru ,yy CG = ecuaţiile (3.95) devin

.zkzkzm,ykykym

BCC

BCC

=+=+

&&

&& (3.127)

Se caută soluţii de forma

,Zz,Yy

,Zz,Yyt

BBt

BB

tCC

tCC

nn

nn

ωνων

ωνων

e e

e e

==

== (3.128)

unde

mk

n =ω (3.129)

este viteza unghiulară critică a rotorului în lagăre rigide (3.102).

Înlocuind soluţiile (3.128) în ecuaţiile (3.127) se obţine

BCBC ZZ,YY 22 11

11

νν +=

+= . (3.130)


Înlocuind (3.128) şi (3.130) în (3.96) se obţine sistemul algebric omogen

0) ( ) (

0) ( ) (

,ZckXYck

,ZckYckX

BnzzzzBnyzyz

BnzyzyBnyyyy

=++++

=++++

ωνων

ωνων (3.131)

în care

.kX 2

2

12 νν+

= (3.132)

Deoarece, la limita de stabilitate, ν este pur imaginar, înlocuind

Λi=ν (3.133)

în sistemul (3.131), condiţia de a avea soluţii nebanale se scrie

0ii

ii=

++++++

nzzzznyzyz

nzyzynyyyy

cΛkXcΛkcΛkcΛkX

ωωωω

. (3.134)

Anulând partea reală şi cea imaginară ale determinantului (3.134), rezultă sistemul

,kckckckc

ccXΛ

,ccccΛ

kkkkXkkX

yyzzzzyyyzzyzyyz

zzyyn

yzzyzzyyn

zyyzzzyyzzyy

0])(

)([

0)(

)()(22

2

=−−+−

−+

=−−

−−+++

ω

ω (3.135)

care se mai scrie sub forma

,cc

kckckckcX

,cccc

kkkkXkkX

zzyy

yyzzzzyyyzzyzyyz

yzzyzzyy

zyyzzzyyzzyyn

+

+−+=

−

−+++=

)()(

)()(222 ωΛ

(3.136)

unde

.kX12 2

2

−=

ΛΛ (3.137)

Se introduc coeficienţii de rigiditate şi de amortizare adimensionali


,mg

RSocC,mg

RSokK jijijiji ΩΔΔ 2 2== (3.138)

unde So este inversul numărului Sommerfeld S [3.6], ΔR este jocul în lagăr (diferenţa între raza lagărului şi raza fusului) iar g este acceleraţia gravitaţională.

Relaţiile (3.136) devin

,CCCC

KKKKXKKX

yzzyzzyy

zyyzzzyyzzyy

ns

22

222

)()( Ω

ωΛΩ

−

−+++=

== (3.139)

.CC

KCKCKCKCRSo

gmXzzyy

yyzzzzyyyzzyzyyz

+

−−+=

)()(2 Δ

(3.140)

Viteza unghiulară la limita de stabilitate sΩ se poate calcula printr-o metodă iterativă. Se alege o valoare Ω . Se calculează numărul So corespunzător şi cei opt coeficienţi dinamici ai lagărului. Aceştia sunt publicaţi sub formă tabelară sau grafică, funcţie de So, pentru valori prescrise ale jocului relativ în lagăr şi a raportului între lungimea şi diametrul acestuia (v. Cap. 6).

Fig. 3.21 [3.7]

Din (3.140) se obţine X, care este înlocuit în (3.139), de unde rezultă sΩ . Dacă ,sΩΩ < se alege o nouă valoare Ω şi se repetă calculele până .sΩΩ = Rezultatele se reprezintă grafic ca în figura 3.21.


O analiză mai detaliată a stabilităţii precesiei rotoarelor în lagăre hidrodinamice este prezentată în Capitolul 7 (vol. 2).

3.3 Rotorul nesimetric în lagăre elastice

În paragrafele 3.1 şi 3.2 s-a studiat rotorul simetric Jeffcott-Laval, considerând mişcarea discului doar în planul de simetrie al rotorului, neglijând momentele de inerţie masice ale discului. În continuare se vor utiliza cele două modele nesimetrice de rotor cu un disc şi cu reazeme elastice din Tabelul 3.1. Lagărele sunt ortotrope şi diferite.

3.3.1 Ecuaţiile de mişcare

Se consideră rotorul nesimetric din figura 3.22, rezemat în lagăre elastice ortotrope.

Fig. 3.22

În acest caz, coeficienţii de influenţă (de flexibilitate) ijδ din ecuaţiile (2.78) sunt diferiţi de cei utilizaţi în ecuaţiile (2.79).


Relaţiile între deformaţii şi forţe (momente) se pot scrie sub forma:

C4441

3332

2322

1411

C

000000

00

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

z

y

z

y

MMFF

zy

δδδδδδ

δδ

ψϕ

(3.141)

Tabelul 3.1

Modelul I Modelul II

1

2

1

222

3

11 3 BA kkEIl αββαδ ++= ( ) ( )

1

2

1

22

3

1111

3 BA kkEIl γγγγδ +

+++=

( )lklkEI

l

BA 11

2

14 3αβαβαβδ −+−−=

lklkEIl

BA 11

2

141)32(

6γγγγδ +

−−+−=

21

21

3344

11)(3 lklkEI

l

BA+++= βαδ 2

12

144

11)31(lklkEI

l

BA+++= γδ

2

2

2

222

3

22 3 BA kkEIl αββαδ ++= ( ) ( )

2

2

2

22

3

2211

3 BA kkEIl γγγγδ +

+++=

( )lklkEI

l

BA 22

2

23 3αβαβαβδ +−−=

lklkEIl

BA 22

2

231)32(

6γγγγδ +

+++=

22

22

3333

11)(3 lklkEI

l

BA+++= βαδ 2

22

233

11)31(lklkEI

l

BA+++= γδ

lb,

la

== βα lc

=γ

Expresiile coeficienţilor de flexibilitate jiij δδ = ai celor două modele de rotor sunt date în Tabelul 3.1 [3.7].


Prin inversarea matricii de flexibilitate se obţine matricea de rigiditate, ale cărei elemente se calculează cu relaţiile

.δδδ, Δ

Δδ, k

Δδ, k

Δδk

,δδδ, ΔΔδ, k

Δδ, k

Δδk

22333222

2

2233

2

2323

2

3322

21444111

1

1144

1

1414

1

4411

−==−==

−==−==

(3.142)

Ecuaţiile de mişcare (2.80) se scriu sub forma

),t(Fkykym CCG 11411 =++ ψ&&

),t(Fkzkzm CCG 22322 =++ ϕ&&

),t(MkykJJ CCGPGT 14441 =++− ψϕΩψ &&&

).t(MkzkJJ CCGPGT 23332 =+++ ϕψΩϕ &&&

(3.143)

Utilizând expresiile (3.54) şi (2.123) pentru a elimina coordonatele centrului de greutate G, ecuaţiile (3.143) se scriu sub formă matricială

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

2

1

1

3332

2322

4441

1411

000

000

00

00

MFMF

zψy

kkkk

kkkk

zψy

J

JΩ

zψy

Jm

Jm

C

C

C

C

C

C

C

C

P

P

C

C

C

C

T

T

ϕ

ϕϕ &

&

&

&

&&

&&

&&

&&

(3.144)

sau

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

00

00

00

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

z

y

z

yff

= zy

k

k + zy

gg

+zy

m

m&

&

&&

&&.

(3.145)

Ecuaţiile (3.145) se scriu condensat

.fxKxGxM ][][][ =++ &&& (3.146)


Vectorul din membrul drept are forma (Secţiunea 5.3.1.2, vol.2)

,

MFMF

tΩ

JJemJJem

ΩtΩ

JJemJJem

= Ω

FtΩFtΩFf

cPT

c

sPT

s

sPT

s

cPT

c

sc

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−−−

+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

=++=

2

2

1

1

22 sin

)(

)( cos

)(

)(

sin cos

α

α

α

α (3.147)

unde sc e,e şi sc ,αα sunt proiecţiile excentricităţii e şi oblicităţii discului α pe axele de coordonate.

3.3.2 Pulsaţiile proprii de precesie

Deplasările y şi z se pot scrie ca în (3.33)

( )( ),tztztzz

,tytytyy

zsc

ysc

θωωω

θωωω

+=+=

+=+=

cossincos

cossincos

( ) ( ) .ezzeeezez

,eyyeeeyeyt

sct

tsc

t

z

y

ωωθ

ωωθ

iii

iii

i

i

−ℜ=ℜ=

−ℜ=ℜ=

Pentru 0 =f , ecuaţiile (3.146) descriu precesia liberă a rotorului. Soluţiile acestor ecuaţii pot fi exprimate prin fazori sub forma [3.8]

.e e

ii

= i i ωtt

sc

sc Φzzyy

zy

x =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= ω (3.148)

Înlocuind soluţiile (3.148) în ecuaţiile (3.145) cu membrul drept egal cu zero, rezultă problema de valori proprii

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−00

ii

i i

2

2 =

zzyy

mωkgΩ

gΩmωk

sc

sc

z

y

ωω

(3.149)

din care se obţin următoarele patru ecuaţii cuplate două câte două

[ ] [ ]( ) [ ] ,zgΩymk scy 0 2 =+− ωω (3.150)

[ ] [ ]( ) [ ] ,zgΩymk csy 0 2 =−− ωω (3.151)

[ ] [ ]( ) [ ] ,ygΩzmk scz 0 2 =−− ωω (3.152)

[ ] [ ]( ) [ ] 0 2 =+− csz ygΩzmk ωω . (3.153)


Din (3.150) şi (3.151) se obţine

[ ] [ ]( ) [ ] ,zgΩmky syc 12 −

−−= ωω (3.154)

[ ] [ ]( ) [ ] cys zgΩmky 12 −

−−= ωω . (3.155)

Înlocuind (3.154) şi (3.155) în (3.152) şi (3.153) rezultă

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] ,zgΩmkgΩmk cyz 0 1222 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−

−ωωω (3.156)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] .zgΩmkgΩmk syz 0 1222 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−

−ωωω (3.157)

Comparând ecuaţiile (3.156) şi (3.157) se observă că cele două soluţii sunt proporţionale una cu alta, deci

,zz sc β= (3.158)

unde β este o constantă reală.

Înlocuind (3.158) în ecuaţia (3.154) şi comparând rezultatul cu ecuaţia (3.155) se obţine

.yy cs β−= (3.159)

Înlocuind (3.158) şi (3.159) în (3.148) rezultă

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=z

y

s

c

sc

sc

aa

zy

zzyy

i e

i )i1( =

ii

iγβΦ (3.160)

unde ya şi za sunt vectori reali.

Expresiile (3.160) arată că, printr-o normare corespunzătoare, elementele vectorilor Φ devin reale în planul xOy şi pur imaginare în planul xOz, deci modurile de precesie sunt plane.

Din (3.148) şi (3.149) rezultă

s

c

c

szz

yy

=−=β (3.161)

.zyzy sscc 0=+

Conform relaţiei (3.40), unghiul de înclinare 0=α şi deci axele orbitei eliptice sunt coliniare cu axele de coordonate.

La rotoarele neamortizate, vectorii proprii sunt mărimi complexe datorită caracterului spaţial al precesiei precum şi al cuplajului giroscopic, dar modurile proprii de precesie sunt plane.


Utilizând transformarea în vectori reali

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧− z

y

z

y

aa

II

aa

][i]0[

]0[][ =

i, (3.162)

unde [ ]I este o matrice unitate, şi înmulţind la stânga cu ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡][i]0[]0[][

II

, problema

de valori proprii (3.149) devine

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−00

=

][][][

][ ][][2

2

z

y

z

yaa

mkgΩgΩmk

ωωωω . (3.163)

Condiţia de a avea soluţii nebanale duce la anularea determinatului

0 ][][][

][ ][][ 2

2=

−

−

mkgΩgΩmk

z

y

ωωωω

(3.164)

sau

.

JkkJΩkmk

JΩJkkkmk

TP

PT 0

000

000

23332

232

22

24441

142

11

=

−−−−

−−

ωωω

ωωω

Rezultă ecuaţia pulsaţiilor proprii de forma

.AωΩBAωΩBAωΩBAω 0)()()( 022

2242

4462

668 =++−+++− (3.165)

În figura 3.23 se prezintă grafic variaţia pulsaţiilor proprii de precesie ω în funcţie de viteza unghiulară de rotaţie Ω , pentru TP JJ > . Simetria faţă de axele ω şi Ω apare datorită puterilor pare din ecuaţia (3.165). Asimptotele orizontale corespund precesiei unghiulare nule a discului pentru ∞→Ω .

Pentru calculul vitezelor unghiulare critice de precesie sincronă, se înlocuieşte Ωω = în (3.163) şi se obţine

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−00

=

][][][

][][][22

22

z

y

z

yaa

mkggmk

ΩΩΩΩ

(3.166)

care se mai scrie sub forma unei probleme generalizate de valori proprii


),..,rmggm

kk

rrrz

y 41( . ][][][][

][]0[]0[][ 2 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΨΩΨ (3.167)

Valorile proprii rΩ dau vitezele unghiulare critice de precesie sincronă. Vectorii proprii rΨ definesc semiaxele orbitei de precesie a discului la turaţia critică respectivă şi sensul mişcării de precesie (directă sau inversă).

Fig. 3.23

Înlocuind Ωω −= în (3.163), termenii nediagonali ai matricii din (3.166) devin negativi, dar se obţin aceleaşi viteze unghiulare critice. Deci, spre deosebire de rotorul în lagăre izotrope, dezechilibrul va excita şi turaţiile critice de precesie inversă.

În figura 3.24, b se prezintă diagrama Campbell (cadranul I al curbelor din fig. 3.23). Pentru comparaţie, în fig. 3.24, a se arată diagrama Campbell pentru acelaşi rotor în lagăre rigide. Mişcările cu viteze unghiulare 1ω şi 3ω sunt precesii inverse, în timp ce mişcările cu viteze unghiulare 2ω şi 4ω sunt precesii directe. Abscisele punctelor în care dreapta de ecuaţie Ωω = intersectează curbele pulsaţiilor proprii de precesie definesc vitezele unghiulare critice.

Alura curbelor diagramei Campbell din figura 3.24, b este tipică pentru un rotor slab amortizat. După cum se arată în Secţiunea 3.3.4, amortizarea poate modifica substanţial forma diagramei.


a b

Fig. 3.24

În figura 3.25 se prezintă comparativ efectul elasticităţii lagărelor, al momentului de inerţie masic diametral al discului şi al cuplajului giroscopic asupra diagramelor Campbell ale rotorului nesimetric cu un disc, rezemat în lagăre izotrope (fig. 3.25, a) şi în lagăre ortotrope (fig. 3.25, b) [3.2]. Discul rigid are

TP JJ > . Asimptotele orizontale corespund pulsaţiilor proprii ale precesiei de translaţie pură.

3.3.3 Răspunsul la dezechilibru

Dacă în ecuaţiile (3.146) se introduce excitaţia sincronă

tFtFf sc sin cos ΩΩ += , (3.168)

răspunsul staţionar are forma

.tXtXx sc sin cos ΩΩ += (3.169)

Înlocuind (3.168) şi (3.169) în (3.146) rezultă sistemul algebric

( )( ) .][][][

][][][ 2

2

ssc

csc

FXMKXG

,FXGXMK

=−+−

=+−

ΩΩ

ΩΩ (3.170)

Cele două componente ale deplasărilor de translaţie ale discului sunt date de ecuaţii de forma (3.33). Cu ajutorul lor se calculează parametrii orbitelor eliptice ale precesiei datorite dezechilibrului. Se utilizează relaţiile (3.38)-(3.40) şi (3.44).


Fig. 3.25


Pentru a calcula amplitudinile finite ale precesiei la turaţiile critice de răspuns maxim, se introduce efectul amortizării. În membrul stâng al ecuaţiei (3.146), la matricea giroscopică se adaugă o matrice de amortizare diagonală

] [ diag][ 33224411 ccccD =

ale cărei elemente se calculează pentru valori date ale rapoartelor de amortizare

.Jk

cJk

c,mk

c,mk

c

TT 44

444

33

333

22

222

11

111 2

,2

2

2

==== ζζζζ (3.171)

Deobicei, se alege .ζζζζζ ==== 4321

Exemplul 3.2 a

Se consideră rotorul lui Krämer [3.7] cu un dic în consolă (Modelul II) pentru care: kg 8000=m , m kg 8520 2 ,JP = ,JT

2m kg 4260= m, 4 =l m, 8,0=c ,E GPa 210 = m, 3,0 =d 02,0 =ζ , mN/ 333 1 μ=Ak ,

m,N/ 6672 μ=Ak m,N/ 3,83 1 μ=Bk mN/ 167 2 μ=Bk .

Fig. 3.26

În figura 3.26 se prezintă diagrama Campbell la care pe axa absciselor este dată turaţia rotorului. Abscisele punctelor de intersecţie ale curbelor diagramei cu linia excitaţiei sincrone determină turaţiile critice amortizate: rot/min, 4371 =n

rot/min, 7612 =n .rot/min 12823 =n S-a notat cu F – precesia directă (“forward”) şi cu B – precesia inversă (“backward”).


În figura 3.27 se prezintă diagramele răspunsului la dezechilibru. Maximele din diagrama semiaxei mari (fig. 3.27, a) definesc turaţiile critice de răspuns maxim. Se observă că prima şi a treia turaţie critică, deşi corespund unor moduri de precesie inversă, sunt excitate de dezechilibru. Valoarea maximă a semiaxei mari a orbitei de precesie apare la a doua turaţie critică, în modul de precesie directă.

a b

c d

Fig. 3.27

În figura 3.27, b s-a reprezentat şi diagrama semiaxei mici a orbitelor eliptice. Cele două domenii în care aceasta are valori negative definesc turaţiile cu precesie inversă produsă de dezechilibru. Punctele de intersecţie cu axa orizontală marchează turaţiile de graniţă la care orbita degenerează într-o linie dreaptă. La aceste turaţii orbitele trec de la precesie directă la precesie inversă şi vice versa. De notat că turaţiile de graniţă sunt diferite de turaţiile critice.

În figura 3.27, c s-au reprezentat diagramele componentelor y şi z ale deplasării centrului discului. În figura 3.27, d s-au dat diagramele razelor fr şi

br ale mişcărilor circulare în sensuri contrare care generează elipsa. Zonele în


care raza cercului cu mişcare inversă br este mai mare decât raza cercului cu

mişcare directă fr definesc domeniile de turaţii cu precesie inversă. Acestea

corespund cu turaţiile (fig. 3. 27, b) la care orbitele au semiaxele mici negative.

3.3.4 Influenţa amortizării lagărelor

Dacă se include efectul amortizării lagărelor, atunci ecuaţiile (3.146) devin

][][][ fxKxCxM =++ &&& , (3.172)

unde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

g g

Ω cc cc

Czzzy

yzyy

]0[][][]0[

][][][][

][ (3.173)

este suma matricilor de amortizare şi giroscopică.

Dacă pentru 0 =f se caută soluţii de forma

te λux = , (3.174)

rezultă problema de valori proprii

)41( 0)][][][( 2 ,..,ruKCM rrr ==++ λλ . (3.175)

Valorile proprii rλ sunt reale pentru modurile amortizate supracritic şi complexe conjugate pentru modurile amortizate subcritic. Valorile proprii complexe au forma

i ,i rrrrrr ωαλωαλ −=+= (3.176)

şi sunt funcţii de viteza unghiulară de rotaţie Ω .

Partea imaginară rω este pulsaţia proprie amortizată (de precesie) iar partea reală rα este o constantă de atenuare (sau de creştere).

Deobicei, amortizarea este caracterizată de raportul de amortizare modal

.r

r

rr

rr ω

α

ωα

αζ −≅+

−=22

(3.177)


În diagrama Campbell se reprezintă grafic dependenţa .rr )(Ωωω = Uneori aceasta este însoţită de diagrama de stabilitate )(Ωαα rr = sau de diagrama rapoartelor de amortizare )( Ωζζ rr = .

La sisteme amortizate subcritic, vectorii proprii au forma

i i .bau,bau rrrrrr −=+= (3.178)

Soluţia pentru precesia liberă are forma

( )tbtatx rrrrt

rr ωωα sincose2)( −= , (3.179)

care descrie orbite în formă de spirale. Se convine, totuşi, să se reprezinte orbitele sub formă de elipse incomplete (“deschise”), considerând 0=rα şi aproximând expresia (3.179) prin

tututx rsrcr ωω sincos)( += (3.180) unde

.umbu,ueau rrsrrc −ℑ=−=ℜ==

Fig. 3.28

Exemplul 3.3

Se consideră rotorul în consolă din fig. 3.28, cu m, 4,0=l m, 02,0=d GPa 210=E . Capătul unde este montat un disc rigid cu kg, 5,16=m

,mkg 094,0 2⋅=TJ 2mkg 186,0 ⋅=PJ este rezemat într-un lagăr elastic. Lagărul

are rigidităţile principale N/m105 51 ⋅=k şi N/m102 5

2 ⋅=k . Coeficienţii de amortizare ai lagărului sunt proporţionali cu rigidităţile corespunzătoare, 11 kc β= şi .kc 22 β=


În figurile 3.29 se prezintă diagramele Campbell şi diagramele rapoartelor de amortizare modale pentru trei valori ale coeficientului β .

a b c

Fig. 3.29

Se observă că, odată cu creşterea amortizării din lagăr, curbele corespunzătoare primului mod de precesie se modifică substanţial. La amortizări mari (fig. 3.29, c), pe un anumit domeniu de turaţii, primul mod de precesie devine amortizat supracritic. Rezultă că acest mod nu va fi “observat” în diagramele răspunsului la dezechilibru, unde va lipsi vârful corespunzător.

3.3.5 Moduri de precesie mixte

În mod obişnuit, precesia rotoarelor este descrisă prin moduri directe (“forward”) şi moduri inverse (“backward”). Sensul mişcării de precesie nu este însă o proprietate globală, ci o proprietate locală, care poate diferi de la o secţiune la alta. La o turaţie dată, un rotor poate avea moduri mixte, cu precesie directă şi inversă simultan în diferite secţiuni.

Precesia rotoarelor în lagăre aproape izotrope poate fi pur directă sau pur inversă, cu acelaşi sens în toate secţiunile transversale importante. Aceasta permite o clasificare logică a modurilor de precesie. În majoritatea cazurilor, modurile mixte sunt predominant directe sau predominant inverse, cu porţiuni limitate de precesie în sens contrar. Caracterul mixt al precesiei poate trece neobservat dacă numărul secţiunilor considerate în lungul rotorului este mic.


La sistemele rotor-lagăre anizotrope, ortotropia lagărelor produce forme deformate diferite în două plane perpendiculare între ele, la aceeaşi turaţie. Cuplarea (chiar slabă) a două forme modale diferite ale rotorului, ortogonale între ele, produce moduri de precesie mixte.

Aceasta se poate explica uşor pentru sistemele rotor-lagăre care au moduri de precesie plane. În acest caz, formele deformate în două plane perpendiculare între ele corespund unor momente în timp la o diferenţă de un sfert de perioadă. În secţiunea în care doar una din cele două forme modale intersectează axa longitudinală a rotorului, orbita precesiei degenerează într-o linie dreaptă. Aceasta separă porţiunile rotorului cu precesie directă şi indirectă [3.9].

La un rotor în lagăre hidrodinamice, orice asimetrie produce diferenţe în încărcarea şi temperatura uleiului în cele două lagăre. Astfel, chiar dacă lagărele sunt fizic identice, coeficienţii de rigiditate şi de amortizare sunt diferiţi. În acest caz, curbele frecvenţelor proprii amortizate din diagrama Campbell se apropie apoi se îndepărtează una de alta, fără să se intersecteze (“curve veering”) ducând la cuplaj modal şi moduri de precesie combinate. Variaţia continuă rapidă a unei forme modale în zona de “curve veering” produce moduri mixte de precesie. În lungul unei curbe, modul de precesie poate fi direct pe o porţiune, apoi mixt în zona de apropiere relativă a curbelor, devenind apoi mod indirect pe porţiunea următoare. Trasarea simultană a diagramei de variaţie cu turaţia a rapoartelor de amortizare modală facilitează înţelegerea naturii modurilor mixte.

La multe sisteme rotorice, modurile de precesie apar în perechi, în care modul invers are frecvenţa proprie mai mică şi modul direct are frecvenţa proprie mai mare. Variaţia cu turaţia a amortizării lagărelor poate modifica această ordine. Modurile amortizate supracritic la anumite turaţii, absente în diagrama Campbell, pot deveni moduri amortizate subcritic la alte turaţii şi curbele respective pot apare în diagramă doar în anumite domenii de turaţie.

Coeficienţii de rigiditate transversală ai lagărelor măresc separarea relativă a frecvenţelor proprii dintr-o pereche directă-inversă. Astfel, frecvenţa unui mod direct dintr-o pereche cu frecvenţe proprii mai mici, se poate apropia de frecvenţa unui mod indirect dintr-o pereche cu frecvenţe proprii mai mari, producând fie o intersecţie a curbelor, fie o apropiere şi depărtare relativă în diagrama Campbell. Combinarea celor două moduri diferite produce un mod cu precesie mixtă. În unele exemple de simulări numerice, caracterul mixt al unor moduri nu apare dacă mişcarea este analizată într-un număr insuficient de puncte în lungul rotorului.

În continuare se prezintă un exemplu de rotor cu moduri de precesie mixte. Se analizează trei cazuri: a) rotor simetric în lagăre izotrope, b) rotor simetric în lagăre ortotrope şi c) rotor nesimetric în lagăre ortotrope. În programul de calcul utilizat, arborele rigid şi cu masa neglijabilă a fost modelat cu valori

Pa 102 15⋅=E şi 3mkg1=ρ [3.9].


Exemplul 3.4 a

Un disc rigid este montat la mijlocul unui arbore rigid ( )m35,021 == ll cu masa neglijabilă, rezemat la capete în lagăre izotrope identice. Discul are masa

kg, 30=m şi momentele de inerţie masice ,mkg 2,1 2=TJ 2mkg 8,1=PJ .

Lagărele au coeficienţii de rigiditate N/m107 6⋅== zzyy kk şi coeficienţii de amortizare Ns/m200== zzyy cc .

Diagrama Campbell este prezentată în fig. 3.30. Modurile directe sunt notate F (“forward”) iar modurile inverse sunt notate B (“backward”). Cele două moduri “cilindrice” la Hz48,103 au frecvenţele proprii independente de turaţie, fiind reprezentate prin linii drepte suprapuse. Discul are o mişcare de translaţie neinfluenţată de efectele giroscopice şi decuplată de mişcarea unghiulară.

Modurile “conice”, notate 2B şi 2F, sunt decuplate de modurile cilindrice. Cu creşterea turaţiei, frecvenţa proprie a modului invers scade, datorită efectului giroscopic, iar curba respectivă intersectează linia modurilor cilindrice. Frecvenţa proprie a modului direct creşte cu turaţia. Datorită izotropiei lagărelor cele două curbe au aceeaşi ordonată la turaţia zero.

Fig. 3.30

Linia excitaţiei sincrone este trasată cu linie punctată. Turaţiile critice sunt determinate de abscisele punctelor de intersecţie cu liniile frecvenţelor proprii, la 6209 rot/min şi 6876 rot/min. În cazul excitaţiei prin dezechilibru masic, unica turaţie critică este localizată la intersecţia cu linia modului 1F. La sisteme rotorice cu lagăre izotrope, excitaţia sincronă nu poate excita modurile de precesie inversă.


a b

c d

Fig. 3.31

În figura 3.31 se prezintă forma modurilor de precesie la turaţia 10000 rot/min. Datorită izotropiei lagărelor, orbitele sunt cercuri în orice secţiune a rotorului. Acestea sunt reprezentate ca orbite incomplete (“deschise”) pentru a recunoaşte mai uşor sensul mişcării. S-a desenat cu linie continuă forma modală la momentul 0=t şi cu linie întreruptă forma modală la Ωπ 2=t . Mişcarea pe orbită are loc începând din punctul de pe linia continuă, la 0=t , spre punctul de pe linia întreruptă, un sfert de perioadă mai târziu.

Fig. 3.32


În figura 3.32 se prezintă variaţia cu turaţia a razei orbitei răspunsului la dezechilibru al centrului discului, calculată pentru un dezechilibru de mmg30 . Cum era de aşteptat, în diagramă apare un singur maxim, la turaţia corespunzătoare frecvenţei proprii a modului 1F.

Exemplul 3.4 b

Fie rotorul simetric din Exemplul 3.4 a, rezemat însă în lagăre ortotrope identice. Lagărele au coeficientul de rigiditate verticală N/m105 6⋅=yyk ,

coeficientul de rigiditate orizontală N/m107 6⋅=zzk şi coeficienţii de amortizare

Ns/m102 2⋅== zzyy cc [3.10].

Fig. 3.33

În figura 3.33 se prezintă diagrama Campbell. Datorită anizotropiei lagărelor, modurile “cilindrice” 1B şi 1F au frecvenţe proprii diferite, Hz63,88 şi

Hz48,103 . Sistemul fiind simetric, acestea sunt independente de turaţie.

Modul al treilea şi al patrulea sunt moduri de precesie “conice”, fiind decuplate de modurile cilindrice. La creşterea turaţiei, frecvenţa proprie a modului 2B scade datorită efectelor giroscopice şi curba respectivă intersectează liniile modurilor cilindrice. Frecvenţa proprie a modului 2F creşte cu turaţia. Datorită anizotropiei lagărelor, cele două curbe au ordonate diferite la turaţia zero, unde măsoară frecvenţele proprii ale vibraţiilor transversale ale rotorului.


Linia excitaţiei sincrone intersectează curbele frecvenţelor proprii în punctele ale căror abscise definesc turaţiile critice amortizate rot/min5318 , 6209 rot/min şi 6341 rot/min.

Fig. 3.34

Diagrama rapoartelor de amortizare este redată în fig. 3.34. Modul invers este mai amortizat decât modul direct din aceeaşi pereche. Curbele modurilor conice intersectează liniile modurilor cilindrice, ceea ce denotă absenţa cuplajelor.

a b

c d

Fig. 3.35


În fig. 3.35 se arată formele modale la 10000 rot/min. La fel ca în fig. 3.33, forma modală la 0=t este reprezentată cu linie continuă iar cea de la

Ωπ 2=t – cu linie întreruptă. Sensul mişcării în lungul orbitei este de la punctul de pe linia continuă la punctul de pe linia întreruptă.

Orbitele modurilor “cilindrice” 1B şi 1F la Hz63,88 şi Hz48,103 sunt aproape linii drepte datorită anizotropiei puternice a lagărelor şi decuplării celor două mişcări. Orbitele modurilor 2B şi 2F sunt eliptice.

a b

Fig. 3.36

Fig. 3.37

Curbele răspunsului la dezechilibru în dreptul discului sunt redate în fig. 3.36, pentru un dezechilibru de mmg30 al discului. În fig. 3.36, a , curba a este pentru semiaxa mare şi curba b pentru semiaxa mică. În fig. 3.36, b , curba fr


este pentru cercul cu mişcare directă şi br este pentru cercul cu mişcare inversă. Cele două vârfuri arată că, datorită amortizării puternice a modului 2B, numai două dintre cele trei turaţii critice amortizate posibile devin turaţii critice de răspuns maxim. Între cele două vârfuri există un domeniu de turaţii cu precesie inversă, definit de valori negative ale semiaxei mici a orbitei, sau de condiţia fb rr > .

Înformaţii utile sunt date de diagrama locului rădăcinilor (fig. 3.37), în care s-a reprezentat variaţia frecvenţei proprii amortizate în funcţie de valorile cu semn schimbat ale raportului de amortizare, pentru fiecare mod de precesie. Când curbele sunt relativ depărtate, ca în fig. 3.37, nu există cuplaj între moduri şi nu pot apare moduri combinate sau mixte.

Exemplul 3.4 c

Se consideră rotorul din Exemplul 3.4 b, însă cu discul rigid inegal depărtat de capete ( )m4,0 m,3,0 21 == ll . Arborele este rigid şi cu masa

neglijabilă. Lagărele au coeficienţii de rigiditate N/m105 6⋅=yyk ,

N/m107 6⋅=zzk şi coeficienţii de amortizare Ns/m102 2⋅== zzyy cc [3.10].

Fig. 3.38

Diagrama Campbell este prezentată în fig. 3.38. Curba 2B nu mai intersectează linile 1B şi 1F şi, în vecinătatea turaţiei de rot/min8000 , se îndepărtează de linia 1F. Mişcările de translaţie şi unghiulară ale rotorului sunt cuplate. Cu creşterea turaţiei, modul 2B devine un mod mixt şi tinde să se transforme în primul mod direct, în timp ce modul 1F devine un mod mixt şi tinde să se transforme în primul mod invers. Linia excitaţiei sincrone intersectează


curbele frecvenţelor proprii în punctele ale căror abscise marchează turaţiile critice amortizate la rot/min5236 , 6051 rot/min şi 6532 rot/min.

Diagrama rapoartelor de amortizare este redată în fig. 3.39. Cu creşterea turaţiei, curba 2B tinde spre traseul fostei curbe 1F, în timp ce curba 1F urmează traseul fostei curbe 1B şi curba 1B urmează fosta linie 2B. Aceste transformări au loc în domeniul de turaţii la care apare “curve veering” în diagrama Campbell.

Fig. 3.39

În fig. 3.40 se prezintă diagrama locului rădăcinilor. Modurile sunt numerotate conform formei la turaţii joase. Când curbele sunt relativ apropiate, două moduri cu frecvenţe proprii foarte apropiate şi forme modale diferite se pot combina pentru a da naştere unui mod combinat care are precesie mixtă (directă şi inversă) datorită cuplării modurilor.

Fig. 3.40


a b

c d

Fig. 3.41

Formele modurilor de precesie la 10000 rot/min sunt date în fig. 3.41. La modurile mixte, sensul precesiei în diferite secţiuni este notat prin B (backward) sau F (forward), mişcarea având loc dinspre punctul de pe linia continuă, la 0=t , spre punctul de pe linia punctată, la un sfert de perioadă mai târziu.

a b

Fig. 3.42

În lungul rotorului, porţiunile cu precesie directă şi inversă sunt separate de secţiunea în care orbita de precesie degenerează într-o linie dreaptă. Astfel de linii nu apar în fig. 3.41 datorită numărului mic de secţiuni în care s-a calculat şi desenat orbita.


Curbele răspunsului la dezechilibru în secţiunea din dreptul discului sunt redate în fig. 3.42, pentru un dezechilibru de mmg30 al discului. Abscisele celor trei vârfuri indică turaţiile critice de răspuns maxim. Domeniul de turaţii cu precesie inversă este definit de valori negative ale semiaxei mici a orbitei.

3.4 Exemple de simulare numerică

3.4.1 Rotoare în lagăre cu coeficienţi constanţi

Exemplul 3.5 a

Un disc rigid este montat la mijlocul unui arbore elastic (fig. 3.43), cu lungimea m44,0 , diametrul mm90 , modulul de elasticitate longitudinal

211 mN102 ⋅ şi densitatea 3mkg7800 , rezemat la capete în lagăre identice.

Fig. 3.43

Discul are masa 560 kg, momentul de inerţie masic diametral 2kgm18 şi

momentul de inerţie masic polar 2kgm32 . Lagărele au coeficienţii de rigiditate

constanţi mN102,2 8⋅=′′=′ yyyy kk , mN101,1 8⋅=′′=′ zzzz kk , şi coeficienţii de

amortizare constanţi msN102,2 4⋅=′′=′ yyyy cc şi msN1011,1 4⋅=′′=′ zzzz cc [3.9].

În fig. 3.44 este prezentată diagrama Campbell. Datorită simetriei sistemului, mişcările de translaţie şi unghiulară ale discului sunt decuplate. Modurile 1B şi 1F au frecvenţe proprii independente de turaţie. Cu creşterea turaţiei, frecvenţa proprie a modului 2B scade şi curba intersectează liniile modurilor cilindrice, datorită efectelor giroscopice. Datorită ortotropiei lagărelor, cele două curbe dintr-o pereche au ordonate diferite la turaţia zero.


Fig. 3.44

Diagrama rapoartelor de amortizare modale este redată în fig. 3.45. La fel ca la Exemplul 3.4 a, în fiecare pereche de moduri, modul invers este mai puternic amortizat decât modul direct. Curbele modurilor conice nu intersectează liniile modurilor cilindrice.

Fig. 3.45

Exemplul 3.5 b

Se consideră rotorul din Exemplul 3.5 a, rezemat în lagăre cu următoarele valori ale coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare (fig. 3.43): mN1015,2 8⋅=′yyk ,

mN1015,1 8⋅=′zzk , msN1015,2 4⋅=′yyc , msN1015,1 4⋅=′zzc , mN1025,2 8⋅=′′yyk ,

mN1005,1 8⋅=′′zzk , msN1025,2 4⋅=′′yyc şi msN1005,1 4⋅=′′zzc [3.9].


În fig. 3.46 se prezintă diagrama Campbell pentru primele patru moduri de precesie. Curbele s-au notat 1B, 1F, 2B and 2F, ca la Exemplul 3.5 a, deşi în anumite intervale de turaţie modurile sunt mixte. Curba 2B intersectează linia 1F la 600 rot/min şi se îndepărtează de linia 1B la 2065 rot/min.

Fig. 3.46

În figura 3.47 curbele rapoartelor de amortizare ale modurilor 2B şi 1F au un minim, respectiv un maxim, la 600 rot/min, fără să se intersecteze, în timp ce curbele 2B şi 1B se intersectează la aproximativ 2065 rot/min.

Fig. 3.47


Cu creşterea turaţiei, modul 2B devine un mod mixt şi se transformă în primul mod invers, în timp ce modul 1B se transformă în 2B.

Diagrama locului rădăcinilor (fig. 3.48) indică posibila cuplare a modurilor 1B şi 2B, ale căror curbe au ramuri care se apropie una de alta. Modurile 2B şi 1F au un domeniu de frecvenţe proprii foarte apropiate şi aceasta poate de asemenea produce moduri combinate cu precesie mixtă.

Fig. 3.48

Este utilă o analiză mai detaliată a formei modurilor de precesie, în special a evoluţiei acestora în domeniile de turaţii cu interacţiune modală.

a b c

Fig. 3.49

În fig. 3.49 se prezintă evoluţia modului 1M între 1700 şi 3000 rot/min. Modul 1M rezultă din combinarea unui mod conic vertical 1B cu un mod cilindric orizontal 1F. Cu creşterea turaţiei, al doilea mod se transformă într-un mod orizontal conic.


a b c

Fig. 3.50

În figura 3.50 se arată evoluţia modului 2M între 200 şi 1000 rot/min. Deşi curbele frecvenţelor proprii 2B şi 1F se intersectează (fig. 3.46) modul este mixt. El este rezultatul combinării unui mod vertical cilindric cu un mod orizontal conic. Modurile mixte există chiar atunci când două curbe nu se apropie şi depărtează relativ în diagrama Campbell.

a b c

Fig. 3.51

În figura 3.51 se prezintă evoluţia modului 3M între 250 şi 1000 rot/min. Acesta este de fapt al doilea mod invers, însă la turaţii mici, componentele conice verticală şi orizontală intersectează axa longitudinală a rotorului în puncte diferite. În aceste puncte, orbitele precesiei degenerează în linii drepte, care marchează trecerea de la precesie inversă la precesie directă şi vice versa.

a b c

Fig. 3.52


În figura 3.52 se arată evoluţia modului 3M între 1700 şi 2500 rot/min. La 1700 rot/min modul este aparent încă invers 2B. Caracterul său mixt nu este evidenţiat datorită numărului redus de secţiuni în care s-a trasat orbita.

O analiză mai atentă a fig. 3.52, a arată că axa longitudinală a rotorului este intersectată în puncte diferite de componentele conice verticală şi orizontală, astfel că există o porţiune cu precesie directă, care din cauza calculării orbitei în numai cinci puncte nu a fost evidenţiată. La 2100 rot/min modul orizontal devine cilindric. Deoarece componenta verticală rămâne conică, modul de precesie este mixt.

Pentru a ilustra afirmaţiile de mai sus, în continuare se analizează un rotor cu parametrii puţin modificaţi. În acest caz, rigidităţile orizontale sunt mai mari decât cele verticale.

Exemplul 3.6

La mijlocul unui arbore cu lungimea m437,0 , diametrul mm91 ,

modulul de elasticitate 211 mN102 ⋅ şi densitatea 3mkg7750 este montat un

disc rigid cu masa kg566 , momentul de inerţie masic diametral 2mkg1,18 şi

momentul de inerţie masic polar 2mkg2,36 .

Arborele este rezemat la capete în lagăre ortotrope (fig. 3.43). Coeficienţii de rigiditate au valorile mN1014,1 8⋅=′yyk , mN1014,2 8⋅=′zzk , mN1004,1 8⋅=′′yyk ,

mN1024,2 8⋅=′′zzk iar coeficienţii de amortizare au valorile msN1014,1 4⋅=′yyc ,

msN1014,2 4⋅=′zzc , msN1004,1 4⋅=′′yyc şi msN1024,2 4⋅=′′zzc [3.11].

Fig. 3.53


Diagrama Campbell este prezentată în fig. 3.53 pentru primele patru moduri de precesie. Modurile 2B şi 1F au porţiuni de “veering” la 400 rot/min.

În fig. 3.54 curbele rapoartelor de amortizare ale modurilor 2B şi 1F au un minim, respectiv un maxim, la 400 rot/min, fără să se intersecteze, în timp ce curbele 2B şi 1B se intersectează la aproximativ 1800 rot/min.

Fig. 3.54

Cu creşterea turaţiei, modul 2B devine un mod mixt şi se transformă în primul mod invers 1B, în timp ce modul 1B se transformă în 2B.

a b c

d e f

Fig. 3.55


În figurile 3.55 se arată evoluţia modului 3M între 1000 şi 2000 rot/min. Modul 3M rezultă prin cuplarea unui mod orizontal conic 2B cu un mod vertical cilindric 1B. Cu creşterea turaţiei, modul 3M se transformă în modul cilindric vertical 1F.

a b c

Fig. 3.56

În fig. 3.56 se prezintă evoluţia modului 1M între 1900 şi 2400 rot/min.

Fig. 3.57

Exemplul 3.7

Se consideră un rotor cu două reazeme şi un disc în consolă (fig. 3.57). Discul rigid, cu masa kg8000 , momentul de inerţie masic polar 2kgm8520 şi

momentul de inerţie masic diametral 2kgm4260 , este montat în secţiunea 7.

Arborele cu modulul de elasticitate 211 mN101,2 ⋅ şi densitatea 3mkg7800 are patru tronsoane cu lungimi şi diametre diferite: m7,01 =l , m1,01 =d , m9,22 =l ,

m3,02 =d , m4,03 =l , m32,03 =d , m8,04 =l , m34,04 =d , şi este modelat cu 6 elemente finite de grindă. Lagărele au următoarele valori ale coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare: în secţiunea 1, ( ) mN1061 9⋅=′yyk ,

( ) mN10121 9⋅=′zzk , msN105=′=′ zzyy cc ; în secţiunea 6, ( ) mN1032 9⋅=′′yyk ,

( ) mN1031 9⋅=′′zzk şi msN105=′′=′′ zzyy cc [3.7].


În fig. 3.58 se prezintă diagrama Campbell pentru primele şase moduri proprii. Modurile sunt numerotate în ordine crescătoare, fără menţionarea sensului precesiei. Turaţiile critice amortizate apar la intersecţiile cu linia de sincronism.

Fig. 3.58

Diagrama rapoartelor de amortizare modale este arătată în fig. 3.59.

Fig. 3.59

Formele primelor şase moduri de precesie la 2400 rot/min sunt redate în fig. 3.60. Sistemul are 4 moduri mixte, deşi la 2400 rot/min în figura 3.58 curbele nu au intersecţii sau porţiuni de apropiere-depărtare relativă. Frecvenţele proprii ale


modurilor 2 şi 3, 4 şi 5, care aparţin unor perechi de moduri diferite, se apropie una de alta. Modul 2 este predominant direct (2F). Caracterul său mixt este rezultatul intersecţiei cu axa longitudinală a rotorului în două puncte diferite a modurilor componente vertical şi orizontal.

a b c

d e f

Fig. 3.60

În figura 3.61 se arată curbele răspunsului la dezechilibru, calculate în dreptul lagărelor, pentru un dezechilibru de mmg80 al discului. Abscisele celor cinci vârfuri indică turaţiile critice de răspuns maxim. Vârful primului mod este greu observabil la 413 rot/min.

a b

Fig. 3.61


Exemplul 3.8

Rotorul din figura 3.62 are un disc rigid în consolă şi este rezemat în două lagăre identice cu parametri constanţi. Discul, ataşat în secţiunea 5, are masa

kg5,7 , momentul de inerţie masic polar 2kgm04,0 şi momentul de inerţie masic

diametral 2kgm02,0 . Arborele are diametrul mm50=d , lungimea totală m1=l ,

modulul de elasticitate 211 mN102 ⋅ , densitatea 3mkg8000 şi este modelat cu 4 elemente finite de grindă de lungime egală. Lagărele, plasate în secţiunile 1 şi 3, au coeficienţii de rigiditate mN105,2 7⋅=yyk , mN104 7⋅=zzk şi coeficienţii de

amortizare msN105 3⋅== zzyy cc [3.12].

Fig. 3.62

Fig. 3.63


În fig. 3.63 se prezintă diagrama Campbell pentru primele şase moduri. Modul 4 este mixt, datorită interacţiunii modurilor 2F şi 3B. Curbele respective se apropie şi se depărtează una de alta la aproximativ 13.000 rot/min.

Diagrama rapoartelor de amortizare este dată în fig. 3.64 pentru 8 moduri.

Fig. 3.64

Diagrama locului rădăcinilor este prezentată în fig. 3.65 pentru primele şase moduri şi turaţii până la 30.000 rot/min.

Fig. 3.65


Evoluţia cu turaţia a modului mixt rezultat din interacţiunea modurilor 2F şi 3B este prezentată în fig. 3.66.

a b c

d e f

Fig. 3.66

Forma primelor şase moduri la 10.000 rot/min este arătată în fig. 3.67.

a b c

d e f

Fig. 3.67

În fig. 3.68 se prezintă curbele răspunsului la dezechilibru în dreptul lagărelor, pentru un dezechilibru de mmg15 al discului. Vârfurile apar la turaţiile corespunzătoare frecvenţelor proprii ale modurilor directe, deoarece modurile inverse sunt mai puternic amortizate.


a b

Fig. 3.68

În figura 3.69 s-a reprezentat variaţia frecvenţelor proprii neamortizate ale modurilor 3, 4, 5 şi 6 în funcţie de rigiditatea lagărelor, la 12.000 rot/min.

Fig. 3.69

Liniile întrerupte verticale marchează valorile coeficienţilor de rigiditate vertical şi orizontal ai lagărelor, mN105,2 7⋅=yyk şi mN104 7⋅=zzk . Modurile 4 (2F) şi 5 (3B) au forme diferite dar frecvenţe proprii foarte apropiate. Ele interacţionează, producând un mod combinat mixt.

3.4.2 Rotoare în lagăre autoportante

În continuare se analizează rotoare rezemate în lagăre radiale hidrodinamice. La aceste sisteme, diagramele Campbell au caracteristici aparte. Primele două moduri inverse “de corp rigid” sunt amortizate supracritic şi nu apar în diagramă. Curbele primelor două moduri directe urmează îndeaproape linia


excitaţiei “la semi-frecvenţă”. Modul direct de încovoiere cu două noduri interacţionează cu modul direct cilindric de corp rigid producând moduri combinate, numite uneori “convex cilindric” şi “concav cilidric”. În unele cazuri, chiar şi modurile directe devin amortizate supracritic şi dispar din diagramă.

Diagramele de stabilitate sunt utile în localizarea turaţiei la limita de stabilitate. Diagramele rapoartelor de amortizare permit localizarea acestei limite şi în plus indică modurile amortizate supracritic. Diagramele locului rădăcinilor oferă o privire generală asupra variaţiei valorilor proprii şi rapoartelor de amortizare cu turaţia şi pot fi utilizate pentru a explica formarea modurilor de precesie mixte.

În general, numerotarea modurilor acestor sisteme este mai dificilă decât la rotoarele în lagăre cu coeficienţi constanţi, iar evoluţia în diagrame a perechilor de moduri cu precesie inversă şi directă este fie modificată, fie greu de recunoscut.

Exemplul 3.9 a

Se consideră rotorul din fig. 3.70 rezemat în două lagăre radiale identice. Discul rigid are masa kg20 , momentul de inerţie masic polar 2mkg1 şi momentul

de inerţie masic diametral 2mkg7,0 . Arborele cu masa neglijabilă, cu diametrul

mm4,25 şi modulul de elasticitate 211 mN101,2 ⋅ , are lungimile mm8512 =l şi mm25523 =l [3.13] şi este modelat cu doar două elemente finite de grindă.

Fig. 3.70

Lagărele cilindrice cu cuzinet complet au diametrul mm 4,25=D , lungimea mm 16=L , jocul radial μm 2,35=C şi vâscozitatea dinamică a uleiului

2mNs 02,0=μ . Forţele statice în lagăre sunt N4,1421 =W şi N8,532 =W . Variaţia cu turaţia a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare, calculaţi pe baza teoriei lui Ocvirk (Secţiunea 6.5.1, vol.2) a lagărelor scurte [3.14], cu film de ulei complet cavitat, adică extins numai 0180 , este ilustrată în fig. 3.71.


a b

Fig. 3.71

Diagrama Campbell este prezentată în fig. 3.72 pentru primele şase moduri proprii de precesie. În punctele de intersecţie cu linia excitaţiei sincrone, se determină turaţiile critice amortizate, cu valorile 2186, 6047 şi 9442 rot/min.

Fig. 3.72

Modurile 1B şi 2B sunt amortizate supracritic şi nu apar în diagramă. Modurile 1F şi 2F sunt moduri “de corp rigid”, cu comportare determinată predominant de lagărele hidrodinamice, şi urmează linia excitaţiei la semifrecvenţă

2Ωω = . Dacă unul din lagărele cu alunecare este înlocuit cu un reazem rigid, una dintre cele două curbe dispare. Dacă ambele lagăre cu alunecare sunt înlocuite cu lagăre rigide, atunci dispar ambele curbe. Curbele modurilor 3F şi 4B se intersectează la aproximativ 12.600 rot/min dar cele două moduri nu interacţionează.


Fig. 3.73


Fig. 3.74

Diagrama de stabilitate este redată în fig. 3.74 pentru patru moduri. Modul 1F devine instabil la 10.331 rot/min. Urmărind punctul asociat din diagrama Campbell, se observă că precesia instabilă are loc cu o viteză unghiulară egală cu aproximativ jumătate din cea corespunzătoare turaţiei, ceea ce descrie instabilitatea lagărelor cunoscută sub numele de precesie datorită uleiului (“oil whirl”).


a b c

d e f

Fig. 3.75

Formele primelor şase moduri proprii la 15.000 rot/min sunt date în fig. 3.75. Modurile directe, cu deplasări relative în lagăre mai mari, au valori mai mari ale raportului de amortizare.

Fig. 3.76

În fig. 3.76 se prezintă diagrama locului rădăcinilor pentru primele şase moduri şi turaţii până la 15.000 rot/min. Curba modului 1F intersectează axa verticală la o valoare zero a raportului de amortizare, indicând pierderea stabilităţii.


Exemplul 3.9 b

Se consideră rotorul din Exemplul 3.9 a în lagăre de lungime finită, ai căror coeficienţi dinamici s-au calculat cu metoda lui Moes (§ 6.5.3, vol.2) [3.15].

În fig. 3.77 se prezintă variaţia cu turaţia a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare ai lagărelor.

a b

Fig. 3.77

Diagrama Campbell este dată în fig. 3.78 iar diagrama rapoartelor de amortizare în fig. 3.79. Turaţiile critice amortizate sunt 2179, 6047 şi 9322 rot/min.

Fig. 3.78

Modurile 1B şi 2B sunt amortizate supracritic şi nu apar în diagrama Campbell. Modurile 1F şi 2F sunt moduri “de corp rigid”, şi curbele lor urmează


linia excitaţiei la semi-frecvenţă 2Ωω = . Curbele modurilor 3F şi 4B se intersectează de două ori, dar modurile nu interacţionează.

Fig. 3.79

Diagrama de stabilitate este prezentată în fig. 3.80 pentru patru moduri. Modul 1F devine instabil la turaţia 10016 rot/min, care este inferioară valorii calculate la rotorul cu lagăre Ocvirk. Rezultă că utilizarea aproximaţiei cu lagăre scurte nu este recomandabilă în analiza stabilităţii rotoarelor.

Fig. 3.80


Formele primelor şase moduri proprii de precesie la 15000 rot/min sunt redate în fig. 3.81. Fiind calculate în doar trei secţiuni, formele sunt aproximative.

a b c

d e f

Fig. 3.81

Diagrama locului rădăcinilor este prezentată în fig. 3.82 pentru şase moduri şi turaţii până la 15000 rot/min. Se observă că modul 1F devine instabil.

Fig. 3.82


Exemplul 3.9 c

Se consideră rotorul din Exemplul 3.9 a rezemat în lagăre lămâie (cu doi lobi, Secţiunea 6.8.5.2, vol.2) cu lungimea mm 7,12=L .

În fig. 3.83 se prezintă variaţia cu turaţia a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare, calculaţi pe baza datelor publicate în monografia lui Someya [3.16] pentru 5,0=DL şi un coeficient de preîncărcare 43=pm .

a b

Fig. 3.83

Diagrama Campbell este dată în fig. 3.84. Turaţiile critice amortizate au valorile 2182, 7638 şi 9619 rot/min. Modurile 1F şi 2F nu urmăresc linia excitaţiei la semifrecvenţă. Curbele modurilor 3F şi 4B nu se intersectează.

Fig. 3.84


Diagrama rapoartelor de amortizare modale este redată în fig. 3.85 pentru două moduri. Modul 3F devine instabil la 13854 rot/min, valoare mult mai mare decât turaţia la limita de stabilitate a lagărelor cilindrice cu cuzinet complet.

Fig. 3.85

Aceeaşi informaţie se obţine din diagrama de stabilitate din fig. 3.86.

Fig. 3.86


Diagrama locului rădăcinilor este prezentată în fig. 3.87 pentru şase moduri şi turaţii până la 16000 rot/min. Modurile 1F şi 2F sunt puternic amortizate. Curba modului 3F intersectează linia cu valoare zero a raportului de amortizare în punctul care marchează frecvenţa proprie amortizată la limita de stabilitate.

Fig. 3.87

În fig. 3.88 se dau curbele de răspuns la dezechilibru, calculate în dreptul lagărului din stânga şi al discului, pentru un dezechilibru de mmg20 al discului.

a b

Fig. 3.88

Exemplul 3.10 a

Se consideră rotorul din fig. 3.43 rezemat în două lagăre circulare cu cuzinet complet, identice. Discul rigid are masa kg07,9 , momentul de inerţie

masic polar 2mkg0468,0 şi momentul de inerţie masic diametral 2mkg0305,0 .


Arborele cu masa neglijabilă are diametrul mm22 , modulul de elasticitate 211 mN10145,2 ⋅ , lungimea totală m508,0 şi este modelat cu patru elemente

finite de grindă de lungime egală [3.17].

Lagărele au diametrul mm 4,25 , lungimea mm 4,25 , jocul radial

μm 2,203 şi vâscozitatea uleiului 2mNs 0241,0 . Sarcinile statice în lagăre sunt N49,4421 ==WW . În fig. 3.89 se prezintă variaţia cu turaţia a coeficienţilor de

rigiditate şi de amortizare, calculaţi cu metoda lui Moes şi Childs [3.15].

Fig. 3.89

Diagrama Campbell pentru primele patru moduri este arătată în fig. 3.90. Turaţiile critice amortizate au valorile 384, 1141, 1739 şi 2790 rot/min.

Fig. 3.90


Diagrama rapoartelor de amortizare modale este prezentată în fig. 3.91. Modul ∗F3 devine instabil la turaţia 4061 rot/min.

Fig. 3.91


Fig. 3.92


Diagrama locului rădăcinilor este redată în fig. 3.93 pentru turaţii până la 6000 rot/min. Curba modului ∗F3 intersectează linia cu valoare zero a raportului de amortizare în punctul care marchează limita de stabilitate.

Fig. 3.93

În fig. 3.94 se prezintă formele primelor şase moduri la 3000 rot/min.

a b c

d e f

Fig. 3.94


Modul 3 ( ∗F3 ) este un mod convex-cilindric, iar modul 2 (2F) este un mod concav-cilindric.

a b

Fig. 3.95

a b

Fig. 3.96

a b

Fig. 3.97


Curbele răspunsului la dezechilibru au fost calculate în punctele 1 şi 3, pentru o excentricitate de m10084,1 4−⋅ a masei discului. În figurile 3.95 se arată diagramele semiaxelor orbitelor eliptice, în fig. 3.96 – diagramele componentelor verticală şi orizontală ale răspunsului, iar în fig. 3.97 – digramele razelor cercurilor generatoare cu mişcare directă şi inversă. În jurul turaţiei de 3000 rot/min, orbitele fusului în lagăre sunt circulare în timp ce orbita centrului discului este eliptică.

Exemplul 3.10 b

Se consideră rotorul din Exemplul 3.10 a, cu mici modificări. Arborele cu masa neglijabilă are diametrul mm2,22 şi modulul de elasticitate

211 mN10038,2 ⋅ . Lagărele cilindrice cu cuzinet complet au diametrul

mm 4,25=D , lungimea mm 4,25=L , jocul radial m 108796,1 4−⋅=C şi vâscozitatea dinamică a uleiului 25 mNs 10960 −⋅=μ , ca în [3.18].

Diagramele coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare ai lagărelor, calculate cu teoria lui Moes, sunt prezentate în fig. 3.98.

Fig. 3.98

Diagrama Campbell pentru primele patru moduri de precesie este redată în fig. 3.99. Turaţiile critice amortizate sunt 805, 876, 1778 şi 2817 rot/min. Modul 1F devine amortizat supracritic peste 1000 rot/min.


Fig. 3.99

Diagrama rapoartelor de amortizare modale este prezentată în fig. 3.100 pentru trei moduri. Modul ∗F3 devine instabil la 5180 rot/min.

Fig. 3.100



Fig. 3.101

Diagrama locului rădăcinilor este redată în fig. 3.102 pentru turaţii până la 6000 rot/min. Curba modului ∗F3 intersectează linia cu raport de amortizare zero în punctul care marchează frecvenţa proprie amortizată la limita de stabilitate.

Fig. 3.102

Formele primelor trei moduri la 2500 rot/min sunt date în fig. 3.103.


a b c

Fig. 3.103

Curbele răspunsului la dezechilibru au fost calculate în punctele 1 şi 3, pentru o excentricitate de m10084,1 4−⋅ a masei discului. În figurile 3.104 se arată diagramele semiaxelor orbitelor eliptice, în fig. 3.105 – diagramele componentelor verticală şi orizontală ale răspunsului, iar în fig. 3.106 – diagramele razelor cercurilor generatoare cu mişcare directă şi inversă.

a b

Fig. 3.104

a b

Fig. 3.105


În jurul turaţiei de 3000 rot/min, orbitele fusului în lagăre sunt circulare în timp ce orbita centrului discului este eliptică

a b

Fig. 3.106

Între aproximativ 2200 şi 2800 rot/min, răspunsul staţionar la dezechilibru se face într-o deformată mixtă (fig. 3.107, a), cu precesie inversă în dreptul discului şi precesie directă în lagăre. La 5200 rot/min precesia staţionară este directă în toate secţiunile (fig. 3.107, b).

a b

Fig. 3.107

Exemplul 3.11

La standul rotoric din fig. 3.108 arborele este rezemat în stânga într-o bucşă din Oilite (bronz sinterizat, impregnat cu ulei) fixată într-un O-ring din cauciuc, iar în dreapta – într-un lagăr cilindric cu cuzinet complet din Lucite lubrificat cu ulei. Discul are masa kg81,0 , momentul de inerţie masic polar

24 mkg107835,5 −⋅ , momentul de inerţie masic diametral 24 mkg103572,3 −⋅ şi este montat la distanţa mm4,22=l de capătul din dreapta. Arborele cu diametrul


mm525,9 , densitatea 3mkg7860 , modulul de elasticitate 211 mN1006,2 ⋅ şi lungimea totală m59,0 este modelat cu şase elemente finite de grindă [3.19].

Fig. 3.108 [19]

Coeficienţii lagărului din stânga (fig. 3.109, a) au valorile mN1076,4 5⋅=yyk , mN1054,4 5⋅=zzk , msN87,26=yyc şi msN1,23=zzc .

a b

Fig. 3.109

Lagărul hidrodinamic are caracteristicile mm 91,24=D , mm 13=L , μm 120=C , 2mNs 02784,0=μ . Sarcinile statice în lagăre sunt N38,21 =W şi N8,82 =W . Dependenţa de turaţie a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare,

calculaţi cu metoda lui Moes, este ilustrată în fig. 3.109, b.

În fig. 3.110 se prezintă diagrama Campbell pentru primele trei moduri de precesie. Turaţiile critice amortizate au valorile 2648 şi 2867 rot/min.


Fig. 3.110

Diagrama rapoartelor de amortizare modale este redată în fig. 3.111. Modul 3F devine instabil la 5070 rot/min.

Fig. 3.111



Fig. 3.112

Diagrama locului rădăcinilor din fig. 3.113 este trasată pentru turaţii până la 8000 rot/min. La intersecţia curbei modului 3F cu axa ordonatelor (linia cu valoare zero a raportului de amortizare) se determină limita de stabilitate.

Fig. 3.113

Formele primelor patru moduri la 4000 rot/min sunt arătate în fig. 3.114.


a b

c d

Fig. 3.114

Modul 3 este un mod mixt, predominant invers.

a b

Fig. 3.115

Diagramele răspunsului la dezechilibru, pentru o excentricitate de m0305,0 a masei discului, sunt calculate în dreptul discului, în secţiunea 5 (fig.

3.115, a) şi în dreptul lagărului cu ulei, în secţiunea 7 (fig. 3.115, b).


Bibliografie

3.1 Gasch, R. und Pfützner, H., Rotordynamik, Springer, Berlin, 1975.

3.2 Wölfel, H. P., Maschinendynamik, Umdruck zur Vorlesung, T. H. Darmstadt, 1989/90.

3.3 Radeş, M., On the effect of bearing damping on the critical speeds of flexible rotors, Buletinul Inst. Politehnic Bucureşti, vol.42, no.3, p.101-112, 1980.

3.4 Kellenberger, W., Elastisches Wuchten, Springer, Berlin, 1987, p.59.

3.5 Radeş, M., Influenţa amortizării lagărelor asupra turaţiilor critice ale rotorilor elastici, St. Cerc. Mec. Apl., vol.30, no.6, p.903-911, 1980.

3.6 Constantinescu, V. N., Nica, Al., Pascovici, M. D., Ceptureanu, Gh. şi Nedelcu, Şt., Lagăre cu alunecare, Editura tehnică, Bucureşti, 1980.

3.7 Krämer, E., Maschinendynamik, Springer, Berlin, 1984.

3.8 Wang, W. and Kirckhope, J., New eigensolutions and modal analysis for gyroscopic/rotor systems. Part 1: Undamped systems, J. Sound Vib., vol.175, no.2, p.159-170, 1994.

3.9 Radeş, M., Mixed precession modes of rotor-bearing systems, Schwingungen in rotierenden Maschinen III, (Irretier, H., Nordmann, R. and Springer, H., eds.), Vieweg, Braunschweig, p.153-164, 1995.

3.10 Jei, Y.-G. and Kim, Y.-J., Modal testing theory of rotor-bearing systems, ASME J. of Vibration and Acoustics, vol.115, p.165-176, April 1993.

3.11 Radeş, M., Dynamics of Machinery, vol.2, Univ. Politehnica Bucureşti, 1995.

3.12 Lee, C.-W., Vibration Analysis of Rotors, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1993.

3.13 Genta, G. and Vatta, F., A lubricated bearing element for FEM rotor dynamics, Proc. Int. Modal Analysis Conf., p.969-975, 1991.

3.14 Ocvirk, F., Short bearing approximation for full journal bearings, NACA TN 20808, 1952.

3.15 Childs, D., Moes, H. and van Leeuwen, H., Journal bearing impedance descriptions for rotordynamic applications, J of Lubrication Technology, p.198-219, 1977.

3.16 Someya, T., (ed.), Journal-Bearing Databook, Springer, Berlin, 1988.

3.17 Bhat, R. B, Subbiah, R. and Sankar, T. S., Dynamic behavior of a simple rotor with dissimilar hydrodynamic bearings by modal analysis, ASME Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, vol.107, p.267-269, April 1985.


3.18 Subbiah, R., Bhat, R. B., Sankar, T. S., and Rao, J. S., Backward whirl in a simple rotor supported on hydrodynamic bearings, NASA CP 2409, Instability in Rotating Machinery, 1985.

3.19 Van de Vorst, E. L. B., Fey, R. H. B., De Kraker, A. and van Campen, D. H., Steady-state behaviour of flexible rotor dynamic systems with oil journal bearings, Proc. WAM of ASME, Symposium on Nonlinear and Stochastic Dynamics, (A.K.Bajaj, N.S. Namachchivaya, R.A.Ibrahim, eds.), AMD-vol.192, DE-vol.78, New York, p.107-114, 1994.

4. ANALIZA DINAMICǍ A ROTOARELOR

Pentru a înţelege răspunsul dinamic al unei maşini, este necesar să se obţină informaţii asupra următoarelor aspecte ale comportării sale: 1) turaţiile critice de încovoiere ale sistemului rotor-lagăre-piedestaluri-fundaţie; 2) orbitele precesiei de răspuns la diferite distribuţii ale dezechilibrului, pe întreg domeniul de turaţii ale maşinii; 3) turaţia la limita de stabilitate, adică turaţia limită a precesiei stabile datorite interacţiunii rotor-lagăre şi/sau rotor-fluid de lucru; şi 4) răspunsul la excitaţii tranzitorii, ca desprinderea unei palete.

În faza de predicţie (proiectare) a analizei dinamice, interesează în primul rând cum se situează turaţiile critice faţă de turaţiile de lucru ale maşinii. Pentru a asigura o funcţionare liniştită şi sigură, majoritatea standardelor impun o separare de minimum 15% între turaţia de lucru şi turaţiile critice.

Dacă turaţiile critice sunt în domeniul nedorit, ele pot fi deplasate în afara acestui domeniu modificând rigiditatea lagărelor şi a suporturilor acestora, distanţa între lagăre, distribuţia masei discurilor sau geometria arborelui.

4.1 Turaţiile critice neamortizate

La sistemele rotorice slab amortizate, turaţiile critice se calculează mai întâi pentru sistemul izotrop neamortizat asociat. Dacă lagărele au rigidităţi diferite, se consideră o singură valoare medie.

4.1.1 Influenţa flexibilităţii reazemelor

Cel mai simplu rotor cu masa distribuită constă dintr-un arbore cu secţiunea transversală constantă, simplu rezemat la capete în lagăre elastice cu rigidităţi egale 2Bk . În fig. 4.1 se arată influenţa flexibilităţii lagărelor asupra primelor patru turaţii critice ale sistemului rotoric neamortizat.


În figura 4.1 s-a reprezentat grafic variaţia raportului între turaţia critică a rotorului în lagăre elastice şi prima turaţie critică în lagăre rigide 1ω ( )∞=Bk în

funcţie de flexibilitatea adimensională ( )[ ] 2121ωδ gB , în care Bδ este

deformaţia statică a lagărelor şi g este acceleraţia gravitaţiei.

Primele două turaţii critice descresc continuu cu creşterea flexibilităţii lagărelor. În acelaşi timp, modurile proprii asociate se transformă treptat, din cele corespunzătoare lagărelor rigide, în modurile “cilindric” şi respectiv “conic” de corp rigid.

Fig. 4.1

A treia şi a patra turaţie critică au întâi o descreştere rapidă cu creşterea flexibilităţii lagărelor, apoi tind asimptotic spre valorile adimensionale constante 2,27 şi 6,25. Aceste două moduri se numesc primul mod “liber-liber” şi al doilea mod “liber-liber” de încovoiere ale sistemului.

4. ANALIZA DINAMICǍ A ROTOARELOR 209

În fig. 4.2, primele patru turaţii critice adimensionale sunt reprezentate

grafic în funcţie rigiditatea adimensională ( )[ ] 2121

−ωδ gB .

Fig. 4.2

4.1.2 Diagrama turaţiilor critice neamortizate

Ca o primă etapă în faza de proiectare, analiza influenţei proprietăţilor dinamice ale suporturilor rotorului asupra performanţelor dinamice ale sistemului rotor-lagăre se face utilizând diagrama turaţiilor critice (“critical speed map”), aşa cum se arată în fig. 4.3.

În această diagramă se reprezintă turaţia rotorului, rot/min, în funcţie de rigiditatea suporturilor, mN . Curbele reprezintă variaţia primelor câteva turaţii critice neamortizate de încovoiere cu rigiditatea medie a lagărelor. La rotoare puternic amortizate, se calculează o rigiditate dinamică echivalentă


( )22 ckkd Ω+= , (4.1)

unde k şi c sunt coeficienţii de rigiditate şi de amortizare medii şi Ω este viteza unghiulară a rotorului.

În general, doar puţine lagăre au rigidităţi independente de turaţie. Pentru determinarea turaţiilor critice, în aceeaşi diagramă se trasează curbele care ilustrează variaţia rigidităţii lagărelor în funcţie de turaţie. La intersecţiile acestora cu curbele turaţiilor critice ale rotorului se determină turaţiile critice ale rotorului real în lagărele reale.

În figura 4.3 se arată un rotor care are un suport “moale” în direcţie orizontală, zzk , şi o rigiditate mai “tare” în direcţie verticală, yyk . Ortotropia lagărelor produce o dublare a turaţiilor critice. La prima turaţie critică, rotorul are un mod de precesie aproape cilindric în direcţie orizontală, şi un mod pereche care se apropie de forma simplu rezemată în direcţie verticală.

Fig. 4.3 [4.1]

Pentru a micşora amplitudinea precesiei rotorului, maşina trebuie proiectată să nu funcţioneze la o turaţie critică. Aceasta se poate realiza în două moduri: 1) modificarea rigidităţii lagărelor; 2) modificarea geometriei rotorului sau a distanţei între lagăre.

Prima metodă este aplicabilă atunci când curbele rigidităţii reazemelor intersectează curbele turaţiilor critice în domeniul de rigidităţi la care acestea din urmă sunt înclinate (fig. 4.4, a). În acest domeniu, orice rezonanţă nedorită poate fi deplasată în sus sau în jos prin modificarea rigidităţii suporturilor. Aceasta se poate


realiza printr-o modificare minoră a geometriei lagărelor, prin micşorarea jocului sau creşterea preîncărcării pentru a mări turaţia critică (10 la 20%).

a b

Fig. 4.4 [4.1]

O rigiditate mare a lagărelor (fig. 4.4, b) nu este de dorit. Curbele rigidităţii reazemelor sunt în domeniul porţiunii orizontale a curbelor turaţiilor critice, unde simple modificări geometrice ale lagărelor au efecte reduse asupra rezonanţelor. Arborele este mult mai flexibil decât suporturile lagărelor.

Fig. 4.5 [4.1]

Rotoarele cu lagăre foarte rigide care funcţionează la turaţii apropiate de cele critice schimbă opţiunile inginerului spre arborele rotorului. Se poate modifica diametrul arborelui (fig. 4.5) sau distanţa între lagăre. Creşterea frecvenţei de


rezonanţă pe porţiunea asimptotică a curbelor rigiditate-turaţie depinde de construcţia rotorului. Încercările de modificare a condiţiilor de rezonanţă în această regiune prin modificarea rigidităţii lagărelor sunt sortite eşecului.

În unele aplicaţii, datorită variaţiei nesemnificative a celei de-a treia turaţii critice cu turaţia, se poate găsi un domeniu al turaţiilor de lucru care să nu traverseze nici una din turaţiile critice. Multe maşini sunt proiectate să funcţioneze între a doua şi a treia turaţie critică unde, în regiunea lagărelor moi, există cel mai extins domeniu între două turaţii critice succesive.

Diagrama turaţiilor critice oferă o descriere utilă a comportării dinamice a unui sistem rotor-lagăre, în special pentru maşini slab amortizate cum sunt cele în lagăre cu rulmenţi sau în lagăre hidrostatice cu gaze. De remarcat că diagrama indică turaţiile critice neamortizate, şi anume doar turaţiile critice posibile.

În cazul lagărelor puternic amortizate, de exemplu lagărele hidrodinamice cu ulei, singură rigiditatea lagărelor nu determină complet comportarea rotoarelor. Amortizarea joacă un rol la fel de important, în special la turaţii mari. Primele două moduri de precesie “de corp rigid” au orbite cu raze relativ mari în lagăre moi, astfel că turaţiile critice pot fi complet amortizate şi rotorul trece prin turaţia critică fără vibraţii observabile.

Diagrama turaţiilor critice este utilă în special la rotoare în lagăre cu cuzineţi oscilanţi. Lagărele cu preîncărcarea verticală pe patină sunt mai anizotrope decât lagărele cu sarcina între patine, aşa cum se arată în fig. 4.6.

Fig. 4.6 [4.1]

Diagrame ale turaţiilor critice se construiesc şi pentru maşini rezemate în mai mult de două lagăre. În figura 4.7 se prezintă o astfel de diagramă pentru un motor electric sincron de 15 MW fără inele colectoare. În domeniul valorilor


posibile ale flexibilităţii lagărelor MNmm21−=α , prima turaţie critică este 24002100 − rot/min iar celelalte turaţii critice sunt deasupra turaţiei maxime de

funcţionare de 5000 rot/min [4.2].

Fig. 4.7 [4.2]

Diagrama turaţiilor critice pentru un rotor de generator electric cu trei lagăre (utilizat pentru echilibrări) este redată în fig. 4.8, în care s-au dat şi formele modale pentru diferite valori ale flexibilităţii lagărelor. Zona haşurată indică domeniul turaţiilor sub o treime din prima turaţie critică în reazeme rigide ( 0=α ).

În figura 4.9 se arată diferenţele între formele modale ale unui turbogenerator, cuplat şi necuplat. În fig. 4.9, a sunt date primele cinci forme modale şi turaţiile critice corespunzătoare ale liniei de arbori a generatorului G cuplat cu turbina T. Primele două forme modale ale generatorului în trei lagăre (aşa cum este echilibrat) sunt date în fig. 4.9, b. Formele modale ale generatorului singur se recunosc în primul şi al cincilea mod propriu ale liniei de arbori, dar apar la turaţii diferite. Cuplajul rigid introduce restrângeri puternice la capătul arborelui, modificând turaţia critică, dar diferenţa între cele două forme modale este mică.


Fig. 4.8 [4.3]

Fig. 4.9 [4.3]


În fig. 4.10 se prezintă diagrama turaţiilor critice pentru o turbină industrială de 50 MW. Formele modale ale liniei de arbori indică predominanţa fiecărei componente – generatorul G, turbina T şi excitatricea E – la turaţia critică respectivă. Comparând turaţia de funcţionare de 3600 rot/min cu liniile turaţiilor critice rezultă că flexibilitatea lagărelor poate avea valori între 5 şi 10 tfμm .

Fig. 4.10 [4.4]


În practică sunt utile următoarele concluzii importante:

Turaţiile critice neamortizate calculate luând în consideraţie elasticitatea suportului lagărelor sunt mai mici decât cele prezise de analiza cu reazeme rigide. Cu cât lagărele sunt mai flexibile decât arborele, cu atât nodurile formelor modale sunt mai depărtate de lagăre. Când nodurile sunt depărtate de lagăre, la turaţiile critice apare o mişcare relativă între fus şi lagăr care produce o forţă dependentă de viteză. Cu cât deplasarea relativă este mai mare, cu atât mai mare este viteza relativă şi, deci, forţa de amortizare în lagăr.

Amortizarea lagărelor (inerentă în lagăre hidrodinamice) produce o creştere a turaţiilor critice. Turaţiile critice amortizate se determină cu ajutorul diagramelor Campbell. Creşterea relativă depinde de poziţia relativă a nodurilor modului de precesie faţă de centrele lagărelor şi de scăderea relativă a turaţiilor critice neamortizate prin considerarea efectului elasticităţii lagărelor faţă de cele calculate cu reazeme rigide. Amortizarea lagărelor nu creşte turaţiile critice dacă turaţiile critice neamortizate sunt apropiate de cele calculate cu reazeme rigide.

Este importantă distincţia între turaţii critice neamortizate, turaţii critice amortizate şi turaţii critice de răspuns maxim. Turaţiile critice neamortizate şi cele amortizate sunt diferite de turaţiile critice la care răspunsul staţionar la dezechilibru este maxim. Turaţiile critice neamortizate se determină din diagrama turaţiilor critice (“critical speed map”). Turaţiile critice amortizate se determină din diagrama Campbell. Turaţiile critice de răspuns maxim se determină din curbele de răspuns la dezechilibru. În general, eroarea de calcul a primei turaţii critice este de

%6± . Pentru turaţiile critice superioare, eroarea poate fi considerabil mai mare de 6 procente.

Utilizarea diagramei turaţiilor critice neamortizate în funcţie de rigiditatea statică a reazemelor pentru predicţia turaţiilor de răspuns maxim poate duce la concluzii greşite şi trebuie evitată. Observaţia este valabilă mai ales la calcularea celei de a doua şi a treia turaţii critice, pentru determinarea apropierii de domeniul turaţiilor de funcţionare continuă, aşa cum se cere, de exemplu, în standardele API.

Conform API Standard 617 [4.5], pentru evitarea vibraţiilor excesive, prima turaţie critică de încovoiere a turbocompresoarelor cu arbore rigid trebuie să fie cu cel puţin 20% mai mare decât turaţia de funcţionare continuă maximă. La turbocompresoarele cu arbore elastic, prima turaţie critică trebuie să fie 15% sub orice turaţie de lucru. A doua turaţie critică de încovoiere trebuie să fie 20% deasupra turaţiei maxime de funcţionare continuă. Aceleaşi condiţii sunt impuse de API Standard 613 [4.6] pentru transmisii cu roţi dinţate.

Pentru turbinele cu abur cu destinaţie specială, API Standard 612 [4.7] impune pentru rotoarele cu arbore rigid o separare de 10% între turaţiile de funcţionare şi cele critice. Prima turaţie critică a unui rotor cu arbore flexibil nu trebuie să depăşească 60% din turaţia maximă de funcţionare continuă şi să nu difere cu mai puţin de 10% de orice turaţie de lucru.


4.1.3 Influenţa masei statorului

O aplicaţie interesantă a diagramei turaţiilor critice este la alegerea lagărelor pentru un stand de echilibrare [4.3]. În figura 4.11 se arată curbele de rezonanţă măsurate pe piedestalul unui lagăr folosind un excitator de vibraţii. S-a reprezentat grafic variaţia deplasării punctului de aplicaţie al forţei sinusoidale, cu amplitudine constantă, în funcţie de frecvenţă, şi variaţia defazajului între forţă şi deplasare. Lăţimea mică a curbei amplitudinii deplasării şi variaţia bruscă a unghiului de fază la rezonanţă indică o amortizare neglijabilă ( )14=Q .

Fig. 4.11 [4.3]

Neglijând amortizarea, flexibilitatea dinamică a lagărului (raportul între amplitudinile deplasării şi forţei) poate fi reprezentată grafic în funcţie de turaţie (fig. 4.12, a). Reprezentând (invers) turaţia în funcţie de flexibilitate, în coordonate semilogaritmice, se obţine curba din fig. 4.12, b. Aceasta are acelaşi format ca diagrama turaţiilor critice a unui rotor în lagăre elastice idealizate. Suprapunând cele două diagrame, se obţin turaţiile critice ale sistemului combinat, ţinând cont de efectul combinat al rigidităţii şi masei lagărelor.

În figura 4.13, a se arată diagrama turaţiilor critice pentru rotorul unui turbogenerator de ( )Hz60MVA130 , peste care s-a suprapus diagrama turaţie-flexibilitate a lagărului, transformată din fig. 4.11 ca în fig. 4.12, b.


a b

Fig. 4.12

Punctele de intersecţie ale celor două diagrame determină turaţiile critice ale sistemului combinat rotor-lagăre. La turaţii între zero şi puţin deasupra valorii de supraturare (4320 rot/min) există patru turaţii critice, la 1000, 2900, 4100 şi 4400 rot/min. Două turaţii critice sunt foarte apropiate de supraturaţia de încercare, ceea ce nu este de dorit, şi face dificilă echilibrarea rotorului.

a b

Fig. 4.13 [4.3]

Lagărele sunt prea “moi”. Dacă piedestalul lagărului este elementul cel mai moale în lanţul suportului, acesta trebuie rigidizat.


În figura 4.13, b se arată diagrama turaţiilor critice a aceluiaşi rotor peste care s-a suprapus caracteristica turaţie-flexibilitate unui lagăr mai rigid, cu o frecvenţă proprie de 128 Hz (7690 rot/min). În domeniul turaţiilor de interes, flexibilitatea dinamică a lagărului este aproape constantă ftμm5 . Rezultă doar două turaţii critice, la 1000 şi 2900 rot/min, situate mult sub domeniul turaţiilor de lucru şi supraturaţiei de încercare.

Funcţionarea unui rotor la sau în apropierea unei turaţii critice cu precesie directă poate produce deformaţii mari şi posibile deteriorări, deci trebuie evitată.

4.2 Turaţiile critice amortizate

Amortizarea lagărelor deplasează turaţiile critice spre valori mai mari. Când amortizarea este considerabilă, ca la majoritatea lagărelor autoportante, se calculează turaţiile critice amortizate şi rapoartele de amortizare asociate. Acestea se determină rezolvând problema de valori proprii a sistemului rotor-lagăre liniarizat.

4.2.1 Modele liniarizate de lagăre

Caracteristicile neliniare ale lagărelor cu alunecare pot fi liniarizate în jurul poziţiei de echilibru static (v. Cap. 6). Proprietăţile dinamice ale lagărelor pot fi reprezentate prin patru coeficienţi de rigiditate şi patru coeficienţi de amortizare. Forţele care acţionează asupra fusului unui arbore pot fi scrise sub forma (1.1)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

zy

cccc

zy

kkkk

ff

zzzy

yzyy

zzzy

yzyy

z

y&

&, (4.2)

unde zy f,f sunt amplitudinile componentelor forţei în direcţiile y şi z, iar z,y şi z,y && sunt deplasările şi vitezele fusului în aceleaşi direcţii.

La lagărele hidrodinamice, coeficienţii zzyyzzyy c,..,c,k,...,k variază cu numărul Sommerfeld (v. Cap. 6). La lagărele cu rulmenţi, coeficienţii lagărelor pot fi consideraţi constanţi iar coeficienţii de cuplaj transversal sunt zero.

În următoarele aplicaţii, se utilizează trei tipuri de date pentru lagărele hidrodinamice: a) modelul lui Moes [4.8] şi b) modelul lui Ocvirk [4.9] pentru lagăre circulare cu cuzinet complet, şi c) valori sub formă de tabel ale celor opt coeficienţi dinamici adimensionali date în funcţie de turaţie sau de numărul Sommerfeld, ca în monografia lui Someya [4.10]. Pentru determinarea valorilor coeficienţilor la turaţii neincluse în datele publicate se utilizează interpolarea cu funcţii spline.


4.2.2 Ecuaţiile mişcării amortizate

Sistemele rotor-lagăre se modelează ca un ansamblu de discuri rigide, elemente de arbore cu masă şi rigiditate distribuite, lagăre şi etanşări discrete. După ce se calculează matricile de masă, rigiditate, giroscopică şi amortizare ale elementelor (v. Cap. 5), acestea se asamblează în matricile globale ale sistemului.

Turaţiile critice amortizate şi turaţiile la limita de stabilitate se determină din forma omogenă a ecuaţiilor de mişcare

0][][][ =++ xKxCxM &&& , (4.3)

unde x este vectorul global al coordonatelor nodale şi [ ] [ ] [ ]GCC D Ω+= , unde [ ]G este matricea giroscopică antisimetrică, Ω este viteza unghiulară de rotaţie, şi [ ]DC este matricea de amortizare.

În (4.3), matricea de masă [ ]M este simetrică, iar matricea de rigiditate [ ]K este de obicei nesimetrică datorită termenilor de cuplaj ai lagărelor hidrodinamice şi ai excitaţiei datorită jocului în etanşări. Matricea de amortizare [ ]DC este de obicei simetrică, dar poate fi nesimetrică atunci când se ia în considerare amortizarea internă sau cea structurală din asamblările prin fretare.

4.2.3 Problema de valori proprii la rotoare cu amortizare

Pentru calculul modurilor proprii, ecuaţiile (4.3) se scriu în spaţiul stărilor

0][][ =+ qBqA & , (4.4)

unde matricile [ ]A , [ ]B şi vectorul q sunt definite astfel:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

IM0

0A , [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0IKC

B , ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=xx&

q . (4.5)

Încercând o soluţie a ecuaţiei (4.4) de forma

te λyq = (4.6)

se obţine problema liniară de valori proprii

( ) 0][][ =+ yBAλ . (4.7)


Deoarece [ ]A este o matrice reală pozitiv definită şi [ ]B este o matrice reală oarecare, problema generalizată de valori proprii (4.7) poate fi redusă la forma standard

[ ] [ ]( ) yyBA λ=− −1 , (4.8)

în care

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=−−−

−

0

111

IKMCMBA (4.9)

este o matrice reală nesimetrică.

Datorită matricilor în general nesimetrice [ ]C şi [ ]K , valorile proprii

rλ ale ecuaţiei (4.8) sunt numere reale pentru modurile proprii amortizate supracritic şi numere complexe pentru modurile amortizate subcritic. Deoarece matricea are elemente reale, valorile proprii complexe apar în perechi complex conjugate şi au forma

i i rrrrrr , ωαλωαλ −=+= ( ),....,,r 321= (4.10)

fiind funcţii de viteza unghiulară de rotaţie Ω .

Partea imaginară rω este pulsaţia proprie amortizată (de precesie) iar partea reală rα este o constantă de atenuare (sau de creştere).

Deobicei, amortizarea se exprimă prin raportul de amortizare modal

.r

r

rr

rr ω

α

ωα

αζ −≅+

−=22

(4.11)

La sisteme amortizate subcritic, vectorii proprii complecşi au forma

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=r

rrr u

uy

λ,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

r

rrr u

uy

λ, (4.12)

unde

i i rrrrrr bau,bau −=+= (4.13)

astfel că se poate considera doar jumătatea inferioară.


4.2.4 Diagrama Campbell

Graficele pulsaţiilor proprii amortizate rω în funcţie de turaţie sau de viteza unghiulară de rotaţie Ω se numesc diagramele vitezelor unghiulare de precesie sau diagrame Campbell. Graficele peste care se suprapun liniile excitaţiilor se numesc diagrame de interferenţă.

Se obişnuieşte să se traseze şi graficele rapoartelor de amortizare modale în funcţie de viteza unghiulară de rotaţie sau de turaţie. Acestea se numesc digramele rapoartelor de amortizare modale.

După cum se arată în Secţiunea 3.3.5, precesia rotoarelor este deobicei descrisă de moduri directe (“forward” F) şi moduri indirecte (“backward” B). Anizotropia statorului produce perechi formate dintr-un mod direct şi un mod indirect. Efectele giroscopice distanţează relativ pulsaţiile proprii ale unei perechi de moduri B şi F, flexibilizând modul B (micşorând pulsaţia proprie) şi rigidizând modul F (crescând pulsaţia proprie).

La rotoarele întâlnite în practică, secvenţa normală de moduri B şi F se poate modifica. Variaţia cu turaţia a coeficienţilor dinamici ai lagărelor hidrodinamice, valorile mari ale coeficienţilor de amortizare şi formarea modurilor combinate, cu precesie mixtă, impun calcularea şi utilizarea formelor modale de precesie pentru numerotarea corespunzătoare a modurilor în diagrama Campbell. În figura 4.14 se prezintă o diagramă Campbell tipică pentru un rotor elastic cu mai multe discuri.

Fig. 4.14

În unele cazuri este preferabilă numerotarea modurilor în ordinea crescătoare a pulsaţiilor proprii şi nu pe baza sensului B sau F al acestora. Indexarea modurilor mixte (M) este deobicei dificilă. Se poate menţiona fie


procentul de mişcare directă (F) şi inversă (B) în secţiunile din lungul rotorului, fie indicele modurilor F şi B care interacţionează pentru a produce un mod M.

O turaţie (viteză unghiulară) critică de ordinul κ este turaţia (viteza unghiulară) la care un multiplu al vitezei unghiulare a rotorului coincide cu una din pulsaţiile proprii de precesie ale acestuia.

Linia unei pulsaţii excitatoare are ecuaţia Ωκω = . Aceasta este o dreaptă cu panta κ şi care trece prin originea diagramei Campbell. Intersecţia acestei drepte cu o curbă de pulsaţie proprie amortizată rω defineşte viteza unghiulară critică amortizată rΩ . Când Ω este egală cu rΩ , pulsaţia excitatoare

rΩκ produce o condiţie de rezonanţă (critică).

O metodă de determinare a turaţiilor critice constă în utilizarea diagramei de variaţie a pulsaţiilor proprii amortizate în funcţie de turaţie şi suprapunerea liniilor excitaţiilor de interes. Abscisele punctelor de intersecţie ale celor două familii de curbe determină turaţiile critice amortizate.

Pentru 1=κ , Ωω = este linia excitaţiei sincrone, datorită de obicei dezechilibrului masic. Pentru 2=κ , Ωω 2= este linia excitaţiei prin dezaxarea arborilor. Pentru 21≅κ , 2Ωω = este linia excitaţiei subarmonice la semifrecvenţă datorită instabilităţii produse de ulei în lagărele hidrodinamice.

4.2.5 Orbitele şi forma modurilor de precesie

Un mod propriu amortizat poate fi obţinut din ecuaţia (4.4) înlocuind o soluţie particulară de forma

)sincos(e2)( tbtatx rrrrt

rr ωωα −= , (4.14)

care descrie o orbită în spirală. Se convine totuşi să se reprezinte orbitele prin elipse incomplete (deschise), considerând 0=rα şi aproximând expresia (4.14) prin

tumtuetx rrrrr ωω sincos)( ℑ−ℜ= . (4.15)

Formele modurilor de precesie spaţiale se reprezintă trasând întâi câte o elipsă în fiecare secţiune, unind apoi punctele de pe toate elipsele corespunzătoare unui anumit moment în timp t. În figura 4.15 se arată un mod de precesie tipic.

În exemplele prezentate în continuare, punctele corespunzătoare la 0=t de pe fiecare elipsă sunt unite prin linie continuă, iar cele care marchează poziţia un sfert de perioadă mai târziu – prin linie întreruptă. Rezultă că pe fiecare orbită sensul precesiei este de la linia continuă la linia întreruptă.


Fig. 4.15

Există elipse cu precesie directă (notate F), elipse cu precesie inversă (notate B) şi elipse degenerate în linii drepte. Modurile mixte sunt descrise în detaliu în Secţiunea 3.3.5.

4.3 Turaţiile critice de răspuns maxim

Turaţiile critice neamortizate şi cele amortizate au fost definite pe baza egalităţii unei frecvenţe excitatoare cu o frecvenţă proprie a rotorului. Ambele sunt turaţii critice “posibile”, atât timp cât nu se specifică nivelul amortizării.

În practică interesează turaţiile la care răspunsul rotorului are valori maxime. Abscisele maximelor din diagrama semiaxei mari a răspunsului la dezechilibru, măsurat într-o anumită secţiune a rotorului, determină aşa-numitele turaţii critice de răspuns maxim (“peak response critical speeds”). După cum s-a arătat în Exemplul 3.1, aceste turaţii critice sunt puţin diferite de turaţiile critice amortizate şi depind de secţiunea în care au fost calculate.

La maşinile cu lagăre autoportante, se poate măsura deplasarea relativă a fusului în lagăr cu ajutorul traductoarelor de proximitate (fără contact). Raza maximă a orbitei de precesie (semiaxa mare pentru elipse) este un indicator al severităţii precesiei rotorului. Vârfurile din diagramele răspunsului staţionar sincron într-o anumită secţiune, trasate pentru o locaţie şi o valoare dată ale dezechilibrului, permit definirea turaţiilor critice de răspuns maxim.

În figura 4.16 se prezintă un exemplu de simulare numerică a răspunsului la dezechilibru masic al rotorului unei turbine industriale [4.12].

La început, se estimează dezechilibrul total, pe baza valorilor admisibile ale dezechilibrului rezidual date în standarde (ISO 1940) [4.11]. Pentru arborele unei turbine, se alege un grad de calitate G2,5. [4.12].


Valoarea =G 2,5 mm/s corespunde unei excentricităţi

[ ]μm 2400023885

30 π10005,2

NNN nnnGe ≈=

⋅==

ω (4.16)

unde Nn este turaţia de lucru , rot/min.

Dezechilibrul total este

[ ]gmm 24000⋅

⋅==

NnmemU , (4.17)

unde m este masa porţiunii de rotor dintre reazeme, kg.

La o turbină cu turaţia 3000 rot/min, dezechilibrul rezidual admisibil este 8mU = [mm g].

Utilizând un model cu elemente finite, se calculează primele moduri ale vibraţiilor transversale, deobicei toate modurile cu frecvenţe sub turaţia de declanşare şi un mod deasupra acesteia. Apoi, pentru fiecare mod se consideră cea mai defavorabilă distribuţie a dezechilibrului, ca în figurile 4.16, da − , împărţind dezechilibrul total în dezechilibre parţiale judicios amplasate pentru a produce excitaţia maximă în modul respectiv. În plus se consideră şi vibraţiile produse în primul mod de vibraţie de semicuplele în consolă.

Fig. 4.16 [4.12]

Curbele răspunsului la dezechilibru calculate în dreptul lagărului din stânga sunt prezentate în fig. 4.16, e. Pentru fiecare distribuţie a dezechilibrului s-a trasat o curbă de variaţie a semiaxei mari a orbitei de precesie A în funcţie de turaţie.


Poziţiile vârfurilor din curbele de răspuns la dezechilibru indică turaţiile critice de răspuns maxim. În figura 4.16, e, 11,n şi 21,n sunt turaţiile critice pentru prima distribuţie a dezechilibrului, 12,n şi 22,n sunt turaţiile critice pentru a doua distribuţie a dezechilibrului. Amplitudinile răspunsului la dezechilibru trebuie comparate cu valorile admisibile prescrise de recomandări şi standarde pentru turaţia de funcţionare Nn .

În standardul ISO 7919-2 [4.13] se recomandă ca limită a comportării “bune” la vibraţii o valoare maximă a razei orbitei fusului în lagăr

[ ] μm 2400

Nmax n

sA= . (4.18)

Luând un coeficient de siguranţă de 1,7 se stabileşte valoarea limită

[ ]μm 140071 N

maxlim n.

sA A == . (4.19)

La o turbină cu turaţia 3000 rot/min, μm26=limA . Condiţia limAA ≤ trebuie îndeplinită la toate turaţiile până la Nn . În fig. 4.16, e, vârful de la 22,n care depăşeşte limA este în afara domeniului turaţiilor de funcţionare.

a b Fig. 4.17 [4.12]

Importanţa calculării răspunsului la dezechilibru este ilustrată în continuare printr-un exemplu referitor la rotorul unei turbine utilizate pentru acţionare mecanică la turaţii de lucru variabile [4.12].


Diagrama turaţiilor critice pentru primele două moduri de precesie este redată în fig. 4.17, a. Valoarea medie a flexibilităţilor filmului de ulei pentru cele două lagăre în primul mod este vα =1,3 mm/MN pe direcţie verticală şi hα =3,7 mm/MN pe direcţie orizontală. Conform fig. 4.17, a, în domeniul de turaţii de la 2600 la 5800 rot/min există două turaţii critice neamortizate, prima la 3250 rot/min cu un răspuns predominant orizontal şi a doua la 5000 rot/min cu un răspuns predominant vertical. Rezultă că turbina trebuie să funcţioneze la ambele turaţii critice, ceea ce este inadmisibil conform prescripţiilor de proiectare convenţionale privind turaţiile critice.

Raportul asupra măsurărilor efectuate la darea în exploatare stabileşte: "Comportarea în funcţionare a turbinei este foarte bună indiferent de sarcină şi turaţie. Amplitudinile deplasării arborelui sunt μm 108 − , amplitudinile vibraţiilor carcasei lagărelor sunt μm 31− , atât pe orizontală cât şi pe verticală. Turaţiile critice nu pot fi determinate” [4.12].

Calculul răspunsului la dezechilibru a confirmat comportarea observată în timpul funcţionării. Amplitudinile deplasărilor fusurilor în ambele lagăre nu au maxime de rezonanţă în vecinătatea turaţiilor critice (linii continue în fig. 4.17, b). Cu toate acestea, în domeniul turaţiilor de lucru există două turaţii critice care pot totuşi fi determinate dacă răspunsul la dezechilibru este calculat cu amortizarea filmului de ulei redusă la 10% (liniile întrerupte). Aşa cum se arată în fig. 4.17, b, în acest caz apar două maxime în răspunsul la dezechilibru, primul la 3250 rot/min şi al doilea la aproximativ 5000 rot/min.

Comportarea în funcţionare a turbinei a fost liniştită, deoarece rotorul era scurt şi rigid, şi rezemat în lagăre cu un film de ulei moale. Cu cât filmul de ulei este mai puţin rigid decât arborele, cu atât mai mare este deplasarea relativă a fusului faţă de lagăr, deci amortizarea filmului de ulei acţionează mai eficient.

4.4 Analiza stabilităţii precesiei

Stabilitatea unui sistem liniar rotor-lagăre depinde de exponentul de amortizare rα (4.10). Un exponent de amortizare pozitiv indică instabilitate. Soluţia (4.14) arată că 0>rα este un factor de creştere, mişcarea de revoluţie se face pe o spirală cu rază crescătoare, în timp ce 0<rα este un factor de atenuare, rotorul deplasându-se pe o spirală cu rază descrescătoare.

Când partea reală a uneia dintre rădăcini trece de la valori negative la valori pozitive, 0=rα , rotorul atinge limita de stabilitate. Partea imaginară corespunzătoare defineşte pulsaţia precesiei instabilităţii incipiente a rotorului. Turaţia la limita de stabilitate, sn , se numeşte “the onset speed of instability”.


În majoritatea aplicaţiilor, când sistemul devine instabil, rotorul se mişcă în primul mod de precesie directă. Mişcarea asociată cu o instabilitate creşte nelimitat în timp. La turaţii sub sn mişcarea rotorului este stabilă şi sincronă. La turaţii mai mari, există o componentă subsincronă a mişcării rotorului a cărei amplitudine creşte exponenţial în timp şi are loc în acelaşi sens cu mişcarea de rotaţie. Turaţia la limita de stabilitate este totdeauna mai mare decât prima turaţie critică a rotorului.

Majoritatea forţelor destabilizatoare din sistemele rotorice sunt intercuplate pe două direcţii perpendiculare între ele. O deplasare radială a arborelui din poziţia de echilibru produce o forţă tangenţială care, dacă este mai mare decât forţa de amortizare care acţionează în sens contrar, împinge rotorul în mişcarea pe o orbită.

Forţa destabilizatoare este proporţională cu deformaţia arborelui şi creşte pe măsură ce creşte raza orbitei de precesie. Mişcarea autoexcitată are loc în lungul unei spirale cu rază crescătoare până este limitată de efecte neliniare. Rezultatele unei teorii liniare permit predicţia turaţiei la limita de stabilitate dar nu dau o măsură a gradului de instabilitate, adică a “violenţei” mişcării la pragul de instabilitate şi a dezvoltării mişcării instabile cu creşterea turaţiei.

O formă uzuală de instabilitate la rotoarele în lagăre autoportante este precesia datorită uleiului (“oil whirl”). Filmul de ulei convergent (în formă de pană) deplasează fusul în interiorul lagărului cu o viteză unghiulară puţin mai mică decât jumătate din viteza unghiulară de rotaţie, de unde numele de precesie de semifrecvenţă (“half-frequency whirl”).

Un lagăr hidrodinamic poate fi stabilizat prin creşterea pulsaţiei proprii sau prin creşterea excentricităţii relative Ce=ε , în care e este excentricitatea fusului şi C este jocul radial.

Modificarea pulsaţiei proprii a unui lagăr autoportant este mult mai dificilă decât modificarea raportului ε . Excentricitatea relativă poate fi mărită prin micşorarea numărului Sommerfeld (v. Cap. 6) sau prin micşorarea raportului lungime/diametru al lagărului.

Numărul Sommerfeld este definit (6.3) prin expresia

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

CR

WDLNS μ , (4.20)

unde 2DR = este raza lagărului, L este lungimea lagărului, C este jocul radial, μ este vâscozitatea dinamică a uleiului şi πΩ 2=N este frecvenţa de rotaţie a fusului. Micşorarea numărului Sommerfeld se obţine prin:

1) creşterea presiunii medii din lagăr, DLWp = . Aceasta se poate realiza prin: a) şanţuri circumferenţiale care să reducă suprafaţa încărcată a lagărului (buzunare sau treaptă de presiune); b) dezaxarea lagărelor pentru a realiza o


(pre)încărcare mai mare şi c) modificarea ordinii de deschidere a ventilelor de distribuţie, pentru a creşte sarcina prin admisie parţială.

2) creşterea jocului în lagăr;

3) creşterea temperaturii lagărului, care reduce vâscozitatea uleiului.

La lagărele circulare cu cuzinet complet, diferenţa coeficienţilor de rigiditate de cuplaj ( )zyyz kk − scade cu descreşterea numărului Sommerfeld, ceea ce creşte stabilitatea (v. Cap. 6). La numere Sommerfeld mari, coeficientul zyk are valori negative, mărind această diferenţă. Se recomandă utilizarea lagărelor la turaţii cu valori zyk pozitive.

Excentricitatea adimensională poate fi mărită prin preîncărcarea lagărelor. Această observaţie a dus la construcţia lagărelor multilobate, la care arcele circulare sunt deplasate spre centrul lagărului pentru a obţine preîncărcarea. În dreptul sectoarelor circulare se formează pene de ulei care produc presiuni radiale echivalente cu forţe care centrează rotorul, stabilizându-l. Lagărele circulare au fost înlocuite cu lagăre cu doi, trei sau patru lobi, cu stabilitate sporită.

Înlocuirea lagărelor radiale cu cuzinet sau sectoare fixe prin lagăre cu segmenţi oscilanţi elimină instabilitatea de tip “oil whirl”. Aceste lagăre au coeficienţi de rigiditate de cuplaj nuli, fiind teoretic complet stabile.

Cu creşterea turaţiei, frecvenţa precesiei de “oil whirl” creşte până devine egală cu frecvenţa proprie de încovoiere a sistemului rotor-lagăre, când “se calează pe frecvenţă”, devenind o instabilitate de tip “oil whip” denumită şi “resonant whirl”. Frecvenţa caracteristică precesiei datorită uleiului este fie puţin mai mică fie puţin mai mare decât jumătate din frecvenţa de rotaţie (Secţiunea 7.3).

Fig. 4.18

Creşterea valorii turaţiei la limita de stabilitate a rotorului din fig. 4.18 prin schimbarea tipului de lagăr este ilustrată în fig. 4.19 [4.14].

Arborele cu diametrul mm80 are tronsoane de lungimi m3,031 == ll ,

m2,042 == ll , modulul de elasticitate 211 mN102 ⋅ şi densitatea 3mkg8000 .


Cele trei discuri identice au masa kg 15=m şi momentele de inerţie masice

,mkg 05,0 2=TJ 2mkg 1,0=PJ .

Lagărele au raportul lungime/diametru 5,0=DL , jocul radial

μm300=pC şi vâscozitatea dinamică a uleiului 23 msN105 −⋅ . La unele tipuri, coeficientul de preîncărcare este 431 =−= pbp CCm , unde bC este jocul lagărului asamblat şi pC este jocul lagărului prelucrat. Variaţia cu turaţia a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare a fost calculată conform [4.10].

Fig. 4.19 [4.14]

În fig. 4.19 s-au suprapus curbele de stabilitate pentru rotorul cu trei discuri rezemat în şase tipuri diferite de lagăre. Turaţia la limita de stabilitate este 9155 rot/min pentru lagăre cilindrice fără fante axiale, 9220 rot/min pentru lagăre cilindrice cu două fante axiale, 11.760 rot/min pentru lagăre cu doi lobi, 12.244 rot/min pentru lagăre cu 4 lobi, 12.389 rot/min pentru lagăre cu 3 lobi şi 14.332 rot/min pentru lagăre cilindrice cu trepte de presiune.


4.5 Exemple de simulare numerică

În continuare se prezintă câteva exemple de analiză dinamică a unor rotoare utilizate ca exemple de diferiţi autori [4.15-4.24]. Rezultatele numerice sunt afectate de eroarea de discretizare spaţială (numărul elementelor finite în model) şi rezoluţia turaţiilor (numărul turaţiilor de calcul într-un interval dat).

4.5.1 Rotoare în lagăre cu coeficienţi constanţi

Exemplul 4.1

Se consideră un rotor (fig. 4.20) cu trei discuri, rezemat elastic la capete [4.15]. Arborele de lungime m3,1 şi diametru m1,0 are modulul de elasticitate

211 mN102 ⋅ şi densitatea 3mkg7800 . Modelul cu elemente finite are 13 elemente de grindă cu lungimea m1,0 fiecare.

Fig. 4.20

Cele trei discuri rigide montate în secţiunile 3, 6 şi 11, au următoarele mase şi momente de inerţie masice: kg, 58,141 =m ,mkg 0646,0 2

1=TJ

2mkg 123,01=PJ , kg, 94,452 =m ,mkg 498,0 2

2=TJ 2mkg 976,0

2=PJ ,

kg, 13,553 =m ,mkg 602,0 23=TJ 2mkg 171,1

3=PJ .

Cele două lagăre ortotrope identice sunt amplasate la capete, în secţiunile 1 şi 14. Coeficienţii de rigiditate au valorile constante mN107 7⋅=yyk ,

mN105 7⋅=zzk , 0== zyyz kk , iar coeficienţii de amortizare au valorile constante

msN107 2⋅=yyc , msN105 2⋅=zzc , 0== zyyz cc .


Fig. 4.21

În fig. 4.22 se prezintă diagrama Campbell pentru primele 10 moduri proprii. Diagrama rapoartelor de amortizare modale este redată în fig. 4.22.

Fig. 4.22

Modurile de precesie apar în perechi, modul indirect (B) are frecvenţă proprie mai mică iar modul direct (F) are frecvenţă proprie mai mare. La modurile superioare, efectul giroscopic îndepărtează relativ cele două curbe dintr-o pereche.


Linia 5B intersectează linia 4F astfel că la turaţii peste 20000 rot/min ordinea modurilor este modificată. Modurile sunt indexate pe baza ordinului la turaţii joase. Linia excitaţiei sincrone (linie punctată) intersectează curbele frecvenţelor proprii în punctele ale căror abscise determină turaţiile critice amortizate 3.620, 798.3 , 10.017, 11.278, 16.769, 24.397 şi 26.604 rot/min.

a b c

d e f

g h i

j k l

Fig. 4.23

În fig. 4.23 se prezintă formele primelor 12 moduri proprii de precesie la 25000 rot/min. Datorită anizotropiei lagărelor, orbitele de precesie sunt elipse.


Forma modală la momentul 0=t este trasată cu linie continuă, iar la momentul Ωπ 2=t - cu linie întreruptă. Mişcarea în lungul orbitei se face din punctul de pe

linia continuă, la 0=t , spre punctul de pe linia întreruptă, un sfert de perioadă mai târziu. Modurile 1B şi 1F sunt aproape “cilindrice”. Modurile 2B şi 2F sunt aproape “conice”. Modurile 3B şi 3F sunt moduri de “încovoiere cu două noduri”, modurile 4B şi 4F sunt moduri de “încovoiere cu trei noduri”.

Fig. 4.24

Curbele răspunsului la dezechilibru, calculate în secţiunea 6, sunt redate în fig. 4.24 pentru semiaxa mare (linie continuă) şi semiaxa mică (linie întreruptă). S-a considerat un dezechilibru masic de mmg200 al discului din secţiunea 6.

Exemplul 4.2

Se consideră rotorul din Exemplul 4.1, cu valori modificate ale coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare [4.16]:

mN107 7⋅=′yyk , mN105 7⋅=′zzk , mN104 7⋅−=′=′ zyyz kk ,

msN107 3⋅=′yyc , msN104 3⋅=′zzc , 0=′=′ zyyz cc ,

mN106 7⋅=′′yyk , mN104 7⋅=′′zzk , mN105,4 7⋅−=′′=′′ zyyz kk ,

msN106 3⋅=′′yyc , msN105 3⋅=′′zzc , 0=′′=′′ zyyz cc .

Diagrama Campbell pentru primele opt moduri este prezentată în fig. 4.25. Rigidităţile de cuplaj măresc intervalul între frecvenţele proprii ale modurilor din aceeaşi pereche. Când curba unui mod direct, dintr-o pereche de moduri cu frecvenţe proprii mai joase, se apropie de curba unui mod indirect, dintr-o pereche


de moduri cu frecvenţe proprii mai mari, ca în cazul modurilor 4 şi 5, în diagrama Campbell apare fenomenul de “curve veering” (la aprox. 28.000 rot/min) iar în digrama factorului de amortizare apare o intersecţie a curbelor corespunzătoare. Separarea relativă a două curbe dintr-o pereche de moduri produce moduri mixte. Deoarece în acest caz toate modurile sunt mixte, ele sunt eşalonate în ordinea crescătoare a frecvenţelor proprii la turaţii mici.

Fig. 4.25

Fig. 4.26

În fig. 4.26 se prezintă diagrama rapoartelor de amortizare modale. Modurile predominat inverse (cum sunt modurile 1 şi 3) sunt mai puternic amortizate decât perechile lor (predominat) directe (cum sunt modurile 2 şi 4).


a b c

d e f

g h i

j k l

Fig. 4.27

În fig. 4.27 se prezintă formele primelor 12 moduri proprii la 25000 rot/min. Caracterul mixt al modurilor poate fi stabilit urmărind sensul mişcării în lungul orbitelor, dinspre punctul de pe linia continuă, la 0=t , spre punctul de pe linia întreruptă, un sfert de perioadă mai târziu. Deoarece axele principale de rigiditate ale lagărelor sunt orientate la 045+ respectiv 045− faţă de axa vericală, orbitele de precesie eliptice au axele înclinate.


Diagrama locului rădăcinilor este prezentată în fig. 4.28. Când două curbe sunt relativ apropiate, două moduri cu frecvenţe proprii foarte apropiate (4 şi 5) şi forme modale diferite se combină şi rezultă un mod combinat care are precesie mixtă (directă şi inversă în diferite secţiuni) datorită cuplajului între moduri.

Fig. 4.28

Diagramele răspunsului la dezechilibru, calculate în secţiunea 6 pentru un dezechilibru masic de mmg200 al discului, sunt date în fig. 4.29 pentru semiaxa mare (linie continuă) şi semiaxa mică (linie întreruptă). Datorită amortizării puternice lipseşte vârful corespunzător modului 5. Scara ordonatelor este logaritmică în fig. 4.29, a şi liniară în fig. 4.29, b. Diagrama cu scară liniară localizează mai bine domeniile turaţiilor cu precesie inversă, în care semiaxa mică are valori negative.

a b

Fig. 4.29


Exemplul 4.3

Un rotor cu arborele în trepte (fig. 4.30) are modulul de elasticitate longitudinal 211 mN10078,2 ⋅ şi densitatea 3mkg7806 . În secţiunea 5 este ataşat un disc rigid cu masa kg401,1 şi momentele de inerţie diametral şi polar

2kgm00136,0 , respectiv 2kgm00203,0 . Arborele este rezemat în secţiunile 11 şi 15 în lagăre izotrope relativ rigide. Coeficienţii de rigiditate şi de amortizare sunt:

mN10378,4 7⋅== zzyy kk , şi msN10752,1 3⋅== zzyy cc . Dimensiunile sunt date în Tabelul 4.1 [4.17].

Fig. 4.30

Tabelul 4.1

Elem. nr.

Lungimea, mm

Diam. exterior,

mm

Diam. interior,

mm

Elem. nr.

Lungimea, mm

Diam. exterior,

mm

Diam. interior,

mm 1 12,7 10,2 0 10 30,5 25,4 0 2 38,1 20,4 0 11 25,4 25,4 0 3 25,4 15,2 0 12 38,1 30,4 0 4 12,7 40,6 0 13 38,1 30,4 0 5 12,7 40,6 0 14 20,3 25,4 0 6 5,1 60,6 0 15 17,8 25,4 0 7 7,6 60,6 30,4 16 10,2 76,2 0 8 12,7 50,8 35,6 17 30,4 40,6 0 9 7,6 50,8 0 18 12,7 40,6 30,4

În fig. 4.31 se prezintă diagrama Campbell pentru primele şase moduri de precesie. În punctele de intersecţie cu linia excitaţiei sincrone sunt date turaţiile critice amortizate.


Fig. 4.31

Diagrama rapoartelor de amortizare modale este redată în figura 4.32.

Fig. 4.32


Formele primelor şase moduri de precesie la turaţia de 50000 rot/min sunt date în fig. 4.33.

a b c

d e f

Fig. 4.33

În figura 4.34 s-a reprezentat variaţia cu turaţia a razei orbitei răspunsului la dezechilibru măsurat în secţiunea 15 (lagărul din dreapta) pentru un dezechilibru masic de mmg200 al discului din secţiunea 5. În domeniul de turaţii luat în calcule, apar doar două turaţii critice de răspuns maxim la frecvenţele modurilor 1F şi 2F.

Fig. 4.34


Exemplul 4.4

Rotorul din fig. 4.35 [4.18] este rezemat în trei lagăre izotrope în secţiunile 3, 6 şi 13. Cele patru discuri rigide, care modelează ventilatorul, compresoarele de joasă şi înaltă presiune şi turbina, sunt amplasate în secţiunile 1, 4, 5, şi 12. Dimensiunile arborelui sunt date în Tabelul 4.2.

Fig. 4.35

Tabelul 4.2

Elem. nr.

Lungimea,

mm

Diam. exterior,

mm

Diam. interior,

mm

Elem.

nr.

Lungimea,

mm

Diam. exterior,

mm

Diam. interior,

mm 1 42,9 59 28,4 7 152,4 59 53,8 2 46,0 59 28,4 8 152,4 59 53,8 3 16,0 59 28,4 9 152,4 59 53,8 4 96,8 59 28,4 10 152,4 59 45,2 5 75,2 59 39,2 11 149,8 59 28,4 6 165,1 59 53,8 12 78,0 59 46,2

Arborele are modulul de elasticitate 211 mN10069,2 ⋅ , densitatea 3mkg8193 şi dimensiunile din Tabelul 4.2.

Tabelul 4.3

Discul nr.

Secţiunea

Masa,

kg

Momentul de inerţie masic polar,

22 mkg10 ⋅

Momentul de inerţie masic diametral,

22 mkg10 ⋅ 1 1 11,38 19,53 9,82 2 4 7,88 16,70 8,35 3 5 7,7 17,61 8,80 4 12 21,7 44,48 22,44


Datele despre discuri sunt prezentate în Tabelul 4.3 iar coeficienţii constanţi de rigiditate şi de amortizare ai lagărelor sunt daţi în Tabelul 4.4.

Tabelul 4.4

Lagărul nr.

Secţiunea

Coeficienţii de rigiditate,

mN10 6 ⋅−

Coeficienţii de amortizare,

msN10 3 ⋅−

1 3 1,751 1 2 6 96,95 1 3 13 13,368 1

În fig. 4.36 se prezintă diagrama Campbell pentru primele 8 moduri proprii de precesie. În punctele de intersecţie ale curbelor diagramei cu linia excitaţiei sincrone se determină turaţiile critice amortizate 2.807, 3.670, 10.631, 10.841 şi 17.278 rot/min. Curba 3F intersectează curbele 4B şi 4F.

Fig. 4.36

Diagrama rapoartelor de amortizare este dată în fig. 4.37 pentru aceleaşi 8 moduri proprii. Curba modului 3F are un maxim iar curba modului 4F are un minim la turaţia la care curbele aceloraşi moduri din diagrama Campbell se intersectează. Cele două moduri nu interacţionează.


Fig. 4.37

În figura 4.38 se prezintă formele primelor şase moduri proprii de precesie la 25.000 rot/min.

a b c

d e f

Fig. 4.38

Diagramele răspunsului la dezechilibru în secţiunile din dreptul lagărelor 3, 6 şi 13, calculate pentru un dezechilibru de mmg200 al discului 1, sunt prezentate în fig. 4.39. Lagărele fiind izotrope, vârfurile apar doar la turaţiile critice ale modurilor cu precesie directă.


a b c

Fig. 4.39

4.5.2 Rotoare în lagăre autoportante

Exemplul 4.5

Un arbore cu secţiunea circulară constantă (fig. 4.40), fără discuri, este rezemat la capete în lagăre cilindrice autoportante [4.19].

Fig. 4.40

Fig. 4.41

Arborele este din oţel cu modulul de elasticitate 211 mN10068,2 ⋅ ,

densitatea 3mkg6,7833 , lungimea m27,1 şi diametrul m1016,0 . Lagărele au


lungimea mm4,25 , diametrul mm6,101 , jocul radial μm51 şi vâscozitatea

dinamică a uleiului 23 msN1094,6 −⋅ . Sarcinile statice în lagăre sunt N6,395 . În fig. 4.41 se dă dependenţa de turaţie a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare.

Fig. 4.42

Fig. 4.43

Diagrama Campbell este prezentată în fig. 4.42 pentru 4 moduri proprii de precesie. Modurile 1B şi 2B sunt amortizate supracritic şi nu apar în diagramă.


Curbele modurilor 1F şi 2F urmăresc îndeaproape linia excitaţiei la semifrecvenţă (linia punctată de jos). Diagrama rapoartelor de amortizare este redată în fig. 4.43 pentru aceleaşi 4 moduri. Curba modului 1F taie axa turaţiilor la 9060 rot/min, turaţia la limita de stabilitate.

Forma primelor şase moduri de precesie la 6000 rot/min este dată în fig. 4.44.

a b

c d

e f

Fig. 4.44


Fig. 4.45

În fig. 4.45 se prezintă diagrama de stabilitate. La 9060 rot/min, modul 1F devine instabil. La această turaţie, curba 1F din fig. 4.42 este foarte apropiată de linia excitaţiei la semifrecvenţă, ceea ce caracterizează instabilitatea de tip “oil whirl” sau “half-frequency whirl”.

Fig. 4.46

Diagrama locului rădăcinilor este redată în fig. 4.46. Curba 1F taie axa verticală la frecvenţa corespunzătoare pragului de stabilitate.


În fig. 4.47 se redau diagramele de variaţie cu turaţia a semiaxelor elipselor răspunsului în dreptul lagărului din stânga, nodul 1, şi la mijlocul arborelui, nodul 5, pentru un dezechilibru de mmg512 în secţiunea 2. Semiaxa mare are valori maxime la turaţii diferite în cele două lagăre. Turaţiile critice de răspuns maxim nu pot fi determinate corect cu ajutorul diagramei Campbell.

a b

Fig. 4.47

Exemplul 4.6

Un rotor masiv fără discuri este rezemat în lagăre autoportante cilindrice. Arborele în trepte (fig. 4.48) are modulul de elasticitate 211 mN1006,2 ⋅ şi

densitatea 3mkg7850 [4.20] şi este modelat cu 12 elemente finite de grindă.

Fig. 4.48

Dimensiunile arborelui sunt date în Tabelul 4.5


Tabelul 4.5

Elementul Diametrul, mm

Lungimea, mm Elementul Diametrul,

mm Lungimea,

mm 1 şi 12 660 260 4 şi 9 657 340 2 şi 11 590 570 5 şi 8 970 1100 3 şi 10 550 280 6 şi 7 1100 990

Lagărele sunt amplasate în secţiunile 3 şi 11. Valorile celor opt coeficienţi dinamici ai lagărelor sunt date în Tabelul 4.6 [4.21] şi în fig. 4.49. De notat că zyyz cc ≠ .

Tabelul 4.6

n yyk yzk zyk zzk yyc yzc zyc zzc

rot/min mN10 9− msN10-6

800 5,17 2,67 0,712 1,4 38,7 7,15 13,7 11,0 1000 4,72 2,55 0,57 1,36 29,7 6,12 11,4 9,44 1300 4,28 2,44 0,422 1,34 22,5 4,97 8,98 7,84 1500 3,90 2,38 0,3 1,33 19,3 4,5 7,75 7,0 1700 3,7 2,32 0,232 1,325 16,76 4,02 6,82 6,52 2100 3,17 2,16 0,0416 1,322 13,25 3,49 5,5 5,86 2600 2,7 2,0 -0,175 1,32 10,34 3,02 4,58 5,49 3000 2,5 1,9 -0,3 1,315 9,0 2,7 4,0 5,25 3400 2,3 1,81 -0,437 1,31 8,08 2,49 3,51 5,08 3500 2,28 1,75 -0,45 1,306 7,8 2,4 3,4 5,0 3600 2,25 1,74 -0,5 1,303 7,65 2,35 3,3 4,9 4000 2,14 1,71 -0,56 1,3 7,0 2,21 2,98 4,81 4200 2,05 1,68 -0,6 1,295 6,7 2,15 2,85 4,65 4500 2,0 1,65 -0,65 1,29 6,4 2,05 2,7 4,5 5000 1,91 1,66 -0,75 1,295 5,9 1,91 2,38 4,37 5500 1,8 1,67 -0,8 1,3 5,45 1,8 2,2 4,2 6000 1,75 1,685 -0,9 1,32 5,1 1,7 2,05 4,0 6600 1,7 1,7 -0,95 1,35 4,63 1,59 1,955 3,84

Rotorul este simetric, deci lagărele fizic identice au şi aceiaşi coeficienţi dinamici. Lagărele au rigidităţi transversale de cuplaj diferite, zyyz kk ≠ , deci produc precesie instabilă de semifrecvenţă.


Fig. 4.49

Diagrama Campbell pentru primele şase moduri proprii de precesie este prezentată în fig. 4.50. Modurile 1B şi 2B sunt amortizate supracritic la turaţii mici.

Fig. 4.50


Diagrama rapoartelor de amortizare este dată în fig. 4.51. Modul 1F devine instabil la 4911 rot/min.

Fig. 4.51

În fig. 4.52 este dată diagrama locului rădăcinilor. Curbele sunt numerotate cu indicele perechii de valori proprii şi litera sensului precesiei.

Fig. 4.52


Deşi rotorul nu are discuri (deci nu apar efecte giroscopice), frecvenţele proprii amortizate variază cu turaţia rotorului, datorită dependenţei de turaţie a coeficienţilor dinamici ai lagărelor.

a b

c d

e f

Fig. 4.53

În fig. 4.50, linia excitaţiei sincrone, Ωω = , este trasată cu linie întreruptă. Abscisele punctelor de intersecţie cu liniile diagramei Campbell localizează turaţiile critice amortizate la 1865, 2823, 3324 şi 4171 rot/min. Modul 1B este puternic amortizat deci nu produce un vârf în răspunsul la dezechilibru.


Formele primelor şase moduri proprii de precesie la 5576 rot/min sunt prezentate în fig. 4.53. Modurile 1B şi 1F sunt “cilindrice”, iar modurile 2B şi 2F sunt “conice”. Ele corespund “precesiei de corp rigid” în lagăre elastice. Modurile 3B şi 3F sunt moduri de “încovoiere cu două noduri”.

Fig. 4.54

În diagrama de stabilitate din fig. 4.54 partea reală a patru valori proprii a fost reprezentată grafic în funcţie de turaţie. Curba 1F intersectează axa turaţiilor la 4911 rot/min – turaţia la limita de stabilitate.

În diagrama Campbell, punctul de pe curba 1F la 4911 rot/min (81,8 Hz) are ordonata (frecvenţa proprie amortizată) la aproximativ 39 Hz, valoare puţin mai mică decât jumătate din frecvenţa de rotaţie 40,9 Hz. Aceasta descrie instabilitatea de tip ‘half-frequency’ sau ‘oil-whirl’, care se transformă în precesie de tip ‘oil-whip’ la frecvenţa proprie a modului 1F şi rămâne cu această frecvenţă chiar când turaţia creşte.

De observat comportarea atipică a acestui rotor la care, la turaţii mici, curbele 1F şi 2F urmăresc linia excitaţiei sincrone şi nu linia excitaţiei la semifrecvenţă.

Exemplul 4.7 a

Un rotor cu arborele în trepte, utilizat pentru experienţe în laborator (fig. 4.55), este rezemat în lagăre hidrodinamice în secţiunile 6 şi 23, având ataşate două discuri în secţiunile 12 şi 17 [4.22].


Fig. 4.55

Arborele este din oţel cu modulul de elasticitate 211 mN102 ⋅ şi

densitatea 3mkg7850 . Lagărele cilindrice au lungimea mm30 , diametrul

mm100 , jocul radial μm125 şi vâscozitatea dinamică a uleiului 23 msN109 −⋅ . Sarcinile statice pe lagăre sunt N45,272 şi respectiv N77,251 .

Tabelul 4.7

Elementul nr.

Lungimea, mm

Diametrul exterior,

mm

Elementul nr.

Lungimea,

mm

Diametrul exterior,

mm 1 6,35 38,1 13 76,2 38,1 2 25,4 77,6 14 76,2 109,7 3 25,4 38,1 15 76,2 38,1 4 25,4 38,1 16 25,4 102,9 5 101,6 100 17 25,4 102,9 6 101,6 100 18 44,45 38,1 7 44,45 38,1 19 44,45 38,1 8 44,45 38,1 20 44,45 38,1 9 44,45 38,1 21 44,45 38,1

10 44,45 38,1 22 101,6 100 11 25,4 116,8 23 101,6 100 12 25,4 116,8

Dimensiunile arborelui sunt date în Tabelul 4.7.


Proprietăţile discurilor sunt date în Tabelul 4.8. Tabelul 4.8

Discul nr.

Secţiunea

Masa,

kg

Momentul de inerţie masic polar,

22 mkg10 ⋅

Momentul de inerţie masic diametral,

22 mkg10 ⋅

1 12 4.,33 2,97 1,51

2 17 4,808 3,118 1,585

Variaţia cu turaţia a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare pentru lagărul din secţiunea 6 este ilustrată în fig. 4.56.

Fig. 4.56

Diagrama Campbell este prezentată în fig. 4.57 pentru primele 6 moduri proprii de precesie. Modurile 1B şi 2B apar doar la turaţii peste 5700 rot/min. La intersecţiile curbelor cu linia excitaţiei sincrone se determină turaţiile critice amortizate 549, 2.400, 2.949 şi 4.446 rot/min.

Primul mod direct este notat ∗F1 deoarece, cu creşterea turaţiei, acesta se transformă dintr-un mod cilindric într-un mod de încovoiere cu două noduri. Al treilea mod direct este notat ∗F3 deoarece se modifică dintr-un mod de încovoiere cu două noduri într-un mod aproape cilindric.

La turaţii joase, curbele ∗F1 şi 2F urmăresc îndeaproape linia excitaţiei sincrone.


Fig. 4.57

Diagrama rapoartelor de amortizare este redată în fig. 4.58 pentru aceleaşi 6 moduri. Curbele 1B şi 2B explică lipsa corespondentelor din fig. 4.57.

Fig. 4.58

În fig. 4.59 se prezintă formele primelor şase moduri de precesie la 7000 rot/min. Modurile ∗F1 şi ∗F3 , ale căror curbe se intersectează în diagrama Campbell, sunt aproape schimbate între ele.


a b

c d

e f

Fig. 4.59

Fig. 4.60


Modul ∗F3 devine instabil la 4876 rot/min, când raportul de amortizare modal este zero. Aceasta rezultă şi din diagrama de stabilitate din fig. 4.60, în care curba ∗F3 taie axa turaţiilor la 4876 rot/min.

a b

c d

Fig. 4.61

Fig. 4.62


Diagramele răspunsului la dezechilibru calculate în dreptul lagărelor (nodurile 6 şi 23) sunt prezentate în fig. 4.61, pentru un dezechilibru de mmg433 al discului din nodul 12. Figurile 4.61, a şi b arată variaţia cu turaţia a semiaxei mari şi semiaxei mici a orbitei eliptice. Valoarea maximă a semiaxei mari defineşte turaţia critică de răspuns maxim şi este comparată cu valorile admisibile publicate în recomandări şi standarde. Figurile 4.61, c şi d ilustrează variaţia cu turaţia a razelor cercurilor cu mişcare directă şi inversă care generează precesia în lungul elipsei.

Diagrama locului rădăcinilor este prezentată în fig. 4.62 pentru turaţii până la 7000 rot/min. Curba ∗F3 intersectează axa ordonatelor în punctul care marchează pragul de instabilitate.

Exemplul 4.7 b

În continuare se reiau calculele pentru rotorul din Exemplul 4.7, a considerând însă un ulei cu o vâscozitate de 10 ori mai mică 24 msN109 −⋅ .

Dependenţa de turaţie a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare ai lagărelor este prezentată în fig. 4.63. Coeficientul de rigiditate yzk are numai valori pozitive, deoarece domeniul de turaţii luat în calcul corespunde unor valori relativ mici ale numărului Sommerfeld. Diferenţa ( )zyyz kk − fiind mai mică decât în exemplul precedent, rotorul este mai stabil în aceste lagăre.

a b

Fig. 4.63

Diagrama Campbell pentru rotorul cu vâscozitatea uleiului de zece ori mai mică este prezentată în fig. 4.64. Turaţiile critice amortizate au valorile 2241, 2961, 3551, 4733, 4947 şi 5143 rot/min. Modurile 1B şi 2B sunt amortizate supracritic la turaţii până la aproximativ 4300 rot/min. Curbele modurilor 1F şi 2F au la turaţii foarte mici pante mai mari decât linia excitaţiei sincrone.


Fig. 4.64

Diagrama rapoartelor de amortizare este dată în fig. 4.65 pentru aceleaşi 6 moduri de precesie. În domeniul de turaţii considerat nu apar valori negative.

Fig. 4.65

Diagramele răspunsului la dezechilibru calculat în dreptul lagărelor (nodurile 6 şi 23) sunt date în fig. 4.66, pentru un dezechilibru masic de mmg433 al discului 1.


a b

c d

Fig. 4.66

Cele trei maxime apar în vecinătatea frecvenţelor proprii ale modurilor 1F, 3B şi 3F. Al doilea vârf este mai îngust datorită amortizării mici a modului 3B.

Exemplul 4.8

În fig. 4.67 se prezintă standul de încercări rotorice al Universităţii din Kassel [4.23]. Modelul cu elemente finite este arătat în fig. 4.68.

Arborele cu diametrul mm40 este modelat cu 19 elemente finite de grindă, cu matrici coerente de masă şi giroscopice. Arborele este din oţel cu modulul de elasticitate 211 mN102 ⋅ şi densitatea 3mkg7850 .

Cele două discuri, amplasate în nodurile 6 şi 19, şi cuplajul amplasat în nodul 1 au, respectiv, masele kg19,35 , kg65,61 şi kg08,2 , momentele de inerţie

masice polare 2mkg6422,0 , 2mkg9389,1 şi 2mkg00208,0 , şi momentele de

inerţie masice diametrale 2mkg3258,0 , 2mkg9789,0 şi 2mkg00192,0 .


Fig. 4.67 [4.23]

Fig. 4.68 [4.23]


Cele două lagăre autoportante, amplasate în nodurile 2 şi 17, sunt cilidrice cu cuzinet complet, cu lungimea mm30 , diametrul mm40 , jocul radial

μm5,17 şi vâscozitatea dinamică a uleiului smkg00345,0 . Sarcinile statice pe lagăre sunt N37,179 şi respectiv N44,925 .

În fig. 4.69 se redă dependenţa de turaţie a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare ai lagărelor, calculaţi pe baza teoriei lui Moes [4.5].

a b

Fig. 4.69

Diagrama Campbell este prezentată în fig. 4.70 pentru primele 6 moduri proprii de precesie. Modurile 1F şi 2F sunt “controlate” de lagăre. Modurile inverse asociate sunt amortizate supracritic. La intersecţia curbelor cu linia excitaţiei sincrone se determină turaţiile critice amortizate 847, 1304, 2210 şi 2687 rot/min.

Fig. 4.70



Fig. 4.71

Modul F3 devine instabil la 3146 rot/min, unde raportul de amortizare este zero. Aceasta de poate vedea şi în diagrama de stabilitate din fig. 4.72, în care curba F3 intersectează axa turaţiilor la 3146 rot/min.

Fig. 4.72


Formele primelor şase moduri la 10000 rot/min sunt date în fig. 4.73.

a b

c d

e f

Fig. 4.73

În fig. 4.74 se dau diagramele răspunsului la dezechilibru în dreptul lagărului din nodul 17, calculate pentru o excentricitate de μm35 la 090 a discului

din nodul 6 şi o excentricitate de μm44 la 090− a discului din nodul 19.


a b

Fig. 4.74

În fig. 4.75, a se prezintă diagrama locului rădăcinilor pentru primele 6 moduri proprii de precesie. Modurile 1F şi 2F sunt puternic amortizate. O porţiune mărită a diagramei este redată în fig. 4.75, b. Modul 3F devine instabil în punctul marcat printr-un cerc.

a b

Fig. 4.75

Exemplul 4.9 a

Se consideră rotorul cu trei discuri din fig. 4.76 rezemat la capete în lagăre hidrodinamice. Arborele are diametrul mm80 , lungimile m3,031 == ll ,

m2,042 == ll , modulul de elasticitate 211 mN102 ⋅ şi densitatea 3mkg8000 . Cele trei discuri identice au fiecare masa kg 15=m şi momentele de inerţie masice

2mkg 05,0=TJ şi 2mkg 1,0=PJ .


Lagărele au raportul lungime/diametru 0,25, jocul radial μm50=C şi

vâscozitatea dinamică a uleiului 23 msN10038,7 −⋅ [4.24]. Sarcinile statice în lagăre sunt N25,403 şi respectiv N68,432 .

Fig. 4.76

În fig. 4.77 se dă variaţia cu turaţia a coeficienţilor de rigiditate şi de amortizare ai lagărelor, calculaţi cu modelul de lagăr scurt al lui Ocvirk [4.6].

a b

Fig. 4.77

Diagrama Campbell pentru primele patru moduri proprii de precesie este prezentată în fig. 4.78. La turaţii foarte mici, curbele 1F şi 2F au panta apropiată de linia de excitaţie sincronă. Curbele 1F şi 3F se unesc la aproximativ 2700 rot/min, apoi se îndepărtează una de alta. Aceasta se datoreşte aproximaţiei de lagăre scurte şi este explicată în Exemplul 4.9 b.

Diagrama rapoartelor de amortizare este redată în fig. 4.79. Curbele 1F şi 3F se intersectează la turaţia la care perechile lor din diagrama Campbell se unesc. Raportul de amortizare al modului 1F devine zero la 7964 rot/min, limita de


stabilitate. Punctul corespunzător din diagrama Campbell este foarte apropiat de punctul cu ordonata 66,6 Hz de pe linia excitaţiei la semifrecvenţă.

Fig. 4.78

Fig. 4.79


Fig. 4.80

Diagrama de stabilitate este redată în fig. 4.80. Turaţia la limita de stabilitate este de 7964 rot/min, precesia instabilă având loc în modul 1F.

Fig. 4.81


Diagrama locului rădăcinilor este prezntată în fig. 4.81 pentru turaţii până la 10000 rot/min. Curba 1F taie axa verticală la limita de stabilitate.

a b c

d e f

Fig. 4.82

În fig. 4.82 se arată şase moduri proprii de precesie la 3000 rot/min. Modurile directe 1F şi 3F sunt “cilindric convex”, respectiv “cilindric concav”. Modul 2F este “conic”. Modul invers 3B este de “încovoiere cu două noduri”. Modurile 4B şi 4F sunt de “încovoiere cu trei noduri”.

a b

Fig. 4.83

Curbele răspunsului la dezechilibru calculat în secţiunile 1 şi 3 pentru un dezechilibru masic de mmg150 al discului din secţiunea 3 sunt date în fig. 4.83.


Exemplul 4.9 b

Se consideră rotorul din Exemplul 4.9 a la care coeficienţii dinamici ai lagărelor se calculează cu modelul lui Moes [4.8].

Fig. 4.84

Diagrama Campbell pentru primele patru moduri proprii este dată în fig. 4.84. Curbele 1F şi ∗F3 sunt separate faţă de diagrama din fig. 4.78.

Fig. 4.85


Diagrama rapoartelor de amortizare este prezentată în fig. 4.85. Curbele 1F şi ∗F3 se intersectează. Curba 1F taie axa turaţiilor la 7826 rot/min.

Fig. 4.86

În fig. 4.86 se arată diagrama de stabilitate. Turaţia la limita de stabilitate este marcată la 7826 rot/min, unde curba 1F intersectează axa turaţiilor.

Fig. 4.87

Diagrama locului rădăcinilor este redată în fig. 4.87 pentru turaţii până la 10000 rot/min.


4.6 Moduri de precesie plane

Rotoarele neamortizate rezemate în lagăre izotrope au moduri de precesie plane, cu orbite circulare. O distribuţie plană a dezechilibrului masic produce forme deformate plane. Rotoarele neamortizate rezemate în lagăre ortotrope au moduri de precesie spaţiale, cu orbite eliptice. Printr-o normare corespunzătoare, acestea sunt plane în planele principale de ortotropie, iar o distribuţie plană a dezechilibrului produce în aceste plane forme deformate plane.

Sistemele giroscopice amortizate au vectori modali complecşi care descriu forme deformate spaţiale cu orbite “eliptice amortizate” (de fapt spirale), rotite unele faţă de altele în lungul rotorului.

S-a demonstrat [4.25] că anumite sisteme giroscopice amortizate au moduri de precesie plane şi orbite eliptice cu aceeaşi înclinare a axelor principale, deci acelaşi defazaj al mişcării faţă de excitaţie în diferite secţiuni în lungul rotorului. Defazajele caracteristice şi formele modale respective variază cu turaţia.

Printr-o transformare adecvată, vectorii modali monofazici complecşi devin vectori reali, soluţii ale unei probleme de valori proprii reale în spaţiul configuraţiilor. În acest fel nu mai este necesară dublarea dimensiunii problemei şi rezolvarea în spaţiul stărilor. Vectorii modurilor de precesie plane formează o bază ortogonală şi pot fi utilizaţi pentru decuplarea ecuaţiilor de mişcare. Se rezolvă astfel problema răspunsului staţionar al unui rotor prin analiză modală, fără a fi necesară soluţionarea printr-o metodă de perturbaţie.

4.6.1 Răspunsul sistemelor giroscopice neamortizate

Ecuaţiile precesiei libere a unui sistem rotor-lagăre, cu: a) rotor axial simetric; b) forţe de intercuplaj conservative; şi c) lagăre ortotrope cu direcţii principale de rigiditate coliniare, pot fi scrise sub forma (3.145). Soluţiile au forma (3.148)

ωtΦx ie =

unde (3.160)

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=z

y

s

c

sc

sc

aa

zy

zzyy

i e

i )i1( =

ii

iγβΦ .

Relaţiile de mai sus arată că, printr-o normare adecvată, elementele vectorilor Φ devin reale în planul xOy şi pur imaginare în planul xOz, deci modurile de precesie sunt plane.


Deformata rotorului în planul xOy are o diferenţă de fază de 090+ sau 090− faţă de deformata în planul xOz, ceea ce corespunde unui sfert de rotaţie a

rotorului. Fazorul zai− este defazat 090 în urma fazorului ya . Orbitele descrise de centrele secţiunilor rotorului sunt elipse care au axa mică şi axa mare coliniare cu axele y-z. Unghiul de înclinare al axei mari este 00 sau 090 . Prin normarea corespunzătoare a vectorilor proprii, punctele de pe elipse la momentul

0=t sunt pe axa y, unde defazajul 0=γ .

4.6.2 Răspunsul sistemelor giroscopice amortizate

Ecuaţiile de mişcare ale unui sistem giroscopic amortizat se pot scrie

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

z

y

z

y

z

y

ff

zy

kk

zy

gg

cc

zy

mm

][]0[]0[][

]0[][][]0[

][]0[]0[][

][]0[]0[][

&

&

&&

&&Ω

(4.21)

unde yf şi zf sunt vectorii excitaţiei în planele xOy şi xOz , iar ][ yc şi ][ zc sunt matrici de amortizare pozitiv definite.

Utilizând notaţia fazorială, se consideră excitaţia datorită dezechilibrului

,

ii2 t

z

y eU

Uff ΩΩ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

(4.22)

în care U este subvectorul complex al dezechilibrelor masice.

Răspunsul sincron la dezechilibru este

tt eX~e

z~y~

zy ΩΩ ii =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

(4.23)

unde X~ este un vector complex.

Se cercetează dacă există o excitaţie de forma (4.22), în care U este un vector real, care să producă un răspuns sincron într-o deformată plană. Acesta este un tip particular de precesie, de forma (3.160), în care la orice turaţie deplasările au acelaşi defazaj γ faţă de planul dezechilibrului:

.e

aa

zy

Xz

y γi

i ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= (4.24)


Vectorul real (4.24) descrie un mod de precesie plan, cu orbite eliptice, ale căror axe sunt coliniare cu axele y-z, şi a căror rază generatoare la momentul

0=t face unghiul γ cu planul dezechilibrelor.

Înlocuind expresiile (4.22)-(4.24), şi folosind transformarea (3.162), ecuaţiile (4.21) devin

[ ] [ ][ ] [ ]

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

UUe

aa

cc

kggk y

z

y

z

y2

2i

z22

22

][]0[]0[][

im ][

m ][ΩΩ

ΩΩ

ΩΩΩΩ γ

(4.25)

sau

( )[ ] ( )[ ]( ) feqBB IR =+ γΩΩ ii , (4.26)

unde q şi f sunt vectori reali.

Separând părţile reale şi imaginare în ecuaţia (4.26) rezultă

[ ] [ ]( ) ,fqBB IR =− γγ sincos (4.27, a)

[ ] [ ]( ) .qBB RI 0sincos =+ γγ (4.27, b)

Dacă 0cos ≠γ , notând

,γλ 1tan−= (4.28)

ecuaţia omogenă (4.27, b) se poate scrie sub forma unei probleme generalizate de valori proprii

[ ] [ ] rIrrR BB ΦλΦ −= . (4.29)

Valorile proprii rλ şi vectorii modali rΦ sunt mărimi reale şi dependente de turaţie. Vectorii rΦ , denumiţi vectori modali de răspuns plan, reprezintă un tip particular de precesie, în care toate punctele au mişcări sincrone pe orbite eliptice, cu acelaşi defazaj rγ faţă de un plan de referinţă al dezechilibrului. Forma spaţială a modurilor variază cu turaţia. Ele sunt produse numai de excitaţia definită de vectorii modali de excitaţie plană rF care se obţin din ecuaţia (4.27, a):

[ ] .BF rIrr Φλ21+= (4.30)

Vectorii de răspuns plan satisfac condiţiile de biortogonalitate

[ ] ,B rIT

s 0=ΦΦ ( )sr ≠ (4.31)

[ ] ,B rRT

s 0=ΦΦ 0=rT

s FΦ .


Ei pot fi normaţi astfel încât

[ ] ,rrIT

r B γΦΦ sin−= (4.32)

[ ] ,B rrRT

r γΦΦ cos= .FrT

r 1=Φ

Transformarea de coordonate

∑=

=n

rrrq

4

1νΦ (4.33)

diagonalizează simultan matricile [ ]RB şi [ ]IB . În acest fel se poate obţine o descompunere spectrală a răspunsului sistemului în funcţie de vectorii de răspuns plan

.feqn

r

Trr

r∑=

=4

1

i ΦΦγ (4.34)

Transformarea (3.162) este apoi utilizată pentru a obţine X din q .

Dacă cos γ = 0, atunci °−= 90rγ şi .r 0=λ Ecuaţiile (4.29) şi (4.30) devin

[ ] ,B rR 0=Φ (4.35, a)

[ ] .FB rrI =Φ (4.35, b)

Ecuaţia (4.35, a) coincide cu ecuaţia (3.166). Rezultă că modul propriu neamortizat rΨ este vectorul de răspuns plan rΦ calculat la rΩΩ = , care corespunde valorii 0=rλ în ecuaţia (4.29).

Valorile proprii rλ are problemei generalizate (4.29) variază cu viteza unghiulară a rotorului. Fiecare valoare proprie se anulează la, şi numai la, viteza unghiulară critică neamortizată corespunzătoare, adică ( ) 0=rr Ωλ . Reprezentând grafic rλ în funcţie de turaţie, fiecare curbă intersectează axa turaţiilor o singură dată, deci turaţiile critice pot fi localizate uşor. Această diagramă poate fi utilizată ca un indicator modal sub numele de “Real Mode Indicator Function” (RMIF).

4.6.3 Moduri de precesie plane

Un mod de precesie plan poate fi definit prin trei mărimi dependente de turaţie: a) un vector de răspunsuri coplanare, ale cărui elemente sunt semiaxele orbitelor eliptice şi pantele axei rotorului; b) un vector de excitaţii coplanare, ale cărui elemente definesc distribuţia dezechilibrului plan care produce răspunsurile


coplanare; şi c) un defazaj caracteristic, acelaşi în toate punctele, între planul răspunsului şi planul dezechilibrului

Un mod de răspuns plan este arătat în fig. 4.88. Axele orbitelor sunt paralele cu axele de coordonate. Defazajul γ se măsoară în sensul vitezei unghiulare Ω , între punctul din planul dezechilibrului şi punctul la momentul

0=t de pe cercul generator mare. Construcţia elipsei prezentată în paragraful următor ajută la înţelegerea sensului fizic al defazajului caracteristic.

Fig. 4.88

Modelul cu elemente finite al rotorului are 4n grade de libertate şi este excitat de forţe de dezechilibru coplanare aplicate în cele n secţiuni ale rotorului. La orice viteză unghiulară de rotaţie Ω , există 2n distribuţii ale dezechilibrului, care fiecare excită răspunsul de precesie coplanar corespunzător, în care toate punctele au acelaşi defazaj fată de planul dezechilibrului. Defazajul între dezechilibru şi raza generatoare este diferit în fiecare mod. Odată cu variaţia turaţiei, variază defazajele caracteristice, vectorii răspunsurilor coplanare şi vectorii forţelor coplanare.

La o turaţie critică neamortizată, unul dintre defazajele caracteristice devine 090− şi răspunsul plan corespunzător coincide cu modul propriu de precesie neamortizat.

4.6.4 Construcţia elipsei prin metoda cercurilor concentrice

În figura 4.89 este ilustrată metoda cercurilor concentrice pentru construcţia unei elipse.


Fie o elipsă cu semiaxele a şi b, unghiul α între semiaxa mare şi axa y. Axele sistemului 11Ozy sunt în lungul axelor elipsei.

Fig. 4.89

Întâi se trasează două cercuri, cu centrul în originea axelor 11Ozy şi raze egale cu semiaxele elipsei. Apoi se intersectează cercurile cu linia MO care trece prin origine şi care se roteşte în sens antiorar cu viteza unghiulară Ω , egală cu viteza unghiulară a rotorului.

Din punctul de intersecţie cu cercul mic, 1P sau 2P , se trasează o linie

perpendiculară pe axa 1Oz . Din punctul de intersecţie cu cercul mare, M, se trasează o linie perpendiculară pe axa 1Oy . Cele două linii perpendiculare între ele se intersectează într-un punct de pe elipsă, 1C sau 2C .

Când punctele M şi 1P sunt situate de aceeaşi parte a originii, punctul 1C se deplasează în lungul elipsei în precesie directă. Când punctele M şi 2P sunt de o parte şi de alta a originii, punctul 2C are o mişcare retrogradă numită precesie inversă.

Faţă de axele principale 11Ozy , elipsa este definită de ecuaţiile parametrice (3.35). Dacă 1DO este raza vectoare a elipsei la momentul 0=t , atunci defazajul 1γ defineşte poziţia liniei generatoare 1NO , la 0=t , pentru


precesia directă. Defazajul 2γ defineşte poziţia liniei generatoare 2NO , la 0=t , pentru precesia inversă.

De notat că pulsaţia mişcării de precesie este egală cu viteza unghiulară a punctelor generatoare M şi 1P sau 2P pe cele două cercuri, şi nu cu viteza unghiulară a razei vectoare a elipsei, care nu este constantă (Secţiunea 5.7.3, vol.2).

Exemplul 4.10

Se consideră rotorul cu trei discuri din Exemplul 4.1 cu coeficienţii de amortizare mNs500== zzyy cc .

Fig. 4.90 [4.25]

Diagrama Campbell a sistemului neamortizat asociat este arătată în fig. 4.90. Turaţiile critice neamortizate se determină la intersecţiile liniei de excitaţie sincronă cu curbele frecvenţelor proprii.

Pentru comparaţie, în fig. 4.91 se prezintă diagrama RMIF (valorile proprii rλ în funcţie de turaţie). Turaţiile critice neamortizate se determină la intersecţiile curbelor cu axa orizontală.


Fig. 4.91 [4.25]

Fig. 4.92 [4.25]

În fig. 4.92 se arată formele modurilor de precesie la primele şase turaţii critice neamortizate. Acestea au fost determinate din vectorii modali monofazici calculaţi la frecvenţa proprie corespunzătoare.


Bibliografie

4.1 Jackson, Ch. and Leader, M. E., Turbomachines: How to avoid operating problems, Hydrocarbon Processing, Nov. 1979.

4.2 Meyer, A., Schweickardt, H., and Strozzi, P., The converter-fed synchronous motor as a variable-speed drive system, Brown Boveri Rev., vol.69, no.415, p.151-156, 1982.

4.3 Kellenberger, W., Weber, H. and Meyer, H., Overspeed testing and balancing of large rotors, Brown Boveri Rev., vol.63, no.6, p.399-411, 1976.

4.4 Hohn, A., The mechanical design of steam turbosets, Brown Boveri Rev., vol.63, no.6, p.379-391, 1976.

4.5 API Standard 617, Centrifugal Compressors for Petroleum, Chemical and Gas Industry Services, 1995.

4.6 API Standard 613, Special-Purpose Gear Units for Refinery Services, 1979.

4.7 API Standard 612, Special Purpose Steam Turbines for Petroleum, Chemical and Gas Industry Services, 1995.

4.8 Childs, D., Moes, H. and van Leeuwen, H., Journal bearing impedance descriptions for rotordynamic applications, J. of Lubrication Technology, p.198-219, 1977.

4.9 Ocvirk, F., Short bearing approximation for full journal bearings, NACA TN 20808, 1952.

4.10 Someya, T., (ed.), Journal-Bearing Databook, Springer, Berlin, 1988.

4.11 ISO 1940, Balance Quality of Rotating Rigid Bodies, 1973.

4.12 Busse, L. and Heiberger, D., Aspects of shaft dynamics for industrial turbines, Brown Boveri Rev., vol.67, no.5, p.292-299, 1980.

4.13 ISO 7919-2, Mechanical Vibration of Non-Reciprocating Machines - Measurements on Rotating Shafts and Evaluation Criteria - Part 2: Large Land-Based Steam Generator Sets, 1996.

4.14 Scarlat, G., Predicţia stabilităţii rotorilor în diferite tipuri de lagăre hidrodinamice cu ajutorul analizei modale, Buletinul Conferinţei Naţionale de Dinamica Maşinilor CDM97, Braşov, 29-31 mai 1997.

4.15 Lalanne, M. and Ferraris, G., Rotordynamics Prediction in Engineering, 2nd ed, Wiley, Chichester, 1998, p.125.

4.16 Radeş, M., Mixed precession modes of rotor-bearing systems, Schwingungen in rotierenden Maschinen III, (Irretier, H., Nordmann, R. and Springer, H., eds.), Vieweg, Braunschweig, p.153-164, 1995.


4.17 Nelson, H. D. and Meacham, W. L., Transient analysis of rotor-bearing systems using component mode synthesis, ASME Paper No.81-GT-110, 1981.

4.18 Chen, W. J., Rajan, M., Rajan, S. D. and Nelson, H. D., The optimal design of squeeze film dampers for flexible rotor systems, ASME J. of Mechanism, Transmission and Automation in Design, vol.110, p.166-174, 1988.

4.19 Lund, J. W., Stability and damped critical speeds of a flexible rotor in fluid-film bearings, ASME J. of Engineering for Industry, Series B, vol.96, no.2, p.509-517, 1974.

4.20 Radeş, M., Analiza modală a rotorilor elastici în lagăre cu alunecare, Bul. Conf. Naţ. Dinamica Maşinilor CDM94, Braşov, 24-25 Nov 1994, p 17-24.

4.21 Bigret, R., Vibrations des machines tournantes et des structures, tome 2, ch.10, Technique et Documentation, Paris, p.40, 1980.

4.22 Friswell, M. I., Garwey, S. D., Penny, J. E. T. and Smart, M. G., Computing critical speeds for rotating machines with speed dependent bearing properties, J. Sound Vib., vol.213, no.1, p.139-158, 1998.

4.23 Kreuzinger-Janik, T. and Irretier, H., On modal testing of flexible rotors for unbalance identification, Proc. 16th Int. Modal Analysis Conf., Santa Barbara, California, p.1533-1539, 1998.

4.24 Lee, C.-W., Vibration Analysis of Rotors, Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1993.

4.25 Radeş, M., Use of monophase modal vectors in rotordynamics, Schwingungen in Rotierenden Maschinen IV, (Irretier, H., Nordmann, R. and Springer, H., eds.), Vieweg, Braunschweig, p.105-112, 1997.

Index Amortizare 62

− coeficient de 47, 54, 128, 136, 219 − critică 120 − externă 47, 62, 109, 117 − histeretică 50 − internă 54, 62, 117 − negativă 61 − optimă 127 − raport de 47, 60, 110, 154 − rotativă 54 − staţionară 67 − vâscoasă 47, 62

Coeficient de − amortizare 27, 28, 47, 128, 136, 219 − cuplaj transversal 59 − flexibilitate 72 − influenţă 72 − rigiditate 27, 28, 136, 219

Compresoare − axiale 9 − centrifuge 10

Constanta de atenuare 48, 221 Criteriul Routh-Hourwitz 63, 118 Cupluri

− de inerţie 71 − giroscopice 71

Defazaj 50, 123 − caracteristic 277

Diagrama − Campbell 87, 152, 222 − de stabilitate 184 − locului rădăcinilor 164, 237 − Nyquist 51 − polară 52 − rapoartelor de amortizare 232 − răspunsului la dezechilibru 50, 225 − turaţiilor critice − − amortizate 222 − − neamortizate 209

Dezechilibru masic 43

Dinamica sistemelor rotor-lagăre 22

Ecuaţia − caracteristică 60, 76, 108, 121, 132 − pulsaţiilor proprii 150 Ecuaţiile de mişcare 41, 72, 102, 147 Efectul − amortizării − − externe 47, 109 − − externe şi interne 62, 117 − − interne 46, 54 − − lagărelor 119, 156 − cuplului giroscopic 97 − elasticităţii lagărelor 102 − greutăţii proprii 65 − îndoirii arborelui 66 − masei − − arborelui 131 − − statorului 217 Elipsa 48, 104 Etanşări 10, 15, 28 − inelare cu fluid 28 − radiale 28 Evoluţia maşinilor rotative 1 Excitaţie − armonică 42, 81, 152 − sincronă 88, 152

Factor de atenuare 48, 221 Flexibilitatea lagărelor 208 Forţă − armonică fixă în spaţiu 84 − tangenţială destabilizatoare 46, 59, 61 Frecvenţă proprie − amortizată 162 − neamortizată 67

Generatoare 18

Inerţia diametrală 153

Lagăre 26 − anizotrope 136 − autoportante 27, 228

DINAMICA MAŞINILOR

284

− cilindrice 182 − cu alunecare 136 − cu sectoare oscilante 11, 212 − elastice 102 − hidrodinamice 27 − izotrope 119 − lamâie 189 − lobate 230 − ortotrope 102 − rigide 39 − scurte 182

Limita de stabilitate 64, 144, 227

Matrice − de amortizare 59, 136, 154, 220 − de flexibiliate 75 − de masă 75, 147, 220 − de rigiditate 59, 75, 136, 220 − giroscopică 75, 147, 220

Model 29, 126 − Jeffcott-Laval 39 − Stodola-Green 39

Moduri proprii de precesie 75, 108 − amortizate subcritic 221 − cilindrice 159 − conice 159 − de corp rigid 183, 208 − directe 68 − forma 79, 90, 92 − inverse 68 − mixte 158, − monofazice 276 − plane 273

Moment cinetic 70

Numărul Sommerfeld 228

Orbite 25, 112, 223 − circulare 44 − degenerate 107, 109, 114 − eliptice 25, 105, 112, 130, 141 − spirale 20, 48

Ortotropia lagărelor 105

Pompe centrifuge 15 Precesia 23, 67

− directă 77, 104 − inversă 78, 104 − liberă amortizată 47 − sincronă 44, 52 − staţionară 49

− unghiulară 68 Pulsaţii proprii 42, 77, 104, 148 − amortizate 48, 120 − neamortizate 47

Raport de amortizare 47, 60, 110, 154, 221 Răspuns la dezechilibru 104, 121, 134, 152 Rigiditatea lagărelor 209 Rotoare 6 − elastice 101 − nesimetrice 145 − − amortizate 154 − − în lagăre elastice 145 − − neamortizate 68 − rigide 26 − simetrice 67, 101 − − amortizate 46, 119 − − în lagăre elastice 101 − − în lagăre hidrodinamice 136 − − în lagăre rigide 40, 67 − − neamortizate 40

Semiaxa − mare 86, 106, 113 − mică 86, 106, 114 Stabilitatea precesiei 60, 142, 227 Suflante 14

Teorema momentului cinetic 70 Turbine − cu abur…..1 − cu gaze 6 − hidraulice 16 − Kaplan 17 Turaţia critică 45 − amortizată 219 − neamortizată 45, 114, 207 − de răspuns maxim 51 Turaţia la limita de stabilitate 61, 144, 227 Turbogeneratoare 18

Ventilatoare 14 Viteza unghiulară 42 − critică 45, 137, 151

m. rades - dinamica masinilor 1

Documents