modelarea masinilor electrice

1

Modelarea masinilor electrice

Titular: Conf. dr. ing. Tiberiu Tudorache

Structura cursului: 28 ore = 14 saptamani x 2 ore

Structura aplicatiilor: 28 ore = 14 saptamani x 2 ore

Mod de evaluare/pondere: Aplicatii 50%, Examen final 50%.

2

Dobandirea cunostintelor teoretice necesare si a abilitatilor practice privind utilizarea metodelor de

modelare/simulare a functionarii masinilor electrice

utilizand modele de camp, respectiv modele de circuit.

Analiza masinilor electrice utilizand modele de camp (metoda elementului finit) permite luarea in calcul a

unor efecte complexe de natura electromagnetica (de

ex. armonici de dantura, forme geometrice complexe

ale miezurilor magnetice, refularea curentului in

conductoare masive, influenta neliniaritatior magnetice,

etc.), dificil de considerat prin modele de circuit.

Simularea functionarii masinilor electrice utilizand modele de circuit permite modelarea regimurilor

dinamice ale masinilor electrice cu un efort de calcul

redus, prezentand interes deosebit de pilda in cazul

analizelor de sistem (ex. actionari electrice).

Obiectivele disciplinei

3

Cuprinsul cursului

1. Notiuni introductive

2. Rezolvarea problemelor de camp electromagnetic

si termic folosind metode numerice

3. Modelarea numerica a masinii de curent continuu

4. Modelarea numerica a transformatorului electric

5. Modelarea numerica a masinii asincrone

6. Modelarea numerica a masinii sincrone

4

1. NOTIUNI INTRODUCTIVE

1.1. Introducere

Masina electrica reprezinta principalul consumator de energie electrica al economiei mondiale. Se estimeaza ca peste 40% din

energia electrica produsa la nivel mondial este consumata de motoare

electrice si sisteme de actionare electrica [1].

Masinile electrice sunt utilizate in aplicatii diverse si pentru o gama foarte variata de puteri.

puteri in gama mW sute de mW: micropompe, aparatura video-audio, aparatura medicala, electronica si calculatoare,

microactionari electrice, microactuatoare, etc.

puteri in gama W (VA) sute de kW (kVA): masini unelte, roboti industriali, compresoare, pompe, tractiune electrica (automobile

electrice, tramvaie, troleibuze, metrouri, lifturi, etc.), macarale,

ventilatoare, actionari electrice diverse, electronica si calculatoare,

jucarii, aparatura medicala, transformatoare de distributie, etc.

puteri in gama MW (MVA) sute de MW (MVA): trenuri electrice, hidrogeneratoare, turbogeneratoare, turbine eoliene,

transformatoare de mare putere in sistemul electroenergetic, etc.

5

1.1.1. Ce este masina electrica ?

Masina electrica este un convertor electromecanic ce transforma energia electrica in energie mecanica (in regim de motor), sau

energia mecanica in energie electrica (in regim de generator).

Masina electrica este utilizata uneori si in regimuri speciale precum regimul de frana (primeste energie electrica si mecanica

pe care le transforma prin franare in caldura) sau de compensator

(motor sincron supraexcitat).

In categoria masinilor electrice este inclus si transformatorul electric desi acesta este un convertor electromagnetic (fara

componente in miscare). Teoria transformatorului se aseamana

insa cu cea a masinii asincrone.

Conversia energiei in masina electrica are loc in prezenta campului magnetic si are la baza principii fundamentale precum:

legea inductiei electromagnetice, legea circuitului magnetic, efecte

ponderomotoare in campuri magnetice, etc.

Campul magnetic in masinile electrice poate fi produs de catre: -Bobine parcurse de c.c. sau c.a. (camp mg. constant sau variabil),

-Magneti permanenti (camp magnetic constant).

6

1.1.2. Clasificarea masinilor electrice

Dupa tipul conversiei:

-Transformatoare electrice (convertoare electromagnetice),

-Masini rotative sau liniare (convertoare electromecanice).

Masinile electrice rotative se clasifica dupa mai multe criterii:

Dup tipul curentului la bornele principale : -Masini de curent continuu,

-Masini de curent alternativ (masini asincrone, sincrone, etc.).

Functie de tipul constructiv:

-Masini in constructie normala cu rotor interior,

-Masini in constructie inversata cu rotor exterior.

Masinile de curent alternativ se pot clasifica functie de nr. de faze:

-Masini monofazate,

-Masini bifazate,

-Masini trifazate,

-Masini polifazate.

7

Functie de orientarea fluxului magnetic:

-Masini cu flux magnetic radial,

-Masini cu flux magnetic axial,

-Masini cu flux magnetic transversal. Etc.

Transformatoarele electrice se pot clasifica la randul lor dupa

anumite criterii

Functie de nr. de faze:

-Transformatoare monofazate,

-Transformatoare trifazate,

-Transformatoare polifazate.

Functie de utilizarea lor:

-Transformatoare de putere,

-Transformatoare speciale (autotransformatoare, transformatoare

de sudura, de masura etc.),

8

1.1.3. Ce inseamna a modela o masina electrica ?

Modelarea unei masini electrice reprezinta descrierea functionarii masinii cu ajutorul unor modele matematice alcatuite

din ecuatii sau sisteme de ecuatii specifice bazate pe legi si

teoreme fundamentale (legea inductiei electromagnetice, legea

circuitului magnetic, efecte ponderomotoare in camp magnetic,

teoremele lui Kirchhoff, ecuatia Fourier a conductiei termice, etc.);

Modelele matematice utilizate in modelarea numerica depind de mai multi factori precum:

natura fenomenelor studiate (fenomene electrice, magnetice, termice, fenomene cuplate etc.),

tipul constructiv-functional al masinii electrice, regimul de functionare studiat (regim permanent, regim tranzitoriu etc.), etc.

Modelarea unei masini electrice are la baza modele matematice care pot fi:

modele de circuit (cu parametri concentrati), modele de camp (parametri distribuiti) sau modele hibride (modele de tip camp-circuit)

9

1.1.4. La ce este utila modelarea masinilor electrice ?

Modelarea masinilor electrice este utila in: analiza functionarii masinii electrice si estimarea cu precizie a performantelor acesteia inca din faza de proiectare (inainte

de a construi si de a testa un prototip),

proiectarea si optimizarea constructiv-functionala a masinii, estimarea parametrilor masinii si a unor proprietati necunoscute prin rezolvare de probleme inverse,

analiza sistemelor de actionare electrica in care este integrata masina electrica,

evaluarea unor marimi locale greu de determinat experimental etc.

Cerintele (uneori contradictorii) la care trebuie sa raspunda un model matematic utilizat in modelare numerica sunt:

implementare simpla pe calculator, precizie de calcul cat mai ridicata, timp de calcul redus, rezultate cat mai consistente si utile privind functionarea masinii (marimi locale, marimi integrale, etc.)

10

Prin modelare numerica, utilizand modele matematice adecvate, se pot anticipa cu precizie performantele unei masinii inca din faza

de conceptie. Masina poate fi astfel proiectata optimal rezultand un

numar mai mic de prototipuri (ideal unul singur) construite si

testate experimental, generandu-se importante reduceri de costuri

(costuri de personal, costuri materiale, etc.) in special in cazul

masinilor scumpe, de puteri mari.

Prin proiectarea optimala a masinilor electrice se pot obtine solutii constructive capabile sa raspunda unor cerinte tot mai

ridicate privind performantele masinilor electrice dictate de

beneficiar precum: randament superior, cupluri ridicate, turatii

foarte mici sau foarte mari, fiabilitate superioara, gabarit redus,

pret competitiv etc.

Modelarea numerica permite totodata dezvoltarea spiritului creativ, inovator, prin scurtarea drumului de la idee la rezultat.

Prin modelare numerica se pot testa raspunsurile masinii la diverse modificari constructive sau de material, se pot obtine

informatii pretioase privind anumite marimi locale (inductie

magnetica, temperatura, etc.) greu de masurat experimental.

11

1.1.5. Evolutia in domeniul modelarii masinilor electrice

In trecut modelarea/analiza/proiectarea masinilor electrice avea la baza ecuatii de functionare specifice rezolvate analitic, valabile

in anumite ipoteze simplificatoare, modelele de calcul fiind usor

de rulat, dar deseori imprecise.

In prezent dezvoltarea tehnicii de calcul a permis aparitia de pachete de programe profesionale de calcul numeric ce pot fi

utilizate in modelarea masinilor electrice.

Astfel modelarea masinilor electrice poate fi abordata pe baza unor modele de circuit cu parametri concentrati (ex. pachete de

programe Matlab/Simulink/SymPowerSystems, PSIM etc.), prin

modele de camp cu parametri distribuiti (Flux, Ansys, Comsol,

FEMM, etc.) sau prin modele cuplate de tip camp-circuit (Flux,

Comsol etc.)

Modelarea masinilor electrice utilizand modele de camp sau modele de tip camp-circuit au la baza in mod uzual Metoda

Elementului Finit (MEF) in abordare 2D (si uneori 3D). MEF

prezinta un nivel ridicat de generalitate si precizie, fiind capabila

sa ia in considerare aspecte complexe precum neliniaritati

magnetice, armonici de dantura, cuplaje camp-circuit-miscare etc.

12

Prin utilizarea modelelor numerice precizia de calcul a sporit foarte mult permitand estimarea precisa a caracteristicilor

masinilor electrice studiate.

In prezent se pot analiza fenomene tot mai complexe ce fac apel la cuplaje multifizica de tipul electromagnetism - deplasare, camp

electromagnetic - camp termic - hidrodinamica; electromagnetism

- deformare etc. evident cu pretul unor eforturi de calcul tot mai

importante, (necesitand uneori calculatoare speciale sau sisteme

de calcul paralel).

Se estimeaza ca in viitorul apropiat nu va exista nici o unealta de modelare numerica disponibila cu grad ridicat de generalitate si

precizie care sa permita un calcul precis in timp foarte scurt pe

calculatoare obisnuite.

13

Materialele utilizate in constructia masinilor electrice se aleg asa incat masinile sa corespunda dpdv functional, tehnic si economic

cerintelor impuse.

Materialele utilizate in constructia masinilor electrice sunt de mai multe tipuri:

-Electroconductoare (cupru, aluminiu, alama, aliaje etc.),

-Magnetice (tole din otel magnetic, otel, ferite etc.),

-Electroizolante (fibre textile, mica, polietilena, hartie etc.),

-Altele (de pilda otelul si fonta pt. consolidare mecanica, etc.).

Criterii ce trebuie respectate in alegerea materialelor: -Sa admita solicitari cat mai mari (electrice, magnetice, termice,

mecanice),

-Sa poate fi prelucrate usor prin metode si procedee tehnologice

uzuale (trefilare, stantare, sudare, etc.),

-Sa fie cat mai ieftine.

1.2. Materiale utilizate in constructia masinilor electrice

14

Dpdv magnetic, materialele se impart in mai multe categorii.

Materialele magnetice utilizate curent in constructia masinilor

electrice (constructia miezurilor magnetice, a magnetilor

permanenti etc.) sunt materialele feromagnetice mr 1,

unde:

- mr reprezinta permeabilitatea magnetica relativa (B = mr. m0

. H),

- B este inductia magnetica,

- H intensitatea campului magnetic.

Circuitele magnetice pot fi:

- Parcurse de flux magnetic constant in timp (ex. miezul magnetic

rotoric la masina sincrona, miezul statoric la masina de curent

continuu),

- Parcurse de flux magnetic variabil in timp (ex. miezul statoric la

masina asincrona sau sincrona).

1.2.1. Materiale feromagnetice pentru circuite magnetice

15

1.2.1.1. Caracteristici ale materialelor feromagnetice

Ciclu de

histerezis

Materiale

magnetic moi Materiale

magnetic

dure

O caracteristica de baza la materialele feromagnetice este dependenta inductiei magnetice B de intensitatea campului

magnetic H. Dependenta B = f(H) se numeste curba de

magnetizare si in cazul miezurilor utilizate in flux magnetic variabil

in timp are forma unui ciclu de histerezis.

Functie de alura ciclului de histerezis materialele feromagnetice se impart in:

- Mat. magnetic moi (miezuri magnetice)

- Mat. magnetic dure (magneti permanenti)

- Bs [ T ] este inductia magn. la saturatie

- Hc [A/m] campul magnetic coercitiv

- Br [ T ] este inductia remanenta

16

- Permeabilitate magnetica relativa cat mai mare,

- Inductie la saturatie cat mai mare,

- Pierderi specifice cat mai reduse (prin histerezis si prin curenti

turbionari) in cazul miezurilor cu flux magnetic variabil in timp,

- Tehnologie de fabricatie cat mai ieftina,

- Rezistenta mecanica adecvata.

1.2.1.3. Materiale utilizate pentru miezuri cu flux constant

- Otel laminat (grosimi intre 0.5 - 50 mm),

- Otel si fonta turnate,

- Otel forjat,

- Tole din tabla silicioasa.

1.2.1.4. Materiale utilizate pentru miezuri cu flux variabil

- Tole din tabla silicioasa (fier-carbon-siliciu) cu cristale orientate

sau neorientate, uzual cu grosime de 0.35 - 0.5 mm, izolate cu

lacuri sau cu oxizi,

- Materiale magnetic moi compozite.

1.2.1.2. Proprietati optime pentru materiale feromagnetice

17

1.2.1.4. De ce folosim materiale feromag. in masini electrice ?

Sa consideram o bobina de lungime infinita. Selectam o portiune de lungime L (delimitata de punctele A si B) ca in figura.

Pentru a produce un camp magnetic de inductie impusa Bi in volumul bobinei, curentul prin bobina se noteaza cu Iaer daca in

interiorul bobinei se afla aer si IFe daca bobina are miez

feromagnetic.

Concluzie: Pentru a obtine o inductie magnetica data intr-o bobina

este nevoie de o solenatie mult mai mica daca bobina este

echipata cu miez de fier.

18

NIFe NIaer HNI

NI

B

H

B=f(H) in miezuri

feromagnetice

B=f(H) in aer

Bi

Solenatia necesara pentru a obtine o inductie

magnetica impusa Bi in aer sau intr-un miez magnetic

19

Materialele utilizate pentru infasurari trebuie in primul rand sa aiba rezistivitate electrica cat mai mica pentru reducerea

pierderilor Joule; Pj = RI2 = (rL/S)I2.

Cele mai utilizate materiale sunt cuprul (Cu) si aluminiul (Al). Se mai folosesc si aliaje precum: alama, bronzul, staniul, hidronaliul,

siluminiul etc.

Pentru conductoare supuse la eforturi mecanice importante se alege o varianta de material cu grad mai ridicat de ecruisare [2].

Proprietatile mecanice ale materialelor depind de gradul de

ecruisare.

Coliviile rotorice la masinile asincrone se construiesc uzual din Al, (recent si din Cu) sau aliaje, prin turnare sub presiune sau prin

sudarea barelor rotorice de inelele frontale.

Conductoarele de bobinaj sunt standardizate/tipizate, avand forma rotunda sau profilata si se folosesc in varianta izolata

(email, fibre textile etc.).

1.2.2. Materiale conductoare pentru infasurari

20

Proprietati importante ale Al si Cu

Cu (20 grade): Rezistivitate electrica: r 1.7.10-8 Wm;

Densitate: g = 8960 kg/m3;

Coeficientul de temperatura: a = 3.9.10-3 K-1;

Conductivitate termica: k = 401 W/(mK);

Efortul unitar admisibil la intindere la rupere: sr = 20 30 kgF/mm2

Al (20 grade): Rezistivitate electrica: r 2.7.10-8 Wm;

Densitate: g = 2700 kg/m3;

Coeficientul de temperatura: a = 3.9.10-3 K-1;

Conductivitate termica: k = 237 W/(mK);

Efortul unitar admisibil la intindere la rupere: sr = 6 11 kgF/mm2

Rezistivitatea electrica variaza cu temperatura:

rq = r20 [ 1 + a (q 20)]

21

Conductoarele masinilor electrice se izoleaza utilizand materiale cu proprietati electroizolante. Acestea pot fi materiale naturale

(lemn, mica, etc.) sau sintetice (emailuri, fibre de sticla, rasini

epoxidice, prespan, sticlotextolit, pertinax, etc.) [2].

In unele cazuri se folosesc izolatii combinate, de pilda fibre de sticla lacuita sau impregnata cu rasina sintetica, micabanda

preimpregnata etc.

Sistemul de izolatie se alege in functie de nivelul de tensiune la care lucreaza masina si in functie de clasa termica pentru care se

proiecteaza aceasta.

Se disting mai multe tipuri de izolatii: izolatie conductor, izolatie de crestatura, izolatie intre straturile unei infasurari etc.

1.2.3. Materiale electroizolante

22

1.3. Metode numerice utilizate in analiza masinilor electrice

Metodele numerice de rezolvare a ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale utilizate frecvent in analiza masinilor electrice

sunt:

-Metoda Elementelor Finite (MEF),

-Metoda Diferentelor Finite (MDF).

Cea mai utilizata metoda numerica pentru rezolvarea problemelor de camp in inginerie este MEF.

Uneori rezolvarea problemelor de camp necesita utilizarea metodelor numerice cuplate. Un exemplu in acest sens este

reprezentat de cuplajul MEF-MDF pentru rezolvarea problemelor

de camp in regim tranzitoriu, derivata temporara fiind aproximata

prin MDF.

Metodele numerice pot fi utilizate atat in rezolvarea problemelor de analiza cat si de sinteza (ex. de proiectarea unei masini la

performante impuse).

23

1.3.1. Probleme de analiza si de sinteza in studiul masinilor

electrice

A. Problema de analiza: determinarea performantelor unei masini

date

B. Problema de sinteza (inversa problemei de analiza):

proiectarea masinii la performante impuse

Proiectarea masinilor electrice la performante impuse este o

problema de sinteza (problema inversa)

Maina electric

Performante

Analiz

Sintez

24

1.3.2. Etape principale in analiza masinilor electrice

utilizand MEF

-Definirea regimului de camp caracteristic studiului efectuat

(regim magnetostatic, magnetic stationar, magnetodinamic,

magnetic tranzitoriu etc.);

-Descrierea geometriei domeniului de calcul 2D/3D;

-Definirea retelei de discretizare tinand cont de aspectele fizice

ale problemei;

-Definirea proprietatilor de material care intervin in problema de

analiza numerica;

-Definirea regiunilor domeniului de calcul si a surselor de camp

(densitati de curent, curent etc.);

-Definirea circuitului electrice asociat daca e cazul;

-Asocierea proprietatilor de material si a componentelor de

circuit (unde e cazul) regiunilor domeniului de calcul;

-Definirea conditiilor la limita (initiale si pe frontiere);

-Asamblarea matricelor si rezolvarea sistemului de ecuatii

algebrice;

-Analiza rezultatelor numerice (calculul marimilor locale si

integrale necesare).

25

1.3.2.1. Avantaje ale MEF

- Permite tratarea domeniilor neomogene si neliniare;

- Conduce la un algoritm relativ usor de implementat in special in

cazul elementelor de ordin inferior;

- Are grad sporit de generalitate, existenta diverselor tipuri de

elemente finite permitand abordarea probleme cu geometrii

complexe;

- Reteaua de discretizare poate fi indesita local;

- Elementele finite nodale conduc deseori la matrici rare cu

structura banda permitand folosirea metodelor de calcul iterative

performante;

- Se poate cupla cu MEFr;

- In cazul problemelor de regim tranzitoriu derivatele in timp pot fi

tratate prin MDF;

- Post-procesarea marimilor de camp este usor de realizat.

1.3.2.2. Dezavantaje ale MEF

- Modelarea problemelor cu frontiere deschise necesita extinderea

domeniului de calcul pentru a obtine o precizie adecvata;

- Dificultati la modelarea mediilor in miscare, in unele cazuri

implicand refacerea retelei de discretizare si distorsionarea

acesteia.

26

1.3.3. Etape principale in analiza numerica utilizand MDF

-Descrierea fizica si geometrica a problemei de studiat (definirea

ecuatiei diferentiale ce descrie fenomenul studiat si stabilirea

domeniului de calcul);

-Definirea retelei de discretizare aferente domeniului de calcul;


(densitati de curent, curent etc.);

-Asocierea proprietatilor de material regiunilor domeniului de

calcul;

-Definirea conditiilor la limita (initiale si pe frontiere);

-Aproximarea operatorilor diferentiali prin diferente finite;

-Asamblarea matricei si rezolvarea sistemului de ecuatii algebrice;

-Analiza rezultatelor numerice (calculul marimilor locale si

integrale necesare).

27

1.3.3.1. Avantaje ale MDF

-Algoritm simplu de implementat pe calculator, in special la

diferente finite de ordinul 1;

-Permite tratarea problemelor neliniare;

-Matricea rezultanta este rara, de tip banda (latimea benzii de

maxim 3, 5 respectiv 7 elemente in cazul problemelor 1D, 2D

respectiv 3D) si pozitiv definita in cele mai multe cazuri.

-Permite o combinatie eficienta cu Metoda Elementului Finit la

rezolvarea de probleme de regim tranzitoriu.

1.3.3.2. Dezavantajele ale MDF

-Sistem rigid de discretizare a domeniului

de calcul, acesta restrangand domeniile de

aplicabilitate ale MDF; o rafinare locala a

retelei de discretizare implica in mod uzual

o rafinare dupa toate axele sistemului de

coordonate;

-Dificultati in descrierea geometriilor

complexe; impunere dificila a conditiilor pe

frontiere;

-Dificultati in tratarea domeniiilor de calcul

neomogene (pe suprafetele de separare).

Frontier descris prin diferene finite

28

1.3.3.3. Abordare prin MDF a unei probleme 1D

Derivata numerica a unei functii f(x) reprezinta viteza de variatie a functiei f in raport cu variabila x:

f(x) = df/dx = tga

Functia f poate varia functie de o coordonata spatiala x sau functie de timp t.

f(x)

x b a

f(a) = tga a

0

f(x)

x b

Maxim

global

0

Maxim local

Minim

local

29

(a) diferente finite regresive

1kk

1kkk

'

xx

)f(x)f(x)(xf

(b) diferente progresive

k1k

k1kk

'

xx

)f(x)f(x)(xf

(c) diferente centrate

1k1k

1k1kk

'

xx

)f(x)f(x)(xf

f(x)

x xk

f(xk-1)

0

f(xk)

f(xk+1)

xk+1 xk-1

x b xk

f(xk-1)

0

f(xk)

f(xk+1)

xk+1 xk-1

f(x)

x b xk

f(xk-1)

0

f(xk)

f(xk+1)

xk+1 xk-1

f(x)

Aproximarea derivatelor prin diferene finite

30

2. REZOLVAREA PRIN MEF A PROBLEMELOR

DE CAMP ELECTROMAGNETIC SI TERMIC

2.1. Introducere

-Cunoasterea campurilor electromagnetic si termic in masinile

electrice permite dimensionarea corecta a acestora si calculul

performantelor globale in regimuri de functionare permanente sau

tranzitorii.

-Rezolvarea problemelor de camp electromagnetic si termic au la

baza ecuatii diferentiale cu derivate partiale specifice regimurilor

de camp studiate (regim magnetostatic, magnetodinamic,

magnetic tranzitoriu, termic stationar, termic tranzitoriu etc.).

-Metoda cea mai flexibila si generala care permite rezolvarea

ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale in domenii de calcul

neomogene, cu luarea in calcul a neliniaritatilor, este Metoda

Elementelor Finite (MEF).

31

Sa consideram o problema de camp definita pe un domeniu de calcul W, descrisa de ecuatia diferentiala cu derivate partiale:

unde L reprezinta operatorul diferential de ordinul n asociat

problemei de camp, F este functia necunoscuta ce apartine

spatiului de solutii admisibile (denumita si variabila de stare), iar f

este o functie cunoscuta in tot domeniul de calcul, reprezentand

sursa de camp.

Se considera cunoscute conditiile pe frontierele ce marginesc domeniul de calcul W.

MEF presupune in primul rand discretizarea domeniului de calcul in subdomenii disjuncte denumite elemente finite, notate

cu (e) unde iar M este numarul total de elemente finite.

2.2. Metoda Elementelor Finite

fL

M 1,e

32

Elementele finite pot fi de pilda segmente in aplicatii 1D, triunghiuri sau patrulatere in aplicatii 2D, tetraedre, prisme sau

hexaedre in aplicatii 3D.

Operatia de discretizare in elemente finite a domeniului de calcul este foarte importanta pentru o solutionare corecta a unei

probleme de camp. Modul in care este construita reteaua de

elemente finite influenteaza necesarul de memorie, timpul si

precizia de calcul a solutiei de camp.

Reteaua de discretizare in elemente finite trebuie indesita in regiunile de interes si caracterizate de variatii importante ale

marimii de stare (ex. intrefierul masinilor electrice unde se

concentreaza cea mai mare parte a energiei magnetice

dezvoltate).

Exista algoritmi de rafinare locala automata a retelei de discretizare (discretizare adaptiva) in vederea obtinerii unei

precizii suficient de bune a solutiei de camp cu un efort de calcul

redus.

33

Se considera ca la nivelul fiecarui element finit variabila de stare prezinta o variatie polinomiala de ordinul 1 sau 2 (rar se intalnesc

variatii polinomiale de ordine superioare) in functie de

coordonatele spatiale. Pe baza acestei ipoteze variabila de stare

este reprezentata la nivelul fiecarui element printr-o dependenta

de valorile sale necunoscute in nodurile retelei de discretizare si

de anumite functii cunoscute (functii de forma) ce depind de

geometria elementului finit.

unde n reprezinta numarul de noduri ale elementului (e), este

functia functia de forma a elementului (e), iar reprezinta

valoarea aproximativa a functiei necunoscute in nodul j,

Prin aplicarea Metodei Variationale sau a Metodei Reziduurilor Ponderate se obtine un sistem de ecuatii avand ca necunoscute

valorile variabilei de stare in nodurile elementelor finite.

eTeeTen

1j

e

j

e

j

e NNN

e

j

e

jN

34

Metoda Variationala presupune ca functiei necunoscute F sa i se asocieze o functionala prin a carei minimizare (/F =0) sa se obtina solutia care verifica atat ecuatia de baza cat si conditiile la

limita.

Conform acestei metode se alege un sistem complet de functii de baza, liniar independente, Ni , i = 1, ..., n, iar solutia exacta este

aproximata prin:

Coeficientii ci sunt determinati din conditia de minimizare a functionalei .

Metoda Reziduurilor Ponderate presupune in primul rand definirea reziduului pe baza functiei aproximative prin relatia:

n

1i

iiNc ~

)(~

~

f-L)R(~~

35

Se alege un sistem complet de functii de baza liniar independente, Ni , i=1, ..., n, iar solutia exacta este aproximata

prin:

Reziduul R are valoarea zero doar pentru solutia exacta . Pentru determinarea coeficientilor ci se impune pentru fiecare

functie Wj numite functii pondere conditia de anulare a reziduului

in medie pe intregul domeniul de calcul al problemei.

Functiile pondere Wj sunt uzual identice cu functiile de forma Ni (Metoda Galerkin cea mai utilizata).

0d )R( Wj WW

~

n

1i

iiNc ~

36

Conditiile pe frontiere se definesc tot in decursul acestei etape si pot fi de mai multe tipuri. Cele mai cunoscute sunt conditiile de tip Dirichlet, ce

sunt aplicate direct asupra variabilelor de stare sau conditiile de tip

Neumann omogena sau naturale ce rezulta in mod implicit din formularea

insasi. In studiul masinilor electrice se utilizeaza si alte conditii speciale

pe frontiere precum cele de periodicitate/antiperiodicitate.

Ecuatia diferentiala initiala se transforma prin operatiile de mai sus intr-un sistem de n ecuatii cu n necunoscute, numarul n fiind determinat de

numarul elementelor finite si de numarul coeficientilor necunoscuti ci.

Sistemul de ecuatii obtinut are forma matriceala:

Rezolvarea sistemului de ecuatii utilizand metode numerice specifice precum Metoda Gradientului Conjugat, Metoda Gradientului Biconjugat,

Metoda Generalizata a Reziduului Minimal etc. permite determinarea

valorilor variabilei de stare in nodurile retelei de discretizare si ulterior

prin interpolare in orice punct al domeniului de calcul.

Pe baza solutiei de camp se pot procesa alte marimi locale sau globale derivate ale variabilei de stare.

BXA

37

In regim general variabil, in medii imobile, formele locale ale legilor campului electromagnetic (ecuatiile lui Maxwell) se pot

exprima dupa cum urmeaza:

- Legea inductiei electromagnetice

- Legea circuitului magnetic

- Legea fluxului magnetic

2.3. Ecuatiile generale ale campului electromagnetic

t

BErot

t

DJHrot

0B div

unde: E este intensitatea campului electric, B inductia magnetica,

H intensitatea campului magnetic, J densitatea curentului electric,

D inductia electrica.

38

- Legea fluxului electric

- Legea conservarii sarcinii electrice

- Legi de material

t

Jdiv v

vD div

EDD

HBB

EJJ

39

2.4.1. Regimul magnetic stationar. Formularea in potential

magnetic vector A

In functionare, bobinele masinilor electrice sunt parcurse de curenti electrici. In cazul masinii de curent continuu de pilda, la un

anumit moment de timp si pentru o anumita pozitie relativa a

armaturilor, regimul campului poate fi considerat de tip magnetic

stationar. In acest caz sursa campului va fi reprezentata de valorile

instantanee ale curentilor (Js) din infasurari si eventual de

magnetizatia remanenta (Br), daca domeniul de calcul include

magneti permanenti.

Din legea fluxului magnetic inductia magnetica se poate scrie sub forma:

B = rot A

unde A se numeste potential magnetic vector.

2.4. Modele diferentiale ale campului electromagnetic

exprimate in potentiale, utilizate in analiza 2D a

masinilor electrice

40

Pe baza legii circuitului magnetic si a legilor de material ecuatia diferentiala specifica regimului magnetic stationar devine:

rot [(1/). rot A] = Js

In domeniile de calcul cu magneti permanenti ce au caracteristica de demagnetizare liniara putem scrie:

rot [(1/). rot A] = Js + rot [(1/). Br]

Unicitatea solutiei ecuatiei diferentiale de mai sus necesita cunoasterea divergentei variabilei de stare A. Cel mai adesea se

impune conditia de etalonare Coulomb div A = 0.

41

Pe suprafata de separatie dintre doua regiuni 1 si 2 cu perm. magnetice m1 si m2 se conserva Bn si Ht.

Continuitatea lui Bn este asigurata prin continuitatea variabilei de stare A. Continuitatea lui Ht se impune prin conditia:

0nArot

1Arot

1122

2

1

1

unde n12 reprezinta normala la suprafata de separatie dintre mediile

1 si 2.

Rezolvarea unei probleme de camp magnetic stationar presupune cunoasterea proprietatilor de material, a domeniului de calcul,

respectiv conditiile la limita (conditiile pe frontiere, uzual de tip

Dirichlet sau Neumann).

42

2.4.2. Regimul magnetodinamic. Formularea in potential

magnetic vector A

Acest regim al campului electromagnetic permite studiul regimurilor permanente ale echipamentelor caracterizate de

tensiuni si curenti sinusoidali (de ex. masina asincrona cu rotor

in scurtcircuit daca se neglijeaza saturatia magnetica sau

transformatorul electric).

Ecuatia diferentiala caracteristica regimului magnetodinamic (cvasistationar de tip magnetic armonic) se scrie:

rot [(1/). rot A] = Js j. . . A

unde:

A este potentialul magnetic vector

Js este densitatea curentilor sursa;

este conductivitatea electrica; = 2pf, este pulsatia campului electromagnetic.

43

2.4.3. Regimul magnetic tranzitoriu. Formularea in

potential magnetic vector A

Acest regim al campului electromagnetic permite studiul pas cu pas in domeniul timp al regimurilor tranzitorii ale echipamentelor

electrice (de ex. pornirea masinii asincrone, cuplarea

transformatorului in gol la retea, etc.).

Ecuatia diferentiala caracteristica regimului magnetic tranzitoriu este:

rot [(1/). rot A] = Js A/t

unde:

A este potentialul magnetic vector

Js este densitatea curentilor sursa;

este conductivitatea electrica; = 2pf, este pulsatia campului electromagnetic.

44

In cazul dispozitivelor electromg. alimentate in

tensiune, valorile curentilor (sau

densitatilor de curent Js) ce

strabat circuitele electrice sunt

apriori necunoscute, acestea

rezultand in functie de

impedantele circuitelor.

Un model 2D nu poate lua in calcul efectele de capat (ex.

capatele de bobina).

Pentru a lua in considerare aspectele de mai sus modelul

de camp trebuie in mod uzual

cuplat cu un model de circuit.

2.5. Modele de circuit asociate modelelor de camp elmg.

Modelul de circuit asociat modelului de camp

elmg. 2D al motorului asincron

45

Modelul diferential al conductiei termice este exprimat prin ecuatia lui Fourier:

unde:

r este densitatea materialului;

c este caldura specifica;

este conductivitatea termica;

T este temperatura;

p este densitatea de volum a surselor de caldura (ex. densitatea de

volum a pierderilor Joule, densitatea de volum a pierderilor in fier

etc.)

2.6. Modelul diferential al conductiei termice

pgradT)div(kdt

dTc

k

46

Unicitatea solutiei ecuatiei lui Fourier presupune impunerea conditiilor la limita:

- Conditii initiale (temperatura initiala):

- Conditiile pe frontiere care in mod uzual sunt:

- de tip Dirichlet:

- de tip Neumann omogen:

- de tip Neumann neomogen:

unde:

a este coeficientul de transfer prin convectie

s = 5.67.10-8 W/m2K4 este constanta lui Stefan Boltzman e este coeficientul de transfer termic prin radiatie

Ta este temperatura mediului ambiant

0tpentru,Tt)z,y,T(x, 0

0t pentru),T (T)T(Tn

T 4 4

aak

0tpentru,n

T

0

0 t pentru 0) z,y,(x,T0

3. MASINA DE C.C.

3.1. Introducere

- Masina de c.c. poate funciona atat ca motor cat si ca generator. - In regim de motor masina primeste putere electrica si produce putere

mecanica

- In regim de generator masina primeste putere mecanica (si eventual

putere electrica) si produce energie electrica

- Maina de c.c. este utilizata in special in regim de motor; - Generatorul de c.c este rareori folosit datorita utilizrii pe scara larga

a energiei de c.a.

- Motoarele de c.c. permit un reglaj fin al vitezei greu de atins de ctre motoarele de c.a.

- Motoarele de c.c. pot dezvolta cuplu nominal pentru o gama foarte

larga de turaii, de la zero la turaia nominala. - Maina de c.c. prezint o importanta pentru industrie. - Cuplul de pornire al unui motor de c.c. este mult mai mare decat

cuplul de pornire al unui motor de c.a. pentru aceeasi putere si

turatie nominala

Utilizari

- Motoarele de c.c. de mare putere sunt folosite in tractiune electrica,

masini

unelte, sisteme de imprimare, ventilatoare, pompe, macarale, in fabrici

de hartie si textile, la laminoare, etc.

- Masinile de c.c. de mica putere sunt folosite in multe aplicatii precum:

sisteme de inregistrare a turatiei, in constructie de tip tahogenerator,

servomotoare pentru sisteme de pozitionare si urmarire, jucarii, pompe

etc.

Avantaje

- Cuplu mare de pornire

- Acceleraie si deceleraie rapida - Viteza poate fi usor controlata intr-o plaja foarte larga

- Poate fi utilizat in medii ostile (motoare de tractiune, trenuri electrice,

etc.)

- Este construit intr-o gama foarte larga de dimensiuni.

Dezavantaje

- Necesita mentenanta frecventa

- Nu se recomanda in medii explozive

- Cost ridicat

3.2. Elemente constructive

Masina de c.c. este in general construita in configuratie normala

cu rotor interior - stator exterior.

Partile principale ale unei masini de c.c. sunt statorul (armatura

fixa) si rotorul (armatura mobila) separate de intrefier.

Partile principale ale statorului:

-polii principali,

-infasurarea de excitatie

dispusa in jurul polilor

statorici principali,

-carcasa (jug magnetic),

-poli auxiliari (de comutatie),

-infasurarea de comutatie,

-infasurarea de compensare,

-periile si sistemul portperii,

-etc.

Componentele principale ale

rotorului sunt:

-arborele masinii,

-miez magnetic rotoric,

-infasurare rotorica,

-colector,

-etc.

perii

colector

stator

infasurari

arbore miez rotor

colector infasurare

GCOMPLETPAR2

-500

0

500

0 100 200 300 400 500

mm

(E-3) Tesla

CURVE C2D_7Flux density / Normal componentPath_4

Inductia magnetica in intrefier

Liniile campului magnetic de excitatie

Campul magnetic de excitatie

-Curentul de excitatie genereaza

campul magnetic de excitatie al

masinii.

-In cazul unui curent de excitatie

constant, campul de excitatie al

masinii va fi constant si astfel

miezul magnetic statoric poate fi

realizat din otel masiv.

-Polii principali si cei auxiliari

sunt deseori realizati din tole

pentru ca tehnologia de realizare

este ieftina si pierderile prin

curenti turbionari datorate

armonicilor de dantura sunt mult

reduse.

- Axa dintre doi poli succesivi se

numeste axa neutra.

Axa

neutra 3.3. Campuri in masina de c.c.

-Fata de miezul magnetic rotoric care se afla in miscare, fluxul magnetic

de excitatie (constant fata de stator) este alternativ. Prin urmare miezul

rotoric trebuie construit din tole izolate pentru reducerea pierderilor prin

curenti turbionari.

-Bobinele infasurarii indusului (rotorice) sunt plasate in crestaturile

rotorice, capetele lor fiind conectate la lamelele colectorului.

-Colectorul are rol de redresor mecanic (in cazul generatorului de c.c.)

care converteste curentul alternativ ce parcurge infasurarea rotorica in

curent continuu la nivelul periilor. In cazul motorului de c.c. colectorul are

rol de invertor mecanic. Colectorul este realizat din lamele de cupru (sau

aliaje ale cuprului) izolate intre ele prin intermediul unor lamele de mica.

-Scopul periilor care calca pe lamelele colectorului este de a asigura

conexiunile electrice dintre infasurarea rotorica aflata in miscare si sursa

de alimentare statica externa (in cazul regimului de motor de c.c.).

-Periile sunt realizate din grafit si aluneca pe colector.

Tipuri de infasurari rotorice

1 2 3 4 5 1 2

perie perie

laturi

active

capete de bobina capete de bobina

laturi

active

lamele colector

lamele

colector

Infasurare

buclata

Infasurare

ondulata

GCOMPLETPAR2

-250

0

250

0 100 200 300 400 500

mm

(E-3) Tesla


Axa

neutra

Inductie magnetica in intrefier

Axa

neutra Liniile campului magnetic de reactie

Campul magnetic de reactie

-Infasurarea indusului este

alimentata prin intermediul

contactelor alunecatoare perii-

colector. Periile calca secvential

pe lamelele colectorului, dand

nastere unui camp magnetic de

reactie practic constant in raport

cu statorul.

-Fluxul magnetic de reactie este

perpendicular pe directia

campului de excitatie al masinii.

Campul magnetic rezultant

-Cand masina lucreaza in

sarcina, campul de reactie se

suprapune peste campul de

excitatie si determina o

deplasare a axei neutre.

-Campul magnetic rezultant

este distorsionat (solicitand

nesimetric polii principali) iar

fluxul magnetic este inferior

ca valoare fluxului de excitatie

datorita saturatiei magnetice

pe o portiune a polului

principal.

GCOMPLETPAR2

-1

-0.5

0

0.5

1

0 100 200 300 400 500

mm

Tesla


Axa

neutra

initiala


Axa

neutra Liniile campului magnetic rezultant

Axa neutra

deplasata

GCOMPLETPAR2

-500

0

500

0 100 200 300 400 500

mm

(E-3) Tesla


- Scaderea fluxului de excitatie pe

pol, afecteaza negativ valoarea

cuplului electromagnetic, acest

efect putand fi diminuat folosind o

infasurare de compensare plasata

in crestaturi special prevazute in

talpa polilor principali ai masinii

de c.c.

- Infasurarea de compensare este

conectata in serie cu infasurarea

indusului, asa incat efectul sau

compensator sa fie proportional

cu fluxul magnetic corespunzator

reactiei indusului.

Axa

neutra Liniile campului magnetic rezultant

Axa

neutra

initiala


GCOMPLETPAR2

-500

0

500

0 100 200 300 400 500

mm

(E-3) Tesla


-Deplasarea zonei neutre poate

cauza foc la colector deoarece

comutatia nu mai are loc in zona

neutra, tensiunea indusa in

bobinele scurtcircuitate fiind

nenula; acest fapt conduce la

deteriorarea prematura a

colectorului.

-Masinile de mare putere sunt

echipate cu poli de comutatie

(auxiliari). Infasurarea de

comutatie (sau a polilor auxiliari)

este conectata in serie cu

infasurarea indusului.

-Infasurarea de comutatie

genereaza un camp magnetic in

zona neutra care sa anuleze pe cat

posibil t.e.m. induse (t.e.m.

autoindusa si t.e.m. datorata

deplasarii axei neutre) in spirele

scurtcircuitate asa incat comutatia

sa se realizeze fara scantei.

Liniile campului magnetic rezultant Axa

neutra


Axa

neutra

initiala

3.4. Cuplul electromagnetic. Puterea electromagnetica

Cuplul electromagnetic al m.c.c.

Me = kFI

I = curentul prin indus

F = fluxul de excitatie pe pol

k = constanta masinii

Puterea electromagnetica a masinii de c.c.

Pe = MeW = EI

k = pN/(2pa)

2p = nr. de poli

N = nr. de conductoare rotorice

2a = nr. cai de curent in paralel

3.5. Clasificarea si simbolizarea Mas. CC

MCC cu excitatie separata MCC cu excitatie serie

MCC compound1

A1A2 infasurarea indusului

F1F2 inf. de excitatie

independenta

E1E2 inf. de excitatie derivatie

D1D2 inf. serie

MCC cu excitatie derivatie

Motor

Generator

MCC compound2

3.5. Clasificarea si simbolizarea Mas. CC

MCC mixt

B1B2 infasurarea polilor auxiliari C1C2 inf. de compensare

B1B2 i C1C2 se nseriaz cu nfurarea indusului

Motor

Generator

MCC cu excitaie independent echipat cu poli auxiliari i nfurare de compensare

MCC cu excitaie serie echipat cu poli auxiliari i nfurare de compensare

3.6. Modele de regim permanent ale Mas. CC

3.6.1. Ecuatiile GCC cu excitatie separata

Rex: rezistenta infasurarii de excitatie Uex : tensiunea de excitatie Iex : curentul de excitatie Ra : rezistenta infasurarii indusului Rs: rezistenta de sarcina E : T.e.m. a masinii DUp: caderea de tensiune la perii 2V Ua : Tensiunea la bornele indusului Ia : Curentul prin indus F : Fluxul magnetic pe pol K: Constanta masinii W: Viteza unghiulara M: Cuplul electromagnetic Ma: Cuplul activ Mm: Cuplul corespunzator frecarilor si ventilatiei Mfe: Cuplul corespunzator pierderilor in fier

Uex = Rex.Iex

Ua = E - DUp - Ra.Ia

E = kFW

F = f(Iex)

Ua = IaRs M = kFIa Ma = M + Mm + Mfe

3.6.2. Ecuatiile GCC cu exc. derivatie

Rex: rezistenta infasurarii de excitatie Uex : tensiunea de excitatie Iex : curentul de excitatie Ra : rezistenta infasurarii indusului Rs: rezistenta de sarcina E : T.e.m. a masinii DUp: caderea de tensiune la perii 2V Ua : Tensiunea la bornele indusului Ia : Curentul prin indus I : Curentul de sarcina F : Fluxul magnetic pe pol K: Constanta masinii W: Viteza unghiulara M: Cuplul electromagnetic Ma: Cuplul activ Mm: Cuplul corespunzator frecarilor si ventilatiei Mfe: Cuplul corespunzator pierderilor in fier

Ia = I + Iex Ua = E - DUp - Ra

.Ia E = kFW

F = f(Iex)

Ua = Rex

.Iex

Ua = I. Rs

M = kFIa Ma = M + Mm + Mfe

3.6.3. Ecuatiile Mot. CC cu exc. separata

Rex: rezistenta infasurarii de excitatie Uex : tensiunea de excitatie Iex : curentul de excitatie Ra : rezistenta infasurarii indusului E : T.e.m. a masinii DUp: caderea de tensiune la perii 2V Ua : Tensiunea la bornele indusului Ia : Curentul prin indus F : Fluxul magnetic pe pol K: Constanta masinii W: Viteza unghiulara M: Cuplul electromagnetic Ms: Cuplul de sarcina Mm: Cuplul corespunzator frecarilor si ventilatiei Mfe: Cuplul corespunzator pierderilor in fier

Uex = Rex.Iex

Ua = E + DUp + Ra.Ia

E = kFW

F = f(Iex)

M = kFIa M = Ms + Mm + Mfe

3.6.4. Ecuatiile Mot. CC cu exc. derivatie

Rex: rezistenta infasurarii de excitatie Uex : tensiunea de excitatie Iex : curentul de excitatie Ra : rezistenta infasurarii indusului E : T.e.m. a masinii DUp: caderea de tensiune la perii 2V Ua : Tensiunea la bornele indusului Ia : Curentul prin indus I : Curentul de sarcina F : Fluxul magnetic pe pol K: Constanta masinii W: Viteza unghiulara M: Cuplul electromagnetic Ms: Cuplul de sarcina Mm: Cuplul corespunzator frecarilor si ventilatiei Mfe: Cuplul corespunzator pierderilor in fier

I = Ia + Iex Ua = E + DUp + Ra

.Ia E = kFW

Ua = Rex

.Iex F = f(Iex)


3.6.5. Ecuatiile Mot. CC cu excitatie serie

Rex: rezistenta infasurarii de excitatie Ra : rezistenta infasurarii indusului E : T.e.m. a masinii DUp: caderea de tensiune la perii 2V Ua : Tensiunea la bornele indusului Ia : Curentul prin indus I : Curentul de sarcina F : Fluxul magnetic pe pol K: Constanta masinii W: Viteza unghiulara M: Cuplul electromagnetic Ms: Cuplul de sarcina Mm: Cuplul corespunzator frecarilor si ventilatiei Mfe: Cuplul corespunzator pierderilor in fier I = Ia = Iex

Ua = E + DUp + (Rex+Ra).Ia

E = kFW

F = f(Iex)


66

3.7. Modele de regim dinamic ale Mas. CC

3.7.1. Ecuatiile de regim dinamic ale Mot. CC cu exc. separata

Ua = e + DUp + Ra.ia + La

.dia/dt

e = kjW

j = f(iex)

Uex = Rex.iex + d(Lex

.iex)/dt

m = kjia JdW/dt = m - ms - mp

Rex: rezistenta infasurarii de excitatie Ra : rezistenta infasurarii indusului e : T.e.m. a masinii DUp: caderea de tensiune la perii 2V Ua : Tensiunea la bornele indusului ia : Curentul prin indus iex : Curentul de excitatie j : Fluxul magnetic pe pol k: Constanta masinii W: Viteza unghiulara m: Cuplul electromagnetic ms: Cuplul de sarcina mp: Cuplul corespunzator pierderilor La : Inductivitatea inf. Indusului Lex : Inductivitatea inf. de excitatie J : Momentul de inertie

67

3.7.2. Ecuatiile de regim dinamic ale Mot. CC cu magneti permanenti

Ua = Ra.ia + La

.dia/dt + e

e = kjW

j = ct.

m = kjia JdW/dt = m - mr - mp

Rex: rezistenta infasurarii de excitatie Ra : rezistenta infasurarii indusului e : T.e.m. a masinii DUp: caderea de tensiune la perii 2V Ua : Tensiunea la bornele indusului ia : Curentul prin indus iex : Curentul de excitatie j : Fluxul magnetic pe pol k: Constanta masinii W: Viteza unghiulara m: Cuplul electromagnetic ms: Cuplul de sarcina mp: Cuplul corespunzator pierderilor La : Inductivitatea inf. Indusului Lex : Inductivitatea inf. de excitatie J : Momentul de inertie F: Coeficientul de frecari vascoase

Ua = Ra.ia + La

.dia/dt + kjW

JdW/dt = kjia - mr - F W

3.8. Modelarea MCC prin MEF (regim staionar) 3.8.1. Etape principale

-Definirea datelor tehnice principale ale masinii (electrice, magnetice,

geometrice etc.);

-Definirea regimului de camp caracteristic studiului efectuat (regim

magnetostatic, magnetic stationar, magnetic tranzitoriu etc.);

-Descrierea geometriei domeniului de calcul 2D; definirea conditiilor

la limita (initiale si pe frontiere, considerarea simetriilor);

-Definirea materialelor si a proprietatilor asociate care intervin in

problema de analiza numerica;


(densitati de curent, curent etc.); definirea circuitelor electrice

asociate daca e cazul; asocierea proprietatilor de material si a

componentelor de circuit (unde e cazul) regiunilor domeniului de

calcul;

-Definirea retelei de discretizare tinand cont de aspectele fizice ale

problemei;

-Asamblarea matricelor si rezolvarea sistemului de ecuatii algebrice;

-Analiza rezultatelor numerice (calculul marimilor locale si integrale

necesare).

3.8.2. Definirea regimului de camp caracteristic. Date principale

ale MCC. Exemplu de calcul

rot [(1/). rot A] = Js

unde Js reprezinta densitatea de

curent in regiuni de tip bobina

(infasurarea de excitatie, infasurarea

indusului, infasurarea de

compensare, infasurarea polilor

auxiliari.

Date principale ale MCC

Putere nominal, Pn = 185 kW; Tensiune nominal, Un = 750 V; Curent nominal, In = 270 A; Turaie nominal, nn = 1350 rot/min; Serviciul de funcionare S1.

Regimul de camp

Regimul de camp aferent analizei in element finit a MCC este regimul magnetic stationar. Ecuatia diferentiala specifica acestui regim exprimata

in potential magnetic vector A este:

Date principale geometrice ale mainii studiate

3.8.3. Definirea domeniului de calcul. Conditii pe frontiere

Diametrul rotorului: 360 mm; Lungimea ntrefierului: 6 mm; Lungimea axial a miezurilor magnetice: 450 mm;

Limea miezului magnetic al polilor inductori: 204 mm;

Limea miezului magnetic al polilor de comutaie: 34 mm; nlimea miezului magnetic al polilor de comutaie: 80 mm;

Indusul are Z = 44 de crestturi; nfurarea indusului este de tip buclat simpl, cu pasul de ducere y1 = 11 crestturi, cu 2a = 4 ci de curent.

Domenii de calcul pentru studiul campului magnetic de excitatie.

Conditii pe frontiere

3.8.3. Definirea domeniului de calcul. Conditii pe frontiere

Domeniu de calcul: sectiune transversala/ 2 poli

Conditii pe frontiere: Dirichlet Domeniu de calcul: sectiune transversala/ 1 pol

Conditii pe frontiere: Dirichlet

Domeniu de calcul: sectiune transversala/ 1 pol

Conditii pe frontiere: Dirichlet pe frontiera exterioara a

statorului si interioara a rotorului/ Neumann omogen in rest

Domeniu de calcul: sectiune transversala/ 1/2 pol

Conditii pe frontiere:

Z = 44 crest. rotor

Z nu se imparte la 8

Domenii de calcul pentru studiul campului magnetic de reactie a

indusului. Conditii pe frontiere


Conditii pe frontiere: Dirichlet pe frontiera exterioara

stator si cea interioara rotor/ Neumann omogen in rest

Domeniu de calcul: sectiune transversala/ 1/2 pol

Conditii pe frontiere:



stator si interioara rotor/ Neumann omogen in rest


Conditii pe frontiere: Dirichlet

Z = 44 crest. rotor

Z nu se imparte la 8

Domenii de calcul pentru studiul campului magnetic rezultant.

Conditii pe frontiere



stator si cea interioara rotor/ Periodic in rest



stator si interioara rotor/ Antiperiodic in rest


Conditii pe frontiere: Dirichlet pe frontiera exterioara a

statorului si interioara a rotorului/ Antiperiodic in rest

MIEZ_STATOR regiune magnetic neliniar (M-36 Steel) ce include miezurile magnetice ale polilor

inductori i de comutaie i jugul statoric;

MIEZ_ROTOR - regiune magnetic neliniar (M-36 Steel) ce conine dinii i jugul rotoric;

AER - regiune nemagnetic (Air), m = m0; ce corespunde ntrefierului i celor dou crestturi neparcurse de curent (comutaie);

EXCITATIEP - regiuni nemagnetice (Air), laturi de ducere ale bobinelor de

excitaie (solenaie total impus);

EXCITATIEN - regiuni nemagnetice (Air), laturi de ntoarcere ale bobinei de excitaie (solenaie total impus);

INDUSP - regiuni nemagnetice (Air), laturi de ducere ale nfurrii indusului (solenaie total impus);

INDUSN - regiune nemagnetice (Air), laturi de ntoarcere ale nfurrii indusului (solenaie total);

COMPENSAREP - regiuni nemagnetice (Air), laturi de ducere ale nfurrii de compensare (solenaie total impus);

COMPENSAREN - regiuni nemagnetice (Air), laturi de ntoarcere ale nfurrii de compensare (solenaie total impus);

COMUTATIEP - regiuni nemagnetice (Air), laturi de ducere ale bobinelor polilor de comutaie (solenaie total impus);

COMUTATIEN - regiuni nemagnetice (Air), laturi de ntoarcere ale bobinelor polilor de comutaie (solenaie total impus);

3.8.4. Definirea regiunilor domeniului de calcul si a proprietatilor de

material. Definirea surselor de camp

3.8.5. Definirea retelei de discretizare


Harta induciei magnetice si liniile de cmp (echi-flux lines)

3.8.6. Analiza rezultatelor numerice


Variaia induciei magnetice pe un pas polar

Ban -0.59mT

Campul magnetic de reactie a indusului




Ban -0.128 T

Campul magnetic rezultant (excitatie + indus)




Ban -0.127 T

Campul magnetic generat de infasurarea de compensare


Campul magnetic generat de infasurarea de compensare


Ban 0.126 T

Campul magnetic rezultant (excitatie + indus + compensare)


Campul magnetic rezultant (excitatie + indus + compensare)


Ban -0.021 T

Campul magnetic comutatie


Campul magnetic rezultant (excitatie + indus + compensare + comutatie)


Campul magnetic rezultant (excitatie + indus + compensare + comutatie)


Ban 1.2 mT

3.9. Analiza numeric a MCC folosind modele de circuit 3.9.1. Etape principale

-Definirea/cunoasterea datelor tehnice principale ale masinii

(electrice, mecanice, etc.) ;

-Definirea regimului de functionare studiat (pornire in gol, pornire in

sarcina, pornire + franare etc.); definirea condiiilor iniiale; -Definirea ecuaiilor de funcionare specifice; -Construirea modelului de circuit (scheme bloc) n Matlab-Simulink, PSIM etc.;

-Definirea parametrilor mainii studiate (rezistene, reactane, constante etc.);

-Stabilirea parametrilor simulrii i alegerea solverului; -Rezolvarea problemei;

-Analiza rezultatelor i eventual efectuarea coreciilor

91

Date principale Mot. CC

Motor CC cu magneti permanenti Putere nominala P = 20 W Tensiune nominala U = 12.76 V, Rezistenta circuitului rotoric R = 4 W, Inductivitatea circuitului rotoric L = 1.34 mH, Constanta de flux a masinii c = 8.83 mV. sec/rad (c = kF), Cuplu nominal M = 60 mNm, Momentul de inertie J = 0.774.10-6 kg.m2, Coeficientul de frecari vascoase F = 2.68.10-6 Nm.s/rad, Caderea de tensiune la perii DUp = 1.4 V.

Regimul de functionare studiat

Pornirea in gol a Mot. CC Raspunsul Mot. CC dupa aplicarea unui cuplu de sarcina M = 8 mNm.

3.9.2. Date principale ale Mot. CC. Definirea regimului de

functionare studiat

92

Definirea ecuatiilor de functionare specifice

3.9.3. Definirea ecuatiilor de functionare specifice.

Construirea modelului de circuit in Matlab-Simulink

unde:

U este tensiunea de alimentare a motorului

E este tensiunea electromotoare indusa

R este rezistenta circuitului rotoric

i este curentul rotoric

L este inductivitatea circuitului rotoric

DUp este caderea de tensiune la perii

J este momentul de inertie al motorului

W este viteza unghiulara de rotatie a rotorului

F este fluxul magnetic de excitatie pe pol

M este cuplul electromagnetic

Ms este cuplul static de sarcina al motorului

k este constanta masinii (c = kF constanta de flux a masinii)

F este coeficientul de frecari vascoase

F

FW

WW

D

ikM

kE

FMMdt

dJ

Udt

diLRiEU

s

p

WFW

DFW

FMikdt

dJ

Udt

diLRikU

s

p

WW

DW

s

p

MJ

1

J

Fi

J

c

dt

d

L

UU

L

ci

L

R

dt

di

93

Modelul Matlab-Simulink utilizand blocuri de integrare

WW

DW

s

p

MJ

1

J

Fi

J

c

dt

d

L

UU

L

ci

L

R

dt

di

Parametrii motorului se

specifica in fisierul

Matlab mcc.m care se

salveaza in directorul

curent si se lanseaza

in executie din MATLAB

Workspace!

94

Continutul fisierului de date mcc.m

Fisierului mcc.m se salveaza in directorul curent si se lanseaza

in executie din MATLAB Workspace!

95

Exploatarea rezultatelor

96

Un sistem fizic poate fi privit ca un bloc generic caracterizat de: -un set de marimi de intrare, notate cu u (marimi de comanda),

-un set de marimi de iesire, notate cu y (marimi masurate),

-un set de marimi considerate stari ale sistemului notate cu x.

Functionarea sistemelor fizice se descrie matematic (se

modeleaza/ se simuleaza) prin

intermediul unei/ unor ecuatii

diferentiale si/ sau algebrice.

Modelarea unei game atat de variate de sisteme fizice a

determinat adoptarea unei forme

unitare de reprezentare matriceala

a ecuatiilor denumita reprezentare

in spatiul starilor.

Construirea modelului Matlab-Simulink utilizand spatiul starilor

Reprezentarea unui sistem

fizic cu evidentierea starilor,

a marimilor de intrare, iesire

si a ecuatiilor caracteristice

u y Sistem fizic

DuCxy

BuAxx

97

In sistemul de ecuatii caracteristic

se fac urmatoarele notatii:

u este vectorul marimilor de intrare ale sistemului (m elemente); x este vectorul marimilor de stare ale sistemului (n elemente);

x = dx/dt vectorul derivatelor temporale ale marimilor de stare (n elemente); y este vectorul marimilor de iesire ale sistemului (p elemente);

A este matricea caracteristica sistemului (dimensiuni n x n); B este matricea intrarilor (dimensiuni n x m); C este matricea iesirilor (dimensiuni p x n); D este matricea de ponderare a intrarii in iesire (dimensiuni p x m);

Reprezentarea in spatiul starilor a sistemelor fizice

DuCxy

BuAxx

Dimensiunile

matricelor

unui sistem

reprezentat in

spatiul starilor

A B

C D

n

n

p

n m

n

p

m

98

Vectorul starilor:

Vectorul marimilor de intrare:

Vectorul marimilor de iesire:

Identificarea marimilor ce intervin in reprezentarea in spatiul starilor

WW

DW

s

p

MJ

1

J

Fi

J

c

dt

d

L

UU

L

ci

L

R

dt

di

W

ix

W

iy

D

s

p

M

U-Uu

Scrierea ecuatiilor de regim dinamic ale Mot. CC in spatiul starilor

BuAxM

U-U

J

10

0L

1i

J

F

J

cL

c

L

R

ix

s

p

*

**

D

W

J

10

0L

1

B

J

F

J

cL

c

L

R

A

DuCxM

U-U

00

00i

10

01

iy

s

p

D

W

10

01C

00

00D

99

-Se va utiliza blocul State-Space (colorat cu verde in schema bloc de mai sus) din biblioteca Continuous din Simulink;

-Elementele matricelor A, B, C, D asociate sistemului fizic se vor specifica

sub forma simbolica (valorile fiind in prealabil definite in fisierul mcc.m)

sau numeric.

- Daca matricele A, B, C, D au elemente variabile in timp atunci modelarea

va face apel la S_Function din biblioteca User-Defined Functions. Functiile de acest tip pot fi scrise in limbaje precum: Matlab, C, C++,

Fortran etc.

Modelul Matlab-Simulink utilizand spatiul starilor

100

Modelarea sistemelor continue poate fi efectuata folosind functii de transfer.

Se aplica transformata Laplace vectorilor marimilor de intrare si iesire care depind de timp:

Modelul este denumit si model Intrare/Iesire (I/O) intrucat in model apar doar marimile de intrare si iesire.

Construirea modelului Matlab-Simulink utilizand functii de transfer

Y(s) = L{y(t)}

U(s) = L{u(t)}

Functia de transfer se defineste prin:

H(s) = Y(s)/U(s)

Reprezentarea unui sistem fizic

continuu folosind functii de transfer

U(s) Y(s) H(s)

101

unde:

U este tensiunea de alimentare a motorului

DUp este caderea de tensiune la perii

i este curentul rotoric

Ms este cuplul static de sarcina al motorului

W este viteza unghiulara de rotatie a motorului

R este rezistenta circuitului rotoric

L este inductivitatea circuitului rotoric

c este constanta de flux a masinii

F este coeficientul de frecari vascoase

J este momentul de inertie al motorului

Ecuatiile de regim dinamic ale m.c.c. Aplicarea transformatei Laplace

s

p

MFcidt

dJ

Udt

diLRicU

WW

W

(s)M(s)FcI(s)(s)sJ

UsLI(s)RI(s)(s)cU(s)

s

p

FJs

(s)McI(s)(s)

RLs

(s)cUU(s)I(s)

s

p

102

Modelul Matlab-Simulink utilizand functii de transfer

103

Construirea modelului Matlab-Simulink-SymPower-Sys

4. TRANSFORMATORUL

- Un transformator electric este un dispozitiv static alcatuit din doua

sau mai multe circuite electrice cuplate magnetic, ce functioneaza

pe baza legii inductiei electromagnetice, avand rolul de adaptare a

parametrilor energiei electrice de curent alternativ (tensiune,

curent, numar de faze) la cerintele consumatorului, frecventa

ramanand neschimbata.

- Un transformator electric nu functioneaza in curent continuu.

- Un transformator electric permite:

- Transportul, distributia si utilizarea economica a

energiei electrice (tr. distributie folosite in SEN)

- Masurarea tensiunilor si curentilor de

valori mari (tr. de masura crt./tens.)

- Adaptarea impedantelor (tr. de adaptare)

- Izolarea circuitelor electrice (tr. de izolare galvanica)

- Etc.

- Transformatoarele se construiesc intr-o gama foarte larga de

puteri si dimensiuni, incepand cu puteri nominale de ordinul mVA

(electronica), pana la puteri de ordinul sutelor de MVA

(transformatoare de mare putere utilizate in sistemele

electroenergetice nationale).

source http://commons.wikimedia.org


- Transformatoarele se impart in functie de diverse criterii in mai

multe categorii:

- dupa modul de racire: tr. uscate, tr. in ulei,

- dupa nr. de faze: tr. monofazate, tr. trifazate,

- dupa destinatie: tr. de putere sau tr. speciale,

- etc.

Infasurare

primara

Jug

magnetic

Infasurare

secundara

Coloane

4.1. Elemente constructive

Partile constructive principale ale unui transformator sunt: miezul

magnetic, circuitele eletrice, sistemul de izolatie, sistemul de racire,

sistem mecanic, sistemul de protectie si control.

4.1.1. Miezul magnetic

- Miezul magnetic al unui transformator reprezinta circuitul magnetic prin

care circula fluxul magnetic util.

- Miezurile magnetice sunt construite din materiale magnetic moi (otel

electrotehnic).

- Pentru a reduce pierderile prin

curenti indusi (Foucault) miezurile

sunt realizate din tole din tabla

silicioasa izolate.

- Permeabilitatea magnetica ridicata

a acestor materiale se traduce

printr-o valoare redusa a reluctantei

magnetice a cailor de inchidere a

fluxului magnetic.

- Prin urmare liniile de camp magnetic

se inchid preponderent prin miezul magnetic.

- Tolele din otel magnetic (tabla silicioasa) sunt uzual obtinute prin

laminare la cald sau la rece, cu cristale orientate, cu grosime de

0.5 mm sau 0.35 mm.

- Tolele din tabla silicioasa sunt izolate cu lacuri sau oxizi ceramici.

- Otelul magnetic folosit pentru tole trebuie sa aiba:

O permeabilitate magnetica ridicata , O inductie magnetica la saturatie ridicata Bs si o inductie magnetica remanenta scazuta Br

O arie redusa a ciclului de histerezis B-H pentru a permite obtinerea unei inductii magnetice ridicate cu ajutorul unui curent de magnetizare

redus si pierderi prin histerezis cat mai mici.

- Pentru reducerea pierderilor prin curenti turbionari rezistivitatea electrica

a tolelor trebuie sa fie cat mai mare. In acest scop otelul electrotehnic

contine un adaos de siliciu de circa 2.5 - 3.5%. Valori mai mari cresc

duritatea otelului si il fac greu de prelucrat.

- Pierderile prin curenti turbionari scad puternic prin utilizarea tolelor de

grosimi reduse. Daca tolele sunt prea subtiri costurile de productie cresc

insa nejustificat.

- Inductia magnetica la saturatie o otelurilor magnetice din care sunt

construite tolele actuale este de circa Bs= 2T.

- Transformatoarele de mica putere care lucreaza la frecvente inalte

au miezuri magnetice realizate din ferite sau sunt fara miez.

- Feritele sunt compusi ai unor oxizi de fier continand unul sau mai

multi oxizi ai altor metale. Feritele cu permeabilitate magnetica

ridicata sunt feritele pe baza de mangan si zinc si cele pe baza

de nichel zinc.

- Feritele sunt executate din oxizi ai unor metale sub forma de pudra,

incalzita la circa 1000 C si presate intr-o matrita sau extrudate pentru a

obtine forma dorita. Aceste materiale pot avea permeabilitate magnetica si

rezistivitate electrica ridicate care permit limitarea pierderilor prin curenti

turbionari; astfel feritele pot fi folosite la frecvente pana la 20 MHz

(transformatoare, inductoare etc.).

- Inductia magnetica la saturatie (Bs) a feritelor este relativ redusa,

facandu-le nepotrivite pentru multe aplicatii de mare putere. Utilizarea lor

este prin urmare dedicata aproape exclusiv industriei electronice si de

telecomunicatii in care acestea au inlocuit miezurile realizate din tole.

Miez ferita Fara miez Miez din tole

Tole de diverse forme

Intretesute la 90 Intretesute la 45 Intretesute la

30/60

Forma U-I

Forma E-I Intretesute la 90 Intretesute la 45

Tole de diverse forme

Miezuri din ferite

sursa: http://commons.wikimedia.org

Tipuri de miezuri

-Miezurile magnetice

ale transformatoarelor

sunt de tip manta sau

cu coloane.

Sectiune transversala prin coloana unui miez magnetic

- Constructia miezului magnetic trebuie sa asigure umplerea spatiului

circular interior bobinei cu tole din otel electrotehnic.

- Constructia miezului realizata din mai multe trepte este necesara in cazul

transformatoarelor de mare putere care in plus sunt echipate cu anumite

canalele de racire pentru evacuarea caldurii dezvoltate in urma pierderilor.

Miez in manta Miez cu coloane

4.1.2. Infasurarile transformatorului

- Infasurarile reprezinta circuitele electrice primar si secundar ale

unui transformator. Daca exista si a treia infasurare aceasta se

numeste tertiara.

- Infasurarile sunt realizate din conductoare de cupru sau aluminiu

izolate.

- Infasurarea primara este infasurarea conectata la o sursa de

tensiune alternativa si creaza fluxul magnetic inductor.

- Infasurarea secundara este conectata la circuitul receptor

(tensiunea secundara este obtinuta prin inductie electromagnetica).

- Daca tensiunea secundara este mai mica decat cea primara

transformatorul se numeste coborator;

- Daca tensiunea secundara este mai mare decat cea primara

transformatorul se numeste ridicator.

- Un transformator coborator poate fi utilizat ca transformator

ridicator conectand infasurarea de joasa tensiune la o sursa de

tensiune alternativa.

- In functie de nivelul tensiunii infasurarile transformatorului pot fi

de Inalta Tensiune (IT) respectiv de Joasa Tensiune (JT).

- Infasurarea cu numar mai mare de spire este infasurarea de IT.

- Curentul in infasurarea de IT este mai redus iar curentul in

infasurarea de JT este mai ridicat, intrucat puterea aparenta S = U.I

la transformator este aproximativ constanta, fiind una din datele

nominale ale echipamentului.

- Infasurarea de IT a unui transformator necesita o izolatie mai buna

(si o distanta de izolatie mai mare fata de miezul magnetic) in raport

cu cea de JT pentru a face fata solicitarilor dielectrice superioare.

- Conductoarelor infasurarii de JT sunt mai groase intrucat sunt

strabatute de curenti de valori mai mari.

Tipuri de bobine

-Bobinele transformatoarelor pot fi clasificate in bobine concentrice si

bobine in galeti.

Bobine concentrice Bobine in galeti

IT

JT

Miez

magnetic

IT

JT

Miez

magnetic

4.1.3. Sistemul de izolatie a transformatorului

- Conductoarele din care sunt construite infasurarile

transformatoarelor uscate sunt izolate cu emailuri, lacuri, cu varnis

etc.

- In cazul transformatoarelor de mare putere pentru a imbunatatii

caracteristicile de transfer termic conductoarele sunt izolate folosind

hartie sau materiale textile si intreg ansamblu miez-infasurari este

imersat intr-o cuva cu ulei de transformator.

- Uleiul de transformator are rol dublu ca izolator si ca agent de

racire.

- Izolatia cu structura poroasa plasata in jurul conductoarelor ajuta

uleiul sa atinga suprafata conductorului si sa extraga caldura

disipata prin efect Joule.

- Sistemul de izolatie al transformatorului contine izolatia

conductoarelor propriu-zise dar si izolatia dintre straturile bobinelor

si dintre bobine.

- Canalele de racire reprezinta deasemenea o parte a sistemului de

izolatie al transformatorului.

4.1.4. Sistemul de racire

- Sistemul de racire al transformatorului asigura

evacuarea caldurii ca urmare a disiparii

pierderilor in fier (in miez) respectiv a

pierderilor Joule (in infasurari).

- Dpdv al sistemului de racire

transformatoarele pot fi :

- transformatoare uscate

- transformatoare cu racire in ulei


4.2. Date nominale. Simboluri

Datele nominale ale unui transformator sunt prevazute pentru a

se asigura functionarea corespunzatoare a acestuia la temperaturi

care sa nu depaseasca temperatura clasei de izolatie.

Principalele date nominale :

- Puterea nominala: Sn [VA]

- Tensiunile primara/secundara: U1n /U2n[V] (pentru a limita pierderile

in miez si pt. corelarea cu dimensiunile miezului

transformatorului)

- Curentul primar/secundar: I1n /I2n [A] (pentru a limita pierderile Joule)

- Frecvena nominal: f[Hz] - Tensiunea de scurtcircuit nominala: uk[%]

- Grupa de conexiuni: (ex. Yd5)

a) Transformator monofazat cu 2 infasurari ; b) Autotransformator

monofazat; c) Transformator trifazat; d) Autotransformator trifazat;

e) Transformator monofazat cu 3 infasurari; f) Transformator trifazat

cu 3 infasurari; g) Transformator fara miez.

Simboluri

4.3. Teoria transformatorului monofazat ideal

Ipoteze

Flux de dispersie nul:

Fluxurile magnetice produse de curentii primari si secundari circula exclusiv prin miezul magnetic

Rezistenta infasurarilor este nula:

Tensiunile induse sunt egale cu cele aplicate

Miezul magnetic are o permeabilitate magnetica infinita:

Reluctanta miezului magnetic este nula Curentul de magnetizare este neglijabil

Pierderile in fier sunt nule:

Sunt neglijate pierderile prin histerezis sau prin curenti

turbionari in miezul magnetic

Ecuatiile de tensiuni ale ale transformatorului monofazat ideal

Presupunem ca infasurarea primara este alimentat cu o tensiune

sinusoidala de forma: u1 = U12sinwt

T2 Kirchhoff/ Legea ind. elmg. forma complexa

R1i1 - u1 = -d(N1j)/dt => -u1 = -d(N1j)/dt => U1 = jwN1 F (R1 0 transformator ideal) forma complexa u2 + R2i2 = -d(N2j/dt => u2 = -d(N2j)/dt => U2 = -jwN2 F

(R2 0 transformator ideal)

=> U1/U2= N1/N2

U1 U2

I1

F Infasurare

primara Infasurare

secundara

Miez

magnetic

N1 N2

I2

Zs

Pierderi nule => S1 = S2 U1I1 = U2I2

Curent de magnetizare nul (I10 = 0) => N1I10 = N1I1 - N2I2 = j 0 ( reluctanta miezului) => N1I1 = N2I2

Raportul tensiunilor/curentilor: U1/ U2 = I2/ I1 = N1/ N2 = k = raportul nr. spire

Raportul impedantelor: Z1/Z2 = (U1/I1)/(U2/I2) = U1I2/(U2I1) = k2 =>

Z1 = k2Z2

Pierderi nule => P1 = P2 U1I1cosj1 = U2I2cosj2 => cosj1 = cosj2 => j1 = j2 => Q1 = Q2

Deoarece puterea aparenta (~U.I) la transformator se conserva (aproximativ) curentul prin infasurarea de IT va fi mai mic decat

curentul prin infasurarea de JT.

Conductoarele infasurarii de IT sunt mai subtiri iar cele de pe JT mai groase.

4.4. Teoria transformatorului monofazat real

4.4.1. Ipoteze

Flux magnetic de dispersie ne-nul:

Fluxul magnetic produs de curentii primar si secundar nu se inchide exclusiv prin miezul feromagnetic

Infasurarile au rezistenta electrica ne-nula:

Tensiunea indusa este diferita de cea aplicata

Miezul magnetic are permeabilitate finita:

Reluctanta miezului magnetic este diferita de zero

Curentul de magnetizare care genereaza fluxul magnetic util

este diferit de zero

Pierderile in fier sunt ne-nule:

Exista pierderi prin histerezis si prin curenti turbionari in

miezul magnetic

U1 U2

I1 s1

Infasurare

primara Infasurare

secundara

Miez magnetic

N1 N2

s2

I2

Zs

4.4.2. Ecuatiile de tensiuni ale transformatorului monofazat real

T2 Kirchhoff/ Legea ind. elmg.:

R1i1 - u1 = -dF1/dt ; F1 = N1j + Ls1i1

u2 + R2i2 = -dF2/dt ; F2 = N2j + Ls2i2

Ecuatiile de regim tranzitoriu ale transformatorului:

u1 = R1i1 + Ls1di1/dt + N1dj/dt

-u2 = R2i2 + Ls2di2/dt + N2dj/dt

Q = N1i10 = N1i1 - N2i2

Q = j u2 = Ri2 + Ldi2/dt + 1/Ci2dt ;

(ZL este considerat un circuit

R-L-C serie) U1 U2

I1 s1

Infasurare

primara Infasurare

secundara

Miez magnetic

N1 N2

s2

I2

Zs

Ecuatiile transformatorului in forma complexa (d/dt -> jw si dt -> 1/jw):

U1 = R1I1 + jwLs1I1 + jwN1Fm/2 -U2 = R2I2 + jwLs2I2 + jwN2Fm/2 Q = N1I1 + N2I2

Fm = Q2/ U2 = RI2 + jwLI2 - j/(wC)I2

U1 U2

I1 s1

Infasurare

primara Infasurare

secundara

Miez magnetic

N1 N2

s2

I2

Zs

Notatii:

Xs1 = wLs1

Xs2 = wLs2

E1 = -jwN1Fm/2 E2 = -jwN2Fm/2

E1 = -jwN1Q/ = -jwN1N1I10/ E1 = -jXmI10

Xm = wN12/

Ecuatiile transformatorului in forma complexa noua:

U1 = R1I1 + jXs1I1 E1 -U2 = R2I2 + jXs2I2 E2 N1I10 = N1I1 + N2I2

E1 = -jXmI10

U2 = RI2 + jXI2 X = wL - 1/(wC)

U1 U2

I1 s1

Infasurare

primara Infasurare

secundara

Miez magnetic

N1 N2

s2

I2

ZL

4.4.3. Raportarea secundarului la primar

Pentru simplificarea schemei transformatorului infasurarea reala secundara a transformatorului este inlocuita cu o infasurare conventionala

(marimi notate cu ) cu acelasi nr. de spire cu infasurarea primara. Astfel se va obtine aceeasi t.e.m. in primele doua ecuatii ale

transformatorului (E1 = E2). Acest procedeu de inlocuire se numeste raportarea secundarului la primar.

Regulile de inlocuire urmaresc ca infasurarea reala si cea conventionala sa fie caracterizate de aceleasi puteri aparente, active si reactive (S, P, Q):

N2 = N1 => E2 = E1 => E2 = E1 = E2N1/N2=> E2 = E2k S2 = S2 => E2I2 = E2I2 => I2 = I2N2/N1 => I2 = I2/k P2 = P2 => R2I2

2 = R2I22 => R2 = R2(N1/N2)

2 => R2 = R2k2

Q2 = Q2 => Xs2I22 = Xs2I2

2 => Xs2 = Xs2 (N1/N2)2 => Xs2 = Xs2 k

2

Pierderile in fier sunt modelate printr-o rezistenta: Rw = E1/Iw = Pfe/Iw2

Ecuatiile transf. in forma complexa

cu raportarea sec. la primare:

U1 = R1I1 + jXs1I1 - E1

-U2 = R2

I2 + jXs2

I2 - E1

I10 = I1 + I2 = Iw + Im

E1 = -jXmIm = - RwIw U2

= R

I2 + jXI2

Z = R+ j[L-1/(C)]

4.4.4. Schema echivalenta a transformatorului monofazat real

schema completa

schema simplificata

U1 = - U2 - RkI2

- jXkI2

-RkI2

Diagrame de fazori

-I2

-U2

-jXkI2

U1

j2

Rk = R1 + R2 Xk = Xs1 + Xs2

Fm

-I2

I2

Iw

Im

I10

I1 -E1

R1I1

jXs1I1

U2

jXs2I2

E2

U1

j1

j2

R2I2

1

2

3

4

5

6 7

8

9 10 11 12

13

14

15

4.5. Bilantul de puteri al transformatorului monofazat

U1I1* = R1I1I1

* + jXs1I1I1

* - E1I1*

-U2 I2

*= R2I2

I2

*+ jXs2I2

I2

* - E1I2*

I12 = I1I1

*

I22 = I2

I2*

S1 = U1I1* = P1 + jQ1 = R1I1

2 + jXs1I1

2 + U2 I2

* + R2I2

2+ jXs2I2

2 - E1(I1* + I2

*)

- E1(I1* + I2

*) = - E1I10* = - E1(Iw

* + Im*) = E1Iw + jE1Im

P1 = U1I1cosj1 = R1I12 + R2

I22 + E1Iw + U2

I2

cosj2 = Pj1 + Pj2 + Pfe + P2 Q1 = U1I1sinj1 = Xs1I1

2 + Xs2I2

2 + E1Im + U2 I2

sinj2 = Qs1 + Qs2 + Qfe + Q2

4.6. Randamentul transformatorului

h = P2 / P1 = P2/(P2 + Pfe + Pj) = bSncosj2/(bSncosj2 + b

2Pjn + Pfen)

Pj = Pj1 + Pj2 ; b = I2/I2n = factor de incarcare

h = f(b)| U1 = U1n; f = fn ; cos j = ct.

Transformatoarele de mica putere au

randamente uzual in

gama 80 90% pe cand cele de mare putere

ating randamente de

circa 99%.

si

4.7. Incercarile transformatorului

Incercarea de mers in gol

- Infasurarea primara se alimenteaza cu tensiune nominala la frecventa

nominala (U1 = U1n; f = fn)

- Circuitul secundar este lasat in gol (Z = ; I2 = 0)

Permite determinarea unor marimi precum: Pfe, cosj10, k, Rw, Xm, Iw, Im I10 I10

0; Pj1 = R1I102 0; (R1 + jXs1)I10

0; P10 = Pfe + R1I0

2 Pfe E1 =U1n cosj10 = P10/(U1nI10) k =E1/E2 U1n/U20 Iw = I10 cosj10; Im = I10 sinj10 Rw = U1n/Iw; Xm = U1n/Im

Schema de montaj Schema electrica echivalenta

Incercarea de scurtcircuit

- Infasurarea primara este alimentata cu tensiune redusa U1sc asa

incat I1 = I1n si I2 = I2n - Infasurarea secundara este scurt-circuitata (Z = 0; U2 = 0)

Permite evaluarea marimilor: Pj, cosjk, Rk, Xk U1k Pfe 0 P1k = Pfe + Pj Pj cosj1k = P1k/(U1kI1n) Zk = U1k/I1n; Rk = P1k/I1n

2; Xk = Zk2 - Rk

2

Transformatoarele sunt incercate si in sarcina in vederea determinarii caracteristicii externe si a randamentului.

Schema de montaj Schema electrica echivalenta

4.8. Caracteristica externa a transformatorului monofazat

Daca se conecteaza o sarcina la bornele secundarului unui transformator, tensiunea secundara U2, nu ramane in general const.

Variatia tensiunii secundare U2 functie de valoarea curentului de sarcina I2, pentru o valoare ct. a tensiunii de alimentare U1 , a frecventei

acesteia f1 si pt. un tip de sarcina, se numeste caracteristica externa a

transformatorului.

Caracteristica externa se poate exprima functie de I2 sau functie de factorul de incarcare b = I2/I2n. Aceast caracteristica se poate exprima si ca diferenta dintre tensiunea de mers in gol U20 si tensiunea la bornele

secundarului U2 raportata la tensiunea de mers in gol U20 si exprimata in

procente:

DU2 = 100. (U20 U2)/ U20

Caderea de tensiune, U20 - U2, este datorata rezistentei si reactanctei infasurarilor.

Valori tipice ale caderii de tensiune sunt de cateva procente din tensiunea nominala.

U2 = f(I2) | U1 = U1n; f = fn ; cosj2 = ct.

Forma analitica a caracteristicii externe se poate demonstra pe baza

diagramei fazoriale simplificate si se exprima prin relatia:

U2 = U20 [1 b(ukacosj2 + ukrsinj2)]

unde:

uka i ukr reprezint componentele activ i reactiv ale tensiunii de scurtcircuit uk,

exprimate n uniti relative.

4.9. Modelarea transformatorului electric utilizand modele de

tip cuplaj camp-circuit 4.9.1. Etape principale

-Definirea/cunoasterea datelor tehnice principale ale transf. (electrice,

magnetice, geometrice etc.);

-Definirea regimului de camp specific studiului ef

modelarea masinilor electrice

Documents