lucrarea de laborator nr. 7 i. scopul lucrăriimetode numerice - lucrarea de laborator 7 1 lucrarea...

Metode Numerice - Lucrarea de laborator 7

1

Lucrarea de laborator nr. 7

I. Scopul lucrării

Derivarea aproximativă

Integrarea numerică

II. Conținutul lucrării

1. Formule de derivare aproximativă folosind dezvoltări în serie Taylor

2. Proceduri MAPLE pentru implementarea formulelor de derivare aproximativă.

Exemple

3. Integrarea numerică

- Formula dreptunghiurilor.

- Formula trapezelor

III. Prezentarea lucrării

III.1. Formule de derivare aproximativă folosind dezvoltări în serie

Taylor

Fie f : [a, b] R, derivabilă. Se recurge la aproximarea derivatei unei funcții f

sau a derivatelor ei de ordin superior atunci când expresia lui f este prea complicată

sau când nu se cunoaște expresia analitică a funcției f (f este dată prin intermediul unui

tabel de valori).

Fie f : [a, b] R, derivabilă. Presupunem că se dau n+1 puncte distincte în

intervalul [a, b], x0, x1, …., xn, în care se cunosc valorile funcției f.

Prezentăm o tehnică de găsire a unor formule de aproximare pentru valorile

derivatelor de orice ordin ale funcției f. Această tehnică are la bază formula lui Taylor.

Mădălina Roxana Buneci Metode Numerice –Laborator

2

Reamintim această formulă.

Fie I un interval de numere reale, a I și f : I R o funcție de n ori derivabilă

în a. Polinomul Taylor de ordin n atașat lui f în punctul a este funcția polinomială Ta,n

: I R, definită prin:

Ta,n(x) = f(a) + !1

a'f(x-a) +

!2

a"f(x-a)2 +

!n

af n

(x-a)n.

Restul formulei Taylor de ordin n atașat funcției f în punctul a este funcția Ra,n

: I R definită prin Ra,n(x) = f(x) - Ta,n(x). Egalitatea

f(x) = Ta,n(x) + Ra,n(x)

valabilă pentru orice x I se numește formulă Taylor de ordin n atașată funcției f în

punctul a. Se demonstrează că n

x,a

ax ax

Rlim

= 0. Dacă f este de clasă Cn+1, atunci există

u strict cuprins între a și x (sau echivalent există (0, 1) astfel încât u = a+ (x – a))

cu proprietatea că

Ra,n(x) = !1n

uf 1n

(x - a)n+1.

Ne propunem să aproximăm valorile derivatelor de ordinul întâi și doi ale

funcției f în punctul xi [a, b] când sunt cunoscute valorile funcției în punctele

xi-1, xi, xi+1

care nu sunt neapărat echidistante, adică:

xi-1 = xi –h, xi+1 = xi + h.

Presupunem că f este de 3 ori derivabilă și scriem formula lui Taylor de ordinul 2

atașată lui f în xi:

2 3i i xi i i i

f (x ) f (x ) f (w )f (x) f (x ) (x x ) (x x ) (x x )

1! 2! 3!

.

cu wx stric cuprins între x și xi. Înlocuim în această formulă x = xi-1, respectiv x = xi+1

și obținem relațiile:

23i i

i 1 if (x ) f (x )h f (u)

f (x ) f (x ) ( h) ( h)1! 2! 3!

(1)


3

2 2 3 3i ii 1 i

f (x ) f (x ) f (v)f (x ) f (x ) h h h

1! 2! 3!

(2)

cu u strict cuprins între xi-1 și xi și v strict cuprins între xi și xi+1. Scăzând din a doua

relație prima relație înmulțită cu 2 obținem:

2 2 3 3 3 2i 1 i i 1

i

f (v) f (u)f (x ) f x 1 f (x ) h h

3! 3!f (x )h 1

Putem aproxima valoarea derivatei funcției f în xi prin:

2 2i 1 i i 1

i

f (x ) f x 1 f (x )f (x )

h 1

cu eroarea:

22f (v) f (u)

h1 3! 1 3!

care tinde la zero odată cu h2.

Adunând la a doua relație prima înmulțită cu obținem:

3 3 3i 1 i i 1

i 2

f (v) f (u)2 f (x ) 1 f (x ) f (x ) h h

3! 3!f (x )

h 1

.

Putem astfel aproxima valoarea derivatei de ordinul doi al lui f în xi prin

i 1 i i 1i 2

2 f (x ) 1 f (x ) f (x )f (x )

h 1

cu eroarea

2h f (v) f (u)

1 3 3

care tinde la zero odată cu h.

Dacă nodurile sunt echidistante (adică dacă = 1) se obțin următoarele formule

de aproximare:

i 1 i 1i

f (x ) f (x )f (x )

2h


4

i 1 i i 1i 2

f (x ) 2f (x ) f (x )f (x )

h

.

III.2. Proceduri MAPLE pentru implementarea formulelor de derivare

aproximativă. Exemple

Procedură MAPLE pentru determinarea valorilor aproximative ale

derivatei de ordinul 1

Procedura d1 admite drept parametri lista x ce conține punctele x1, x2, …., xn

și lista y ce conține valorile y1 = f(x1), y2 = f(x2), …., yn= f(xn). Procedura întoarce lista

aproximațiilor derivatei de ordinul I a lui f în punctele x2, x3, ..., xn-1.

> d1:=proc(x,y)

local df,h,alpha,i,n;

n:=nops(x);df:=[seq(1,i=1..n-2)];

for i from 2 to n-1 do

h:=x[i]-x[i-1];

alpha:=(x[i+1]-x[i])/h;

df[i-1]:=(y[i+1]+y[i]*(alpha^2-1)-alpha^2*y[i-1])/

(h*alpha*(alpha+1))

end do;

return df;

end proc;

Procedură MAPLE pentru determinarea valorilor aproximative ale

derivatei de ordinul 2

Procedura d2 admite drept parametri lista x ce conține punctele x1, x2, …., xn

și lista y ce conține valorile y1 = f(x1), y2 = f(x2), …., yn= f(xn). Procedura întoarce lista


5

aproximațiilor derivatei de ordinul al II-lea a lui f în punctele x2, x3, ..., xn-1.

> d2:=proc(x,y)

local d2f,h,alpha,i,n;

n:=nops(x);d2f:=[seq(1,i=1..n-2)];

for i from 2 to n-1 do h:=x[i]-x[i-1];

alpha:=(x[i+1]-x[i])/h;

d2f[i-1]:=2*(y[i+1]-(alpha+1)*y[i]+alpha*y[i-

1])/(h^2*alpha*(alpha+1))

end do;

return d2f;

end proc;

Exemple

> x1:=[seq(-1+2*i/5,i=0..5)];

> f1:=t->ln(1+t^2);

> y1:=[seq(evalf(f1(-1+2*i/5)),i=0..5)];

> d1(x1,y1);

> d2(x1,y1);

> z1:=[seq(D(f1)(-1+2*i/5),i=1..4)];

> z2:=[seq((D@@2)(f1)(-1+2*i/5),i=1..4)];

:= x1

, , , , ,-1

-3

5

-1

5

1

5

3

51

:= f1 t ( )ln 1 t2

y1 0.6931471806 0.3074846997 0.03922071315 0.03922071315 0.3074846997, , , , ,[ :=

0.6931471806]

[ ], , ,-0.8174080840 -0.3353299832 0.3353299832 0.8174080840

[ ], , ,0.7337405900 1.676649916 1.676649916 0.7337405900

:= z1

, , ,

-15

17

-5

13

5

13

15

17


6

> map(evalf,d1(x1,y1));

> map(evalf,z1);-.8174080840

> map(evalf,d2(x1,y1));

> map(evalf,z2);

III.3. Integrarea numerică

Fie f : [a, b] R o funcție continuă. Ne punem problema să calculăm valoarea

aproximativă a integralei

b

a

f (x) (x)dx , unde : [a, b]R este o funcție continuă strict

pozitivă numită pondere. Considerăm x0, x1, …, xn n+1 puncte distincte din intervalul

[a, b], și notăm yi = f(xi) pentru orice i = 0,1,…n. Fie Ln polinomul Lagrange asociat

lui f și punctelor considerate:

Ln(x) =

n0 1 i 1 i 1 n

ii 0 i 1 i i 1 i i 1 i ni 0

x x x x .... x x x x ... x xy

x x x x .... x x x x ... x x

Înlocuind f prin Ln, obținem formula de aproximare

b b

n

a a

f (x) (x)dx L (x) (x)dx

Reprezentăm punctele sub forma

xi = ia b b a

t2 2

, ti [-1, 1], i 0, 1, ..., n

și obținem

:= z2

, , ,

200

289

300

169

300

169

200

289

[ ], , ,-0.8174080840 -0.3353299832 0.3353299832 0.8174080840

[ ], , ,-0.8823529412 -0.3846153846 0.3846153846 0.8823529412

[ ], , ,0.7337405900 1.676649916 1.676649916 0.7337405900

[ ], , ,0.6920415225 1.775147929 1.775147929 0.6920415225


7

b

a

f (x) (x)dx

1n0 i 1 i 1 n

ii 0 i i 1 i i 1 i ni 0 1

(t t ) (t t )(t t ) (t t )b a a b b af (x ) ( t) dt.

2 2 2 (t t ) (t t )(t t ) (t t )

( formula generală de cuadratură)

Restul formulei generale de cuadratură (eroarea absolută) este:

Rn(f)

M

n 1 !

1n 2

0 1 n

1

b a a b b at (t t )(t t ) (t t )dt

2 2 2

,

unde M = x [a,b]

sup

f(n+1)(x).

III.3.1. Formula dreptunghiurilor

Fie f : [a, b] R o funcție de clasă C1. Aplicând formula generală de

cuadratură pentru 1, n=0, x0 = a b

2

(deci t0 = 0) obținem

b

a

f (x)dx (b-a)a b

f2

cu o eroare

2b a

4

x a,b

sup f ' x

.

Considerăm o diviziune (x0, x1, …., xn) a intervalului [a, b] cu puncte

echidistante (xi = a + n

abi, i = 0, 1, 2, …, n.) și aplicăm pe fiecare subinterval [xi,xi+1]

formula de aproximare

x

i 1x

i

f x dx (xi+1-xi) i i 1x xf

2

Se obține astfel formula dreptunghiurilor:


8

b

a

f (x)dx b a

n

n 1i i 1

i 0

x xf

2

.

Restul (eroarea) este dat de:

n 1

b i i 1

ai 0

x xb af x dx f

n 2

2

b a

4n

x a,b

sup f ' x

Interpretarea geometrică a formulei dreptunghiurilor

Fie Di dreptunghiul cu o dimensiune dată intervalul [xi, xi+]] și cu cealaltă

dimensiune dată de i i 1x xf

2

Atunci aria dreptunghiului Di este

(xi+1-xi) i i 1x xf

2

=b a

n

i i 1x xf

2

,

și deci formula dreptunghiurilor presupune aproximarea

b

a

f (x)dx prin suma ariilor

xi xi+1


9

dreptunghiurilor Di, i = 0, 1, …n-1.

Proceduri MAPLE pentru calculul valorii aproximative a unei integrale

definite folosind formula dreptunghiurilor

Procedura dreptunghiuri1 are drept parametri funcția care se integrează,

limitele de integrare, și numărul de subintervale din diviziune. Procedura întoarce

valoarea aproximativă a integralei obținută aplicând formula dreptunghiurilor.

Procedura dreptunghiuri2 este similară, cu singura deosebire că în locul numărului de

subintervale se introduce un număr pozitiv eps ce reprezintă eroarea maximă.

> dreptunghiuri1:=proc(f,a,b,n)

local i,iab,h,h0;

iab:=0;h:=(b-a)/n;h0:=a+1/2*h;


iab:=iab+evalf(f(h0+i*h))

end do;

iab:=iab*h;

return evalf(iab)

end proc;

> dreptunghiuri2:=proc(f,a,b,eps)

local i,iab,h,h0,n;n:=floor(1/4*(b-a)^2/eps)+1;

print(`Numar de pasi`,n); h:=(b-a)/n;iab:=0;h0:=a+1/2*h;


iab:=iab+evalf(f(h0+i*h))

end do;

iab:=iab*h;

return evalf(iab)


10

end proc;

Exemple

> f:=(x->x^7*ln(x)+x*cos(x));

> evalf(int(f(x),x=2..3));

> dreptunghiuri1(f,2,3,5);



> dreptunghiuri2(f,2,3,0.01);



> g:=(x->exp(-x^2));

> evalf(int(g(x),x=-1..1));

> dreptunghiuri1(g,-1,1,5);

:= f x x7 ( )ln x x ( )cos x

778.3339881

768.4434052

778.2346340

778.3329936

,Numar de pasi 26

777.9666004

,Numar de pasi 251

778.3300446

,Numar de pasi 2501

778.3339476

:= g x e( )x

2

1.493648266


11



> dreptunghiuri2(g,-1,1,0.01);



> with(student):

> middlesum(g(x),x=-1..1,5);

> evalf(middlesum(g(x),x=-1..1,5));

> middlebox(g(x),x=-1..1,5);

1.503548970

1.496106505

1.493649246

,Numar de pasi 101

1.493672307

,Numar de pasi 1001

1.493648512

,Numar de pasi 10001

1.493648267

2

5

i 0

4

e

/4 5

2 i

5

2

1.503548970


12

> middlesum(g(x),x=-1..1,10);

> evalf(middlesum(g(x),x=-1..1,10));

> middlebox(g(x),x=-1..1,10);

Comanda middlesum(g(x), x=a..b,n) din pachetul student întoarce aproximația

integralei

b

a

g(x)dx obținută prin aplicarea formulei dreptunghiurilor utilizând n

subintervale. Comanda middlebox(g(x), x=a..b,n) reprezintă grafic dreptunghiurile

utilizate în formulei dreptunghiurilor.

1

5

i 0

9

e

/9 10

i

5

2

1.496106505


13

III.3.2. Formula trapezelor

Fie f : [a, b] R o funcție de clasă C2. Aplicăm formula generală de cuadratură

pentru 1, n=1, x0 = a, x1 =b (deci t0 = -1 și t1 =1). Obținem

b

a

f (x)dx b a

2

(f(a) +f(b)).

cu eroarea

b

a

f (x)dx - b a

2

(f(a) +f(b))

3

b a

12

x a,b

sup f " x

.

Considerăm o diviziune (x0, x1, …., xn) a intervalului [a, b] cu puncte

echidistante (xi = a + b a

n

i, i = 0, 1, 2, …, n.) și aplicăm pe fiecare subinterval [xi,xi+1]

formula de aproximare

x

i 1x

i

f x dx i 1 ix x

2

( f(xi) + f(xi+1))

Obținem următoarea formulă de cuadratură numită formula trapezelor:

b

a

f (x)dx b a

n

n 1

ii 1

f a f bf x

2

.

Restul (eroarea) este dat de:

n 1

b

iai 1

f a f bb af x dx f x

n 2

3

2

b a

12n

x a,b

sup f " x

Interpretarea geometrică a formulei trapezelor

Fie Ti trapezul dreptunghic cu înălțimea egală cu lungimea intervalului [xi, xi+]]

și cu bazele f(xi) și f(xi+1).


14

Atunci aria trapezului Ti este

i 1 ix x

2

( f(xi) + f(xi+1)) =

b a

2n

( f(xi) + f(xi+1)),

și deci formula trapezelor arată că b

af x dx se poate aproxima prin suma ariilor

trapezelor Ti, i = 0, 1, …n-1.

Proceduri MAPLE pentru calculul valorii aproximative a unei integrale

definite folosind formula trapezelor

Procedura trapeze1 are drept parametri funcția care se integrează, limitele

de integrare, și numărul de subintervale din diviziune. Procedura întoarce valoarea

aproximativă a integralei obținută aplicând formula trapezelor. Procedura trapeze2

este similară, cu singura deosebire că în locul numărului de subintervale se introduce

un număr pozitiv eps ce reprezintă eroarea maximă.

> trapeze1:=proc(f,a,b,n)

local i,iab,h;

iab:=0;h:=(b-a)/n;;


iab:=iab+evalf(f(a+i*h))

end do;

f(xi+1)

f(xi)

xi xi+1


15

iab:=iab+(f(a)+f(b))/2;iab:=iab*h;

return evalf(iab)

end proc;

> trapeze2:=proc(f,a,b,eps)

local i,iab,h,n;n:=floor(abs((b-

a)^3/(12*eps))^(1/2))+1;

print(`Numar de pasi`,n); h:=(b-a)/n;iab:=0;


iab:=iab+evalf(f(a+i*h))

end do;

iab:=iab+(f(a)+f(b))/2;iab:=iab*h;

return evalf(iab)

end proc;

Exemple

> f:=(x->x^7*ln(x)+x*cos(x));

> evalf(int(f(x),x=2..3));

> trapeze1(f,2,3,5);

> trapeze1(f,2,3,50);

> trapeze1(f,2,3,500);

> trapeze2(f,2,3,0.01);

> trapeze2(f,2,3,0.001);

:= f x x7 ( )ln x x ( )cos x

778.3339881

798.1539466

778.5326999

778.3359754

,Numar de pasi 3

833.1348363


16

> trapeze2(f,2,3,0.0001);

> g:=(x->exp(-x^2));

> evalf(int(g(x),x=0..1));

> trapeze1(g,0,1,5);

> trapeze1(g,0,1,50);

> trapeze1(g,0,1,500);

> trapeze2(g,0,1,0.01);

> trapeze2(g,0,1,0.001);

> trapeze2(g,0,1,0.0001);

> trapeze2(g,0,1,10^(-8));

,Numar de pasi 10

783.2986759

,Numar de pasi 29

778.9246586

:= g x e( )x

2

0.7468241330

0.7443683397

0.7467996064

0.7468238866

,Numar de pasi 3

0.7399864752

,Numar de pasi 10

0.7462107961

,Numar de pasi 29

0.7467512252

,Numar de pasi 2887

0.7468241295


17

> with(student):

> trapezoid(g(x),x=-1..1,5);

> evalf(trapezoid(g(x),x=-1..1,5));

> trapezoid(g(x),x=-1..1,10);

> evalf(trapezoid(g(x),x=-1..1,10));

Comanda trapezoid(g(x), x=a..b,n) din pachetul student întoarce aproximația integraleib

a

g(x)dx obținută prin aplicarea formulei trapezelor utilizând n subintervale.

2

5e

( )-1 2

5

i 1

4

e

1

2 i

5

2

1.473924388

1

5e

( )-1 1

5

i 1

9

e

1

i

5

2

1.488736679

lucrarea de laborator nr. 7 i. scopul lucrăriimetode numerice - lucrarea de laborator 7 1 lucrarea...

Documents