1

LPL 3: Determinarea parametrilor modelului dinamic al motorului de curent continuu cu colector și cu excitație separată pe baza probei de răspuns tranzitoriu la semnal treaptă (Metoda Pasek)

Scopul lucrării Scopul lucrării practice de laborator – LPL 3 este determinarea parametrilor modelului dinamic liniar (de ordinul doi) al motorului de c.c. cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic inductor constant în timp:

rezistența electrică echivalentă a circuitului electric rotoric (al indusului), Ra [Ω];

inductanța totală proprie a circuitului electric rotoric , La [H]; constanta t.e.m. induse în înfășurarea rotorică, egală cu constanta

momentului cuplului de forțe electromagnetice dezvoltat de motor, K [V·s/rad] sau [Nm/A];

momentul de inerție al (rotorului) motorului (în raport cu axa de rotație a arborelui motorului), JM [kg·m2]; pe baza răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului electric rotoric (la perii) al motorului, aflat într-un regim permanent constant de mers în gol. Această metodă de determinare a parametrilor modelului dinamic liniar al motorului de c.c. cu colector și cu excitație separată a fost propusă de Z. Pasek [1], fiind ulterior preluată și dezvoltată în lucrările [2 – 5]. Considerații teoretice

Modelul dinamic liniar al motorului de c.c. cu colector și cu excitație separată (ce creează un flux magnetic constant în timp), aflat în regim permanent constant de mers în gol, este descris prin ecuațiile diferențiale de tensiune electrică a circuitului electric rotoric și de mișcare de rotație a arborelui motorului:

(1)

(2)

d ( )( ) ( ) ( ),d

d ( )( ) ( ) ,d

aa a a a

e a M L

i tu t R i t L K tt

tm t Ki t J Mt

2

unde ua(t) și ia(t) reprezintă tensiunea electrică instantanee aplicată la bornele circuitului electric rotoric (la perii), respectiv valoarea instantanee a intensității curentului electric (de conducție) din circuitul electric rotoric; Ω(t) definește viteza unghiulară mecanică (de rotație) instantanee a rotorului și a arborelui motorului, me(t) desemnează valoarea instantanee a momentului cuplului de forțe electromagnetice dezvoltat de motor, iar ML reprezintă momentul rezultant, considerat constant (în timp), al cuplurilor de forțe rezistente corespunzătoare frecărilor coulombiene interne ale motorului și pierderilor în fierul rotoric. În ecuațiile diferențiale liniare (1) și (2), s-au considerat neglijabile efectele reacției magnetice a indusului, căderea de tensiune la perii, saturația circuitului magnetic al motorului, precum și cuplul de forțe rezistente corespunzător frecărilor vâscoase ale motorului. Se admite, în continuare, că motorul de c.c. cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic inductor constant în timp, se află inițial într-un regim permanent constant de mers în gol, caracterizat prin ecuația de tensiune electrică a circuitului electric rotoric:

(3)

dedusă din (1), în condițiile regimului permanent constant de funcționare a motorului. Aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică ΔUa = Ua1 – Ua0 la bornele circuitului electric rotoric (la perii), este însoțită de un proces tranzitoriu electromecanic, la sfârșitul căruia motorul se va afla într-un nou regim (final) permanent constant de mers în gol, caracterizat prin ecuația de tensiune electrică a circuitului electric rotoric:

(4)

Dacă se măsoară valorile mărimilor Ua0 , Ua1 , Ia0 , Ia1 , Ω0 și Ω1 , cu ajutorul relațiilor (3) și (4) se pot determina, succesiv, constanta din expresiile t.e.m. induse în înfășurarea rotorică și momentului cuplului de forțe electromagnetice dezvoltat de motor, K și rezistența electrică echivalentă a circuitului electric rotoric, Ra : (5)

0 0 0 ,a a aU R I K

1 1 1.a a aU R I K

1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0

( / ) ( ) ( ), .( / )

a a a a a aa

a a a a

U U I I U U KK RI I I I

3

Variațiile în timp ale intensității curentului electric rotoric Δia(t) și vitezei unghiulare mecanice (de rotație) a rotorului ΔΩ(t), în procesul tranzitoriu survenit la aplicarea treptei de tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric (la perii), rezultă, conform (1) și (2), ca soluții ale sistemului de ecuații diferențiale liniare: (6)

(7)

Utilizând transformarea Laplace a ecuațiilor diferențiale în variații (6) și (7), cu condiții inițiale nule, se obține funcția de transfer corespunzătoare variației intensității curentului electric rotoric tranzitoriu:

2 2

( ) ( ) 1 ,( ) / 1

a a M

a a a em em

i s i s sJu s U s K s T T sT

(8)

unde s-au introdus notațiile: s , pentru variabila complexă Laplace (în domeniul frecvență), Ta , pentru constanta de timp a circuitului electric rotoric și Tem , pentru constanta de timp electromecanică a motorului,

2 , .a M aa em

a

L J RT TR K

(9)

Aplicând transformata Laplace inversă funcției complexe ( ),ai s

definită în relația (8), rezultă expresia variației temporale a intensității curentului electric rotoric în procesul tranzitoriu datorat aplicării bruște a treptei de tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric: (10)

unde 1,22 , 1 4 / 1 4 / , / ,

1a

a em em aTT a T T T T

a

(11)

reprezintă constantele de timp tranzitorii asociate polilor s1,2 = – 1/T1,2 ai funcției de transfer definite prin relația (8).

1 0d( ( ))( ) ( ),

dd( ( ))( ) .

d

aa a a a a a

a M

i tU U U R i t L K tt

tK i t Jt

2 1/ /2

2 1

1( ) [ (e e )],t T t TM aa

J Ui tK T T

4

Fig. 1. Cronograma răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric al unui motor de c.c. cu colector și cu excitație separată și constantă,

la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului electric rotoric al motorului,

aflat inițial într-un regim permanent constant de mers în gol. În Fig. 1, este reprezentată caracteristica (cronograma) răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric al unui motor de c.c. cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic inductor constant în timp, la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului electric rotoric (la perii) al motorului, aflat inițial într-un regim permanent constant de mers în gol. Timpul t* după care se atinge maximul variației intensității curentului electric rotoric Δia(t) (Fig. 1), în procesul tranzitoriu provocat de aplicarea bruscă a treptei de tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric (la perii), se determină din condiția:

(12)

Rezultă, astfel,

2 1

2 1

/ /*2

* 2 1

/ /2 1 *2

2 1

d ( ) d 1 [ (e e )]d d

[( / ) e ( / ) e )] 0.( )

t T t Ta M at t

t t

t T t TM at t

i t J Ut t K T T

J U t T t TK T T

5

1* ln( ) ,1

aT ata a

(13)

care, în baza relației (11), se poate transcrie în dependența funcțională

1 1*/ ln( ) ( ) ( ).

1aat T f a F

a a

(14)

Se arată, în continuare, că și raportul Δia(2t*)/ Δia(t*), definit în Fig. 1, este egal cu raportul Δia(t*)/(ΔUa/Ra) și că ambele rapoarte se pot exprima în funcție de același parametru λ = Tem/Ta . Într-adevăr,

respectiv,

2 1

2 1

*/ */*/ */2

2 1

2 1

(e e )( *) (e e )( )

( / ) ( / )

t T t TM at T t T

a em

a a a a

J Ui t TK T T

U R U R T T

2 1

2 1

2 1 2 12 1

2 1

2 */ 2 */2

2 1

*/ */2

2 1

*/ */ */ */*/ */

*/ */

2 1 (e e )ln( )(2 *) ( )1

1( *) (e e )ln( )( )1

(e e )(e e ) (e e )(e e )

(e

t T t TM aaa

a

t T t TM aaaa

t T t T t T t Tt T t T

t T t T

J UT aii t K T Ta a

J UT ai t iK T Ta a

2 12 1

1 1( / ) ln( ) ( / ) ln( ) / /1 1

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 2

1 1e ) ( ) ( )1 1

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1

1 1 2 1( ) ( ) 1 ( )1 1 1 1

a aa a

a aT aT T aT T aT T aTa a

a a a a aa a a a a

aa

a aa a

a a a aa a a a

a a aa a a a

2 ( ) ( ) ,aa g a G

(15)

6

1 1 12 2 2 2 2

1 2

1 1 (1 ) 2 1(1 ) ( ) ( ) ( )4 1 1 4 1 1

2 1( ) ( ) ( ).1 1

a a aem a a a

a

aa

T a a a a aaaT a a a a a

a g a Ga a

Relațiile (14) și (16) permit trasarea nomogramelor din Fig. 2, prin care sunt reprezentate grafic dependențele funcționale F(λ) și, respectiv, G(λ).

Fig. 2. Nomograme pentru dependențele funcționale ale rapoartelor t*/Ta și Δia(t*)/ (ΔUa/Ra) de parametrul λ = Tem/Ta .

t*/Ta

F(λ)

Δia(t*)

(ΔUa/Ra) G(λ)

λ = Tem/Ta

λ = Tem/Ta

(16)

7

Fig. 3. Schema de montaj experimental pentru proba de răspuns tranzitoriu în curent rotoric la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică

la bornele circuitului rotoric al motorului de c.c. cu colector și cu excitație separată.

Schema de montaj experimental și descrierea lucrării Pentru efectuarea probei de răspuns tranzitoriu în curent rotoric la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului rotoric al motorului de c.c. cu colector și cu excitație separată, se realizează montajul experimental, conform schemei din Fig. 3. Se alimentează circuitul electric statoric de excitație în tensiune continuă de la un generator de c.c. cu excitație în derivație sau de la un redresor în punte trifazată. Cu ajutorul reostatului de câmp Rc ,

se reglează intensitatea curentului electric de excitație al motorului la valoarea sa nominală.

8

Prin închiderea întreruptorului Q , cu comutatorul K deschis și cu reostatul de pornire Rp înseriat în circuitul de alimentare a rotorului (indusului) de la rețeaua de c.c., se aplică tensiunea constantă Ua0 (reprezentând nu mai mult de 40% din tensiunea electrică rotorică nominală a motorului) la bornele înfășurării induse (rotorice). Se măsoară valorile (constante) tensiunii electrice rotorice Ua0 [V], intensității curentului electric continuu Ia0 [A] și vitezei unghiulare mecanice rotorice Ω0 [rad/s] ale motorului, aflat în regim permanent constant de mers în gol sub tensiunea electrică Ua0 la bornele înfășurării rotorice (la perii). Prin închiderea bruscă a contactorului K, reostatul de pornire Rp , înseriat în circuitul de alimentare a rotorului de la rețeaua electrică de c.c., este scurtcircuitat, astfel încât se aplică brusc la bornele circuitului rotoric (la perii) treapta de tensiune electrică, ΔUa = Ua1 – Ua0 (tensiunea constantă Ua1 reprezentând nu mai mult de 50% din tensiunea electrică rotorică nominală a motorului).

Cu ajutorul osciloscopului cu memorie, se înregistrează cronograma răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric al motorului, la aplicarea bruscă a treptei de tensiune electrică ΔUa la bornele circuitului electric rotoric. Pe baza acestei cronograme (având alura celei din Fig. 1) se obțin valorile t*, Δia(t*), Δia(2t*) și, apoi, se determină valoarea numerică a raportului Δia(2t*)/ Δia(t*). După stingerea procesului tranzitoriu electromecanic, se măsoară valorile (constante) tensiunii electrice rotorice Ua1 [V], intensității curentului electric continuu Ia1 [A] și vitezei unghiulare mecanice rotorice Ω1 [rad/s] ale motorului, aflat în regim permanent constant de mers în gol sub tensiunea electrică Ua1 la bornele înfășurării rotorice.

În baza relațiilor (5), se determină constanta t.e.m. induse în înfășurarea rotorică și a momentului cuplului de forțe electromagnetice dezvoltat de motor, K și rezistența electrică echivalentă a circuitului electric rotoric, Ra .

Odată determinată valoarea numerică a raportului Δia(2t*)/ Δia(t*), cu ajutorul nomogramei G(λ) din Fig. 2, se obține valoarea parametrului

λ = Tem/Ta , care permite găsirea, cu ajutorul nomogramei F(λ) din Fig. 2, a valorii corespunzătoare a raportului t*/Ta și, apoi, determinarea

9

succesivă a constantei de timp a circuitului electric rotoric, Ta și a constantei de timp electromecanice a motorului, Tem . Din expresiile celor două constante de timp, Ta = La/ Ra , respectiv Tem = JM Ra / K2, în care valorile parametrilor K și Ra au fost determinate anterior, se obțin, în final, valorile inductanței totale proprii a circuitului electric rotoric, La [H] și momentului de inerție al (rotorului) motorului, JM [kg·m2]. Concluzii Metoda Pasek de determinare a parametrilor modelului dinamic liniar (de ordinul doi) al motorului de c.c. cu colector, cu excitație separată și cu flux magnetic inductor constant în timp

- necesită obținerea experimentală a răspunsului tranzitoriu în curent electric rotoric la aplicarea bruscă a unei trepte de tensiune electrică la bornele circuitului electric rotoric (la perii) al motorului, aflat inițial într-un regim permanent constant de mers în gol;

- se bazează pe egalitatea Δia(2t*)/Δia(t*) = Δia(t*)/(ΔUa/Ra) și pe dependența funcțională a acestor rapoarte și a mărimii adimensionale t*/Ta de parametrul λ=Tem/Ta , ceea ce permite trasarea și utilizarea nomogramelor G(λ) și, respectiv, F(λ) din Fig. 2;

- se poate aplica și în cazul considerării cuplului de forțe rezistente datorate frecărilor vâscoase interne ale motorului [2, 5];

- datorită simplității procedurii sale experimentale, se pretează identificării on-line a parametrilor dinamici ai motoarelor de c.c. cu colector și cu excitație separată și constantă, în schemele de reglare a acestora.

Bibliografie

1. Z. Pasek, Determinarea parametrilor dinamici ai motoarelor de current continuu (în lb. cehă), Elektrotechnický Obzor, Vol. 51 (1962), pp. 109-114.

2. W. Lord, J.H. Hwang, DC servomotors – Modeling and parameter determination, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 13 (1977), pp. 234-243.

3. D. Stoia, Motoare de curent continuu excitate cu magneți permanenți, Editura tehnică, București, 1983, pp. 127-134.

10

4. J. Louis et al., Commande des machines à courant continu à vitesse variable, Traité Génie Electrique, Fasc. D 3610, Editions Techniques de l’Ingénieur, Paris, 1998.

5. M. Hadef, M.-H. Mekideche, Moments and Pasek’s methods for parameter identification of a DC motor, Journal of Zhejiang University – Science C (Computers & Electronics), Vol. 12 (2011), pp. 124-131.