curent continuu- electrotehnica

5/28/2018 Curent Continuu- Electrotehnica

1/187

Curentulelectric

Michaela LOGOFTU

EElleeccttrriicciittaatteeii

eelleeccttrrootteehhnniicc

Curent electric continuu


2/187

Michaela Logoftu


3/187

Curentulelectric

Dedic aceastcarte celor care mi-au fost

PROFESORI i COLEGI

n Catedra de Electricitate,

ncepnd cu anul 1970, cnd am avut ansa de

a deveni membra acesteia.

Michaela Logoftu


4/187

Michaela Logoftu


5/187

Curentulelectric

CURENTUL ELECTRIC.....................................................................................71.1. Definiie, mrimi caracteristice .................................................................... 7

1.2. Expresia densitii de curent ..................................................................... 12

1.3. Ecuaia de continuitate.............................................................................. 14

1.4. Tensiunea electromotoare......................................................................... 17

CURENTUL CONTINUU N CONDUCTORII METALICI.................................212.1. Purttorii de sarcinn metale................................................................... 23

2.2. Legile conduciei electrice ......................................................................... 242.2.1. Legea Ohm pentru o poriune de circuit ........................................................................242.2.2. Legea lui Joule...............................................................................................................282.2.3. Legea Wiedeman-Franz.................................................................................................302.2.4. Probleme rezolvate ........................................................................................................322.2.5. Legea Ohm generalizat ................................................................................................48

2.3. Generatoare i receptoare ........................................................................ 512.3.1. Probleme rezolvate ........................................................................................................53

2.4.Transferul de putere de la sursla receptor .............................................. 55

NCLZIREA CONDUCTORILOR I A BOBINAJELOR ...............................673.1. Pierderi de energie termic ....................................................................... 69

3.2. Viteza de nclzire..................................................................................... 713.3. nclzirea maxima unui conductor parcurs de curent............................. 74

3.4. Legea exponeniala nclzirii.................................................................. 77

3.5. Probleme rezolvate ................................................................................... 82

FORE ELECTROMOTOARE DE CONTACT. EFECTE TERMOELECTRICE......................................................................................................................... 894.1. Efectul Peltier ............................................................................................ 91

4.1.1. Prezentare fenomenologic............................................................................................914.1.2. Interpretare, discuii.......................................................................................................93

4.2. Lanul metalic izoterm; legea lui Volta....................................................... 944.3. Efectul Thomson ....................................................................................... 95

4.3.1.Prezentare fenomenologic.............................................................................................954.3.2 Descriere cantitativ.......................................................................................................97


6/187

Michaela Logoftu

4.3.3 Legea lui Magnus ...........................................................................................................98

4.4. Aplicaii.......................................................................................................994.4.1. Termocuplul ..................................................................................................................994.4.2. Pile i generatori termoelectrici...................................................................................1074.4.3. Msurarea temperaturii................................................................................................1084.4.4 Alte aplicaii .................................................................................................................110

REELE ELECTRICE ....................................................................................1135.1. Noiuni fundamentale ...............................................................................115

5.2. Metode de rezolvare a reelelor liniare.....................................................1185.2.1. Transfigurarea circuitelor. Teoremele Kennelly pentru transformrile stea-triunghi..1185.2.2. Teoremele lui Kirchhoff..............................................................................................1245.2.3. Metoda curenilor ciclici..............................................................................................128

5.3 Probleme rezolvate ...................................................................................132

APLICAII ......................................................................................................1356.1. untul.......................................................................................................137

6.2. Rezistena adiional................................................................................139

6.3. Divizorul de tensiune................................................................................141

6.4. Divizorul de curent ...................................................................................143

MODUL SUPLIMENTAR................................................................................1451. Supraconductibilitatea.................................................................................147

2. Variaia rezistivitii cu diveri factori ..........................................................155

3. Caracteristici curent tensiune ale unor dipoli pasivi .................................167

ANEXE............................................................................................................179BIBLIOGRAFIE ..............................................................................................185


7/187

Curentulelectric

CURENTUL ELECTRIC


8/187

Michaela Logoftu

1.1 Definiie, mrimi caracteristice

1.2 Expresia densitii de curent

1.3 Ecuaia de continuitate

1.4 Tensiunea electromotoare


9/187

Curentulelectric

7

1.1. Definiie, mrimi caracteristice

Deplasarea ordonata sarcinilor electrice genereaz un curent electric, pusn evidenprin efectele sale:

termice,

chimice,

magnetice i

fiziologice.

Sarcinile electrice mobile (purttorii de sarcin) pot fi orice particule cu

sarcinelectricnenul, ca de exemplu:

electroni, protoni, particule ; ioni pozitivi, ioni negativi;

Un mediu material care conine purttori de sarcinmobili, capabili s

se deplaseze n interiorul acestuia genernd un curent electric se

numete conductor. Antagonic, prin izolator se denumete un mediu

lipsit de purttori capabili sse mite cu un anume grad de libertate n

interiorul su.

Tipul purttorilor de sarcindiferde la un conductor la altul, putnd exista

simultan,n acelai conductor mai multe tipuri de purttori, aflai fie:

n concentraii egale;

n concentraii diferite, unii fiind majoritari (cei n concentraie mai

mare), alii fiind minoritari (cei n concentraie mai mic).

De exemplu:

n metale, existun singur tip de purttori, electronii;

n electrolii, existioni pozitivi i ioni negativi, n concentraii egale;

n gaze ionizate, existioni atomici sau moleculari, cu sarcini pozitivei electroni liberi, cu sarcini negative;

n semiconductori, existdou tipuri de purttori, electroni i goluri,

care pot fi n cantiti (concentraii) egale n semiconductorii


10/187

Michaela Logoftu

8

intrinseci sau n concentraii diferite, n semiconductorii dopai n

(electroni majoritari) i, respectiv p (goluri majoritare).

La temperaturi T0, purttorii de sarcin, n micare termic, aleatorie, nu

genereazun curent electric, n lipsa unui cmp electric aplicat. Datoritmicriitermice, absolut dezordonat, printr-o suprafaoarecare din interiorul

conductorului, sarcina electrictransportatntr-un sens va fi egalcu sarcinaelectrictransportatn sens opus, n orice moment, neexistnd un transport net de

sarcinn vreo direcie.

Pentru a se obine curent electric printr-o suprafa din interiorul

conductorului, este necesar s se acioneze cu o for orientat

unidirecional, asupra purttorilor de sarcin mobili, fapt realizabil prin

aplicarea unui cmp electric nenul

0E

Curentul electric de conducie este generat prin deplasarea ordonat

(dirijat) a purttorilor microscopici de sarcin ntr-un mediu macroscopic

conductor fix.

Curentul electric de convecie rezult prin deplasarea unui corp

macroscopic ncrcat cu sarcin electric (mediu macroscopic conductor n

micare).

Cantitativ, curentul electric se caracterizeaz prin o serie de mrimi

caracteristice: sens, intensitate, densitate.

SENS - convenional este considerat pozitiv sensul de deplasare a

sarcinilor pozitive n conductorul considerat. ntr-o exprimare

echivalent, sensul curentului electric coincide cu sensul cmpului

electric n conductor.

INTENSITATE mrime scalar egal cu sarcina net transportat nunitatea de timp prin suprafaseciunii transversale a conductorului.


11/187

Curentulelectric

9

dtdq

tQ

I lim0t

=

=

(1)

n SI, se msoar n amper, simbol A, unitatea definit pe baza forei

electromagnetice, astfel:

1A este intensitatea unui curent electric constant care, trecnd prin

dou conductoare rectilinii, paralele, foarte lungi, aezate n vid la

distande 1m, face ca ntre ele sse exercite o forde 2.10-7N/m.

Din relaia de definiie, se vede c:

s1C1

A1 =

Un curent electric se numete staionar atunci cnd transport, prinorice seciune a unui conductor, sarcini egale n intervale de timp egale

(I=ct).

DENSITATE- mrime vectorial local. n orice punct din interiorul

unui conductor n care exist un curent electric, se poate defini un

vectorj numit densitate de curent, cu orientarea determinat de

micarea sarcinilor pozitive n conductor i cu modulul

nds

dIj= (2)

unde (dsn) este elementul de suprafa normal pe direcia de deplasare a

sarcinilor, centrat n punctul considerat, iar (dI) este intensitatea curentului

prin elementul de suprafadsn.

Din (2) rezultca unitate de msurn SI pentru densitatea de curent

[j]SI = A/m2

Noiuni utilepentru reprezentri grafice:

LINIA DE CURENT- se construiete astfel nct, n fiecare punct al ei

este tangentla vectorul j asociat acelui punct.


12/187

Michaela Logoftu

10

TUB DE CURENT- un fascicul de linii de curent care traverseaz un

element de suprafadsn(fig.1).

Fig. 1

n figura 2 se prezintregula prin care se asociazun vectords unui element

de suprafads:

Se definete vectorulds avnd modulul egal cu

aria seciunii ds i direcia perpendicular pe

suprafaa ds (sau de-a lungul normalei la ds). Sensul

vectoruluids este stabilit cu regula burghiului, n

funcie de un sens de parcurs arbitrar ales pe

conturul care delimiteazaria sa.

Fig. 2 dsnds = , unde

n este versorul normalei. (3)

Relaii de bazntre mrimile caracteristice

S considerm un conductor n care s-a stabilit un

curent electric; fie un element de suprafa ds,

orientat arbitrar fade j (fig.3),element att de mic,

nct n limitele sale, densitatea curentului este

constantn modul, ca i n orientare.

Din (2) se poate scrie:Fig. 3

===

cosjdsdsjjdsdI n (4)

nct printr-o suprafafinitS, intensitatea curentului este:

dsnjdsjdIIsSS

===

(5)


13/187

Curentulelectric

11

Fig. 4

Raportndu-ne la figura 4, se poate

da i o interpretare echivalent

pentru intensitatea curentului ca

fiind fluxul densitii de curent prinaria seciunii conductorului.

Dac

j = ct prin ntreaga arie a seciunii conductorului i este perpendicular

pe acesta ( dsjdsj =

), atunci se poate scrie relaia simplificat:

jSdsjdsjISs

===

(5)

Observaii:

densitatea de curent fiind o mrime local, asociat fiecrui punct

(x,y,z) din conductorul parcurs de curent, se fac remarcate unele

particulariti pentru conductorii omogeni i izotropi, pentru cei

neomogeni ca i pentru cei anizotopi. Astfel:

se poate afirma c

j = ct n orice punct al seciunii conductorului,

numai pentru conductorii omogeni i izotropi;

ntr-un conductor neomogen, modulul vectorului

j difer de la unpunct la altul;

ntr-un conductor anizotrop, orientarea vectorului

j poate diferi de la

punct la punct i poate fi diferit de orientarea cmpului electric

aplicat n punctul respectiv.


14/187

Michaela Logoftu

12

1.2. Expresia densitii de curent

Fie un conductor omogen i izotrop, avnd aria seciunii a, n care existunsingur tip de purttori, cu sarcina electricq i avnd concentraia (numrul

de purttori din unitatea de volum) n.

Admitem cntre extremitile conductorului existi se menine o diferen

de potenial (A)- (B), astfel nct, n interiorul acestuia se stabilete un

cmp electric 0E . Fora cmpului electric imprimpurttorilor o micare

orientatunidirecional (de drift), suprapusagitaiei termice, de valoare

medie (fig. 5).

Fig.5

Considerm ca moment zero (originea

timpului), momentul n care purttorii

prsesc aria seciunii A i t timpul n

care ajung n seciunea B.

Deci, n intervalul t, toi purttorii de sarcindin volumul V al cilindrului

cu aria bazei ai generatoarea t, n numr

N=nV=na dv t (6)

transporto sarcin

Q= q N = qna t (7)

care genereazun curent de intensitate

>


15/187

Curentulelectric

13

>


16/187

Michaela Logoftu

14

1.3. Ecuaia de continuitate

Considerm un conductor masiv, n care s-a stabilit un curent electric (untransport dirijat, ordonat, de sarcini electrice).Fie un volum V din acest

conductor, limitat de o suprafa(fig.6).

Fig. 6

Normala la suprafaa nchiseste orientat

ctre exterior, nct intensitatea curentului

dsnjdsjI

== (13)

este, conform definiiei, egalcu sarcina electriccare iese din suprafaa

ntr-un timp oarecare.

Dar, conform cu principiul conservrii sarcinii, sarcina care iese din interiorul

suprafeei ntr-un interval de timp este egalcu viteza de scdere a sarcinii

din interiorul acesteia, n acelai interval de timp. Deci:

dtdQ

dsj =

(14)

Fluxul densitii de curent prin suprafaa n intervalul de timp dt este egalcu viteza de scdere sarcinii din interiorul suprafeei , n acelai interval de

timp.

Dac densitatea volumic a purttorilor de sarcin n punctul (x,y,z) este

(x,y,z), atunci sarcina Q a purttorilor din volumul V nchis se suprafaa

este

=V

dV)z,y,x(Q (15)

nct

dVdtd

dsjV =

(16)


17/187

Curentulelectric

15

dar

tdtd

=

(17)

(derivat parial, n raport numai cu timpul, a funciei de coordonate

(x,y,z)).

Aplicnd teorema Gauss-Ostrogradski

=

VS

dVAdivdsA

se obine:

=V

dVjdivdsj

comparnd cu (16) i innd seama de (17) rezult:

dVjdivdsjV

=

dVt

dsjV

=

=

VVdVtdVjdiv (19)

Deoarece este vorba de acelai volum V, egalitatea este adevrat pentru

orice punct din conductor:

tjdiv

=

(20)

sau, echivalent

tj

=

(21)


18/187

Michaela Logoftu

16

Ecuaia (20) sau echivalent (21) se numete ecuaia de continuitate pentrudensitatea de curent.

Deoarece att densitatea de curent

j ct i densitatea de sarcin suntmrimi locale, definite n fiecare punct al conductorului, ecuaia de

continuitate este ecuaia diferenial (local) fundamental a

electrocineticii.

O interpretare echivalent pentru ecuaia de continuitate, poate fi

exprimatastfel: n punctele din conductor care sunt surse pentru densitatea

de curent, densitatea sarcinii electrice scade n timp.

Comentarii:

Pentru curenii staionari, care transportsarcini egale n intervale

de timp egale, condiia

0t

=

(22)

impune

0jdiv =

sau

j (23)

Din analiza vectorial se tie c mrimea divergen

caracterizeazproductivitatea surselor, deci (23) indicfaptul c

nu existpuncte din care izvorte densitatea de curent.

Pe baza teoremei Gauss-Ostrogradski se poate afirma c fluxul

liniilor densitii de curent printr-o suprafa nchisdin conductor

este nul pentru curenii staionari.

Echivalent, se poate spune:

Sarcina electricintrnd ntr-un volum oarecare dintr-un conductor

n unitatea de timp, este egal cu sarcina electric ieind din acel

volum, n unitatea de timp.


19/187

Curentulelectric

17

Se mai poate spune i c nu exist puncte de acumulare sau de

distrugere (absorbire) a sarcinii electrice n conductorii parcuri de

cureni staionari.

Pentru curenii nestaionari, acest flux nu se mai anuleaz.

1.4. Tensiunea electromotoare

Pentru generarea i meninerea curentului electric de conducie, este necesar

ca purttorii mobili de sarcin dintr-un conductor s fie acionai de fore

care sasigure deplasarea lor ordonatde-a lungul circuitului nchis cruia

aparine conductorul respectiv.

Astfel de fore pot fi aplicate purttorilor de sarcin numai prin

intermediul unui cmp electric de natur nonelectrostatic (cmpneconservativ).

Sarcinile n micare ordonat, dirijat, transfer n mod continuu i

ireversibil, energie reelei cristaline (efect Joule). Deci, pentru ca

micarea snu nceteze, este necesaro sursexternde energie care

ssuplineascenergia pierdut(disipat) la interacia cu reeaua.

n concluzie:

Pentru a menine curentul ntr-un circuit, este necesar ca asupra

purttorilor de sarcin s acioneze, pe lng forele de natur

electrostatic i fore de natur nonelectrostatic, numite imprimate

sau induse. Aceste fore sunt generate de un dispozitiv numit sursde

tensiune electromotoare, care transform diverse forme de energie n

energie electric.

Ca surse se pot meniona cele care transform n energie electric, energia

asociat:

unor reacii chimice, dispozitivele respective numindu-se

acumulatoare sau pile galvanice; inducerii unui cmp electric neconservativ prin variaia n timp a unui

cmp magnetic, dispozitivele respective fiind generatoarele electrice

convenionale.


20/187

Michaela Logoftu

18

Fora imprimat (aplicat) acioneaz asupra unui purttor de sarcin q

printr-un cmp electric imprimat, de intensitate:

qF

Ei

i

= (24)

n conductor, va exista deci un cmp total, totalE

imprimatticelectrostatotal EEE

+= (25)

S considerm o sarcinpozitiv, unitate, ca sarcin test, q0; scriem lucrul

mecanic efectuat de cmpul electric total asupra ei, pentru deplasarea ntre

doupuncte oarecare 1 i 2 ale circuitului:

+= dlEqdlEqW2

1

i0

2

1

e012 (26)

Primul termen, prin definiie este diferena de potenial ntre punctele 1 i 2;

al doilea termen, se noteaz 12E i definete tensiunea electromotoare

(t.e.m.)

12021012 q)(qW E+= (27)

= dlE

2

1

i12E

n cazul unui circuit nchis, (n care deci punctele 1 i 2 se confund) primul

termen din (26) se anuleaz, (cmpul electrostatic fiind conservativ are

circulaie nulpe orice drum nchis), nct se poate renuna la indicii 1 i 2 i

(26) se scrie:

+= dlEqdlEqW i00 (28)


21/187

Curentulelectric

19

+= dlEq0qW i0 (28)

Se noteaz

== dlEqW

i

0

E (29)

i se numete tensiune electromotoare(t.e.m.).

Tensiunea electromotoare a sursei este lucrul mecanic efectuat de fora

imprimat de surspentru a deplasa unitatea de sarcin pozitiv de-a

lungul ntregului circuit. Se msoarn volt (V).

Revenind la (26) i (27) se poate defini cderea de tensiune ntre punctele 1 i2 ale circuitului ca fiind lucrul total asupra sarcinii pozitive unitate.

1221o

1212 q

WU E+== (30)

n concluzie:

Cderea de tensiune pe o poriune a circuitului, ntre punctele 1 i 2, este

egalcu suma algebrica diferenelor de potenial existente ntre punctele

1 i 2 [(1-2)]i tensiunea electromotoare a surselor existente pe poriunea

respectivde circuit, 12E . Dac i numai dac, pe poriunea respectiv nu

existsurse de tensiune ( 12E =0), atunci cderea de tensiune U12este egalcu

diferena de potenial ( 1 - 2).

De reinut:

Diferena de potenial, cderea de tensiune i tensiunea electromotoare

fiind mrimi fizice de aceeai natur, se msoar n aceleai uniti; n SI,

unitatea este voltul, cu simbolul V.


22/187

Michaela Logoftu

20


23/187

Curentulelectric

2 CURENTUL CONTINUUN CONDUCTORIIMETALICI


24/187

Michaela Logoftu

22

2.1 Purttorii de sarcinn metale

2.2 Legile conduciei electrice

2.2.1 Legea Ohm pentru o poriune de circuit

2.2.2 Legea lui Joule

2.2.3 Legea Wiedeman-Franz

2.2.4 Legea Ohm generalizat

2.3 Generatoare i receptoare2.4 Transferul de putere de la sursla receptor


25/187

Curentulelectric

23

2.1. Purttorii de sarcinn metale

Experimental, s-a stabilit c purttorii de sarcin n metale sunt electroniiliberi.

Electroni liberi sunt considerai acei electroni care nu sunt legai (nu aparin)

de nici unul dintre atomii constituieni ai reelei i sunt capabili s se

deplaseze n metal, pe distane mari comparativ cu constanta reelei. Provin

din nivele exterioare (de valen) ale atomilor constitutivi ai metalului.

Concludente n a stabili natura purttorilor de sarcin n metale sunt

experimentele efectuate de

RIEKIE, 1901:Meninnd timp ndelungat, aproximativ 1 an, un curent electric de

0,1A ntr-un circuit cilindric format din trei cilindri identici, unul din

Al i doi din Cu (cel din Al fiind strns fixat ntre cei doi de Cu), se

constat c, dei sarcina electrictransportateste foarte mare (de

ordinul 3 milioane coulomb), totui nu se observ nici transport de

substandintr-un cilindru n altul i nici transformri chimice.

Concluzia este cpurttorii de sarcinsunt aceiai n ambele metale,

masa lor fiind neglijabil.

STEWART I TOLMAN, 1917:Determinnd experimental sarcina specific (q/m) a purttorilor de

sarcindintr-un conductor metalic oprit brusc din micare, valoarea

gsit coincide, n limita admis a preciziei experimentelor, cu

valoarea cunoscuta sarcinii specifice a electronului, (e/m).

Reunind concluziile celor douexperimente prezentate, se poate afirma cn

metale purttorii de sarcinsunt electronii liberi.


26/187

Michaela Logoftu

24

2.2. Legile conduciei electrice

2.2.1. Legea Ohm pentru o poriune de circuit2.2.2. Legea lui Joule

2.2.3. Legea Wiedeman-Franz

2.2.4 Legea Ohm generalizat

2.2.1. Legea Ohm pentru o poriune de circuit

Considerm un conductor metalic

omogen;

izotrop;

meninut la temperatur constant i avnd form cilindric, de

lungime (l) i arie a seciunii transversale (S) (figura 1).

Fig. 1

Aplicnd la extremitile acestui conductor

o diferen de potenial constant,

V2-V1=ct (fig.1), n conductor se stabilete

un curent de intensitate I constant n

timp, i de aceeai valoare n orice

seciune transversal a conductorului,numit curent continuu.

Experimental, s-a stabilit o relaie de proporionalitate ntre intensitatea

curentului prin conductor i diferena de potenial aplicat la bornele

(extremitile) acestuia, descrisprin legea lui Ohm:

R

VVI 12

= (1)

unde R este un factor de proporionalitate, care depinde de: proprietile intrinseci ale conductorului;

dimensiunile i geometria acestuia;

condiii exterioare (factori exteriori).


27/187

Curentulelectric

25

R se numete rezistenelectrica conductorului sau pe scurt, rezisteni

se reprezintprin simbolurile grafice din fig.2.

Fig.2

Pentru conductorul cilindric menionat, rezistena R se poate exprima prin:

Sl

R

= (2)

unde este rezistivitatea i depinde att de natura materialului (proprieti

intrinseci ale materialului), ct i de condiiile exterioare (mai ales de

modificarea temperaturii) (vezi n Modulul suplimentar,Superconductibilitata).

[ ] ohmR SI = , cu simbolul ;

[ ] metruohmSI = , cu simbolul ( m). Se mai folosete i unitatea

practic .mm2/m, rezultat din (2), n care S se exprim n

mm2, iar l n m.

Mrimea definit prin inversul rezistiviti se numete conductivitate i se

noteazprin :

=

1 [ ] ( ) 1SI metruohm

= cu simbolul (m)-1;

Unitatea ()-1se mai numete i siemens, cu simbol S, astfel nct unitatea

pentru conductivitate (m)-1=S/m se numete siemens/metru.

Legea lui Ohm constituie un criteriu de clasificare a conductorilor n

ohmici (liniari), cei care respect(1);

neohmici (neliniari), cei care nu respect(1).


28/187

Michaela Logoftu

26

n general, se reprezint grafic dependena intensitii curentului printr-un

conductor de tensiunea aplicat la bornele acestuia, caracterul liniar sau

neliniar observndu-se direct (fig.3.b).

Curba I=f(V) se numete caracteristica volt-amperic sau caracteristica

curent-tensiune a conductorului.

a) Conductor ohmic b) Conductori neohmici

Fig.3.

O comportare liniar prezint i fotorezistorii (FR), cu particularitatea

existenei a doucaracteristici I V ale acestora, la lumin(iluminare) i la

ntuneric. (Vezi problema rezolvatnr. 6 la sfritul paragrafului 2.2.4.).

Elementul de circuit caracterizat prin rezisten ohmic se numete

REZISTOR. n vorbirea curent, se face referire la rezisten, cnd de fapt

trebuie menionat rezistorul (elementul fizic, real).

Pentru a evita orice confuzie, este recomandabil sse foloseasctermenii:

rezistor, pentru elementul de circuit;

rezisten, pentru mrimea fizicce l caracterizeaz.

Revenind la (1) i introducnd (2), prin cteva transformri simple, se obine:

SESlU1

SlVV

SlVV

RVV

I 211212 =

=

=

=

=

(3)

Din definiia densitii de curent, j, aceasta este constantn orice punct din

interiorul conductorului considerat omogen i izotrop, astfel nct se poate

nlocui I prin jS i (3) devine


29/187

Curentulelectric

27

jS=ES (4)

de unde

j=E (5)

fiind un scalar pentru mediul omogen i izotrop. Vectorial:

= Ej (5)

Relaiile (5) i echivalent (5) exprim legea lui Ohm n forma local

(microscopic), corelnd n fiecare punct din conductor densitatea de curent

i cmpul electric asociat.

De observat c, aa cum:

rezistena conductorului este independent de I i U, la nivel

macroscopic,

tot aa

rezistivitatea este independent dej i

E , la nivel microscopic

(local).

Legea lui Ohm este specificunei categorii de materiale conductoare

- conductoarele ohmice -, nefiind o lege general a

Electromagnetismului. Din acest motiv se mai numete i lege de

material.


30/187

Michaela Logoftu

28

2.2.2. Legea lui Joule

Experimental, s-a observat degajarea unei cantit

i de cldur

la trecerea

curentului electric printr-un rezistor (efectul termic al curentului electric).

Matematic, cldura degajatQ se scrie:

Q=RI2 (6)

n funcie de rezistena conductorului R, intensitatea curentului I prin

conductor i - intervalul de timp n care trece curent prin conductor.

Se definete densitatea puterii termiceca fiind cldura degajatn unitatea

de timp n unitatea de volum a conductorului:

22

22

2

jSI

lS

ISl

VRI

VQ

w =

=

=

=

= (7)

Dar din legea lui Ohm n forma local

j=E

rezult, introducnd (5) n (7):

( ) 22 EE1

w =

= (8)

Relaia (8) poartnumele de legea lui Joule n forma local(microscopic) ii se asociaz o interpretare fizic n cadrul modelului gazului electronic

(modelul Drude-Lorentz) elaborat la nceputul secolului XX pentru explicare

unor particulariti ale conduciei electrice n metale.

Efectul Joule are numeroase aplicaii practice industriale (cuptoare electrice,

usctoare), n metrologie (ampermetre i voltmetre termice), sigurane

fuzibile n distribuia energiei electrice, n domeniul casnic (nclzitoare,

cuptoare, fier de clcat, plite), etc.

De asemenea, datorit energiei termice (cldurii) disipate la trecerea

curenilor electrici prin conductori izolai cu diverse materiale (textile, PVC,


31/187

Curentulelectric

29

etc.), intensitile acestora trebuie limitate, pentru a nu deteriora izolaiile

care, de regulsuporttemperaturi ntre 120-180C.

Despre pierderile de energie n liniile de transport a energiei electrice se va

vorbi ntr-un paragraf ulterior.

Un calcul numeric va completa cunotinele referitoare la variaia rezistenei

conductorilor metalici cu temperatura, mai ales atunci cnd, n timpul

funcionrii diferitelor aparate sau circuite electrice se ating temperaturi

considerabile (vezi Problema rezolvaturmtoare).

La 20oC rezistena filamentului unui bec electric este de 13, n stare de

incandescenfiind de 144. tiind valoarea coeficientului de temperatural

rezistenei1

grd005,0

= , vom calcula temperatura pe care o atingefilamentul n timpul funcionrii.

)t1(RR 101 +=

)t1(RR 202 +=

)t1(R

)t1(R

RR

20

10

2

1

+

+=

)t1(R)t1(R 1221 +=+

11221 R)t1(RtR +=

+

=1

1122 R

R)t1(Rt

C223710513

13)201051(144t o

3

3

2

+=


32/187

Michaela Logoftu

30

Datoritacestor valori mari ale temperaturii atinse de filamentele becurilor

n stare de funcionare, acestea se confecioneaz din metale greu fuzibile

(temperaturi de topire ridicate), ca de exemple: tungsten (3380oC), osmiu

(5500oC).

2.2.3. Legea Wiedeman-Franz

Experimental s-a constatat c metalele sunt buni conductori electrici i

termici i, mai mult, raportul dintre conductivitatea termic i

conductivitatea electric , pentru un metal dat este proporional cu

temperatura absoluta acestuia.

T~

(9)

La o temperatur dat, pentru toate metalele, valoarea raportului este

constant i egal cu2

e

k3

, unde k este constanta Boltzmann

(k=1,3810-23 J/K) i e este sarcina electronului. Aceast constatare

experimentalse numete legea Wiedeman-Franz i are o importanaparte

n teoria clasica metalelor.

Tek

32

=

(10)

Comentarii:

n cadrul teoriei cuantice a metalelor se gsete valoarea raportului

dintre conductivitatea termic i conductivitatea electric puin

diferitde valoarea prezentatmai nainte n teoria clasic:

22

0 ek

3TL

=

=


33/187

Curentulelectric

31

28,33

32

=

.

Constanta L0se numete numrul lui Lorentz i la temperatura camerei

are valoarea

28

0 k

W1045,2L

=

n compararea datelor experimentale cu cele teoretice trebuie avut n

vedere i faptul c, pe lngfluxul termic transportul de electroni mai

existi fluxul termic asociat reelei metalului

La metalele normale care nu prezint fenomenul de

supraconductibilitate, conductivitatea termic a reelei este foarte

mic n comparaie cu conductivitatea termic a electronilor de

conducie:fiind cu aproximativ dou ordine de mrime mai mic, aceasta se

neglijeaz.

n Tabelul 1 sunt date valorile experimentale ale mrimii

T

pentru cteva

metale uzuale, valorile temperaturii absolute fiind ntr-o coloanseparat.

Tabelul 1: Raportul dintre conductivitatea termici conductivitatea electrica

metalelor.

Metal T(K)810

T

(W)/K2Metal T(K)

810T

(W)/K2

Aluminiu291,2

373,2

2,81

2,27Plumb

273,2

373.2

2,47

2,56

Argint273,2

373,2

2,31

2,37Staniu

291,2

373,2

2,52

2,49

Cupru273,2

374,8

2,23

2,23Zinc

293,2

83,2

2,56

2,04

Fier 273,2 2,47 Nichel 373,2 2,28

Vom ncheia acest paragraf prin cteva exerciii exerciii cu rol de fixare a

cunotinelor referitoare la:


34/187

Michaela Logoftu

32

interpretarea conduciei electrice a metalelor n modelul

Drude Lorentz;

ordinul de mrime al concentraiei electronilor n metale ca i

la conductori neliniari (neohmici).

2.2.4. Probleme rezolvate

1. La extremitile unui conductor din cupru, cu lungimea de 1m i seciunea

S=1mm2se aplico tensiune de 40 mV.

Intensitatea curentului care se stabilete este I =2A. Calculai:

a) intensitatea cmpului electric n conductor;

b) viteza de drift a electronilor de conducie;

c) rezistivitatea cuprului, presupunnd ctoi atomii de cupru au cedat cte2 electroni, transformndu-se n reea, n ioni bivaleni, Cu2+.

Se cunosc:

- densitatea cuprului, dCu=8,9103Kg/m3;

- masa molarMCu=63,5 Kg / Kmol;

- numrul lui Avogado NA= 6,021026molec/Kmol

ezolv re:a) Intensitatea cmpului electric n conductor

lU

E=

m/mV40m/V1040m1

V1040E 3

3

==

=

(1)

b) n expresia densitii de curent pentru metale

j = nev (2)


35/187

Curentulelectric

33

unde v este tocmai viteza de drift cerut, intervine i n,concentraia

electronilor, adicnumrul de electroni din unitatea de volum, mrime care

se calculeazn felul urmtor:

1 kmol de cupru conine NAatomi-------care

elibereaz(2 NA) electroni:

m (masa conductorului) conine )M

m(

Cu

Kmoli i elibereaz 2 )M

m(N

CuA electroni

N numrul total de electroni este deci N =2 )M

m(N

CuA (3)

Dar acest numr total de electroni N din masa conductorului se poate exprima

prin concentraia n i volumul V al conductorului

N= nV (4)

Egalnd (4) i (3) se obine :

ACu

NM

m2nV= (5)

unde m - masa conductorului se exprimprin densitatea d a materialului din

care este confecionat i volumul acestuia.m =dCuV (6)

Introducnd n (5) rezult:

ACu NM

Vd2nV

= (7)

M

Nd2n ACu= (8)

329

263

3

m1068,1

Kmolkg5,63

Kmolatomi

1002,6mkg

109,82n =

=


36/187

Michaela Logoftu

34

Din (2) rezult:

sm

104,7C106,1m1068,1m10

A2v

Sne

I

ne

SI

ne

j

v5

1932926

=

=

=== (9)

c) Din expresia locala legii Ohm

j = E (10)

rezultconductivitatea :

Ej

= (11)

= 1 (12)

nct

IES

SIE

jE

=== (13)

Numeric:

18

8

263

)m(105,0

m102A2

m10mV1040

=

=

=

Se impune discutarea acestor valori numerice:

n tabelele de valori ale rezistivitii se gsete pentru Cu,

= 1,75 107(m)-1, o valoare relativ apropiatde aceasta.

viteza termicmedie a electronilor n conductor, calculat pe baza

teoriei cinetico- moleculare aplicatgazuluide electroni liberi este

(la T= 300K)

s/m1017,1mkT3

u 5

e

=


37/187

Curentulelectric

35

viteza imprimatde cmp, v = vdrift=7,410-5m /s

Aparent este un paradox: cum se explic propagarea instantanee a

curentului electric prin conductori, dacviteza electronilor este att

de mic? De reinut c, viteza electronilor nu este viteza de propagare

a curentului electric: la conectarea unei surse, n conductor se

stabilete un cmp electric care se propagcu vitezcomparabilcu

viteza luminii, punnd n micare toi electronii din conductor.

Conductibilitatea mare a metalelor se explic prin numrul mare de

electroni liberi din unitatea de volum (1028-1029)m-3 i nu prin viteza

acestora.

Pentru comparaie, vom da i valorile concentraiilor de purttori din

alte medii conductoare:

electrolii foarte buni (NaCl, soluie 1N, =0,1)

n+= n= 61025m-3

1,2(m)-1

- grad de disociere

aer natural ionizat:

n+ =(5108-109)m-3;

n= (4-8)108m-3;10-14(m)-1.

Din acest motiv, al conductivitii slabe, aerul natural este considerat

izolator.

Ionizarea sa poate fi mrit, deci implicit i conductivitatea, prin

iluminare cu radiaii ultraviolete (UV).

2. n modelul Drude - Lorentz al conduciei electrice n metale (elaborat

ntre anii 1902-1907), se face ipoteza cmicarea electronilor este guvernat

de legile gazului ideal. Rezultatele obinute explicunele particulariti ale


38/187

Michaela Logoftu

36

conduciei electrice n metale, diferenele aprnd la comparaii cantitative

(ordine de mrime).

Vom calcula conductivitatea electricn cadrul acestui model. n micarea

n conductor, electronii sunt supui aciunii cmpului electric i micrii

termice. Astfel, electronii de conducie suferciocniri cu impuritile (atomii

strini) prezente n reeaua de baz, dar i cu ionii acesteia, ioni care

participi ei la micarea termic, prin oscilaii.

Se noteazprin

vt viteza termicmedie a electronilor;

- drumul liber mediu ntre douciocniri succesive.

Rezultc, n aproximaia fizicii clasice, timpul ntre douciocniri se poate

scrie

tv

= (1)

La aplicarea unui cmp electric E, electronii capto acceleraie

ma = eE

Em

e

a=

(2)

n ipoteza c la fiecare ciocnire electronul i pierde complet viteza i

procesul de accelerare se reia, rezultcviteza medie pe un parcurs egal cu

drumul liber mediu este calculabilprin

=+= Eme

21

)a0(21

v (3)

Dar, aceast valoare a vitezei este tocmai viteza de drift a electronilor,

dedusdin legea Ohm

j = E (4)

j = nev (5)


39/187

Curentulelectric

37

nev = E (6)

Egalnd (6) i (3)

=

Eme

21

Ene

rezult

mne

21 2

= (7)

unde timpul se exprimprin (1) i se obine, n final

t

2

vmne

21

= (8)

Formula (8) se mai numete i formula Drude.

S aplicm aceast formul n cazul unui conductor din Cu, n care

presupunem cfiecare atom, devenit, n reea, un ion monovalent, cedeaz

acesteia un electron liber. Aplicnd metoda de calcul din problema

anterioar, rezultpentru numrul de electroni liberi din unitatea de volum,

valoarea

n = 8,4510-28atomi/m3 (9)

De reinut c ordinul de mrime al concentraiei de electroni liberi n

metalele uzual folosite n electrotehniceste cel de mai sus.

Pentru calculul drumului liber mediu ntre ciocniri succesive cu ionii reelei,

se ine seama cree aua cristalina cuprului este de tip cubic, cu o distan

medie ntre ioni a calculabildin urmtorul raionament:

dac n atomi corespund unui volum de 1m3

atunci 1 atom ocup un volum Vx

n1Vx = (10)

Dar, conform celor de mai sus

Vx=a3, a = 3/1xV ; a = n

-1/3


40/187

Michaela Logoftu

38

i deci

a = n-1/3 (11)

Numeric

m103,2)1045,8( 1031

28 = (12)

Viteza termicmedie, la temperatura camerei T = 300K calculatn problema

rezolvatanterioar, au valoarea

vt= 1,17105m/s (13)

nct timpul ntre ciocniri sucesive este

= 210-15s (14)

Introducnd n (8) valorile date de (9), (12) i (14) rezult

1631

1521928

)m(1037,21011,92

102)106,1(1045,821

= (15)

unde m0este masa de repaus a electronului = 9,1110-31Kg.

n tabelele de valori pentru rezistivitate (conductivitate), valoarea medie

uzualpentru Cu este de 5,81107(m)-1.

Compar tabel i calculat

20)m(1037,2)m(1081,5

16

17

calculat

tabel

=

Deci, datorit ipotezelor (electronii n micare n reeaua cristalin a

metalului se comport ca molecule de gaz ideal) i aproximaiilor fcute,

calculat pe baza modelului este de 20 de ori mai mic dect valoarea dedus

experimental. Putem afirma c, pe baza modelului Drude Lorentz se pot

face numai nite evaluri estimative ale mrimilor care intervin.


41/187

Curentulelectric

39

n fizica corpului solid se definete mrimea numitmobilitateaunui purttor

notat , ca fiind viteza acelui purttor cptat n unitatea de cmp

electric, deci

Ev

= ;sV

m

mVsm

][2

SI == (16)

Comparnd cu relaia (6) rezultcpentru electron, purttorul de sarcindin

metale,

ne

= (17)

nct, din (7)

me

21

= (18)

Observaii

Rezultatele obinute pe baza modelului Drude Lorentz au permis

explicare unor particulariti ale conduciei electrice n metale, dar

nu au putut explica altele (clduri specifice, supraconductibilitatea).

Interpretarea completi coerent

a tuturor propriet

ilor solidelor,

n particular ale metalelor, se face n cadrul fizicii corpului solid, pe

baza efectelor cuantice asociate sistemelor cu numr mare de

particule (ioni, electroni) n interacie.

n unele situaii bine definite din punct de vedere fizic, formulele

deduse n modelul Drude Lorentz sunt aplicabile att la metale, ct

i la alte categorii de conductori (semiconductori; gaze ionizate,

electrolii). n cazul existenei mai multor tipuri de purttori de

sarcinmobili se pot scrie formulele urmtoare care, n multe situaii

concrete, ofer dac nu soluii precise, cel puin estimative alediferitelor mrimi fizice.


42/187

Michaela Logoftu

40

E

v,

E

v

qnqn

22

11

222111

==

+=

222111 qnqn11 +==

unde ni, qi, i (i = 1,2) sunt concentraia, sarcina electric i mobilitatea

purttorului i (electron, gol, ion pozitiv, ion negativ).

3. n interiorul unui conductor din cupru parcurs de curent intensitatea

cmpului electric este E. Dup un interval de timp t, conductorul se

nclzete cu T. Sse calculeze timpul mediu dintre douciocniri succesive

ale electronilor de conducie.

Se cunosc: sarcina electronului e, masa electronului m0, concentraia

electronilor de conducie n, cldura specific a cuprului c i densitatea

masica cuprului d.

Aplicaie numeric:

E = 0,1 V/m; t = 1,5 minute; T = 15 grd;

e = 1,6 10-19C; m0= 9,1 10-31Kg; n = 8,5 1028m-3;

c = 390 J/Kg grd; d = 8,93 103Kg/m.

ezolv re:n ipoteza cprimul conductor din Cu este izolat termic, energia disipatprin

effect Joule n timplul t

RI2t (1)

este preluat integral de ctre conductor, ducnd la nclzirea acestuia. La

nivel macroscopic, experimental, se constat o cretere T a temperaturii

conductorului, cldura preluatde acesta fiindmcT (2)


43/187

Curentulelectric

41

n condiia de transfer integral de energie

RI2t = mcT (3)

Se poate explicita fiecare membru

2

0

2

2

2

222

Em2

netls

Enetlsne )Ene(tls)nev(t)ls(1t)sj(slTRI

=

===== (4)

mcT = dslcT (5)

si egalnd (4) i (5) rezult:

TdlscEm2

neTls 2

0

2

=

(6)

de unde, timpul mediu ntre dou ciocniri succesive ale electronilor de

conducie cu reeaua

tEne

Tdcm222

0

= (7)

Numeric

s1085,4

s605,1mV

10)C106,1(m

1105,8

m

ZKg1093,8grd15

grdKgj

390Kg101,9214

21219

328

3331

=

=

Varian

Energia transferatreelei n urma ciocnirilor dintre electronii de conducie iionii reelei

W = wVt (8)

unde

w este densitatea de energie transmisreelei n unitatea de timp i unitatea

de volum;

V este volumul conductorulului

V = l s

t intervalul de timp n care conductorul este parcur de curent

Din expresia legii lui Joule scrissub forma microscopic(local)

w = E2 (8)


44/187

Michaela Logoftu

42

se calculeazi apoi .

Considernd conductorul izolat termic (fr pierderi de cldur n mediul

exterior), condiia de transfer integral de energie (rel 3) se scrie

W = mcT

wVt = mcT

E2Vt = mcT (12)

E2lst = dlsT

rezult

tE

Tdc2

= (13)

Dar

= ne (14)si

0m2e

= (15)

ncat din (13) rezult

tE

Tdcm2

ne2

0

2

=

tEne

Tdcm222

0

= (16)

relatie identiccu (7).

De observat c n modelul clasic al gazului de electroni, masa

electronului se considerm0, valoarea masei de repaus a acestuia, n

vid. ntr-un metal, datorit interaciilor cu reeaua cristalin a

acestuia, electronul se mic cu o mas efectiv, notat

convenional m*.

4. Folsind datele din Tabelul 1 calculai conductivitatea termica cuprului

la 0o

C.


45/187

Curentulelectric

43

ezolv re:Din tabel se gsete c la 0oC (273,15 K 273,2K) raportul ntre

conductivitatea termici conductivitatea electrica cuprului este

28

KW1023,2 =

de unde

= 2,23 10-8T117

Cu m107,5 ==

mKW

355K2,273m107,5

K

W1023,2

7

28

=

5. n figur, este prezentat schema unui montaj electric care, ntre

punctele A i B conine o lamp cu neon, caracteristica curent-tensiune a

acesteia fiind descrismatematic prin relaia u = 2,8i1/3.

Se cunosc valorile rezistenelor rezistorilor R1= 0,865i R2= 8; intensitatea

curentului prin lampa cu neon este i=64 mA. Calculai valoarea tensiunii

aplicate la bornele montajului.

ezolv re:Tensiunea totalU se repartizeazla

bornele montajului AB i pe

rezistorul R2

U = UAB + UR2

UAB = u = 2,8i1/3

2RU = IR2

I = I1+i;

11

AB1 R

uRU

I ==


46/187

Michaela Logoftu

44

21

R)iR

u(uU ++=

u = 2,8i1/3=2,8(64 10-3)1/3=2,8641/310-3 (1/3)=2,8(26)1/310-1

64=416=26

u=2,82210-1V=1,12V

I1=1,295A

I=(1,295+0,064)A=1,359A

2RU =10,872V

U=(1,12+10,872)V=11,992V12V

Observaie: Rezistorul R2 este un element liniar (ohmic), tensiunea la

bornele sale fiind dat de2R

U = IR2 (dependen liniar de I), n timp ce

lampa cu neon este un element neliniar de circuit (neohmic), tensiunea la

bornele sale fiind descrisprin relaia din enunul problemei.

6. Fotorezistorii (FR) sunt elemente liniare de circuit, confecionai din

materiale a cror rezistivitate scade atunci cnd sunt supui iluminrii; ei

prezinto rezistivitate i deci o rezistenla ntuneric i o alta, la lumin. n

figursunt reprezentate caracteristicile curent-tensiune ale unui fotorezistor

din CdS (sulfurde cadmiu) la ntuneric (= 0) i la lumin(0).


47/187

Curentulelectric

45

S se calculeze rezistenele fotorezistorului la ntuneric R0 i respectiv, la

luminRf.

ezolv re:Din panta graficului se deduc valorile rezistenelor

0IU

R=

=

0o I

UR

=

= ; =

= 4

3o102

A105,1V30

R

0f I

UR

= ; =

= 3

3f105,7

A104V30

R .

7. n paragraful referitor la legea lui Ohm pentru conductori metalici s-au

prezentat cazuri de conductori cu caracteristica I=f(U) liniar i neliniar

(figura 3).

n cele ce urmeaz, vom determina i apoi vom reprezenta grafic

caracteristica curent-tensiune pentru dou elemente oarecare de circuit

nseriate.

Se conecteazn serie (ca n figura 1) douelemente de circuit notate D1i

D2, n care D1este un rezistor metalic avnd rezistena R1=20, iar D2este un

rezistor cu rezisten variabil cu tensiunea, tip VDR (Voltage Dependant

Resistor). Presupunnd cintensitatea curentului ia valori ntre 0 i 800mA s

se traseze caracteristica i(u) pentru ansamblul D1i D2.

Se cunoate caracteristica i(u) a elementului D2 (VDR), valorile i i u fiind

date n Tabelul 1 (respectiv i i u2).


48/187

Michaela Logoftu

46

Vom nota u i i valorile tensiunii i

curentului prin circuit, pentru a

marca faptul ca este vorba de

valori instantanee ale mrimilor

respective.

Tabelul 1u2(V) 0 4 6 8 10 12

i(mA) 0 50 140 300 530 800

Pentru D1alctuim un tabel de valori ale tensiunii u1la valorile intensitii i a

curentului (din Tabelul 1) innd seama de faptul cacesta este un element

liniar de circuit, rezistor metalic, deci respectnd legea lui Ohm

Ru

i=

n care R = R1=20. Rezultvalorile u1din Tabelul 2.

Tabelul 2i(mA) 0 50 140 300 530 800

u1(V) 0 1 2,8 6,0 10,6 16

Cu valorile din cele dou tabele se alctuiete un tabel global pentru21 uuu += .

Rezultdatele centralizate n Tabelul 3

Tabelul 3

i(mA) 0 50 140 300 530 800

u(V) 0 5 8,8 14 20,6 28

Cu datele din tabelele 1,2 i 3 se traseaz dependenele i=f(u1); i=f(u2) i

i=f(u) pe aceleai grafic(vezi figura 2).


49/187

Curentulelectric

47

Fig.2

Dependenele i=f(u) pentru dipolii D1, D2i D1+D2i=f(u1) pentru D1; i=f(u2) pentru D2, x; i=f(u) pentru D1i D2, o

Problempropus:

Calculai numrul mediu de electroni liberi din unitatea de volum pentru

metalele pure specificate n tabelul urmtor i comparai cu valorile din

coloana n (m-3).

Se cunoate numrul lui Avogadro NA= 6,0210

26

Kmol

-1

.

Metalul

Densitatea

masic

d [Kg/m3]

Masa molar

M [Kg/Kmol]

Concentraia

electronilor liberi

n [m-3]

6,021028(monovalent)

1,201029(bivalent)Aluminiu (Ag) 2,70103 26,98

1,811029(trivalent)

Argint (Al) 10,50103 107,87 5,851028(monovalent)

8,461028(monovalent)

Cupru (Cu) 8,93103

63,54 16,921028(bivalent)

Fier (Fe) 7,90103 55,85 8,511028(monovalent)


50/187

Michaela Logoftu

48

De reinut ordinul de mrime al concentraiei electronilor n metale folosite

n mod uzual n electrotehnic.

La absorbia energiei radiaiilor luminoase incidente pe fotorezistor unii

electroni din material pot devenii liberi n reea, mrind astfel numrul

purttorilor de sarcinmobili n reea.

2.2.5. Legea Ohm generalizat

n paragraful 2.2. a fost prezentat legea Ohm pentru un conductor pasiv: o

poriune pasiv de circuit absoarbe energie, fiind reprezentat prin

receptoare (impedane, rezistoare).

Elementele de circuit active sunt acele elemente capabile s furnizeze

energie la bornele lor i sunt denumite generic surse, indiferent de natura

energiei pe care o transform n energie electric (chimic,

electromagnetic).

n cazul cel mai general, un circuit conine att elemente active ct i

elemente pasive; n expresia locala legii lui Ohm

= Ej (11)

cmpulE este cmpul total (relai (25) din paragraful 1.4.)

E =

E electrostatic+

E imprimat

(12)

S considerm o poriune dintr-un circuit, delimitat de punctele A i B

(fig. 3).

Fig. 3

ntre punctele A i B circulaia cmpului totalE se va scrie:


51/187

Curentulelectric

49

=

B

A

B

A

dljdlE (13)

Explicitm fiecare membru al acestei ecuaii:

==

=

B

AAB

B

A nn

n

IRsdl

Idl

sI

sI

j

(14)

44 344 2144 344 21ABAB

dlEdlEdlE

U

B

A

B

A

B

A

imprimatticelectrosta

E

+=

(15)

n care UABeste diferena de potenial ntre punctele A i B ale unui circuit

parcurs de curentul I, iar E AB este tensiunea electromotoare asociat

poriunii respective.

Din (14) i (15) rezult:

ABABABUIR E+=

(16)

i diferena de potenial UABse va scrie

ABABAB IRU E= (17)

RAB este rezistena total ntre A i B, inclusiv rezistenele interne ale

surselor; EAB este suma algebric a tensiunilor electromotoare (t.e.m.)

acionnd ntre A i B.

Generaliznd, ntre A i B pot exista mai multe ramuri (laturi) de circuit,fiecare avnd rezistena totalRki fiind parcursde un curent de intensitate

Ik, caz n care, (17) se scrie sub forma mai general:


52/187

Michaela Logoftu

50

BA

p

1ii

n

1kkkAB IRU

==

= E (18)

De reinut ordinea de scriere a indicilor A i B, deoarece indicsensul n carese msoar diferena de potenial i anume, aici, de la A ctre B; de

asemenea, simbolul AB indicsensul de parcurs al poriunii de circuit ; aici,

de la A ctre B.

Relaiile (17) i (18) se pot interpreta astfel :

Diferena de potenial ntre extremitile unei poriuni de circuit

parcursde curent electric este egalcu suma algebrica cderilor de

tensiune de pe acea poriune, din care se scade suma algebric a

tensiunilor electromotoare ce acioneazn poriunea respectiv.n cazul unui circuit nchis UAB=0, din (17) se obine

==

=

+

=p

1ii

n

1kk

p

1ii

rR

I

E

(19)

Fig. 4

unde ri sunt rezistenele interne respective ale surselor. Pentru mrimile care intervin n (17) i (18), se stabilesc convenii de

semn, utile mai ales, n activitatea de proiectare i de producie n

domeniul electrotehnic. Astfel:

produsul (RkIk) se considerpozitiv dacsensul de parcurs (de la A

la B) coincide cu sensul curentului n latura k considerat, i

negativ, dac sensul curentului n latura respectiv este opus

sensului de parcurs de la A la B;

t.e.m. (E i) se considerpozitive, dacsensul de parcurs (A ctre

B) trece prin surs de la polul (-) la polul (+); dac sensul de

parcurs strbate sursa prin interiorul acesteia de la polul (+) la

polul (-), t.e.m. respectivse considernegativ.


53/187

Curentulelectric

51

n exemplele ilustrative de la paragraful Generatoare i receptoare (ex. 1 i

2, fig. 7 i 8) se vor aplica aceste convenii de semn.

2.3. Generatoare i receptoare

Generatorul (sursa) electric este un dispozitiv care menine un curent electric

ntr-un circuit prin fore de natur neelectrostatic (numite i induse sau

imprimate). Simbolic se reprezintca n figura 5:

Fig. 5

Convenional, sensul pozitiv al curentului debitat este :

n interiorul sursei, de la polul (-) ctre polul (+);

n exteriorul sursei, de la polul (+) ctre polul (-).

Schema unui circuit electric, orict de complex ar fi, poate fi redusla :

surs(generator);

receptori (consumatori);

fire de conexiune.

i este reprezentatn figura 6, n care

Fig. 6

G - generator, caracterizat prin t.e.m. E i

rezistena interioarr;

Re rezistori (consumatori) exteriori

Din legea lui Ohm generalizat (relaia 19 din paragraful anterior), pentruacest circuit nchis se poate scrie:

eRrI

+=

E (19)


54/187

Michaela Logoftu

52

Sursa de energie electricse caracterizeazprin:

puterea electrictotalprodusde surs:

IPE E= (20)

puterea electricpierdutn sursprin efect Joule:2

J rIP = (21)

puterea electricla borne, care poate fi cedatn exterior:

UIP= (22)

Bilanul puterilor pentru o sursse scrie:

PPP JE += (23)

nlocuind n (23) expresiile (20), (21) i (22) rezult:

UIrII 2 +=E (24)

UrI+=E (25)

relaie care poate fi interpretatastfel:

Sursa (generatorul) de t.e.m. E asigur la bornele sale o tensiune U i

acoperi pierderile (interne) de tensiune pe rezistena interioar, rI.

Randamentul sursei

( ) ( )R,rfRr

RIRr

RIUI

UIPP

PP

Econsumat

util =+

=+

=====EE

(26)

Deoarece, ntotdeauna R


55/187

Curentulelectric

53

conform crora un element de circuit poate fi considerat activ sau, respectiv,

pasiv. Altfel spus cnd se comportca sursi cnd ca receptor.

Un element de circuit este considerat ACTIV, deci sursde energie electric,

atunci cnd puterea la bornele sale poate fi cedat unui circuit exterior,

P>0.

Atunci cnd puterea la bornele unui element de circuit este absorbit(P


56/187

Michaela Logoftu

54

E= rIUAB (I>0, circulde la A la B, n sensul de interes A-B; E >0, sensul A-

B coincide cu sensul de la (-) la (+) prin surs);

UAB=-5V

P = UI = (-5V)(2A) = -10W 0

n montajul dat, sursa E funcioneazca generator (element activ).


57/187

Curentulelectric

55

2.4.Transferul de putere de la sursla receptor

n paragraful anterior s-a calculat randamentul sursei de tensiune i s-astabilit cdepinde att de rezistena intern a sursei, ct i de rezistena

totala circuitului receptor,pe care aceastsursdebiteaz.

n cele ce urmeaz, vom analiza dependenele Pexterior(R) i (R) i vom stabili

condiiile n care puterea debitatn circuitul exterior de ctre o surs, este

maxim. Cu alte cuvinte, vom stabili condiiile n care are loc transferul

maxim de putere de la o sursla un circuit exterior.

Puterea electrictotalprodusde surs

e

2

eE RrRr

IP+

=

+

==EE

EE (27)

Re=0 (scurtcircuit); ;r

II scE

== max2

E PrP ==

E

,rRe= ,r2I

E= max

2

P21

r2P ==

E

Re(circuitul

deschis, n gol):

I0; P0.

Puterea n rezistena circuitului exterior

)R(f)Rr(

R

RrRIRP e2

e

e2

2

ee

2eext =

+=

+== E

E (28)

,R

,0R

e

e

=

0Pext =

0Pext

Deci, pentru R[0,), puterea Pext variaz de la 0 la 0, trecnd printr-un

extremum. Calculm derivata funciei Pext(Re)


58/187

Michaela Logoftu

56

3e

e2ext )Rr(

RrP

+

= E (29)

Pext=0 pentru Re=r (extremum)

Pext>0, pentru r>Re

Pext


59/187

Curentulelectric

57

p=RfI2 (32)

n firele de transport de rezisten totalRf, nct, la receptor intrnumai

diferena

P=P-p (33)

Se poate defini un randament al liniei de transport

PIR

1P

IRPP

pPP'P

P

P 2f2

f

generatoriesire

receptorrareint1 =

=

=== (34)

Dar, din

P=UI rezultUPI = (35)

i introducnd (35) n (34) rezult:

2f

1 UR

P1= (36)

Se vede crandamentul crete cnd:

Rf scade, deci pentru conductoare (fire) de transport groase; ngeneral, foarte scumpe;

U crete, deci transportul energiei electrice s se fac la tensiuni

nalte (uzual, ntre 15000V i 200000V). Acesta este motivul pentru

care, la sursse ataeazun transformator ridictor de tensiune, pn

la valoarea optimpentru transport; la receptor, pentru utilizare, se

ataeazun transformator cobortor de tensiune, pn la valorile de

ntrebuinare.


60/187

Michaela Logoftu

58

Problemrezolvat

O surs de tensiune disip ntr-un circuit exterior aceeai putere P atunci

cnd la bornele sale este conectat fie un rezistor cu rezistena R1,fie unrezistor cu rezistena R2.

Sse calculeze:

a) tensiunea electromotoare E a sursei i rezistena internr a acesteia;

b) valorile randamentului transportului de putere de la sursla circuitul

exterior pentru valorile rezistenelor R1i R2;

c) valoarea randamentului cu care sursa transferputerea maximPmax.

Aplicaie numeric:

R1= 5; R2= 20; P = 80W.

ezolv re:a) Calculul t.e.m. E i a rezistenei interne r ale sursei

Schemele echivalente ale circuitelor sunt prezentate n fig. 1.a i respectiv,

fig. 1.b

Fig. 1.a Fig. 1.b

Puterea debitat de surspe circuitul exterior de rezisten R atunci cnd

este parcurs de un curent cu intensitatea I.

Pe= RI2 (1)

se exprim, n cazurile R1i R2prin211e IRP 1 = (2)

i respectiv, prin


61/187

Curentulelectric

59

222e IRP 2 = (3)

unde , din fig. 1.a i 1.b se poate scrie

11

Rr

I

+

=E

(4)

22 RrI

+=

E (5)

Explicitnd condiia ca puterea P debitatn circuitul exterior sfie aceeai

indiferent de valoarea rezistenei acestui circuit rezult:

21 eePP = (6)

222

211 IRIR = (7)

2

22

2

11 Rr

RRr

R

+=

+EE

(8)

22

22

1

1

)Rr(R

)Rr(R

+=

+ (9)

R1(r2+2rR2+R2

2) = R2(r2+2rR1+R1

2) (10)

R1r2 + 2rR1R2+ R1R2

2= R2r2 + 2rR1R2+ R1

2R2

r2(R1- R2) = R12R2- R1R22r2(R1- R2) = R1R2(R1- R2) (11)

Dac(R1- R2) 0 relaia (11) devine

r2= R1R2,

21RRr= (12)

Numeric

== 10205r

Din (2) se poate determina I1

2/1

1

e1 R

PI 1

= (13)


62/187

Michaela Logoftu

60

A4A16A580

I1 ===

Cunoscnd valoarea rezistenei r a sursei, din (4) rezultE.

E= I1(r+R1)E= 4(10+5)V = 60V

Deci sursa prezintE= 60V i r = 10.

b) Calculul randamentului transmisiei puterii de la sursla circuitul exterior.

Randamentul transmisiei se definete prin

RrR

R)(rRRI

IRI

P

P 2

sursa

transmisa

+=

+====

E

EEE (14)

Unde R este rezistena circuitului exterior parcurs de curentul cu intensitatea

I.

Pentru rezistorii R1i R2din (14) se obine

1

11 Rr

R

+=

2

22 Rr

R

+=

(15)

Numeric

%3,33%100155

1 ==

%6,66%1003020

1 ==

c) Calculul randamentului n condiiile transferului maxim

O surs (E,r) transfer puterea maxim, ntr-un circuit exterior n care

rezistena acestuia este egal cu rezistena intern a sursei (teorema

transferului puterii maxime).

Deci

Rexterior= R r

nct din (14) se obine


63/187

Curentulelectric

61

%505,021

r2r

rrr

====+

=

Randamentul transmisiei puterii n condiiile transferului maxim este de 50%.

Discuii, interpretri

n (12) s-a ales numai rdcina pozitiv

21RRr =

deoarece soluia negativpentru r nu are sens fizic

Comentarii

n stare pur, metalele se folosesc n special n laboratoarele de

cercetate; pentru aplicaii n domeniul electrotehnicii se folosescaliaje metalice. Aliajele metalice prezint proprieti specifice

(variaie slabcu temperatura a rezistivitii electrice, coeficieni

de dilatare liniar mai mici dect ai metalelor pure, etc.), n

general, diferite de cele ale metalelor componente. Aceste

proprieti le fac utilizabile n diverse scopuri bine determinate.

Analiznd datele din tabelele 1, 2 i 3 din Anex Tabele, se

observ diferenele mari care apar ntre valorile rezistivitii i

coeficientul de variaie termica acesteia la metalele pure i la

aliajele acestora dar i modificarea acestor valori la aliajul

acelorai metale, n funcie de compoziia metalului.

De exemplu, la bronzul pe baz de aluminiu se vede c

modificarea compoziiei de aluminiu de la 30% la 10%, conduce la o

modificare a coeficientului de la 10210-5 grd-1 la 30210-5

grd-1.

Probele de constantan i de magneziu prezint, la temperatura

camerei, cel mai mic coeficient de variaie a rezistivitii cu

temperatura.

constantan= 210-5grd-1;

magneziu= (1,0-1,5)10-5grd-1.

Din acest motiv, aceste aliaje se folosesc la construirea de


64/187

Michaela Logoftu

62

etaloane de rezisten electric: rezistena acestora nu se

modific cu temperatura, n domeniul temperaturilor uzuale de

lucru. Valorile coeficienilor devin semnificative n domeniul de

temperaturi ridicate. Astfel, la temperaturi peste 500

o

Cconstantan= 2,710-5grd-1;

magneziu= 1110-5grd-1.

Rezistena electric a metalelor se poate modifica sensibil la

variaia presiunii, n acord cu formula urmtoare.

Stabilitexperimental:

R = R(Ap+Bp2)

unde

R este rezistena metalului la presiune normal;

p este presiunea executat;A i B coeficieni constani specifici fiecrui metal n parte.

De exemplu: AMn= 7,01210-6; BMn= 5,610

-11

ACr= 5,810-7p; BCr= 0

nct , variaia relativ a rezistenei electrice a unui conductor din

mangan (Mn) i respectiv din crom (Cr) se pot exprima

pentru Mn

2116 p1063,5p10012,7RR +=

i respectiv, pentru Cr

p108,5RR 7=

Existi materiale cu, coeficient negativ de variaie a rezistivitii

cu temperatura; adic, la creterea temperaturii; rezistivitatea i

implicit, rezistena scade. De exemplu, carbonul amorf (grafitul)

cu o rezistivitate variind ntre 3,510-5m i 6,010-5m la 20oC,

prezintun coeficient de temperatural rezistivitii constantan=

510-5

grd-1

. Acest fenomen se constat i la semiconductori. nunele situaii, fizice, pentru a se asigura o valoare constant

(independent de temperatur) a rezistenei electrice a unui


65/187

Curentulelectric

63

element de circuit, se asambleaz n acesta, componente din

materiale a cror variaie cu temperatura a rezistivitii s se

compenseze reciproc (vezi problema rezolvaturmtoare).

Problemrezolvat

Pentru a realiza un element de circuit cu rezistenconstant, independent

de modificarea temperaturii ntr-un interval larg de valori ale acesteia, se

conecteaz n serie un fir (bastona) de grafit (crbune) pentru lamp

electric cu un fir cilindric de aluminiu, de aceeai seciune. Cunoscnd

rezistivitile i coeficienii de temperaturai celor doumateriale (1,1) i

(2,2), s se calculeze raportul lungimilor celor dou fire pentru ca

rezistena ansamblului snu se modifice cu temperatura.

Aplicaie numeric:

m100,6 5C1 == ; 14C1 grd105

==

m1082,2 6Al2 == ; 13Al21 grd109,3

==

Rezolvare:

Variaia rezistenei cu temperatura este descrispentru fiecare conductor deo lege de forma

R = R0(1+t) (1)

unde R0 este rezistena conductorului la 0oC, R fiind rezistena aceluiai

conductor la temperatura t.

Condiia ca rezistena electric a ansamblului Ra s fie independent de

temperaturse exprimprin egalitatea

0t aaRR = (2)

unde

taR = R1+R2 (3)

este rezistena ansamblului la temperatura t i


66/187

Michaela Logoftu

64

0aR = R01+R02 (4)

este rezistena ansamblului la 0oC.

Explicitnd (2) pe baza (3) i (4) rezultR1+R2= R01+R02 (5)

unde

R1= R01(1+1t) (6)

R2= R02(1+2t) (7)

Introducnd (6) i (7) n (5) rezult

R01(1+1t)+ R02(1+2t) = R01+ R02 (8)

Pentru t0, (8) devine

R011= - R022 (9)

Rezistena unui conductor cilindric se exprimprin

sl

R = (10)

nct (9) devine

22

221

1

11 s

lsl

= (11)

i deoarece

s1= s2

relaia (11) se mai scrie

222111 ll = (12)

de unde

1

2

1

2

2

1

ll

= (13)

Dar

1= Carbon = C; 2= Al

1= Carbon= C; 2= Al

C

Al

C

Al

Al

C

ll

= (14)


67/187

Curentulelectric

65

Numeric

367,0m106)grd105(

m1082,2grd109,3ll

514

613

Al

C =

=

Deci, bastonaul (firul) din grafit trebuie saiblungimea mai micdect cea

a firului de aluminiu

lC= 0,367lAl


68/187

Michaela Logoftu

66


69/187

Curentulelectric

3 NCLZIREACONDUCTORILOR I ABOBINAJELOR


70/187

Michaela Logoftu

68

3.1 Pierderi de energie temic

3.2 Viteza de nclzire

3.3 nclzirea maxima unui conductor parcurs de curentelectric

3.4 Legea exponeniala nclzirii

3.5 Probleme rezolvate


71/187

Curentulelectric

69

3.1. Pierderi de energie termic

CONVECIESconsiderm un fir conductor, neizolat termic, poziionat ntredouborne metalice masive, A i B, n circuitul unui generator

G (fig.1).

Fig. 1

Prin nchiderea ntreruptorului K, n circuit se stabilete un

curent electric; ca urmare, att firul ct i bornele se

nclzesc, n mod diferit ns. Moleculele de aer vecine

acestora se vor nclzi la rndul lor; prin ciocniri cu alte

molecule de aer, ele vor ceda din cldura primit. n acest

mod, aerul nclzit urc, n timp ce alte molecule nciocnirea cu sistemul vor contribui la rcirea acestuia.

Acest mod de rcire n care cldura este transportat de

ctre substan (molecule de aer) se numete rcire prin

convecie.

Convecia poate fi activatprin ventilaie.

Pierderile de cldur prin convecie sunt directproporionale cu

suprafaa corpului cald;


72/187

Michaela Logoftu

70

diferena de temperatur dintre acesta i mediul

ambiant.

De asemenea, depind de natura gazului din mediul ambiant

(aerul, n cazul prezentat), ca i de presiunea sa. Ca

exemplu, se citeaz faptul c hidrogenul rcete cu mult

mai mult dect orice alt gaz, aflat la aceeai presiune.

CONDUCIE La trecerea curentului electric prin circuitul prezentat

schematizat n figura 1, bornele A i B se nclzesc mai puin

dect firul conductor i totodat se rcesc mai mult,

datorit suprafeei lor mai mari. Astfel, se stabilete un

gradient de temperatur ntre firul conductor (mai cald) ibornele AB (mai reci). Ca rezultat, apare un nou tip de

transfer de cldur, prin conducie, dinspre mijlocul M al

firului ctre borne, aa cum se reprezint schematizat n

figura 2.

Fig.2

n cazul unui n cazul

unui fir foarte lung,

aceste pierderi prin

conducie nuinflueneaz n mod

sensibil asupra

temperaturii n zona

mediana firului.

RADIAIE Aeznd un termometru n apropierea firului (la civa

centimetri de acesta), se constato cretere a temperaturii,

deci termometrul primete cldur. Aceast cldur nu sepropag prin convecie, pentru c aerul cald se ridic;

propagarea se face prin radiaie. De exemplu: cldura

solar traverseaz spaii vide imense nainte de a penetra


73/187

Curentulelectric

71

atmosfera terestr. Pierderile de energie prin iradiaie sunt

proporionale cu suprafaa conductorului i depind esenial

de starea acestei suprafee. Suprafeele metalice polisate

emit puin cldur: din acest motiv, aparatele electrice

care nu trebuie s disipe n mod ineficient cldura se

confecioneaz din metal bine lefuit (fierbtoarele

electrice, fierul de clcat, etc.).

3.2. Viteza de nclzire

n limitele de nclzire admisibile, pentru conductorii electrici izolai din

punct de vedere termic, se considercputerea totalpierdut(convecie i

radiaie) prin unitatea de suprafa este proporional cu diferena detemperatur fade mediul ambiant.

Pentru o suprafaS i o diferende temperatur puterea totalpierdut

va fi

= KSPp (1)

unde K este un coeficient dependent de natura materialului, de starea

suprafeei acestuia, etc.

Considerm creterea de temperatur( d ) a conductorului ntr-un interval

corespunztor de timp, dt. Se poate scrie bilanul energetic ntre

energia furnizatde curent

dtRIW 21= (2)

i


74/187

Michaela Logoftu

72

energia nmagazinatde conductor

= mcdW2 (3)

unde

c este cldura specific(J/Kg grd)

d este densitatea masic(Kg/m3)

ale materialului din care este confecionat conductorul

= mcddtRI2 (4)

Exprimnd rezistena electrica firului

sl

R = (5)

i masa sa

m = dV = dls (6)

ecuaia (4) se va rescrie sub forma

= dlscddtIsl 2 (7)

de unde

22

2

jcds

I

cdcsld

Isl

dt

d

=

=

=

(8)

unde j este densitatea curentului. Dar, pe baza legii Ohm n conductorii

metalici


75/187

Curentulelectric

73

Ej = (9)

ecuaia (8) devine

dcE

dtd 2

=

(10)

Viteza de nclzire a unui conductor metalic

dtd

depinde de

cmpul electric E din acesta (relaia 10) sau de

densitatea curentului care l strbate (relaia 8) caracteristicile materialului din care este confecionat acesta

(parametrii de material d, , c).

Din (8) se poate calcula densitatea curentului care, trecnd printr-un

conductor, determino anume vitez (rat) de nclzire:

dtddc

j2

= (11)

TEM

a) Calculai densitatea curentului electric care trebuie s treac un timp

scurt printr-un conductor din constantan, izolat termic, pentru ca

temperatura sa s creasc cu 1C n fiecare secund. Pentru simplificarea

calculelor, se va considera temperatura iniiala conductorului de 0C i c,

n timpul nclzirii ntr-un interval relativ mic de temperatur, , c i d

rmn constante i egale cu valorile lor de la 0C.

b) Calculai valoarea cmpului electric n interiorul conductorului


76/187

Michaela Logoftu

74

Aplicaie numeric:

m1049 8 = ; c=335 J/Kggrd; d=8500 Kg/m3

Rspuns: j=2,41 A/mm2

; E=1,181 V/m

3.3. nclzirea maxima unui conductor parcurs de

curent

S considerm un conductor metalic cilindric, omogen, avnd urmtoarele

caracteristici geometrice

l lungime;

s seciune;S - suprafaa disipant(S=pl unde p este perimetrul seciunii).

Dac conductorul nu este izolat termic, va pierde cldur, temperatura

ridicndu-se pncnd puterea pierdutdevine egalcu puterea disipatde

ctre curent.

Puterea pierdut Pp se exprim prin (1), n care K este un coeficient

constant care depinde de natura conductorului i de starea suprafeei

acestuia, coeficient care poate fi determinat numai experimental n condiiiprestabilite pentru o anumit cretere a temperaturii deasupra

temperaturii mediului ambiant.

Puterea disipatde curentse exprimprin legea lui Joule

2IRP = (12)

n timp, sistemul evolueaz ctre o stare de echilibru: puterea pierdut

egaleaz puterea disipat prin efect Joule. n acest moment, se atingenclzirea maxim a sistemului (fir conductor parcurs de curent electric


77/187

Curentulelectric

75

continuu staionar); n continuare, temperatura se menine constanti egal

cu valoarea atins.

Din ecuaia de echilibru

PPp = (13)

2RIKS =

se determintemperatura maximatins, :

kps

I

kpl

I

s

l

KS

I

s

l

kS

RI 2222

==== (14)

Comentarii

un cazul n care temperatura maxim este impusde anumite necesiti,intensitatea curentului maxim atins se poate determina din (14)

psbKps

I =

= (15)

unde pentru un anume conductor

=

= KK

b (16)

fiind conductivitatea electric a materialului din care este confecionat

conductorul.

Rezult c pentru a economisi material, trebuie folosii conductori plai(sub formde band) care prezintun perimetru mai mare n comparaie cu

firele cilindrice, pentru o aceeai arie a seciunii parcurse de curent.


78/187

Michaela Logoftu

76

n urma nclzirii determinate de trecerea curentului, conductorii pot atinge

temperatura de topire a metalelor din care sunt confecionai. Pentru a

determina ordinele de mrime ale intensitilor curenilor care determin

topirea, se aplicformulele stabilite mai sus pentru , egalnd temperatura

de topire, t .

Exemplu numeric: Calculnd valoarea minim a curentului care

determin topirea unui conductor din fier, cu diametrul de 2 mm,

temperatura de topire a fierului fiind C1535to= , se gsete

A71I .

u De reinut cpentru conductorii izolai, indiferent de natura izolantului(cauciuc, policlorur de vinil, etc.) formulele stabilite mai sus nu sunt

aplicabile, deoarece condiiile de rcire depind de natura i grosimea

izolantului. Pentru majoritatea izolanilor, pentru o bun conservare a

proprietilor acestora, temperatura nu trebuie s depeasc 60C. n

calcularea curentului maxim admisibil se va ine seama de temperatura

maximposibila mediului ambiant n care va funciona izolantul respectiv.

Exist tabele cu valorile intensitilor curenilor care pot fi suportate de

ctre conductorii electrici n condiii de funcionare prestabilite, fiind

precizate seciunile conductorilor i modalitile de asamblare a acestora:

monofilar (cablu cu un singur conductor), polifilar (cablu cu mai mul i

conductori) ca i izolantul (cauciuc, PVC, etc.).

uTemperaturile maxime admise de diveri izolani sunt tabelate; pentru aavea o imagine asupra ordinului de mrime a acestora, vom da cteva

exemple numerice. Astfel:

bumbac, mtase, hrtie, prepan, 90C dac se afl n aer i105C, dacsunt impregnai cu un lac izolator sau scufundai ntr-

un lichid izolant;

compui pe bazde mic, 130C;


79/187

Curentulelectric

77

mic, sticlspecial, cuar, porelan, >180C.

uO atenie specialse acord n practica industrial nclzirii aparatelor imainilor electrice.

nclzirea acestora n timpul funcionrii este n general, mic, de ordinul

50C i aerul nconjurtor constituie mediul natural de disipare a cldurii. n

unele situaii, este necesar rcirea: prin ventilare sau prin circulaia unui

fluid de rcire: n cazul unor bobinaje nchise n carcase metalice, un sistem

de mici conducte de rcire prin care circul n mod uzual ap este ataat

carcasei respective.

3.4. Legea exponeniala nclzirii

Pentru a deduce modul n care variaz (crete) n timp temperatura unui

conductor parcurs de curent, sconsiderm un conductor

omogen;

bun conductor termic;

plasat ntr-un mediu a crui temperatur este uniform i

constant

parcurs de un curent electric de intensitate constant.

Vom demonstra cdependena de timp a diferenei de temperatur dintre

suprafaa disipanta corpului i mediul exterior variaz(crete) exponenial

n timp. Pentru aceasta vom utiliza urmtoarele notaii:

m - masa corpului (Kg);

c - cldura specific(J / Kggrd);

p - puterea transformatn cldur(watt);

S - suprafaa disipant(m2), n care se ine seama i de viteza


80/187

Michaela Logoftu

78

relativa aerului, dacconductorul este plasat n aer;

'p - puterea termicpierdutn exterior (watt);

- diferena ntre temperatura corpului i temperatura mediului

exterior;K - o constantcare depinde de natura i de starea suprafeei

disipante.

Presupunem cn intervalul foarte mic de timp dt

creterea corespunztoare a temperaturii este d ;

energia acumulatde corp este ( dmc );

puterea termicpierdutn exterior = KS'p .

Principiul conservrii energiei aplicat acestui interval de timp dt se scrie

+= mcddt'ppdt (17)

+= mcddtKSpdt

de unde rezulto ecuaie diferenialcu variabile separabile:

mcKSp

dtd

=

(18)

Separm variabilele:

mcdt

KSpd

=

(19)

i integrm n ambii membri


81/187

Curentulelectric

79

dtmc1

dKSp1

= (20)

Dar produsul (mc) nu depinde de timp, nct (20) devine

= dtmc1

dKSp1

(21)


82/187

Michaela Logoftu

80

Dar

( ) KSKSp ' =

=

dtmcKS

dkSPKS

Integrnd, rezult

( ) tmcKS

KSpln = (22)

Trecnd la exponeniale se obine

AeKSpt

mc

KS

+=

(23)

tmcKS

AtmcKS

BeeeKSp

== (24)

unde B este o constant pe care o vom determina din condiiile iniiale:presupunem cla momentul iniial de timp t=0, temperatura este 0 i deci

1e,BkSp,0t 00 === (25)

nct (24) devine

( )t

mcKS

0 eKSpKSp

= (26)

de unde


83/187

Curentulelectric

81

( )t

mc

KS

0 eKSppKS

= (27)

se obine n final

tmc

KS

0 eKSp

KSp

= (28)

relaia care exprim creterea temperaturii n funcie de timp, n cazul cel

mai general. Verificm aceast soluie n cazurile particulare t=0 i t=; se

obine:

t=0, 0= t=, mKS

p==

unde m este valoarea maximpentru .

Cu notaia

amcKS

= (29)

ecuaia (28) se va scrie

( ) at0mm e= (30)

n cazul particular, frecvent n practic, n care la momentul iniial corpul se

aflla temperatura ambiant, deci 00 = din (30) se obine

( )atm e1 = (31)

Introducnd notaia

=a1


84/187

Michaela Logoftu

82

se obine forma finala ecuaiei (31)

=

t

m e-1 (32)

n care se numete constanta de timp a funciei i se exprimn secunde.

3.5. Probleme rezolvate

1. Un fir aerian din cupru, cilindric, neizolat, avnd un diametru de 5 mm

este parcurs de un curent electric constant, cmpul electric n interiorulconductorului fiind de 0,082 V/m. n ipoteza cputerea disipat(pierdut) n

aer este proporional cu diferena de temperatur ntre fir i aerul

nconjurtor, calculai temperatura de echilibru a firului n serviciu.

Se cunosc:

rezistivitatea la 0C a cuprului, 0 ; coeficientul de temperatur, constanta

de disipaie K, temperatura aerului nconjurtor, t.

Aplicaie numeric:

;m106,1 80 = ;grd104 13 = grdm/W10K 2 = ; t=25C ;

m105mm5d 3==

ezolv re:Considerm o poriune din conductor de lungime l, de rezisten R, ntre

extremitile creia se aplicdiferena de potenial U.

n timpul funcionrii, cnd este atins temperatura de echilibru, se

stabilete o egalitat

curent continuu- electrotehnica

Documents