limite de functii - clasa a 11-a

Clasa a XI-a - 1 Elemente de analiza matematica – Limite de functii

Definitie vecinatate a unui punctvecinatate a unui punct :

- Fixam un punct ;- Se numeste vecinatate a punctului orice multime care contine un interval deschis

centrat in , adica : in acest caz exista astfel incat .

Definitie punct de acumulare ( punct de acumulare ( punct limitapunct limita ) ) :

-- Fie A o submultime nevida din R : ;-- Un punct se numeste punct de acumulare (sau punct limita) pentru multimea A daca

(= multimea vecinatatilor punctului a ) sa rezulte .

-- aceasta definitie spune ca un punct este punct de acumulare pntru multimea A daca orice vecinatate V a punctului a mai contine si alte puncte din A , diferite de a , adica exista :

Definitie punct izolatpunct izolat :

- - Fie A o submultime nevida din R : ;

- Un punct se numeste punct izolat al multimii A daca exista cel putin o vecinatate

V a punctului .

Observatie :

Orice punct al unei multimi A este fie punct de acumulare , fie punct izolat .

Limite de functiii


Fixam o functie , si un punct punct de acumulare a lui ,

.

Definitie criteriul cu vecinataticriteriul cu vecinatati :

- Functia are limita in punctul , egala cu si scriem :

daca pentru orice vecinatate a lui exista o vecinatate a lui astfel incat pentru orice :

Toreme de caracterizare a limitei unei functii intr-un punctlimitei unei functii intr-un punct :

Criteriul : .

- Fie , , o functie si punct de acumulare a lui , ;

- Functia are limita in punctul , egala cu si scriem : daca

si numai daca exista numarul real , depinzand de , astfel incat pentru orice

, cu proprietatea sa rezulte : .

Criteriul : cu siruri .

- Fie , , o functie si punct de acumulare a lui , ;

- Functia are limita in punctul , egala cu , finit sau infinit , si scriem :

Limite de functiii


daca pentru orice sir avem :

.

Observatie :

Daca exista , limita unei functii intr-un punct Daca exista , limita unei functii intr-un punct este unicaeste unica . .

DefinitieDefinitie : : Limita la stanga :Limita la stanga :

- Fie , , punct de acumulare pentru multimea :

- Functia are limita la stanga in punctul egala cu daca oricare ar fi vecinatatea

a lui , exista o vecinatate a lui , astfel incat pentru orice :

,

- Vom folosi notatiile : .

DefinitieDefinitie : : Limita la dreapta :Limita la dreapta :

- - Fie , , punct de acumulare pentru multimea :

Limite de functiii


- Functia are limita la dreapta in punctul egala cu daca oricare ar fi vecinatatea

a lui , exista o vecinatate a lui , astfel incat pentru orice :

,

- Vom folosi notatiile : .

TEOREMA : TEOREMA : de caracterizare a limitei unei functii intr-un punct de caracterizare a limitei unei functii intr-un punct

cu ajutorul limitelor lateralecu ajutorul limitelor laterale

- Fie , , punct de acumulare pentru multimea astfel incat sa existe

limitele laterale in ( deci exista , ) ;

- Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

1). are limita in punctul ;

2). =

In aceste conditii :

= =

- Aceasta teorema spune ca o functie are limita intr-un punct daca si numai daca exista limitele laterale cu proprietatea ca sunt si egale .

Observatii :Observatii :

1). Daca si are limite in punctele a ,b in punctul a vorbim de limita laterala la dreapta , iar in punctul b de limita laterala la stanga .

2). Limitele laterale se folosesc in urmatoarele situatii : - in punctele in care o functie definita pe ramuri isi schimba expresia ;

- daca trecand la limita obtinem : ;

- daca domeniul de definitie este restrictiv , de exemplu : .

Limite de functiii


Fie si un punct de acumulare pentru ;

Daca : si , atunci functia :

1)1) are limita in si .

( Limita sumei este egala cu suma limitelor )

Caz execeptat : daca


( O constanta iasa in afara limitei )


( Limita produsului este egala cu produsul limitelor )

Caz execeptat : daca

4)4) are limita in si ., daca

Limite de functiii


( Limita catului este egala cu catul limitelor )

Cazuri execeptate : daca

5)5) are limita in si , daca

.

Cazuri exceptate :


( Limita modulului este egala cu modulul limitei )

Criteriul Criteriul : : MAJORARII .MAJORARII .

- Fie doua functii si x0 un punct de acumulare pentru si o vecinatate

a lui .

- Daca , xxDVx 0 , si daca 0lim0

xgxx

atunci :

ConsecinteConsecinte : :

1) Daca si atunci .

2) Daca xgxf si atunci .

Trecerea laTrecerea la Limita in Inegalitati .Limita in Inegalitati .

- Fie doua functii si un punct de acumulare pentru si o vecinatate

a lui x0 .

- Daca , si daca au limite in punctul

Limite de functiii


atunci :

CorolarCorolar : :

Fie , , ( = multimea vecinatatilor punctului a ) , are limita in a

si .

Daca , atunci .

Daca , atunci .

Daca , atunci .

TEOREMA :TEOREMA : CLESTELUI .CLESTELUI .

Fie trei functii , un punct de acumulare pentru , si o

vecinatate a lui . Daca :

1). , .

2).

atunci are limita in si mai mult : .

Schematic :

.

TEOREMA :TEOREMA : (( criteriu) .criteriu) .

Aceasta teorema este un alt rezultat important care permite calculul limitei unui produs defunctii :

Limite de functiii


Fie , doua functii si , ( = multimea vecinatatilor punctului a ),

punct de acumulare , si .cu proprietatile :

1). , ( marginita pe o vecinatate a lui ) ;

2). .

Atunci : .

Limita produsului dintre o functie marginita si o functie de limita zero este zero !!!

In cele enuntate si discutate anterior acestui capitol , am vazut cateva operatii cu In cele enuntate si discutate anterior acestui capitol , am vazut cateva operatii cu limite de functii .Pentru ca ele sa devina operabile este nevoie de cunoasterea procedurii de limite de functii .Pentru ca ele sa devina operabile este nevoie de cunoasterea procedurii de calcul a limitelor principalelor functii.calcul a limitelor principalelor functii.

Vom discuta si calcula limita functiei , in general , in doua cazuri : Vom discuta si calcula limita functiei , in general , in doua cazuri :

1).1). Cand Cand este punct de acumulare finit este punct de acumulare finit ; ;

2).2). Cand Cand este punct de acumulare infinit ( este punct de acumulare infinit ( daca existadaca exista ) ) . .

Limite de functiii


1 1 LimitaLimita :: . .

- Fie , , ; - Atunci :

,

22 Limita Limita :: . .

- Fie functia polinomiala :

unde : .

- Avem cazurile :

1). Daca este un punct de acumulare finit atunci :

Deci limita unei functii polinomiale intr-un punct de acumulare finit , se obtine inlocuind cu .

2). Daca este un punct de acumulare infinit atunci :

Deci limita unei functii polinomiale la este aceeasi cu limita termenului de grad maxim .

Limite de functiii


1).

......................................................................................................................

2).

...........................................................................................................................

3).

...................................................................................................................

4).

...................................................................................................................

5).

.................................................................................................................

6).

................................................................................................................

7).

.............................................................................................................................

8).

.................................................................................................................

9).

.......................................................................................................................

Limite de functiii


10).

...........................................................................................................

11).

...................................................................................................................

12).

.....................................................................................................................

13).

.............................................................................................................

14).

.................................................................................................................

15).

.........................................................................................................................

16).

..............................................................................................................

17).

..................................................................................................................

18).

.........................................................................................................

Limite de functiii



- Fie functia rationala : ,

unde si sunt functii polinomiale :

unde : .

- Distingem cazurile :

1). Subcazul 1 : Daca este un punct de acumulare finit cu proprietaea ca ( deci a nu

este radacina pentru numitor ) atunci :

Subcazul 2 :

Daca este un punct de acumulare finit cu proprietaea ca ( deci a este radacina pentru numitor ) atunci :

caz de nedeterminare !!!

Discutia pt. acest subcaz 2 este mai complexa . Eliminarea acestiu caz de nedeterminare o vom discuta in capitolele ce vor urma( cazurile de nedeterminare ale limitelor de functii ) . O modalitate de a scapa de nedeterminare este ca sa descompunem polinoamele in factori primi si prin reducerea termenilor asemenea sa ajungem la rezultatul final , dar aceasta numai in conditiile in care si .

Limite de functiii


2). Daca este un punct de acumulare infinit atunci :

1).

........................................................................................................................

2).

...................................................................................................................................

3).

........................................................................................................................

4).

..................................................................................................................................

5).

......................................................................................................................

6).

........................................................................................................................

Limite de functiii


7).

........................................................................................................................

8).

..................................................................................................................

9).

...............................................................................................................................

10).

...........................................................................................................................

11).

..................................................................................................................

12).

........................................................................................................................

13).

...........................................................................................................................

14).

......................................................................................................................

Limite de functiii


15).

...............................................................................................................................

16).

........................................................................................................................

17).

.......................................................................................................................

18).

.......................................................................................................................

19).

..................................................................................................................................

20).

..................................................................................................................................

21).

.............................................................................................................................

22).

...............................................................................................................................

Limite de functiii


23).

...............................................................................................................................

24).

........................................................................................................................

25).

......................................................................................................................

26).

...............................................................................................................................

27).

.................................................................................................................................

28).

.................................................................................................................................

29). ....................................................................................................................


- Distingem urmatoarele cazuri :

I. Cazul radicalilor de ordin par ( ) : avem functia radical , unde se impune

conditia de existenta a radicalului de ordin par ,

Limite de functiii


cu subcazurile :

Subcazul 1 : Daca , punct de acumulare finit , atunci :

Subcazul 2 : Daca punct de acumulare infinit , , atunci :


deoarece nu putem calcula radical de ordin par dintr-un numar negativ !!!

II. Cazul determinantilor de ordin impar ( ) : avem functia radical , caz in

care nu avem de pus nici o conditie de existenta a radicalului ,

cu subcazurile :

Subcazul 1 : Daca punct de acumulare finit , atunci :



1).

...............................................................................................................................

Limite de functiii


2).

...........................................................................................................................

3). ..............................................................................................................................

4).

..............................................................................................................................

5).

...........................................................................................................................

6).

........................................................................................................................

7).

........................................................................................................................................

8).

.......................................................................................................................................

9).

........................................................................................................................................

10).

........................................................................................................................................

11).

.....................................................................................................................

12). ..........................................................................................................................

Limite de functiii


13). ...................................................................................................................

14). ...................................................................................................................

15).

...............................................................................................................................

16).

.................................................................................................................


- Fie functia exponentiala : .


I. Daca atunci distingem urmatoarele subcazuri :



Distingem la acest subcaz urmatoarea situatie :

functia exponentiala este mai mare decat functia polinomiala !!!


II. Daca atunci distingem urmatoarele subcazuri :

Limite de functiii





1).

......................................................................................................................................

2).

......................................................................................................................................

3).

...........................................................................................................................................

4).

..........................................................................................................................................

Limite de functiii


5).

.....................................................................................................................................

6).

...................................................................................................................................

7).

..................................................................................................................................

8).

.................................................................................................................................

9).

.................................................................................................................................

10).

..................................................................................................................................

11).

...........................................................................................................................

12).

.........................................................................................................................

13).

........................................................................................................................................

Limite de functiii


14).

....................................................................................................................................

15). stiinnd ca :

? ...................................................................................

16).

........................................................................................................................................


- Fie functia logaritmica : conditiile de

existenta ale logaritmilor .


I. Daca atunci distingem urmatoarele subcazuri :




II. Daca atunci distingem urmatoarele subcazuri :


Limite de functiii




Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei .

1).

....................................................................................................................................

2).

....................................................................................................................................

3).

....................................................................................................................................

4). .......................................................................................................................................

5). ....................................................................................................................................

6).

....................................................................................................................................

7).

.......................................................................................................................................

8). ....................................................................................................................................

Limite de functiii



Limita functieiLimita functiei sinussinus :

- Fie functia : .


I. Daca este un punct de acumulare finit , Ra , atunci :

Deci limita functiei sin intr-un punct de acumulare finit Ra se obtine inlocuind pe

II. Daca este un punct de acumulare infinit , , atunci functia sinus nu are limita

!!!

Limite de functiii


Limita functieiLimita functiei cosinuscosinus :

- Fie functia : .


I. Daca este un punct de acumulare finit , Ra , atunci :

Deci limita functiei cos intr-un punct de acumulare finit Ra se obtine inlocuind pe

II. Daca este un punct de acumulare infinit , , atunci functia cosinus nu are

limita !!

Limita functieiLimita functiei tangentatangenta :

- Fie functia : .


I. Daca apartine domeniului de definitie atunci :

Se poate lua :

Deci limita functiei tg intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe

Limite de functiii


II. Daca , atunci :

,

Limita functieiLimita functiei cotangentacotangenta :

- Fie functia : .


I. Daca apartine domeniului de definitie atunci :

Se poate lua :

Deci limita functiei ctg intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe

II. Daca , atunci :

Limite de functiii


,


Limita functieiLimita functiei arcsinusarcsinus :

- Fie functia : .

- Daca , atunci :

Limita functieiLimita functiei arccosinusarccosinus :

Limite de functiii


- Fie functia : .

- Daca , atunci :

Limita functieiLimita functiei arctangentaarctangenta :

- Fie functia : .


I. Daca apartine domeniului de definitie , , atunci :

II. Daca , atunci :

,

Limita functieiLimita functiei arccotangentaarccotangenta :

- Fie functia : .


I. Daca apartine domeniului de definitie , , atunci :

II. Daca , atunci :

Limite de functiii


,

99 Limite Limite :: . .

( cu functii trigonometrice )( cu functii trigonometrice )

I.

Generalizand : daca

II.

Generalizand : daca

III.

Generalizand : daca

Limite de functiii


IV.

Generalizand : daca

Exercitiul nr. 1Exercitiul nr. 1 : :Calculati limitele urmatoare :

1).

......................................................................................................................................

2).

......................................................................................................................................

3).

......................................................................................................................................

4).

.....................................................................................................................................

Limite de functiii


5).

....................................................................................................................

6).

......................................................................................................................

7).

......................................................................................................................................

8).

.....................................................................................................................................

9).

............................................................................................................................

10).

....................................................................................................................................

11).

..............................................................................................................

12).

.......................................................................................................................................

13).

.......................................................................................................................................

14). ......................................................................................................................................

15). .....................................................................................................................................

16).

...................................................................................................................................

Limite de functiii


17).

...................................................................................................................................

18). ...................................................................................................................................

19).

.....................................................................................................................

20).

....................................................................................................................

21).

................................................................................................................................

22).

...............................................................................................................

23). ..............................................................................................................................

24).

................................................................................................................................

25).

...............................................................................................................................

26).

...............................................................................................................................

27).

...............................................................................................................................

28). .............................................................................................................................

Limite de functiii


29). .............................................................................................................................

30).

..............................................................................................................................

31).

...............................................................................................................................

32). ....................................................................................................................

33).

..............................................................................................................

34). ...............................................................................................................................

35).

.................................................................................................................................

36). .......................................................................................................................

37). ....................................................................................................................

38).

...............................................................................................................

Exercitiul nr. 2Exercitiul nr. 2 : :

Limite de functiii


Calculati limitele urmatoare :

1).

……………………………………………………………………………………...

2).

……………………………………………………………………………………...

3).

………………………………………………………………………………..

4).

……………………………………………………………………………………...

5).

……………………………………………………………………………..

6).

…………………………………………………………………….

7).

…………………………………………………………………………………….

8).

……………………………………………………………………………………..

9).

……………………………………………………………………………………..

Limite de functiii


10).

………………………………………………………………………………

11).

………………………………………………………………………………………

12).

……………………………………………………………………………….

13).

…………………………………………………………………………...

14).

………………………………………………………………………...

15).

……………………………………………………………………..

16).

…………………………………………………………………………………….

17).

………………………………………………………………………………………

18).

……………………………………………………………………………………..Limite de functiii


19.).

………………………………………………………………………………….

20).

………………………………………………………………………………….

21).

……………………………………………………………………………...

22).

……………………………………………………………………

23).

…………………………………………………………………………………...

24).

………………………………………………………………………

25).

…………………………………………………………………………………..

26).

…………………………………………………………………………………..

27).

………………………………………………………………………………………

28).

…………………………………………………………………………………..

Limite de functiii


29).

………………………………………………………………………………..

30).

………………………………………………………………..

31).

……………………………………………………………………………………...

32).

……………………………………………………………………………...

33).

……………………………………………………………………………………...

34).

………………………………………………………………………………

35). …………………………………………………………………………...

36).

…………………………………………………………………………………

37).

………………………………………………………………………………….

38).

………………………………………………………………………………

Limite de functiii


39).

…………………………………………………………………………………

40).

…………………………………………………………………………………

41).

……………………………………………………………………………………..

42).

………………………………………………………………………………...

43).

…………………………………………………………………………………..

44).

……………………………………………………………………………….

45). …………………………………………………………………………….

46). ………………………………………………………………………..

47).

……………………………………………………………………………...

48).

………………………………………………………………………………….

Limite de functiii



- Fie functiile : , , , punct de acumulare pentru .

- Putem vorbi de compunerea functiei cu : .

- Ne intereseaza in ce conditii functia compusa are limita in punctul .

Aceasta problema este rezolvata de urmatoarea Teorema :

TEOREMA .TEOREMA .

Daca :

1). ;

2). , pentru orice , ;

3).

atunci :

Limite de functiii


1).

..........................................................................................................................

2). ...........................................................................................................................

3).

.....................................................................................................................................


- Fie functiile : , , iar punct de acumulare pentru ;

- Presupunem ca , ;

- In acest caz puterea : este definita .

- Are loc urmatoarea Teorema :

TEOREMA .TEOREMA .

Daca :

1). ;

2). ;

3). are sens

atunci : functia are limita in si mai mult

Limite de functiii


( Limita se distribuie in baza si in exponent )

Cazuri Cazuri exceptateexceptate :

1). , cand : ;

2). , cand : ;

3). , cand : ;

Cazuri Cazuri particulareparticulare :

I. Daca :

1).

exceptand cazul cand :

si

2). Pentru , , avem :

( Limita radicalului este egala cu radicalul limitei )

II. Daca , atunci :

Limite de functiii


III. Daca , ,atunci :

si limita , cand exista :

1).

........................................................................................................................................

2).

.......................................................................................................................................

3).

........................................................................................................................

Limite de functiii


4).

..........................................................................................................................

5).

.....................................................................................................................

6).

.............................................................................................................................

7).

.........................................................................................................................

8).

....................................................................................................................

9).

............................................................................................................................

10).

............................................................................................................................

Limite de functiii


11).

.....................................................................................................................

12).

.........................................................................................................................

13).

...................................................................................................................

14). .................................................................................................................................

15).

................................................................................................................................

Limite de functiii


1212 Limite Limite :: . .

A Limita remarcabila :

.

- Trecand la limita in baza si exponent se obtine nedeterminarea : care cu ajutorul

acestei formule poate fi eliminate .

- Daca punem : , atunci cand rezulta si avem :

Limite de functiii


- Mai general avem , folosind si teorema de la limite de functii compuse :

daca :

sau

daca :

1).

…………………………………………………………………………………….

2).

...............................................................................................................................

3).

..........................................................................................................................

Limite de functiii


4).

...........................................................................................................................

5).

.................................................................................................................................

6).

.........................................................................................................................

7).

.............................................................................................................................

8).

....................................................................................................................

9).

..........................................................................................................................

10).

...........................................................................................................................

11).

................................................................................................................................

Limite de functiii


12).

...........................................................................................................................

13).

.................................................................................................................

B Limita remarcabila :

.

- Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem :

. daca :

1). .......................................................................................................

2).

.............................................................................................................................

3).

..........................................................................................................................

4).

......................................................................................................................

Limite de functiii


5). ......................................................................................................

6). ...................................................................................................................

7).

.........................................................................................................................

8).

..............................................................................................................................

9).

......................................................................................................................

10).

........................................................................................................................

11).

......................................................................................................................

12). ......................................................................................................

13).

..........................................................................................................................

14).

................................................................................................................

15).

...................................................................................................................

Limite de functiii


16). ......................................................................................................

17).

..........................................................................................................................

18).

........................................................................................................................

19). .............................................................................................................

20). ....................................................................................................

21).

..............................................................................................................................

22). .......................................................................................................................................

23).

...........................................................................................................................

24).

...........................................................................................................

25).

.................................................................................................................

C Limita remarcabila :

.

Limite de functiii


- Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem :

. daca :

- Daca avem :

.

sau :

. daca :

1).

..................................................................................................................................

2).

..................................................................................................................................

3).

................................................................................................................................

4).

..................................................................................................................................

Limite de functiii


5).

...................................................................................................................................

6).

................................................................................................................................

7).

......................................................................................................................

8).

.............................................................................................................................

9).

........................................................................................................................

10).

........................................................................................................................

11).

...................................................................................................................................

12).

.................................................................................................................................

13).

.................................................................................................................................

Limite de functiii


14).

................................................................................................................................

15). ........................................................................................................

16).

........................................................................................................................

17).

.............................................................................................................................

D Limita remarcabila :

.

.

Limite de functiii


1).

.........................................................................................................................

2).

............................................................................................................................

3).

..................................................................................................................

E Alte limite remarcabile :

. .

.

Vom prezenta in cele ce urmeaza cateva tehnici de calcul aVom prezenta in cele ce urmeaza cateva tehnici de calcul a limitelor de functii pentru a usura rezolvarea acestora .limitelor de functii pentru a usura rezolvarea acestora .

I.I.

.

II.

Limite de functiii


III.

IV.

V.

...

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

XI.

XII.

Limite de functiii


daca exista o vecinatate a lui ca functia sa

fie marginita pe , unde .

Asa cum am vazut in capitolele precedente la calculul limitelor deAsa cum am vazut in capitolele precedente la calculul limitelor de functii apar si cazuri de nedeterminare care ne obliga sa gasim o altafunctii apar si cazuri de nedeterminare care ne obliga sa gasim o alta metoda de rezolvare decat cele clasice pentru aflarea limitei acestormetoda de rezolvare decat cele clasice pentru aflarea limitei acestor functii , daca exista .functii , daca exista .

Limite de functiii


In continuare vom prezenta cazurile de nedeterminare intalniteIn continuare vom prezenta cazurile de nedeterminare intalnite precum si tehnica de lucru pentru eliminarea acestor nedeterminari .precum si tehnica de lucru pentru eliminarea acestor nedeterminari .

11 Limite Limite :: : : . .

a). Limite de functii rationale in puncte finite a :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin simplificarea cu ,

.

1).

.....................................................................................................................

2).

..........................................................................................................................

3).

........................................................................................................................

4).

.......................................................................................................................

Limite de functiii


5).

........................................................................................................................

6).

..................................................................................................................................

b). Limite de functii rationale in compunere cu functia modul :

In acest caz se va explicita modulul :

1).

..........................................................................................................................................

2).

....................................................................................................................................

3).

................................................................................................................................

4).

............................................................................................................................

Limite de functiii


5).

...................................................................................................................................

c). Limite de functii definite prin cat de expresii irationale :

- Distingem cazurile :

I. Sub radicali de ordine diferite figureaza aceeasi expresie .

Se scimba variabila , notandu-se radicalul de ordin egal cu cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor cu alta variabila , cand se ajunge la limita unei functii rationale .

1).

..................................................................................................................................

2).

.................................................................................................................................

3).

..................................................................................................................................

4).

...................................................................................................................

Limite de functiii


5).

............................................................................................................................

II. Sub radicali figureaza expresii diferite.

Se amplifica numitorul si (sau) numaratoru; cu expresia conjugata.

1). .................................................................................................................

2).

.........................................................................................................................

3).

............................................................................................................................

4).

......................................................................................................................

5).

........................................................................................................................

6). ......................................................................................................................

7).

......................................................................................................................

8).

.....................................................................................................................

Limite de functiii


9).

..........................................................................................................................

10).

........................................................................................................................

11).

......................................................................................

12).

....................................................................................

13). ..........................................................................................................................

14).

..........................................................................................................................

15). ..........................................................................................................................

16).

.......................................................................................................................

17). ..........................................................................................................................

18).

...............................................................................................................

Limite de functiii


19)

........................................................................................................................

20). ..........................................................................................................

21).

...........................................................................................

22). ............................................................................................................

23).

..............................................................................................................

d). Limite de functii trigonometrice :

- Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele :

1).

...................................................................................................................................

unde : .

Limite de functiii


2).

.................................................................................................................................

3).

...............................................................................................................................

4).

...................................................................................................................

5).

............................................................................................................................

6).

........................................................................................................................

7).

..............................................................................................................................

8).

...............................................................................................................................

9).

...........................................................................................................................

10).

............................................................................................................................

11).

.......................................................................................................................

Limite de functiii


12).

............................................................................................................................

13). .................................................................................................................

14). ............................................................................................................

15).

......................................................................................................

16).

.............................................................................................................................

17). .....................................................................................................

e). Limite de functii trigonometrice :

- Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele :

, , .

1). ............................................................................................................................

2). ............................................................................................................................

Limite de functiii


3).

............................................................................................................................

4).

..................................................................................................................

5). .....................................................................................................................

6).

...............................................................................................................................

7). ..................................................................................................................

8).

...........................................................................................................................

9).

...............................................................................................................................

10). ..............................................................................................


a). Limite de functii rationale :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin raportul termenilor de grad maxim .

Limite de functiii


1).

...................................................................................................................

2).

.............................................................................................................................

3).

.....................................................................................................................

4).

..................................................................................................................

5).

.............................................................................................................................

6).

......................................................................................................................

Limite de functiii


b). Limite de functii irationale , exponentiale , logaritmice :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin raportul termenilor de grad maxim .

1).

.....................................................................................................................

2).

...........................................................................................................................

3).

..............................................................................................................................

4).

...............................................................................................................................

5).

.................................................................................................................

6).

................................................................................................................................

Limite de functiii



a). Limite de functii rationale :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin aducerea la acelasi numitor .

1).

....................................................................................................................

2).

...............................................................................................................

3).

..........................................................................................................

4). ....................................................................................................................

Limite de functiii


5). ...............................................................................................................

6).

......................................................................................

7).

..................................................................................

b). Limite de functii irationale :

Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin amplificare cu conjugata .

1).

......................................................................................................................

2).

...................................................................................................

3).

..................................................................................................

Limite de functiii


4).

......................................................................................................

5).

......................................................................................................

6).

..................................................................................................................

7).

...................................................................................................................

8).

........................................................................................................................

9).

.............................................................................................................

10).

.....................................................................................................................

11). .........................................................................................................

12). ..........................................................................................

13). .......................................................................................

14). .................................................................................................

c). Limite de functii exponentiale , logaritmice :

Limite de functiii


1). .....................................................................................................

2). .....................................................................................................

3).

..............................................................................................................................


1).

....................................................................................................................................

2).

..................................................................................................................................

3).

..........................................................................................................................

Limite de functiii


4). .........................................................................................................................

5).

..........................................................................................................................

6).

..........................................................................................................................

7).

....................................................................................................

8).

................................................................................................................

9). ...........................................................................................................

10). ..........................................................................................


Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand :

Limite de functiii


1).

................................................................................................................................

2).

.................................................................................................................................

3).

.................................................................................................................................

4).

..............................................................................................................................

5).

............................................................................................................................

6).

.................................................................................................................

7).

.................................................................................................................

Limite de functiii


8).

.............................................................................................................................

unde :

9).

...................................................................................................................

unde :

10).

.......................................................................................................................

11).

.............................................................................................................................

12).

.................................................................................................................................

13).

.........................................................................................................................

14).

....................................................................................................................................

15).

....................................................................................................................

Limite de functiii


16).

....................................................................................................................

17).

............................................................................................................................

18).

...............................................................................................................


Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand :

si scrierea

1). ...........................................................................................................................................

2).

..................................................................................................................................

3). .......................................................................................................................................

4).

.............................................................................................................................

Limite de functiii


5).

.........................................................................................................................


1).

........................................................................................................................................

2).

.......................................................................................................................................

3).

.....................................................................................................................................

4).

...................................................................................................................................

Limite de functiii


Sa se calculeze urmatoarele limite , discutand dupa valorile parametrilor reali corespunzatori :

1).

..........................................................................................................

unde : .

2).

..........................................................................................................

Limite de functiii


unde : .

3). ………………………………………………………..

unde : .

Sa se determine astfel incat sa fie indeplinite egalitatile :

1).

2).

3).

4).

Limite de functiii

limite de functii - clasa a 11-a

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