Clasaa XI-a - 1Elemente de analiza matematica Limite de functii Definitievecinatateaunuipunct vecinatateaunuipunct:-Fixam un punct R a ;-Se numeste vecinatate a punctuluiaorice multime R V care contine un interval deschis centrat ina,adica: in acest caz exista 0 > r astfel incat ( ) V r a r a + , .Definitiepunct de acumulare(punct de acumulare( punct limita punct limita ) ):- -FieAo submultime nevida dinR: R A ;- -Un punctR ase numestepunct de acumulare (sau punct limita) pentru multimeaAdaca ( ) VVa (= multimea vecinatatilor punctului a )sa rezulte { } ( ) A a V .- -aceasta definitie spune ca un punctR aeste punct de acumulare pntru multimeaAdaca orice vecinatateVa punctuluiamai contine si alte puncte dinA, diferite dea, adica exista :a x A V x cuDefinitiepunctizolat punctizolat:- -FieAo submultime nevida dinR: R A ;-Un punctA x 0se numeste punct izolat al multimiiAdaca exista cel putin o vecinatateV a punctului { }xA Vx 0 0incatastfel .Observatie:Orice punct al unei multimiAeste fie punct de acumulare , fie punct izolat .

Limite de functiiiClasaa XI-a - 2Elemente de analiza matematica Limite de functiiFixam o functieR D f :,( ) R D si un punct x0 punct de acumulare a lui D, Rx 0 .Definitiecriteriul cu vecinatati criteriul cu vecinatati:-Functiafare limita in punctul x0,egalacu si scriem:( ) x fx xlim0daca pentru orice vecinatateV a lui exista o vecinatateU a lui x0astfel incat pentru orice:{ } ( ) V x fx U D x \0 Toremede caracterizare alimitei unei functii intr-un punct limitei unei functii intr-un punct:Criteriul: - .-FieR D f :,( ) R D , o functie si x0 punct de acumulare a lui D, Rx 0;-Functiafare limita in punctul x x 0,egalacu R si scriem:( ) x fx xlim0daca si numai daca ( ) 0 > existanumarul real ( ) 0 > , depinzand de , astfel incat pentru orice { }\0 x D x , cu proprietatea < 0 x x sa rezulte: ( ) < x f .Criteriul:cusiruri.-FieR D f :,( ) R D , o functie si x0 punct de acumulare a lui D, Rx 0;-Functiafare limita in punctul x x 0,egalacu R , finit sau infinit , si scriem :( ) x fx xlim0daca pentru orice sir ( ) { }x a x D a a n nn n 0 00 , \ , avem: ( )afn.Observatie: Daca exista , limita unei functii intr-un punct Daca exista , limita unei functii intr-un puncteste unica este unica . .Limite de functiiiClasaa XI-a - 3Elemente de analiza matematica Limite de functii Def Def initie initie: : Limitalastanga: Limitalastanga: -FieR D f :,( ) R D ,x0punct de acumulare pentru multimea : ( ) { } Rx x D x x D D s < si,0 0'-Functiafare limita la stanga in punctul x0egala cusdaca oricare ar fi vecinatateaV a luis , exista o vecinatate U a lui x0, astfel incat pentru orice:x x 0< ,{ } ( ) V x fx D U x \0 -Vom folosi notatiile :( ) ( ) x fxflx xx xs lim 0000< . Def Def initie initie: : Limitaladreapta: Limitaladreapta: - -FieR D f :,( ) R D ,x0punct de acumulare pentru multimea : ( ) { } Rx x D x x D D d > + si,0 0'-Functiafare limita la dreapta in punctul x0egala cuddaca oricare ar fi vecinatateaVa luid , exista o vecinatate U a lui x0, astfel incat pentru orice:x x 0> ,{ } ( ) V x fx D U x \0 -Vom folosi notatiile :( ) ( ) x fxflx xx xd lim 0000> + . TEOREMA:TEOREMA:de caracterizare a limitei unei functiiintr-un punct cu de caracterizare a limitei unei functiiintr-un punct cu ajutorul limitelor laterale ajutorul limitelor laterale-FieR D f :,( ) R D ,x0punct de acumulare pentru multimea Dastfel incat sa existe limitele laterale inx0( deci exista( )0 0 xf , ( )0 0 +xf);-Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente : 1). fare limita in punctul x0;2).( )0 0 xf = ( )0 0 +xfIn aceste conditii : ( ) x fx xlim0= ( )0 0 xf = ( )0 0 +xfLimite de functiiiClasaa XI-a - 4Elemente de analiza matematica Limite de functii-Aceasta teorema spune ca o functie are limita intr-un punct daca si numai daca exista limitele laterale cu proprietatea ca sunt si egale . Observati Observati i: i: 1). Daca ( ) R b a f , : si are limite in punctelea ,bin punctulavorbim de limita laterala la dreapta , iar in punctulbde limita laterala la stanga .2). Limitele laterale se folosesc in urmatoarele situatii : -in punctele in care o functie definita pe ramuri isi schimba expresia ;-daca trecand la limita obtinem:0a; -daca domeniul de definitie este restrictiv , de exemplu : ( ) ( )xx f1ln2 .FieR D g f : ,si x0 un punct de acumulare pentru D;Daca:( )1 lim0x fx x si ( )2 lim0x gx x, R c R , ,2 1 atunci functia:1 ) 1 ) ( ) g f +are limitain x0 si( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g fx x x x x xlim lim lim0 0 02 1 + + + .( Limita sumei este egala cu suma limitelor )Caz execeptat: ( ) daca 2 1 2 1 , sau ,2 ) 2 ) ( ) f c are limitain x0 si( ) ( ) ( ) x f c c x f cx x x xlim lim0 01 .( O constanta iasa in afara limitei )Limite de functiiiClasaa XI-a - 5Elemente de analiza matematica Limite de functii3 ) 3 ) ( ) g f are limitain x0 si( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g fx x x x x xlim lim lim0 0 02 1 .( Limita produsului este egala cu produsul limitelor )Caz execeptat: ( ) 0 daca 0 , sau , 02 1 2 1 t t 4 ) 4 )

,_

gfare limitain x0 si( )( )( ) x gx fxgfx xx xx xlimlimlim00021

,_

.,daca 0 2 ( Limita catului este egala cu catul limitelor )Caz uri execeptate : tdaca 2 1 2 1 , sau ,5 ) 5 )( ) fgare limitain x0 si( )( )( )( )1]1

11]1

x f x fx x x xx ggx xlim lim0lim1020,daca( ) 0 > x f.Cazuri exceptate: ( ) 0 0,0,16 ) 6 ) fare limitain x0 si( ) ( )1 lim lim0 0 x f x fx x x x.( Limita modulului este egala cu modulul limitei ) CriteriulCriteriul : : MAJORARII. MAJORARII. -FieR D g f : ,doua functii si x0un punct de acumulare pentru DsiV o vecinatatea luix0.-Daca ( ) ( ) x g x f , ( )x xD V x0, si daca( ) 0lim0x gx xatunci:( ) x fx xlim0 Consecinte Consecinte :: 1) Daca ( ) ( ) x g x f si( ) + x gx xlim0atunci( ) + x fx xlim0.2) Daca ( ) ( ) x g x f si( ) x gx xlim0atunci( ) x fx xlim0. Trecereala TrecerealaLimita in Inegalitati. Limita in Inegalitati. -FieR D g f : ,doua functii si x0un punct de acumulare pentru DsiV o vecinatateLimite de functiiiClasaa XI-a - 6Elemente de analiza matematica Limite de functiia luix0.-Daca ( ) ( ) x g x f ,( )x xD V x0, si dacag fsiau limite in punctulRx 0 atunci: ( ) ( ) x g x fx x x xlim lim0 0 Corolar Corolar :: FieR D f :,Vaa , ( Va= multimea vecinatatilor punctuluia ) ,fare limita inasiV V a .Daca( ) 0 x f,( ) a x D V x , atunci( ) 0limx fa x.Daca( ) 0 x f, ( ) a x D V x , atunci( ) 0limx fa x.Daca( ) x f,( ) a x D V x , atunci( ) x fa xlim. TEOREMA: TEOREMA:CLESTELUI. CLESTELUI. Fie trei functiiR D h g f : , ,, aun punct de acumulare pentru D,VaasiVo vecinatate a luia . Daca:1). ( ) ( ) ( ) x h x g x f , ( ) a x D V x ,.2).( ) ( ) x h x fa x a xlim limatuncigare limitainasi mai mult:( ) x ga xlim.Schematic:( ) ( ) ( ) x h x g x f . TEOREMA: TEOREMA:( (criteriu). criteriu). Aceastateorema este un alt rezultat important care permite calculul limitei unui produs defunctii : FieR D g f : ,, doua functii si Vaa, ( Va= multimea vecinatatilor punctuluia ),a punct de acumulare ,siV V a .cu proprietatile : 1).( ) M x f , ( ) 0 , > M D V x ( fmarginitape o vecinatate a luia) ;2). ( ) 0limx ga x.Limite de functiiiClasaa XI-a - 7Elemente de analiza matematica Limite de functii Atunci:( ) ( ) 0lim x g x fa x . Limita produsului dintre o functie marginita si o functie de limita zero este zero!!!In cele enuntate si discutate anterior acestui capitol , am vazut cateva operatii cu limite In cele enuntate si discutate anterior acestui capitol , am vazut cateva operatii cu limite de functii .Pentru ca ele sa devina operabile este nevoie de cunoasterea procedurii de calcul a de functii .Pentru ca ele sa devina operabile este nevoie de cunoasterea procedurii de calcul a limitelor principalelor functii. limitelor principalelor functii.Vom discuta si calcula limita functiei , in general , in doua cazuri :Vom discuta si calcula limita functiei , in general , in doua cazuri : 1). 1).Cand Candaeste punct de acumulare finiteste punct de acumulare finit ; ;2). 2).Cand Candaeste punct de acumulare infinit ( este punct de acumulare infinit ( daca exista daca exista ) )..1 1 LimitaLimita :: ..-FieR R f :,( ) c x f , R c ;-Atunci:( ) c x fa xlim, ( ) R a Limite de functiiiClasaa XI-a - 8Elemente de analiza matematica Limite de functii22 Limita Limita :: ..-Fie functia polinomiala:R R f :

( )a x a x a x a x a x ax fkkkknnnn 0 11111..... ..... + + + + + + + unde:0, , 0 , ankRa n k.- Avem cazurile :1).Dacaaeste un punct de acumulare finit atunci :( ) ( ) a f x fa xlimDecilimita unei functii polinomiale intr-un punct de acumulare finit a , se obtine inlocuind x cu a.2).Dacaaeste un punct de acumulare infinit atunci :( ) ( ) t nnnna x a xa x ax flim limDecilimita unei functii polinomialela t este aceeasi cu limita termenului de grad maxim .1). ( ) +3 2 lim21x xx......................................................................................................................2). ( ) + x xx7 5 lim22...........................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 9Elemente de analiza matematica Limite de functii3). ( ) +7 2 2 lim37x xx...................................................................................................................4). ( ) +3 6 3 lim2 20x xx...................................................................................................................5). ( ) +x x xx3 2 5 lim3 3 60.................................................................................................................6). ( ) + 6 2 2 lim23x xx................................................................................................................7). ( ) + x xx6 lim41.............................................................................................................................8). ( ) + 5 2 lim2 33x e xxx.................................................................................................................9). ( ) + + x x xx2 3lim ....................................................................................................................... 10).( ) + + 8 3 2 lim2 3x x xx........................................................................................................... 11).( ) x xx7 2 7 lim2................................................................................................................... 12).( ) + + x x xx5 lim2 4..................................................................................................................... 13).( ) + + 7 5 lim2 3x x xx............................................................................................................. 14).( ) + 1 6 3 lim4x xx................................................................................................................. 15).( ) + 2005 lim3xx......................................................................................................................... 16).( ) + + x x xx10 3 lim2 3.............................................................................................................. 17).( ) + + 3 6 lim2 3x xx.................................................................................................................. 18).( ) + + + 1 4 3 lim2 5x x xx.........................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 10Elemente de analiza matematica Limite de functii33 Limita Limita :: ..-Fie functia rationala:( )( )( ) x Q x Px f ,{ } R x Q x R f 0 ) ( :

unde PsiQsunt functii polinomiale:( )a x a x a x a x a x ax Piiiikkkk 0 11111..... ..... + + + + + + + ( )b x b x b x b x b x bx Qjjjjllll 0 11111..... ..... + + + + + + + unde: 0, , 0, , , 0 , , b al j kiRb a l k j i.-Distingem cazurile :1). Subcazul 1 : Dacaaeste un punct de acumulare finit cu proprietaea ca ( ) 0 a Q( decianu este radacina pentru numitor ) atunci :( )( )( )( )( )( ) a fa Q a Px Q x Px fa x a x lim limSubcazul 2 :Dacaaeste un punct de acumulare finit cu proprietaea ca ( ) 0 a Q( decia este radacina pentru numitor ) atunci :( )( )( )( )( )( )0lim lima Pa Q a Px Q x Px fa x a x caz de nedeterminare!!!Discutia pt. acest subcaz 2 este mai complexa . Eliminarea acestiu caz de nedeterminare o vom discuta in capitolele ce vor urma( cazurile de nedeterminare ale limitelor de functii ) .O modalitate de a scapa de nedeterminare este ca sa descompunem polinoamele in factori primi si prin reducerea termenilor asemenea sa ajungem la rezultatul final , dar aceasta numai in conditiile in care si ( ) 0 a P .2). Dacaaeste un punct de acumulare infinit atunci :Limite de functiiiClasaa XI-a - 11Elemente de analiza matematica Limite de functii( )( ) ( ) ( )( )'< t t i numitorulu gradul lui numaratoru gradul pentru,0pentru, i numitorulu gradul lui numaratoru gradul pentru, liml kl kbal kbax flkl klkx1). 1 21lim221x xxx........................................................................................................................2).+11lim21 xxx...................................................................................................................................3).+ + + 1 81 2lim221x xx xx........................................................................................................................4). 31lim1 xxx..................................................................................................................................5).+ + + 1 2 35 2lim22x xx xx......................................................................................................................6).+ + 1 45lim2 33x xxx........................................................................................................................7). 35 2lim2xx xx........................................................................................................................8).+ + + 1 37 5 36lim24x xx xx..................................................................................................................9).+ 82lim24 5xx xx............................................................................................................................... 10). + +12lim21x x xx........................................................................................................................... 11).( )( )+ 2 34 1lim32xx xx.................................................................................................................. 12). + 11 2lim21xx xx........................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 12Elemente de analiza matematica Limite de functii 13). + + 11lim321xx xx........................................................................................................................... 14). + + +15 815 2lim223x xx xx...................................................................................................................... 15).( )+41lim2222xxx............................................................................................................................... 16).( )+ 1 21lim2212x xxx........................................................................................................................ 17). +232415lim2223xxx xx....................................................................................................................... 18). +2025lim221x xxx....................................................................................................................... 19). +x xx xx440lim.................................................................................................................................. 20). xx xx43 40lim.................................................................................................................................. 21). 8 54 2lim22xx xx............................................................................................................................. 22). x xx xx74lim24 3............................................................................................................................... 23). + 12lim2xx xx............................................................................................................................... 24). + 23 1552lim32 3xx xx........................................................................................................................ 25). ++ 11 5 3lim2xx xx...................................................................................................................... 26). + x xx xx32lim22............................................................................................................................... 27). + x xxx21lim.................................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 13Elemente de analiza matematica Limite de functii 28). ++ 4lim22 3xx xx................................................................................................................................. 29).( ) ( )+ + x xx xx31 2 2lim2....................................................................................................................44 Limita Limita :: ..-Distingem urmatoarele cazuri:I.Cazul radicalilor de ordin par (k n 2 ) : avem functia radical , unde se impune conditia de existenta a radicalului de ordin par ,[ ) [ ) ( )N kx x f fk * 2, ,, 0 , 0 : cu subcazurile :Subcazul1:Daca [ ) + , 0 a ,apunct de acumulare finit , atunci :ka xka xa x2 2lim lim Subcazul2:Dacaapunct de acumulare infinit , + a,atunci :+ + + + kxkxx2 2lim limSubcazul3:Dacaapunct de acumulare infinit , a,atunci :exista nu xkxkx lim lim2 2 deoarece nu putem calcula radical de ordin par dintr-un numar negativ !!!II.Cazul determinantilor de ordin impar (1 2 + k n): avem functia radical , caz in care nu avem de pus nici o conditie de existenta a radicalului , ( )N kx x f R R fk * 1 2, ,: +cu subcazurile :Subcazul1:Dacaapunct de acumulare finit , atunci :1 2 1 2lim lim++ka xka xa xSubcazul2:Dacaapunct de acumulare infinit , + a,atunci :+ + ++ ++ 1 2 1 2lim limkxkxxSubcazul3:Dacaapunct de acumulare infinit , a,atunci :Limite de functiiiClasaa XI-a - 14Elemente de analiza matematica Limite de functii + + 1 2 1 2lim limkxkxx1). x xx33lim ...............................................................................................................................2). 1 lim2xx...........................................................................................................................3). >xxxx34lim222..............................................................................................................................4). + 4lim2x xx..............................................................................................................................5). ++ + 11lim42xx xx...........................................................................................................................6). + 1 lim22x xx........................................................................................................................7). 32limxx........................................................................................................................................8). 532limxx.......................................................................................................................................9). 5limxx........................................................................................................................................ 10).xxlim0........................................................................................................................................ 11).( ) +x xx4 225 lim ..................................................................................................................... 12). +16lim0x xx.......................................................................................................................... 13). + + x x xxlim................................................................................................................... 14). 3 3 3limx x xx................................................................................................................... 15). + 1limx xxx............................................................................................................................... 16).( ) 33 5322lim x xxx.................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 15Elemente de analiza matematica Limite de functii55 Limita Limita :: ..-Fie functia exponentiala:( ) ( ) 1 , 0, ,, 0 : > + b bbx f R fx.-Distingem urmatoarele cazuri:I.Daca 1 > b atunci distingem urmatoarele subcazuri:Subcazul1:Dacaapunct de acumulare finit , atunci :b ba xa xlimSubcazul2:Dacaapunct de acumulare infinit , + a , atunci : + ++ b b bxxxa xlim limDistingem la acest subcaz urmatoarea situatie : Z nbxxnx + ,0lim functia exponentiala este mai mare decat functia polinomiala!!!Subcazul3:Dacaapunct de acumulare infinit , a, atunci :0 lim lim b b bxxxa xII.Daca 1 0 < < b atunci distingem urmatoarele subcazuri:Subcazul1:Dacaapunct de acumulare finit , atunci :b ba xa xlimSubcazul2:Dacaapunct de acumulare infinit , + a , atunci :0 lim lim ++ b b bxxxa xSubcazul3:Dacaapunct de acumulare infinit , a, atunci : + b b bxxxa xlim limLimite de functiiiClasaa XI-a - 16Elemente de analiza matematica Limite de functii1).

,_

21lim2xx......................................................................................................................................2).

,_

51limxx......................................................................................................................................3). 6 lim3xx...........................................................................................................................................4). 5 limxx..........................................................................................................................................5).

,_

75limxx.....................................................................................................................................6).( ) 10 limxx...................................................................................................................................7).

,_

31limxx..................................................................................................................................8). + + ex xx1 52lim2.................................................................................................................................9). + ++ ex xx1 52lim ................................................................................................................................. 10).+ + ex xx23lim .................................................................................................................................. 11).

,_

+ ++ 31lim92 4x x xx........................................................................................................................... 12).( ) + + 04 . 0lim23x xx......................................................................................................................... 13). e xxx610lim........................................................................................................................................ 14). ++ 10 lim15 225xxx.................................................................................................................................... 15).+ + ax x xx1 32 4limstiinnd ca:1 0 < < a ?................................................................................... 16). exx2lim ........................................................................................................................................66 Limita Limita :: ..Limite de functiiiClasaa XI-a - 17Elemente de analiza matematica Limite de functii-Fie functia logaritmica: ( ) ( ) 1 , 0 cu , log,, 0 : > + b b x x f R fbconditiile de existenta ale logaritmilor .-Distingem urmatoarele cazuri:I.Daca 1 0 < < b atunci distingem urmatoarele subcazuri:Subcazul1:Daca 0 a punct de acumulare finit , atunci :( ) + >>x x fbxxxxloglim lim0000Subcazul2 :Daca( ) + , 0 apunct de acumulare finit , atunci :( ) a x x fb ba x a xlog loglim lim Subcazul3:Dacaapunct de acumulare infinit , + a , atunci :( ) + + x x fbx xloglim limII.Daca 1 > b atunci distingem urmatoarele subcazuri:Subcazul1:Daca 0 a punct de acumulare finit , atunci :( ) >>x x fbxxxxloglim lim0000Subcazul2 :Daca( ) + , 0 apunct de acumulare finit , atunci :( ) a x x fb ba x a xlog loglim lim Subcazul3:Dacaapunct de acumulare infinit , + a , atunci :( ) + + + x x fbx xloglim limLimita logaritmului este egala cu logaritmul limitei .Limite de functiiiClasaa XI-a - 18Elemente de analiza matematica Limite de functii1). xxloglim2141 ....................................................................................................................................2). xxloglim313....................................................................................................................................3). xxloglim21....................................................................................................................................4). >xxxlglim00.......................................................................................................................................5). >xxxloglim5200....................................................................................................................................6). xx3ln lim ....................................................................................................................................7). xexln lim2.......................................................................................................................................8). >xxxloglim700....................................................................................................................................77 Limita Limita :: ..Limite de functiiiClasaa XI-a - 19Elemente de analiza matematica Limite de functii Limitaf Limitaf unctiei unctieisin sin us : -Fie functia:[ ] 1 , 1 : sin R .-Distingem urmatoarele cazuri: I.Dacaaeste un punct de acumulare finit, R a , atunci:a xa xsin sinlimDecilimita functieisinintr-un punct de acumulare finit R a se obtine inlocuind pea x cuII.Dacaaeste un punct de acumulare infinit ,t a, atunci functiasinusnu are limita !!! Limitafunctiei Limitafunctieicosinus cosinus : -Fie functia:[ ] 1 , 1 : cos R .-Distingem urmatoarele cazuri: I.Dacaaeste un punct de acumulare finit, R a , atunci:a xa xcos coslimDecilimita functieicosintr-un punct de acumulare finit R a se obtine inlocuind pea x cuII.Dacaaeste un punct de acumulare infinit , t a , atunci functiacosinusnu are limita !! Limitafunctiei Limitafunctieitangenta tangenta : -Fie functia:( ) R Z k k R ;' + 21 2 :tg.Limite de functiiiClasaa XI-a - 20Elemente de analiza matematica Limite de functii-Distingem urmatoarele cazuri: I.Dacaaapartine domeniului de definitie atunci:a xa xtg tg limSe poate lua:aaaxxxxxa xa xa x a xtg tg cossincoslimsinlimcossinlim limDecilimita functieitgintr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe a x cuII.Daca2 a , atunci:+ xxxtglim22 Limitafunctiei Limitafunctieicot cot angenta : -Fie functia:{ } R Z k k R : ctg.-Distingem urmatoarele cazuri: Limite de functiiiClasaa XI-a - 21Elemente de analiza matematica Limite de functiiI.Dacaaapartine domeniului de definitie atunci:a xa xctg ctg limSe poate lua:aaaxxxxxa xa xa x a xctg ctg sincossinlimcoslimsincoslim limDecilimita functieictgintr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe a x cuII.Daca 0 a , atunci: xxxctglim0088 Limita Limita :: .. Limitafunctiei Limitafunctieiarcs arcs in us us : -Fie functia:[ ]1]1

2,21 , 1 : arcsin .Limite de functiiiClasaa XI-a - 22Elemente de analiza matematica Limite de functii-Daca[ ] 1 , 1 a , atunci:a xa xarcsin arcsinlim Limitafunctiei Limitafunctieiarc arc c os os in us us : -Fie functia: [ ] [ ] , 0 1 , 1 : arccos .-Daca[ ] 1 , 1 a , atunci:a xa xarccos arccoslim Limitafunctiei Limitafunctieiarctangenta arctangenta : -Fie functia: ,_

2,2: R arctg.-Distingem urmatoarele cazuri: I.Dacaaapartine domeniului de definitie,R a, atunci:a xa xarctg arctg limII.Dacat a, atunci:2lim + xxarctg ,2lim- xxarctg Limitafunctiei Limitafunctieiarccotangenta arccotangenta : -Fie functia:( ) , 0 : R arcctg.-Distingem urmatoarele cazuri: I.Dacaaapartine domeniului de definitie,R a, atunci:Limite de functiiiClasaa XI-a - 23Elemente de analiza matematica Limite de functiia xa x limarcctg arcctg II.Dacat a, atunci:0lim + xxarcctg, xx lim-arcctg99 Limite Limite :: ..(( cu functiitrigonometrice ) cu functiitrigonometrice )I.1sinlim0xxxGeneralizand :( )( )1sinlimx ux ua x daca( ) 0limx ua xII.1arcsinlim0xxxGeneralizand :( )( )1arcsinlimx ux ua x daca( ) 0limx ua xIII.1lim0xxxtgLimite de functiiiClasaa XI-a - 24Elemente de analiza matematica Limite de functiiGeneralizand :( )( )1limx ux ua xtg daca( ) 0limx ua xIV.1lim0xxxarctgGeneralizand :( )( )1limx ux ua xarctg daca( ) 0limx ua x Exercitiulnr.1 Exercitiulnr.1 ::Calculati limitele urmatoare:1). xxsinlim0......................................................................................................................................2). xxsinlim2......................................................................................................................................3). xxsinlim6 ......................................................................................................................................4). + xxsinlim.....................................................................................................................................5). ( ) + 1 5 3 lim23x xx....................................................................................................................6).( ) + 1 3 lim2 x xx......................................................................................................................7). xxcoslim2......................................................................................................................................8). xxcoslim4.....................................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 25Elemente de analiza matematica Limite de functii9). ( ) 3 coslim2xx............................................................................................................................ 10). xxcoslim.................................................................................................................................... 11).( ) + + 3 2coslim2 3 x xx.............................................................................................................. 12).xx lim3tg....................................................................................................................................... 13).xx lim0tg....................................................................................................................................... 14).xxx lim2525tg..................................................................................................................................... 16).xx3lim5ctg................................................................................................................................... 17).xx3lim6ctg ................................................................................................................................... 18).>xxx6lim33ctg................................................................................................................................... 19).( ) b x f,atunci:( ) ( )b bx g x ga xa xlimlim III. Daca( ) 0 > x x f,( ) R r x g ,atunci:e xx r r lnsi limita , cand exista:e e xx r x ra xra xa xln ln limlim lim Limite de functiiiClasaa XI-a - 33Elemente de analiza matematica Limite de functii1). 5 lim2 xx........................................................................................................................................2). 3 lim5 22xxx.......................................................................................................................................3).

,_

++1 25lim232xxx xx........................................................................................................................4). ,_

+xxxx2243 2lim30..........................................................................................................................5). ,_

+++ 562 3lim22522 33xxx xx xx.....................................................................................................................6).+ 1 21 5lim22xxx.............................................................................................................................7). ,_

+ 1 33lim221xxxxx.........................................................................................................................8). + 52 4lim20xx xx....................................................................................................................9). ,_

+ xxxx3 14lim221............................................................................................................................ 10).

,_

+ + 31lim2 3355 4x x x xx............................................................................................................................ 11).

,_

32lim22133xxxxx.....................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 34Elemente de analiza matematica Limite de functii 12).

,_

+5 31 2lim2242xxxxx......................................................................................................................... 13).( ) +26lim22x x x exx...................................................................................................................14). +>exxx10011lim.................................................................................................................................15).xexx1lim30................................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 35Elemente de analiza matematica Limite de functii1212 Limite Limite :: .. A Limita remarcabila: exxx

,_

+ 11lim.-Trecand la limita in baza si exponent se obtine nedeterminarea:1care cu ajutorul acestei formule poate fi eliminate .-Daca punem:xy1 , atunci cand xrezulta0 ysi avem: ( ) e yyy +1lim10-Mai general avem , folosind si teorema de la limite de functii compuse:( )( )ex ux ua x ,_

+11limdaca:( ) t x ua xlimsau( )( ) ( ) e x ux ua x +1lim1daca:( ) 0limx ua xLimite de functiiiClasaa XI-a - 36Elemente de analiza matematica Limite de functii1).

,_

+ 11limxxxx.2).

,_

+ xxx521lim...............................................................................................................................3).( ) x xxsin 1lim322..........................................................................................................................4).

,_

+++ 1 31 3lim1 2xxxx...........................................................................................................................5).

,_

1limxxxx.................................................................................................................................6).

,_

++2 34lim111xxxxx.........................................................................................................................7). ,_

xxxx221lim4.............................................................................................................................8). ,_

+ + + 1 33 2lim22x xx xxx....................................................................................................................9). ( )

,_

xxxsinlim212.......................................................................................................................... 10). ( ) xxx4 13lim313........................................................................................................................... 11).

,_

++ 21limxxxx................................................................................................................................ 12).

,_

++ 21lim2xxxx........................................................................................................................... 13). ,_

+ + 1 3lim22x xx xxx................................................................................................................. B Limita remarcabila:Limite de functiiiClasaa XI-a - 37Elemente de analiza matematica Limite de functii

( )11 lnlim0+xxx.-Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem:

( ) ( )( )11 lnlim+x ux ua x. daca:( ) 0limx ua x1). ( ) ( ) [ ] + 5 ln 1 3 lnlimx xx.......................................................................................................2). ( )+x exx1 lnlim0.............................................................................................................................3). ( )+xxx10 1 lnlim0..........................................................................................................................4). ( )( ) ++xxx2 sin 1 lnsin 1 lnlim0......................................................................................................................5). ( ) ( ) [ ] + + 1 ln 2 lnlimx x xx......................................................................................................6). ( )+xxx3 sinarcsin 1 lnlim0...................................................................................................................7). ( )+xx tgx63 1 lnlim0.........................................................................................................................8). ( )xxx3cos lnlim20..............................................................................................................................9).++112ln1lim20xxxx......................................................................................................................10). ( )( )++ e xe xxxx52 3lnlnlim ........................................................................................................................11). ( ) ( )( ) xe x e xe xlnlim31......................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 38Elemente de analiza matematica Limite de functii12). ( ) ( )( ) [ ] + +1 2 arcsin 1 ln1 sin 1 lnlim0xxx......................................................................................................13). ( )( ) ++xxx4 1 ln2 1 lnlim0..........................................................................................................................14). ( )( )++x tgx arctgx4 1 ln2 1 lnlim0................................................................................................................15). ( )+xxxcoscos 2 1 lnlim2...................................................................................................................16). ( ) [ ]( ) [ ] + ++ + 1 3 arcsin 1 ln1 1 lnlim1xx tgx......................................................................................................17). ( ) +xtgxx2 1 lnlim0..........................................................................................................................18).

,_

xxxln11limln2........................................................................................................................19). ( ) + +x xxx1 ln 3 2lim0.............................................................................................................20). ( ) ( )( ) ( ) + ++ +x xx xx5 1 ln 4 1 ln3 1 ln 2 1 lnlim0....................................................................................................21).( ) xxxcoslim210..............................................................................................................................22). >xtgxxxlim00.......................................................................................................................................23). ( ) [ ] +>xxxx1 lnlim00...........................................................................................................................24).( ) [ ] x x xxsin coslimarcsin210...........................................................................................................25).

,_

+ x xxx1sin1coslim................................................................................................................. C Limita remarcabila: 0,ln1lim0> a axaxx.Limite de functiiiClasaa XI-a - 39Elemente de analiza matematica Limite de functii-Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem:

( )( )0,ln1lim> a ax uax ua x. daca:( ) 0limx ua x-Dacae a avem: 1 ln1lim0 exexx.sau:

( )( )1 ln1lim ex uex ua x. daca:( ) 0limx ua x1).xexx61lim30..................................................................................................................................2).11lim230 eexxx..................................................................................................................................3).e ee ex xx xx24 30lim................................................................................................................................4).38 2lim33xx..................................................................................................................................5).xexx1lim20...................................................................................................................................6).xexx31lim2 sin0................................................................................................................................7).x xe ex xxsin 2 sinlimsin 2 sin0......................................................................................................................8). ( )3 31lim1 21xex tgx.............................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 40Elemente de analiza matematica Limite de functii9). ( )21lim2 4 arcsin2xexx........................................................................................................................ 10).( )( )11lim22 20eex arctgx arctgx........................................................................................................................ 11).xexx1lim30................................................................................................................................... 12). 11lim32530eexxx................................................................................................................................. 13). xe ex xx5lim0................................................................................................................................. 14). xex tgx21lim30................................................................................................................................ 15). x xe ex xx3 arcsin 2 arcsinlimarcsin 2 arcsin0........................................................................................................ 16).( )( )1 21lim1 3 arcsin1xexx........................................................................................................................ 17). 1lim20ee exx tg tgxx............................................................................................................................. D Limita remarcabila:

( )R r rxxrx + , 1 1lim0.

R aaxxax*1 , 11lim .Limite de functiiiClasaa XI-a - 41Elemente de analiza matematica Limite de functii1). ( ) +xxx312 1lim50.........................................................................................................................2). ( ) +xxx2311lim50............................................................................................................................3). ( )( )+ + +1112 1lim2250x xxx.................................................................................................................. E Altelimite remarcabile:

1 lim lim100 >x xxxxxx. 0 lnlim00>x xxx . xenxxlim.0lnlim xxnx

Vomprezentainceleceurmeazacatevatehnici decalcul a Vomprezentainceleceurmeazacatevatehnici decalcul a limitelor de functii pentru a usura rezolvarea acestora . limitelor de functii pentru a usura rezolvarea acestora .I. ( ) ( ) ( ) x f x a x f x a x anxn nx011 0 lim ..... lim + + .II. ( ) ( ) ( ) ( ) x f xnax fx a xxnn nx+ + + + + lim.....lim1 11III.Limite de functiiiClasaa XI-a - 42Elemente de analiza matematica Limite de functii ( ) ( ) ( ) ( ) x f x x f x a xxnn nx + + lim.....lim11 IV. ( ) () ( ) x f x n x f x a xxn nx + + ln lim ..... ln lim11 V....( ) ( ) x f x x f xx x lim sin lim0 0VI. ( ) ( ) x f x x f xx x lim lim0 0tg VII. () ( ) x f x x f xx x lim arcsin lim0 0VIII. ( ) ( ) x f x x f xx x lim lim0 0arctg IX. ( ) ( ) () x f x x f xx x 1 lim ln lim1 1X. ( ) ( ) ( ) x f x a x f axxx lim ln 1 lim0 0XI. ( ) ( ) ( ) x f x a x f axxx lim 1 lim1 1XII. ( ) 0 ln lim0 x f xxdaca exista o vecinatateU a lui x0ca functia ( ) x fx1sa fie marginita pe E U , undeR E f :.Limite de functiiiClasaa XI-a - 43Elemente de analiza matematica Limite de functiiAsa cum am vazut in capitolele precedente la calculul limitelor de Asa cum am vazut in capitolele precedente la calculul limitelor de functiiaparsi cazuride nedeterminare care ne obliga sa gasimo alta functiiapar si cazuride nedeterminare care ne obliga sa gasimo alta metodaderezolvare decat celeclasice pentruaflarealimitei acestor metodaderezolvare decat celeclasice pentruaflarealimitei acestor functii , daca exista . functii , daca exista .Incontinuare vomprezenta cazurile de nedeterminare intalnite Incontinuare vomprezenta cazurile de nedeterminare intalnite precum siprecum si tehnica de lucru pentru eliminarea acestor nedeterminari . tehnica de lucru pentru eliminarea acestor nedeterminari .11 Limite Limite :: : : 00 . . a). Limite defunctii rationalein puncte finitea:Explicitarea nedeterminarii se va realiza prinsimplificarea cu ( ) a xk ,N k* .Limite de functiiiClasaa XI-a - 44Elemente de analiza matematica Limite de functii1). 21 43lim23x xxx.....................................................................................................................2). 64lim222x xxx..........................................................................................................................3).+ + 3 42 3lim431x xx xx........................................................................................................................4).+ +2 32 2lim22 41x xx xx.......................................................................................................................5). ( ) +2 24 3lim22 31xx xx........................................................................................................................6).11lim1xxnmx.................................................................................................................................. b). Limite defunctii rationalein compunere cufunctia modul:In acest caz se va explicitamodulul:1).xxxlim0..........................................................................................................................................2).11lim1xxx....................................................................................................................................3).+x xxx20lim................................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 45Elemente de analiza matematica Limite de functii4). +xx xx2lim20............................................................................................................................5). 22lim22xxx................................................................................................................................... c). Limite defunctii definite princat de expresii irationale:-Distingemcazurile:I.Sub radicali de ordine diferite figureazaaceeasi expresie.Se scimba variabila , notandu-se radicalul de ordin egal cu cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor cu alta variabila , cand se ajunge la limita unei functii rationale .1).11lim1xxx..................................................................................................................................2).48lim364xxx.................................................................................................................................3).11lim41xxx..................................................................................................................................4). ( )+ 1 21lim3221xxxx...................................................................................................................5). + +1 11 1lim40xxx............................................................................................................................II.Sub radicalifigureazaexpresii diferite.Se amplifica numitorul si (sau) numaratoru; cu expresia conjugata.Limite de functiiiClasaa XI-a - 46Elemente de analiza matematica Limite de functii1). +xx xx1 1lim0.................................................................................................................2). 3 1 25lim5xxx.........................................................................................................................3). +xxx1 1lim30............................................................................................................................4). + +xx xx11lim20......................................................................................................................5). + xx xx2lim ........................................................................................................................6). + + xx xx3lim ......................................................................................................................7). x xxx2 lim2......................................................................................................................8). xx xx2lim2.....................................................................................................................9). 493 2lim27xxx.......................................................................................................................... 10). + +6 547lim223x xxx........................................................................................................................ 11). + + + 3 46 2 6 2lim22 23x xx x x xx...................................................................................... 12).+ + + +36 2 12 2lim32323xx x x xx.................................................................................... 13). +3 52lim4x xx.......................................................................................................................... 14). + 2 16 3lim323xxx..........................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 47Elemente de analiza matematica Limite de functii 15). + xxx5 15 3lim4.......................................................................................................................... 16). + +3924lim220xxx....................................................................................................................... 17). ++ + x xx xx26lim2..........................................................................................................................18). ++ +1 111lim20xxxx...............................................................................................................19) + +1 1 21 1lim330xxx........................................................................................................................20). 12 3 1 2lim31xx xx..........................................................................................................21). ++ +69 3 3 5lim22332x xx x x xx...........................................................................................22). ++ +2 1122 4lim435xx xx............................................................................................................23). + +x xxxx24 3202 11lim.............................................................................................................. d). Limite defunctii trigonometrice :-Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele:( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1arctglimarcsinlimtglimsinlim0 0 0 0 x ux ux ux ux ux ux ux ux u x u x u x uLimite de functiiiClasaa XI-a - 48Elemente de analiza matematica Limite de functii1). xxx sinlim0...................................................................................................................................unde : 0 , , R.2).x xx53 sinlim220.................................................................................................................................3).xxx20cos 1lim...............................................................................................................................4). x xtgxx cos sin1lim2 24...................................................................................................................5). xtgxx33 3lim3............................................................................................................................6). xx xx2 coscos sinlim4........................................................................................................................7).+xxxcos 1sinlim2..............................................................................................................................8).x xxxcoscos 1lim2...............................................................................................................................9).xxxsin1 coslim20........................................................................................................................... 10). +1 12 sinlim0xxx............................................................................................................................ 11).( ) +1 1cos 1lim0x xxx....................................................................................................................... 12). +x xx xx3 sin2 sinlim0............................................................................................................................ 13). +x xx xxcos sin 1cos sin 1lim0................................................................................................................. 14). x xx xx 2 sin 2 cos 2sin coslim4............................................................................................................ 15).+ + 1 sin 5 cos 28 sin 7 cos 6lim226x xxxx......................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 49Elemente de analiza matematica Limite de functii 16).+xxx3 sin 1sin 1lim2............................................................................................................................. 17). +xx xxsin 1 sin 1lim0..................................................................................................... e). Limite defunctii trigonometrice :-Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele:( )( ) ( )( )11 lnlim0+x ux ux u , ( )( )( )ax uax ux uln1lim0, 0 > a .1). ( )+>xxxx42 1 lnlim200............................................................................................................................2). ( )+>xxxx4 1 lnlim00............................................................................................................................3). ( )43 2 lnlim22xxx............................................................................................................................4). ( ) +xx xx203 1lnlim..................................................................................................................5). ( )+xarctgxx1 lnlim0.....................................................................................................................6). ( ) +xarctgxx1 lnlim0...............................................................................................................................7). ( )( )+ +>xxxxxcos ln1lnlim200..................................................................................................................8).x e ex xxsin 2 sin0lim...........................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 50Elemente de analiza matematica Limite de functii9). + xe ex xx31lim211 1............................................................................................................................... 10).( ) ( )( ) ( ) + +x arctg x arctgx xx1 11 ln 1 lnlim0..............................................................................................22 Limite Limite :: : : . . a). Limite defunctii rationale:Explicitarea nedeterminarii se va realiza prinraportul termenilor de grad maxim .1). + + 5 3 23 6 5lim22 3x xx xx...................................................................................................................2).+ 15 4lim3xx xx.............................................................................................................................3).+ + x xx xx2 52 333 2 5lim.....................................................................................................................4). + + 5 5 41 2 2lim42 4x xx xx..................................................................................................................5). x xxx6 31 6lim2 3.............................................................................................................................6). + 1 2 83 6lim52x xxx......................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 51Elemente de analiza matematica Limite de functii b). Limite defunctii irationale , exponentiale , logaritmice:Explicitarea nedeterminarii se va realiza prinraportul termenilor de grad maxim .1). + + + 5 21 3lim2xx xx.....................................................................................................................2). ++ 1 32lim2xx xx...........................................................................................................................3). ( )+ xexx1lnlim3..............................................................................................................................4). ( )+ xxx1 lnlim...............................................................................................................................5). ( )( ) + 6 6ln3 5lnlim2 53x xx xx.................................................................................................................6).++ e ee ex xx xx3 22lim................................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 52Elemente de analiza matematica Limite de functii33 Limite Limite :: : :- . . a). Limite defunctii rationale:Explicitarea nedeterminarii se va realiza prinaducerea la acelasi numitor.1).

,_

xxx1311lim31....................................................................................................................2).

,_

4221lim22xxx...............................................................................................................3).

,_

27291lim3 23x xx..........................................................................................................4). ( ) ,_

+11 1lim0x x xx....................................................................................................................5).

,_

>9631lim233xxxx...............................................................................................................6). ( )( )1]1

+++ xx x xxxx42 3 1 21 23lim22 2......................................................................................7). ( )1]1

+ ++ +2 3 344 52lim2 21x xxx xxx.................................................................................. b). Limite defunctii irationale:Explicitarea nedeterminarii se va realiza prinamplificare cu conjugata.Limite de functiiiClasaa XI-a - 53Elemente de analiza matematica Limite de functii1). ( ) + 1 lim2x xx......................................................................................................................2). ( ) + + + 1 1 lim2 2x x xx...................................................................................................3). ( ) + + + 1 1 lim2 2x x xx..................................................................................................4). ( ) + + 4 2 lim2 2x x xx......................................................................................................5). ( ) + + 4 2 lim2 2x x xx......................................................................................................6). ( ) + + 1 2 lim2x xx..................................................................................................................7). ( ) + x xxx1 lim2...................................................................................................................8). ( ) + 331 lim x xx........................................................................................................................9). ( ) + + x xxx2 7 4 lim2............................................................................................................. 10). xxxx49lim2..................................................................................................................... 11). + + x x x xxlim......................................................................................................... 12).( ) + + x x x x xx2 1 1lim .......................................................................................... 13). ( ) + + + 3 1 2 1lim23x x xxx....................................................................................... 14). ( ) + + x x x x xxlim................................................................................................. c). Limite defunctii exponentiale,logaritmice:Limite de functiiiClasaa XI-a - 54Elemente de analiza matematica Limite de functii1). ( ) ( ) [ ] + + 2 ln 1 2 lnlimx xx.....................................................................................................2). ( ) ( ) [ ] + + 2 ln 1 lnlimx x xx.....................................................................................................3). e ee ex xx xx32lim3 23..............................................................................................................................44 Limite Limite :: : : 0 . .1). xctgxxlim0....................................................................................................................................2). xxxsinlim..................................................................................................................................3).( ) xxxcos ln1lim20..........................................................................................................................4).

,_

tgx xx2lim2.........................................................................................................................5).( ) 21lim1xtg xx..........................................................................................................................6).( ) + e e xx xx11 12lim..........................................................................................................................7).( ) + + xx x xx1sin1 lim2 3 4....................................................................................................8).( ) 2limsin sin1xtge eax ax................................................................................................................9).

,_

+ 1 4limx xarctg xx...........................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 55Elemente de analiza matematica Limite de functii 10).

,_

+++ 2 21limx xarctgxxarctg xx..........................................................................................55 Limite Limite :: : :

1 . .Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand:( )( )( ) ( )e x ux ux u +1lim101).( ) xxx6lim515................................................................................................................................2).

,_

+ xxx31lim.................................................................................................................................3).

,_

+ 1limxxxx.................................................................................................................................4).

,_

++ 31lim2xxxx..............................................................................................................................5). ,_

+ 21lim222xxxx............................................................................................................................6). ,_

+ + + + 3 51lim2 32 3x xx x xxx.................................................................................................................7).

,_

+xxxx1 11lim210.................................................................................................................8). ,_

+2lim10b ax xxx.............................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 56Elemente de analiza matematica Limite de functiiunde: 0 , > b a9). ,_

++b ab ax xxe xln ln1 ln1lim...................................................................................................................unde: 0 , > b a 10). ( ) + x e xe xe xlnlim2 32 21....................................................................................................................... 11). ( ) +xxxsin 1lim10............................................................................................................................. 12). ( ) xxxcoslim10................................................................................................................................. 13).

,_

x xx xxxsinlimsinsin0......................................................................................................................... 14). ( ) xxtgx21lim.................................................................................................................................... 15).( )+xtgx ctgx31lim220.................................................................................................................... 16).1]1

,_

+x tgxx4limsin10.................................................................................................................... 17).( )tgxx tgx3 lim36............................................................................................................................ 18). ,_

++ +x xx xx ctgx8 51 2lim226 30...............................................................................................................66 Limite Limite :: : : 00 . .Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand:0 lnlim00>x xxx si scriereae ff g g ln

Limite de functiiiClasaa XI-a - 57Elemente de analiza matematica Limite de functii1). >xxxxlim00...........................................................................................................................................2). ( ) >xxxxsinlim00..................................................................................................................................3). >xxxxsin00lim.......................................................................................................................................4). ( )( ) >1lim111xx tgxx.............................................................................................................................5). ( ) >xxxxarcsinlimsin00.........................................................................................................................77 Limite Limite :: : :

0 . .1). xxx1lim........................................................................................................................................2). xxx1sinlim.......................................................................................................................................3). ( ) xtgxx2lim0.....................................................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 58Elemente de analiza matematica Limite de functii4).( ) + 1lim1xxx...................................................................................................................................Sa se calculeze urmatoarele limite , discutand dupa valorile parametrilor reali corespunzatori: 1). ( ) + + mx x xx1 lim2..........................................................................................................unde: R m .2). ( ) + + + mx x xx1 lim2..........................................................................................................Limite de functiiiClasaa XI-a - 59Elemente de analiza matematica Limite de functiiunde: R m .3). ( ) + + + + + 3 2 1limx c x b x ax..unde: R c b a , , .Sa se determineR c b a , ,astfel incat sa fie indeplinite egalitatile:1). ( )0 lim2 + b ax x xx

2). ( )0 2 lim2 3 4 + c bx ax x xx

3). 23coslim202xx eaxx

4). ex xax xxx ,_

++ + 2 31lim22

Limite de functiii