Legea numerelor mari 1

Legea numerelor mariLegea numerelor mari este o teorem din teoria probabilitilor care descrie rezultatele unui experiment repetat demai multe ori. Conform acestei legi, rezultatul mediu obinut se apropie tot mai mult de valoarea ateptat, cu ctexperimentul se repet de mai multe ori. Aceasta se explic prin faptul c abaterile ntmpltoare ntr-un sens saualtul se compenseaz reciproc.Aceast lege a fost formulat de Jakob Bernoulli i a pus bazele teoriei probabilitilor ca tiin.

Formulare matematicSe studiaz apariia unui eveniment A pentru care se efectueaz n experimente independente. Dac pentru fiecareexperiment probabilitatea pentru care are loc A este p, se pune problema prevederii frecvenei relative[1] cu care areloc evenimentul A n aceste experimente.

Teorema lui BernoulliDac se efectueaz n experimente independente, n fiecare experiment probabilitatea evenimentului A fiind p, cu notm numrul de apariii al evenimentului A iar >0 este un numr arbitrar de mic, atunci:

adic dac un experiment se repet de un numr suficient de mare de ori, n condiii identice, atunci frecvenarelativ este stabil, adic variaz n jurul probabilitii.Demonstraie

Efectund cele n experimente, se obin repartiiile:

unde Se aplic rezultatele de la repartiia Bernoulli:

i

Cum:

adic produsul a doi factori de sum constant este maxim atunci cnd factorii sunt egali. n cazul de fai maximul produsului se obine pentru

Se aplic teorema lui Cebev variabilelor aleatoare

deci:

i aceasta deoarece:

Legea numerelor mari 2

Note[1] Frecvena relativ a evenimentului A este o noiune fundamental din teoria probabilitilor. Este egal cu raportul dintre numrul probelor n

care evenimentul A s-a produs i numrul total de probe: UNIQ-math-0-c8ff56d6b7043780-QINU

Legturi externe Wolfram MathWorld (http:/ / mathworld. wolfram. com/ WeakLawofLargeNumbers. html)

Sursele i contribuitorii articolelor 3

Sursele i contribuitorii articolelorLegea numerelor mari Surs: http://ro.wikipedia.org/w/index.php?oldid=7962336 Contribuitori: Nicolae Coman

LicenCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Legea numerelor mariFormulare matematic Teorema lui Bernoulli

Note Legturi externe

Licen