arina în Åara numerelor - ciordas

211
ELIZA ROMAN Arina în Åara Numerelor COLECÅIA INFOTECA Bucureæti 2008

Upload: others

Post on 26-Oct-2021

10 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

ELIZA ROMAN

Arinaîn

Åara Numerelor

CO

LE

IA I

NF

OT

EC

A

Bucureæti2008

Page 2: Arina în Åara Numerelor - Ciordas
Page 3: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

ELIZA ROMAN

ARINA ÎN ÅARA NUMERELOR

Page 4: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

CENTRUL EDITORIAL „CICERO E“

DIRECTOR FONDATOR AL EDITURII „SCRIPTA“OCTAVIAN ÆTIREANU

Descrierea CIP a Bibliotecii Naåionale a RomânieiROMAN, ELIZA

Arina în åara numerelor / Eliza Roman ; ed. îngrij. de conf. univ. dr. Nicolae Rauæ ; pref.: acad. Mircea Maliåa. - Bucureæti : Scripta, 2008

Bibliogr.Index.ISBN 978-973-8238-23-7

I. Rauæ, Nicolae (ed.)II. Maliåa, Mircea (pref.)

51

Page 5: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

ELIZA ROMAN

ARINAÎN

ÅARA NUMERELOR

Ediåie îngrijitã deconf. univ. dr. NICOLAE RAUÆ

PrefaåãAcad. MIRCEA MALIÅA

Bucureæti 2008

Page 6: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Coordonator colecåie: dr. Nicolae RauæRedactor de carte: Dinu MoraruTehnoredactare: CICERO GRUPPre-press: ing. Adrian Antofe

Reproducerea, transmiterea sau difuzarea, sub orice formãsau prin orice mijloace cunoscute sau viitoare, a textelor cuprinse

în volumul de faåã sunt permise numai cu acordul scrisal Editurii „Scripta“, care are toate drepturile rezervate.

© Editura „Scripta“, 2008Calea Victoriei, nr. 39A

Bucureæti

ISBN 978-973-8238-23-7

Page 7: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

CUPRINS

Acad. Mircea Maliåa: Prefaåã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 „La început a fost numãrul“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Concursul „Galaxia Numerelor“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Campanie electoralã la Televiziunea Numerelor . . . . . . . . .12Candidaåi cu æanse la preæedinåie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Numãrul 3 – simbolul Creaåiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Numãrul 7 – dintotdeauna în top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Φ – misteriosul Numãr de Aur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22Buclucuri matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Secvenåe de istorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35Ionuå aflã despre apariåia numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . .35Omul a numãrat înainte de a vorbi . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Prin cluburi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40Asociaåia Iubitorilor Numãrului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40La Clubul Primelor Zece Numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41La Clubul Prieteniei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54Elita numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Carismaticul π pe post de amfitrion . . . . . . . . . . . . . . . . .56În prelungirea discuåiei de la Club: Numãrul e . . . . . . . . .64

Sisteme de numeraåie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Cu æapte hieroglife egiptenii numãrau pânã la un milion . .67De la bobul de cacao la glifa aztecã . . . . . . . . . . . . . . . . .74Sistemul acrofonic grecesc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78Cum numãrau strãmoæii romani? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

Numeraåiile alfabetice – un imens pas în istorie . . . . . . . . . .84O asociere ingenioasã a literelor æi numerelor la evrei . . .85

Page 8: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Impactul numeraåiei greceæti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86Numeraåia arabã priveæte spre Europa . . . . . . . . . . . . . . . .90

Numeraåiile de poziåie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94Începutul a fost în Sumer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94Fantezia mayaæilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102Dinamismul numeraåiei chineze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112Indienii notau uæor numere mari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120Itinerarul numeraåiei la români . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

Numere remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136Creaåia pitagoricã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136Numere p-adice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

Statutul de numãr se obåine greu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143Existã numere iraåionale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143Numere negative – numere fictive . . . . . . . . . . . . . . . . . .149Numãrul i – „un amfibiu între existenåã æi neant“ . . . . . .151Numere transcendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156Numãrul care nu-æi dezvãluie natura . . . . . . . . . . . . . . . .159Triumful lui zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

Interogaåii vechi æi noi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164Numere prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164Ipoteza lui Riemann – problema mileniului . . . . . . . . . .169Marea provocare a lui Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171Legenda lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175Conjecturi nãbãdãioase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176Fiinåe matematice magice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179Numerele prime æi criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182Numere aproape prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182Fiæierul problemelor celebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184Pot, oare, numerele sã asigure onestitatea? . . . . . . . . . . .186

Arina este fericitã! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193Index de termeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195Bibliografie selectivã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

6 Eliza Roman

Page 9: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

PREFAÅÃ

Arina m-a luat cu ea în Åara Numerelor, dupã un cuvânt bun dinpartea autoarei. Mai fusesem acolo, dar sã nu subestimezi nicio-datã un ghid tânãr din generaåia calculatoarelor. Am vãzut locurinoi æi am revãzut altele vechi.

Într-o formaåie matematicã gãseæti rar un curs de teorianumerelor. Am dat odatã de un manual de teoria numerelor de petimpul lui Haret, admirabil prin eleganåã æi rigoare, scris în modevident pentru æcolile de fete. În facultãåi, disciplinele æi-au formatarii proprii, expropriind terenul de obâræie al numerelor, regãsitevag în algebrã æi ascunse sub noi simboluri æi extensii, în toatedomeniile matematicii æi ætiinåelor.

Evident, „la început a fost numãrul“, nu cuvântul, cãci numãrulfãrã cuvânt s-a mulåumit cu niæte degete. Istoria lui este nu doaristoria matematicii, dar æi a gândirii abstracte æi, mai presus detoate, a civilizaåiei globale. Emanciparea lui abstractã este o istoriedramaticã. Dupã numerele întregi sacre æi armonioase, grecii aufost sfidaåi de pãtratul perfect, a cãrui diagonalã era un numãr cenu avea sfâræit. „Se spune – scrie Proclus – cã cei care pentruprima datã au scos la ivealã iraåionalele din ascuns la vedere aupierit în naufragiu pânã la unul. Cãci inexprimabilul æi cel fãrãformã trebuie sã stea ascuns. Æi cei care au dezvãluit æi au atinsaceastã imagine a lumii au fost distruæi subit æi vor rãmâne expuæipentru vecie jocului eternelor valuri“. Era o adevãratã tragediegreceascã. Cuvintele au generat culturi, care s-au dezvoltat cu oaltã familie de simboluri ce au permis comunicare umanã æi trans-misiunea credinåelor æi valorilor de la o generaåie la alta. Culturile

Page 10: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

au stiluri proprii cu care definesc specificitatea æi identitatealocalã. Cunoætinåele sunt exprimate acum în simboluri abstractescoase din ascunziæuri, circulã liber, sunt transmisibile æi asimi-labile în spaåiul universalitãåii.

Înghesuite de discipline mari – algebrã, geometrie, analizã –,teoria æi istoria numãrului reintrã pe scenã. Stephen Hawking,fizicianul care ne-a fermecat cu cãråile lui, publicã lucrarea saDumnezeu a creat întregii pornind de la citatul lui Kronecker,care adaugã „restul este opera omului“. În peste 1 000 de pagini,începe cu Euclid æi cu Arhimede æi terminã cu giganåii secolului trecut,Gödel æi Turing, în total 17 matematicieni, cu biografiile æilucrãrile lor. În subtitlu, scrie Deschiderile matematice care auschimbat istoria. De ce nu îl include æi pe Euler? – mã întreabãArina. Pentru cã ea mã conduce la piatra pe care e sculptatã mira-culoasa Ecuaåie a lui Euler: eiππ = –1, unde îæi dau întâlnire treinumere e, i æi ππ, tot atât de frumoasã æi compactã ca Ecuaåia luiEinstein: e = mc2. Fãrã e, i æi ππ omul n-ar zbura în atmosferã, n-artrimite rachete în spaåiu, n-ar construi poduri suspendate æi nicizgârie-nori.

Locul numãrului în civilizaåie îmi trezeæte o idee: n-ar trebui,oare, sã punem puterea calculatorie a omului la un loc cu putereade energie instalatã, în definirea capacitãåii unei societãåi de a fiparte din civilizaåia globalã? Arina mã corecteazã: pe lângã cãideea îi desemneazã un rol nou, ea e atrasã de numãr pentru aurasa de mister ce trebuie lãmuritã. S-a inventat, oare, un joc maifascinant æi mai captivant care sã dea emoåii egale cu ale poeziilorsau melodiilor celor mai extaziante? Ca æi ele, jocul numerelor areceva miraculos, pasionant, irezistibil. Îi mulåumesc cu cãldurã ei,autoarei æi editorului pentru cãlãtoria inspiratã.

Acad. MIRCEA MALIÅA

8 Eliza Roman

Page 11: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

„LA ÎNCEPUT A FOST NUMÃRUL“

Înzestrat cu un mare potenåial de organizare a lumii, numãrul afost asociat dintru început cu bogãåia æi cu puterea, iar pe de altãparte i-a fascinat atât pe gânditori, cât æi pe oamenii de rând. Mitulnumãrului a cuprins, în Vechime, mai toate popoarele æi a dãinuitîndelung. În evoluåia lui, numãrul a cunoscut epoci de glorie æi delatenåã, însã a continuat sã fie permanent prezent în viaåa omului.Virtuåile lui explicã bogãåia de tipuri apãrute æi marea diversitate acategoriilor inventate. Numãrul suscitã interesul în ceea ce priveætegeneza æi tipologia lui, frãmântãrile pe care le-a iscat, cât æi impactullui asupra vieåii cotidiene, a ætiinåei, tehnicii æi chiar a artei.

Cãrticica de faåã nu-æi propune sã îmbrãåiæeze toate aspectele încare se implicã numãrul. Scopul ei este sã realizeze, într-o manierãaccesibilã, un periplu în „Åara Numerelor“, fãcând apel la cunoæ-tinåe de culturã generalã æi de matematicã elementarã.

Cititorul va avea prilejul sã intre în contact cu numerele care seîntâlnesc cel mai des, numere despre care vorbeæte Biblia, ca æioamenii de afaceri, numere despre care se pomeneæte în mitologie,ca æi în tehnicã, numere folosite în manualele æcolare, ca æi în artãetc. El va afla povestea unor numere care i-au stârnit curiozitateaæi care i-au preocupat îndelung pe predecesorii noætri. Numãrul vafi martorul unor adevãrate drame generate de pasiunea celor careurmãreau gãsirea soluåiilor corecte, de obsesii, de aventuri celebrece se întind pe sute, chiar pe mii de ani.

Am expus, fireæte, mai pe larg sistemele de numeraåie la diferitepopoare: sistemele primitive bazate pe juxtapunerea semnelor,sistemele contrase, contopite, sistemele alfabetice, precum æi cele

Page 12: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

de poziåie, mãrturie a ingeniozitãåii æi imaginaåiei oamenilor. Încontext, au fost menåionate probleme celebre æi probleme nerezol-vate legate de numere.

În final, am inclus, pentru uzul cititorului tânãr, un Index de ter-meni, care va uæura, credem, înåelegerea expunerii noastre.

La distanåa a 2500 de ani faåã de Pitagora, care credea cãnumerele sunt „singurele în stare sã se aproprie de legile naturii,pe care numai înåelegându-le le putem stãpâni!“, îi recunoaætemnumãrului valoarea universalã, nu însã æi pe aceea de panaceu.

Adresez æi pe aceastã cale vii mulåumiri doamnei prof. univ. dr.Afrodita Iorgulescu, matematician de prestigiu, pentru revizuireatextului æi pentru sugestii; doamnei dr. în filologie Viorica Prodan,pentru ideea elaborãrii acestei cãråi æi pentru generoasa stimularea demersului nostru; domnului Mihai Niculescu, pentru excelenta„încãrcãturã“ documentarã pusã nouã la dispoziåie cu atâta soli-citudine; pictorului Stelian Neicu, pentru rigoarea æi acurateåeadesenelor æi, nu în ultimul rând, domnului dr. inginer Teodor Popa,pentru revizuirea indexului de termeni.

Iulie 2008AUTOAREA

10 Eliza Roman

Page 13: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

CONCURSUL„GALAXIA NUMERELOR“

Profesorul Matei Iorgulescu aduce la cunoætinåã elevilor dinclasa a XI-a cã Asociaåia Olimpicilor organizeazã concursul„Galaxia Numerelor“, în Capitalã, la 15 aprilie a anului viitor.Doritorii se pot înscrie pânã la sfâræitul anului curent. Premiul celmare va fi o excursie în Marea Britanie, åara lui Charles LutwidgeDodgson (1832-1898) – matematicianul æi scriitorul îndrãgit decopii, el fiind cel care a semnat, sub pseudonimul Carroll Lewis,fascinanta poveste Alice în Åara Minunilor.

La cinã, Arina le împãrtãæeæte pãrinåilor intenåia ei de a se înscriela concurs. Toatã lumea e de acord. Ionuå, frãåiorul Arinei, selamenteazã cã nu are drept de participare, tocmai el, care este un fanal lui Lewis. Mai e mult pânã la concurs, dar æi foarte mult deînvãåat, fiindcã numerele stãpânesc un teritoriu imens.

Arina este æi ea agitatã. Trece de miezul nopåii æi încã nu adoarme.Îl ia în pat pe Pufi, cãåeluæul ei, care încearcã sã o liniæteascã. Însfâræit, Arina aåipeæte. În vis, îl vede pe Pufi.

– Ce ar fi sã mergem sã vizitãm Åara Numerelor! – îi propunePufi.

– Cum sã mergem – îi replicã Arina –, când nu avem nici bani,nici bilete de cãlãtorie æi când am, zi de zi, æcoalã?

Pufi insistã. Într-un târziu, o convinge æi cei doi poposesc în ÅaraNumerelor.

Page 14: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

CAMPANIE ELECTORALÃLA TELEVIZIUNEA NUMERELOR

Arina deschide televizorul. Este aidoma celui din camera ei.„De ieri, am intrat în campania electoralã pentru alegerile gene-

rale din aceastã toamnã“ – anunåã crainicul.Lupta se dã între Partidul Numerelor Naturale, Partidul Numerelor

Fracåionare æi Partidul Numerelor Negative. Celelalte partide încãnu æi-au lansat platforma (Partidul Numerelor Iraåionale, PartidulNumerelor Transcendente, Partidul Numerelor Pitagorice æ.a.).Partidele fac multã zarvã electoralã. Se laudã cât pot æi aruncã înadversari cu noroi.

Partidul Numerelor Naturale, având ca membri pe 1, 2, 3, 4, 5, … n…,de fapt cel mai vechi partid, este convins cã, fiind înzestrat deDivinitate sã fie cel mai apropiat de naturã, este æi cel mai bun, sin-gurul capabil sã ofere siguranåã æi prosperitate.

Partidul Numerelor Fracåionare se considerã mai dinamic, maitânãr, mai deschis progresului. El dispreåuieæte Partidul NumerelorNaturale, pe care-l socoteæte mai primitiv, mai conservator, nutotdeauna capabil sã rezolve o împãråire în numere naturale. Un partidcare nu se poate descurca nici la împãråirea lui 2 cu 3!

Partidul Numerelor Negative se declarã, de asemenea, superiorPartidului Numerelor Naturale, deoarece poate rezolva oricescãdere în numere întregi, chiar æi atunci când scãzãtorul depãæeætevaloarea descãzutului. Aripa Numerelor Negative Fracåionareclameazã, la rândul ei, virtuåile care o caracterizeazã în raport cuPartidul Numerelor Fracåionare (Pozitive).

În aæteptarea platformelor celorlalte partide, care se autoproclamãelita, s-a trecut la formarea de alianåe. Se poartã tratative între

Page 15: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Partidul Numerelor Naturale æi Partidul Numerelor Întregi Negative,pentru o Alianåã a Numerelor Întregi. Se vorbeæte æi despre o alianåãcare se va numi Coaliåia Numerelor Raåionale, formatã din toatenumerele întregi æi din cele fracåionare.

Pentru emisiunea urmãtoare, se promit informaåii proaspetedespre celelalte formaåiuni politice, iar pentru a doua zi o emisiunespecialã, în care vor fi prezentaåi candidaåii la Preæedinåie.

Candidaåi cu æanse la preæedinåie

Pentru funcåia de preæedinte candideazã mai multe numere.Potrivit ultimelor sondaje, æanse mai mari au numerele 3 æi 7.

Numãrul 3 este preæedinte de mulåi ani, dar ar vrea sã fie încontinuare. Numãrul 7, deæi frecvent nominalizat, nu a câætigatniciodatã preæedinåia æi viseazã la ea.

În seara precedentã confruntãrii dintre candidaåi pe micul ecran,numerele 3 æi 7 æi-au definitivat pledoariile.

Iatã cum au gândit:

Numãrul 3 – simbolul Creaåiei

„Eu am fost dintotdeauna în topul numerelor. Totul este supusternarului, fie spaåiu, timp, naturã, materie, fie viaåã, om, hranã æicâte altele. Ætiinåa, morala, folclorul îmi sunt, la rândul lor, profundîndatorate.

Nu mai insist cã atunci când vine vorba despre timp se spune trecut,prezent, viitor. Când se pomeneæte despre starea materiei, gândulne duce la stãrile solidã, lichidã, gazoasã. Prin cei trei termeni:mineral, vegetal, animal, se evocã tot ce existã în naturã.Termenului existenåã i se asociazã termenii: naætere, creætere,

Arina în Åara Numerelor 13

Page 16: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

moarte. Ca vârstã, omul nu poate fi decât de trei feluri: copil, adultsau bãtrân. Spaåiul în care trãim este tridimensional, camera încare copilul îæi face temele are lungime, lãåime, înãlåime.

Sã conchid, apoi, cã la baza lucrurilor stau: materia, energia,informaåia. Toåi æcolarii ætiu cã între numere nu pot funcåiona decâttrei tipuri de relaåii: mai mare (>), egal (=) æi mai mic (<), cã gra-matica vorbeæte despre trei categorii de persoane (I, a II-a æi a III-a)æi de diatezele activã, pasivã, reflexivã. Investigãm trei nivelurisemiotice: sintacticul, semanticul æi pragmaticul. Filosofia sefoloseæte de: tezã, antitezã æi sintezã. Silogismul este format din:premisa majorã, premisa minorã æi concluzia. În sfâræit, potrivitmedicului austriac Sigmund Freud (1856-1939) – fondatorulpsihanalizei –, viaåa mentalã se bazeazã pe trei polaritãåi:subiect–obiect; plãcere–suferinåã; activ–pasiv.

Toate acestea au fost pe larg înfãåiæate de ilustrul matematicianromân Solomon Marcus, cunoscut pentru ineditul æi subtilitateacontribuåiilor sale de lingvisticã matematicã æi semioticã. Sãmergem mai departe: în viziunea marelui filosof grec Aristotel(384-322 î.e.n.), denumit æi Stagiritul – dupã locul de naætere –,comunicarea publicã îndeplineæte trei funcåii: 1. politicã sau delib-erativã; 2. forensicã sau juridicã; 3. epideicã sau demonstrativã.Tot Aristotel susåine cã, pentru a fi credibil, un orator trebuie sãposede: 1. bun-simå; 2. moralitate; 3. bunãvoinåã.

Sã nu uitãm cã logicianul polonez Jan Lukasiewicz (1878-1956)a adãugat celor douã valori ale logicii lui Aristotel – adevãrat æifals – o a treia, pe cea de îndoielnic. Modelarea algebricã a logiciitrivalente a lui Lukasiewicz a condus la crearea de cãtre matemati-cianul român Grigore C. Moisil (1906-1973) a unei puternice æcolinaåionale æi internaåionale de algebrã a logicii.

Trei componente are æi vestita tezã a filosofului æi matemati-cianului francez René Descartes (1596-1650), æi anume: 1. Dubito(Mã îndoiesc); 2. Ergo cogito (Deci cuget); 3. Cogito, ergo sum(Cuget, deci exist).

14 Eliza Roman

Page 17: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Universalitatea mea e recunoscutã în toate domeniile dreptcriteriu de clasificare. Iatã un exemplu din sociologie. Tipurile: 1.al resurselor; 2. al modalitãåii folosirii acestora; 3. al tehnologiilorutilizate caracterizeazã diferitele societãåi. Astfel, societatea prein-dustrialã se distingea prin: 1. materiile prime; 2. extragerea acestora;3. munca intensivã; societatea industrialã se bazeazã pe: 1. energie;2. fabricare; 3. capital intensiv; iar societatea postindustrialã estemarcatã de: 1. informare; 2. transformare; 3. cunoaætere intensivã.

Æi o ilustrare din istorie: unul dintre întemeietorii filosofiei isto-riei, italianul Giambattista Vico (1668-1744), considerã cã toatepopoarele trec prin trei stadii de dezvoltare, corespunzãtoare celortrei vârste ale omului: „vârsta zeilor“, în care domnesc religia æipreoåii; „vârsta eroilor“, în care apare statul aristocratic; æi „vârstaoamenilor“, adicã era raåiunii æi a statului democratic.

Sã scot în evidenåã cã cele trei tipuri principale de axiomatizarea teoriilor sunt: 1. axiomatica intuitivã (de exemplu, cea a geome-triei euclidiene); 2. axiomatica abstractã – cea folositã de matema-ticianul german David Hilbert (1862-1943), în care sensul terme-nilor este determinat exclusiv prin relaåiile lor din cadrulaxiomelor; 3. axiomatica formalizatã (din matematicã, integral for-malizatã).

În comunicare, sunt esenåiale: 1. emiåãtorul;2. receptorul; 3. mesajul.

Codonul – unitate constitutivã a mole-culei de ADN – are lungimea trei (este for-mat, de obicei, din trei baze nucleice).Åinând seama cã natura codonului estechimicã, iar aminoacizii reprezintã unitãåilede bazã ale ereditãåii, se poate afirma cã tre-cerea de la chimie la nivelul genetic esteguvernatã de numãrul 3.

Dacã voi enumera toate domeniile în caresunt implicat, îi voi obosi pe alegãtori. O sã

Arina în Åara Numerelor 15

David Hilbert

Page 18: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

mai amintesc cã, în domeniul teoriei jocurilor strategice, trecereade la jocurile cu douã persoane la cele cu trei persoane i-a deschismatematicianului american John Nash (n. 1928) drumul spredecernarea Premiului Nobel, în 1994. Aplicarea conceptului intro-dus de Nash a asigurat Statelor Unite mari succese economice æi,implicit, fabuloase câætiguri financiare.

O spun cu toatã modestia cã, în ciuda duæmanilor mei, care suntsuporterii Numãrului 7, eu, Numãrul 3, reprezint desãvâræirea.Chinezii au recunoscut de mult aceastã virtute a mea!

Mai trebuie sã observ cã 3 este primul numãr impar din æirulnumerelor naturale, cã el se regãseæte pretutindeni în Univers, înDumnezeu, ca æi în om.

Triada: bine – adevãrat – fru-mos este permanent evocatã decãtre oameni.

Gingãæia æi feminitatea suntlegate de Numãrul 3. Cele TreiGraåii, cum le numeau romanii,sau Charite, în rostirea grecilor,erau seducãtoarele divinitãåi careo întovãrãæeau pe Zeiåa Dragostei.

Sã atrag atenåia æi asupraperfecåiunii mele, cãci am æiînceput, æi mijloc, æi sfâræit;asupra frumuseåii mele etice:gândul bun, vorba bunã, faptabunã stau la baza moralei –spuneau vechii persani.

Triada reprezintã marea ob-sesie a mitologiilor. În mitologi-

ile mai vechi arabe se vorbeæte despre existenåa a trei Lumi deDincolo: Paradisul, Infernul æi un fel de Purgatoriu. În concepåiabrahmanã, sufletul Universului depinde de trei principii esenåiale:

16 Eliza Roman

Fig. 1. Antonio Canova:Cele Trei Graåii (Charite)

Page 19: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

reîncarnarea, karma æi datoria. Buddhismul evocã trinitatea divinãTrimurti (în sanscritã tri = trei, murti = divinitãåi). Brahmanismuladmite triada supremã: Brahma, cel care guverneazã creareaUniversului; Vishnu, principiu al conservãrii; Æiva, principiu al dis-trugerii – æi proclamã cã unirea omului cu Divinitatea se dobândeæteprin: acåiune, devotament æi meditaåie. Sã menåionez cã Buddha însanscritã înseamnã atât de poetic: înflorit; trezit; iluminat.

Pentru creætini, 3 reprezintã unitatea Dumnezeirii (Dumnezeu–Tatãl, Dumnezeu–Fiul æi Sfântul Duh). Sfânta Treime este esenåadivinã unicã în trei persoane. Existã trei religii monoteiste: iudaicã,creætinã, islamicã.

În folclorul românesc, 3 este mult folosit: «Trei sute de oi; Cutrei ciobãnei; De trei zile încoace» (Mioriåa) sau «Cu trei femei defecior; Cu trei funii de mãtase; De trei zile bea deplin; S-au bãut treibutoaie de vin; De trei palme lat în frunte/ Æi nu prea vorbeætemulte» (Gruia în Åarigrad) sau «Æi mergea, mergea/ Trei feciori cuea/ La izvoare reci/ Trei feciori de greci» (Fata æi cucul). În poveætilecu Fãt-Frumos se zice «A mers trei zile æi trei nopåi»; «S-a luptat cubalaurul trei zile æi trei nopåi»“…

Æi tot evocând argumente favorabile alegerii sale, Numãrul 3adoarme…

Numãrul 7 – dintotdeauna în top

Numãrul 7 a meditat æi el, în acea noapte cam rãcoroasã de sep-tembrie, la pledoaria sa:

„Trei conduce de atâta amar de vreme treburile Åãrii Numerelor –spune el – æi n-a fãcut mare scofalã. Peste tot, lipsuri, dezordine,haos… E bãtrân æi depãæit de vremuri. Nu înåelege æi nu se poateadapta la orizontul mileniului al treilea. Åara are nevoie de schim-bare. Schimbarea beneficã o pot oferi doar eu, Æapte.

Arina în Åara Numerelor 17

Page 20: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Numãrul 3 æi-a dat întotdeauna aere; eu n-am fãcut-o, deæi sunttot atât de nobil ca æi el, poate chiar mai mult. Am o componenåãmai substanåialã. În vreme ce 3 este constituit din 1+2 sau 1+2x1,7 este format din 1+2x1+2x2 sau 1+2+4 sau 20+21+22. Elegantãformulã! Totul atestã superioritatea mea faåã de 3! Nu sunt eustrãmoæul a douã ramuri deosebit de importante ale matematiciimoderne? Problema celor 7 poduri din Königsberg, care cere sã seafle dacã un pieton poate traversa o datã æi numai o datã fiecaredintre cele æapte poduri din Königsberg în plimbarea sa, a fostrezolvatã prin negaåie de Euler æi a condus la crearea topologiei æia teoriei grafurilor.

Aåi auzit, sunt sigur, de piramida psihologului american HaroldAbraham Maslov (1908-1970) privind nevoile omeneæti. Este alcã-tuitã din 7 trepte: 1. nevoile fiziologice (hranã, adãpost, repaus,viaåã sexualã); 2. nevoia de securitate (echilibru emoåional înmuncã, în viaåã etc.); 3. nevoile sociale (de ataæare æi apartenenåãla variate grupuri sociale); 4. nevoile psihosociale (respect de sine,prestigiu, consideraåie etc.); 5. nevoile cognitive; 6. nevoile este-tice; 7. nevoia de autorealizare (în activitatea creativã).

Cât priveæte comunicarea, aceasta se fundamenteazã pe 7 axiome;1. este inevitabilã (non-comunicarea este imposibilã); 2. se desfã-æoarã la douã niveluri: informaåional æi relaåional; 3. reprezintã unproces continuu, care nu poate fi tratat în termeni de cauzã æi efectsau stimul æi rãspuns; 4. îmbracã fie o formã digitalã, fie una ana-logicã; 5. este ireversibilã; 6. presupune raporturi de foråã æiimplicã tranzacåii simetrice sau complementare; 7. presupune pro-cese de ajustare æi de acomodare.

Nimeni nu s-ar putea ridica împotriva universalitãåii mele. Sãptã-mâna este formatã din 7 zile; culorile Curcubeului sunt 7. Cine n-aauzit de Cele 7 Minuni ale Lumii: Piramidele din Egipt, GrãdinileSuspendate ale Semiramidei de lângã Palatul lui Nabucodonosor

18 Eliza Roman

Page 21: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

din Babilon, Statuia lui Zeus din Olimp, datoratã lui Phidias,Colosul din Rodos, Templul lui Artemis («Artemision») din Efes,Mausoleul satrapului Mausol din Halicarnas, Farul din Alexandria.

Pe 7 îl întâlnim în toate mitologiile: în cea greacã, în cea islamicã,în cea buddhistã, dar æi în mitologiile precolumbiene, precum æi înfolclorul multor popoare, în beletristicã, în poveæti æi în legende.

E clar cã sunt o vedetã!Mitologiile mi-au recunoscut virtuåile, m-au considerat sacru,

simbol al creaåiei, al desãvâræirii. Ele nu au negat niciodatã putereamea magicã.

Se spune cã Buddha, venind pe Lume, a mãsurat Universulfãcând câte 7 paæi în fiecare dintre cele patru direcåii. Patru dintreetapele esenåiale ale experienåei sale eliberatoare au corespunsunui popas de 7 zile sub 7 arbori.

Allah, ca divinitate unicã æi universalã – spune teologiaIslamului –, dispune de 7 atribute fundamentale, æi anume: 1. viaåa;2. cunoaæterea; 3. foråa; 4. voinåa; 5. auzul; 6. vãzul; 7. cuvântul.Fiecare dintre acestea reprezintã un element energetic absolut.

Potrivit Talmudului, 7 este simbolul totalitãåii umane; în Islameste un numãr fast, legat de fecunditate; la mayaæi, divinitateaagrarã era Zeul 7, acest arhetip al Omului Desãvâræit, care impuneafamiliei simbolul numeric 7. La dogonii din Africa, 7 era simbolulperfecåiunii: 4 – simbolul feminitãåii + 3 – simbolul bãrbatului. 7 esteexpresia Cuvântului Desãvâræit æi deci al unitãåii originare.

7 era numãrul zeilor la sumerieni, reprezentaåi pe frontispiciulPanteonului lor. Musulmanii sunt convinæi cã Paradisul este alcã-tuit din 7 lãcaæuri: 1. Heruvimul lui Mahomed; 2. Huriile (fecioaredeosebit de frumoase promise de Profet credincioæilor, în Paradis);3. Tinerii Paradisului; 4. Cele 4 Flori; 5. Cele 4 Izvoare aleParadisului; 6. Treptele Fericirii; 7. Sãrbãtorile æi ospeåeleParadisului. În viziunea lor, cele æapte faze ale Judecãåii de Apoi

Arina în Åara Numerelor 19

Page 22: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

sunt: 1. apariåia în Cer a Coranului; 2. mãrturisirea celor fãptuite;3. cântãrirea faptelor bune æi a celor rele; 4. puntea subåire ca firulde pãr, tãioasã ca lama sabiei; 5. peretele despãråitor dintre Cer æiIad (un fel de Purgatoriu); 6. sacrificiul moråilor; 7. balaurul celmare. În sfâræit, în Oceania se credea cã din perechea Cer –Pãmânt s-au nãscut cei 7 zei principali: 1. Hrana; 2. Vântul; 3. Luna;4. Soarele; 5. Fructele æi Rãdãcinile; 6. Marea æi Peætii; 7. Rãzboiulæi Creaåia Omului.

Numãrul 7 este frecvent folosit în Biblie. Se vorbeæte aici desprecele 7 Duhuri care sãlãæluiesc peste obâræia lui Iesel, despre cele7 Ceruri, unde se aflã lãcaæul cetelor de îngeri. Se spune cãSolomon a zidit Templul din Ierusalim în 7 ani. Iar la asediulIerihonului, 7 preoåi, cu 7 trâmbiåe, au ocolit în a 7-a zi de 7 oricetatea, zidurile acesteia dãrâmându-se la glasul trâmbiåelor. ÎnVechiul Testament citim cã, la Potop, au fost salvate câte 7 animalecurate din fiecare specie. Tot aici aflãm cum a tãlmãcit Iosif visuldespre cele 7 vaci grase æi cele 7 vaci slabe.

Este semnificativ, nu-i aæa, cã Vechiul Testament foloseæte de 77de ori numãrul 7! În Apocalipsã, numãrul 7 figureazã de 40 de ori.Aici se pomeneæte despre cele 7 Duhuri care stau înainteaScaunului «Celui ce este æi Celui ce era, Celui ce vine», despre cei7 îngeri cu cele 7 cupe ale mâniei, cele 7 epistole trimise celor7 Biserici care sunt în Asia, despre cele 7 trâmbiåe, cele 7 peceåi etc.

E mai mult decât evidentã aprecierea de care mã bucur! SfântulAugustin a admis cã 7 mãsoarã timpul în istorie, timp al pere-grinãrii omului pe Pãmânt.

Sã remarcãm cã pe 7 îl gãsim frecvent în folclorul românesc. Depildã, în Gruia în Åarigrad, întâlnim versuri precum: «Æapte ani s-au împlinit; Æapte ani au æi trecut». El figureazã în multe basme,începând cu Albã ca Zãpada æi Cei 7 Pitici, Cei 7 Corbi, Croitoraæulcel Viteaz, care omoarã 7 dintr-o loviturã etc.

Numãrul 7 s-a remarcat æi în literaturã. Cine n-a auzit de cele7 Pleiade, de cele 7 fiice ale zeului Apollo sau ale Titanului Atlas æi

20 Eliza Roman

Page 23: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

ale Nimfei Pleione urmãrite de îndrãgostitul Orion, pe care Zeus le-astrãmutat în Cer împreunã cu urmãritorul lor æi cu câinii lui æi i-aprefãcut în trei constelaåii: Pleiadele, Orion æi Câinii. Poezia a datnumele de Pleiadã celor 7 poeåi care au trãit sub Ptolemeu al II-leaFiladelful (309-246 î.e.n), rege al Egiptului, care æi-a legat numelede construirea Farului din Alexandria. Venind mai încoace, sã-levocãm pe Dante Alighieri (1265-1321). Creatorul DivineiComedii pomeneæte despre cele 7 sfere planetare, cãrora le cores-pund cele 7 arte liberale. Cele 7 prinåese ale poetului persan Nizami(c.1140-c.1202) împletesc simbolismul culorilor cu astrologia. ÎnJurnalul sãu, Liviu Rebreanu mãrturiseæte cã în romanul Adam æiEva a recurs la teoria reîncarnãrii eroilor sãi pornind de la mitulplatonician al împãråirii androginului în douã jumãtãåi (bãrbat æifemeie), care se cautã într-un ciclu de 7 vieåi terestre.

Numãrul 7 i-a inspirat mereu æi pe muzicieni. Sunt sigur cãsusåinãtorii mei au audiat oratoriul Cele 7 Poråi ale Ierusalimului,de compozitorul polonez Krzysztof Penderecki (n. 1933).

Numãrul 7 este asociat, de asemenea, cu lampa roæie a societã-åilor secrete chineze, care are 7 braåe, æi cu candelabrul cu 7 braåeal evreilor (menora).

La încheierea celor schiåate pânã aici, o sã scot asul dinmânecã: voi enumera cele 7 minuni ale lumii afacerilor: 1. cumpã-rarea de cãtre S.U.A., în 1867, a peninsulei Alaska de la ruæi;2. fondarea Intel (Integrated Electronics), în 1963, best-buy-ul seco-lului al XX-lea; 3. Coca-Cola, nãscutã acum mai bine de un secol,în 1896; 4. cumpãrarea de cãtre Microsoft a tehnologiei antivirusGECAD de la România; 5. industria pantofilor-sport Nike, apãrutãîn 1972; 6. inventarea PET, adicã a banalei sticle de plastic; 7. impactulInternetului asupra lumii afacerilor.

Aæadar, voi câætiga! Voi fi preæedinte!“.

Arina în Åara Numerelor 21

Page 24: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

ΦΦ – misteriosul Numãr de Aur

Arina æi Gabriela, oaspeåii lui Cãtãlin, sunt vizibil conectaåi latensiunea alegerilor prezidenåiale. Discuåia celor trei demareazã peaceastã temã:

Arina: Sunt propuæi æi candidaåi independenåi la preæedinåie?Are æanse vreunul sã-l învingã pe 3 sau pe 7?

Cãtãlin: Da, Numãrul de Aur sau, dacã vreåi, misteriosul æi

arogantul . Dupã cum ætiåi, acest numãr face partedin clasa infinitã a numerelor iraåionale, mai rafinatãdecât clasa numerelor naturale, cãreia îi aparåin 3 æi7. Dar chiar æi în cadrul clasei numerelor iraåionale,Numãrul de Aur e mai cu moå printre confraåii lui.

Abia a început discuåia, cã celor trei li se alãturã Andrei, un colegal lui Cãtãlin. Dupã prezentãrile de rigoare, Cãtãlin îi explicã luiAndrei interesul oaspeåilor lui pentru Numãrul de Aur. Andrei inter-vine cu propriile lãmuriri:

Andrei: Printre numerele iraåionale, Numãrul de Aur ocupã,într-adevãr, un loc privilegiat; e prezent constant îngeometria decagonului æi a pentagonului.

Arina: Mai întâi, spuneåi-mi ce este Numãrul de Aur?Cãtãlin: În termeni matematici, este acel numãr mai mic

decât pãtratul sãu cu exact o unitate. Cu alte cuvinte,este soluåia ecuaåiei x2 - x - 1 = 0.

Arina: Æi care-i originea lui?Cãtãlin: Originea Numãrului de Aur trimite la mecanismele

corpurilor platonice.Gabriela: Au fost denumite æi numere pitagorice sau cosmice.

Sunt cunoscute înaintea lui Platon (428-348/347î.e.n.) de cãtre pitagoreici.

Andrei: Mai precis, este vorba despre cele cinci poliedre regulate:

Φ

22 Eliza Roman

Page 25: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

tetraedrul, cubul, octoedrul, dodecaedrul æi izocaedrul.Arina: Dacã-i aæa, atunci ceea ce numim mistica Numãrului

de Aur se aflã în strânsã corelaåie cu misticanumerelor 5 æi 10.

Gabriela: Lucrurile se leagã. Nu întâmplãtor, cei vechi puneaumare preå pe aceste numere. Relaåia dintre 10 æiprimele 4 numere din æirul numerelor naturale:10 = 1 + 2 + 3 + 4 o numeau tetradis. Termenultetradis apare explicit în jurãmântul sacru al pitagoreicilor.

Cãtãlin: La greci, 10 – decada – desemna Universul!Andrei: Existã o strânsã legãturã între Numãrul de Aur æi

modul în care se taie diagonalele poligoanelor cu 5 æicu 10 laturi, adicã pentagonul æi decagonul, precumæi între diagonala pentagonului æi latura lui.

Cãtãlin: De fapt, Numãrul de Aur este însãæi cheia con-strucåiei pentagonului!

Arina: Cine l-a descoperit?Gabriela: A fost cunoscut cu mult înaintea grecilor. Egiptenii

l-au folosit la construcåia piramidelor.Arina: Ei l-au botezat aæa de pompos?Cãtãlin: Nu. O sã vezi puåin mai încolo. Nici chiar discipolii

lui Pitagora (570-480 î.e.n.), care l-au folosit, nu i-aupus un nume!

Arina: Æi pe urmã?Andrei: Numãrul de Aur a avut un impact deosebit în timpul

Renaæterii. Astronomul german Johannes Kepler(1571-1630) spunea despre acest numãr cã este„o bijuterie“. Leonardo da Vinci (1452-1519) adescoperit Numãrul de Aur atunci când a studiat pro-poråiile dintre diferitele pãråi ale corpului omenesc.El l-a îndemnat pe matematicianul italian LucaPacioli (1445-1510) sã scrie o carte despre acest

Arina în Åara Numerelor 23

Page 26: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

numãr. Pacioli a publicat, la Veneåia, în 1509, Divinaproportione, bogat ilustratã de Leonardo da Vinci.Este cea dintâi expunere a proprietãåilor matematiceale Numãrului de Aur.

Gabriela Am citit undeva cã pic-torul æi gravorul germanAlbrecht Dürer (1471-1528) a venit la Bolognasã se iniåieze în arta pers-pectivei de la Pacioli.

Arina: De fapt, ce a descoperitPacioli?

Cãtãlin: Luca Pacioli a fost con-vins cã a dezvãluit o æti-inåã secretã. El consideracã Numãrul de Aur esteasemenea Sfintei Treimi, fiindcã reprezintã o relaåieîntre trei numere, dintre care cel mai mare este sumacelorlalte douã, astfel încât raportul celui mai marefaåã de cel mediu este egal cu raportul celui mediufaåã de cel mic.

Arina: Am impresia cã ne învârtim în jurul cozii. Eu vreausã ætiu concret ce este æi ce valoare are acest numãr,pe care nu faceåi altceva decât sã-l ridicaåi în slãvi.

Cãtãlin: Valoarea lui este 1,618033… Iar expresia lui geo-metricã este legatã de problema împãråirii unui seg-ment printr-un punct, respectând o anumitã condiåie,care asigurã armonia.

Arina: Nu înåeleg nimic!Cãtãlin: Hai sã procedãm altfel. Sã luãm un segment AB æi sã

fixãm pe el un punct C, care sã îndeplineascã urmã-toarea condiåie: sã fie astfel poziåionat încât segmentulmai mare AC sã fie media proporåionalã între întregul

24 Eliza Roman

Luca Pacioli

Page 27: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

segment AB æi partea rãmasã CB. Uite aici, pe hârtie;trebuie sã avem proporåia:

Am spune, în limbaj modern, cã punctul C opereazã

o secåiune de aur, iar raportul se numeæteNumãrul de Aur.

Arina se agitã.

Cãtãlin: Te rog, Arina, lasã-mã sã continui. Observi înaceastã figurã cã AB = AC + CB. Introduc aceastãsumã în proporåia de mai sus æi obåin:

,

expresie pe care o pot scrie:

æi, în continuare,

1 +

Gabriela: Ei æi?Cãtãlin: Stai puåin, Gabi! Am spus, ceva mai înainte, cã

raportul reprezintã Numãrul de Aur. Pentru vir-tuåile lui incontestabile, a fost botezat

cu iniåiala numelui celebrului sculptor grec Fidias

(Phidias) – .Φ

CBAC

C B

A C

A C

C B =

CBAC

ACCB

ACAC =+

CBAC

ACCBAC =+

CBAC

C B

A C=ACAB

Arina în Åara Numerelor 25

A C B

Page 28: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

În formula mea de mai sus, avem, aæadar: =

æi , adicã inversul lui, este .

Formula devine 1 + = .

Arina: Deci o ecuaåie pe care o pot scrie + =

sau 2 – – 1 = 0.Cãtãlin: Exact. Iar aceastã ecuaåie o rezolvãm uæor. Ia æi tu

pixul æi socoteæte.

Arina (face calculele): Rãdãcinile ecuaåiei 2– – 1= 0 se

obåin prin metoda de rezolvare a ecuaåiilor de gradul

doi: ax2 + bx +c = 0, x1, 2

= ;

în cazul nostru a = 1, b = – 1, c = – 1. Obåinem cã

are valoarea 1,618033988…

Da. Dar nu vãd încã aura de misticism care-l încon-

joarã pe .Cãtãlin: Numãrul de Aur asigurã armonia.Andrei: Mai este æi un alt motiv care a contribuit la

sacralizarea Numãrului de Aur.Cãtãlin: Simplu, e raportul dintre douã numere consecutive

din æirul lui Fibonacci.Arina: Cine mai e æi acest Fibonacci?Andrei: Nimeni altul decât matematicianul Leonardo din

Pisa (1180-1230). Era poreclit Fibonacci, adicã

Φ

F

aacbb

242 −±−

FF

FF

F

F

2

Φ1

ΦΦ

F

F

1

Φ1

ACCB

ΦCBAC

26 Eliza Roman

Page 29: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

feciorul lui Bonacci. El a transpus, printr-un æir denumere, o lege importantã referitoare la creætereaorganicã. Pornind de la problema: câte perechi deiepuri de casã se nasc într-un an dintr-o singurãpereche de iepuri, Fibonacci a stabilit æirul urmãtor,care-i poartã numele: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ……. Acestæir se bucurã de urmãtoarea proprietate: fiecare ter-men al lui, începând cu cel de-al treilea, este egal cusuma celor doi termeni precedenåi (3 = 2 + 1; 5 = 3 + 2;8 = 3 + 5; 13 = 5 + 8). Or, raporturile a doi termeni

consecutivi din aceastã serie tind spre .

= 1,6; = 1,625; = 1,61…; = 1,619

Andrei: De-a lungul veacurilor, oamenii l-au venerat pe Fibo-nacci pentru aceastã descoperire. În prezent,Asociaåia Fibonacci, creatã în1963, publicã o revistã con-sacratã acestui matematicianitalian, intitulatã „FibonacciQuarterly“. E uæor de urmãritpe Internet, la adresa:www.MSCS.dat.ca.Fibonacci.

Cãtãlin: Æirul 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...tinde rapid spre o progresiegeometricã ce are ca raåieNumãrul de Aur, dar Fibonaccinu ætia acest lucru. Luna tre-cutã, am avut norocul sã foi-letez traducerea în limbaenglezã a volumului Liber Abaci – Cartea socotitului(1202), datoratã lui Laurence Siegler. Face parte dinpregãtirea specialã pentru concurs. Practic, avem de-a

2134

1 3

2 1

8

1 3

5

8

Φ

Arina în Åara Numerelor 27

Leonardo din Pisa(Fibonacci)

Page 30: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

face cu un manual de aritmeticã, în care întâlnimaspecte dintre cele mai diverse. El oferã criterii dedivizibilitate, uæureazã adunarea fracåiilor cu ajutorulcelui mai mic multiplu comun, introduce æirulnumeric care poartã numele autorului. Æi tot aceastãcarte pune bazele calculului comercial. Aæ observaînsã cã, din cele 600 de pagini ale cãråii lui Fibonacci,doar o jumãtate de paginã trateazã problema iepurilor!Æi tot fãcând „sãpãturi“, am aflat cã problema nu eraoriginalã! O fi ætiut, oare, Fibonacci cã un cãlugãrenciclopedist englez – Beda Venerabilul (c. 672/673-735) –, cunoscut pentru faimoasa lui metodã de calculcu degetele, a inclus, în aritmetica sa, problemaiepurilor cu aproximativ 500 de ani înaintea lui?

Gabriela: Pãi, caracteristicile acestea ne garanteazã putereanemãsuratã pe care o pretinde Numãrul de Aur?

Cãtãlin: Numãrul de Aur susåine cã are toate atuurile sã devinãpreæedinte – ca independent – fiindcã, în fond, asigurãarmonia atât în naturã, cât æi în artã. Pretutindeni æiîntotdeauna se apeleazã la virtuåile lui pentru a seveni cu explicaåii satisfãcãtoare.

Arina: Vreau exemple.Cãtãlin: De pildã, pe baza viziunii sale, au fost stabilite

dimensiunile camerei regale din Marea Piramidã alui Keops. Ombilicul împarte corpul omenesc con-form Numãrului de Aur, asigurându-i armonia.Numãrul de Aur reprezintã canonul dupã care pot fistabilite proporåiile diferitelor pãråi ale unei clãdiri.Arhitecåii au construit catedralele gotice folosind„tãietura de aur“. Mulåi artiæti æi esteticieni vãd încaracteristicile matematice ale Numãrului de Aurfundamentul virtuåilor estetice. Ei sunt de pãrere cã

28 Eliza Roman

Page 31: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

acesta simbolizeazã perfecåiunea, oferind, în acelaæitimp, o explicaåie universalã a simåului estetic.Folosind aceste argumente, Numãrul de Aur ajungela concluzia cã el reprezintã, de fapt, explicaåia unicãæi ultimã a Frumosului, cã este Divin!

Gabriela: La noi se ætia ceva despre toate acestea?Cãtãlin: Am sã-åi spun un lucru care o sã-åi placã: Numãrul

de Aur este profund îndatorat unui compatriot al nos-tru, Matila Ghyka (1881-1965), ale cãrui cercetãri depionierat ilustreazã legãtura intimã dintre matematicãæi artã. Opera lui Matila Ghyka, creatã în deceniileII-III ale veacului trecut, este, dupã cum bine spuneacad. Solomon Marcus, „prin excelenåã o operãdeschisã care ne invitã mereu la o nouã lecturã, înfuncåie nu numai de achiziåiile noi ale ætiinåei, ci depropria noastrã sensibilitate“ (Solomon Marcus,Arta æi ætiinåa, Bucureæti, Editura Eminescu, 1986).

Andrei: Am preamãrit virtuåile Numãrului de Aur în artã, dardespre impactul lui în naturã n-am pomenit mainimic. Frecvenåa cu care întâlnim Numãrul de Aur înnaturã este impresionantã. Plantele, animalele æiomul se caracterizeazã prin raporturi care se apropiede acest numãr. Ætiaåi cã lista descendenåilor uneialbine-mascul este reprezentatã prin æirul luiFibonacci? La plante, amplasarea frunzelor în jurultulpinii respectã Numãrul de Aur, care le asigurãmaximum de luminã. Spiralele seminåelor defloarea-soarelui sunt dispuse în receptacul pe bazaNumãrului de Aur. Mãsuraåi-vã din creætet pânã întãlpi, apoi de la ombilic pânã la tãlpi æi veåi gãsiNumãrul de Aur prin împãråirea celor douã distanåe.Mãsuraåi lungimea braåului de la umãr la vârful

Arina în Åara Numerelor 29

Page 32: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

degetelor æi împãråiåi-o la distanåa dintre cot æi vârfuldegetelor æi veåi gãsi Numãrul de Aur!

Cãtãlin: Eu am un tricou, la care åin mult, pentru cã reprezintãun foarte cunoscut desen al lui Leonardo da Vinci,botezat Omul Vitruvian, dupã numele celebruluiinginer æi arhitect roman Marcus Pollio Vitruvius(secolul I î.e.n). Desenul este inclus în volumul acestuiaDe architectura; o sã vi-l arãt, fiindcã reprezintãilustrarea optimã a Numãrului de Aur la om. OmulVitruvian figureazã æi pe moneda de 1 euro.

Andrei: Eu sunt, pur æi simplu, uluit de posibilitatea acestuinumãr de a fi reprezentat printr-o fracåie continuãinfinitã, adicã:

1 +

Cãtãlin: Or, fracåiile continue aproximeazã cel mai bine unnumãr iraåional.

Arina: Pe mine mã impresioneazã perenitatea Numãrului deAur. O ilustreazã absolut magnific arhitectul æi pic-torul francez Charles Le Corbusier (1887-1965). El acreat un nou sistem al proporåiilor arhitecturale,brevetat în 1945, care se bazeazã pe Numãrul deAur. Iar Dan Brown l-a evocat în romanul sãu Codullui da Vinci.

Andrei: Ar mai fi de spus cã, în locul „tãieturii de aur“, LeCorbusier a ales o scarã de proporåie care sã corespundãcerinåelor arhitecturii din timpul sãu. Acest etalonmodern l-a denumit modular, având înåelesul dinAntichitate æi Renaætere pentru „tãietura de aur“.

......111

11

1

++

+

30 Eliza Roman

Page 33: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Buclucuri matematice

Arina viseazã cã se aflã în parcul din Åara Numerelor æi citeætecartea despre numere scrisã de Florica T. Câmpan, apãrutã în 1965.La un moment dat, se aæazã lângã ea un domn mai în vârstã, cu oînfãåiæare sobrã. Se simte de departe cã e un cãrturar, un profesor.Curios din fire, trage cu ochiul la cartea Arinei.

Profesorul: Vã intereseazã numerele, domniæoarã?Arina: Foarte mult, domnule. Numerele pun ordine în viaåa

omului.Profesorul: Dar pot provoca æi buclucuri.Arina: De ce?Profesorul: Sã vã explic. Ætiåi cã vin alegerile. Se spune cã nu

poate exista scrutin perfect. Æi fiindcã nu-mi place sãfiu manipulat, m-am gândit sã mã documentez la osursã sigurã: matematica electoralã.

Arina: Existã aæa ceva?.Profesorul: Fireæte. Pãrintele matematicii electorale este cunos-

cutul marchiz de Condorcet (1743-1794), matemati-cian, filosof, economist, dar æi om politic francez.

Arina: Dupã alegeri, urmeazã ceva foarte dificil: reparti-zarea corectã a locurilor în parlament.

Profesorul: Da, æi asta a produs dintotdeauna dureri de cap.Criteriul cel mai frecvent adoptat a fost acela al pro-poråionalitãåii. Chiar aplicat cu acurateåe, acest cri-teriu duce la încurcãturi, dacã nu la situaåii de-adreptul ridicole. Folosindu-l, se poate ajunge la orepartiåie a locurilor de genul: 30,005; 84,9317;24,598 etc., etc. Evident, numerele acestea le-am alesîntâmplãtor, pentru a ilustra fenomenul. Deci legiui-torii sunt obligaåi, pe de o parte, sã rotunjeascãtotalurile obåinute, iar pe de alta sã nu comitã ilegalitãåi.

Arina în Åara Numerelor 31

Page 34: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Or, chiar æi în matematica purã problema rotun-jirilor devine una cumplitã. Carl Friedrich Gauss(1777-1855) – considerat de cãtre unii cel mai marematematician al tuturor timpurilor – spunea cu umorcã unica soluåie pentru rotunjire este… tragerea lasoråi!

Arina: Democraåiile occidentale nu i-au dat de capãt?Profesorul: În S.U.A., mari personalitãåi ale ætiinåei au încercat

sã rezolve aceastã problemã, dar n-au ajuns la soluåiisatisfãcãtoare. Am aici numeroase exemple pe carele-am cules din literatura de specialitate. O sã-åi arãtdouã. În primul caz, e vorba de cinci state federale,notate cu A, B, C, D, E, cãrora trebuia sã le fie repar-tizate 26 de locuri. Dupã metoda lui AlexanderHamilton (1757-1804), om de stat american, colabo-rator a lui George Washington æi fondator al partiduluifederalist, repartiåia urma sã fie fãcutã ca în tabelulpe care åi-l arãt acum:

Dupã cum se vede, domniæoarã, în prima rundãHamilton a renunåat la partea zecimalã æi a ajuns la25 de reprezentanåi. În cea de-a doua rundã, a repar-tizat statului D un loc în plus, deoarece partea zecimalã

32 Eliza Roman

Statul Populaåia Numãrul real Prima rundã A doua rundã(sute al repre- de de

de mii) zentanåilor distribuire distribuireA 9.061 9,061 9 9B 7.179 7,179 7 7C 5.259 5,259 5 5D 3.319 3,319 3 4E 1.182 1,182 1 1

Total 26.000 26 25 26

Page 35: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

a lui D este cea mai mare. Hamilton a încercat încã oîmbunãtãåire: a mãrit numãrul locurilor la 27 æi apropus urmãtoarea nouã repartiåie: A = 9 locuri; B =8 ; C = 6; D = 3 æi E = 1. În acest caz, câætigã stateleB æi C, dar pierde statul D. Aceastã manevrã subtilãeste cunoscutã sub numele de Paradoxul Alabama.

Arina: Aæa se ajunge la înfundãturã. Nu existã o altã cale?Profesorul: Ba da, existã o metodã celebrã de repartiåie, propusã

de Thomas Jefferson (1743-1826), preæedinte alS.U.A. între 1801 æi 1809, adoptatã de GeorgeWashington (1732-1799). Este cunoscutã subnumele de metoda celor mai mari divizori. Pe cândHamilton a folosit ca divizor numãrul 1 000,Jefferson a recurs la numãrul 906,1. Alegerea lui906,1 ca divizor îi dã lui Jefferson 10 locuri pentrustatul A, 7 locuri pentru statul B, 5 locuri pentru statul C,3 locuri pentru statul D æi 1 loc pentru statul E, deciun total de 26 de locuri. Cu metoda acestuia dinurmã, statul cel mai populat a mai câætigat unreprezentant. Mult mai rar, e drept, se adoptã sistemede reprezentare preferenåialã, în care caz buclucul eæi mai evident.

Arina: Dupã câte constat, socotelile pot duce, oriunde înlume, la paradox.

Profesorul: Nu la un paradox, ci la un numãr mare de parado-xuri, ale cãror mecanisme sunt detectate æi analizatede specialiæti cu ajutorul unor tehnici mai vechi sauchiar foarte noi ale matematicii, mai mult sau maipuåin sofisticate.

Arina: Care ar fi cele mai „fioroase“ dintre aceste paradoxuri?Profesorul: Bunãoarã, Paradoxul lui Condorcet, potrivit cãruia

preferinåele indivizilor exprimate prin vot sunt

Arina în Åara Numerelor 33

Page 36: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

„intranzitive“, ceea ce înseamnã cã de multe ori opåi-uni pertinente ale cetãåenilor sunt respinse de marigrupãri sociale ca fiind „iraåionale“. Dintre parado-xurile matematicii politice, celebru este cel al cunos-cutului economist american Kenneth J. Arrow (n.1921), care a admis cã din punct de vedere mate-matic idealul democraåiei perfecte este imposibil.Afirmaåia aceasta i-a nãucit æi pe matematicieni, æipe economiæti, dar i-a asigurat autorului PremiulNobel, în 1972!

Arina: Dacã nu îndrãznesc prea mult,aæ dori sã-mi mai vorbiåidespre paradoxuri.

Profesorul: Atunci sã mai abordãm unaspect: se ætie cã, în general,sistemul preferenåial conduce,prin transfer, la multe para-doxuri. Acest sistem face caacela care, de fapt, are dreptulsã învingã, pânã la urmã sã fieînvins. Un paradox importanteste cel al amendamentului,care se preteazã la viclenii. Iatã, sã presupunem cã înCamera Reprezentanåilor se propune un amenda-ment la o lege. Dacã acesta este acceptat, la al doileascrutin se cere sã se aleagã între legea amendatã æirespingerea legii. În acest fel, de multe ori legi bunecad la al doilea scrutin, din pricina unor amenda-mente propuse în mod viclean.

34 Eliza Roman

Kenneth J. Arrow

Page 37: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

SECVENÅE DE ISTORIE

Ionuå aflã despre apariåia numerelor

Arina: De ce eæti îmbufnat, Ionuåe?Ionuå: Cum sã nu fiu! Tu te distrezi æi citeæti tot felul de

poveæti despre numere, o sã participi la concurs,poate o sã pleci în Marea Britanie, iar eu învãå, fac æidesfac probleme. Am numai 10 la matematicã, darn-am voie sã particip…, cicã sunt prea mic.Adevãrul e cã nu-s tare la istoria numerelor, n-amidee cum au apãrut ele.

Arina: Câte ceva pot sã-åi spun eu.Ionuå: De exemplu, cum au început sã numere strãbunii

noætri?Arina: Ionuåe, totul a plecat de la naturã. Ca sã mãsoare can-

titãåi (cereale, piei de animale etc.), strãmoæul nostruse folosea fie de pietricele sau de scoici, fie de boabede cereale sau de beåiæoare, care åineau loc de numãr.Lua, de pildã, un beåiæor æi o piele de animal, pe carele punea, sã zicem, în stânga pielea æi în dreaptabeåiæorul; lua, în continuare, alt beåiæor æi cea de adoua piele; proceda la fel pentru a treia, a patraæ.a.m.d.

Ionuå: Au existat æi alte modalitãåi pentru a avea o evidenåãa bunurilor?

Arina: La babilonieni, stãpânul proceda într-un modasemãnãtor atunci când încredinåa pãstorului turmasa. Pentru fiecare oaie predatã acestuia punea într-unbol de lut proaspãt frãmântat câte o pietricicã. Atunci

Page 38: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

când încheia predarea oilor, astupa bolul, care sesolidifica. La revenirea turmei, se spãrgea bolul æi seproceda invers decât la predare. Pentru fiecare oaierecepåionatã se extrãgea din bol câte o pietricicã.Dacã rãmâneau pietricele în bol, ciobanul era obligatsã dea explicaåii stãpânului. Dacã, dimpotrivã, nuajungeau pietricelele, însemna cã între timp oile s-auînmulåit.

Ionuå: Dar la noi?Arina: La noi gospodarul æi pãstorul au folosit în acelaæi

scop rãbojul, iar plutaæii încrustãrile pe cherestea.Ionuå: Ce este rãbojul?Arina: Pretenåios spus, este un instrument de evidenåã æi de

control în tranzacåii comerciale, înregistrãri fiscaleæ.a. Practic, este o bucatã de lemn, un beåiæor pe carese marcheazã linear, prin crestãturi, diverse cantitãåi(mãrfuri, sume de bani, numãr de animale etc.). Apoiacest suport de lemn se despicã în douã, fiecare parterãmânând în posesia unei jumãtãåi de beåiæor. Acestobicei a fost pãstrat mai ales printre ciobani. Sã maireåii, Ionuåe, cã, în vremuri de demult, oamenii îæifoloseau mâinile pentru a numãra.

Ionuå: În clasa I socoteam pe degete! Arina: Cu ajutorul mâinilor strãbunii numãrau pânã la 10,

iar pentru numere mai mari se serveau æi de degetelede la picioare. Oricum, Ionuåe, te felicit cã vrei sã æticât mai multe despre numere. Nu trebuie sã fii tristcã nu participi la concurs. Peste câåiva ani o vei facecu brio.

Ionuå: O sã câætig, ai sã vezi! Ætii cã mã pasioneazã æinumerele figurative.

Arina: Precis cã ai pornit de la metoda grecilor, care

36 Eliza Roman

Page 39: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

reprezentau numerele naturale prin construirea defiguri geometrice cu ajutorul pietricelelor.

Ionuå: Cum ai ghicit? Tocmai mã gândeam la numereletriunghiulare, formate din mai multe pietriceleaæezate în formã de triunghiuri echilaterale, apoi lanumerele pãtratice, pentagonale, poligonale.

Arina: Deseneazã-mi câteva.

Ionuå deseneazã:

• • • • • • •• • • • • • • •

• • •3 4 5 6

Ionuå: Poftim. E simplu, numerele triunghiulare se obåinunul din altul, adaugându-se la baza triunghiuluiprecedent un nou rând de pietricele având o unitateîn plus (adicã o pietricicã în plus). Ele se obåinadãugând întregii consecutivi: 1; 1 + 2; 1 + 2 + 3;1 + 2 + 3 + 4 æ.a.m.d.

Arina: Ætiu cã æiruri de numere de genul acestora i-au pre-ocupat nu numai pe greci, ci æi pe egipteni, pebabilonieni, pe hinduæi æi pe chinezi.

Ionuå: Pe greci i-au delectat! Pe mine, la fel. Uite, aæ notape 1, 3, 6 æi 10 aæa:

• • • •• • • • • •

• • • • • •• • • •

1 3 6 10

Arina în Åara Numerelor 37

Page 40: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Ionuå: Aæ folosi pentru asta rubine. Pun întâi 1 rubin, apoiadaug 2 rubine æi îl obåin pe 3, dupã care pun încã 3rubine æi îl obåin pe 6. Nu e frumos? Numerelepãtratice le-aæ face din safire. Aæa ar arãta 1, 4, 9, 16:

• • • • • • • • • •• • • • • • • • •

• • • • • • •• • • •

1 4 9 16

Ionuå: Numerele pãtratice se obåin prin adãugarea numerelorimpare consecutive.

Arina: Numerele pãtratice se pot obåine æi prin alãturarea acâte douã numere triunghiulare,

Ionuå: Grecii deduceau numerele poligonale din numeretriunghiulare, încã de acum 2300 de ani. Îåi fac eu undesen pentru numere pentagonale. Iatã-l:

Arina Ionuåe, eæti o contradicåie! La capitolul numere figu-rative devii sau ai æi devenit as.

Ionuå: Mie îmi plac mult numerele figurative! Poveætile cuaceste numere le gãsesc cool! Pe tema asta o sã fac oexpoziåie color la æcoalã.

38 Eliza Roman

Page 41: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Omul a numãrat înainte de a vorbi

E mult de când a plecat Ionuå. Cufundatã în fotoliu, Arina segândeæte la miracolul apariåiei numerelor. Se ætie – îæi spune ea – cãomul a inventat mai întâi numerele æi mai apoi literele. Dar ce ætimdespre capacitatea omului de a recunoaæte æi de a mânui numerele?Cu jumãtate de secol în urmã, lingvistul american Noam Chomsky(n. 1928) a afirmat cã orice fiinåã umanã se naæte cu capacitatea vor-birii naturale. În prezent, specialiætii în ætiinåele neurologice susåincã existã competenåe nonverbale care permit evaluarea cantitãåilorchiar înainte de stãpânirea limbajului. Mecanisme preexistente aufost detectate la nou-nãscuåi, care-i ajutã la evaluarea, compararea æichiar operarea cu cantitãåi extrem de reduse. Începând de la æaseluni, sugarul deosebeæte cantitãåile foarte mici, pe care le poateaduna sau scãdea prin mijloace nonverbale. Ulterior, pe la doi sautrei ani, copilul îæi foloseæte degetele în acelaæi scop. Mai târziu, else va servi de un sistem bazat pe limbajul articulat, care-i va permitesã efectueze calculele în mod precis.

Am citit cã imagineria cerebralã a permis descoperirea unei largireåele de circuite neuronale în creier care asigurã calculul mental.Ele implicã multiple regiuni situate pe loburile frontal æi parietal æivariazã paråial potrivit tipului de operaåie efectuatã: comparaåie,adunare, scãdere sau înmulåire. Se vehiculeazã ipoteza cã în calcululmental sunt implicate douã sisteme cerebrale: unul nonverbal, bazatpe sensul numerelor æi pe manipularea cantitãåilor; celãlalt verbal,bazat pe memorizarea calculelor (adunãri simple æi înmulåiri).Sistemul nonverbal stã la baza capacitãåii aritmetice a copilului æieste legat de circumvoluåiunea intraparietalã. Trebuie sã mã maigândesc... S-a fãcut miezul nopåii.

Arina în Åara Numerelor 39

Page 42: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

PRIN CLUBURI

Asociaåia Iubitorilor Numãrului

Un grup de colegi de clasã ai Arinei discutã aprins, pe cândceilalåi danseazã æi scandeazã un soi de descântec:

Sandra: Pieriåi pentagoane, hexagoaneÆi alte goane,Cum pier negurile,Cum se sting vânturile.

Valentin: Pieriåi ecuaåii plicticoase,Pieriåi matrici ticãloase,Cum se risipeæte roua la Soare,Cum dispare spuma de mare.

Margareta: Fugiåi gânduri blestemateDe ipoteze alambicate,Concluzii întortocheateÆi demonstraåii îmbârligate.

În replicã, Arina le propune colegilor sã se organizeze într-oAsociaåie a Iubitorilor Numãrului. Propunerea este primitã cuaplauze. Arina este aleasã preæedinta Asociaåiei. Pentru început, eava trebui sã creeze o bazã de date necesarã pregãtirii candidaåilorpentru concurs.

Preæedinta îæi ia imediat rolul în primire æi distribuie sarcinifiecãrui membru al Asociaåiei: Sandra va studia matematica laegipteni; Valentin se va edifica asupra sistemului de numãrare al

Page 43: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

aztecilor æi mayaæilor; Margareta va culege materiale desprematematica la sumerieni æi la babilonieni; Toma va aduce informaåiidespre matematica la greci; Stela despre matematica la romani;Mihai, împreunã cu Nic, va cãuta informaåii despre sistemele alfa-betice de numãrare; Cristi æi Rodica vor culege informaåii desprematematica la chinezi; iar Bogdan æi Ionuå, despre matematica laindieni. Æi, bineînåeles, fiecare va vizita clubul profilat.

La Clubul Primelor Zece Numere

Nopåile Arinei sunt populate de vise, cel mai adesea în legãturãcu numerele. Iatã unul dintre ele: se fãcea cã este invitatã la ClubulPrimelor Zece Numere. Un portar stilat, semãnând mai degrabã cuun lord din veacuri trecute, o pofteæte înãuntru. O întâmpinãNumãrul 1, care-i adreseazã „Bun venit!“. Arina mulåumeæte æiîncearcã sã-æi exprime dorinåa de a afla cât mai multe despre el æidespre confraåii lui.

Arina: Domnule Unu, vã mãrturisesc cã sunt o admiratoarea Domniei Voastre æi ætiu multe despre prezenåaNumãrului 1 în lume.

Numãrul 1: Sunt încântat sã aflu asta!Arina: Ætiu cã Numãrul 1 a fost reprezentat printr-o linie

verticalã de cãtre sumerieni, babilonieni, egipteni,hinduæi, romani, arabi, chinezi (uneori), cu o linieorizontalã de cãtre japonezi æi chinezi, iar cu unpunct de cãtre mayaæi. Evreii, fenicienii, arabii,grecii îl notau cu prima literã a alfabetului lor…

În acel moment, intrã în salã trei tineri. Numãrul 1 face prezen-tãrile: Cristina æi Cabiria, studente la Psihologie, respectiv laTeologie, æi Sorin, doctorand în Filosofie.

Arina în Åara Numerelor 41

Page 44: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Discutam despre Numãrul 1.Sorin: De aceea am æi venit aici. Admiraåia mea pentru

Domnia Sa e imensã. unu reprezintã locul-simbol alfiinåei, centrul cosmic æi ontologic. Impactul lui estecovâræitor. Dupã filosoful grec Xenofan (Xenophanes)(570-480 î.e.n.), unu semnificã pe Zeul Unic sau peZeul Cel Mare; este numãrul numerelor, simbolizândunitatea, absolutul. Sã ne reamintim monada mate-maticianului æi filosofului german Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716): unu este cuvântul-cheie carestã la baza religiilor monoteiste. În povestirile legen-dare, cât æi în motivele folclorice, Dumnezeu CelUnic este foarte frecvent simbolizat prin 1.

Cristina: Iar dupã psihiatrul elveåian Carl Gustav Jung (1875-1961), unu este simbol unificator.

Numãrul 1: Constat, cu respect, cã se ætiu multe despre mine æisunt încântat sã vã prezint colegilor mei. Aæ începecu cel mai apropiat: Numãrul 2. Obâræia lui este legatãde noåiunea de pereche. La început, a fost reprezentatprin repetarea lui 1, ulterior a devenit independent.

Arina: Mi-aæ permite, Domnule 2, sã afirm cã impactulDomniei Voastre este, într-adevãr, remarcabil. Sunteåicel dintâi numãr par æi cel dintâi numãr prim din æirulnumerelor naturale. Numele Domniei Voastre estepomenit în toate limbile. Oamenii se împart în bãrbaåiæi femei, iar la baza moralei se aflã conceptul dualbine – rãu.

Numãrul 2: Mã flataåi, domniæoarã. Cristina: Dupã filosofia zoroastricã, lumea a luat naætere din

dedublarea timpului primordial, timpul infinit, careproduce din sine însuæi dualitatea bine – rãu.

Cabiria: Douã sunt principiile cosmogonice ale mitologieichineze, vãzute ca primii zei nãscuåi din haosul

42 Eliza Roman

Page 45: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

oceanului primordial: yin = principiul feminin; yang =principiul masculin.

Arina: Sã revenim la discuåia noastrã æi sã constatãm cãviaåa de zi cu zi se exprimã prin elemente binare. Nereferim continuu la zi æi noapte, la individ æi socie-tate, la Cer æi Pãmânt, la viaåã æi moarte. Suntempermanent preocupaåi de sãnãtate æi boalã, de sãrãcieæi bogãåie, de fericire æi nenorocire.

Sorin: În metafizica grecilor, regãsim frecvent ceea ce einumeau Diada. Aristotel a întemeiat teoria catego-riilor pornind de la ideea cuplurilor contrare.

Cabiria: Mã gândesc la rolul antinomiei par–impar înfilosofia pitagoreicilor.

Cristina: Gândirea noastrã se bazeazã pe folosirea dihotomiilorde tipul: întreg–parte, finit–infinit, cantitativ–calitativ,ordine–haos, simetrie–asimetrie, local–global,transformare–invariant.

Sorin: Aæ spune cã matematicienii sunt obsedaåi de ideeadualitãåii. Nu vã miraåi. E o formulã capabilã de douãînåelesuri, ambele adevãrate, unul obåinut din celãlaltprin simpla permutare reciprocã. Dar aria de operarea dualitãåii depãæeæte matematica, incluzând logica æiprogramarea la calculator.

Cristina: În chimie, avem numeroase substanåe formate din douãelemente, în gramaticã lucrãm cu singular æi plural,existã electricitate pozitivã æi electricitate negativã etc.

Sorin: Numai douã cuvinte, dacã tot a venit vorba despre doi:toatã lumea asociazã informaticii termenul binar.Numerele cu care lucreazã calculatorul aparåin sis-temului cu baza 2, adicã 0 æi 1. Algebra pe care ofoloseæte calculatorul lucreazã cu douã variabile,care pot lua valoare de adevãr sau de fals æi care sunt

Arina în Åara Numerelor 43

Page 46: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

reprezentate în sistem binar prin 0 æi 1. Perechea 1–0traduce circuitul electric deschis sau închis.

Cristina: Pânã la urmã, binaritatea nu este, totuæi, o cunoscutãde datã modernã. Au descoperit-o cãutãtorii de aurdin Africa. Baulii din Côte d’Ivoire l-au adoptat pe 2ca bazã pentru sistemul lor de greutãåi.

Sorin: Aæ vrea sã adaug cã, în subconætientul individual,coexistenåa a douã componente de „gen“, sub formaelementelor arhetipale animus æi anima, constituieuna dintre descoperirile datorate lui Jung.

Cabiria: Sã nu uitãm nici de liricã; metrica schemelor ritmiceale versului se bazeazã pe un sistem binar.

Arina: Ai dreptate, Cabiria, limbile clasice au „operat“ cusilabe lungi æi scurte, iar cele moderne cu silabeaccentuate æi neaccentuate.

Cristina: Dupã Gioachimo da Fiore, cãlugãr benedictin calabrez(1135-1202), Istoria Sfântã æi Scriptura sunt domi-nate de numerele 2 æi 3. Cele 2 seminåii alese deDumnezeu sunt evreii æi neamurile, iar cele 3 etapeale istoriei sunt: 1. Domnia Tatãlui, corespunzândfricii de Dumnezeu; 2. Domnia Fiului, corespunzândcredinåei în Iubire; 3. Domnia Sfântului Duh, cores-punzând Contemplaåiei.

Numãrul 1: Aåi pomenit de Numãrul 3. Din pãcate, lipseæte.E foarte implicat în campania electoralã, ca æi Numãrul7. De altfel, amândouã aceste numere s-au auto-prezentat destul de amplu æi de tranæant pe miculecran. Aæa încât vã fac cunoætinåã cu Numãrul 4.

Arina: Sunt bucuroasã sã vã cunosc, Domnule 4. Sunteåirudã cu Numãrul 2, doar 4 = 22.

Cabiria: Grecii considerau cã Lumea este formatã din 4 elemente:apã, pãmânt, aer, foc; camera mea are 4 pereåi,anul are 4 anotimpuri, existã 4 puncte cardinale.

44 Eliza Roman

Page 47: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Sorin: Îmi permiteåi, Domnule 1, sã argumentez personali-tatea colegului Dv., Domnul 4?

Numãrul 1: De ce nu?Sorin: Aristotel deosebea patru tipuri de cauze: materiale;

formale; eficiente æi finale, iar Pitagora împãråeamatematica în patru secåiuni (quadrivium): teorianumerelor absolute sau aritmetica; teoria numereloraplicate sau muzica; teoria mãrimilor în stare staticãsau geometria æi teoria mãrimilor în stare de miæcaresau astronomia.

Arina: Platon susåinea cã ideea de frumos se caracterizeazãprin: ordine, simetrie, armonie æi mãsurã.

Cristina: Mitologiile sunt æi ele o mãrturie. De pildã, mitologiileMesopotamiei cinstesc patruzei fundamentali, iar mitolo-gia iranianã susåine cã luptadintre bine æi rãu dureazã patruepoci. Buddha proclamã patruadevãruri esenåiale: existenåasuferinåei; cauzele ei; posibili-tatea eliberãrii suferinåei;calea suprimãrii suferinåei.

Cabiria: Subliniez cã patru este numãrulliterelor care alcãtuiesc nu-mele celui dintâi om, Adam!

Cristina: Vreau sã adaug cã, pentruindienii din America de Nord,patru reprezintã un principiu de organizare æi o foråã.În viziunea lor, spaåiul e împãråit în patru pãråi; timpulare patru mãsuri (ziua, noaptea, luna, anul); plantelesunt constituite din rãdãcinã, tulpinã, floare æi fruct;vârstele reprezintã: copilãria, tinereåea, maturitateaæi bãtrâneåea; patru sunt virtuåile fundamentale

Arina în Åara Numerelor 45

Platon

Page 48: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

ale bãrbatului: curajul, puterea de a îndura, genero-zitatea, fidelitatea, iar ale femeii: îndemânarea, ospi-talitatea, loialitatea, fecunditatea.

Arina: Aici e locul sã-l amintim pe vestitul medic grecHipocrat (c.460-c.377 î.e.n.), care deosebea patru ti-puri de temperament: sangvin, coleric, flegmatic, melan-colic.

Cristina: Lucrurile se leagã. Carl Gustav Jung admite cã proce-sele psihice se bazeazã pe patru funcåii fundamentaleale conætiinåei: gândirea, sentimentul, intuiåia, senzaåia.

Sorin: Într-adevãr, acestea sunt înzestrãrile psihologice cucare ne naætem, dar cred cã ar trebui adãugat, tot înspiritul viziunii lui Jung, cã psihicul uman este construitdintr-un ansamblu de structuri arhetipale care cuprind:binele; eul; umbrele; complexul animus-anima.

Numãrul 1: Æi acum sã vi-l prezint pe colegul 5.Cabiria: Aici sunt multe de comentat. La început de tot,

oamenii numãrau pe degetele unei singure mâini. Laorigine, cuvântul sanscrit care-l desemneazã pecinci, panca, înseamnã mânã sau, mai precis, întindemâna. Limba românã l-a moætenit din latinescul quinque.

Arina: Numãrul 5 reprezintã suma lui 2 æi 3, deci sumaprimului numãr par cu primul numãr impar sau sumaprimelor douã numere prime. Situat în centrulprimelor nouã numere, el ilustreazã unirea, echili-brul, armonia.

Cabiria: Arina, vreau sã remarc rolul Numãrului 5 ca principiuvital la hinduæi æi ca cifrã fastã în Islam.

Cristina: Din câte ætiu, hinduæii considerau cã fiecare om estealcãtuit din cinci elemente: conætiinåã, reprezentãri,foråele karmei, simåuri, înveliæul material.

Arina: Eu aæ aminti primele cinci cãråi ale Vechiului Testa-ment, atribuite lui Moise: Pentateuhul (în limba

46 Eliza Roman

Page 49: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

greacã, pente = 5, têukhos = carte), în denumireaebraicã Tora = Legea, æi care cuprinde: Geneza,Exodul, Leviticul, Numerii, Deuteronom.

Sorin: În America, sacralizarea numãrului 5 era legatã deprocesul de germinare a porumbului, a cãrui primãfrunzuliåã iese din pãmânt, de regulã, la cinci ziledupã însãmânåare, glifa lui 5 fiind, frecvent, o mânã.Iar la azteci, Zeul 5 (Zeul Porumbului Tânãr) erapatronul atât al muzicii, cât æi al dansului.

Cabiria: Apropo, chinezii foloseau în muzicã, încã dinVechime, scara pentatonicã, adicã cea care cuprindedoar cinci sunete în cadrul octavei.

Sorin: Mie 5 îmi evocã trandafirul cu 5 petale, dar æi Steaualui Venus, simbol al feminitãåii.

Arina: N-o sã mã credeåi, pe 5 îl gãsim æi în sport. Pentatlonul(în greacã, pente = 5, athlon = luptã) reprezintã celecinci exerciåii atletice ale Antichitãåii: lupte, alergãri,sãrituri, aruncarea discului æi aruncarea suliåei.

Cristina: Sã pãrãsim sportul, pentru a menåiona cã existã cincitipuri de comunicare: interpersonalã; interpersonalãdiadicã; de grup; publicã æi de masã.

Numãrul 1: Vecinul Numãrului 5 este Numãrul 6. Numele luiprovine din sanscritã – æaæ –, care, cu mici modi-ficãri fonetice, poate fi recunoscut în latinã – sex, înfrancezã – six, în slavonã – æesti, în românã – æase.E, oare, un simplu accident fonetic?

Arina: Domnule 6, sunteåi, de fapt, un numãr perfect! Ce e maimult decât adevãrul cã Lumea a fost creatã în æase zile!

Sorin: Æase este numãrul hexametrului biblic, iar hexagonulstelat reprezintã pecetea lui David sau scutul luiSolomon (Hexagrama a fost simbolul secret al preoåilorastronomi, fiind, apoi, adoptat de regii israelieni).

Arina în Åara Numerelor 47

Page 50: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Cabiria: Convingerile musulmanilor se întemeiazã pe æaseizvoare: Allah, Profetul Mahomed, Coranul, Angeolo-gia, Cãråile (Tora lui Moise, Psalmii lui David,Evangheliile) æi Escatologia (credinåa în viaåa viitoare).

Numãrul 1: Æi acum, graåiosul Numãr 8. Are æi el origine san-scritã, unde i se spunea aæto.

Arina: Opt al nostru provine din latinescul octo.Sorin: Bun! Sã trecem la semnificaåii. Cabiria: Opt este numãrul petalelor de lotus! În muzicã, vor-

bim de octavã.Arina Opt e legat de Veænicie! Sfântul Augustin vorbeæte

despre Ziua a Opta ca despre aceea care marcheazãEternitatea.

Numãrul 1: Ce vã spune Numãrul 9, pe care am plãcerea sã vi-lprezint acum?

Sorin: Mie îmi evocã cele nouã muze ale Antichitãåii gre-ceæti: Clio (muza istoriei), Euterpe (muza muzicii),Thalia (muza comediei), Melpomene (muza trage-diei), Terpsichore (muza dansului), Erato (muzapoeziei erotice), Polimnia (muza poeziei religioase),Urania (muza astronomiei), Caliope (muza poezieiepice, a elocinåei). Cred cã n-am omis pe nici unadintre cele nouã fiice ale lui Zeus.

Cristina: Mie 9 îmi evocã cele 9 ceruri de care vorbeæte DanteAlighieri, în Infernul.

Arina: Îmi amintesc cã bunicii mele îi plãcea sã spunã:„Peste nouã mãri æi nouã åãri æi peste nouã ape mari“(Povestea lui Harap Alb), pentru a sugera o maredepãrtare.

Numãrul 1: Am mai putea observa cã 9 este ultima æi cea maimare dintre unitãåile exprimate printr-o singurã cifrã.Originea sanscritã nevan se simte în latinesculnovem, de unde, în românã, nouã, în francezã neuf etc.

48 Eliza Roman

Page 51: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Despre ultimul membru al Clubului, Numãrul 10, ceputem afla?

Numãrul 1: Domnul 10 are o poziåie privilegiatã. Încheie decadaprimelor numere æi reprezintã baza de numeraåie celmai folositã.

Arina: Deæi este cel din urmã numãr din grupul unitãåilorsimple, spre deosebire de confraåii Domniei Voastreeste notat prin douã cifre: 1 æi 0.

Numãrul 1: Iatã denumirile lui zece în diferite limbi indo-europene: în avestã – limba lui Zarathustra (Zoroastru) –se spunea desa; în greacã – deka; în latinã – decem,care în limba românã a devenit zece.

Cabiria: Decem e înrudit fonetic cu digiti, degete. Omul are10 degete.

Numãrul 1: În germanã, Zehn = 10 se trage din Zehe, careînseamnã degetele de la picioare!

Cristina: Chiar dacã e o parantezã în discuåia noastrã, aæ adãugacã 10 este numãrul categoriilor lui Aristotel: esenåa,cantitatea, calitatea, relaåia, locul, timpul, situaåia,posesia, acåiunea, proprietatea.

Sorin: Eu sunt fascinat de rolul Numãrului 10 în Cabalã.Arina: Ce legãturã au misterele, chestiile oculte cu un numãr

atât de important ca 10? Æi ce este, de fapt, Cabala?Cabiria: Sã luãm, de exemplu, Lexiconul Herder al întâlnirii

iudeo-creætine, apãrut la Editura Humanitas, în anul2000. Aici, avem urmãtoarea definiåie: „Textual,Cabala înseamnã tradiåie, transmitere, prelucrare æicontinuare. Prin ea se înåelege o miæcare cu caractermistico-spiritual... a iudaismului...“

Cristina: Mie mi se pare mai potrivitã definiåia lui AlexandruÆafran, fostul æef-rabin al Cultului Mozaic dinRomânia æi preæedinte al Federaåiei Comunitãåilor

Arina în Åara Numerelor 49

Page 52: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Evreieæti din România. Cartea sa, ÎnåelepciuneaCabalei, a fost tradusã în toatã lumea. La noi, aapãrut la Editura Hasefer, în anul 2000. „Cabala –spune Alexandru Æafran – este o tradiåie oralã elaboratãreligios, spiritual æi intelectual de cãtre o elitã, careîl face pe om mai înåelept, îl ajutã sã pãtrundã înmister, în esenåã“.

Sorin: De fapt, ideea de bazã a Cabalei este aceea cã Biblia,mai exact Vechiul Testament, reprezintã un mesajcodificat, care poate fi înåeles numai prin aplicareaunor tehnici de decriptare ce leagã cuvintele denumere. Prima dintre aceste tehnici poartã numele deGematria. Ea presupune însumarea numerelor cores-punzãtoare literelor care alcãtuiesc un cuvânt, dupãcare se cautã alte cuvinte caracterizate prin aceeaæisumã a literelor, în ideea cã între ele trebuie sã sub-ziste o legãturã tainicã æi cã prin înlocuirea unui termencu altul se obåine sensul profund al textului.

Arina: Parcã încep sã pricep.Cabiria: Sorin trebuia sã precizeze cã literele alfabetului ebraic

au corespondenåã în numere. Prima literã a acestuialfabet, corespunzând lui a, se numeæte alef æi esteegalã cu 1; cea de a doua literã, bet, este egalã cu 2;cea de a treia, ghimel, cu 3 æ.a.m.d. Iatã numereleebraice æi denumirile lor:

1 alef 6 waw 20 kaf 70 ašn 200 reš2 bet 7 zain 30 lamed 80 pe 300 šin3 ghimel 8 het 40 mem 90 æade 400 taw4 dalet 9 tet 50 nun 100 kof5 hé 10 yod 60 samek

50 Eliza Roman

Page 53: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Aæ vrea sã-mi spuneåi de unde vine cuvântul Cabalã.Sorin: Etimologic, de la ebraicul qabbalah, care înseamnã

tradiåie. Mie mi se pare fascinantã ipoteza cã aredrept iniåialã litera kaf. Or, dupã cum se observã dintabelul pe care l-am prezentat, kaf este egalã cu 20,iar bet cu 2. Deci Cabala însumeazã pe 20 cu 2,obåinându-se 22. Particula la de la sfâræitul cuvântuluiCabalã înseamnã în ebraicã putere. În consecinåã,înåelesul cuvântului Cabalã este puterea lui 22.

Arina: Pânã la urmã, care este în Cabalã rolul lui 10?Sorin: Biblia ne spune cã Legea i-a fost revelatã lui Moise

pe Muntele Sinai prin Cele Zece Porunci.Arina: Adicã prin Decalog. În greacã, deka = zece, logos =

cuvânt. Cabiria: Cabala menåioneazã, de la început, cã Domnul a

creat Lumea prin 32 de cãi ale misterioasei saleînåelepciuni.

Sorin: Aceste 32 de cãi sunt compuse din cele 10 numerefundamentale – denumite sefiroturi – æi cele 22 delitere ale alfabetului ebraic.

Arina: Sefirot înseamnã în ebraicã numãr? Cabiria: Ca sã înåelegi mai uæor, Arina, îåi precizez cã rãdãcina

unui cuvânt ebraic se prezintã sub forma unui numãrmic de consoane, între care se insereazã vocale;acestea dau sensul cuvântului. Ansamblul con-soanelor constituie scheletul consonantic, i-aæ zicepartea cea mai rezistentã a cuvântului. Or, rãdãcinaconsonanticã sau scheletul consonantic al substan-tivului sefirot, ca æi al verbului safer, este sfr.Inserând vocale, cuvintele devin sefirot æi safer(numãr æi a numãra). De altfel, în arabã, înruditã cuebraica, ambele fiind limbi semitice, scheletulconsonantic sfr dã sifr (cifrã, zero).

Arina în Åara Numerelor 51

Page 54: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Sorin: O micã precizare. Alexandru Æafran susåine cãsefirot vine de la verbul safer = a socoti, a numãra.

Arina: Cum aratã cele zece sefiroturi, adicã primele zece numere?Sorin: Am în agenda mea desenul lor. Aceste zece sefiro-

turi reprezintã:

Cabiria: Practicanåii Cabalei fac asocieri incitante întrenumãr æi cuvânt.

Sorin: Alegând cuvinte frecvent folosite în VechiulTestament, putem înåelege în ce fel procedauisraeliåii pentru a obåine corespondenåe între nume æinumere. Sã luãm, de pildã, urmându-l pe orientalis-tul Oskar Fischer, strãlucit cercetãtor al mecanismu-lui Gematriei (Der Ursprung des Judentums inLichte alttestamentlicher Zahlensymbolik, Leipzig,

52 Eliza Roman

1. Coroana2. Înåelepciunea3. Inteligenåa sau Spiritul4. Mila5. Rigoarea6. Frumuseåea7. Victoria8. Gloria9. Fundamentul10. Regatul

Fig. 2. Cele zece sefiroturi

1

23

45

6

7

9

8

10

Page 55: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

1917), numele proprii de cea mai mare importanåãdin acest text, æi anume Iehova (Dumnezeu), Moise,Sinai, Tora, æi sã calculãm cãror numere le corespund:

Descompunem sumele:

Cabiria: Observ cã numele lui Dumnezeu, al lui Moise, allocului unde Iehova i s-a arãtat acestuia – MunteleSinai – æi Legea care i-a fost revelatã au în comunnumãrul 13.

Sorin: Revenind la Vechiul Testament æi oprindu-ne la grupulpatriarhilor lui Israel, tot dupã Oskar Fischer, se obåine:

Arina în Åara Numerelor 53

Numele Valoarea literelor Totalproprii Iehova yod = 10; hé = 5; waw = 6; hé = 5 26Moise mem = 40; waw = 6; šin = 300; hé = 5 351Sinai samek = 60; yod = 10; nun = 50; yod = 10 130Tora taw = 400; waw = 6; reš = 200; hé = 5 611

26 213 13

1

351 3117 3

39 313 13

1

130 265 513 13

1

611 1347 47

1

26 = 2 x 13351 = 27 x 13130 = 10 x 13611 = 47 x 13

Numele Corespondentul numeric al literelor Total litere

Ab-Hamon alef=1; bet = 2; hé = 5; mem = 40; waw = 6; nun = 50 104(Abraham,Avram)Isaac yod = 10; sade = 90; het = 8; kof = 100 208Iacob yod = 10; ain = 70; kof = 100; bet = 2 182Israel yod = 10; šin = 300; reš = 200; hé = 5; alef = 1;

lamed = 30 546Iosif yod = 10; waw = 6; samek = 60; pé = 80 156

Page 56: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Sorin: Prin descompunerea numãrului total al literelorobåinute: 104, 208, 182, 546, 156, apare acelaæi fac-tor comun 13. Oskar Fischer susåine cã 13 estenumãrul lui Iehova!

La Clubul Prieteniei

Înarmatã cu atâtea cunoætinåe noi, Arina se decide sã viziteze æialte cluburi. Aæa ajunge la Clubul Prieteniei. În timp ce bea un sucde ananas, aude urmãtoarea conversaåie:

Numãrul 1: Am aflat cã, ieri, Numãrul 28 a dat o petrecere anumerelor prietene. Fiindcã existã o Lege a prietenieidintre numere.

Numãrul 2: În ce constã aceastã lege?Numãrul 1: Douã numere sunt declarate prietene dacã, adunând

factorii cu care se divide primul dintre ele, îl gãsimpe cel de al doilea æi, tot astfel, dacã adunãm factoriicare divid pe cel de al doilea îl gãsim pe cel dintâi.

Numãrul 2: Nostim! Când s-a observat asta?Numãrul 1: Încã din Vechime oamenii au sesizat aceastã proprie-

tate la numerele 220 æi 284. Într-adevãr, prima perechea fost descoperitã în anul 540 î.e.n. de cãtre Pitagora,unul dintre cei mai strãluciåi teoreticieni ai numerelor.

Numãrul 2: Ia sã vãd dacã e adevãrat: 220 se divide cu 1, 2, 4, 5,10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Le adun æi avem 284. Sãfac aceeaæi operaåie æi pentru 284. Se divide cu 1, 2,4, 71, 142. Le adun æi dã exact 220.

54 Eliza Roman

104 252 226 213 13

1

104 = 2 x 13208 = 16 x 13182 = 14 x 13546 = 42 x 13156 = 12 x 13

208 2104 2

52 226 213 131

182 291 713 13

1

546 2273 3

91 713 13

1

156 278 339 313 13

1

Page 57: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Numãrul 1: Oamenii au fost impresionaåi de aceastã proprietate,încât numerele prietene au pãtruns în magie, în astro-logie, în vrãjitorie, au fost utilizate la stabilireahoroscoapelor. Nu mai spun câte amestecuri de poåiunis-au fãcut pentru câætigarea dragostei æi câte afacericu fabricarea talismanelor!

Numãrul 2: Æi cum a evoluat cunoaæterea „intimitãåii“ numerelorprietene?

Numãrul 1: La 1636, matematicianul francez Pierre de Fermat(1601-1665) a descoperit a doua pereche de numereprietene: 17 296 æi 18 416. În secolele urmãtoare, aufost identificate câteva sute.

Numãrul 2: Deci au trecut mai bine de douã milenii pânã ladescoperirea celei de a doua perechi!

Elita numerelorÎn autobuzul care o duce acasã, Arina surprinde o convorbire

între douã tinere pe care le vãzuse la Club. Îæi spuneau pe nume:Elly æi Lidia.

Lidia: Ce înåelegi tu prin „elita numerelor“?Elly: Simplu. Mulåimea numerelor perfecte.Lidia: Ætiu ce înseamnã numere prietene, dar n-am auzit de

numere perfecte.Elly: Uite, de exemplu, 6 este un numãr perfect, întrucât

dacã îi adunãm factorii dãm tot peste 6 (1 + 2 + 3).Lidia: Existã æi alte numere perfecte?Elly: Sigur. Încã în Antichitate, pe lângã 6 erau cunoscute

alte trei numere perfecte: 28, 496 æi 8128.Lidia: Sã mã conving cu calculatorul meu:

;

.

Ai dreptate. Pentru 8 128 te cred pe cuvânt.

2481246231168421496 ++++++++=

14742128 ++++=

Arina în Åara Numerelor 55

Page 58: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Elly: În Antichitate, s-a mai observat cã unitãåile simplecuprind un singur numãr perfect. Printre zeci, sute æi mii,de asemenea, se gãseæte doar câte un singur numãr perfect.

Lidia: Exceptând Antichitatea, au mai fost identificate æialte numere perfecte?

Elly: Da, dar sunt foarte lungi. Åin minte cã al æapteanumãr perfect descoperit în secolul al XVI-lea estede ordinul bilioanelor.

Lidia: Mi-ar plãcea sã calculez æi eu numere perfecte.Dã-mi formula magicã.

Elly: Matematicianul grec Euclid (sec. III î.e.n.), cãruia îidatorãm prima expunere sistematicã a geometriei æiatâtea contribuåii în aritmeticã, a dat o foarte fru-moasã teoremã. Åi-o spun în termenii moderni:Condiåia necesarã æi suficientã ca un numãr naturalpar n sã fie perfect este ca n sã fie de forma:n = 2t (2t+1 – 1) = 2t x p,unde t este un numãr natural, iar p un numãr prim.

Lidia: Existã formulã æi pentrunumerele perfecte impare?

Elly: Aici e aici. De la Euclid încoace,lumea se întreabã în zadar dacãexistã numere perfecte impare,åinând cont cã nu s-a gãsitniciodatã vreunul æi nu s-a do-vedit cã ar exista un astfel despecimen.

Carismaticul π pe post de amfitrion

Arina ajunge, în sfâræit, la un club select: Clubul NumerelorMãiestre. Portarul îi refuzã accesul pe motiv cã nu este în åinutã de

56 Eliza Roman

Euclid

Page 59: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

searã. Dupã îndelungi parlamentãri, ea îl înduplecã spunând cã esteo turistã venitã din depãrtãri, care nu cunoaæte criteriile de admitere

în Club, æi cã doreæte sã stea de vorbã cu Maestrul . Interiorul Clubului o impresioneazã: vitralii, lambriuri, picturi,

mobilã stil. Într-un salon arab, îl zãreæte pe Numãrul i, traverseazã,apoi, un fel de galerie cu oglinzi – à la Versailles – æi ajunge în

bibliotecã. Aici îi vede pe , care mediteazã, æi pe Numãrul C, carestudiazã un manuscris. Cãlãtoria ei se întrerupe atunci când, într-un

salon Louis XV, dã cu ochii de Numãrul , care discutã cu

Numãrul e. Portarul o avertizase cã Maestrul obiænuieæte sã-æipetreacã serile dialogând cu tânãrul sãu prieten. La nedumerireaArinei, care gãseæte cã între cei doi e o diferenåã de vârstã enormã,de vreo opt secole, un tânãr se oferã sã-i dea lãmuririle de rigoare.Amiciåia aceasta se bazeazã pe faptul cã destinele acestor douãnumere sunt strâns împletite. Când, în 1873, s-a descoperit identi-tatea lui e – adicã transcendenåa lui – matematicienii au intuit cã vor

putea gãsi o cale pentru a decide asupra naturii lui . Æi, într-adevãr,nouã ani mai târziu, matematicianul german Herman Ferdinand vonLindemann (1852-1939) a realizat aceastã performanåã, folosindingenios o formulã a matematicianului elveåian Leonhard Euler(1707-1783), bazatã pe virtuåile Numãrului e.

Arina Transcendenåa lui æi e...Tânãrul: Numãrul care nu poate fi rãdãcina unei ecuaåii algebrice

de forma: a0en + a

1en-1 + a

2en-2 + … + a

n-1e + a

n= 0 cu

coeficienåi raåionali e transcendent. Cred cã aåi cititcartea despre numere scrisã de Florica T. Câmpan.

Se face acolo referire la strânsa relaåie dintre æi eæi se aratã cã cercul – cea mai perfectã curbã – nu

poate exista fãrã , iar spirala logaritmicã – singuracurbã asemenea ei înseæi – nu poate existã fãrã e.

π

p

p

p

p

p

2

π

Arina în Åara Numerelor 57

Page 60: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina æi tânãrul se aproprie de masa celor doi prieteni.

Arina: Bunã seara! Vã rog sã-mi îngãduiåi sã mã prezint:sunt Arina Stoenescu, elevã la Liceul „Spiru Haret“din Bucureæti.

: Bine ai venit la noi! Arina: Maestre, din lecturile mele am aflat multe despre Dv.

æi am dorit sã vã cunosc personal.

: Ce ai mai dori sã ætii despre mine?Arina: Întâi, v-aæ ruga sã-mi spuneåi ce vã amintiåi din anii

copilãriei.

: Nu prea multe.Arina: Cui i-a venit ideea cã lungimea cercului se poate

mãsura cu ajutorul diametrului sãu?

: Probabil, mai multora. Or fi realizat cã lungimeaunui cerc este cam de trei ori mai mare decât diametrullui. Evident, nu se folosea termenul cerc sau diametru.Babilonienii pretindeau cã valoarea mea este egalãcu 3,125, iar egiptenii cã este egalã cu 3,160.

Arina: Toate popoarele v-au evocat. Sunteåi pomenit petãbliåele de lut ale babilonienilor, în papirusurileegiptene, în scrierile hinduæilor, ca æi în cele dinsudul Mexicului, din Honduras sau din Guatemala.Æi în Biblie se vorbeæte despre Dv. În Cartea a Treiaa Regilor (7:23), se spune cã la construirea caseiregale a lui Solomon a fost turnat în aramã un vas de10 coåi de la o margine la cealaltã, rotund de jur-împrejur, înalt de cinci coåi æi gros cât îl cuprindea osfoarã lungã de 30 de coåi. Ce v-a marcat viaåa?

: Cuadratura cercului!… Sã vã explic. Cuadratura cer-cului constã în construirea unui pãtrat având aceeaæiarie cu a unui cerc dat, numai cu ajutorul riglei æi al

π

p

p

p

p

58 Eliza Roman

Page 61: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

compasului. Problema aceasta a trezit curiozitate, apreocupat timp îndelungat pe oamenii de ætiinåã æi pe ama-tori, a dezlãnåuit multe pasiuni.

Arina: De care matematician vã simåiåi cel mai apropiat?: Bineînåeles, de Arhimede (c. 287-212 î.e.n.). De la

acest mare învãåat grec au rãmas, în lucrareaMãsurarea cercului, urmãtoarele teoreme:– Aria unui cerc este egalã cu aria unui triunghi drept-unghic, care are drept catete raza æi lungimea cercului;– Raportul dintre aria cercului æi aria pãtratului cir-

cumscris lui are o valoare apropriatã de ;

– Raportul dintre lungimea cercului æi diametrul sãu

este cuprins între æi , adicã .

Sã reåinem cã Arhimede a lucrat cu un poligon de 96de laturi æi a calculat primele douã zecimale exacteale mele.

Arina: Era de aæteptat! Carismaticul se pretinde dis-cipolul vestitului Arhimede,care a marcat aritmetica, geo-metria æi fizica æi care a fost unprecursor al calculului integral.(Apoi, cu voce tare) Goanadupã identificarea unui numãrcât mai mare de zecimale exacteseamãnã cu urmãririle din fil-mele poliåiste. Am impresia cãmatematicienii æi, mai ales,amatorii au fost cuprinæi deo adevãratã nebunie mãrind

π

713

71103 << π

713

7 1

1 0

3

1 4

1 1

π

Arina în Åara Numerelor 59

Arhimede

Page 62: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

necontenit numãrul laturilor poligoanelor, pentru aobåine un numãr cât mai mare de zecimale.

: Dacã, în secolul al III-lea e.n., chinezul Liu Huei aobåinut cinci zecimale exacte cu ajutorul unui poligonde 3 072 de laturi, Djemšed al Kaæi, nãscut în Iran,dar lucrând la Observatorul din Samarkand (Uzbekis-tan), a obåinut, în secolul al XV-lea, 17 zecimaleexacte folosind un poligon cu peste opt sute de mili-oane de laturi. Europenii, rãmaæi în urmã, realizeazãprogrese mult mai târziu, prin belgianul AdrianusRomanus (1561-1615), pe adevãratul sãu nume AdriaenVan Roomen, cel mai celebru dintre emulii matema-ticianului francez François Viète (1540-1603), carene este cunoscut pentru paæii realizaåi spre sim-bolizarea în algebrã æi pentru determinarea a nouãzecimale ale lui . În 1590, el obåine 15 zecimalecu ajutorul unui poligon cu peste un miliard de laturi.Doar datoritã unui filolog de meserie – italianulGiuseppe Giusto Scaliger (1540-1609) – europenii îidepãæesc pe al Kaæi, identificând, mai întâi, 35 dezecimale pe un poligon cu 4 pentalioane de laturi.

Arina: Cu cifrele astea astronomice mi se face rãu!: Împãtimiåii, contaminaåi de „molima“ cuadraturii æi

urmãrind obåinerea unei precizii sporite, ajung la 72æi chiar la 100 de zecimale. Astronomul JohnMachin (1685-1715) a obåinut 100 de zecimaleexacte. Matematicianul englez W. Jones (1675-1749) publicã, în 1706, calculele lui Machin æi folo-seæte pentru prima oarã notaåia lui pentru raportuldintre lungimea cercului æi diametrul lui. El m-abotezat cu litera greacã , de la cuvântul periphereia,care înseamnã circumferinåã (marginea cercului).

π

p

p

p

p

60 Eliza Roman

Page 63: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Dar notaåia, dupã câte ætim, a fost adoptatã 50 de animai târziu, când Euler a folosit-o în Mecanica sa.

: Corect. Nu mai spun cã goana dupã zecimale s-aînteåit. În 1719, matematicianul francez Thomas F.de Lagny (1660-1734) a calculat 127 de zecimale.Euler, desãvâræit calculator, a reuæit în 80 de ore sãajungã la aceeaæi performanåã æi sã corecteze în acelaæitimp o eroare a lui Lagny. În sfâræit, în 1873, WilliamShanks (1812-1882) ajunge sã calculeze 707 zeci-male, de data aceasta cu ajutorul logaritmilor. Dreptomagiu pentru performanåa sa, cele 707 zecimalefigureazã pe o frizã de la Palatul Descoperirilor dinParis. O datã cu apariåia calculatorului electronic, per-formanåele au crescut fantastic. În 2005, dupã infor-maåia inseratã de conferenåiarul francez BenoitRittaud în revista „L’Histoire“, nr. 304, din decembrie2005, s-a ajuns la peste o mie de miliarde de zecimale.

Arina: Am citit cã, în toate timpurile, cuadratura cercului aexercitat un fel de vrajã universalã. Din China pânãîn Anglia, din Iran pânã în Franåa, din India pânã înEgipt, în Antichitate, ca æi în epoca Renaæterii, petimp de rãzboi sau de pace, pasionaåii cuadraturiicercului au lucrat fãrã rãgaz. În 1775, AcademiaFrancezã a refuzat primirea memoriilor care trataudespre cuadratura cercului, deoarece amatorii nu maipridideau sã trimitã lucrãri eronate, încredinåaåi degeniul lor. E adevãrat cã oamenii au ajuns sã pariezepe averea lor cã au descoperit soluåia?

: Sigur cã da. Un mare fabricant din Lyon, convins cãa dezlegat taina lui , a pierdut la un pariu 8 000 defranci, iar cavalerul de Caussans a pus rãmãæag peîntreaga lui avere de 300 000 de franci!

πp

p

Arina în Åara Numerelor 61

Page 64: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Dincolo de asta, încercãrile de a dezlega taina lui au ajutat, prin contribuåii colaterale, la dezvoltareamatematicii.

: Fireæte. Dacã celebrul geometru grec Hipocrat dinChios (secolul al V-lea î.e.n.) a realizat cã nu poatedovedi cuadratura cercului, a arãtat, în schimb, cã existãaæa-numitele lunule, care au arii egale cu unele pãtrate.

Arina: De lunule n-am auzit.: Lunulele sunt figuri plane mãrginite de douã arcuri

de cerc cu concavitatea îndreptatã în acelaæi sens.Hipocrat din Chios a fãcut cuadratura lunulei avândca margine superioarã un semicerc æi ca margineinferioarã un arc de cerc. Arhimede a arãtat cãlunulele nu sunt singurele suprafeåe cuadrabile, cãexistã æi alte cazuri, mai complicate.

Arina: În tentativele de gãsire a cuadraturii au fost date laivealã giuvaere matematice, ca în cazul matemati-cianului belgian Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667). Dar marele câætig al matematicienilor a fostcã æi-au dat seama cã nu sunt de ajuns zeci de zeci-male, cã ar trebui o mie sau, poate, mai multe mii, casã se lãmureascã natura lui .

: Matematicienii au înåeles cã eu nu semãn cu un numãrfracåionar, ci mai degrabã cu unul iraåional. Æi aæaam ajuns sã constitui un imbold al cãutãrilor, sã con-tribui la orientarea cercetãrilor matematice moderne.

Arina: Dupã câte ætiu, chiar æi mai înainte, lucrãrile stimu-late de cãutarea cuadraturii cercului au adus înnoiriîn matematicã, variate încercãri ingenioase legate demetoda lui Arhimede, de pildã, metoda izoperime-trelor (adicã a poligoanelor cu acelaæi perimetru),folosirea produselor æi fracåiilor continue infinite.

πp

p

p

p

62 Eliza Roman

Page 65: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Apariåii fermecãtoare, metodele analitice s-au dovedita fi rodnice. Acum aæ întreba: a existat, la greci, ocrizã provocatã de neînåelegerea iraåionalelor?

: A existat, dar au depãæit-o atunci când s-a ajuns laconcluzia cã sunt mai multe feluri de numere iraåionale.

Arina: Adicã æi , æi Numãrul de Aur.: Vã semnalez ceva care i-a stupefiat pe matemati-

cieni. Începând cu Newton (1642-1727) æi cu Euler,s-a observat cã unele serii infinite de numerefracåionare au o sumã care se explicã prin , æiaceasta pe bazã de calcule în care cercul nu-æi bagãde loc coada. S-a pus atunci întrebarea dacã genezamea e pur geometricã. Mister! În plus, GeorgesLouis Leclerc, conte de Buffon (1707-1788), natu-ralist æi scriitor francez, unuldintre precursorii concepåieievoluåioniste, a arãtat cã intervine în probabilitãåi.

Arina: M-aæ grãbi sã adaug – maimult ca sã mã confirmaåi – cã,în preocupãrile pentru decrip-tarea tainelor Numãrului ,s-a implicat Johann HeinrichLambert (1728-1777), fizi-cian, astronom, matematician æifilosof de origine germanã, care a demonstrat iraåio-nalitatea lui . Apoi, matematicianul germanFerdinand von Lindemann a stabilit riguros, în 1882,cã numãrul este transcendent æi cã, deci, cua-dratura cercului cu rigla æi compasul este imposibilã.El a dezvoltat metode de rezolvare a ecuaåiilor deorice grad, folosind funcåiile transcendente.

π

p

p

p

p

p

p

p

Arina în Åara Numerelor 63

Sir Isaac Newton

Page 66: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

: Vãd cã ætiåi multe despre viaåa mea.Arina: Viaåa Domniei Voastre ar putea face obiectul unui

roman sau al unui serial TV.: Apropo de literaturã, aflaåi cã Aristofan (445-386

î.e.n.) rãmâne primul care m-a imortalizat în beletristicã.El l-a ales ca protagonist pe Menton, pe care l-a înfãåiæatîn Oraæul Pãsãrilor târându-æi cu greu compasul æirigla sa enormã pentru a transforma cercul în pãtrat.

Arina: Toate bune, dar nu ne-am liniætit cu interogaåiileprivindu-l pe . Cu ajutorul calculatorului i sedeterminã tot mai multe zecimale.

: Da de unde! Dacã transcendenåa lui a fost unrezultat care i-a încântat pe matematicieni la sfâræitulsecolului al XIX-lea, iatã cã la sfâræitul secolului alXX-lea ei au început sã considere acest rezultat caprea abstract, fiindcã nu spune nimic despre chestiunea-cheie a repartizãrii zecimalelor. S-au gãsit peste omie de miliarde de zecimale; dar cum apar ele, suntextrase la Loto? Deci se anunåa o nouã cursã.

Arina: Poate o sã realizez eu un astfel de scenariu. Înaintede a-l scrie, voi consulta site-ul lui Bores Gourevich: æilista aproximaåiilor exotice ale Numãrului .Trebuie sã-mi procur æi revista „La Recherche“ din24 noiembrie 2005, care a consacrat un dosar lui .

În prelungirea discuåiei de la Club: Numãrul e

Dupã ce îi mulåumeæte Maestrului , Arina pleacã spre casã. Înmetrou, îl întâlneæte pe colegul ei Dorel. Dupã un scurt dialog proto-colar, ea îl roagã sã-i spunã tot ce ætie despre legãtura dintre æi e.π

p

p

p

pp

p

p

p

64 Eliza Roman

Page 67: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Dorel: Pãi, sã începem, Arina: în 1873, matematicianulfrancez Charles Hermite (1822-1901) a demonstrattranscendenåa lui e.

Arina: Æi cum s-a ajuns de aici la ?Dorel: Cinci ani mai târziu, Lindemann a avut ideea inge-

nioasã de a folosi formula stabilitã de Euler, æianume: eiπ = – 1 æi de a åine seama cã ecuaåia pecare a gãsit-o prezintã o oarecare analogie cu ecuaåiape care Hermite a scris-o pentru e, deæi mai compli-catã.

Arina: Bine, dar Numãrul e cum s-a nãscut?Dorel: Geneza lui e legatã de apariåia logaritmilor. Pãrintele

„mirificilor logaritmi“ este matematicianul scoåianJohn Napier (Neper) (1550-1617). I-au fost necesari20 de ani pânã sã le vinã de hac. Etimologic, loga-ritm vine din grecescul logos = raport æi arithmos =numãr. Iar Napier a inventat logaritmul în dorinåasimplificãrii calculelor trigonometrice, atât de utileastronomilor, generalizând ideea mai veche a com-parãrii progresiilor aritmetice cu cele geometrice. Secunoaæte cã logaritmul reprezintã puterea la care tre-buie ridicat un anumit numãrpozitiv, numit bazã, spre aobåine numãrul dat. Loga-ritmul unui numãr x în bazã aeste y, dacã x = ay; avantajulapare lesne dacã baza folositãeste 10. Ætim cã 102 =100,deci 2 este logaritmul lui 100în baza 10 , iar 1010, adicã10 000 000 000, are loga-ritmul 10.

π

Arina în Åara Numerelor 65

John Napier (Neper)

Page 68: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Æi ce are asta cu Numãrul e?Dorel: Aici e cheia, pentru cã baza în care a lucrat Napier a

fost e.Arina: Deci îl cunoætea pe e.Dorel: Habar nu avea de existenåa lui. L-a dibuit pragmatic.

A gãsit cã era cel mai convenabil, cel mai comod æicel mai eficace numãr cu care se putea descurca.

Arina: Nostim! Cam ce valoare are e?Dorel: Valoarea Numãrului e aratã astfel; îåi dau numai æase

zecimale: e = 2,718281…Arina: Dar logaritmul lui e?Dorel: Isaac Newton a arãtat cã seria

are drept logaritm pe 1.

Arina: Îmi place!Dorel: Iar Euler a notat prin „l“ logaritmii lui Neper cu baza

e æi a calculat 23 de zecimale fãrã sã constate vreourmã de periodicitate. Au fost calculaåi, apoi, æi loga-ritmii în baza 10. Noi, la æcoalã, lucrãm cu logaritmizecimali. Tot Euler a exprimat, cu ajutorul lui e,cosinusul æi sinusul æi a descoperit surprinzãtoareaformulã care leagã Numãrul de e, adicã eiπ = – 1.π

...!

1....!3

1!2

1!111 ++++++=

ne

66 Eliza Roman

Page 69: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

SISTEME DE NUMERAÅIE

Arina îæi pune în ordine fiæele de studiu. Începe cu notele referi-toare la sistemele de numeraåie primitive egiptean æi aztec æi con-tinuã cu vechile tipuri de numeraåie la greci æi la romani, cu sis-temele de numeraåie alfabeticã folosite de evrei, greci æi arabi, apoicu cele care se referã la sistemele de numeraåie de poziåie: sumerian,babilonian æi mayaæ æi, în sfâræit, cu cele referitoare la sistemele denumeraåie chinez æi indian. Un capitol distinct al fiæierului cuprindenotele despre sistemul de numeraåie la români.

Cu æapte hieroglife egiptenii numãrau pânã la un milion

Încã din mileniul al III-lea î.e.n., egiptenii au stabilit un sistem denumeraåie zecimal. Acest sistem folosea semne speciale pentruunitãåi, zeci, sute, mii æi mergea pânã la un milion. Nodurile deordin superior erau plasate înaintea celor de ordin inferior. Deæipentru zero egiptenii nu au avut un semn special, l-au mânuitimplicit, lãsând un loc gol acolo unde trebuia sã figureze. Sistemulera greoi, fapt care explicã numãrul ridicat de greæeli detectate încalculele egiptenilor.

Din vremuri îndepãrtate, egiptenii înregistrau unitatea printr-o lini-uåã verticalã (un beåiæor), doi cu douã liniuåe verticale æ.a.m.d. Pentru anota un numãr ca 15, erau necesare 15 liniuåe, pentru 99 erau figurate99 de liniuåe, iar pentru un milion ar fi trebuit 1 000 000 de liniuåe!

Pentru a scrie numerele într-o manierã mai funcåionalã, mai eco-nomicoasã, egiptenii au fãcut urmãtoarele simplificãri: pentru 10 au

folosit un cârlig ∩∩, pentru 100 spirala , pentru 1 000 frumoasa

Page 70: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

floare de lotus, pentru 10 000 un deget, pentru 100 000 un mor-moloc, iar pentru un milion un zeu cu braåele ridicate.

Reproducem, mai jos, modul în care egiptenii au conceput figu-rarea numerelor:

Observãm cã, în scopul economisirii spaåiului, zecile æi unitãåileerau aæezate pe douã linii, deci o evoluåie, de la o scriere liniarã s-aajuns la una pe douã registre.

Sã dãm un exemplu de numãr incizat pe monumente. Bunãoarã,numãrul 4 357 era reprezentat prin juxtapunere, în felul urmãtor: 1 000,1 000, 1 000, 1 000, 100, 100, 100, 10, 10, 10, 10, 10, 1, 1, 1, 1, 1,1, 1, adicã erau figurate 4 flori de lotus, 3 spirale, 5 cârlige æi7 beåiæoare:

Fireæte cã aceastã modalitate – cum am mai spus – era destul degreoaie. Pentru numãrul 99 999 erau necesare 45 de semne, cât netrebuie nouã astãzi pentru a nota un miliard de miliarde înmulåit cuun miliard de miliarde, adicã 10414.

Cu vremea, egiptenii au încercat sã mai simplifice figurareanumerelor. Pentru numãrul 5 000 au utilizat cinci beåiæoare, iar

68 Eliza Roman

Fig. 3. Numeraåia hieroglificã

Fig. 4. Reprezentarea numãrului 4 357

Page 71: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

deasupra o floare de lotus (1 000); pentru 40 000 – patru beåe, iardeasupra un deget (10 000). S-a gãsit înregistrat numãrul 270 000 înmodul urmãtor: 270 æi deasupra un mormoloc (100 000). Pentrunumãrul 660 000 s-a recurs la douã rânduri de câte trei mormolociæi douã rânduri de câte trei degete (2 x 300 000 + 2 x 30 000).

Sensul de notare a numerelor era, la egipteni, de la dreapta lastânga.

Cele mai mari numere din epigrafia (ætiinåa inscripåiilor)egipteanã au fost descoperite într-un document din Hierakonpolis,oraæ foarte vechi, situat pe malul stâng al Nilului, datând din mile-niul al III-lea î.e.n. æi se referã la bilanåul unei prãzi de rãzboi:

a. 400 000 de bovine; b. 1 422 000 de capre; c. 120 000 deprizonieri.

Desluæirea inscripåiei – ne referim la planul inferior al acesteia –(vezi Fig. 7, p. 70) este la îndemânã, deoarece: a. boul care arededesubtul lui 4 mormoloci (câte 2 pe un rând) înseamnã 400 000de bovine; b. capra are la dreapta un zeu, care înseamnã un milion,æi dedesubt 4 mormoloci, care reprezintã numãrul 400 000, 2degete, adicã 20 000, iar dedesubtul zeului 2 nuferi, echivalând cu2 000. Însumând semnele, se obåine numãrul 1 422 000 de capre; c.prizonierul legat la mâini are dedesubt un mormoloc (100 000) æi 2degete (2 x 10 000), adicã 120 000 de prizonieri.

Arina în Åara Numerelor 69

Fig. 5. Reprezentareanumãrului 270 000

Fig. 6. Reprezentarea numãrului660 000

Page 72: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Am vãzut, din exemplele de mai înainte, în ce fel au reuæitegiptenii sã mânuiascã, doar cu ajutorul a æapte semne, numerelepânã la un milion, folosind scrierea hieroglificã (în greacã hieros =sfânt, gliphein = a grava).

Scrierea hieroglificã a fost modificatã de egipteni atunci când aurealizat avantajele unui alt suport pentru informaåii, în locul pietrei.Noul suport a fost papirusul, planta care creæte din belæug în DeltaNilului. Din hieroglifica monumentelor, o scriere discontinuã impusãde piatrã, a derivat scrierea cursivã, mai simplificatã, numitã hiera-ticã. A fost inventatã æi folositã în Vechiul Imperiu (2278-2160î.e.n.) La rândul ei, scrierea hieraticã a cunoscut un proces de sim-plificare. În secolul al VIII-lea î.e.n., a apãrut scrierea demoticã,

70 Eliza Roman

Fig. 7. Cel mai mare numãr vechi din epigrafia egipteanã(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Histoire comparée des numérations écrites.

Paris, 1975, p. 65)

Page 73: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

mult mai accesibilã æi, ca urmare, larg utilizatã de populaåie, precumæi în administraåie.

Arina în Åara Numerelor 71

Unitãåi Zeci Sute Mi i

Fig. 8. Scrierea primelor noduri la egipteni(hieroglifice, hieratice, demotice)

(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 59)

hier

oglif

ice

hier

atic

e

dem

otic

e

hier

oglif

ice

hier

atic

e

dem

otic

e

hier

oglif

ice

hier

atic

e

dem

otic

e

hier

oglif

ice

vech

i æi n

oi

hier

atic

e

dem

otic

e

Page 74: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

În tabloul precedent, observãm cã, de pildã, numerele 2, 3 æi 4din scrierea hieraticã seamãnã cu corespondentele lor din scriereahieroglificã, fiind obåinute prin juxtapunere, dar numerele 5, 7 æi 9erau notate cu ajutorul unor simboluri originale noi; numerele 6 æi8, deæi figurate cu ajutorul unor simboluri originale, pãstreazã cevadin faptul cã sunt pare. 60 æi 90 pãstreazã ceva de la 3, iar 80 cevade la 4. Iar 1 000 reprezintã stilizarea florii de lotus æ.a.m.d.

Tot în aceastã figurã se pot observa modificãrile survenite în celetrei tipuri de scriere pentru unitãåi, zeci, sute æi mii. Coloana I dincele patru compartimente reprezintã unitãåile, cea de a II-a zecile, aIII-a sutele æi a IV-a miile.

Adunarea a douã numere de tip hieroglific era foarte simplã: senumãrau simbolurile de aceaæi naturã æi se efectuau, apoi, reducerilenecesare.

Pentru înmulåire, egiptenii foloseau dublarea, ca æi cum înmulåi-torul ar fi fost scris în baza 2. Un exemplu ne poate uæuraînåelegerea. Fie 7 x 11. Se scria pe verticalã: 1 æi 7; 2 æi 7; 4 æi 7;8 æi 7; 16 æi 7, în felul urmãtor:

/ 1 7 / 2 14

4 28/ 8 5616 112

adicã 1x7 = 7; 2 x 7= 14; 4 x 7 = 28; 8 x 7 = 56; 16 x 7 = 112.Mai întâi, se cerceta ce numere din coloana din stânga au ca

sumã înmulåitorul 11. Aceste numere sunt: 1, 2 æi 8. Se reåineau, încoloana din stânga, doar aceste numere, marcându-se printr-o liniuåãoblicã. Apoi se cercetau corespondenåele numerelor 1, 2 æi 8 încoloana din dreapta – aceste numere fiind 7, 14 æi 56. Prin însumarealor, se obåinea 77. Or, 77 reprezintã rezultatul înmulåirii 7x 11.

72 Eliza Roman

Page 75: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Ætim cã împãråirea este operaåia aritmeticã inversã înmulåirii.Åinând seama de acest fapt, pentru a împãråi, de pildã, numãrul 168la 8, egiptenii aranjau operaåiile ca æi cum ar fi vrut sã facã oînmulåire cu 8:

– 1 8 2 16

– 4 32 8 64

–16 128Cercetând în coloana din dreapta (invers faåã de înmulåire, când

se cerceta coloana din stânga), numerele care, adunate, dau deîm-pãråitul 168, se reåineau numerele 8, 32 æi 128. În continuare, senotau numerele din coloana din stânga care corespundeau lui 8, 32æi 128 æi se marcau cu o liniuåã orizontalã. Acestea erau 1, 4 æi 16,care, adunate între ele, reprezintã câtul împãråirii.

Egiptenii operau doar cu fracåia având ca numãrãtor unitatea:

, , , ...

Excepåie fãcea fracåia .

Fracåia se nota folosindu-se semnul , care înseamnã parte(bucatã).

32

5

1

4

1

3

1

2

1

Arina în Åara Numerelor 73

Fig. 9. Fracåii egiptene având ca numãrãtor unitatea

...

Page 76: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

De la bobul de cacao la glifa aztecã

Zona Americii Centrale, care cuprindea imperiul aztec æi popoarelemaya, a cunoscut un sistem de numeraåie cu baza 20, în care nume-rele erau simbolizate cu ajutorul unor semne diferite pentru gru-purile de numere 20, 202 æi 203. Graåie acestui sistem, au fost fãcutecalcule foarte precise asupra timpului. Specialiætii susåin cã la pre-columbieni datarea timpului începe din 12 august 3113 î.e.n.

Cel mai vechi sistem de numeraåie aztec, având baza 20, foloseapatru cifre. Un mic cerculeå, corelat, probabil, cu un bob de cacao,reprezenta unitatea. Un drapel îl reprezenta pe 20, un conifer pe202 = 400, un sac cu tãmâie pe 203 = 8 000, aceasta fiind, de altfel,puterea cea mai mare pe care o utilizau. Numãrul 400, considerãcercetãtorii, ar fi fost reprezentat printr-un conifer, dar, de fapt –susåine G. Guitel –, era vorba de o coadã de pãr. Probabil cã, ante-rior, a avut sensul de „mult“.

Pentru a nota numãrul 159 999 – cel mai mare numãr al aztecilor –,trebuiau juxtapuæi 19 saci cu tãmâie, 19 brazi, 19 drapele æi 19 cer-culeåe. Deci era nevoie, în total, de 76 de semne! Cu vremea, au fostaduse o serie de simplificãri sistemului.

Dacã un conifer, cu care notau numãrul 400, pierdea din ramurile lui,devenea numãrul 300.

Dacã acelaæi conifer pierdea din ramuri, reprezenta numãrul 200.

Iar dacã pierdea era echivalentul numãrului 100.

Înregistrãrile de naturã contabilã stau mãrturie acestui sistem de notare.Numeraåia aztecã a evoluat în strânsã legãturã cu dezvoltarea

calendarului. Luna numãra 20 de zile, fixate într-o ordine imuabilã,fiecãrei zile asociindu-i-se o glifã, adicã un simbol gravat în piatrã.Iatã, reprezentate, cele 20 de zile ale calendarului aztec, corespun-zând numerelor 1-20, potrivit glifelor sãpate pe pietre funerare:

43

2

1

4

1

74 Eliza Roman

Page 77: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina în Åara Numerelor 75

Nr. Denumirea Numele Glife Denumirea Denumireaîn aztec în în

românã francezã englezã1 Crocodil Cipactli Crocodile Weater beast

the Earth

2 Vânt Ehecatl Vent The Wind

3 Casã Calli Maison A TempleTemplu

4 Æopârlã Quetzpalin Lézard Lizard

5 Æarpe Coatl Serpent Snake

6 Cap de Miquiztli Tête de mort Deathmort

7 Cerb Mazatl Cerf Deer

8 Iepure Tochtli Lapin Rabbit

9 Apã Atl Eau Water

10 Câine Itzcuintli Chien Dog

(Continuare în pag. 76)

Fig. 10. Cele 20 de zile ale anului religios aztec, cu glifele corespunzãtoare(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 146-147)

Page 78: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

76 Eliza Roman

Nr. Denumirea Numele Glife Denumirea Denumireaîn aztec în în

românã francezã englezã

11 Maimuåã Ozomatli Singe Monkey

12 Iarbã Malinalli Herbe Grass usedin penance

13 Trestie Acatl Roseau Reed used forarrow shafts

14 Jaguar Oceolotl Jaguar Ocelot

15 Vultur Quauhtli Aigle Eagle

16 Uliu Cozcaquauhtli Vautour Vulture

17 Miæcare Olin Mouvement Earth tremor

18 Cuåit de Tecpatl Couteau Stonepiatrã de pierre knife

19 Ploaie Quiauitl Pluie Rain

20 Floare Xochitl Fleur Flower

(Continuare din pag. 75)

Fig. 10. Cele 20 de zile ale anului religios aztec, cu glifele corespunzãtoare(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 146-147)

Page 79: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Pentru noi, care suntem obiænuiåi cu cele 7 zile ale sãptãmânii,legate exclusiv de Soare, Pãmânt æi planete, atâtea cât se cunoæteauîn Antichitate, calendarul zilelor aztece este, într-adevãr, uluitor.Sistemul lor de numeraåie e strâns legat de calendarele utilizate. Or,aspectul cel mai frapant al calendarelor descoperite în Mexic æi înAmerica Centralã constã în faptul cã ele opereazã cu douã unitãåi detimp: un an religios, conceput în mod artificial, æi un an solar, legatde ciclul anotimpurilor, care reprezenta anul civil.

Plecând de la o definiåie matematicã, descoperitã, probabil, înmod empiric, aztecii au ales pentru anul religios ciclul de 260 dezile. De ce 260? Pentru cã rotirea celor 20 de zile – legate, incon-testabil, de sistemul de numeraåie cu baza 20 – se producea dupãmultiplicarea cu primele 13 numere întregi. De ce s-au oprit la 13?Probabil, din motive religioase. 260 este cel mai mic multiplucomun al lui 13 æi 20. Dar aztecii nu aveau cunoætinåe matematiceæi au ales în mod empiric numãrul 260 ca duratã a anului religios. Cusiguranåã, suntem în faåa unei alegeri extraastronomice.

Calendarul religios al aztecilor nu prezenta nici o utilitate în viaåade zi cu zi a populaåiei, care se îndeletnicea, în principal, cu agri-cultura, dependentã de anotimpuri; de aceea, ei au adoptat un calendarsolar civil în care anul avea 365 de zile, grupate în 18 luni a câte 20de zile, plus 5 zile complementare.

De la azteci au rãmas o serie de Codice, manuscrise extrem deinteresante æi atractive prin originalitatea æi prin frumuseåeareprezentãrilor. În toate aceste manuscrise apar numere, într-ocovâræitoare diversitate. Aceluiaæi numãr i se asociau simboluridiferite sau acelaæi numãr putea fi notat prin juxtapunerea de cer-culeåe în diferite poziåii. Lipsa de unitate e de-a dreptul stupefiantã.Într-un codice, numãrul 1, notat printr-un bob de cacao, puteareprezenta, dupã caz, un câine, o casã, un cuåit, o trestie sau uniepure. Nici mãcar felul în care erau dispuse boabele de cacao nuasigura totdeauna unicitatea semnificaåiei numãrului. Astfel,

Arina în Åara Numerelor 77

Page 80: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

numãrul 10 putea sã însemne ploaie în ipostaza A, iarbã în ipostazaB, trestie în ipostaza C.

A B C• • • • • • • • • • • • •• • •• • •• • •• • •• • •••

Ploaie Iarbã Trestie

Atât cuåit, cât æi casã au o reprezentare identicã,fie • • • • • fie • • • • •

• • • • • •••••

Sistemul de numeraåie aztec, de purã concepåie primitivã, a servitla efectuarea adunãrilor æi la utilizarea calendarului. Valoarea luieste de palier în dezvoltarea aritmeticii elementare.

Sistemul acrofonic grecesc

Grecia a cunoscut douã sisteme de numeraåie, foarte diferite. Înprimul sistem, cel mai vechi, denumit acrofonic, numerele eraunotate cu cea dintâi literã a cuvântului care le desemna. Åinând

78 Eliza Roman

Page 81: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

seama cã akros în greacã înseamnã vârf, înåelegem lesne de ce sistemula cãpãtat numele de acrofonic. Regula avea o singurã excepåie:numãrul 1 era notat cu o barã. Cel de-al doilea sistem de numeraåie,denumit savant, este, realmente, un sistem alfabetic (sistemul grecsavant va fi prezentat în capitolul referitor la sistemele de numeraåiealfabetice).

Aceste douã sisteme au coexistat îndelung. Cel acrofonic, foarterudimentar, servea la notarea numerelor cardinale. A fost utilizat înmetrologie æi a jucat un rol important în socotelile cu monede. Laînceput, numerele erau notate prin transcrierea cuvântului înîntregime. Cele æase cifre pe care le folosea sistemul acrofonic erau:1, 5, 10, 100, 1 000 æi 10 000.

1 I

5 (forma veche a lui , iniåiala lui ENTE);

10 (iniåiala lui DEKA);100 H (iniåiala lui HEKATON);1000 X (iniåiala lui XIΩIOI);

10000 M (iniåiala M PIOI)

Numãrul 50 era notat cu , adicã în semnul pentru cinci îlîncorporau pe 10, ca æi cum l-ar înmulåi pe 5 cu 10. Urmând acelaæi

procedeu, numãrul 500 era notat cu (încorporând în 5 pe 100 =

5 x 100); pentru 5 000 se utiliza semnul (5 încorporându-l pe

1 000), iar 50 000 era notat cu (5 încorporând simbolul pentru10 000).

Aceste semne apar æi pe Abacul din Salamida, descoperit în1846, oarecum asemãnãtor computerului.

γ

∆πpΓ

Arina în Åara Numerelor 79

Page 82: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Sã remarcãm cã grecii au construit un sistem satisfãcãtor pentrunumãrarea banilor. Sã exemplificãm:

Cum numãrau strãmoæii romani?

Din cele mai vechi timpuri, romanii au cunoscut un sistem denumeraåie asemãnãtor sistemului acrofonic grecesc, pe care îlfolosim æi în zilele noastre: Cele 7 cifre ale acestui sistem sunt:

I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000Pentru a scrie numerele mari, romanilor le-a trebuit multã inge-

niozitate. Folosindu-æi imaginaåia, ei au întreprins multiple încercãripentru a gãsi soluåii. În coloana din stânga a tabelului urmãtor,observãm cã pentru a scrie numãrul 1 000 (103) au gãsit patrumodalitãåi pe lângã „M“-ul pe care-l folosim æi noi, æi anume: o barãînchisã între douã semicercuri; un fel de semn al înmulåirii aplatizatîntre douã semicercuri; semnul infinitului æi o barã verticalã sur-montatã de una orizontalã. Pentru 10 000 (104) æi 100 000 (105)existau câte trei posibilitãåi. 10 000 era notat cu unul dintre semnelepe care romanii îl foloseau pentru 1 000, æi anume (I), pe care-lînchideau între alte semicercuri, ceea ce însemna înzecirea numãrului.El arãta astfel: ((I)).

Cea de-a doua modalitate de reprezentare pentru 10 000 era un Xsimbolizându-l pe 10, situat înaintea lui M, care înseamnã 1 000,deci era o multiplicare a lui 10 cu 1 000. Ultima modalitate pentruscrierea numãrului 10 000 era un 10 surmontat de o barã verticalã.Pentru 100 000, romanii foloseau fie pe 1 000, notat printr-o barãverticalã închisã cu trei rînduri de paranteze, adicã 10 000 ori 10, fiepe C = 100 urmat de un M = 1 000 (100 x 1 000), fie pe C = 100surmontat de o barã orizontalã.

80 Eliza Roman

5 taleri 10 taleri 100 taleri 1000 taleri

Page 83: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Milionul, adicã 106, se nota doar în douã feluri, unul fiind Xîncadrat; 107 era exprimat prin C încadrat, iar 108 prin M încadrat(10 000 000 = 1 000 x 100 000; 100 000 000 = 1 000 x 100 000);încadrarea semnifica amplificarea cu 100 000.

Coloana din dreapta tabelului de mai sus reproduce semneleinventate de romani pentru a reprezenta numãrul 50 æi numãrul 500multiplicat prin puterile lui 10. Urmãrind acest tabel, este lesne deînåeles cum au fost înregistrate numerele întregi pe Abacul de buzunarpãstrat la Cabinetul de Numismaticã al Bibliotecii Naåionale dinParis (vezi Fig. 12, p. 82).

Romanii formau destul de uæor orice numãr inferior lui 500 000 000,cu numai nouã simboluri, æapte cifre, trãsãtura (bara orizontalã caresurmonta numãrul) pentru 1 000 æi încadrarea (într-un dreptunghifãrã bazã) pentru numerele superioare lui 100 000. Iatã, de exemplu,cum alcãtuiau numãrul: 123 456 789:

sute de mii mii sute, zeci, unitãåi

1234 56 789

LVI DCCLXXXVIIII

Arina în Åara Numerelor 81

Fig. 11. Cifre romane(Reprodus dupã: Al. Toth. Apariåia æi rãspândirea cifrelor în Åãrile Române.

Bucureæti, Editura Tehnicã, 1972, p. 13)

MCCXXXIV

Page 84: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Este interesant de urmãrit cum pronunåau romanii numerelemari. Pentru puterile succesive ale numãrului 10, ei spuneau:

10 = decem102 = centum103 = mille104 = decem milia (10 x 1000)105 = centum milia (100 x 1000)106 = decies centena milia (10 x 100 x 1000)107 = centies centena milia (100 x 100 x 1000)108 = milies centena milia (1000 x 100 x 1000)109 = decies milies centena milia (10 x 1000 x 100 x 1000).

Observãm aici douã praguri, unul pentru 1 000 æi altul pentru 100 000.Sã nu uitãm cã atestarea numerelor mari a fost târzie în toatã

lumea. În Franåa, vocabula milion apare în anul 1359, importatã dinItalia, unde millione însemna o mie mare, iar miliard e atestat în

82 Eliza Roman

Fig. 12. Abacul de buzunar(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 210)

Page 85: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

1544. Cuvântul milion a fost inventat de Marco Polo (1254-1324),care, entuziasmat de mulåimea oamenilor æi a bogãåiilor pe care le-avãzut în China, l-a folosit ca superlativ al cuvântului mille (o mie, înitalianã).

În Apusul Europei, la începutul Evului Mediu, a dominatnumãrãtoarea cu cifre romane, cu fracåii romane, precum æi cu abacul,pe lângã numãrarea pe degete æi folosirea rãbojului. În biblioteciledin åara noastrã, se pãstreazã manuscrise æi cãråi vechi în care aparnumere romane. Cel mai vechi dateazã din secolul al XI-lea æiaparåine fondului Bibliotecii Batthyaneum din Alba Iulia.

Deæi numeraåia greacã acrofonicã æi numeraåia romanã prezintãaceeaæi concepåie, este puåin probabil cã una sã o fi influenåat pealta æi cu atât mai puåin cã ar avea o origine comunã. Tot astfel, cineæi-ar putea imagina, bunãoarã, cã sistemul de numeraåie aztec a fostinfluenåat de sistemul de numeraåie egiptean? Fiecare dintre acestedouã popoare a avut aceeaæi idee!

Situaåia este, însã, complet alta în cazul sistemelor de numeraåiepur alfabetice, aæa cum se va vedea în continuare.

Arina în Åara Numerelor 83

Page 86: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

NUMERAÅIILE ALFABETICE – UN IMENS PAS ÎN ISTORIE

Maria, Valeria æi Sandra trebuie sã redacteze un studiu despresistemele de numeraåie alfabeticã. Ele æi-au împãråit atribuåiile.Maria aduce informaåii despre matematica la evrei, Valeria desprematematica la greci, iar Sandra despre matematica la arabi. Dupã olunã, fetele se întâlnesc la Sandra acasã, ca sã discute rezultateleinvestigaåiei lor.

Sandra: Sã începem aæa: numeraåia ebraicã, numeraåia greacãsavantã æi primul sistem de numeraåie arabã îæi datoreazãapariåia alfabetului. Din alfabetul protosinaitic,consonantic, în care au fost scrise cãråile lui Moise, arezultat cea mai veche numeraåie alfabeticã din istorie.Alfabetul fenician, la rândul lui consonatic, a jucat unrol asemãnãtor. Dupã cum se ætie, scrierea fenicianãnumãra 22 de consoane. Grecii le-au preluat æi auadãugat vocalele, desãvâræind procesul de creare ascrierii alfabetice propriu-zise æi intrând în istorie caautorii de fapt ai alfabetului. A fost o revoluåie a cul-turii europene. Iniåial, grecii au asociat celor 24 delitere (consoane æi vocale) ale alfabetului lor 24 denumere cardinale.

Valeria: Trebuie adãugat cã în timp ce alfabetul ebraic are 22de consoane, cel grec numãrã 24 de consoane æivocale, iar cel arab 28 de consoane. Toate aceste treisisteme de numeraåie îl au ca bazã pe 10.

Sandra: Acum e rândul Mariei sã citeascã ce a redactat.

Page 87: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

O asociere ingenioasã a literelor æi numerelor la evrei

Maria: Reprezentarea numerelor la evrei a fost extrem deingenioasã. Ei au început prin a asocia primele 9numere întregi primelor 9 litere ale alfabetului lor. Ocaracteristicã remarcabilã a limbii ebraice i-a fãcut sãrealizeze urmãtoarea asociere: numele zecilor de la 30la 90 sunt pluralele numelor atribuite lui 3, 4, 5… 9.Numãrul 20 nu este însã asociat, în acelaæi chip cacelelalte noduri ale zecilor, cu numãrul întreg 2.Având la dispoziåie încã patru litere, acestea au fostatribuite primelor 4 sute. Numãrul 500 a fostreprezentat prin 400 + 100; 600 prin 400 + 200æ.a.m.d. pânã la 900 = 400 + 400 + 100. Apoi, evreii au renunåat la acest sistem, æi pentru 500,600, 700, 800 æi 900 au asociat litere care nu figurauîn alfabetul lor uzual, deoarece acestea nu serveaudecât ca terminale. Ei au folosit pentru 500 pe kaffinal, pentru 600 pe mem final, pentru 700 pe nunfinal, pentru 800 pé final, iar pentru 900 pe æade final.Pentru a ajunge la un milion, ei au avut ideea de apune deasupra fiecãrui numãr douã puncte, mãrindu-leîn acest fel valoarea cu o mie. Scrierea numerelor la evrei era de la dreapta la stânga,începând cu unitãåile de ordinul cel mai mare.Bunãoarã, 1 005 se nota alef hé; nu exista ambiguitatela citirea numãrului (alef nu putea fi decât 1 sau 1 000;plasat înaintea lui hé era 1 000). Numãrul versetelorlui Massorah îl gãsim scris ca un numãr modern,dintr-o numeraåie de poziåie. Massorah înseamnãtradiåie æi reprezintã pe acei cãrturari evrei care, pentrua asigura acurateåea textului biblic, au marcat vocalelecu puncte. Textul biblic stabilit de ei numãrã 5 845 de

Arina în Åara Numerelor 85

Page 88: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

86 Eliza Roman

Fig 13. Literele ebraice æi corespondentul lor numeric(Reprodus dupã: Florian Cajori, A History of Mathematical Notations,

vol. I, London, The Open Court Publishing Company, 1928, p. 20-21)

Denumirealiterelorebraice

Corespon-dentul

numeric

Corespon-dentul

numeric

Sim-bolul

ebraic

Sim-bolulvechi

Sim-bolulnou

Literetermi-nale

Page 89: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

versete. Cunoscând corespondenåele dintre 5, 8, 4, 5 æilitere, putem nota acest numãr în scrierea de poziåie dela dreapta la stânga, adicã: hé het dalet hé = 5, 8, 4, 5.

Valeria: Daåi-mi voie sã adaug cã, în Vechiul Israel, au con-vieåuit atât sistemul de numeraåie zecimal, cât æi celsexagesimal. Primul dintre acestea era legat de socotitulcu ajutorul celor zece degete ale mâinilor, iar cel de-aldoilea a fost împrumutat de la babilonieni. Urme aleutilizãrii sistemului sexagesimal se pot constata înBiblie, în reglementarea greutãåilor sau în uzul mone-delor. Sã ne amintim cã numãrul 12 apare frecvent înliteratura biblicã – cele 12 semiåii ale lui Israel, cele12 poråi ale Ierusalimului etc.

Sandra: E rândul tãu, Valeria.

Impactul numeraåiei greceæti

Valeria: Grecii au început prin a simboliza primele 24 denumere apelând la cele 24 de litere ale alfabetului lor.Åinând seama cã aceste 24 de litere nu erau suficientepentru a nota cele nouã unitãåi simple, cele nouã zeciæi cele nouã sute, ei au introdus trei semne supli-mentare, æi anume: digamma (a æasea literã a alfa-betului fenician, pentru 6), koppa (de origine semiticãpentru 90) æi sampi (de origine fenicianã, pentru 900).În aceste condiåii, puteau acoperi toate numerele pânãla 1 000, aæa cum vi le înfãåiæez în urmãtorul tabel.Primele opt litere ale alfabetului grec æi digammacorespund numerelor 1-9; urmãtoarele opt litere æikoppa indicã zecile (10-90); ultimele opt litere æi sampiindicã sutele (100-900). Miile (1 000-9 000) erausimbolizate cu ajutorul literelor care indicau unitãåile,

Arina în Åara Numerelor 87

Page 90: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

dar precedate de o liniuåã, si-tuatã ceva mai jos decât litera.

Sandra: Ætiu cã, spre deosebire deevrei, grecii notau în sistempoziåional de la stânga ladreapta.

Valeria: Corect. De exemplu, numã-rul 4 837 îl notau astfel: literadelta pentru 4, precedatã de oliniuåã verticalã (care indicafaptul cã e vorba de mii),urmatã de litera omega, careindica valoarea 800, pentruvaloarea 30 puneau litera lamb-da æi, în sfâræit, litera dzetapentru valoarea 7.

Maria: Reiese cã pentru a notanumerele pânã la miriadã (10000), numeraåia greacã afolosit aceleaæi procedee caæi numeraåia ebraicã. Atuncicum se explicã impactul eiincomparabil mai mare decâtal numeraåiei ebraice?

Valeria: Impactul numeraåiei greceætise datoreazã atât condiåiilorgeografice æi istorice, cât æicalitãåilor ei intrinsece.Unitatea imediat urmãtoaremiilor, miriada (10 000), eranotatã de greci în mai multefeluri. Se scria, de exemplu,

88 Eliza Roman

Fig. 14. Denumireanumerelor la greci pebaza alfabetului (tran-scriere internaåionalã)Tabelul este completat de cãtreautoare cu termenii semitici,menåionaåi în paranteze drepte.

Page 91: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

litera M æi se punea în faåa sau deasupra ei cifra careindica de câte ori trebuie luatã miriada. De exemplu:314 159 reprezenta 31 de miriade æi 4 159, deci sepunea un M pentru miriadã æi deasupra sau în faåa eilambda pentru 30 æi alfa pentru 1; în continuare, pentru4 000 se punea delta (patru) precedatã de o liniuåã, ropentru 100; niu pentru 50 æi, în sfâræit, theta pentru 9.Numãrul 314 159 în scrierea grecilor, arãta astfel:λαMlδρνθ. Marele matematician grec Diofant (325-409) nu-l folosea pe M, ci despãråea miriadele cu unpunct de unitãåile de rang inferior. În manuscrisele dinepocile târzii ale civilizaåiei greceæti antice, miriada erareprezentatã prin douã puncte puse deasupra cifrelor.

Maria: Æi pentru notarea numerelor mari cum se proceda?Pentru notarea numerelor mari, matematicienii greciau apelat la baze foarte mari. Astfel, astronomul æimatematicianul Apollonios din Perga (262-180 î.e.n.)a folosit baza 104. Acest sistem de numeraåie prezintãvaloare speculativã, dar era total lipsit de utilitatepracticã, nefiind rãspândit în rândurile matematicienilor.Imaginaåia lui Arhimede a depãæit-o pe aceea a luiApollonios. El a considerat miriada miriadei o nouãunitate, ceea ce i-a permis sã ajungã la numere chiarsuperioare numãrului firelor de nisip pe care le-arconåine o sferã având raza egalã cu distanåa de laPãmânt la Soare. Arhimede credea cã diametrul acesteisfere este inferior miriadei de miriade. El a ajuns la unnumãr format din unitate æi opt sute de milioane de zerouri.Sistemul de numeraåie grec a reuæit sã se adaptezeuæor la notaåia sexagesimalã a babilonienilor,sporindu-i eficienåa. Marii matematicieni greci au per-fecåionat acest instrument puåin cam greoi æi l-au fãcutapt pentru calcule foarte mari.

Arina în Åara Numerelor 89

Page 92: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Multe popoare care au resimåit influenåa greacã aucreat pentru uzul lor sisteme de numeraåie alfabeticeinspirate din sistemul de numeraåie savant al grecilor.

Maria: Acum, Sandra.

Numeraåia arabã priveæte spre Europa

Sandra: Vã mãrturisesc cã n-am reuæit sã redactez un text preacoerent, am întâmpinat multe greutãåi, deoarece mãdescurc greu cu alfabetul arab. Totuæi, vã rog sã mãascultaåi (citeæte): Toate sistemele de numeraåie carese bazeazã pe alfabet respectã regula potrivit cãreiaorice literã a alfabetului corespunde unui numãr æinumai unuia singur æi orice numãr corespunde uneilitere æi numai unei singure litere. Arabii, care dispuneaude un alfabet alcãtuit din 28 de consoane, aveau posi-bilitatea sã noteze cu litere æi toate nodurile sutelor,ceea ce le-a permis sã reprezinte cu uæurinåã numerepânã la 1 000. Zece fiind baza sistemului de nume-raåie, nouã se constituie în numãr fundamental, deoareceexistã câte nouã noduri pentru unitãåi, zeci æi sute.Corespondenåa dintre literele alfabetului ebraic,respectiv ale celui grecesc, æi numere este ordonatã æibiunivocã. Surprinzãtor pentru noi, obiænuiåi cu acesttip de corespondenåã, în limba arabã corespondenåabiunivocã dintre literele alfabetului æi numere nu maiurmeazã æirul crescãtor al numerelor. Æirului crescãtorde 28 de litere ale alfabetului arab îi corespunde æirulnumerelor 1, 2, 400, 500, 3, 8, 600, 4, 700, 200, 7, 60, 300,90, 800, 9, 900, 70, 1000, 80, 100, 20, 30, 40, 50, 5, 6, 10.

Maria: Ce dovedesc aceste observaåii? Ai tras vreo con-cluzie? Hai sã vedem ce ne mai spune Valeria.

90 Eliza Roman

Page 93: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Valeria: Cea mai bunã concluzie e sã vã prezint tabelulnumerelor de la 1 la 1 000 000 folosite de arabi:

Maria: Vrei sã ne zãpãceæti de tot?Valeria: Doamne fereæte! Mã uit la tabelul acesta. Cum sã

descifrãm numerele mai mari de 4 000?Sandra: Mai întâi, sã nu scãpãm din vedere cã arabii scriau

numerele de la dreapta la stânga, iar noi le scriem dela stânga la dreapta. Pentru 3 000, noi notãm 3, apoipunem mia, iar arabii puneau mie trei, dar semnulpentru 3 000 nu corespunde cu semnul pentru 1 000 æicu semnul pentru 3.

Maria: Stai! Descopãr cã metoda åine pentru 4 000, 6 000 æi 7 000.Valeria: Maria are dreptate, celelalte noduri ale miilor nu

conåin numãrul 1 000, dar, în poziåie terminalã, toateprezintã acelaæi semn.

Maria: Existã vreo justificare pentru aceastã constatare?

Arina în Åara Numerelor 91

Fig.15. Nodurile de la 1 la 1 000 000 în numeraåia alfabeticã arabã(Reprodus dupã: Florian Cajori, Op.cit., p. 29)

Page 94: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Sandra: În araba cursivã, aceeaæi literã poate lua forma: medi-anã, iniåialã, finalã, izolatã.

Valeria: Dar literele alfabetului nu sunt izolate?Sandra: Literele alfabetului permit sã se scrie nodurile unitãåilor,

zecilor, sutelor æi numãrul 1 000. Dar, atenåie, cândscriem 3 000, numãrul mie se gãseæte în poziåie termi-nalã, deci trebuie folositã forma finalã, pe când pentru3 folosim forma iniåialã a literei corespunzãtoare.

Valeria: Cam complicat!Sandra: Dar 4 000, 6 000 æi 7 000 se prezintã prin simpla jux-

tapunere, deoarece 4, 6, 7 nu se leagã cu mia, astfel cãmia pãstreazã aparenåa de literã izolatã.

Valeria: Æi semnul pentru milion?Sandra: Reprezentarea milionului se obåine prin juxtapunerea

a douã semne pentru mie; cel din dreapta este semnuliniåial pentru mie, foarte mic, înghesuit, cu un punctdiacritic, iar cel din stânga este semnul final pentrumie, care comportã æi el un punct diacritic.

Maria: Cred cã åi-a fost foarte greu sã pricepi acest sistem denumeraåie.

Valeria: Æi foarte greu sã-l expui succint.Sandra: Orice numãr scris în acest prim sistem de numeraåie

arab trebuia sã fie considerat ca un cuvânt, iar repre-zentarea lui sã respecte regulile scrierii cursive arabe.

Valeria: Ce consecinåe au avut dificultãåile cu care s-a con-fruntat acest sistem de numeraåie arab?

Sandra: Toate aceste dificultãåi au surghiunit primul sistem denumeraåie arab într-o întrebuinåare staticã. Ca urmare,specialiætii în gramatica arabã au inventat numemnemotehnice pentru a facilita reåinerea succesiuniinodurilor unitãåilor, zecilor, sutelor. Toate complicaåiilecare decurg din scrierea cursivã arabã i-au determinat

92 Eliza Roman

Page 95: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

sã adopte sistemul sexagesimal de poziåie babilonian,care a permis efectuarea eficientã de calcule.

Valeria: Cam când s-a întâmplat asta?Sandra: Pe la începutul secolului al IX-lea. Savanåii din Bagdad

au adoptat atunci sistemul de numeraåie zecimal depoziåie, care fusese introdus nu cu mult înainte înIndia æi care reprezenta perfecåionarea aritmeticiizecimale bazate pe principiul valorii simbolului.Covâræitorul merit al arabilor este acela de a fi rãspânditnumeraåia poziåionalã indianã, pe care o cunoæteau încãdin secolul al VIII-lea. De însemnãtate hotãrâtoarepentru cunoaæterea æi adoptarea cifrelor indiene æi ascrierii poziåionale în Europa a fost apariåia, începânddin secolul al XII-lea, a traducerilor în limba latinã acãråilor arabe de aritmeticã æi, îndeosebi, a manualuluide aritmeticã al matematicianului arab Muhammadibn Musa al Horezmi (c. 780-850). Impactul acesteilucrãri, care debuteazã cu descrierea detaliatã a siste-mului indian de numeraåie, este covâræitor. El uti-lizeazã nouã „figuri“ – simbolurile numerelor 1, 2, 3, …, 9 –æi un „cerc mic“ – simbolul lui zero, cu care erauexprimate, fãrã dificultate, numere oricât de mari.

Valeria: Totuæi, se foloseau, în continuare, æi vechile procedeede numeraåie.

Maria: Am citit cã cel care a introdus cifrele arabe pe conti-nentul nostru a fost Fibonacci.

Sandra: Exact, æi o datã cu introducerea lui în viaåa econo-micã, noul sistem de numeraåie câætigã definitiv terenîn Europa secolului al XV-lea. Este elocvent cã, pe mon-ede, cifrele arabe au apãrut încã în secolul al XV-lea(1424, în Elveåia), iar pe monumentele funerare însecolul al XIV-lea (la Pforzheim, lângã Buda, în 1371).

Arina în Åara Numerelor 93

Page 96: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

NUMERAÅIILE DE POZIÅIE

Începutul a fost în Sumer

Incontestabil cã cel mai vechi sistem de numeraåie care a reuæitsã devinã realmente un sistem de poziåie a fost cel al sumerienilor æibabilonienilor. Oamenii de ætiinåã au descoperit documente relativela acest sistem încã din mileniul al III-lea î.e.n. Zero nu a apãrut încadrul sistemului decât târziu, æi anume în poziåie medianã (pentrua semnala lipsa unei cifre din interiorul unui numãr), iar zero ope-raåional nu a figurat niciodatã. Iniåiatorii au fost sumerienii, de lacare l-au preluat babilonienii.

Baza sistemului de numeraåie sumerian-babilonian a fost 60. Nepunem întrebarea de ce sumerienii æi babilonienii au ales o bazãmare de numeraåie. Istoricii æi matematicienii au emis mai multeipoteze. Prima lua în considerare virtutea numãrului 60 de a aveamulåi divizori, ceea ce permite mânuirea lui comodã. Cel care aemis aceastã ipotezã a fost matematicianul æi astronomul grecTheon din Alexandria (sfâræitul secolului al IV-lea e.n.) – comenta-torul lui Ptolemeu.

În epoca modernã, matematicianul englez John Wallis (1616-1703) s-a oprit æi el la acest argument. Alåii au legat folosirea lui 60de calendar, de anul rotunjit sau de cerc. La începutul secolului alXX-lea, astrologul german Kewitsch a sugerat ipoteza puåin fantezistãcã 60 a fost ales ca rezultantã a contopirii concepåiei a douã popoaremai vechi, din care unul ar fi adus sistemul zecimal, iar celãlalt unsistem de numãrare bazat pe numãrul 6. Matematiciana francezãGeneviève Guitel a cãutat sã argumenteze cã alegerea lui 60 carezultantã a încruciæãrii lui 6 cu 10 e raåionalã, fiindcã se leagã de

Page 97: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

3 æi de 2, respectiv de 5, ca divizori ai bazei. Numãrul 3 nu joacã înmetrologie un rol tot atât de important ca 2, dar are un rol esenåialîn muzicã, stând la baza obåinerii de cvinte de o mare frumuseåe.

Deæi majoritatea popoarelor au adoptat numãrul 10 ca bazã anumeraåiei, urmele folosirii bazei 60 se regãsesc æi astãzi pretutin-deni în lume! Nu socotim timpul folosind ca bazã numãrul 60? Oraare 60 de minute æi minutul 60 de secunde. Dacã în AjunulCrãciunului, la ora 18, 10 minute æi 2 secunde, copilul îæi întreabãtatãl cât mai e pânã vine Moæul cu daruri, tatãl va trebui sã facãurmãtoarea socotealã: 24h – 18h10’2’’ = (23h + 1h) – 18h10’2’’ =(23h60’) – 18h10’2’’ = [23h(59’ + 1’)] – 18h10’2’’ = (23h59’60’’) –18h10’2’’ = 5h49’58’’. În acelaæi mod procedeazã æi æcolarii când facoperaåii de adunare, scãdere, înmulåire sau împãråire a unghiurilor etc.

Principiul juxtapunerii a stat la baza tuturor celorlalte sisteme denumeraåie din Antichitate æi pe care l-am moætenit æi noi, folosindscrierea cu caractere latine. În sistemul poziåional, valoarea unuisimbol numeric depinde de poziåia relativã a acestuia în secvenåanumãrului respectiv. Aceastã notaåie poziåionalã prezintã imensulavantaj cã simplificã operaåiile fundamentale, fãcându-le mecanice,cã permite, de asemenea, ca numere foarte mari, ca æi numere foartemici sã se exprime la fel de uæor.

Un exemplu ar fi potrivit pentru a ne edifica asupra caracteruluiunui sistem poziåional. Sã vedem ce reprezintã într-un asemeneasistem cifra 7 din numãrul 7 777: cifra 7 desemneazã cele 7 unitãåide ordinul sau rangul întâi (care ocupã prima secvenåã din numãr);apoi cele 70 de unitãåi de rangul al doilea; cele 700 de unitãåi de rangulal treilea æi, în fine, cele 7 000 de unitãåi de rangul al patrulea.

Elevii lucreazã cu numere într-un sistem poziåional cu baza 10.Ei ætiu, de exemplu, ce înseamnã numãrul 382:

382 = (3 x 100) + (8 x 10) + 2 sau (3 x 102) + (8 x 101)+ (2 x 100)(Toatã lumea cunoaæte cã orice numãr ridicat la puterea zero esteegal cu 1). Numãrul 382 ne spune, deci, cã avem 3 unitãåi de rangulal treilea, 8 unitãåi de rangul al doilea æi 2 unitãåi de rangul 1. Prin

Arina în Åara Numerelor 95

Page 98: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

urmare, valoarea unitãåilor de rangul 1 nu este afectatã de bazã,valoarea unitãåilor de rangul al doilea se înmulåeæte cu valoareabazei 10, valoarea unitãåilor de rangul al treilea se înmulåeæte cuvaloarea bazei ridicate la puterea a doua. Urmând acest principiu,realizãm uæor cã valoarea unitãåilor de rang n se va înmulåi cuvaloarea bazei la puterea n – 1.

Deoarece obiectul prezentului comentariu este legat de sistemulpoziåional de numeraåie sumerianã, având ca bazã 60, sã încercãmsã urmãrim cum notau numerele sumerienii æi babilonienii. Prinanalogie, valoarea unitãåilor de rangul întâi rãmâne neschimbatã,valoarea unitãåilor de rangul al doilea se înmulåeæte cu 60, iarvaloarea unitãåilor de rangul al treilea se înmulåeæte cu 602 æ.a.m.d.Sã alegem la întâmplare un numãr. Fie acesta 7 523. Aplicând celede mai sus, avem (7 x 603) + (5 x 602) + (2 x 601) + (3 x 600).Efectuãm înmulåirea. Numãrul este egal cu 1 540 123.

Æi acum sã ne oprim puåin asupra numeraåiei orale a locuitorilordintre Tigru æi Eufrat. O facem pentru cã aceasta constituie o mãr-turie a arhitecturii numeraåiei lor scrise. Terminologia oralã ne aratãcã articulaåiile numeraåiei scrise sunt încorporate în limbaj. Numeleprimelor zece numere æi ale primelor noduri ale zecilor pãstreazãurme ale bazelor de numeraåie folosite anterior, adicã 5 æi 10. Dealtfel, aæa se întâmplã în cea mai mare parte a numeraåiilor, dar, îngeneral, denumirile primelor numere sunt atât de vechi æi atât dedeformate încât o întoarcere la originile limbajului este, adesea,imposibilã. Tabloul acestui sistem se prezintã astfel:

1 geš (geš este acelaæi cuvânt pentru „mascul, bãrbat“)2 min (min este acelaæi cuvânt pentru „femeie“)3 eš (eš are sensul de pluralitate, este sufixul pluralului)4 limmu5 ia6 aš7 imin (imin este un nume compus din i[a]+ min deci 5 + 2)8 issu9 ilimmu (ilimmu este un nume compus din i[a]+ limmu = 5 + 4)

96 Eliza Roman

Page 99: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Dupã cum se poate observa, numerele 7 æi 9 sunt marcate de 5(7 = 5 + 2, iar 9 = 5 + 4).

Sã continuãm prezentarea tabloului:10 u20 niš30 ušu (uš, în loc de eš, + u, adicã 3 x 10)40 ninim sau nin (ninim este contracåia lui niš + min = 20 x 2)50 ninnû sau nin’+ u (adicã 40 + 10)60 geš sau gešta

Începând cu al doilea prag al sistemului de numeraåie cu 60,numeraåia vorbitã este deosebit de coerentã:

60 geš120 geš + min (60 x 2)180 geš + eš (60 x 3) 600 era tratat ca o nouã unitate, deæi compus din 60 x 10, æi era

denumit geš-u; el reprezintã al treilea prag al notaåiei.

În acelaæi spirit, plecând de la: 600 geš + u1 200 geš + u + min (600 x 2)1 800 geš + u + eš (600 x 3) 3 600 era denumit šar, care înseamnã cerc, ansamblu, totalitate

æi reprezenta cel de-al patrulea palier al numerotaåiei. Folosindaceeaæi tehnicã avem:

7 200 šar + min (3600 x 2)36 000 šar + u (3 600 x 10).Æi tot aæa pânã la al cincilea prag:216 000 = 603 = šar + gal, adicã marele šar.În ceea ce priveæte numeraåia scrisã a sumerienilor, ea a fost mar-

catã de instrumentele de scris. Cel dintâi instrument pentru notareanumerelor a fost tulpina de trestie, secåionatã circular, care, apãsatã

Arina în Åara Numerelor 97

Page 100: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

perpendicular pe tãbliåa de lut, contura o formã foarte apropiatã decerc, iar prin apãsarea oblicã se obåinea forma de semicerc. Cu 2000de ani î.e.n., folosind tehnica realizãrii de semicercuri pe tãbliåele deargilã æi aliniind simbolurile pe una sau pe douã linii, sumerienii aunotat numerele de la 1 la 9, aæa cum se vede în tabelul urmãtor:

98 Eliza Roman

1 D un semicerc2 DD douã semicercuri aæezate la rând3 (a) trei semicercuri la rând

DDD DD D (b) douã semicercuri aæezate liniarD D æi al treilea sub primul

(a) (b) (c) (c) douã semicercuri pe verticalãæi un al treilea între ele

4 DDDD DD (a) patru semicercuri în linieDD dreaptã

(a) (b) (b) câte douã semicercuri aæezate pe douã rânduri

5 DDDDD DDD (a) cinci semicercuri în linie dreaptãDD (b) pe douã rânduri, pe rândul

(a) (b) întâi trei semicercuri, pe rândulal doilea douã semicercuri

6 DDDDDD DDD (a) æase semicercuri în linieDDD dreaptã

(a) (b) (b) pe douã rânduri câte treisemicercuri

7 DDDD pe rândul întâi patru semicercuri,DDD pe cel de-al doilea trei

8 DDDD câte patru semicercuri pe douãDDDD rânduri

9 DDDDD pe rândul întâi cinci semicercuri,DDDD pe rândul al doilea patru semicercuri

Fig. 16. Notaåia sumerianã a numerelor 1-9

D

Page 101: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Pentru numãrul zece, sumerienii au reprodus pe tãbliåa de lutforma cercului.

Cu ajutorul a douã tulpini de trestie de mãrimi diferite, secåionatecircular, se puteau obåine patru numere:

1 = D (un semicerc mic)10 = (un cerc mic)

60 = D (un semicerc mare)602 = 3600 = (un cerc mare)Prin combinare, se obåinea, de exemplu:600 = (în interiorul simbolului lui 60 se introducea simbolul

pentru 10, care avea rol de operator, înmulåind pe 60 cu 10).36 000 = (în interiorul simbolului lui 3 600, un cerc mare, se

introducea simbolul lui 10, adicã un cerc mic, æi se obåinea 3600 x10 = 36 000).

Folosind pe 1, 10, 60, 600, 3 600 æi 36 000, puteau fi scrise toatenumere inferioare lui 216 000 (adicã 603).

Cu ajutorul acestor simboluri, locuitorii Mesopotamiei fãceauuæor calcule. Sã dãm un exemplu de înmulåire: 50 x 3. Vom nota decinci ori semnul lui 10 æi de trei ori semnul lui unu:

x DDDÆtim cã înmulåirea este o adunare repetatã. A înmulåi pe 50 cu 3

înseamnã a aduna pe 50 cu 50 æi cu 50. Vom nota, deci, trei rânduria câte cinci cerculeåe:

Åinând seama cã lucrãm în baza 60, trebuie sã avem grupuri decâte æase cerculeåe. În acest scop, luãm douã cerculeåe din ultimulrând æi mutãm câte un cerculeå la primul æi la al doilea rând.Obåinem în acest fel douã rânduri de câte æase cerculeåe æi un altreilea rând de trei cerculeåe, adicã doi de 60 æi 30.

Arina în Åara Numerelor 99

D

Page 102: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

sau DD

Exemplul de mai sus se referã la o înmulåire comodã, darlocuitorii Mesopotamiei trebuiau sã facã æi înmulåiri mai compli-cate. Ca æi noi, în secolul al XXI-lea, ei foloseau tabla înmulåirii.Babilonienii, ca æi sumerienii, aveau la dispoziåie, pe plãcuåe deargilã table de înmulåire pentru numerele lor.

Pentru a împãråi, sumerienii asociau împãråirea cu înmulåirea,procedând astfel: dacã aveau de împãråit un numãr cu 2, atunci îlînmulåeau mai întâi cu 30; åinând seama cã 2 x 30 = 60, le rãmânea sãîmpartã numãrul la 60 (baza lor de numeraåie), iar dacã trebuiau sãîmpartã numãrul la 3, îl înmulåeau mai întâi cu 20 æ.a.m.d.

Înlocuirea tulpinii de trestie secåionate circular cu un calam obiænuita determinat un alt mod de desenare a numerelor, înainte ca sistemulde numeraåie sã devinã poziåional. Astfel, 1 notat printr-un soi desemicerc devine un triunghi, care, apoi, se subåiazã æi îæi schimbãpoziåia din orizontalã în verticalã. Numãrul 10 ia forma , iar 60 estemetamorfozat în acelaæi „cui“ ca 1. Suntem în prezenåa a ceea ce ecunoscut drept scrierea cuneiformã.

Cãtre anul 2000 î.e.n., numerele de la 1 la 9 se prezentau în nouascriere ca în figura de mai jos. În afarã de numãrul 3, ne gãsim înfaåa unei grupãri diadice, care favorizeazã economia de spaåiu; totuleste axat pe par æi impar.

Dupã cum observãm, 2 æi 3 sunt obåinute prin alãturarea(adunarea) linearã a cuielor. Pentru economie de spaåiu, numerele

100 Eliza Roman

Fig. 17. Numerele 1-9 în prima scriere cuneiformã

Page 103: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

de la 4 la 9 sunt notate pe douã rânduri: 4 = 2 + 2; 5 = 3 + 2; 6 = 3 + 3;7 = 4 + 3; 8 = 4 + 4; 9 = 5 + 4.

În tabelul de mai jos, observãm preponderenåa grupãrii a câte trei cuie.E prima victorie a lui 3, primul preæedinte din Åara Numerelor Arinei!

Tabelul urmãtor prezintã folosirea semnului special pentru 10, cuajutorul cãruia sumerienii æi babilonienii scriau pe 11 (10 + 1); 12(10 + 2); 20 (10 + 10); pentru 60 apare un semn nou, 70 = (60 + 10) æ.a.m.d.

Zero era marcat de babilo-nieni printr-un spaåiu gol. Pro-cedeul acesta îl gãsim atestat peun document din vremea suve-ranului Hammurabi sau Ha-mmurapi (1728-1686 î.e.n.), celcare a fost adevãratul fondatoral Regatului Vechi babilonian.Iatã un exemplul extras dinacest document (Fig. 20).

Dupã cum vedem, pe rândulîntâi e figurat numãrul 1, urmatde un spaåiu liber, apoi de repre-zentarea numãrului 25; pe rân-dul al doilea apar: 1, 5 æi 25.

Sistemul de numeraåie depoziåie sexagesimal a fost folositpe întreg teritoriul Mesopota-miei æi avea sã se impunã, înmileniul al III-lea î.e.n., graåiegeniului sumerian, învingãtorilor

Arina în Åara Numerelor 101

Fig. 18. Numerele 1-9 în cea de a doua scriere cuneiformã

Fig. 19. Semne speciale de la 10 la 100

Fig. 20. În loc de zero, spaåiu liber

Page 104: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

akkadieni, care foloseau sistemul cu baza 10. Ulterior, în viaåa de zicu zi, avea sã fie folosit, progresiv, sistemul de numeraåie cu baza10, al akkadienilor, care supravieåuise. Sistemul de numeraåie depoziåie sexagesimalã a continuat sã se menåinã în comunitateasavantã æi sã progreseze prin adoptarea lui zero median.

Este de reåinut cã numeraåia babilonianã a supravieåuit îndelungdatoritã grecilor æi arabilor, care au adoptat sistemul sexagesimal,acesta fiind mai lesne de mânuit decât sistemele lor savante denumeraåie. Un exemplu ne va convinge cât de comod le era grecilorsã transcrie tãbliåele babiloniene. Fie 36o45’57’’ în scriere babilonianã:

Grecii menåionaunumãrul de gradnotând în limba lorcuvântul grecescgrade, dupã carescriau numãrulechivalent pentru36 (30 = λ æi ς = 6);numãrul minutelor

45 (40 = m æi e = 5) era urmat de un accent; iar pentru secunde scri-au 57 (50 = v æi ζ =7), urmat de douã accente. Numãrul arãta ast-fel: λ ς µ ε ’ v ζ ”

Remarcãm, de asemenea, utilizarea, de cãtre locuitoriiMesopotamiei, încã din timpuri foarte îndepãrtate, a numerelor

fracåionare: .

Fantezia mayaæilor

Mihaela o roagã pe Margareta sã-i sugereze câteva repere pentrufinalizarea studiului pe care trebuie sã-l predea Arinei.

65,

32,

31,

21

102 Eliza Roman

Fig. 21. Un numãr din scrierea babilonianã întranspunerea greceascã

Page 105: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Mihaela: Am citit cu mult interes, chiar cu pasiune, despresistemul de numeraåie al mayaæilor, dar mã simt sufo-catã de informaåii æi mi-e teamã cã nu voi reuæi sã leprezint coerent. De aceea, apelez la tine. Ai experienåã,ai finalizat studiul despre numeraåia la sumerieni æi lababilonieni – sora mai mare a numeraåiei mayaæe.

Margareta: Eu cred cã trebuie sã abordezi, pentru început, urmã-torul aspect: numeraåia mayaæilor, ca æi cea a sume-rienilor æi babilonienilor, folosea un sistem poziåional,superior însã, fiindcã l-au cunoscut pe zero operator.Aratã-mi ce ai adunat în problema asta.

Mihaela: Uite, aici, tabelul lui G. Silvanus Morney pentruprimele 19 numere:

Arina în Åara Numerelor 103

Fig. 22. Numerele 1-19 în sistemul de notare mayaæ(Reprodus dupã: G. Silvanus Morney, The ancient maya,. 3rd edition, Stanford University Press, 1947, p. 278)

Page 106: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Margareta: Æi ce observãm? Mihaela: Observãm cã primele patru numere sunt reprezen-

tate prin adunarea punctelor, iar numãrul 5 printr-obarã orizontalã; de la 6 la 9, acestei bare orizontaledesemnând numãrul 5 i se adaugã puncte; numãrul10 apare ca suma a douã bare orizontale (5 + 5).Notarea numerelor de la 11 la 14 urmeazã un pro-cedeu similar: se adunã 10 cu 1, 2, 3 æi 4, desenân-du-se douã bare, la care se adaugã puncte (11 = 10 + 1;12 = 10 + 2; 13 = 10 + 3 æi 14 = 10 + 4). Ajungându-sela 15, se multiplicã numãrul barelor: 15 = 5 x 3, decise traseazã trei bare orizontale.

Margareta: Dar în privinåa denumirii numerelor? Mihaela: Constatãm cã primele 12 numere au nume complet

deosebite; începând cu numãrul 12, denumirile traducmodul de compunere a numerelor. În denumireanumãrului 12 recunoaætem pe lah, contracåia lui lahun =10 æi pe ca = 2. Compunerea denumirii numerelor dela 13 la 19 este riguros urmatã: 3 æi 10, 4 æi 10 æ.a.m.d.

Margareta: De remarcat cã acest procedeu de formare a denu-mirii numerelor se va regãsi în limba francezã, undepentru 17 se spune 10 æi 7; pentru 18 – 10 æi 8; pentru19 – 10 æi 9, dar æi în spaniolã, atunci când se trecede la 16 la 17.

Mihaela: În limba românã, compunerea numerele de la 11 la 19este însã absolut regulatã (unsprezece…, nouãsprezece).

Margareta: Aici este de adãugat cã, deæi baza sistemului denumeraåie al mayaæilor era 20, adicã suma degetelorde la mâinile æi picioarele omului – în concepåia lorînsuæi omul –, reiese rolul pe care îl atribuiaunumãrului 10 ca bazã auxiliarã æi numãrului 5, caimportant divizor al lui 10. Bobul de cacao, atât de

104 Eliza Roman

Page 107: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

prezent în viaåa mayaæilor, i-a inspirat, probabil, peaceætia sã-l aleagã drept simbol al unitãåii, alnumãrului 1. Sã mergem mai departe, Mihaela.

Mihaela: M-aæ referi, apoi, la denumirile puterilor bazei, pentrucã e un aspect foarte semnificativ. Astfel, 20 = hunkal; 202 = 400 = hun bak, 203 = 8 000 = hun pic, iar204 = 160 000 = hun cabal. Multiplii bazei, adicã2 x 20 = 40; 3 x 20 = 60; ..., 10 x 20 = 200, eraubotezaåi astfel: ca kal, ox kal, ..., lakun kal.

Margareta: Observãm cã e vorba despre un sistem de numeraåiecu baza 20 de concepåie primitivã, care foloseaadunarea, sistem în care 5 joacã un rol privilegiat cadivizor. Deci ai putea sã rezervi spaåiu prezentãriisistemului mayaæ de numeraåie oralã, deoarece îlconsideri de o coerenåã remarcabilã.

Mihaela: De acord. Sã abordãm acum partea cea mai dificilã,dar æi cea mai interesantã æi mai incitantã din sis-temul de numeraåie mayaæ – mecanismul de formarea numerelor de la 21 la 400. Referitor la numerele dela 21 la 40, sã alegem, la întâmplare, un numãr, sãzicem 27, care se exprimã prin uuc tu kal (unde uuce 7, tu un prefix ordinal, „æi“ este subînåeles, kal e20). Constatãm cã 27 e format din 7 (æi) primul 20.Noi spunem douãzeci, apoi æapte, mayaæii enunåãmai întâi unitãåile simple apoi zecile. Pentru numerelecuprinse între 41 æi 60, sã-l alegem pe 47 (uuc tu yox kal, unde uuc este 7, tu prefixul ordinal, y o liga-turã, iar ox kal al treilea douãzeci, adicã 60); con-statãm cã 47 este tradus ca æapte unitãåi din al treileadouãzeci sau æapte al treilea douãzeci.

Margareta: Intervenåia neaæteptatã a celui de-al treilea douãzecie, într-adevãr, curioasã; sã fie vorba de un arhaism?

Arina în Åara Numerelor 105

Page 108: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Mihaela: Surpriza a fost æi mai mare când am aflat din tradu-cerea francezã a cãråii lui Edward B. Taylor, Civili-zaåia primitivã, publicatã la Paris, în 1878, cã înGroenlanda pentru 53 se spunea de la al treilea om,trei pe primul picior, care s-ar putea tãlmãci ca treidegete de la primul picior al celui de al treilea om; lamayaæi, pentru 53 se spunea treisprezece din altreilea douãzeci, iar în unele dialecte treisprezecedin al treilea om. Desãvâræitã analogie!

Margareta: Vãd cã te referi la aæa-numita botezare a numãrului47. De ce?

Mihaela: Aici e o problemã de viziune a mayaæilor æi groen-landezilor în construirea numeraåiei. Dacã noi,românii, considerãm cã 47 este cuprins între 40 æi50, baza noastrã de numeraåie fiind 10, pentrumayaæi – care aveau ca bazã pe 20 – numãrul 47 estecuprins între 40 æi 60, adicã de douã ori baza æi detrei ori baza. Preocupaåi sã boteze numãrul 47,mayaæii, conætienåi cã numãrul depãæise pe 40 (2 x 20),æi-au îndreptat privirea spre 60 (3 x 20). Pornind laatac, ei au început sã facã socoteli pe acest 60.Groenlandezii aveau o concepåie asemãnãtoare cu amayaæilor: pentru 60 sau 3 x 20 (20 reprezentând unom), spuneau 3 oameni. Abordând în acest fel pe 60,groenlandezii au trebuit sã spunã „al treilea om“referindu-se la 53, cuprins între 40 æi 60. Groenlan-dezii au numãrat pentru 5 degetele unei mâini, pentru10 degetele celor 2 mâini, pentru 15 degetele ambelormâini æi degetele unui picior.

Margareta: Mihaela, n-ar trebui sã lipseascã din referatul tãu mo-dalitatea de descifrare a sistemului mayaæ de numeraåie.

Mihaela: Existã în domeniul acesta destul de multã informaåie.Totul atestã cã descifrarea s-a fãcut prin cercetarea

106 Eliza Roman

Page 109: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

gravurilor incizate pe stele funerare sau pe alte monu-mente æi prin studiul codicelor mayaæe. Au supravieåuitpânã la noi trei dintre aceste izvoare: Codexul Tro-lortesianus – lucrare de antropologie, descoperit în adoua jumãtate a secolului al XIX-lea, în Spania, æiaflat în prezent la Paris; Codex Pereseanus – manuscrispãstrat la Biblioteca Naåionalã din Paris – æi celebrulCodex din Dresda. Etnografului irlandez Eduard K.Kingsborough (1795-1837) îi datorãm imagini superbeale acestor trei documente, incluse în tratatul sãu în 9volume, intitulat: The Antiquity of Mexico (Londra, 1830).

Margareta: De ce e celebru Codexul din Dresda?Mihaela: Trebuie sã subliniez covâræitorul impact pe care l-a

avut descoperirea lui pentru cunoaæterea sistemuluide numeraåie mayaæ, dar æi pentru culturã, în general.În acest codex, numerele apar scrise într-un sistempoziåional, alãturi de un numãr impresionant de zerourielegant desenate æi colorate totdeauna în roæu.

Arina în Åara Numerelor 107

Fig. 23. Codexul din Dresda

Page 110: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Margareta: Unde a fost descoperit?Mihaela: La Viena, în 1739; apoi a fost achiziåionat

d e Biblioteca Regalã din Dresda. În 1880,E. Forstemann a dat o ediåia ætiinåificã a Codexului.Descoperirea lui a fost de interes capital pentru studiulcalendarului æi al sistemului de numeraåie mayaæ. Iarstudiul arheologului britanic John Eric Thompson(1898-1975), Maya Arithmetic, publicat în Contri-bution to American Anthropology and History, VII(1942), nr. 36, a suscitat un viu interes. Recunoaæ-tem imediat, din textul Codexului, cã este vorbadespre o numeraåie de poziåie, datoratã grijii pentruînregistrarea economicoasã a numerelor. Menåionarealui zero este absolut naturalã.

Margareta: Într-adevãr, fascinante desene! Ai vorbit despre nu-mere înregistrate pe suport de hârtie. Dar trebuie sãabordezi æi numerele înregistrate pe stele funerare,pe suport de piatrã.

Mihaela: Pe stelele din cetãåile Copan æi Palenc (în sud-vestulYucatanului), arheologii, istoricii, matematicienii audescifrat mii de numere scrise în sistem poziåional æiau putut urmãri evoluåia sistemului de notare mayaæîn decursul vremurilor, pânã la stabilirea unui sistemde scriere definitiv. Corespondenåa dintre numere æisimbolurile gravate pe piatrã diferã de cea desprecare am vorbit pânã acum. Simbolurile folosite pen-tru a stabili corespondenåa cu diferite numere eraurealizate prin desene incizate, adesea reprezentândanimale sau zei.

Margareta: La mayaæi, ca æi la azteci, este atestat cã efigia zeilorse putea substitui numerelor. Iartã-mã, Mihaela, darpoate cã ar fi momentul sã precizezi cã sistemul de

108 Eliza Roman

Page 111: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

numãrare al mayaæilor reprezenta, de fapt, instru-mentul calendarului lor. Calendarele au jucat în viaåamayaæilor, ca æi în cea a aztecilor, un rol deosebit deimportant. Sã structurezi referatul åinând seama deasemenea repere. Trebuie sã subliniezi cã anul reli-gios mayaæ, bazat pe aceeaæi concepåie ca æi la azteci,folosea 20 de numere divine æi introducea primele13 numere. Durata anului era de 260 de zile, rezultatal produsului dintre cele 13 luni a câte 20 de zile(corespunzând bazei de numeraåie a precolumbie-nilor). În acest an religios, construit dintr-un cicluarbitrar de 260 de zile, format din combinarea a 20de semne æi 13 cifre, fiecare zi era determinatã de unsemn æi de o cifrã. Se ajungea, în felul acesta, la osuccesiune a zilelor de felul urmãtor:

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 F 7 G 8 H 9 I 10 J 11 K 12 L 13 M1 N 2 O 3 P 4 Q 5 R 6 S 7 T 8 A 9 B 10 C 11 D 12 E 13 F1 G 2 H 3 I 4 J etc.

Mihaela: Îåi mulåumesc, Margareta, pentru precizãrile tale. Æieu îmi notasem cã mayaæii au inventat numeroasesimboluri în vederea înregistrãrii timpului.Bunãoarã, existau la ei 13 zei ai zilelor: 1 – Caban;2 – Ezmab; 3 – Canuac, 4 – Ahau; 5 – Imix; 6 – Ik;7 – Akbal, 8 – Kan; 9 – Chicchan; 10 – Cimi; 11 –Manik; 12 – Lamat; 13 – Muluk. Ei erau în conexiuneintimã cu primele 13 numere. Numãrul 13 a jucat unrol deosebit la precolumbieni. În America Centralã,o credinåã foarte rãspânditã evoca 13 Ceruri æi, prinurmare, 13 Zei ai Cerurilor. Aceæti zei erau plasaåi pepaliere succesive, doi de fiecare palier, iar al 13-lea,aæezat cel mai sus, domina ansamblul. Zeii aceætiaguvernau succesiunea zilelor.

Arina în Åara Numerelor 109

Page 112: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Margareta: Din cercetarea Cabalei reiese cã numãrul 13 estenumitor comun pentru numele lui Dumnezeu, al ale-sului Lui pentru a-L face cunoscut Lumii – Moise –,pentru locul unde i-a fost relevatã acestuia Legea, câtæi pentru numele primilor patriarhi. Mã întreb dacãexistã vreo legãturã între impactul obsedant alnumãrului 13 la israeliåi æi la populaåiile din AmericaCentralã. Pe baza teoriei puåin cam uluitoare a lor-dului Eduard K. Kingsborough æi a unor erudiåi con-temporani lui, se poate, oare, emite ipoteza cã indi-genii din America ar fi fost supravieåuitori aitriburilor lui Israel?

Mihaela: În figurarea numãrului 13 æi a celor æase numere careîi urmeazã, mayaæii ne oferã o nouã surprizã. Dejanumãrul 13 poate fi transpus în douã reprezentãri, fieca un zeu cu nas lung æi cu trompã, fie ca zeul lui 3,care în loc de bãrbie are un cap de mort. Începând cunumãrul 14, aceastã îmbinare între 10 (Zeul Cimi –cap de mort) æi numãrul unitãåilor simple devine re-gulã generalã. Pe fiecare faåã a unui zeu apare maxi-larul unui cap demort, care simbo-lizeazã numãrul 10.Ingeniozitatea ma-yaæilor în transpu-nerea numerelorera deosebitã. Astfel,pentru reprezentareanumãrului 16 augravat o maimuåãåinând în lãbuåele eiridicate capul Zeu-lui 6, în timp ce

110 Eliza Roman

Fig. 24. Reprezentareanumãrului 16 la mayaæi

(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 413)

Page 113: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

capul Zeului Cimi se sprijinã pe membrele ei infe-rioare, dupã cum se vede în imaginea precedentã(Fig. 24). În alte cazuri, ei figurau doi zei unul lângãaltul, a cãror valoare însumatã era numãrul cãutat.Totul atestã o evoluåie spre abstractizare æi mãreæteinteresul cercetãtorilor pentru aceastã scriere figura-tivã. Uneori, identificãm juxtapunerea semnuluinumeric æi al Zeului Cimi; astfel, pentru a-l reprezentape 19, numãrul 9 a fost notat cu 4 cercuri mici æi obarã verticalã, totul precedându-l pe Cimi, cap de mort.

Margareta: Ai procedat foarte bine precizând cã mayaæii, ca æi az-tecii, au folosit, pe lângã calendarul religios, uncalendar „civil“, cunoscut sub numele de calendar alanului vag. Anul vag, incluzând 365 de zile, era formatdin 18 luni a câte 20 de zile + 5 zile.

Mihaela: Determinarea anului tropic de cãtre mayaæi estedemnã de ætiinåa modernã (Anul tropic = durata dintredouã treceri consecutive ale Soarelui prin punctulvernal, respectiv prin punctul în care ecliptica, adicãorbita imaginarã descrisã de Soare în miæcarea luianualã aparentã pe sfera cereascã, intersecteazã planulEcuatorului, la echinocåiul de primãvarã. Anul tropicare 365 de zile, 5 ore, 46 minute æi 46 de secunde).Åinând seama cã 365 împãråit la 20 dã rest 5, com-binarea celor douã caractere face ca numai 4 dintrecele 20 de semne ale zilelor sã poatã marca începutulanului. Deoarece 365 împãråit la 13 dã restul 1,rezultã cã oricare dintre cele 13 cifre putea marcaînceputul anului nou, iar fiecare zi era marcatãprintr-o cifrã mai mare cu o unitate decât cifra caremarca ziua corespunzãtoare din anul precedent. Înconsecinåã, repetarea unui an în care zilele eraunotate cu aceeaæi cifrã sau cu acelaæi semn al unui andat avea loc numai dupã un ciclu de 52 de ani.

Arina în Åara Numerelor 111

Page 114: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Margareta: Sã scrii neapãrat æi despre ingenioasa ideea a maya-æilor de a pune de acord cele douã tipuri de calendar,considerând simultan o zi determinatã de anul reli-gios æi ziua corespunzãtoare a anului vag æi punândbazele a ceea ce savanåii numesc Calendarul rotund.

Mihaela: Aæa cum remarcã æi Geneviève Guitel – pe care amamintit-o mai înainte –, „meritul mayaæilor rãmâneimens: au inventat o numeraåie de poziåie cu baza 20folosind scrierea numãrului 5 ca bazã auxiliarã, auinventat un simbol pentru zero, au jonglat cu numerefoarte mari, dar calculele lor s-au limitat la adunareæi scãdere. Folosirea exclusivã a numeraåiei lor pentrumãsurarea timpului a fost pãgubitoare pentru mate-maticã, împiedicându-i sã realizeze clar importanåalui zero operator æi sã inventeze operaåiile-cheie:înmulåirea æi împãråirea. Mayaæii nu cunoæteaudecât numerele întregi; ideea de fracåie le era totalstrãinã, doar ideea de jumãtate – katun – le era fami-liarã. În plus, trebuie subliniat cã s-au jucat în modmagistral cu numerele întregi, cã au introdus divi-zorii privilegiaåi æi multipli ai numerelor fundamen-tale, rezolvând cu ajutorul tabelelor, elaborateinteligent, probleme de analizã nedeterminatã“.

Dinamismul numeraåiei chineze

Chinezii au folosit numerele încã din preistorie. Sistemul lor denumeraåie a fost conceput în baza 10. Limba chinezã a utilizat denu-miri monosilabice distincte atât pentru primele zece numere, cât æipentru urmãtoarele trei puteri ale numãrului 10. Cele mai vechiurme de numeraåie scrisã la chinezi le aflãm în textele de ghicitgravate pe oase (1400-1100 î.e.n.) sau pe monede.

112 Eliza Roman

Page 115: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Rolul pe care l-au jucat la romani pietricelele a fost deåinut înChina de beåiæoare. Pentru scrierea unui numãr, chinezii aranjaubeåiæoarele pe o tablã liniatã sau pe un caroiaj (reåea de pãtrãåeleasemãnãtoare cu cea din caietele æcolare de aritmeticã). Analizazecimalã a numãrului era datã de însuæi enunåul lui în limba chinezã,aæa încât se aæeza în coloana din dreapta un numãr egal cu numãrulde unitãåi, iar în coloana din stânga lui un numãr de bastonaæe egalcu numãrul zecilor æ.a.m.d.

Aæa cum atestã o seamã de inscripåii din secolele XV-XIV î.e.n.,chinezii foloseau un sistem zecimal cu 13 caractere numerice fun-damentale, primele nouã numere æi primele patru puteri ale lui 10,ceea ce permitea reprezentarea oricãrui numãr pânã la 100 000 000.Deci, folosind exclusiv cuvintele care desemneazã primele nouãnumere întregi æi numerele zece, o sutã, o mie, zece mii, chinezii auputut scrie în întregime orice numãr inferior lui 100 000. Transpu-nerea în cuvinte a numerelor o mai folosim æi noi atunci cândcompletãm acte bancare, de teama fraudelor. A fost triumful traduceriiunei numeraåii scrise datorate cuvântului la chinezii din Antichitate.Ordinea cuvintelor într-un enunå fiind un element fundamental pentruînåelegerea unui numãr, era uæor de înåeles cã zece doi înseamnã 12,pe când doi zece înseamnã 20. Pentru puteri mai mari decât 104, au fostnecesare simboluri noi. Chinezii utilizau unitãåi de ordin superior, pentru105, 106, 107 sau 108 etc., ca nu cumva sã aparã vreodatã, în expresiaunui numãr, douã caractere numerice identice juxtapuse.

Cea mai veche formã de numeraåie scrisã chinezã apare în textelede ghicit. Unitatea e reprezentatã printr-o liniuåã orizontalã, iarnumerele 2, 3, 4 prin douã, trei, patru liniuåe orizontale juxtapuse.Cu numãrul 5, apare o schimbare, forma acestuia fiind a majusculeiX închisã jos æi sus; numãrul 6 era reprezentat printr-un fel de micãpagodã; 7 – printr-o cruce; 8 – prin curbe care semãnau cu paran-teze plasate spate în spate; numãrul 9 avea un caracter mai complex:un fel de S stilizat având deasupra un mic unghi. Numerele urmãtoare

Arina în Åara Numerelor 113

Page 116: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

prezentau o configuraåie mai simplã. 10 se nota ca o liniuåã verti-calã, 20, 30, 40 se înrudeau ca aspect cu 10, ilustrând de câte ori afost repetat 10, cu ajutorul unei ligaturi. Semnele pentru 50, 60, 80foloseau simbolurile lui 5, 6, 8 surmontate de o foarte micã liniuåãverticalã, care desemna rolul numãrului 10. Numãrul 100 erareprezentat printr-un semn în întregime nou, care prin adãugareaunei liniuåe orizontale devenea numãrul 200, iar prin adãugarea adouã astfel de liniuåe devenea 300. Semnul pentru 100 surmontat denumãrul 5 îl reprezenta pe 500, surmontat de 6, pe 600. Semnul pentru1 000 pare destul de complex, seamãnã puåin cu 7 al nostru. Dacãacest semn este marcat de numerele 3, 4 sau 5, devine 3 000, 4 000sau 5 000.

În timp ce pentru numerele 1-4 æi 10-40 mecanismul de formareera aditiv, pentru 5-9 se recurgea la semne independente. Sutele æimiile par a fi fost supuse mecanismului multiplicativ. Numereleacestea au fost descoperite pe mii de texte de ghicit, lesne de citit,fiind gravate, adesea, pe oasele omoplatului. Reproducem, mai jos,un tabel al numerelor înregistrate pe textele de ghicit:

114 Eliza Roman

Fig. 25. Numeraåia din textele de ghicit chineze(Reprodus dupã: J. Needham, Science and Civilisation in China, vol III, Cambridge, 1959)

Page 117: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Acest tabel prezintã goluri. Constãm cã lipsesc semne pentrunumerele 70, 90, 400, 700, 800, 900, 2 000, 8 000, 9 000. Din

pãcate, chiar æi pentru numere mai micinu au fost descoperite reprezentãri, încâtnu se ætie în ce fel notau chinezii numerele16, 17, 18 æi 19.

Dupã cum se poate observa în tabeluldin Fig. 26, chinezii notau în textele deghicit pe 56 ca sumã a lui 50 æi 6, pe 88ca suma lui 80 æi 8, pe 162 ca sumã a lui100 æi 60 æi 2 æ.a.m.d.. Numerele erauscrise de sus în jos, pe verticalã, înordinea descrescãtoare a nodurilor,întâi zecile, apoi unitãåile simple (56 =50 + 6; 88 = 80 + 8; 162 = 100 + 60 + 2).

Din investigaåiile istoricilor æi mate-maticienilor aflãm cã unul æi acelaæi numãr a fost transpus în maimulte modalitãåi. Potrivit lui J. Needham, iniåial numãrul 88 eranotat cu: )l( )(

În secolul I e.n., modul de scriere a numerelor se schimbã. Dacãîn primã fazã 88 se scria pe orizontalã, în cea de-a doua erareprezentat pe verticalã:

)l()(

Dupã 12 secole, se pãstrezã verticalitatea, dar parantezele carefigureazã numãrul se înjumãtãåesc grafic æi apare între ele o cruce:

)l(+)(

În faåa eleganåei grafiei chinezeæti a numerelor, trasate cu pensula,simt nevoia sã reproduc o paginã mai mult decât reprezentativã subacest aspect:

Arina în Åara Numerelor 115

Fig. 26. Reprezentareanumerelor 56, 88 æi 162 în

textele de ghicit chineze(Reprodus dupã: J. Needham,

O p.cit., 1959).

Page 118: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Coloana întâi figureazã numerele de la 1 la 10, cea de a douanumerele 100, 1 000, 10 000, 100 000 000. Urmãtoarele trei coloanereprezintã trei exemple de transcriere, respectiv a numerelor 3 468,15 702 æi 860 531.

E uæor de citit numãrul 3 468; parcurgând de sus în jos coloanaa treia, recunoaætem semnele: 3; 1 000; 4; 100; 6; 10; 8 (3 x 1000; 4 x 100;6 x 10; 8). Al treilea exemplu e mai greu de citit, fiindcã absenåaunui simbol original pentru 105 duce la presupunerea cã 104 repre-zenta un palier, încât numãrul se descompune în 86 x 104 + 531.

116 Eliza Roman

Fig. 27. Exemplu de grafie chinezeascã a numerelor(Reprodus dupã: Ore Oystein, Number Theory and History,. New York,

McGraw – Hill Book Company, 1948)

Page 119: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Chinezii au reuæit sã depãæeascã pragul sistemului de numeraåieprezentat de Ore Oystein (104). Numeraåia oralã elucideazã modulîn care a fost depãæit acest prag pentru numere mari, mergând pânãla 108, æi anume prin folosirea cuvintelor compuse. Astfel, dupãcum aratã Karl Menninger, istoric german al ætiinåei, chinezii notau:

105 106 107 108

shih wan pai wan chhien wan wan wanIatã cum îl notau chinezii pe 500 000, adicã 5 x 100 000 = 5 x 105.

Ætim cã 5 se pronunåa wu. Deci putem scrie wu shih wan. Încã unexemplu: pentru 500 000 000 (5 x 108) se scria wu wan wan.Trebuie sã menåionãm cã folosirea lui zero sub forma unui cerc aapãrut în scrierea numeraåiei chineze de-abia în secolul al VIII-lea.

Fiindcã este un numãr important, care a suscitat mii de aniinteresul matematicienilor æi al amatorilor, transpunem în vocabulechineze valoarea lui, adicã 3,1415927 = 3 chang, 1 chhih, 4 tshun,1 fên, 5 li, 9 hao, 2 miao, 7 hu. Am aflat în acest fel cã termenii:chhih, tshun, fên… desemneazã fracåii zecimale.

Pentru cititorul dornic de aprofundãri, reproducem un tabel careilustreazã pronunåarea veche æi cea modernã a numerelor chineze(vezi Fig. 28, p. 118).

Cu ajutorul fiæelor de calcul (rod-numerals), chinezii au construitun sistem de numeraåie la origine figurativã, având ca suport un felde eæichier, de care s-au dispensat ulterior, reuæind sã punã bazeleunui sistem de numeraåie de poziåie. Bastonaæele de fildeæ sau debambus cu care operau au oferit sistemului de numeraåie o reprezen-tare geometricã. Iatã cum erau grupate fiæele de calcul: pentrunumãrul 5 æi pentru cele inferioare acestuia se aliniau atâtea fiæecâte reprezenta numãrul; pentru 6, o fiæã era surmontatã de o altãfiæã; în cazul numãrului 7 (2 + 5), se puneau douã fiæe verticale æi ofiæã orizontalã æ.a.m.d. Numerele de la 2 la 5 se obåineau deci prinrepetarea lui 1 (liniuåã verticalã), iar numerele de la 6 la 9 seconstruiau dintr-o liniuåã orizontalã în loc de 5 æi din adãugarea de

π

Arina în Åara Numerelor 117

Page 120: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

118 Eliza Roman

Fig. 28. Cifrele chineze(Reprodus dupã: Istoria generalã a ætiinåei, Bucureæti, 1970, p. 188)

Page 121: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

liniuåe verticale, adicã o liniuåã pentru 6 …, 4 liniuåe pentru 9, ceeace putea duce la grave erori. Iatã primele nouã numere întregi înrod-numerals:

Pentru evitarea confuziilor, chinezii au trecut la folosirea fiæeloratât în poziåie verticalã, cât æi în poziåie orizontalã.

Zecile se notau în felul urmãtor: 10 printr-o barã orizontalã; 20,30, 40 æi 50 prin 2, 3, 4 sau 5 bare orizontale paralele; 60 era alcã-tuit dintr-o barã verticalã, având valoarea 50, æi o barã orizontalã,având valoarea 10; 70, 80, 90 însumau pe 50 cu 20, 30 æi 40, dupãcum se vede mai jos:

Zecile, sutele, miile æi miliardele erau notate de la stânga ladreapta, aproximativ cum se proceda pe coloanele abacului.

Au fost descoperite, în texte foarte vechi, numerele 12, 25, 46, 69æi 99, în reprezentare poziåionalã, în felul urmãtor:

12: I II (10 + 2); 25 II IIIII (20+5);46 IIII T (40 + 6); 69 T IIII (60 + 9);99 IIII IIII (90 + 9).De remarcat cã, în timpul dinastiei Han (206 î.e.n.-220 e.n.),

chinezii ætiau sã efectueze pe suportul de socotit înmulåiri, împãråiriæi extragerea rãdãcinilor.

Arina în Åara Numerelor 119

Page 122: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Indienii notau uæor numere mari

Din anii 1500-1000 î.e.n. ai epocii vedice, nu ne-au parvenittexte de matematicã. Limba în care au fost scrise Vedele, o sanscritãarhaicã, atestã utilizarea de numere foarte mari. Ea poseda denumirispeciale pentru toate puterile lui 10 pânã la 108.

Sistemul de numeraåie a fost dezvoltat, de altfel, prin introdu-cerea, începând din secolul al V-lea î.e.n., în sanscrita clasicã, aunor denumiri pentru toate puterile lui 10 pânã la 1023. Nu aveminformaåii despre existenåa, în acele timpuri, a unor notaåii bazate pecifre.

Cele mai vechi urme de numeraåie scrisã sunt atestate în Indiaîncepând de la mijlocul secolului al III-lea î.e.n. æi sunt conåinute înInscripåiile lui Asoka (Asoka a domnit între 269 æi 232 î.e.n. æi a fostunul dintre cei mai vestiåi suverani ai Indiei; el a unificat întreagaIndie æi a stabilit relaåii cu statele elenistice). Inscripåiile au fostredactate în douã limbi: kharosti (folositã în extremul vestic alIndiei), în jurul anului 250 î.e.n., æi brahmi, limbã vorbitã în totrestul Indiei pânã la începuturile Creætinismului. Acest tip denumeraåie, care a dãinuit în forme similare pânã la începutul ereinoastre, æi, în unele pãråi ale Indiei, chiar æi mai târziu, folosea sim-boluri distincte nu numai pentru fiecare unitate, ci æi pentru toåi zeciiæi toate sutele. Astfel, numerele 3, 30, 300, 3 000 erau notate,fiecare, cu un simbol propriu. Cât despre scrierea kharosti, aceastaeste o transpunere a vechii scrieri fonetice indiene cu caractere alealfabetului aramaic, modificate æi îmbogãåite cu semne comple-mentare. Numeraåia legatã de aceastã scriere este unica din India încare se scrie de la dreapta la stânga, ceea ce ne îndreptãåeæte sã cre-dem cã este de origine strãinã.

120 Eliza Roman

Page 123: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Tabloul de mai jos ilustreazã modalitatea în care erau notatenumerele în scrierea kharosti:

Numerele de la 2 la 5 erau reprezentate prin repetarea numãrului 1;pentru numerele 6-9 se folosea semnul X, care îl simboliza pe 4 æila care era adãugat numãrul sau numerele dorite. Astfel, se nota 4 + 2pentru 6; 4 + 3 pentru 7; 4 + 4 pentru 8; 4 + 4 + 1 pentru 9. Nodurilezecilor de la 30 la 90 erau scrise prin repetarea semnelor reprezen-tându-i pe 10 æi 20. Numãrul 10 avea un simbol propriu. Semnulpentru 20 nu era cel pentru 10 dublat, ci, probabil, o ligaturã; elsemãna cu trei al nostru. Zecile de la 30 la 90 se obåineau, deci, prinrepetarea acestor semne: 30 = 20 + 10; 40 = 20 + 20; 50 = 10 + 20 + 20;60 = 20 + 20 + 20; 70 = 10 + 20 + 20 + 20; 80 = 20 + 20 + 20 + 20;90 = 10 + 20 + 20 + 20 + 20. Notarea sutelor era limitatã, apãrea unsemn nou pentru 100.

Numerele scrise în vechea modalitate vor evolua pe parcursulsecolelor:

Arina în Åara Numerelor 121

Fig. 29. Numeraåia în scrierea kharosti(Reprodus dupã: Karl Menninger, Zahlwort und Ziffer Eine Kulturgeschichte der Zahl,

ediåia a 2-a, vol. I, Vandenhoeck und Ruprecht, Gõttingen, 1958)

Fig. 30. Cifre indiene din secolele I æi II e.n.

Page 124: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Observãm astfel folosirea pentru numerele 1, 2, 3 a unor notaåiimai speciale, un nou semn pentru unitate funcåiona alãturi de lini-uåe. În ceea ce priveæte grafia lui 100, ea este complet diferitã în se-colul al II-lea al erei noastre faåã de cea din secolul al II-lea î.e.n.

Numeraåia legatã de scrierea brahmi a avut, ulterior, un impactdeosebit în crearea sistemului zecimal poziåional. La origine, eanota numerele 1, 2 æi 3 cu liniuåe verticale, pe 4 cu ajutorul uneicruci, iar pe 6, 50, 200 prin semne speciale, dupã cum se vede dinfigura de mai jos. Avem prilejul aici sã urmãrim æi modul cum seputea nota cu ajutorul acestor semne numãrul 256:

În timp ce scrierea kharosti constituia un sistem zecimal nepozi-åional, având semne distincte pentru 1, 4, 10, 20 æi 100, scriereabrahmi va prezenta semne distincte pentru primele nouã numere æipentru zeci, sute æi mii; sutele æi multiplii miilor se obåineau pe bazaprincipiului multiplicativ. Se distinge în numeraåia brahmi noåiuneade rang superior lui 10. Suntem în faåa unei treceri spre o scrierepoziåionalã. Poziåia sau rangul este indicatã cu ajutorul unui semn.

122 Eliza Roman

Fig. 31. Numere în scrierea brahmi

Fig. 32. Numãrul 256 în notaåia brahmi

Page 125: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

În jurul anilor 600, a apãrut o scriere care utiliza numai primelenouã semne ale scrierii brahmi, numerele fiind transpuse nu dupãvechea metodã brahmi, ci în sistemul scrierii poziåionale.

Numeraåia grotelor. Descoperirile fãcute în grote atestã o marediversitate de notare a numerelor. În grotele de la Nana Ghat, carepãstreazã inscripåionãri fãcute cu douã secole înaintea erei noastre,sunt atestate semne pentru numerele 1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 20, 60, 80,100-200, 400, 700, 1 000, 4 000, 6 000, 10 000, 20 000. Formareanodurilor sutelor æi miilor atrage atenåia; cifrele pentru 100 æi 1 000reapar în regula de formare a celorlalte numere. În numeraåia dingrotele de la Nasik, care conservã înregistrãri din secolul al II-lea alerei noastre, numerele se prezintã atât sub formã de semn, cât æi decuvânt. Deæi putem constata similitudini cu numeraåia chinezã atextelor de ghicit, numeraåia indianã este superioarã celei din sis-temul chinez. Sunt atestate semne pentru numerele 1-10, 20, 40, 70,100, 200, 500, 1 000-4 000, 8 000 æi 70 000.

Cele mai vechi inscripåii ale numeraåiei tamul provin din secolul Ial erei noastre æi au fost descifrate de pe vase de lut. Tamul (tamil)este cea mai veche limbã din familia idiomurilor dravidiene, vorbiteîn sudul Indiei æi în Sri Lanka. Numeraåia tamul are baza 10 æi opereazãcu nouã simboluri pentru unitãåi æi cu trei simboluri pentru 10, 100 æi 1 000.

Aæa-numita numeraåie singalezã, folositã pânã azi în India, sesitueazã din punctul de vedere al concepåiei între numeraåia groteloræi cea tamul, dar este mai apropiatã de aceasta din urmã. Cifrele sin-galeze ale locuitorilor din Sri Lanka emigraåi din India fac parte dincategoria semnelor contrase, contopite.

Arina în Åara Numerelor 123

Fig. 33. Scriere brahmi care transpune numereleîn sistemul notaåiei poziåionale

Page 126: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Inscripåiile indiene din primele secole ale erei noastre atestãnotarea de semne deosebite pentru numere în diferite regiuni, unelefiind obåinute prin repetare, altele prin multiplicare. De exemplu, 4 000este notat prin semnul lui 1 000 având la dreapta semnul numãrului 4.Inscripåii din respectiva perioadã relevã folosirea acestui mod dereprezentare a numerelor pânã la 70 000, dupã cum se poate vedeamai jos:

Mai vechi sau mai noi, toate tipurile de numeraåie utilizate înIndia l-au avut ca bazã pe 10. Aceastã bazã este superioarã bazei 5,prea micã, æi, de asemenea, bazelor 20 æi 60, prea mari pentrumemoria omului.

Am vãzut cã pânã la apariåia sistemului zecimal poziåional, înIndia au fost utilizate o mulåime de sisteme de numeraåie æi de cifre.Tentativele de optimizare a sistemului au fãcut ca aceastã varietatede sisteme sã se apropie, în diferite regiuni ale Indiei, de sis-temul poziåional. În inscripåiile din secolul al VII-lea dinCambodgia æi Indonezia se folosea æi semnul 0, sub formã depunct sau de cerculeå.

Scrierea zecimalã poziåionalã apãrutã în secolul al VII-lea sedesãvâræeæte la începutul secolului al IX-lea. Zero era notat, peatunci, printr-un punct. Aceastã scriere s-a propagat mai târziu întoatã lumea, datoritã arabilor. Nu se ætie însã exact când a fostinventatã de indieni, fiindcã nu a fost folositã imediat dupã apariåie,æi nu în întreaga Indie. S-ar putea ca ea sã nu fi fost semnalatã în

124 Eliza Roman

Fig. 34. O reprezentare indianã a numerelor 1-70 000(Reprodus dupã: Istoria generalã a ætiinåei, vol. II, p. 173)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40 70 80 100

200 500 1000 2000 3000 4000 8000 70000

Page 127: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

documente imediat dupã apariåie sau ca documentele în care a fostsemnalatã sã se fi pierdut.

Cea mai importantã atestare a sistemului de numeraåie indianeste inscripåia de la Gwalior (o localitate situatã la aproximativ 300de km sud de New Delhi). Inscripåia este datatã 933, dar, în realitate,corespunde anului 876. Ea consemneazã, în sfâræit, apariåia nume-raåiei scrise de poziåie æi pe zero operator, care figureazã de douã ori.

Dupã cum susåine D.E. Smith (History of Mathematics, vol. II,New York. p. 70), cifrele atestate pe inscripåie sunt 1, 2, 3, 5, 7, 8,9, iar 0, 4 æi 6 lipsesc, aæa cum se vede mai jos:

Karl Menninger a completat æirul acestor numere cu 0, 4 æi 6,dupã cum aratã Geneviève Guitel. El a folosit în acest scopgravurile de cupru contemporane epocii.

Dupã cum se observã din acest tablou, zero operator figureazãclar æi seamãnã cu zeroul median, care fusese atestat cu douã secolemai înainte în India. Primele trei numere sunt prezentate prin semneoriginale, care au pierdut orice urmã figurativã. Ne aflãm, într-adevãr,în faåa unui progres semnificativ legat de apariåia numeraåiei scrise

Arina în Åara Numerelor 125

Fig. 35. Cifre atestate pe inscripåia de la Gwalior(Reprodus dupã: David Eugene Smith, History of Mathematic, vol. II, New York, Dover

Publications, 1958, p. 70)

Fig. 36. Cifre prezentate de Karl Menninger(Reprodus dupã: Zahlwort und Ziffer Eine Kulturgeschichte der Zahl, ediåia a II-a Göttingen,

Vandenhoeck und Ruprecht, 1958, p. 233)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Page 128: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

de poziåie. Sã nu uitãm cã scrierea din China vecinã, deæi de poziåie,a rãmas tot figurativã.

Interesante sunt, de asemenea, douã inscripåii gravate pe un mictemplu situat pe drumul care duce la Gwalior. În prima inscripåie,redactatã în sanscritã æi datatã 932, numãrul este simbolizat doar culitere. Cea de a doua inscripåie, în sanscritã, dateazã din anul 933.Anul este marcat atât cu litere, cât æi cu cifre, care seamãnã foartemult cu cele pe care le folosim în zilele noastre. Este vorba despreo donaåie fãcutã unei grãdini de flori æi în care sunt menåionate: osuprafaåã de pãmânt de 270 de hasta lungime æi 187 de hasta lãåime;50 reprezintã contribuåia zilnicã pe care corporaåia grãdinarilorurma s-o dea templului, adicã 50 de ghirlande de flori de sezon.Reproducem, mai jos, aceste numere:

Numeraåia indianã s-a rãspândit în timp, mai întâi în ariaEufratului. În anul 720, apare, în China, un text de numeraåie indi-anã de poziåie, în care figureazã æi zero operaåional. La sfâræitulsecolului al VIII-lea, numeraåia poziåionalã indianã era cunoscutã laBagdad, iar învãåaåii arabi aplicau cu succes acest sistem.

În Europa, pãtrunderea numeraåiei indiene a început prin inter-mediul arabilor, în Peninsula Ibericã. Un rol remarcabil în rãspândi-rea ei l-a avut eruditul francez Gerbert d’Aurillac (938-1003),devenit Papa Silvestru al II-lea (999-1003), autorul volumuluiRegula abaco computi.

Impactul hotãrâtor în rãspândirea cifrelor indiene æi a scrieriipoziåionale a numerelor se datoreazã traducerilor în limba latinã a

126 Eliza Roman

Fig. 37. Cele patru numere gravate pe micul templu dinapropierea Gwaliorului

(Reprodus dupã: Geneviève Guitel, Op. cit., p. 620)

Page 129: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

aritmeticilor arabe, îndeosebi a aritmeticii lui al Horezmi. În secolulal XV-lea, algoriætii, adepåii noilor metode de calcul, obåin o victo-rie definitivã asupra abaciætilor, adepåi ai vechilor metode.

Cel mai târziu în secolul al X-lea, varianta apuseanã a noii scrieri,numitã gubar (nisip, praf), ajunge în Spania maurã æi este folositã încalculele comerciale efectuate pe abacul acoperit cu nisip.

Indienii s-au preocupat de folosirea numerelor æi în poezie. Înpoemele cu adresã didacticã, numerele erau prezentate cu ajutorulcuvintelor-simbol. În celebrul poem Sürya Siddhânta, întâlnim cuvin-tele vid pentru 0, cuplu pentru 2, foc pentru 3, ocean pentru 4, æarpepentru 8.

Remarcãm, apoi, interesanta notare a numerelor cu ajutorul sila-belor, datoratã lui Aryabhaåa, unul dintre cei mai originali autori aiætiinåei indiene (nãscut, probabil, în 476). Aryabhaåa a folositpentru tabelele numerice o notaåie foarte concisã a numerelor mari,care atribuie silabelor valori numerice convenåionale. Dupã o ana-lizã fonologicã profundã a vechilor gramatici indiene, celor 25 deocluzive pronunåate împreunã cu vocala a æi clasate în guturale,palatale, etc. li s-au atribuit valori de la 1 la 25, iar semivocalele,siflantele æi aspiranta ha au primit valori de zeci, de la 30 la 100.Când vocalele æi diftongii înlocuiau vocala a în aceleaæi silabe,numãrul exprimat se înmulåea cu un factor de la 102 pânã la 1016. Deexemplu: ga = 3, gi = 300, gu = 30 000 = 3x104, gr =3x106,gl = 3x108 etc. (orice deplasare în æirul vocalelor æi al diftongilorreprezenta o amplificare cu 102).

Arina în Åara Numerelor 127

Fig. 38. Varianta gubar

Page 130: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Numeraåia inventatã de Aryabhaåa este marcatã de influenåasilabelor arabe. Acestea sunt responsabile de incoerenåa notaåieinumerelor de la 1 la 100 æi, de asemenea, de nefericita introducerea lui 100 ca bazã auxiliarã, dar, datoritã vocalizãrii silabelor, Arya-bhaåa reuæeæte sã noteze numerele foarte mari cu o extremã uæurinåã.

Itinerarul numeraåiei la români

Dupã cum o spune însuæi titlul de mai sus, adoptarea sistemuluide numeraåie pe care-l folosim astãzi are antecedente diverse æi deveche sorginte, indicînd implicarea numãrului în viaåa socialã, îneconomie æi în culturã. La noi, ca de altfel peste tot în lume, supor-turile iniåiale pentru înregistrarea informaåiei numerice au fost celedin naturã, în mod preponderent lemnul, piatra æi, mai târziu, hârtia.Ca urmare, strãmoæii noætri au recurs æi ei, în mod obiænuit, la acestemijloace, care se constituie în atestãri palpabile ale istoriei scrisuluipe aceste meleaguri. Au fost, mai întâi, suporturile sã le spunem„ancestrale“, respectiv rãbojul æi încrustãrile pe cherestea, pe pietreletombale, pe clopotele de bisericã, iar într-o etapã ulterioarã o gamãvariatã de tipuri de documente scrise având ca suport hârtia.

Identificãm, astfel, numere având pentru început transcripåiidiferite în abecedarele mai vechi (bucoavne) sau mai noi, ca æi înmanualele æcolare sau în tratatele ætiinåifice, în calendare, ca æi încãråile bisericeæti (ceasloave, catehisme), în documentele adminis-trative de tot felul, în pravile (culegeri de legi laice æi bisericeæti), înregistrele mai vechi (catastife) sau mai noi, dar æi în documentecomerciale, în evidenåele de vamã, în actele privind dãrile sau daniile æ.a.

Secole la rând, pentru înregistrarea informaåiilor locuitorii de pemeleagurile noastre au folosit rãbojul. Practic, rãbojul este o stinghiede lemn (rabdos în greacã înseamnã bãå, baston, vergea) pe care eraumarcate cantitãåi (numãr de animale, sume de bani, mãrfuri etc.).

128 Eliza Roman

Page 131: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Dupã încrustarea cantitãåilor, vergeaua era despicatã în douã,fiecare parte interesatã rãmânând în posesia unei înregistrãri identicecu cealaltã parte. Se realizau, în acest fel, o evidenåã æi un controlnumerice corecte. Una dintre pãråi i se dãdea – sã spunem – ciobanu-lui, lucrãtorului, cumpãrãtorului sau celui impozitat, cealaltã partestãpânului de oi, feudalului, negustorului, perceptorului. La lichi-darea tranzacåiei, înregistrarea se dovedea corectã dacã încrustãrilecelor douã pãråi ale rãbojului se îmbinau perfect. De fapt, populaåiasãteascã a Europei a recurs pe tot parcursul Evului Mediu la aceastãmodalitate de înregistrare numericã. Cronicarul maghiar KézaiSimon scria, în 1283, cã secuii, care vieåuiau tradiåional împreunãcu valahii, au împrumutat de la aceætia scrierea pe rãboj („Revistapentru istorie, arheologie æi filologie“, Bucureæti, an. I, nr. II, 1882,p. 207).

Pe rãbojuri, numerele erau reprezentate, cel mai adesea, dupãcum urmeazã: pentru 1 – o liniuåã verticalã, pentru 2 – douã liniuåe,pentru 3 – trei liniuåe, pentru 4 – patru liniuåe, pentru 5 – simbolulV, pentru 10 – simbolul X, pentru 15 un X urmat în partea supe-rioarã de un V minuscul. Numãrul 100 se nota printr-un X majus-culã traversat la mijloc de o liniuåã orizontalã. Pârcãlabii (conducã-tori de judeåe sau de åinuturi având sarcini administrative æi militare)notau cu o crestãturã latã suma de 5 lei, aceeaæi crestãturã tãiatã cuo linie oblicã indica suma de 10 lei, iar cu o tãieturã verticalã sim-plã se realiza semnul pentru 5 bani.

Muncitorii din saline æi plutaæii au folosit æi un sistem propriuprimitiv de notare a sumelor pe care urmau sã le încaseze, folosindcrestãturile pe cherestea, procedeu care va continua pânã în secolulal XIX-lea. Teodor T. Burada ne-a lãsat un studiu valoros Desprecrestãturile plutaæilor pe cherestele æi alte semne doveditoare deproprietãåi la români (Iaæi, 1880). Crestãturile erau fãcute cutoporul sau cu barda æi continuate cu fierul înroæit, pentru a serealiza aæa-numita „danga“.

Arina în Åara Numerelor 129

Page 132: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Pe drumul spre adaptarea æi impunerea numeraåiei de poziåie cucifre arabe, pe care o folosim æi astãzi, pe teritoriul åãrii noastre aufost în uz: sistemul de numeraåie latin, sistemul de numeraåie alfa-betic chirilic æi sistemul de numeraåie grecesc. Cele mai vechi urmede numeraåie scrisã sunt de expresie latinã æi le identificãm în carteaepocii daco-romane sau strãromâne. O piatrã tombalã descoperitã laRomita (azi, jud. Sãlaj) æi pãstratã la Muzeul de Istorie din Cluj,atestã folosirea numeraåiei latine în epoca Daciei Romane. Dupãcum se ætie, vestiåi cãrturari æi teologi din veacurile IV-VII, cei maimulåi din Scythia Minor (Dobrogea), cum au fost Ioan CasianRomanul (Ioannes Cassianus), Niceta de Remesiana, DionysusExiguus, Ioan de Tomis æ.a., s-au remarcat prin conceperea descrieri care aparåin curentului de continuitate în diversitate a culturiide extracåie romanicã, o culturã de limbã latinã, care, vreme de 13veacuri – de la Vergiliu la Dante –, avea sã fie limba de culturã acontinentului nostru. Prin urmare, înainte de a fi, aici, cultura æicartea în înveliæ slavon, cel mai adesea, însã, de extracåie bizantinã,am avut o cãrturãrime æi o culturã de mai veche tradiåie, propriiepocii daco-romane sau strãromâne, care au rodit cãråi cunoscute æipreåuite în Europa timpului.

Literele æi numerele latine vor fi folosite, în continuare, concomitentcu alte sisteme de scriere æi de numeraåie. Începând din secolul alXI-lea, latina devine limbã de cult în Transilvania, iar din secolul alXII-lea æi limbã de culturã. Apoi, în secolele XVI-XIX, va fi unfenomen distinct cartea în limba latinã, mai exact în latina medievalã(târzie), fenomen marcat de opera unor învãåaåi cum sunt NicolausOlahus, Samuil Micu, Gheorghe Æincai, Petru Maior, DimitrieCantemir. Vor fi elaborate gramatici, dicåionare, lucrãri filosofice,istorice, scrieri în versuri, toate purtând numeraåie latinã. Mai multsau mai puåin sporadic, alfabetul æi numeraåia latinã au pãtruns încancelarii, apoi, în viaåa economicã æi comercialã (acte contabile,registre de socoteli ale unor moæii, registre administrative, vamale,

130 Eliza Roman

Page 133: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

fiscale æ.a.). Existã atestãri ale fenomenului încã din secolele XII-XIII. Prima inscripåie cu adresare publicã dateazã din secolul alXIV-lea æi figureazã pe clopotul bisericii din Leghia (jud. Cluj).

Un fenomen de pregnanåã este asimilarea sistemului de nume-raåie chirilic. Literele-cifre prezintã valori numerice identice cu celeale semnelor greceæti corespunzãtoare. Pentru notarea miilor, bazacifrei era precedatã de o codiåã cu una sau mai multe liniuåe. Potrivitatestãrilor istorice, începând din secolul al X-lea, datarea acteloroficiale se fãcea cu ajutorul acestui sistem. Urme de numeraåiechirilicã aflãm de pildã într-o inscripåie din localitatea Mircea-Vodã(Dobrogea), notatã 6451, adicã 943 („Inscripåia slavã din anul943“, în „Studii“, an IV, nr. 3 (1953), nr. 3, p. 123-134) sau în ceade la biserica rupestrã de la Basarabi (Dobrogea), datatã 6451,adicã 942 (I. Barnea æi V. Bilciurescu, „Æantierul arheologic Basa-rabi, în: „Materiale æi cercetãri arheologice“, an. VI, 1959, p. 541-566).Amintim, apoi, manuscrisul slavon nr. 20 pãstrat la BibliotecaAcademiei Române, un Apostol, care provine din secolul al XIII-leaæi care conåine multe numere transcrise în sistemul chirilic. Pentruistoria matematicii, deosebit de importante sunt, la rândul lor, calen-darele întocmite în vederea stabilirii datei Paætelui, denumite Pascalii.

Începând din secolul al XIV-lea, numerele reprezentate cu aju-torul simbolurilor chirilice se regãsesc, frecvent, pe monede, îninscripåii din biserici æi în cele tombale, ca æi în manualele æcolaredupã care au învãåat strãmoæii noætri.

Pentru ilustrarea numeraåiei chirilice în viaåa economicã, menåionãmmanuscrisul Catastih de cisle de åirani de toate åinuturile, decurtiani æi vãtaji æi neamæi æi popi (datat 20 februarie 1591),cuprinzând pe cei care plãteau dãri din 23 de åinuturi ale Moldovei.El demonstreazã atât cunoaæterea cifrelor, cât æi a operaåiei deadunare a numerelor. Interesantã este folosirea termenului cislã,care înseamnã cota-parte ce revenea persoanelor în cauzã dintr-osumã plãtitã în comun. Termenul provine din slavã, unde înseamnã

Arina în Åara Numerelor 131

Page 134: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

numãr. Remarcãm, de asemenea, Catastih amintitor de câte æi-aucumpãrat casapii (mãcelarii) din åarã, cu asprii lor; æi-au pecetluit casã treacã prin schelea de la Isaccea æi prin Focæani, ca sã ætie, din15 mai 1591, unde avem æi o operaåie de înmulåire (Documenteprivind istoria României. Veacul XVI, vol. IV, 1952, p. 26-27).

Tot secolul al XIV-lea, locuitorii de pe meleagurile noastre intrãîn contact cu alte douã sisteme de numeraåie: cel grecesc æi cel arab.Primul are o influenåã din ce în ce mai pronunåatã în Åãrile Române,datoritã mai cu seamã contactelor diplomatice sau ale clerului culumea Bizanåului. O atestã numeroase inscripåii, printre care una dinvremea lui Mircea cel Bãtrân, respectiv din 1407, numeroase pietrefunerare (începând din 1480), precum æi o suitã de manuscrisegreceæti cu caracter didactic. Cifre greceæti întâlnim æi în Transilvania,

132 Eliza Roman

Fig. 39. Litere-cifre chirilice(Reprodus dupã: Al. Toth, Op. cit.)

Page 135: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

de aceastã datã în secolul al XVI-lea. Johannes Honterus (1498-1549) publicã, la Braæov, lucrãri aparåinând lui Aristotel, Platon,Hesiod, în care numerele sunt notate în sistemul grecesc.

Numeraåia greacã a pãtruns æi în texte cu caracter economic. Înarhivele organismelor comerciale transilvãnene din secolul al XVI-lease gãsesc corespondenåe, registre comerciale, procese-verbale æi alteacte care conåin informaåii notate în acest sistem de numeraåie.Biblioteca Academiei pãstreazã o Codicã a companiei greceæti dinSibiu din anii 1639-1777, 1705-1814, 1723-1786 etc. (manuscriselegreceæti purtând numerele 975, 977 æi 978), ca æi documente provenind dela visteria statului din Åara Româneascã æi Moldova, ilustrative subacest raport.

Sistemul de numeraåie de poziåie cu cifre arabe a apãrut pe melea-gurile noastre începând din secolul al XV-lea (deæi documenteleevocã folosirea sporadicã în Transilvania a numeraåiei arabe încãdin secolul al XIV-lea, nu au fost identificate pânã în prezent urmeale fenomenului la acea epocã). O atestã o gamã largã de mãrturii:manuscrise, liste de preåuri, socoteli comerciale, monede, pietrefunerare, clopote de bisericã. Cea mai veche inscripåie cu cifre arabedateazã din anul 1407 (biserica din Vãleni, judeåul Cluj).

Fireæte, procesul de pãtrundere æi de generalizare a numeraåiei depoziåie arabe a fost unul de duratã. Mai întâi, noul sistem apare întextele oficiale administrative. Descoperim numere arabe chiar æi întextele greceæti, precum în Socoteala pentru goætina [dare] a oilordin Moldova cu lista cumpãrãtorilor (manuscris grecesc aflat înArhivele Naåionale ale României æi reprodus în volumul I alColecåiei de documente Hurmuzaki) sau în Catastiful vãmilorMoldovei, din 1765. În sfâræit, în samile (dãri în bani pe care trebuiausã le achite contribuabilii în comun), se întâlnesc, deseori, cifrescrise în sistemul de numeraåie arab. De subliniat cã toate cursurilede matematicã de înalt nivel åinute în secolele XVII-XVIII laAcademiile din Iaæi æi Bucureæti au folosit cifre arabe.

Arina în Åara Numerelor 133

Page 136: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Secolul al XVIII-lea atestã extinderea în toate compartimentelesocietãåii a sistemului de numeraåie arab. Astfel, prima aritmeticã,din anul 1777, redactatã în limbile românã æi germanã æi intitulatãDucere de mânã (cãtre aritmeticã) sau socoteala pentru trabãpruncilor româneæti celor ne[uniåi lor] ce se învaåã la æcolele cele[mici], Beci (Viena), foloseæte exclusiv cifre arabe. Ea cuprindenumere foarte mari, care merg pânã la milioane æi biliuoane, mili-oanele fiin notate cu o virgulã în locul exponentului, iar bilionul cudpouã virgule, de pildã 54 321‘ sau 644 321“ sau 54 321“. Avemapoi, Introducere cãtre [Aritmeticã]. Întâia parte. În Blaj, 1785, alui Gheorghe Æincai, care se încheie cu un tabel comparativ alnumerelor illuriceæti [chirilice] æi åifre hãrãpeæti [arabe], æiElemente matematiceæti fireæti, Iaæi, 1798, a lui Amfilohie Hotiniul,care foloseæte, la rându-i, noul sistem de numeraåie.

Pe teritoriul åãrii noastre au circulat, sporadic, æi aæa-numitelecifre arabe de est (variantã folositã în Turcia). Monede, inscripåii,texte turceæti æi sigilii reprezintã documentele moætenite din relaåiileÅãrilor Române cu hanatele (state conduse de hani) æi cu ImperiulOtoman. Am putea exemplifica folosind Condica moldoveneascã alui Alexandru Ipsilanti (1786-1787), redactatã în turco-osmanã,apoi Ceaslovul grecesc æi arãbesc tipãrit de Antim Ivireanul, publi-cat la Bucureæti, în 1702, æi traducerea Aritmeticii lui ManuilGlyzonios din Hios (Biblioteca Academiei Române, ms. 1316). Desubliniat cã Aritmetica lui Glyzonios dã un tabel al numerelor de la1 la 10 în slove româneæti, italieneæti æi turceæti.

Este de reåinut cã, vreme îndelungatã, evoluåia numeraåiei laromâni nu a însemnat utilizarea æi dezvoltarea unui singur sistem de

134 Eliza Roman

Fig. 40. Cifre arabe de est

Page 137: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

înregistrare numericã. În unele perioade, au funcåionat, în paralel,pe tot teritoriul åãrii noastre sau în unele zone, toate cele patru sis-teme de numeraåie prezentate aici, pânã sã se impunã numeraåia depoziåie arabã, în secolul al XV-lea. De pildã, numeraåia chirilicãapare la noi pe fondul antecedentelor de numeraåie latinã æi coexistãcu aceasta vreme îndelungatã. O ilustreazã æi faptul cã, pe parcursulsecolului al XV-lea, în Transilvania cifrele arabe erau utilizate fiede sine stãtãtor, fie împreunã cu cifrele latine, pentru ca la sfâræitulaceluiaæi secol sã devinã preponderente, cu precizarea cã în actelede facturã economicã aveau sã predomine cifrele chirilice æi în secolulal XVII-lea, æi la începutul secolului urmãtor.

De fapt, noi numãrãm la fel ca francezii æi englezii în privinåaunitãåilor simple 1, …, 9 æi 0. Potrivit profesorului ieæean Ilie Popa,care a întreprins un studiu comparativ al formãrii numerelor înlimba românã în raport cu alte limbi (publicat în volumul Bibliografiamatematicii româneæti, de Eliza Roman, Editura Academiei, 1972),numerele 11-19 se compun în limba românã prin mecanismul diferenåial.

Modul de pronunåare a numerelor dintre 11 (unsprezece) æi 19(nouãsprezece), adicã unitatea spre cifrã, ne aratã cã ne aflãm în faåaunei combinaåii aditive diferite de combinaåia aditivã cea mai obiæ-nuitã, care utilizeazã conjuncåia æi pentru a realiza adunarea. Meca-nismul acesta se numeæte diferenåial. El se deosebeæte de cel dinlatinã æi din limbile romanice, unde aceste numere se obåin prinmecanismul aditiv, pe când mecanismul diferenåial se întâlneæte înlimbile slave, germanice, în albanezã æi în lituanianã. În timp ce înlimba românã, ca æi în celelalte idiomuri romanice, denumirile pentru21,...29,...,91,...99 se compun prin mecanismul aditiv de forma20 + 1..., 90 + 9, în limbile slave se foloseæte mecanismul aditiv deforma 1(20) æi 20(1) – în care se omite particula de legãturã.Denumirile o sutã, o mie – observã Ilie Popa – nu apar nici înlatinã, nici în vreo limbã romanicã, dar ar putea fi identificatã aicio înrudire cu greaca.

Arina în Åara Numerelor 135

Page 138: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

NUMERE REMARCABILE

Creaåia pitagoricã

Pasionatã de tot ce se referã la numãr, Arina este invitatã decolegii ei Ætefan æi Marius la o „seratã matematicã“, în care materi-alul didactic va fi înregistrarea unei discuåii a celor doi pe temanumerelor pitagorice. Bineînåeles, Arina acceptã, æi întâlnireadebuteazã într-o ambianåã de „sobrietate ætiinåificã“.

Pentru a destinde puåin atmosfera, Ætefan îi fredoneazã Arinei omelodie în care cuvintele încearcã sã se adecveze subiectului:

De la Pitagora încoace,Bieåii copilaæi n-au pace.Dã-i cu teoreme, lemeÆi-o mulåime de probleme!

Pe acest fond, urmeazã ascultarea benzii.

Marius: Ai dreptate, mi-a mâncat sufletul teorema asta a luiPitagora. Æi mai pretind unii cã reprezintã prototipulteoremelor, cã este teorema arhetip a matematicii.

Ætefan: Ar fi trebuit stârpitã pacostea asta din faæã, încã înGrecia anticã. Dacã s-ar fi pus la vot, toåi oamenii cucap ar fi votat împotrivã. Grigore C. Moisil, celebrulmatematician român æi pionier al informaticii mondiale,æi-a imaginat cum ar fi decurs votarea teoremei luiPitagora acum vreo 2 500 de ani. În Atena æi Boeåia,voturile favorabile ar fi fost de 40% æi, respectiv, de

Page 139: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

50%, iar în Samos, provincia de baætinã a lui Pitagora,de numai trei voturi.

Marius: Chiar aæa?Ætefan: În Samos, lumea îl cunoætea pe Pitagora. Cele trei

voturi favorabile puteau veni doar din partea lui, atatãlui æi a fratelui. Fiul lui, contestatar, ar fi votatîmpotrivã. Vezi, Doamne, a fãcut æi el o teoremã. Marescofalã! Apoi, cine ætie dacã e a lui. Se zvoneæte cã ar fi„împrumutat-o“ din Egipt. Æi, în definitiv, teoremaasta la ce serveæte? E adevãratã? A mãsurat Pitagoratoate triunghiurile dreptunghice?

Marius: Dar nu s-a pus la vot, æi teorema rezistã de douã mileniiæi jumãtate.

Ætefan: Teorema lui Pitagora reprezintã, de fapt, cazul generalal funiei cu 12 noduri de care se foloseau arhitecåii dinAntichitate pentru a trage linii perpendiculare, adicãpentru a desena unghiuri drepte pe terenurile pe careurma sã fie ridicate construcåii. Ei mânuiau doar uncaz particular al triunghiurilor dreptunghice, acela încare laturile triunghiului sunt egale cu 3, 4 æi 5, cãci32 + 42 = 52.

Marius: Este drept cã teorema lui Pita-gora, care spune cã în orice tri-unghi dreptunghic suma pãtrate-lor catetelor este egalã cu pãtra-tul ipotenuzei, a fost cunoscutãpentru cazuri numerice particu-lare de cãtre sumerieni cu douãmilenii înainte de Hristos. Dinsecolul al XVIII-lea î.e.n., s-apãstrat o impresionantã serie deasemenea relaåii, consemnate pecelebra tãbliåã babilonianã

Arina în Åara Numerelor 137

Pitagora

Page 140: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Plimpton 322, care a servit la rezolvarea unorprobleme de geometrie æi de algebrã. Textele vechiindiene æi cele de ritual, precum æi aforismele despresfoara zidarului cuprindeau, de asemenea, regulitehnice de construcåie bazate pe teorema lui Pitagora.Scrieri ale chinezilor menåioneazã, la rândul lor, utili-tatea æi valoarea acestei teoreme. La sfâræitul secoluluial II-lea e.n., Dya Chou Pei Suan Åing (Zhou Bei SuanJing), în Tratatul matematic despre gnomon, pome-neæte despre un triunghi dreptunghic cu laturile 3, 4 æi5, iar Ciao Åiung Åing (Zhao Jun Jing) dã o demon-straåie originalã a teoremei lui Pitagora.

Ætefan: Dacã se cunoæteau atâtea lucruri înainte de Pitagora,înseamnã cã el nu a avut nici un merit! A fost un plagiator!

Marius: Nu, Ætefane! Trebuie sã recunoaætem cã Pitagora æidiscipolii sãi – adicã cei care au demonstrat pentruprima oarã o teoremã – au fost geniali. Sã åinem seamacã o teoremã, o propoziåie sau un enunå odatã demon-strate au valoare eternã. Nu mai trebuie sã mãsurãmtoate triunghiurile dreptunghice din lume pentru a neconvinge de adevãrul relaåiei afirmate. Demonstrareateoremei lui Pitagora aratã foråa gândirii omeneæti faåãde experienåã, uæureazã efortul intelectual, economi-seæte timpul, ne fereæte de erori.

Întorcându-se acasã, Arina mediteazã. E drept cã Pitagora a asi-miliat din cultura egipteanã æi din cea babilonianã æi cã a pus bazeleunei confrerii secrete, dar lui îi datorãm demonstraåia matematicã.A exagerat adorând numãrul natural æi susåinând cã „orice lucru“,chiar æi „Dumnezeu“, este numãr! Ce sfâræit cumplit a avut! A muritmistuit de flãcãrile propriei æcoli, incendiate de fanatici politici æireligioæi, care ridicaserã mulåimile împotriva învãåãturii propovã-duite de matematicianul filosof. Aceætia i-au distrus fiinåa fizicã, dar

138 Eliza Roman

Page 141: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

geniul sãu matematic a dãinuit. Îi datorãm lui Pitagora æi æcolii luicristalizarea unei geometrii raåionale æi demonstrative, a unei arit-metici teoretice având ca obiect proprietãåile generale alenumerelor, a unei astronomii diferite foarte puåin de o geometriespeculativã, în sfâræit a unei muzici care trateazã la modul abstractæi matematic intervalele æi acordurile.

Numere p-adice

Arina consultã, la bibliotecã, ultimele noutãåi editoriale desprenumerele p-adice. Gabi, colega ei, rãsfoieæte, miratã, titlurile de pe masã.

Arina: Aflã, dragã, cã numerele p-adice ocupã astãzi un locimportant în universul numerelor!

Gabi: Ce reprezintã aceastã vocabulã, despre care n-a auzitmai nimeni æi care sunã cam barbar?

Arina: Numerele p-adice sunt o categorie de numere abstracte,greu de reprezentat, descoperite pe la începutul se-colului trecut de cãtre matematicianul german KurtHensen (1861-1941). Mult mai tinere decât celelaltecategorii de numere cu care elevii s-au deprins,numerele p-adice sunt entitãåi care au darul sã-i ajutepe cei ce se îndeletnicesc cu teoria numerelor sã con-struiascã instrumente de lucru foarte puternice æi chiarsã alimenteze speculaåiile unor fizicieni asupra naturiispaåiului æi timpului.

Gabi: Ce statut au aceste numere în matematicã?Arina: Cu toate cã nu sunt deloc intuitive, numerele p-adice

au dobândit un statut central în mai multe ramuri alematematicii, ca, de pildã, în teoria algebricã a numerelor(studiul rãdãcinilor polinoamelor cu coeficienåi raåionali)æi în geometria algebricã (studiul soluåiilor ecuaåiilorpolinomiale cu mai multe variabile). Æi încã ceva: din

Arina în Åara Numerelor 139

Page 142: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

raåiuni de comoditate, rigoare, coerenåã etc., mate-maticienii doreau sã completeze corpul numerelorraåionale în aæa fel încât sã includã numere care sã fie,asemenea numerelor iraåionale, limitele unor æiruri denumere raåionale.

Gabi: Ia-o mai încet. Explicã-mi ce e cu diferitele tipuri denumere.

Arina: S-o luãm cu numerele raåionale. Ele sunt de forma

± , unde m æi n sunt numere naturale (1, 2, 3…), iar neste diferit de zero. Numerele raåionale pot fi

scrise æi ca numere zecimale. Astfel, = 0,77777…,

= 0,555…., = 0,66 … etc.

Numãrul iraåional (pozitiv sau negativ) poate fireprezentat cu ajutorul unei fracåii zecimale neperi-odice formate dintr-o infinitate de cifre care nu serepetã periodic; de exemplu, = 3,14159265…. sau

= 1,4142…Gabi: Asta ætiam æi eu.Arina: Stai sã vezi. Distanåa dintre douã numere, cum sunt

cele pe care le mânuim în mod curent, se exprimã cuajutorul diferenåei dintre valorile absolute alepunctelor care au drept coordonate numerele respec-tive. Dacã A este egal cu 2 æi B este egal cu 5, distanåaAB = 5 – 2 = 3; dacã ieri au fost –7° æi azi sunt +3°,distanåa de temperaturã este de 10°C. Adicã, pentruînåelegerea numerelor se foloseæte noåiunea de dis-tanåã. Æi acum surpriza, Gabi dragã. Când e vorba denumere p-adice, se pot defini mai multe distanåe faåãde aceleaæi punct.

2

π

32

9

5

9

7

nm

140 Eliza Roman

Page 143: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Gabi: Cum adicã? Arina: În lumea acestor numere nu mai funcåioneazã distanåa

cu care lumea este obiænuitã, distanåa geometricã intuitivã.Gabi: Asta trebuie sã-mi ilustrezi.Arina: Pentru noåiunea de distanåã a numerelor p-adice se

foloseæte un arbore genealogic, în care se defineætedistanåa dintre doi veriæori ca fiind numãrul ramurilorce trebuie parcurse pentru a se ajunge de la unul lacelãlalt, trecând printr-un strãmoæ comun. În acestecondiåii, este uæor de constatat cã distanåa dintre doiveriæori din aceeaæi generaåie este cel mult egalã cu ceamai mare distanåã care îi separã pe cei doi veriæori deun al treilea, aparåinând aceleaæi generaåii cu cei doi.

Gabi: Totuæi, nu-mi dau seama cum se ajunge la aceste numere.Arina: Nu e uæor de realizat acest lucru, dar pot fi încercate

unele analogii.Gabi: Analogii?Arina: Numerele p-adice au fost obåinute de Hensel cu aju-

torul unor dezvoltãri oarecum asemãnãtoare celor pecare le facem noi pe numere obiænuite. Îåi dau unexemplu: sã luãm un numãr oarecare æi sã ne jucãm cuel. Atenåie, e un joc, nu o joacã.Luãm: 12 548,29 = 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 5 x 100 +

4 x 10 + 8 + = 1 x 104 + 2 x 103 + 5 x 102+

4 x 10 + 8 x 100 + 2 x 10-1 + 9 x 10-2. În acest mod,numerele p-adice pot arãta în felul urmãtor: a

npn + a

n-1pn-1 +

…+ a0+b

1p-1 + +b

2p-2+ …, unde n este un numãr oare-

care cuprins între 0 æi p.Gabi: Dã-mi o imagine mai „umanizatã“, Arina dragã.Arina: Uite, ne putem imagina numerele p-adice ca pe frun-

zele unui arbore ale cãrui crengi se ramificã la infinit.

1009

102 +

Arina în Åara Numerelor 141

Page 144: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Gabi: Æi la ce servesc numerele astea?Arina: În primul rând, de pe urma lor profitã matematicienii.

Numerele p-adice pot fi folosite fie considerând o sin-gurã distanåã, fie fãcând sã intervinã simultan toatedistanåele care se pot defini pe numere naturale (atâtdistanåele p-adice, cât æi distanåele clasice). Combinândaceste douã moduri de abordare, pot fi obåinute rezul-tate care se exprimã în manierã clasicã, adicã al cãrorenunå nu face sã intervinã numerele p-adice. Numereleacestea au fãcut senzaåie în matematicã atunci când æi-auarãtat utilitatea în demonstrarea celebrei teoreme a luiFermat, cãreia nu i se gãsise rezolvarea, în ciuda apeste trei secole de eforturi.

Gabi: Æi cine a fãcut isprava asta?Arina: Andrew Wiles. El a folosit numerele p-adice în mai

multe pãråi ale raåionamentului sãu, cu toate cã enunåulteoremei se referã numai la numere întregi obiænuite.Ecuaåia lui Fermat face parte din categoria ecuaåiilordiofantice. Îåi spun imediat ce sunt aceste ecuaåii.

Gabi: Se vorbeæte de adnotãrile lui Fermat la opera lui DiofantArina: Matematicianul grec Diofant avea pasiunea de a rezolva

în numere întregi ecuaåii al cãror prim membru eraupolinoame cu coeficienåi întregi.

Gabi: Dã-mi, te rog, un exemplu.Arina: Cele mai simple dintre aceste ecuaåii, ecuaåiile de

gradul I, sunt de forma ax + by = c, unde a, b æi c suntîntregi cunoscuåi, iar x, y întregi care trebuie sã fiedeterminaåi. S-a demonstrat cã pentru ca o ecuaåie dio-fanticã sã aibã o soluåie întreagã este necesar, dar nu æisuficient, ca ea sã aibã o soluåie p-adicã, în anumitecondiåii. Folosirea numerelor p-adice a fost extinsã, deasemenea, la funcåii.

142 Eliza Roman

Page 145: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

STATUTUL DE NUMÃR SE OBÅINE GREU

Existã numere iraåionale?

Dupã ore, Arina æi Oana pleacã spre librãrie. Fãrã sã ætie când,discuåia lor alunecã pe terenul numerelor.

Oana: Am urmãrit confruntarea diferitelor categorii denumere pentru obåinerea statutului de numãr.

Arina: Æi aici e nevoie de confruntare?Oana: Æi încã ce nevoie. Dacã numerelor naturale li s-a

recunoscut dintotdeauna identitatea, nu acelaæi lucru s-aîntâmplat cu celelalte tipuri de numere. Atât Thales,cât æi Pitagora, atât Platon, cât æi Aristotel, toåi învãåaåiigreci atribuiau calitatea de numãr doar numerelor na-turale. Nici mãcar numerelor fracåionare nu le acordaustatut de numãr. Acestea reprezentau pentru ei mãsuralungimii unui segment construit cu rigla æi compasul,cu ajutorul unui alt segment–unitate, cele douã seg-mente fiind comensurabile între ele. De aceea, li sespunea æi numere comensurabile. Pentru ei, numerelefracåionare erau doar mãrimi. Or, multe popoare dinVechime, precum hinduæii sau chinezii, au operat æi cualte tipuri de numere, atunci când le erau necesare înrezolvarea unor probleme, fãrã sã se preocupe de naturanumerelor.

Arina: Într-adevãr, grecii nu recunoæteau statutul de numãrdecât numerelor întregi pozitive, de fapt numerelor

Page 146: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

naturale finite. Pentru pitagoricieni ele constituiau„principiul adevãrului“, capabil sã dezvãluie reali-tatea. Observând cã numerele care caracterizeazã figu-rile intrinsece armonioase, cum este, de exemplu, cubul,apar æi în acordurile muzicale, au construit scenariularmoniei universale.

Oana: Cubul are toate laturile æi toate feåele egale, e frumos,dar nu-mi produce aceeaæi emoåie ca o simfonie…

Arina: Douã sunt elementele care concurã la plãcerea de aface matematicã: esteticul æi ludicul. Uite cum gân-deau pitagoricienii. Spune-mi, Oana, câte muchii, feåeæi vârfuri are cubul?

Oana: 12 muchii, 6 feåe æi 8 vârfuri.Arina: Media armonicã a numerelor 12 æi 6 este 8. Ætii definiåia?

Media armonicã a mai multor numere este reprezentatãprin numãrul al cãrui invers este egal cu media aritme-ticã a inverselor numerelor date. Sã aplici formulacând ajungi acasã æi o sã vezi cã 8 e media armonicã alui 12 æi 6.Media armonicã a mãrimilor a æi b este:

Oana: Media aritmeticã a lui a æi b este ; inversul lui a

este ; iar inversul lui b este ;

media aritmeticã a acestor douã numere æi este egalã cu suma lor împãråitã la 2

(cãci am de-a face cu douã numere, deci ).2

11ba

+

b1

a1

b1

a1 2

ba +

baab

ba+

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

211

21

1

144 Eliza Roman

Page 147: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Sã facem împãråirea:

Acum, åinând seama de definiåie, sã scriu inversulacestui ultim numãr, adicã 1 supra acest numãr.

Obåin: , deci ceea ce indicã definiåia mediei armonice.

Dacã numerele sunt 12 æi 6, sã facem calculele pentruobåinerea mediei lor armonice:

Am gãsit, deci, cã media armonicã este 8.Arina: Impactul acestor trei numere – 12, 6 æi 8 – apare clar

æi în muzicã. Dacã facem sã-i corespundã numãrul 6 înloc de 1 primei note a octavei, 8 va corespunde cvartei,iar 12 octavei. Fermecaåi de aceastã corespondenåã dintrenumere æi sunete, pitagoricienii au tras concluzia cãarmonia geometricã æi cea muzicalã sunt impuse deaceleaæi legi ale armoniei. Euforici, au extrapolat des-coperirea lor la existenåa „armoniei universale“, lege careregizeazã cu titlu egal æi uneæte într-o sintezã omogenãdiferite ordine ale realitãåii de o aæa simplicitate încâte adaptabilã æi spiritului.

Oana: „Armonia universalã“, care se reflectã æi în armoniaideilor, a dominat multã vreme gândirea filosofilor.Dar sã revin la întrebarea ta. Æi grecii au aflat desprealte categorii de numere, însã pentru ei erau doar mãrimisau simboluri.

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

ba11

21

1

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=×⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

babababa11

21

2111

12:112:11

Arina în Åara Numerelor 145

818

11

81:1

811

41

21

1

123

21

1

1221

21

1

61

121

21

1 =×===⋅

=⋅

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

Page 148: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Æi ce scandal a fost la apariåia numãrului iraåional.Oana: Criza aritmeticii greceæti a constat în incapacitatea ei

de a explica valoarea diagonalei unui pãtrat cu latura 1.Arina: Oricine ætie cã dacã a æi b sunt numere obiænuite (na-

turale), fracåia este un numãr raåional, iar dacã nu

existã numere întregi m, n astfel încât un numãr N sã

poatã fi exprimat prin , atunci se spune cã N este iraåional.

, , sunt numere iraåionale. Dacã vrem sãexprimãm un numãr iraåional în numeraåia zecimalã,cifrele de dupã virgulã se vor succeda fãrã nici o re-gularitate. Nu va apãrea aici o perioadã care sã serepete, ca în reprezentarea zecimalã a numerelor

raåionale (de exemplu se reprezintã prin 1,181818...,

unde perioada 18 se repetã la infinit). În acestecondiåii, dacã reprezentarea nu urmeazã nici o lege,cum putem defini zecimalele iraåionalelor, cum putemopera cu ele?

Oana: Scandalul a pornit de la valoarea diagonalei unui pãtratcu laturã 1, adicã de la . Diagonala împarte pãtratulîn douã triunghiuri dreptunghice egale cu laturile 1.Or, potrivit teoremei lui Pitagora, pãtratul diagonalei(ipotenuzei) este egal cu suma pãtratelor celor douãcatete, adicã a celor douã laturi, 12+12 = 2, iar diago-

nala este egalã cu . Grecii puteau gãsi diagonala cuajutorul riglei æi al compasului, dar aceastã cantitate nucorespundea concepåiei lor despre numãr; de aceea, audenumit iraåionalele alogon, adicã fãrã raåiunea de aexista, care nu pot fi formulate, ne-logice (arreton).

2

2

1113

632

nm

ba

146 Eliza Roman

Page 149: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Grecii chiar se ruæinau cu aceste entitãåi lipsite de raåi-unea de a exista; de aceea, pitagoricienii, care audescoperit aceastã proprietate a diagonalei, au încercats-o ascundã de ochii lumii. În zadar! S-a aflat æi a ieæitvorba: „Cine nu ætie cã diagonala unui pãtrat esteincomensurabilã cu latura lui nu e demn de numele deom“. Îmi permiåi sã-åi spun câte ceva despre matema-ticianul german Richard Dedekind (1831-1916), care ajucat un rol de seamã în viaåa numerelor iraåionale.

Oana: Încã nu, deoarece trebuie sã adaug câte ceva desprepreocupãrile grecilor pentru iraåionale.

Arina: Te ascult. Oana: Potrivit lui Platon (427-348/347 î.e.n), matematicianul

grec Theodoros din Cirene (sec. V-IV î.e.n), luând caexemplu numerele 1, 2, 3..., 17, a demonstrat cã radi-calii din 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 repre-zintã numere iraåionale, iar radicalii din 4, 9 æi 16reprezintã numere raåionale, 4, 9 æi 16 fiind pãtrateperfecte (4 = 22, 9 = 32, 16 = 42). Deci, încã pe vremealui Platon se fãcea distincåie între douã grupuri denumere, cele ai cãror radicali sunt numere raåionale æicele ai cãror radicali sunt numere iraåionale. Platon aacordat o deosebitã atenåie acestei probleme, incitat decaracterul enigmatic al naturii iraåionalului matematic,care putea fi util în detectarea mecanismului cunoaæterii.Stârneæte interes dialogul lui Platon intitulat Theaitetos,care argumenteazã valoarea de model a cercetãrii ira-åionalelor în vederea atingerii esenåei cunoaæterii.

Arina: Mã surprinzi, Oana, ai început sã citeæti filosofie?Oana: Da, æi trebuie sã-åi mãrturisesc cã o fac cu multã

plãcere. În acest dialog, Theaitetos, elevul lui Theodoros,are rolul de a expune, a explica æi a generaliza

Arina în Åara Numerelor 147

Page 150: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

rezultatele maestrului sãu. De altfel, unele dintre surselede inspiraåie ale lui Euclid în clasificarea iraåionalelorle datoreazã discipolului lui Theodoros. Mai tânãrulcontemporan al lui Platon, astronomul æi matemati-cianul grec Eudoxos din Knidos (c. 406-c. 355 î.e.n.)a contribuit substanåial la înåelegerea iraåionalelor.

Arina: Æi ce a fãcut Eudoxos pentru iraåionale?Oana: Îåi citez definiåia datã de el raporturilor egale,

definiåie care a permis matematicienilor sã foloseascãnumerele iraåionale cu egalã precizie faåã de numereleraåionale: „Se zice cã prima dintre patru mãrimi areacelaæi raport cu cea de a doua, cea de a treia cu ceade a patra, când, luând orice alåi multipli ai primei æiai celei de-a treia, multiplul primei este superior, egalsau inferior multiplului celei de a doua, dupã cummultiplul celei de a treia este superior, egal sau infe-rior multiplului celei de a patra“ (Reprodus dupã:E.T. Bell, Les grands mathématiciens, Paris, Payot,1950, p. 139). De fapt, Eudoxos a fixat punctul de ple-care al unei teorii moderne a iraåionalelor.

Arina: Practic, definiåia lui Dedekind – a egalitãåii a douãnumere raåionale sau iraåionale – e identicã cu cea a luiEudoxos. Dedekind s-a strãduit sã precizeze noåiuneade numãr iraåional. Esenåialã în teoria lui este ideea detãieturã care separã toate numerele raåionale în douãclase, una superioarã æi alta inferioarã, în aæa fel încâtorice numãr dintr-o clasã inferioarã este mai mic decât

orice numãr dintr-o clasã superioarã. este definitprin tãietura a cãrei clasã superioarã conåine toatenumerele raåionale pozitive ale cãror pãtrate sunt maimari decât 2 æi a cãrei clasã inferioarã conåine toatecelelalte numere raåionale ale cãror pãtrate sunt maimici decât 2.

2

148 Eliza Roman

Page 151: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Numere negative – numere fictive

Oana: Crezi cã soarta numerelor negative a fost mai fericitã?Arina: Æi ele au avut de înfruntat prejudecãåile gândirii gre-

ceæti în privinåa statuãrii lor ca numãr. Multã vreme,matematicienii s-au codit sã le recunoascã drept cetã-åeni cu drepturi depline în familia numerelor. De pildã,Gerolamo Cardano (1501-1576), cunoscut matema-tician, medic æi filosof italian din epoca Renaæterii, denumele cãruia se leagã rezolvarea ecuaåiilor algebricede gradul III (care-i poartã numele), considera numerelenegative drept numere fictive æi le-a botezat numere cuminus. La rândul lui, matematicianul francez FrançoisViète le-a negat existenåa.

Oana: Nu mã aæteptam ca Viète, care este unul dintre fonda-torii algebrei moderne, cel care a introdus literele pentrua simboliza cantitãåile necunoscute, tocmai acest mate-matician luminat sã fie aæa de încuiat.

Arina: Asta-i istoria! Numãrul negativ a înregistrat o victoriedatoritã unui matematician subtil, olandezul AlbertGirard (1595-1632). În 1629, el a publicat, la Amsterdam,Invenåia nouã în algebrã, arãtând cã negativul în geo-metrie înseamnã mersul înapoi, iar pozitivul, mersulînainte. Cu René Descartes, numerele negative æi-audobândit pe deplin statutul de numere. Orice æcolarætie cã pe o dreaptã orientatã poåi figura, pornind dinorigine într-un sens, numerele pozitive, iar în senscontrar numerele negative.

Arina în Åara Numerelor 149

Page 152: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Oana: Numerele negative l-au preocupat æi pe ImmanuelKant (1724-1804). În 1763, filosoful german a publicatun Eseu asupra numerelor negative, în care arãta cã,dacã noi considerãm o serie de mãrimi ce descrescplecând de la o cantitate pozitivã oarecare, obåinemmãrimea negativã printr-un demers linear al spirituluisau, cum va spune în 1791, printr-o simplã degradarea luminii. Dar noi nu aveam atunci decât o reprezentarestaticã a mãrimii negative. Or, dacã mãrimile negativeintervin într-un calcul pentru a modifica rezultatultotal, înseamnã cã ele reprezintã altceva decât o absenåãde mãrime pozitivã, înseamnã cã ele au o eficacitate deopoziåie, cã exercitã o acåiune pozitivã, dupã cum unecran este un obstacol pozitiv în transmiterealuminii.Immanuel Kant mai subliniazãcã este ridicol sã se asimilezediferenåa dintre creditor æi de-bitor ca o simplã opoziåie logicã,deoarece, în realitate, este vorbadespre conflictul a douã realitãåiconcrete, care acåioneazã însens contrar, precum o facatracåia æi respingerea. În acestfel, Kant aratã cã aritmetica numai este ætiinåa numerelor caobiecte ideale, ci ætiinåa lucru-rilor numãrate æi tocmai naturarelaåiilor dintre lucrurile înseæidecide relaåia dintre numere.

150 Eliza Roman

Immanuel Kant

Page 153: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Numãrul i – „un amfibiu între existenåã æi neant“

Dupã ce rãsfoiesc noutãåile din librãrie, Oana æi Arina se întorcacasã. Pe drum, iau în vizor peripeåiile prin care a trecut celebrul ipentru a se impune ca numãr.

Arina: Când a apãrut i pe scenã?Oana: Am citit cã Bhaskara Acaria (c.1114-c.1178), mate-

matician indian de renume, vorbeæte de . Cu toatecã lucra cu rãdãcina pãtratã a unui numãr negativ, elnu credea în existenåa acestuia, fiind convins cã „un numãrnegativ nu poate fi niciodatã un pãtrat perfect“.Pentru Cardano, despre care am mai vorbit, numerelecomplexe aveau doar valoare formalã. Speriat deapariåia rãdãcinilor din numere negative, Cardano le-abotezat imposibile sau sofisticate, fiindcã nu au o exis-tenåã realã, åinând seama cã pãtratele tuturornumerelor sunt numere pozitive.

Arina: Cam multã patimã în jurul lui i.Oana: Cu timpul, patimile s-au mai domolit. Matematicienii

care i-au urmat lui Cardano nu s-au mai lãsat torturaåide numerele complexe æi le-au utilizat.

Arina: Care anume?Oana: Au fost mai mulåi. De exemplu, italianul Raffaele Bom-

belli (1526-1572) priveæte rãdãcina pãtratã din –1 ca pe „unnumãr care ascultã de regulile de operaåii ale numereloradevãrate“. Bombelli a fost cel care a expus regulileadunãrii æi înmulåirii numerelor complexe. Lui Albert

Girard îi datorãm introducerea simbolului æi, în ge-

neral, radicalul oricãrui numãr negativ, (n = 1, 2, 3 …).Arina: Cine l-a denumit pe i „imaginar“?Oana: Descartes. Atunci când a determinat punctele de inter-

secåie ale unei parabole cu un cerc, cãrora le-a zis

n−

1−

1−

Arina în Åara Numerelor 151

Page 154: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

imaginare. Mai târziu, matematicianul englez JohnWallis le-a dat o interpretare vectorialã. Ei, æi acumintrã în scenã Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716),un mare filosof æi un mare matematician. Visul lui deo viaåã a fost construirea unei „caracteristici univer-sale“, un fel de algebrã logicã ce ar fi permis înlo-cuirea tuturor raåionamentelor prin calcule, æi elabo-rarea unei enciclopedii demonstrative, în care toateadevãrurile cunoscute sã fie grupate potrivit înlãnåuiriilor deductive. Leibniz este un precursor al logiciimatematice æi al calculatorului, iar alãturi de Newtonunul dintre creatorii calculului diferenåial æi integral.Definiåiile æi simbolurile introduse de Leibniz seutilizeazã æi azi în matematicã.

Arina: Ce înseamnã cã Leibniz l-a privit pe i ca pe „unamfibiu între existenåã æi neant“?

Oana: Ætiu aproape pe de rost ceea ce a spus Leibniz.Ascultã: Din gelozie pe minunata lor multiplicitate,natura lucrurilor, mama multiplicitãåilor veænice saumai degrabã spiritul divin, n-ar admite ca totul sã fiesubsumat unei singure specii. De aceea, el a gãsit unrefugiu rafinat æi miraculos, acea minune a analizei,în monstrul lumii ideale, care este aproape ca unamfibiu între existenåã æi neant, numit de noi rãdãcinãimaginarã.Referitor la numãrul i, Abraham de Moivre (1667-1754), matematician britanic de origine francezã, aarãtat cã orice numãr real are n rãdãcini de ordinul 1,dintre care cel puåin douã sunt reale, iar restul – com-plexe. D’Alembert s-a implicat æi el în impunereanumerelor complexe.

Arina: Da. Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783), matematicianæi filosof francez, a elaborat teorema fundamentalã a

152 Eliza Roman

Page 155: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

algebrei (Teorema lui d’Alembert), teoria ecuaåiilor, æia dat primul exemplu de funcåie de variabilã complexã.

Oana: O sã-åi bag o micã strâmbã. Nute încrunta! În legãturã cu teoremafundamentalã a algebrei, îåi pre-cizez cã Albert Girard a afirmat,înaintea lui d’Alembert, cã oriceecuaåie algebricã de gradul nadmite n rãdãcini reale sau apa-rente, înåelegând prin aparentenumerele complexe de forma

a + b .Arina: Cunosc afirmaåia lui Girard; i-a

chinuit douã secole pe matemati-cienii pânã la d’Alembert. Sã nuuitãm cã d’Alembert, în lucrarea sa Réflexions sur lacause générale des vents, publicatã în 1747, a fãcut unpas hotãrâtor pentru înåelegerea naturii lui i, afirmândcã orice funcåie de unul sau mai multe numere poate fipusã totdeauna sub forma a + ib.

Oana: În acest fel, a stimulat interesul lumii matematicienilorpentru stabilirea acestei categorii de numere æi a justi-ficat legitimitatea operaåiilor cu numere complexe.Aici trebuie subliniat impactul matematicianuluielveåian Leonhard Euler. Deæi nevãzãtor încã din1735, a lucrat pânã în ultima clipã a vieåii. Prin am-ploarea æi prin importanåa operei sale (900 de lucrãri),Euler rãmâne, incontestabil, cel mai fecund autor alsecolului al XVIII-lea în domeniul ætiinåelor matema-tice. Deæi a folosit numerele imaginare sau complexe,el nu le-a acordat statut de numãr. În cartea sa de algebrãdin 1770 avea sã scrie cã „Toate expresiile de forma

1−

Arina în Åara Numerelor 153

Jean Le Rondd’Alembert

Page 156: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

, nu sunt nici nimic, nici mai mari æi nicimai mici decât nimic, sunt imaginare æi imposibile“.Începând din 1777, Euler cerceteazã funcåiile de vari-abilã complexã æi înlocuieæte prin i (iniåiala cuvântului

imaginar) simbolul folosit de Leibniz.Arina: Observ cã i are o istorie îndelungatã.Oana: Stai sã vezi. Douãzeci de ani mai târziu, în 1797, mate-

maticianul danez Gaspar Wessel (1745-1818) constatãcã numerele complexe pot fi privite ca vectori situaåiîn planul complex. În acest fel, a fost stabilitã identi-tatea dintre vectorul i æi vectorul obåinut prin rotireavectorului unitate, în sens direct (invers decât mersulacelor de ceasornic), în jurul originii 0 de un unghiegal cu 90. Æi astfel relaåia i 2 = – 1 a dobândit un sensgeometric.

Arina: Presimt cã ajungi la Gauss.Oana: Ai ghicit. O datã cu apariåia teoriei resturilor bipãtratice

a lui Carl Friedrich Gauss, existenåa numerelor complexenu a mai fost pusã la îndoialã. Acest gigant al mate-maticii a conceput aproape toate descoperirile sale funda-mentale din domeniul matematicii între 14 æi 17 ani.La 16 ani, descoperea o altã geometrie – cea neeucli-dianã, hiperbolicã –, iar la 17 ani se lansa în hãåiæulnumerelor, pe care avea sã-l transforme în noua teorie anumerelor. Cercetãrile matematicianului german îndomeniul aritmeticii superioare, începute în timp ceurma gimnaziul, l-au fãcut nemuritor. Prin capacitateasa de calcul, Gauss a transformat numerele în piese delaborator, descoperind cu ajutorul inducåiei teoremegenerale a cãror demonstrare cere mari eforturi.

Arina: Adicã?Oana: Printre bijuteriile gândirii sale matematice, se include

theorema aureum, la care Euler ajunsese prin inducåie

1−

2−1−

154 Eliza Roman

Page 157: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

æi care este cunoscutã sub numele de legea de recipro-citate. Gauss a pornit de la întrebarea: câte cifre sunt înperioada unei fracåii periodice? Pentru a se dumiri, a

calculat mai întâi toate fracåiile , , ,... .

Nu a aflat rãspunsul, dar a descoperit ceva mult maiimportant, aæa-numita lege a reciprocitãåii resturilorpãtratice, potrivit cãreia douã numere dau acelaæi restdacã sunt împãråite prin acelaæi numãr sau modul. La19 ani, reuæeæte sã demonstreze, acolo unde Euler æiLagrange eæuaserã, cã existã reciprocitate întreperechile de congruenåe x2 = q (mod p ) æi x2 = p (modq) atunci când p æi q sunt numere prime. De altfel, luiGauss i se datoreazã ideea de congruenåã. Se ætie cãdacã a – b sau b – a se divid cu m (a, b, m fiindnumere), atunci se poate scrie cã a = b (mod m) (a estecongruent cu b modulo m). Cu trecerea anilor, Gauss adat încã æase demonstraåii acestei teoreme, pe care oconsidera „o bijuterie matematicã“ æi pe care a denu-mit-o theorema aureum. Lucrarea Disquisitiones mathe-maticae, apãrutã în 1801 – capodopera „Prinåului mate-maticii“, cum este denumit Gauss – îl impune ca maestrual teoriei numerelor, cãreia îi deschide o nouã erã.

Arina: La un moment dat, Gauss evocã o aæa-numitã „obscu-ritate misterioasã“. Despre ce poate fi vorba?

Oana: Ca sã lãmurim chestiunea asta trebuie sã o iau cam dedeparte. Deocamdatã, îåi reproduc într-o traducereliberã pledoaria lui Gauss din 1831, pe care îmi faceplãcere sã cred cã o åin bine minte: „Transpunerea teo-riei resturilor bipãtratice în domeniul numerelor com-plexe ar putea sã parã unora, familiarizaåi cu natura

10001

3

1

21

1

1

Arina în Åara Numerelor 155

Page 158: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

mãrimilor imaginare æi care au idei false despre acestea,nepotrivitã æi nenaturalã“. Nimic n-ar fi mai neînte-meiat. Din contrã, aritmetica numerelor complexe estecapabilã de cea mai mare intuitivitate.

Arina: Ce argumente aduce Gauss pentru a convinge asupraintuitivitãåii numerelor complexe?

Oana: Gauss susåine cã, aæa cum pentrureprezentarea numerelor nega-tive este de ajuns prelungireanelimitatã a æirului numerelorîntregi absolute (pozitive) înpartea opusã punctului iniåial,tot asemenea, într-un plan, sepoate imagina un sistem depuncte egal distanåate între ele,care împart planul în pãtrateegale æi servesc la reprezentareanumerelor complexe.

Arina: Gauss vrea sã ne explice cã numerele complexereprezintã o extindere în materie de numere.

Oana: El aratã cã, iniåial, pornindu-se de la conceptul nume-relor întregi absolute, s-au adãugat numerele fracåio-nare; apoi s-au adãugat, la cele raåionale, cele iraåionale;la cele pozitive, cele negative; la cele reale, cele ima-ginare. Aceastã extindere – subliniazã Gauss – s-a fãcut,la început cu paæi plini de ezitare. Primii algebriætinumeau false rãdãcinile negative ale ecuaåiilor æi eleerau chiar false atunci când problema la care se referãapãrea astfel formulatã încât specificul mãrimii cãu-tate nu admitea ceva opus. Însã pe cât de puåin critica-bilã este admiterea numerelor fracåionare în aritmetica

156 Eliza Roman

Carl Friedrich Gauss

Page 159: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

generalã, deæi existã multe lucruri numãrabile în carenumãrul fracåionar nu are sens, tot aæa de puåin se potcontesta numerelor negative drepturi egale cu celepozitive pe motivul cã nenumãrate lucruri nu admit unopus. Realitatea numerelor negative e suficient de jus-tificatã, pentru cã ele gãsesc un substrat adecvat înnenumãrate alte cazuri. În aceastã privinåã – susåineGauss –, suntem de multã vreme lãmuriåi: însãnumerele imaginare, opuse celor reale – numite impro-priu odinioarã, pe ici, pe colo, dar æi acum, imposibile,apar mai mult ca un joc de semne golit de conåinut însine, cãruia i se contestã total un substrat inteligibil.Fãrã a voi, totuæi, sã se dispreåuiascã bogatul tribut pecare-l plãteæte pânã la urmã acest joc de semne tezau-rului mãrimilor reale. Dacã pânã acum acest obiect afost considerat dintr-un punct de vedere fals æi s-agãsit aici o obscuritate misterioasã, acest lucru trebuieatribuit în cea mai mare mãsurã denumirii puåin con-

venabile. Dacã +1, –1, nu s-ar fi numit unitatepozitivã, negativã, imaginarã (sau chiar imposibilã), ci,de pildã, unitate directã, inversã, lateralã, cu greu s-armai fi putut vorbi de o astfel de obscuritate.

Numere transcendente

Arina: Æi despre numerele transcendente ce se cunoaæte?Oana: Cât priveæte atestarea numerelor transcendente, aflãm

din cartea doamnei Câmpan, Povestea numãrului , oinformaåie revelatoare despre modul în care au fostrecunoscute primele numere transcendente, e æi .π

p

1−

Arina în Åara Numerelor 157

Page 160: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Matematicianul francez Joseph Liouville (1809-1882)a pus în evidenåã pentru prima oarã aceste numere æi aarãtat cã ele sunt în numãr infinit, iar matematicianulgerman Georg Cantor (1845-1918) – unul dintre crea-torii teoriei mulåimilor – a observat cã aceastã cate-gorie de numere este cu mult mai mare decât anumerelor algebrice. Pentru multe numere remarcabilenu se ætie cum trebuie demonstratã transcendenåa lor(de exemplu: e + π, πe, C etc.). Numãrul transcendentcel mai uæor de memorat este cel al lui Kurt Mahler:0,1234567891011121314... Ulterior, în 1934, mate-maticianul rus A.O. Gelfond (1906-1968) a prezentatun procedeu comod de construire a numerelor transcen-dente, demonstrând, concomitent, o propoziåie enunåatãîncã de Euler (Teorema lui Gelfond-Schneider).

Arina: Care anume?

Oana: Este vorba despre cea de a 7-a problemã din celebralistã a lui Hilbert din 1900, æi anume: pentru oricenumãr algebric α diferit de 0 æi 1 æi orice numãr trans-cendental β, cel puåin una dintre expresiile αβ, αβ2,αβ3

este transcendentalã. Acest rezultat este valabilpentru orice β iraåional având în vedere teoremaGelfond-Schneider. Teorema aratã, de asemenea, cãpentru orice β real iraåional funcåia xβ nu poate asumavalori algebrice la mai mult decât douã valori integraleconsecutive pentru x ≥ 2.Metodele de determinare a transcendenåei numerelorsunt extrem de tehnice: demonstraåii prin absurd,majorãri æi micæorãri. Gãsim astfel de metode atât învolumul Transcendental and Algebric Numbers, allui A.O. Gelfond, apãrut la New York, în 1960, cât æi

158 Eliza Roman

Page 161: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

în cel al lui A. Baker, apãrut cinci ani mai târziu, laCambridge University Press, intitulat: TranscendentalNumber Theory.

Numãrul care nu-æi dezvãluie natura

A doua zi, Oana o viziteazã pe Arina.

Oana: Am venit cu o surprizã.Arina: Una dulce?Oana: Åi-am adus informaåii despre un numãr care nu este

nici raåional, nici iraåional, nici transcendent æi desprenatura cãruia nu se ætie nimic. Un numãr care îi terori-zeazã pe cercetãtori. Toate demonstraåiile propusepentru identificarea lui s-au dovedit a fi false.

Arina: Hai, spune o datã despre ce numãr e vorba!Oana: Despre Numãrul C, respectiv despre Constanta lui Euler.Arina: Deci o constantã paræivã.Oana: În 1734, matematicienii au fost surprinæi citind un articol

a lui Euler în care se demonstra cã, deæi seria armonicã

1 + + … este divergentã, adicã

tinde spre infinit, totuæi diferenåa dintre suma ei

paråialã 1 + cu logaritmul natural al

acesteia notat ln n are o limitã finitã când n tinde spreinfinit, æi anume numãrul botezat C, în cinstea lui Euler.

Arina: De ce tocmai C æi nu E, de la Euler?Oana: C este o prescurtare de alint pentru Constanta lui Euler.

E clar cã sumele paråiale ale seriei armonice cresc în

n1....

31

21

11 ++++

n1....

41

31

21

11 ++++

Arina în Åara Numerelor 159

Page 162: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

aceeaæi mãsurã ca æi logaritmiinaturali corespunzãtori numere-lor respective, ceea ce face cadiferenåa lor sã rãmânã constantã.În ciuda calculelor a zeci æi sutede zecimale, constanta nu-æidezvãluie natura, rezistând eroicla atacul matematicienilor. S-auimplicat în aceastã cursã atâtGauss, cât æi Shanks, ca æi alåimatematicieni: J.C. Adams(1819-1892), E Catalan (1814-1894), P.L. Cebîæev (1821-1894), Paul Appell (1855-1930),deci matematicieni de diferite naåiuni, germani, englezi,belgieni, ruæi, francezi... Totul degeaba.

Triumful lui zero

Arina: Oana, hai sã vorbim puåin despre celebrul zero. Cânda fost recunoscut ca numãr?

Oana: Târziu. O fi semn, o fi numãr? – s-au întrebat oamenii,multã vreme. Mai întâi, s-a optat pentru zero ca simbolfãrã valoare numericã intrinsecã, având doar calitãåioperatorii. Fãrã a-æi face o idee clarã despre zero,scribii egipteni lãsau un spaåiu liber acolo unde acestaar fi trebuit sã figureze.

Arina: Æi cum a fost suplinitã lipsa lui zero?Oana: A fost suplinitã prin procedee deosebit de ingenioase,

aæa încât se vorbeæte despre numeroæii lui precursori.Îåi aminteæti, Arina, cã romanii, pentru a amplifica unnumãr cu 1 000 îl surmontau cu o barã orizontalã, iar pentrua-l înmulåi cu 100 000, îl încadrau într-un dreptunghi

160 Eliza Roman

Leonhard Euler

Page 163: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

fãrã bazã? Iar grecii, pentru a mãri un numãr de o miede ori, îl precedau cu o barã verticalã. În acelaæi scop,în scrierea ebraicã se obiænuia sã se punã douã punctedeasupra numãrului. Punctele au fost magistral folositeîn locul lui zero de cãtre cãlugãrul bizantin Neophitos(sec. XII), care punea peste numãr atâtea puncte câtezerouri am pune noi. O barã verticalã surmontatã de unpunct îl simboliza pe 10, de douã puncte pe 100, de trei

puncte pe 1 000 æ.a.m.d. Astfel, 3207 se nota: .

În Antichitate, egiptenii, al cãror sistem de numeraåienu avea ca cifre decât unitatea, baza 10 æi puterilebazei, ætiau sã înmulåeascã un numãr cu 10: era sufi-cient sã avanseze cu un rând, în ierarhia puterilorfiecãrei cifre folosite, pentru scrierea numãrului.

Arina: Babilonienii trebuie sã-l fi folosit pe zero cu mult timpîn urmã.

Oana: Dimpotrivã, nu l-au folosit decât târziu æi exclusiv înpoziåie medianã, sub forma semnului de separare întrecuvinte. Ei erau conætienåi cã sistemul lor abstract cubaza 60 le îngãduia sã treacã de la o putere a bazei laputerea urmãtoare, cu singura condiåie sã dilate, sãmãreascã semnul care simboliza unitãåile simple.

Arina: Zero operator când a început sã fie folosit? Ætiu cã unoperator este un simbol matematic care indicã o ope-raåie ce trebuie realizatã.

Oana: Pentru a vorbi de zero conceput ca operator, trebuie sãrealizezi cã adãugarea lui zero cifrei care reprezintãunitãåile simple multiplicã automat numãrul înîntregime cu baza de numãrare. Mayaæii au folosit zeroterminal æi pe zero operator. Eruditul francez GirardRaphael, în Le popol-Vuh (în mayaæã popo = casaobætei, vuh = carte). Histoire culturelle des mayas –

723 &&&&&

Arina în Åara Numerelor 161

Page 164: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Quinché, Paris, 1954, susåine cã „Mayaæii au descoperitconceptul de zero æi utilizarea lui cu cel puåin 1 000 deani înainte ca vreo naåiune similarã sã-l fi cunoscut æifolosit“. Zero era reprezentat printr-o scoicã sau printr-unmelc (simbol al regenerãrii). În mitologia mayaæilor,zero corespunde momentului sacrificiului Zeului Eroual Porumbului, care se scufundã în râu pentru a reînvia,a se înãlåa la Cer æi a deveni Soare. În procesul de ger-minare a porumbului, acest moment marcheazã dezin-tegrarea seminåei în pãmânt, înainte ca viaåa sã se ma-nifeste iar, dând la ivealã frageda tulpinã a porumbului.În gliptica (arta gravãrii) maya, zero era reprezentatprintr-o spiralã, infinutul închis prin infinitul deschis,dupã cum susåine Eric J. Thompson, în Maya Hierogly-phic writing, University of Oklahoma, 1960. Concepåiamayaæilor despre zero operator nu era, însã, prea clarã.

Arina: La alte popoare când a apãrut zero?Oana: La chinezi, zero a apãrut în secolul al VIII-lea. În

scrierea poziåionalã, ei au utilizat atât pe zero median,cât æi pe cel operativ. La indieni, ambele tipuri de zeroau o formã unicã, desãvâræitã: aceea pe care o folosimæi noi. Termenul sunya, care înseamnã gol, reprezentacifra zero la indieni. Arabii l-au tradus prin aæ-æifr,care îl evocã pe românescul cifrã, provenit din italianã –cifra; în latinã – cifra; în francezã – chiffre.

Arina: Dar în Europa? Oana: Zero a fost cunoscut în Europa încã din secolul al XII-lea,

o datã cu introducerea sistemului poziåional de scrierea numerelor, dar va fi recunoscut ca numãr abia însecolul al XVII-lea.

Arina: De ce aæa de târziu?Oana: Din cauza mentalitãåii! Vidul era mai greu de perceput.Arina: Mi-ai vorbit cândva despre introducerea cifrelor arabe

în Occident, implicit a lui zero.

162 Eliza Roman

Page 165: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Oana: Am noutãåi în problema asta. Ieri, tocmai am citit din cartealui Marc-Alain Ouaknin, Mystères des chiffres, apãrutã laParis, în 2004, æi mi-a atras atenåia o idee a autorului înlegãturã cu introducerea cifrelor arabe în Occident înmod indirect, prin impactul Cruciadelor, care au influ-enåat mentalitatea occidentalã sã-l accepte pe zero.

Arina: Cum adicã?Oana: M.A. Ouaknin susåine cã vidul a devenit posibil de a fi

gândit æi a fi acceptat dupã ce cruciaåii au înåeles cãSfântul Mormânt era gol dupã înãlåarea lui Iisus. Iatã cescria, în 1950, cunoscutul psiholog elveåian Jean Piaget(1896-1980) în Introduction à l’épistémologie génétique.Tome I: La pensée mathématique. Îåi citez din memorie: Numãrul zero ne dã prototipul în acelaæi timp al uneiconætientizãri tardive æi al unei imposibile abstracåiiplecând de la obiect. Într-adevãr, este una dintre mariledescoperiri ale istoriei matematicii cã a fãcut din zeroun numãr, cãci dacã zero logic („nici unul“) este, fãrãîndoialã, tot atât de vechi ca æi limbajul (æi poate chiarcã „nu“ a precedat totdeauna pe „da“), au trebuit deciînvinse aceleaæi dificultãåi pentru a conætientiza pezero aritmetic ca æi pentru numãrul negativ. Or, raåiuneaacestor dificultãåi apare aici foarte clar; dacã conæti-entizarea se ridicã de la periferie la centru, ultimadintre etapele sale va consta cu siguranåã în a realizacã absenåa unei operaåii este încã o operaåie. Atâtatimp cât se cautã numãrul în obiect, æirul numerelorîncepe în consecinåã cu 1. A vedea în zero pe cel dintâidintre numere înseamnã, dimpotrivã, a face abstracåiede obiect (zero logic fiind suficient pentru a exprimaabsenåa lui) æi a-l extrage doar din operaåii unice,orice operaåie aditivã compusã cu inversul eiajungând atunci la aceastã operaåie fundamentalãcare este absenåa operaåiei, adicã „operaåia identicã“ 0.

Arina în Åara Numerelor 163

Page 166: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

INTEROGAÅII VECHI ÆI NOI

Numere prime

E duminicã æi Arina acceptã, pânã la urmã, o plimbare cuGeorgel, în parc. Dar e cam absentã æi morocãnoasã, cu toate des-fãæurãrile verbale ale colegului.

Georgel: Ce åi s-a întâmplat, Arina?Arina: Mai sunt douã luni pânã la concurs æi am atâtea lacune…Georgel: Pãi, vãd cã tot umbli prin biblioteci æi scoåi informaåii.Arina: Mã chinuie numerele prime. Sunt aæa de imprevizibile.

Ce mai, sunt diabolice!Georgel: Nu te enerva, Arina. O sã-åi împrumut Elementele lui

Euclid æi o sã gãseæti, în Cartea a VII-a, o teorie anumerelor prime între ele æi a numerelor prime abso-lute, iar în Cartea a IX-a câteva teoreme foarte subtileæi deosebit de frumoase, printre ele pe acelea care sta-bilesc existenåa unei infinitãåi de numere prime. Vomavea atunci prilejul sã le discutãm. Mai e, apoi, mate-maticianul, astronomul æi filosoful grec Eratostene(284-192 î.e.n), care a descoperit un procedeu deaflare a numerelor prime. Ciurul lui Eratostene este unprocedeu elementar pentru aflarea numerelor naturaleprime mai mici decât un numãr dat.

Arina: În ce constã procedeul?Georgel: Constã în a scrie æirul numerelor naturale 1, 2, 3…,

dupã care se eliminã mai întâi numerele pare, excep-tându-l pe 2, care este numãr prim, apoi multiplii lui 3,

Page 167: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

exceptând pe 3 æ.a.m.d. Dacã numãrul final al æiruluieste A, operaåia continuã pânã se ajunge la un numãrprim B, al cãrui pãtrat este superior lui A. Numereleneeliminate sunt numerele prime cãutate. Matemati-cienii se chinuiesc de peste douã milenii sã detecteze câtmai multe numere prime, numãrul lor fiind infinit de mare.

Arina: Apropo de numerele prime, ce e cu numerele luiFermat æi cu numerele lui Mersenne (1588-1648)?

Georgel: Numerele lui Fermat, de forma 22n + 1, intervin în divi-ziunea cercului. Pierre de Fermat le-a calculat peprimele patru dintre ele æi a constatat cã sunt numereprime; atunci a susåinut cã toate numerele de acest tipsunt prime! Dar a greæit! Euler, care l-a calculat pe celde al cincelea numãr, a constatat cã nu e prim, întrucâtse divide cu 641! Pentru 5 < n < 16 au fost verificatetoate numerele lui Fermat æi nu sunt prime. Darmatematicienii au perseverat în cãutãrile lor, ajungândla numere de lungime astronomicã. În 1945, un astfelde numãr avea aproximativ 10582 de cifre. Æi matema-ticienii se tot întreabã dacã o fi existând un numãrinfinit de numere prime Fermat ori nu? Fermat s-aînæelat, cãci multe dintre numerele sale nu sunt prime.Dar s-a înæelat æi în alte cazuri.

Arina: Adicã?Georgel: Pãi, prin 1641, a enunåat trei teoreme greæite relative la

numerele prime. Cea dintâi: Nici unul dintre numereleprime de forma 12k + 1 nu este divizorul vreunuia dintrenumerele 3

n+ 1. A doua: Nici unul dintre numerele

prime de forma 10k + 1 nu este divizorul vreunuia dintrenumerele 5

n+ 1. A treia: Nici unul dintre numerele

prime de forma 10k – 1 nu este divizorul vreunuia dintrenumerele de forma 5

n + 1.

Arina în Åara Numerelor 165

Page 168: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Æi numerele celebrului cãlugãr æi învãåat francezMarin Mersenne?

Georgel: Numerele lui Mersenne de forma 2n – 1(n = 1, 2, 3...)prezintã interes deoarece cu ajutorul lor putem aflaaæa-numitele numere pare per-fecte. Al n-lea numãr al luiMersenne se poate defini, deasemenea, ca suma primilor ntermeni ai progresiei geometrice1, 2, 22, 23, 24 .... Avem M

1= 1;

M2= 3; M

3= 7; M

4= 15; M

5= 31,

cãci M1= 2 1– 1; M

2= 22– 1 = 4 – 1;

M3

= 23 – 1 = 8 – 1; M4

= 24 – 1 =

16 – 1; M5

= 25 – 1 = 32 – 1.

Arina: Pânã acum, care e cel mai mare numãr prim depistat?Georgel: Recordul a fost înregistrat în anul 2004, cu numãrul

2824036583, un numãr care conåine 7 235 233 de cifre. Seobservã cã este un numãr al lui Mersenne, æi anume al41-lea numãr al lui.

Arina: Problema repartiåiei numerelor prime îi chinuie multpe matematicieni.

Georgel: Cei care s-au ocupat de aritmeticã, de la Euclid laEuler, s-au strãduit sã reducã, progresiv, imprevizibi-litatea apariåiei numerelor prime.

Arina: Æi n-au reuæit.Georgel: Au atacat problema din mai multe pãråi. Au cãutat sã

determine a priori pentru oricare n care era al n-leanumãr prim: intervalul ce separã douã numere primeconsecutive, cum se repartizau numerele prime încadrul diferitelor progresii aritmetice de raåie k, în

166 Eliza Roman

Marin Mersenne

Page 169: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

sfâræit, care era numãrul numerelor prime mai micidecât un numãr dat. Æi aæa, de-a lungul timpului, aufost demonstrate o seamã de supoziåii celebre, dar aurãmas încã multe chestiuni neelucidate. În 1974, JonesP. James a dat un polinom cu 26 de nedeterminate, cucoeficienåi întregi a cãror mulåime a valorilor pozitiveeste exact mulåimea numerelor prime. Numerele acesteanu figureazã, însã, în ordine æi fiecare dintre ele aparede o infinitate de ori.

Arina: Interesant!Georgel: Interesantã e æi afirmaåia cã pentru orice întreg n > 1

existã cel puåin un numãr prim cuprins între n æi 2n.Conjecturatã de Joseph Louis François Bernard (1822-1900), afirmaåia a fost demonstratã în 1851 de PafnutiLivovici Cebîæev (1821–1894).

Arina: Am citit despre aæa-zisa lege asimptoticã a numerelorprime. Gauss æi confratele sãu francez Adrien MarieLe Gendre (1752-1833) au presupus acum mai bine de200 de ani cã dacã reprezintã numãrul numerelorprime mai mari sau egale cu x, atunci

Arina: În 1896, matematicianul francez Jacques Hadamard(1865-1963), membru de onoare al AcademieiRomâne, æi matematicianul belgian Charles-JeanGustave Nicolas de la Valée Poussin (1866-1962) audat o primã demonstraåie a acestei legi. Existã æi odemonstraåie mai recentã, datoratã unui compatriot alnostru, Mihnea Moroianu, pe care o dezvoltã în studiulTeoria numerelor prime, din volumul Analiza com-plexã. Aspecte clasice æi moderne, apãrut în 1988,

xxx

log)( ≅π

π

Arina în Åara Numerelor 167

Page 170: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

la Editura Ætiinåificã æi Enciclopedicã. În demonstraåiaanaliticã a legii asimptotice, Mihnea Moroianuutilizeazã proprietãåile funcåiei zeta a lui Riemann,

definitã pentru Re z > 1 prin relaåia:

Georgel: Sunt o mulåime de descoperiri pe care le-au fãcutmatematicienii æi care, cu siguranåã, te vor interesa.Bunãoarã, existã æiruri de numere prime care conåinprogresii aritmetice.

Arina: De exemplu?Georgel: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879,

2089, progresie de zece termeni de raåie 210. În anii’90 ai secolului trecut, matematicienii au emis ipotezaunor progresii aritmetice lungi formate din numere prime.

Arina: Æi ce e cu numerele prime gemene, de felul: p æi p +2, unde p este un numãr prim?

Georgel: Întrebarea este dacã aceste numere sunt infinit demulte. Ipoteza care afirmã infinitatea unor astfel decupluri nu a fost demonstratã. Frecventele demon-straåii propuse sunt repede invalidate. Totuæi, existã oconsolare: în 1989, matematicianul budapestan AntalBalog a obåinut un rezultat satisfãcãtor în cazul câtorvaæiruri, printre care (p, p + 2, p + 6), un fel de„bãnuialã generalizatã“. Îåi mai semnalez un fapt: în1885, Viggo Brun a afirmat cã seria:

,

în care numitorii parcurg mulåimea numerelor gemene,este convergentã, pe când seria

este divergentã atunci când numitorii

parcurg numerele prime.

....71

51

31 +++

....)191

171()

131

111()

71

51()

51

31( ++++++++

( ) ∑∞

=

=1

2

1

n nzζ

168 Eliza Roman

Page 171: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Ipoteza lui Riemann – problema mileniului

Georgel: Problema obsedantã a imperiului numerelor prime esteaceea a repartiåiei lor. Dupã cum se ætie, ea dateazã dinAntichitate. În 1859, folosind o funcåie denumitã ζ(zeta), matematicianul german Bernhard Riemann(1826-1866) a propus o repartiåie pentru numereleprime. De aproape un secol æi jumãtate aceastã ipotezãfocalizeazã interesul celor mai mulåi matematicieni.Aceasta pare sã fie cea mai importantã teoremã a

teoriei numerelor. Ætim cã ζ (s) = +…

Arina: Cunosc formula lui Riemann.Georgel: Sã vedem ce reprezintã aceastã funcåie ζ. Profit de faptul

cã am agenda la mine æi o sã-åi notez ceea ce îåi spun.Propun sã intrãm în parc æi sã stãm pe o bancã. Deci:fie k corpul numerelor raåionale. Pe acest corp,

Riemann a definit funcåia: , unde n parcurge

toåi întregii mai mari decât 0 din k æi unde s este o vari-abilã complexã, a cãrei parte realã este totdeauna maimare decât 1. Aceastã funcåie mai admite oreprezentare sub formã de produs:

,

unde p parcurge toate numerele prime din k. Deci, existã o legãturã strânsã care uneæte funcåia

de repartiåia numerelor prime p din corpul k.( )sζ

( )sp

11

1

−= πζ s

( ) ∑=∞

=1sn

1n

f ζ

+++41

31

21

11

sss

Arina în Åara Numerelor 169

Page 172: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

În acest fel, Riemann a putut construi o funcåie F(x),

care dã numãrul numerelor prime inferioare unuinumãr pozitiv arbitrar.

Arina: Æi, evident, formula lui Riemann n-a fost demonstratã. Georgel: Ea se bazeazã pe ipoteza foarte precisã privind ampla-

sarea zerourilor acestei funcåii. Frecvent, apar pe site-urile Internetului ecourile unor posibile demonstraåiicare, foarte curând, se dovedesc a fi eronate. Dar aurade senzaåional a problemei centrale din câmpul teorieinumerelor este fascinantã. Deæi n-a putut fi demonstratã,teorema constituie o inepuizabilã sursã de inspiraåie pentrucercetare. Rezultatele colaterale, neaæteptate, apar con-tinuu, în ciuda permanentului eæec al demonstraåiei ei.

Arina: Acum câteva zile, am citit despre un rezultat interesantde acest fel. Este vorba despre bãnuiala matematicia-nului chinez Jincrut Chen (1933-1996), cã existã o in-finitate de numere prime, astfel ca p+2 sã fie sau primsau produsul a douã numereprime. Teorema a fost demon-stratã cu ajutorul funcåiei ζ decãtre matematicianul rus P.I.Cebîæev. De altfel, funcåia ζ esteprototipul unei familii foarte gen-erale de funcåii, care intervine înteoria numerelor.

Georgel: Ipoteza lui Riemann a fost testatãpentru valori numerice din ce înce mai mari pe calculator, dardegeaba, tot nedemonstratã a rãmas.

Arina: Îåi mãrturisesc, Georgele, cã eusunt fascinatã de personalitatea lui Riemann. A fost celmai romantic dintre marii matematicieni! Pasiunea

170 Eliza Roman

Bernhard Riemann

Page 173: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

cunoaæterii æi genialitatea l-au fãcut, în ciuda unei con-stituåii fizice fragile, sã reuæeascã performanåe revolu-åionare, sã creeze geometria care îi poartã numele,folositã de Einstein în teoria relativitãåii, sã se numereprintre fondatorii topologiei moderne, sã aducã strãlucitecontribuåii la analiza matematicã æi la teoria numerelor.

Marea provocare a lui Gödel

Pentru moment, discuåia se opreæte aici. Numai pentru moment,fiindcã Arina îi propune, curtenitor, lui Georgel, o nouã întâlnire,eventual la sfâræit de sãptãmânã. Pânã atunci, va consulta noi titluriæi va medita pe îndelete asupra atâtor chestiuni în suspensie.

Duminicã dupã-amiazã, cei doi prieteni reiau dialogul.

Georgel: Bunã, Arina, te-ai mai clarificat?Arina: Încerc sã mã documentez cât mai amãnunåit, la biblio-

tecã.Georgel: Apropo, uitându-mã prin biblioteca mea, am gãsit un

raport al lui David Hilbert despre teoria numereloralgebrice – numere care sunt rãdãcinile unui polinomcu coeficienåi raåionali. Matematicianul german l-aîntocmit la cererea Societãåii de Matematicã dinGermania, în 1897. Raportul este o prezentare mag-nificã a problemei æi o sursã de inspiraåie pentru spe-cialiæti. Aflã cã Hilbert stabileæte axiomatizarea com-pletã a geometriei æi susåine cã necontradicåiaaxiomelor geometriei se bazeazã pe necontradicåiaaritmeticii, în care avea o credinåã oarbã. Era sigur cãformalizarea completã a matematicii „va înlãturadefinitiv orice îndoialã asupra perfectei siguranåe araåionamentului matematic“.

Arina în Åara Numerelor 171

Page 174: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Hilbert a încercat sã demonstreze cã matematica arputea fi fundamentatã definitiv dacã, operându-se cusimboluri matematice, n-ar apãrea contradicåii formale.

Georgel: Ca de pildã 0 = 1!Arina: A aplicat ideea la geometria euclidianã, reducând con-

tradicåia geometricã la cea a aritmeticii. Georgel: Evident cã a fost un eæec, fiindcã necontradicåia s-a

arãtat cã nu poate fi demonstratã nici pentru aritmeticã.Arina: De fapt, matematicienii – de la greci pânã la Hilbert –

fuseserã ferm convinæi cã: a. problemele aritmeticii auun rãspuns adevãrat æi unul singur, restul fiind obliga-toriu fals; b. trebuie sã existe o cale sigurã pentru adescoperi aceste adevãruri; c. aceste rãspunsuri, o datãgãsite, trebuie sã fie compatibile între ele æi sã formezeun tot. Iluzii!

Georgel: Ambiåios, Hilbert declara: „Noi vom æti! Noi trebuiesã ætim!“.

Arina: Ce naiv! Genialul Kurt Gödel (1906-1978), logician æimatematician american de origine austriacã, a scos înevidenåã, prin teoremele sale deincompletitudine, caracterul des-chis al cunoaæterii matematice.Gödel a arãtat cã, dacã se sta-bilesc regulile de inferenåã æi unnumãr finit de axiome, existãaseråiuni precis formulate pentrucare nu se poate demonstra nicicã sunt adevãrate, nici cã suntfalse. Ne confruntãm cu ceea cese numeæte indecidabilitate!

Georgel: Realizãm cã nu este posibil sãdobândim toate adevãrurile despre adunare, înmulåire,æirul numerelor întregi deducându-le din cele câtevaaxiome pe care se bazeazã aritmetica.

172 Eliza Roman

Kurt Gödel

Page 175: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Am citit despre faimoasele teoreme de incompletitu-dine enunåate acum 75 de ani, care au produs mareacrizã a fundamentelor matematicii. Prima teoremã deincompletitudine a lui Gödel legatã de incompleti-tudinea sistemelor formale afirmã cã un sistem sufi-cient de bogat æi corect este incomplet. Cea de a douateoremã de incompletitudine, legatã de imposibilitateademonstrãrii necontracåiei sistemului formal prinmijloacele sistemului însuæi, afirmã cã dacã T este unsistem suficient de bogat æi consistent, atunci formulacare afirmã consistenåa lui T este nedemonstrabilã în T.Chiar æi problema opririi unui program în informaticãeste una indecidabilã!

Georgel: Kurt Gödel a arãtat, pe de o parte, cã oricãrei axiomaticii se poate ataæa o ecuaåie pentru care este imposibil sãse decidã dacã are sau nu soluåie în cadrul sistemuluide axiome alese æi, pe de altã parte, cã alt sistem deaxiome permite sã se decidã dacã o astfel de soluåieexistã sau nu. Deci axiomaticele sunt incomplete. Deaici, o interesantã idee a matematicianului de origineargentiniano-americanã Gregory Chaitin (n. 1947), pecare am reåinut-o din revista „La Recherche“, apãrutãla Paris, în decembrie 2003. Acesta sugereazã cãnumãrul axiomelor aritmeticii ar putea creæte mult. „Eposibil, de exemplu – scrie Chaitin –, ca vechi problemenerezolvate, precum aceea de a æti dacã existã o infini-tate de numere prime gemene (numere impare sepa-rate de un numãr par), sã fie numãrate printre axiome.În acest caz, existenåa unei infinitãåi de numere primegemene este adevãratã æi nedemonstrabilã. Poate cãipotezele mult mai complexe, precum aceea a luiRiemann, vor trebui sã fie considerate axiome“.

Arina în Åara Numerelor 173

Page 176: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: Sã nu fim nedrepåi cu Hilbert. Æi giganåii mai greæesc! Georgel: Într-adevãr, rolul lui Hilbert în orientarea cercetãrii

matematice a fost covâræitor. La Congresul Internaåionalde Matematicã åinut la Paris în anul 1900, el a propus23 de probleme cruciale în orientarea cercetãrilormatematice. Era încã posibil ca un singur om sã îmbrã-åiæeze ansamblul matematicii. Evident cã nu toateproblemele acestea au acelaæi statut. Unele pot fi cali-ficate „probleme mari“, altele particulare. Astfel, problemaa X-a, care priveæte rezolvarea ecuaåiilor în numereîntregi, conåine, de fapt, toate chestiunile matematice acãror formulare poate fi adusã la o ecuaåie algebricã,aæa cum a arãtat I. Matiasevici, în anul 1970.

Arina: O sã te minunezi cã mi-am extras date în problemaasta. Îmi amintesc enunåul lui Hilbert. Sã åi-l citesc:„Se ætie cã o ecuaåie diofanticã este o ecuaåie alge-bricã cu coeficienåi întregi, pentru care se cautãrãdãcini numai numere întregi. Dintre acestea, ceamai des întâlnitã este ecuaåia xn + yn = zn, despre careP. Fermat a afirmat cã nu are rãdãcini întregi pentru

“. Este celebra teoremã a lui Fermat, enunåatã în1637, care a fost rezolvatã în 1993 de matematicianulenglez Andrew Wiles (n. 1953). Cea de a X-a teoremãa lui Hilbert a fost rezolvatã mult mai rapid, doar dupã70 de ani. În 1970, Matiasevici a arãtat, în modneaæteptat, cã nu existã un astfel de algoritm, ecuaåiilediofantice constituind o clasã nedecidabilã (pentrucare nu se poate arãta nici dacã sunt adevãrate, nicidacã sunt false). Rezultatul acesta are consecinåecurioase æi profunde, multe probleme putând fi redusela determinarea rezolvãrii sau nerezolvãrii unor ecuaåiidiofantice.

3n ≥

174 Eliza Roman

Page 177: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Georgel: Vãd cã åi-a priit biblioteca.Arina: Am extras æi eu problemele privind numerele din lista

lui Hilbert. Unele au fost rezolvate, ca, de pildã, problemaa X-a sau problema a VII-a, care cerea stabilirea trans-cendenåei unor numere. Altele, însã, sunt în aæteptare,cum este cazul problemei a VIII-a, care cere sã sestudieze distribuåia numerelor prime æi, în particular,sã se demonstreze ipoteza lui Riemann.

Legenda lui Fermat

Arina: Pierre de Fermat – botezat „Prinåul amatorilor de ma-tematicã“ – a reprezentat, într-adevãr, o legendã în istoria mate-maticii. Contribuåiile lui, fãrãfinalitate lucrativã, reprezentau„distracåiile“ lui, profunda luidragoste pentru matematicã.Opera sa a exercitat o atracåieirezistibilã timp de secole, pânã înzilele noastre, æi l-a inclus printremarii matematicieni ai lumii. Înteoria numerelor, „teoremele salede aritmeticã“ sunt importante,printre altele, deoarece sugereazãcercetãri în aritmeticã æi, în general, în matematicã æipentru cã se dovedesc universale din mai multe punctede vedere. Fermat a enunåat foarte multe teoreme desprenumerele prime, obiænuind sã le noteze pe margineacãråii lui Diofant, fãrã a da demonstraåia acestora. Deo extremã simplitate æi frumuseåe, ele au incitatspiritele matematicienilor, care s-au chinuit sute deani sã le demonstreze.

Arina în Åara Numerelor 175

Pierre de Fermat

Page 178: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Georgel: Acum sã-åi spun æi eu, Arina: la timpul sãu, Fermat asusåinut cã rãdãcinile ecuaåiei xn + yn = zn, unde n esteun numãr natural egal sau mai mare decât 3, nu pot finumere întregi. Au urmat trei secole æi jumãtate deîncercãri zadarnice pentru a se ajunge la demonstraåiaacestei supoziåii.

Arina: Totuæi, în decursul vremurilor, au fost rezolvate cazuriparticulare. Fermat a demonstrat teorema pentru n = 4,Leonhard Euler pentru n = 3, Adrien Marie Le Gendreæi germanul Gustav Lejeune Dirichlet pentru n = 5,inginerul francez Gabriel Lamé pentru n = 7, ErnestEduard Kummer pentru toate puterile pânã la 100,excepåie fãcând 37, 59 æi 67, performanåã pentru carea primit Marele Premiu al Academiei Franceze.

Georgel: Au fost enunåate æi rezolvate, în paralel, alte problemematematice, ca, de pildã, de cãtre matematiciana fran-cezã Sophie Germain (1776-1831). De numele ei seleagã demonstrarea imposibilitãåii rezolvãrii teoremeilui Fermat dacã x, y æi z nu sunt divizibili printr-unnumãr prim impar. Tot ea i-a furnizat lui Le Gendre,pentru cea de a doua ediåie a Teoriei numerelor (1825),multe teoreme interesante. Un rezultat paralel mairecent se datoreazã lui G. Falting, care, în 1983, arãtacã ecuaåia lui Fermat nu are pentru p > 5 decât unnumãr finit de soluåii fãrã divizori comuni.

Arina: Æi mai recent, în iunie 1993, Andrew Wiles, cercetãtorbritanic, care lucra la Universitatea Princeton dinS.U.A., a anunåat demonstrarea unei ipoteze centrale amatematicii contemporane numite Shimura-Taniyama.Se ætia, încã din 1986, cã aceastã ipotezã antreneazãdemonstrarea teoremei lui Fermat. În timp, s-auadunat numeroase rezultate care veneau în sprijinul lui

176 Eliza Roman

Page 179: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Wiles. El citeazã, în studiul sãu, peste 60 de lucrãri. Lacolocviul de la Cambridge din 1993, unde avea sãprezinte pentru prima oarã propriile sale cercetãri,Wiles a precizat „cele trei tipuri de obiecte ale sale:curbele eliptice, formele modulare æi reprezentãrilegaloise“. Evident, evenimentul a provocat mare vâlvã.Lui Wiles i-au mai trebuit câåiva ani pentru ælefuireateoremei. E foarte greu de urmãrit, æi eu nu am sufi-ciente cunoætinåe matematice, îmi trebuie o pregãtirespecialã ca sã înåeleg cele trei tipuri de obiecte pe carele-am menåionat. Deocamdatã, mã resemnez sã iauaceæti termeni ca pe niæte „fiinåe matematice“ importante.

Georgel: Nici o problemã, Arina, peste câåiva ani, când o sã deviistudentã, o sã înåelegi terminologia æi demonstraåia.

Conjecturi nãbãdãioase

Arina: Trebuie sã-åi mãrturisesc, Georgele, cã mã incitã aæa-numita conjecturã a lui Goldbach.

Georgel: Conjectura lui Goldbach! Termenul conjecturã, atât defrecvent folosit de matematicieni, provoacã iritareprintre nematematicieni. „Conjectura“ seamãnã, ca so-noritate, cu „conjunctura“, dar e cu totul altceva. Con-jectura reprezintã termenul îndrãgit de matematicienipentru a desemna bãnuiala. Se pomenesc conjecturilelui Fermat, Gauss, Le Gendre, Chen æ.a. De fapt,bãnuielile constituie un ferment eficient al descoperi-rilor matematice. Un mare matematician contemporan,francezul de origine germanã Alexander Grothendieck(n. 1928), ale cãrui rezultate, noåiuni, metode constituieo etapã decisivã în dezvoltarea matematicii contemporane,

Arina în Åara Numerelor 177

Page 180: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

datoritã profunzimii ideilor sale, ingeniozitãåii tehni-cilor utilizate æi nivelului ridicat de generalizare aabordãrilor, spunea aæa de frumos: „Simplul fapt de adescrie intuiåii aluzive sau simple bãnuieli are puterede transcendere“. Dar ce pare aæa de incitant în între-barea lui Christian Goldbach (1690-1767) dacã esteposibil sã scriem „orice numãr par ca rezultat aladunãrii a douã numere prime? “.

Arina: Pãi, interesantã este cursa ameåitoare a matematicie-nilor pentru aflarea adevãrului. Cursã care o aminteætepe cea desfãæuratã pentru obåinerea unui numãr câtmai mare de zecimale ale lui .

Georgel: Conjectura aceasta semnalatã lui Euler de cãtreGoldbach, într-o scrisoare din 7 iunie 1742, i-a adusacestuia din urmã celebritatea.

Arina: Æi de atunci conjectura nu a fost încã demonstratã. Nue greu de gãsit cupluri de numere prime care sã con-stituie o partiåie Goldbach a unui numãr par. De exemplu(5, 7) æi 12 sau (11, 13) æi 24, fiindcã 12 = 5 + 7, iar24 = 11 + 13. Aæa au început încercãrile. În 1855,matematicianul francez A. Deboves a condus o cerce-tare exhaustivã pe 10 000 de numere prime. Iarîncepând din 1940, cu ajutorul calculatorului, au fosttestate din ce în ce mai multe numere. Milionul a fostdepãæit în anul 1964, iar miliardul în 1989. Înoctombrie 2003, Thomas Oliveiro e Silva, cu echipalui de la Universitatea Alveino (Portugalia), a bãtutultimul record, mergând mult mai departe, pentru6x1016 (6 urmat de 16 zero)!! Æi se zvonea cã sepregãteæte analiza a 1018 numere! Apropo, despreipoteza lui Ghilbrealh ai auzit?

π

178 Eliza Roman

Page 181: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Georgel: Am auzit câte ceva. N. Ghilbrealh a emis, în 1958,urmãtoarea ipotezã: Dacã scriem æirul numerelorprime consecutive, apoi, dedesubt, în primul rând,æirul diferenåelor consecutive dintre numerele prime,în rândul urmãtor æirul valorilor absolute ale dife-renåelor dintre termenii consecutivi din rândul aldoilea æ.a.m.d., atunci primul termen din fiecare rândva fi 1. Am la mine schema.

Georgel: Ipoteza a fost verificatã, în 1959, pentru primele63 418 rânduri de cãtre R.B. Killgrove æi K.E.Ralston. Dar W. Serpinski susåinea cã nu existã încã odemonstraåie a acestei ipoteze.

Fiinåe matematice magice

Dupã douã zile de studiu æi clarificãri, Arina æi Georgel se revãd.Georgel: Cum te-ai distrat ieri, Arina?

Arina în Åara Numerelor 179

Fig. 41. Conjectura lui N. Ghilbrealh(Reprodus dupã: W. Sierpinski, Ce ætim æi ce nu ætim despre numerele prime,

Bucureæti, Editura Ætiinåificã, 1966, p. 31)

Page 182: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: M-am distrat cu pãtrate magice formate din numereprime. Ætii ce sunt pãtratele magice?

Georgel: Uite cã nu prea.Arina: Un pãtrat magic este un tablou pãtrat compus din n2

numere naturale diferite, aæezate în n linii æi n coloane,iar sumele numerelor care se obåin de pe orice linie,coloanã sau diagonalã sunt egale între ele.

Georgel: Fascinant! De când sunt cunoscute?Arina: Încã din Antichitate. Astrologii din China, Japonia,

India æi din åãrile învecinate acestora le consideraubinefãcãtoare. De unde moda de a le imprima pe tãbliåede metal, pentru a fi purtate ca amulete. Aæa se explicãoriginea numelui lor. Ulterior, au început sã-i intere-seze æi pe matematicieni, stârnindu-le spiritul ludic.

Georgel: Dã-mi un exemplu de astfel de pãtrat.Arina: Unul „mititel“, format din nouã numere prime:

Georgel: Stai sã verific.67+1+43 =111; 13+37+61=111; 31+73+7=11167+13+31=111 1+37+73=111 43+61+7 =11167+37+ 7=111 43+37+31=111

Da. Peste tot, aceeaæi sumã: 111.Arina: Sã-åi mai dau un exemplu de pãtrat magic, tot cu 9

numere prime. Iatã-l:

180 Eliza Roman

67 1 4313 37 6131 73 7

569 59 449239 359 479269 659 149

Page 183: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Georgel: Facem æi aici verificarea:569+ 59 + 449 = 1077 239+359+ 479 = 1077 269+ 659+ 149 = 1077569+ 239+269 = 1077 59+359+ 659 = 1077 449+ 479+ 149 = 1077569+ 359+149 = 1077 449+359+ 269 = 1077

E perfect!Arina: Nu e greu de calculat un pãtrat magic, ci doar de con-

struit. Fermat a avut o adevãratã pasiune pentrupãtratele magice. La moartea lui, s-au gãsit 14 caiete æimulte foi volante pline cu pãtrate magice. De altfel,într-o scrisoare cãtre Mersenne, a mãrturisit cã nucunoaæte „nimic mai frumos în Aritmeticã decât acestenumere, pe care unii le numesc «planetarios», iar alåii«magicos»“.

Georgel: Æi sunt multe pãtrate magice?Arina: A fost emisã ipoteza cã pentru orice numãr natural n > 3

existã o infinitate de pãtrate magice, care sunt formatedin n2 numere prime diferite. Nu ætiu dacã s-o fidemonstrat ipoteza. Æi, ca sã-mi etalez „erudiåia“, o sã-åispun câte ceva æi despre cuburile magice.

Georgel: Æi cuburile magice se cunosc din vremurile de demult?Arina: Cuburile magice îi pasioneazã pe matematicieni doar

de vreo trei secole æi ceva. Pentru prima oarã, Fermatabordeazã subiectul în 1640, într-o scrisoare cãtreMersenne. În secolul al XVIII-lea, Leibniz se intere-seazã, la rândul lui, de cuburile magice. Fiecare pro-punea o definiåie.

Georgel: Æi care e definiåia acceptatã în prezent?Arina: Un cub magic de ordinul n reprezintã o stivuire de n

pãtrate de ordinul n, care conåine toåi întregii de la 1 lan3, astfel încât suma numerelor oricãrei coloane, linii orizon-tale, linii verticale sau marea diagonalã este totdeauna aceeaæi.Atunci, însã, când diagonala pãtratelor paralele feåelor

Arina în Åara Numerelor 181

Page 184: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

cubului dau, de asemenea, suma magicã a liniilor,coloanelor, coloanelor verticale æi a marilor diagonale,cubul se numeæte cub magic perfect. În prezent, matemati-cienii se joacã cu aceste cuburi magice perfecte.

Numerele prime æi criptografia

Georgel: Eu unul m-am amuzat citind despre criptografie.Arina: Te preocupã descifrarea secretelor, spionajul, trecerea

prin zid?Georgel: Nu râde, Arina. Azi, metoda cheilor secrete e la îndemânã.

Procedeele moderne cele mai eficace se bazeazã pecriptografia matematicã. Æi, ironia soråii, pe folosireanumerelor întregi æi, în particular, a numerelor prime!

Arina: Glumeæti, Georgele!Georgel: Absolut deloc. Aæa-numita metodã a cheilor publice

se bazeazã, în esenåã, pe urmãtoarea problemã: fiinddate douã numere p æi q destul de mari (de exemplu,având în jur de 100 de cifre fiecare), produsul lor pqpoate fi uæor calculat cu computerul. În schimb, nu secunoaæte metoda care sã permitã regãsirea lui p æi qpornind de la pq. Deoarece nu se cunoaæte metoda deaflare a numerelor prime care compun un produs denumere prime, se pare cã tocmai aceastã lipsã asigurãsecurizarea tranzacåiilor pe Internet. Iatã cheia!

Numere aproape prime

Georgel: Dar despre numerele aproape prime ai citit, Arina?Arina: Din pãcate, nu!Georgel: Un numãr aproape prim este un numãr compus pentru

182 Eliza Roman

Page 185: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

care suma exponenåilor numerelor prime ce-l alcãtuiescare o limitã superioarã mãrginitã. Dacã aceastã limitãeste 1, numãrul este prim. Au fost obåinute douã teo-reme: a. Existã o infinitate de perechi formate dintr-unnumãr prim æi un numãr aproape prim a cãror diferenåãeste 2; b. Orice numãr prim suficient de mare estesuma unui numãr prim æi a unui numãr aproape prim.

Arina: Sã revenim la numerele prime. Au fost descoperitemulte proprietãåi ale acestora: orice numãr impar estesuma a trei numere prime, orice numãr întreg se poateobåine prin adunarea unor numere prime al cãrornumãr e mãrginit etc., etc. Dar mai sunt atâtea rãmasefãrã rãspuns.

Georgel: Æi împãtimiåii cautã armoniile din spatele haosuluinumerelor prime – temelia puternicã a tuturor numerelor.Jincrut Chen a susåinut cã orice numãr întreg suficientde mare este suma unui numãr prim æi a unui numãraproape prim. Rezultatul acesta este foarte învecinatcu Conjectura lui Goldbach, iar Iwaniec æi Richert auafirmat cã existã o infinitate de întregi n, astfel încâtn2 + 1 sã fie aproape prim.

Arina: Oare a avut dreptate matematicianul maghiar PaulErdös (1913-1996) – cunoscut pentru numeroasele luiidei strãlucite – când a spus, înainte de a muri: „Va tre-bui sã mai aæteptãm un milion de ani înainte de aînåelege numerele prime“?

Georgel: Teoria numerelor prime este, în principal, o creaåie asecolului al XIX-lea. De fapt, ea debuteazã cu apli-carea metodelor de analizã matematicã la problemeledin teoria numerelor. În 1737, Euler a dat o nouã de-monstraåie, în urma lui Euclid, a infinitãåii numerelorprime. Era cea dintâi încercare de apropiere a aritmeticii

Arina în Åara Numerelor 183

Page 186: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

(studiul cantitãåilor discontinue) de analiza matematicã(studiul cantitãåilor continue). Prima demonstraåie ateoriei fundamentale a aritmeticii: Orice întreg pozitivpoate fi scris ca produsul a douã numere prime, aapãrut la începutul secolului al XIX-lea înDisquisitiones Mathematical, datoratã lui Gauss.Contribuåiile din anii 1837-1839, ale matematicianuluigerman Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), în carese aplicã analiza matematicã la teoria numerelor, aumarcat o adevãratã revoluåie în teoria numerelorprime. În sfâræit, descoperirile ulterioare, din secoleleal XIX-lea æi al XX-lea, au impulsionat mult dez-voltarea teoriei numerelor prime.

Arina: Dupã concurs, când voi avea mai mult rãgaz, va trebuisã mã pun la punct cu toate aceste contribuåii. Deo-camdatã, m-am ales cu o concluzie importantã. Acummi s-a fãcut foame. Hai la masã.

Fiæierul problemelor celebre

Georgel: Eæti o veritabilã documentaristã, Arina. Åi-ai fãcut unfiæier de invidiat al problemelor celebre.

Arina: Al problemelor celebre din teoria numerelor.Georgel: Æi cum l-ai organizat?Arina: Dupã criteriul alfabetic. Am fiæe pentru Teorema lui

Dirichlet a progresiilor aritmetice æi pentru Mareateoremã a lui Fermat, ca æi pentru Legea asimptoticãa numerelor, de Gauss æi Le Gendre. Am scos notedespre Teorema lui Gauss a celor 3 pãtrate. Adicã unnumãr natural m se poate scrie ca sumã a 3 pãtrate de

184 Eliza Roman

Page 187: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

numere naturale dacã æi numai dacã m ≠ 4a(8n + 7), pentru

) – teoremã care a fost demonstratã.

Georgel: Despre Riemann, nimic?Arina: Despre ipoteza lui Riemann am chiar foarte mult

material, cules în ultimul an. Am fãcut fiæe pentruTeorema lui H.F. Scherk (existã o alegere a semnelor„+“ „–“, astfel încât sã aibã loc urmãtoarele egalitãåi:p

2n= 1 ± p

1± p

2± p

3 ± … ± p

2n-2 ± p

2n-1

p2n+1

= 1 ± p1

± p2± p

3 ± … ± p

2n-1 ± p

2n, pentru n N*,

unde pn

semnificã al n-lea numãr prim. Acest rezultat,

conjecturat de Scherk în 1830, a fost demonstrat în1928 de cãtre S.S. Pillar). Apoi, fiæe pentru Teorema luiSchnirelman (Existã un numãr natural s, astfel încâtorice numãr natural mai mare sau egal cu 2 se scrie casuma a cel mult s numere prime, nu neapãrat distincte.Teorema a fost demonstratã în anul 1933). În sfâræit,am redactat fiæe pentru Teorema lui Waring.

Georgel: Adicã?Arina: Matematicianul englez Eduard Waring (1734-1798) a

formulat, în anul 1770, urmãtoarea conjecturã: Oricenumãr este suma a cel mult 4 numere pãtratice, a celmult 9 numere cubice, a cel mult 19 numere bipãtraticeetc. Au fost necesari 200 de ani pentru a se demonstraaceastã conjecturã. Descompunerea în numere la putereaa doua (exemplu: 7 = 22 + 12 + 12 + 12 = 4 + 1 + 1 + 1)a fost demonstratã în 1770 de cãtre matematicianulfrancez Louis Lagrange (1736-1813), iar descompunereaîn numere la puterea a treia a fost demonstratã de ma-tematicianul german Weiferich, în 1909.

Georgel: Æi pentru puteri mai mari?Arina: Fapt curios, pentru puterile mai mari demonstraåiile au

fost mai uæoare. Datoritã, bunãoarã, contribuåiilor lui

Nna, ∈

Arina în Åara Numerelor 185

Page 188: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

David Hilbert, precum æi ale matematicienilor engleziGeodfrey Harold Hardy (1877-1947) æi GeorgeEdenson Littlewood (1885-1977), descompunerile nume-relor la puteri egale sau superioare lui 6 au putut fidemonstrate în epoca interbelicã. Cazul referitor laputerea lui 5 a fost dovedit de cãtre Jincrut Chen în anii’60. Rãmânea doar descompunerea în numere bipãtra-

tice de felul 79 = 24+ 24+ 24+ 24+ 14+ 14+ 14+ ……. +14 =16 x 4 + 1 x 15 = 64 + 15, unde numerele puteau fidescompuse în 19 numere bipãtratice. Folosind calcu-latorul, J.J. Deshouillers æi Fr. Dress au demonstratteorema în 1986, la Universitatea din Bordeaux.

Pot, oare, numerele sã asigure onestitatea?

Gabriel: Alo, Arina? Am un text care mi se pare deosebit deinteresant; ceva legat de numere. Pot sã vin sã åi-l arãt?

Arina: Sigur. Sunt curioasã sã-l vãd.

Dupã o orã, cei doi se întâlnesc.

Gabriel: Este vorba despre textul unei comunicãri prezentate laCongresul Internaåional al Matematicienilor de la Beijing,pe 22 august 2002, de cãtre Mary Poovey, director laInstitute for the History of the Production of Knowledgede la Universitatea din New York.

Arina: Æi care e titlul comunicãrii?Gabriel: E, pur æi simplu, incitant: Pot, oare, numerele sã asigure

onestitatea? Aæteptãri nerealiste æi scandalul bilanåu-lui S.U.A.

Arina: Sunã tare! Gabriel: Mary Poovey subliniazã impactul noii axe de putere.

186 Eliza Roman

Page 189: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Evident, este vorba despre axa puterii financiare.Aceastã axã are multe dimensiuni, multe cauze æi efecte.Autoarea se mulåumeæte, în eseul sãu, sã discute doarceea ce analiætii numesc finanåializare, cãreia îi spuneculturã financiarã.

Arina: Detaliazã, te rog!Gabriel: Mary Poovey abordeazã câteva dintre procedeele

numerice æi matematice pe care le foloseæte culturafinanciarã în scopul reorganizãrii relaåiei dintrevaloare æi temporalitate.

Arina: Valoare æi temporalitate! Marfã!Gabriel: Transpunând în numere æi ecuaåii concepte precum

riscul, aceastã culturã genereazã o nouã formã a valorii,care produce uriaæe profituri celor ce stãpânesc regu-lile jocului æi uriaæe pierderi celor nepricepuåi.

Arina: Care este punctul de pornire a lui Mary Poovey?Gabriel: O observaåie obiectivã de naturã istoricã, æi anume:

cultura emergentã a finanåei diferã faåã de economiade producåie.

Arina: În ce sens?Gabriel: În sensul cã finanåele genereazã profituri primare prin

investiåie, prin miæcarea æi comeråul cu valuta, precumæi prin stabilirea de pariuri complexe în ceea ce priveætecreæterea sau scãderea preåurilor. Este evidentã deose-birea faåã de economia de producåie, care genereazãprofituri prin transformarea puterii de lucru în pro-duse, iar acestea au preåuri æi sunt schimbate la piaåã.

Arina: Într-adevãr, contrastul pare viguros. Dar economia deproducåie este puternicã în foarte multe state.

Gabriel: Se observã, însã, schimbãri în direcåia noii situaåii. Depildã, în S.U.A., dupã anul 2000, profiturile financiareau depãæit profiturile obåinute de manufacturã.

Arina: Pe ce instrumente pune accentul Mary Poovey?

Arina în Åara Numerelor 187

Page 190: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Gabriel: Pe reprezentãri æi pe configuraåiile bilanåului.Arina: Eu ætiu ce pondere mare au reprezentãrile în sociologie,

dar în finanåe?Gabriel: Reprezentãrile propulseazã dinamica operaåiilor finan-

ciare. Uneori, ele înlocuiesc schimbul, iar alteori oreprezentare de moment constituie ceea ce conteazã înschimbul însuæi. Combinaåia reprezentãrii cu schimbulproduce tot felul de efecte materiale, fiindcã atuncicând reprezentarea poate influenåa sau chiar poate lualocul schimbului, valorile mizei devin, de asemenea,noåionale, iar profitul creæte exponenåial sau poateintra în colaps la o loviturã abilã.

Arina: Iatã-ne pe un teritoriu cu tendinåe abstracte!Gabriel: De aceea, poate intra în joc matematica. Ea e cea care

va duce abstractizarea la o cotã mai ridicatã. Pentru adescrie schimbul cu ajutorul numerelor, trebuie sã fieabstractizate unele trãsãturi care pot fi cuantificate æi,la rândul lor, marginalizate altele care nu pot fi cuan-tificate. Acesta este momentul în care ecuaåiile rulatepe calculator de cãtre programe software devin maiimportante decât schimburile, care s-ar fi putut realizaîn alte condiåii în timp æi spaåiu. Calculele sunt celecare stabilesc valoarea.

Arina: Aceastã valoare e noåionalã. Æi are calitatea cã poate fioricât de mare. Poate depãæi chiar toatã valuta existentã!!

Gabriel: Întreaga analizã pe care o face Mary Poovey se bazeazãpe date culese din S.U.A. Ea se referã la: comeråul zilnic,opåiunile stocului, marcarea bilanåului de pe piaåã,ajustarea rezervei de datorii pãgubitoare, derivativeleæi caracteristicile lor adiåionale.

Arina: Nu înåeleg nimic.Gabriel: Ascultã-mã cu rãbdare. O iau pe felii:

188 Eliza Roman

Page 191: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

1. Comeråul zilnic – Un investitor îæi creeazã o imaginepur noåionalã asupra viitorului sãu, pentru a seîmbogãåi pe moment. În aceastã situaåie, cumpãrãtoriide acåiuni lucreazã printr-o companie on-line, stârnindu-ipe alåi investitori sã cumpere din stoc, în mod anonimsau prin Internet. Cum manevra lor dã roade, alåiinvestitori cumpãrã, iar preåul creæte. Atunci, primulîncepe sã vândã. Continuând vânzarea æi antrenându-iæi pe alåii sã vândã, preåul scade. În acel moment, el sedecide sã cumpere. Practica aceasta este veche, darceea ce caracterizeazã contemporaneitatea este vitezadeciziilor; orele æi chiar minutele sunt esenåiale.2. Opåiunile stocului – Salariaåii companiilor sunt recom-pensaåi æi stimulaåi sã facã opåiuni de stoc pentru a-æisuplimenta venitul. Ce înseamnã asta? Compania lepropune sã achiziåioneze din stoc un numãr de acåiunila o cotã scãzutã, adicã sub preåul pieåei. Când acåiu-nile respective capãtã o valoare mai mare, salariatulpoate decide sã le vândã cu profit. Companiile stimuleazãcreæterea preåului printr-o combinaåie de sugestii perti-nente fãcute public, prin declaraåii æi rapoarte bazatepe analiza unor specialiæti care mânuiesc cu dexteritatenumere æi modele matematice.

Arina: Am auzit cã sofisticãrile astea au dus, uneori, æi la haos.Gabriel: Da, atunci când s-a operat necinstit. Dar, te rog, Arina,

lasã-mã sã continui. Am ajuns la...Arina: ...3. Marcarea bilanåului de pe piaåã. Gabriel: Exact. Aici e de spus urmãtorul lucru: companiile fac

predicåii, iar rapoartele pe care le întocmesc se bazeazãpe interpretãri, ipoteze æi ajustãri, pentru a aduce la unnumitor comun predicåia cu raportul. E o practicã ce lepermite sã obåinã profituri înainte de realizarea lor

Arina în Åara Numerelor 189

Page 192: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

efectivã. Pe baza acestei practici, constituie parteneriate,fac achiziåii, semneazã tot soiul de contracte folosindprofiturile anticipate ca pe profituri prezente.

Arina: Æi ce e cu: 4. Ajustarea la rezerva datoriei pãguboase?Gabriel: E o altã manevrã a companiilor. În aceastã nouã manevrã,

în loc de înregistrarea viitoarelor profituri drept semnepentru bilanåurile de piaåã, se cautã metode de deghi-zare a cãderilor pe termen scurt ale companiilor, pebaza clauzelor, ceea ce permite acoperirea deficituluiîn caz cã un creditor este în dificultate, folosind o partedin rezerva fondului.

Arina: Æi fain-frumuæel – am auzit eu – companiile mutãsuma respectivã care le lipseæte din coloana rezervei încoloana profiturilor!

Gabriel: Îmi permiåi sã continui?Arina: Daa! Gabriel: Punctul 5. Derivativele. De regulã, oamenii sunt

încredinåaåi cã numerele întruchipeazã obiectivitatea,chiar dacã nu pricep în ce fel au fost ele generate.Principiile matematice folosite de companii pentru aaranja lucrurile în favoarea lor sunt invizibile pentrucei mai mulåi dintre investitori. Iar ecuaåiile matematicedevin cele dintâi miæcãri ale valorii, deoarece, înmomentul de faåã, piaåa ascultã de reguli matematice.Instrumentele care întruchipeazã aceastã credinåã suntopåiunile viitoare sau derivativele.

Arina: Te rog, focalizeazã puåin derivativele. Eu ætiu desprederivate de la analiza matematicã, dar despre deriva-tive n-am auzit.

Gabriel: În termenii cei mai simpli, Arina, derivativele suntcontracte cu datã de expirare fixã, al cãror preå estedeterminat de valoarea unor bogãåii ascunse, precum

190 Eliza Roman

Page 193: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

preåul valutei sau al megawattului/orã. Posesorul unuiastfel de contract îl poate vinde înainte de dataexpirãrii; decizia lui nu provine din investigarea pieåei,ci din evaluarea probabilitãåii matematice cã preåul vacreæte sau cã va scãdea. E un fel de pariu. Totul senegociazã în secret, pe cale electronicã. Avântul luatde derivative este remarcabil. Deja în anul 2001 –aratã Mary Poovey – valoarea totalã a contractelorderivative ale afaceriætilor se apropia de 1 000 de trili-oane de dolari, egalã cu valoarea totalã aproximativã aproducåiei globale a manufacturilor din ultimul mileniu.

Arina: Vrei sã mã faci praf cu valoarea asta cosmicã! Mi separe cã invenåia asta nu e opera ultimelor decenii alesecolului trecut. Am citit undeva cã încã în secolul alXVII-lea japonezii o practicau.

Gabriel: Da, dar ce importanåã are. Compari un purice cu unelefant? Derivativele moderne articuleazã o multitu-dine de ecuaåii matematice, calculate electronic, careimplicã æi problema riscului.

Arina: Operând cu numere oricât de mari, oamenii se convingcã puterea lor e realã, atât în speculaåii, cât æi în domi-nare, sau æi în unele, æi în altele.

Gabriel: Ca æi alte instrumente de afaceri, derivativele æi opåiu-nile viitoare reprezintã îmbinãri ale reprezentãrii æischimbului, atât în ceea ce priveæte timpul, cât æi risculimplicit. În acest fel, se creeazã în afaceri un mediuambiant pur noåional, care existã doar din punct devedere electronic. În ciuda acestei situaåii, afacerileelectronice produc efecte foarte palpabile. Când toateinstrumentele financiare sunt folosite concomitent, aæacum se practicã în instituåiile sofisticate din punct devedere financiar, ele conving atât asupra obiectivitãåii,cât æi asupra veridicitãåii numerelor æi a încrederii cãpiaåa funcåioneazã dupã legile matematice.

Arina în Åara Numerelor 191

Page 194: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Arina: O clipã! Lãmureæte-mã, te rog, asupra corelaåiei dintreaxa financiarã æi aceastã nouã culturã.

Gabriel: Se restructureazã relaåia dintre temporalitate æi valoare,se redefinesc noåiunea de muncã, relaåiile dintre insti-tuåii, ponderea responsabilitãåii. Marea putere de orga-nizare cu care a fost înzestrat numãrul cu multe mileniiîn urmã nu se dezice nici azi, fiindcã, în prezent, ca æioricând altãdatã, numãrul e asociat cu bogãåia æi cu puterea.

Arina: Dar ce pãrere ai despre valoarea lui moralã?Gabriel: Sã citez ceea ce a spus la sfâræitul secolului al V-lea

î.e.n. Philoceus din Farent: „Numãrul, ca æi armonia,nu admite falsitatea, aceasta le este lor cu totul strãinã…, adevãrul este înnãscut æi specific naturii numãrului“.

Arina: O fi aæa numãrul, dar eu mã uit la oameni!

192 Eliza Roman

Page 195: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

ARINA ESTE FERICITÃ!

Arina a câætigat concursul æi va pleca, luna viitoare, în åara luiCarroll Lewis æi a lui Isaac Newton.

Au fost æase luni de efort, de frãmântãri æi, fireæte, de satisfacåii.A citit atâtea lucrãri fascinante, a disecat atâtea probleme aparentinsolubile, æi-a pus nenumãrate întrebãri æi a înåeles multe desprematematicieni æi despre mentalitatea lor.

Acum aæteaptã cu nerãbdare sã ajungã la British Museum ca sãvadã æi alte comori ale matematicii. Viseazã sã gãseascã mai multeinformaåii inedite despre matematicianul britanic Alan MathisonTuring (1912-1954), magician al descifrãrii codurilor æi creator alinteligenåei artificiale.

E convinsã cã acest concurs i-a marcat în mod fericit destinul, cãva face studii aprofundate de matematicã superioarã, care-i vor permitesã abordeze unele dintre cele mai nepãtrunse taine ale acestei ætiinåedate omului pentru a întreprinde, a se minuna æi a atinge sublimul.

Page 196: Arina în Åara Numerelor - Ciordas
Page 197: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

INDEX DE TERMENI

A

Abac (< fr. abaque; < lat. abacus) – dispozitiv pentru calcule arit-metice, format dintr-un cadru prevãzut cu vergele orizontale, fiecarevergea având zece bile culisante.

Absurd – sinonim, în matematicã, pentru contradictoriu, fals dinpunct de vedere logic. Demonstraåia unei propoziåii P prin reducerela absurd, admiåând ca adevãratã propoziåia contrarã (non-P), constãîn obåinerea unui rezultat care neagã una dintre ipoteze. În con-cluzie, propoziåia non-P nu este adevãratã, iar propoziåia P esteadevãratã.

Vezi æi: Terå exclus.Algoritm (< fr. algorithme, dupã numele matematicianului arab

al-Kharezmi) – æir finit de reguli care rezolvã o clasã de problemeguvernate de aceleaæi prescripåii æi deosebindu-se între ele numaiprin datele iniåiale. În sensul curent al acestui termen, o formulã esteun algoritm (de exemplu, formula soluåiilor ecuaåiei de gradul doi).

Analizã matematicã – parte a matematicii care cuprinde teoriafuncåiilor relativã la structuri æi la calcule legate de noåiunile delimitã æi continuitate.

Vezi æi: Calcul infinitezimal.

B

Bazã de numeraåie a unui sistem – numãrul de simbolurifolosite într-un sistem de numeraåie: 2, 8, 10, 16, 20, 60 etc.

Page 198: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

C

Calcul diferenåial – parte a matematicii care trateazã propri-etãåile locale ale funcåiilor, comportarea lor la variaåii infinit miciale variabilelor.

Vezi æi: Ecuaåie cu derivate paråiale; Ecuaåie diferenåialã.Calcul infinitezimal – parte a matematicii care cuprinde, în

principal, calculul diferenåial æi calculul integral, bazatã pe studiulinfinitelor mici æi al limitelor.

Vezi æi: Calcul diferenåial; Calcul integral.Calcul integral – ansamblul metodelor æi algoritmilor de calcul al

primitivelor, al integralelor æi de rezolvare a ecuaåiilor diferenåiale. Ciur – algoritm prin care se obåine lista unor numere având o

proprietate precisã (Ciurul lui Eratostene, pentru numere prime).Completitudine – proprietate generalã a unui sistem axiomatic

potrivit cãreia din axiomele respectivului sistem pot fi deduse, cuajutorul regulilor de deducåie, toate teoremele sistemului. În sensstrict, completitudinea presupune existenåa în cadrul sistemuluiaxiomatic a unui procedeu formal de respingere din sistem aoricãrei expresii care nu este axiomã sau teoremã a sa.

Congruenåã – relaåia dintre douã numere întregi, a æi b, care dauacelaæi rest la împãråirea cu acelaæi numãr întreg dat n, numit modul:a ≡ b(n) Exemplu: 22 ≡ 4(3).

Conjecturã – ipotezã privind exactitatea sau inexactitatea unuienunå cãruia i se ignorã demonstraåia.

Consistenåã – calitate a unui sistem axiomatic de a nu conåine oformulã oarecare în acelaæi timp cu negaåia ei.

Vezi æi: Contradictoriu; Completitudine.Contradictoriu – teorie matematicã ale cãrei axiome permit sã

se demonstreze o teoremã, precum æi negaåia ei. Convergent – un æir sau o serie care tinde spre o limitã finitã

când variabila tinde spre infinit.

196 Eliza Roman

Page 199: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

E

Ecuaåie algebricã – ecuaåie de forma P(x)=0, unde P desem-neazã un polinom.

Ecuaåie cu derivate paråiale – ecuaåie în care necunoscuta esteo funcåie de mai multe variabile care intervine prin derivatele eiparåiale de ordin oarecare.

Ecuaåie diferenåialã – ecuaåie de tipul F(x, y, y’,... yn) = 0, în

care necunoscuta y este o funcåie diferenåialã.Ecuaåie diofanticã – ecuaåie de forma P(x, y, z, ...) = 0, unde P este

un polinom cu coeficienåi în Z sau Q, cãruia i se cautã soluåii în Z sau Q.Ecuaåie trigonometricã – ecuaåie în care necunoscutele figureazã

prin funcåii trigonometrice (sin x, cos x, tg x etc.).Expresii inconsistente – „negaåii“ ale expresiilor valide; sunt

excluse din alcãtuirea unui sistem axiomatic.

F

Formalism – sistem de reguli æi propoziåii matematice potrivitcãruia toate formele permise ale raåionamentului matematic dintr-undomeniu specific, care includ æi apeleazã la raåionamente asupramulåimilor infinite, trebuie sã poatã fi descrise univoc.

Vezi æi: Sistem formal.Funcåie – corespondenåa dintre elementele unei mulåimi X æi

elementele unei mulåimi Y. Dacã se noteazã legea de corespon-denåã prin f, iar prin x un element din X, elementul din Y, carecorespunde prin aceastã lege lui x, se noteazã f(x); f(x) reprezintãvaloarea funcåiei pentru elementul x, care se numeæte variabilã inde-pendentã.

Arina în Åara Numerelor 197

Page 200: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

G

Geometrie algebricã – ramurã a geometriei care se ocupã devarietãåi definite prin ecuaåii algebrice; studiazã curbe algebrice,suprafeåe algebrice, transferuri algebrice æ.a.

Vezi æi: Varietate.Geometria lui Riemann – geometrie fundamentatã pe un sistem

de axiome în care postulatul paralelelor lui Euclid este înlocuit printr-o axiomã care cere ca printr-un punct exterior la o dreaptã sã nu sepoatã duce nici o paralelã la aceastã dreaptã. Un model de geome-trie a lui Riemann îl constituie geometria suprafeåei sferei pe carecercurile mari sunt considerate drepte.

I

Inducåie matematicã – procedeu de demonstrare a propoziåiilorgenerale în matematicã printr-un raåionament generalizator înmaniera ætiinåelor experimentale, care a dus, adesea, la concluziigreæite. Raåionamentul prin recurenåã, denumit în mod impropriuinductiv, este însã valabil, fiind, de fapt, o deducåie.

Infinit mare – funcåia numericã de valoare realã, notatã f(x),definitã în vecinãtatea valorii x

0a variabilei independente, astfel cã

atunci când aceasta tinde spre x0

valoarea absolutã a lui f(x) tinde

spre infinit.Infinit mic – funcåia numericã de variabilã realã, notatã f(x),

definitã în vecinãtatea lui x0, astfel cã dacã x tinde spre x

0, f(x) tinde

spre zero.

Integralã definitã a unei funcåii f(x) definitã pe intervalul [a, b]

– limita sumei elementelor infinitezimale f(xn)dx cuprinse între

curba reprezentativã a funcåiei, abscisã æi ordonatele punctelor a æi

198 Eliza Roman

Page 201: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

b de pe abscisã. Numãrul obåinut la limitã este aria mãrginitã de

mãrimile geometrice menåionate.Integralã nedefinitã (primitivã) – funcåia integralã g(x) a

funcåiei f(x) în care limita superioarã de integrare, b, este înlocuitãcu variabila independentã x:

L

Limitã a unui æir – numãrul a (finit sau infinit) care are propri-etatea cã în afara oricãrei vecinãtãåi a lui se aflã cel mult un numãrfinit de termeni ai æirului an.

Logaritmul unui numãr dat – puterea la care trebuie sã fie ridicatun numãr pozitiv numit bazã pentru a se obåine numãrul dat.

Lunulã (< fr. lunule) – figurã geometricã formatã din douã arcede cerc, de diametre diferite, care au aceleaæi extremitãåi æi a cãrorconvexitate este situatã de aceeaæi parte a centrelor respective.

M

Medie armonicã – reciproca mediei aritmetice a reciprocelor

mãrimilor pozitive considerate.

Medie axiomaticã – metodã ætiinåificã de expunere care,

pornind de la propoziåii prime (axiome), deduce din acestea, pe bazã

de reguli formulate explicit, noi propoziåii, numite teoreme. Se

numeæte formalã atunci când termenii nedefiniåi sunt încã neinter-

pretaåi, trecerea de la axiome la teoreme realizându-se prin simpla

aplicare a procedeelor de calcul.

Medie geometricã – este egalã cu rãdãcina de ordinul n din pro-

dusul celor n mãrimi pozitive considerate.

Arina în Åara Numerelor 199

∫ ⋅=x

a

tdtfxg )()()(

Page 202: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Mulåime – totalitatea obiectelor numite elemente, datã fie prinindicarea acestora, fie prin enunåarea unei caracteristici comune lor.Poate fi:

finitã – conåine un numãr finit de elemente;infinitã – conåine un numãr infinit de elemente;numãrabilã – elementele ei pot fi puse în corespondenåã biu-nivocã cu elementele mulåimii numerelor naturale (1, 2, 3...);vidã – nu conåine nici un element.

N

Numãrabil – Mulåime echivalentã cu o parte a mulåimiinumerelor naturale N.

Numãr algebric – rãdãcinã a unei ecuaåii algebrice care aredrept coeficienåi numere raåionale.

Numãr cardinal – numãr din æirul numerelor naturale 1, 2, ...care precizeazã din câte unitãåi este compus numãrul, poziåia lui înæir, numãrul lui de ordine (numãrul ordinal).

Numãr de Aur (Divina Proporåie) – numãr egal cu , aproxi-mativ 1,618, corespunzând unei proporåii cu deosebire estetice.

Numãr perfect – numãrul egal cu suma factorilor în care sedescompune.

Numãr prim – numãr natural diferit de 0 care admite ca divizorinumai pe 1 æi pe sine însuæi.

Numãr transcendent – numãr iraåional care nu este rãdãcinanici unei ecuaåii algebrice cu coeficienåi raåionali.

Numeraåie – sistem de reguli pentru exprimarea vorbitã æi scrisãa numerelor întregi.

Numere inverse (reciproce) – douã numere al cãror produs esteegal cu unitatea (de exemplu: x æi 1/x).

251+

200 Eliza Roman

Page 203: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Numere pitagorice – trei numere naturale, prime între ele, caresatisfac teorema lui Pitagora (a2 + b2 = c2). Triunghiul construit dinlaturi proporåionale cu numere pitagorice este dreptunghic.

Numere prime gemene – cuplu (p, q) de numere prime, astfelcã q = p + 2. Nu se ætie, în prezent, dacã mulåimea lor este finitã (aopta problemã a lui Hilbert). Se cunoaæte, însã (teorema lui V. Brum)

cã seria , în care p descrie mulåimea numerelor primegemene, este convergentã.

P

Perioadã – cel mai mic numãr T > 0, cu proprietatea f(x + T) = f(x).Dacã existã un T cu aceastã proprietate, funcåia f(x) se numeæteperiodicã de perioadã T. De exemplu: sin x este periodicã deperioadã 2π, fiindcã sin (x + 2π) = sin x.

Proporåie – douã rapoarte egale formeazã o propoziåie.

Într-o proporåie, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor:

bc = ad.

S

Secåiune de Aur – mod de împãråire a unui segment de dreaptãAB printr-un punct M, astfel încât AM2= AB.MB. Denumirea ante-rioarã a acestei proporåii a fost medie æi extremã raåie.

Serie – æir infinit de elemente legate între ele prin semnul plus,u

1+ u

2+ ... + u

n+ ... Elementele u

1, u

2, ... u

n,... se numesc termenii

seriei, care pot fi numere reale sau complexe, funcåii, vectori,matrice etc. S

n= u

1+ u

2+ ... + u

nse numeæte suma paråialã a seriei.

db

ca =

∑ p/1

Arina în Åara Numerelor 201

Page 204: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Seria pentru care æirul sumelor paråiale este convergent senumeæte o serie convergentã. Limita æirului sumelor paråiale estesuma seriei. Seria pentru care æirul numerelor paråiale nu are limitã

sau limita este ± ∞ (de exemplu, seria armonicã )este o serie divergentã.

Serie alternatã – serie în care doi termeni consecutivi oarecaresunt de semne contrarii.

Seria de funcåii – serie ai cãrei termeni un

sunt funcåii fn(x) de-

finite pe un domeniu A.Serie trigonometricã – serie de funcåii de forma:

Sistem formal – sistem de semne æi expresii construite în con-formitate cu anumite reguli de formare æi de derivare, în care se faceabstracåie de orice interpretare a semnelor (dimensiunea semanticã)æi de raporturile acestora cu subiecåii ce le folosesc (dimensiuneapragmaticã).

Sistem sexagesimal – sistem de numeraåie cu baza 60. Sefoloseæte, de exemplu, pentru mãsurarea unghiurilor æi arcelor.

T

Terå exclus – principiu fundamental al gândirii, care impune dis-tincåia netã între adevãr æi fals. Strâns legate de legea teråului exclussunt legea dublei negaåii – deoarece a nega unul dintre termenii dis-juncåiei (termenul afectat de negaåie) înseamnã a reveni la celãlalttermen – æi demonstraåia prin absurd, deoarece æi aceasta presupunecã, prin negarea falsului, revenim în mod necesar la adevãr.

)sincos(2 1

0 nxbnxaan

nn ++∑

=

......1........211 ++++

n

∞=1nnS

202 Eliza Roman

Page 205: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

Topologie – ramurã a matematicii care studiazã proprietãåilemulåimilor de puncte ce sunt invariante faåã de transformãrile biu-nivoce æi bicontinue (topologice). Dacã mulåimea de puncte A esteimaginea mulåimii B printr-o aplicaåie topologicã, spunem cã A æi Bsunt mulåimi topologice echivalente sau homeomorfe. De exemplu,cercul, elipsa, pãtratul pot fi deformate una într-alta în mod continuu.

V

Variabilã – simbol indicând un element oarecare din domeniulde definiåie al unei funcåii. Când studiem o funcåie f(x

1,... x

n),

spunem cã xisunt variabile ale funcåiei f.

Varietate – generalizarea în mai multe domenii ale matematiciia noåiunilor de curbe, suprafeåe sau volume.

Arina în Åara Numerelor 203

Page 206: Arina în Åara Numerelor - Ciordas
Page 207: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

BIBLIOGRAFIE SELECTIVÃ

ANDREI, NICULAE. Dicåionar etimologic de termeni ætiinåifici.Bucureæti, Editura Ætiinåificã æi Enciclopedicã, 1987.

ARNOLDEZ, R.; MASSIGNON, L.; JUSKEVICI, A.P. Aritme-tica la arabi. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, Bucureæti, EdituraÆtiinåificã, 1970, p. 476-482.

BABELON, JEAN. Mayas d’hier et d’aujourd’hui, Paris, 1967.BARROIS, A.G. Manuel d’archéologie biblique, vol. II, Paris,

Picard, 1953. p. 316-339. BINDEL, E. Les éléments spirituels des nombres, Paris, Payot,

1960.BURADA, TEODOR T. Despre crestãturile plutaæilor pe che-

restele æi alte semne doveditoare de proprietãåi la români, Iaæi, 1880.CAJORI, FLORIANA. History of mathematical notations, vol.

I-II, Chicago, London, The Open Court Publishing Company, 1928.CÂMPAN, FLORICA T. Din istoria câtorva numere de seamã,

Bucureæti, Editura Albatros, 1973.CÂMPAN, FLORICA T. Povestea numãrului , ediåia a II-a,

Bucureæti, Editura Albatros, 1977.CÂMPAN, FLORICA T. Poveæti despre numerele mãiestre,

Bucureæti, Editura Albatros, 1981.CHAMBORCHE, FRANÇOIS–XAVIER. Vie et mystique des

nombres, Paris, 1976.CHEVALIER, JEAN; GEENBRANT, ALAIN. Dicåionar de

simboluri, vol. I-III, Bucureæti, Editura Artemis, 1995.DINU, MIHAI. Comunicarea. Repere fundamentale, Bucureæti,

Editura Ætiinåificã, 1997.

π

Page 208: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

ELIADE, MIRCEA. Istoria credinåelor æi ideilor religioase,ediåia a II-a, vol. I-III, Bucureæti, Editura Ætiinåificã, 1991.

FILLIOZAT, J. Matematica [indianã]. În: Istoria generalã aætiinåei, vol. I, p. 170-175

GHYKA, MATHILA. G. Le nombre d’or, vol. I-II, Paris,Gallimard, 1931.

GHYKA, MATHILA G. Philosophie et mystique des nombres,Paris, 1952.

GUITEL, GENEVIÈVE. Histoire comparée des numérationsécrites, Paris, Payot, 1975.

IDEL, MOSHE. Cabala. Noi perspective, Bucureæti, EdituraNemira, 2000.

LABAT, R; BRUENS, E.M. Aritmetica [în Mesopotania]. În:Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 108-144.

LAUTMAN, ALBERT. La répartition des nombres premiers etla mesure de la croissance à infini. În: Essai sur l’unité des mathé-matiques, Paris, Union Générale d’Éditions, p. 221-225.

LOI, MAURICE. Le nombre d’or. În: Mathématiques et art,Paris, Hermann, 1995, p. 11-14.

MARCUS, SOLOMON. Three. In: Semiotics around the worldSynthesis in Diversity Proceedings of the Fifth Congress of theInternational Association for Semiotic Studies, Berkley, Berlin,New York, Marton de Gruyer, 1994, p. 773-776.

MICHEL, P.H; MUGLER, CH. Aritmetica æi geometria [lagreci]. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 230-236.

MOISIL, GRIGORE C. Teorema lui Pitagora. În: Grigore C.Moisil. Un profesor ca oricare altul, Bucureæti, Editura Tehnicã,1998, p. 61-63.

NEVEUX, MARGUERITE. Le nombre d’or chez Seurat? În:Mathématiques et art, Paris, Hermann, 1995, p. 187-196.

206 Eliza Roman

Page 209: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

OYSTEIN, ORE. Number Theory and History, New York, Mc.Graw – Hill Book Company, 1948.

POPA, ILIE. Începuturile matematicii româneæti, În: ElizaRoman. Bibliografia matematicii româneæti. Bucureæti, EdituraAcademiei, 1972, p. XLI-LXII.

ROMAN, ELIZA. Bãtrânul numãr, veænic tânãr. În:„Contemporanul“, 27 august 1997, p. 1, 11.

ROMAN, ELIZA. Buclucuri matematice. În: „Contemporanul“,10 aprilie 1996, p.1, 11.

ROMAN, ELIZA. Din istoricul manualului românesc dematematicã în secolele 17-19. În: „Gazeta matematicã“. Bucureæti,I (1980), p. 169-173; II (1981), p. 30-39.

ROMAN, ELIZA. Impactul unui numãr. În: „Contemporanul“,8 octombrie 2001, p. 15.

ROMAN, ELIZA. Numãrul între mitologie æi realitãåile contem-porane. În: „Contemporanul“, 1 ianuarie 1983, p. 4.

ROMAN, ELIZA. Æi giganåii greæesc. În: „Contemporanul“,21 noiembrie 1996, p. 1, 11.

SMITH, DAVID EUGENE. History of Matematics, vol. I-II,New York, Dover Publications, 1958.

STRESNER, PEAN, G. Numeraåia æi astronomia laprecolumbieni. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 432-441.

ÆAFRAN, ALEXANDRU. Înåelepciunea Cabalei. Bucureæti,Editura Hasefer, 2000.

TOTH, ALEXANDRU. Apariåia æi rãspândirea cifrelor înÅãrile Române. Bucureæti, Editura Tehnicã, 1972.

VERCOUTLER. J. Aritmetica egipteanã. În: Istoria generalã aætiinåei,.vol. I, Bucureæti, 1970, p. 30-43

VIROLLERAUD, CH.; SCAHEFFER Cl. FA. Matematicaebraicã veche. În: Istoria generalã a ætiinåei, vol. I, p. 144-153.

Arina în Åara Numerelor 207

Page 210: Arina în Åara Numerelor - Ciordas
Page 211: Arina în Åara Numerelor - Ciordas

ISBN 978-973-8238-23-7

„Locul numãrului în civilizaåie îmi trezeæte o idee:n-ar trebui, oare, sã punem puterea calculatorie aomului la un loc cu puterea de energie instalatã, îndefinirea capacitãåii unei societãåi de a fi parte dincivilizaåia globalã? Arina mã corecteazã: pe lângã cãideea îi desemneazã un rol nou, ea e atrasã de numãrpentru aura sa de mister ce trebuie lãmuritã. S-ainventat, oare, un joc mai fascinant æi mai captivantcare sã dea emoåii egale cu ale poeziilor sau melodiilorcelor mai extaziante? Ca æi ele, jocul numerelor areceva miraculos, pasionant, irezistibil. Îi mulåumesccu cãldurã ei, autoarei æi editorului pentru cãlãtoriainspiratã“.

Acad. MIRCEA MALIÅA