Introducere

Lectori salutem! Cititorul deschide o carte de geometrie, scrisă cu scopul de a înfăţişa informaţia de bază, necesară înţelegerii reprezentării şi metodelor de studiu a curbelor şi suprafeţelor.

Cartea este împărţită în trei părţi. Prima parte conţine geometria analitică elementară în două (2D) şi în trei (3D) dimensiuni. Informaţia, care este prezentă în programa analitică a învăţământului liceal vocaţional, este prezentată pe scurt. Se insistă asupra proprietăţilor analitice ale curbelor şi suprafeţelor, care nu fac obiectul manualelor şcolare, dar sunt deosebit de importante în proiectare şi în înţelegerea proiectelor. Unele curbe şu suprafeţe particulare, frecvente în aplicaţii, precum conicele şi cuadricele, sunt trecute în revistă detaliat. Reprezentarea lor grafică este folosită ca exemplu pentru deprinderea tehnicii reprezentării curbelor şi suprafeţelor. Se presupune cunoscută algebra liniară, care furnizează principalele tehnici de calcul necesare geometriei analitice. Calculul vectorial, un alt auxiliar atât al geometriei analitice cât şi al geometriei diferenţiale a curbelor şi suprafeţelor, este însă trecut în revistă. Aceasta întrucât calculul vectorial în plan şi în spaţiu este insuficient tratat în învăţământul mediu, atât la matematică cât şi la fizică, unde este folosit.

Partea a doua este dedicată geometriei diferenţiale. Se studiază conceptele ce stau la baza studiului proprietăţilor diferenţiale ale curbelor, suprafeţelor, curbelor aflate pe o suprafaţă, lungimi de arce, arii de suprafeţe, contacte de diverse ordine, curburi, torsiuni, etc.

Avantajele studiului intrinsec al obiectelor geometrice în plan (2D) şi în spaţiu (3D) este scoasă în evidenţă prin proprietăţile, pe care reprezentarea intrinsecă le revelează. De asemenea, avantajele folosirii raportării la diferite tipuri de repere reiese din tratarea obiectelor privite prin diverse sisteme de coordonate. Calculul diferenţial şi integral, principalul aparat de lucru în geometria diferenţială, se presupune cunoscut.

Partea a treia conţine elementele de bază ale geometriei computaţionale 2D. Geometria computaţională este elaborată ca o teorie a aproximării obiectelor geometriei euclidiene prin obiecte digitale. Scopul acestei aproximări este reprezentarea pe ecrane de calculator a unor obiecte de interes, pe de o parte, şi interpretarea unor imagini disponibile numai prin intermediul calculatorului electronic, pe de altă parte. La baza acestei aproximări este constituirea unui corpus de forme, care să folosească la identificarea anumitor obiecte geometrice în procesul recunoaşterii formelor. Se are în vedere abordarea constructivă a teoriei, pornind de la punct digital, arc de curbă digital, dreaptă digitală, poligon digital, cerc digital. Domeniul geometriei computaţionale este recent, nu mai vechi de ultimii 60 de ani, dar deosebit de vast. Noi ne ocupăm aici doar de acea parte care constituie geometria ecranului de calculator, geometrie neeuclidiană, geometrie necesitând un alt mod de gândire asupra universului. Unele particularităţi ale acestei geometrii, care o diferenţiază de modelul euclidian aproximat, sunt scoase în evidenţă. Aceste particularităţi subliniază proprietatea de obiect aproximant a obiectului digital studiat, împreună cu imperfecţiunile aproximării. Adică se scot la lumină imperfecţiunile folosirii tehnicii informatice, dar şi avantajele acesteia.

Cartea, pe care o deschideţi acum, este gândită ca un curs pentru studenţii la informatică, la automatizări şi calculatoare, la orice facultate tehnică în care reprezentarea

6

şi proprietăţile curbelor şi suprafeţelor sunt importante pentru înţelegerea fenomenelor şi proceselor avute în vedere. Bibliografia folosită, citată în secţiunea dedicată acesteia, este constituită din cele mai bine scrise şi consistente tratate în domeniu, pe care le-am citit din biblioteca personală sau din bibliotecile universitare la care avem acces. Ele expun atât experienţa didactică în domeniul geometriei analitice şi diferenţiale a unor mari dascăli din universităţile române şi din cele mai cu tradiţie universităţi ale lumii cât şi experienţa personală de lucru cu studenţii din domeniile vizate. Toate titlurile citate sunt accesibile studenţilor în bibliotecile universitare din România. În privinţa geometriei computaţionale, am folosit atât cărţile cât şi articolele de origine a teoriei prezentate, unificând limbajul, notaţiile şi metodele de gândire şi de demonstraţie.

Experienţa didactică, gândirea şi observaţiile unor distinşi dascăli ai şcolii româneşti de matematică, Liana Lupşa şi Mircea Craioveanu, mi-au fost de mare folos în elaborarea materialului din carte. Pentru aceasta le mulţumesc. De asemenea, mulţumesc fostei mele asistente, Codruţa Stoica, pentru foarte profundele sale observaţii şi pentru experienţa pe care mi-a împărtăşit-o, atunci când a seminarizat cursul de geometrie computaţională, pe care l-am predat studenţilor de la secţia de informatică. Nu în ultimul rând, mulţumesc cititorilor, care se vor apleca asupra paginilor acestei cărţi.

Autorul

7

8

Cuprins

Introducere 5Cuprins 9

Partea I. Geometrie analitică 131. Elemente de geometrie analitică plană 15

1.1. Sisteme de coordonate în plan 151.2. Distanţa dintre două puncte în plan, împărţirea unui segment într-un raport dat 201.3. Elemente de algebră vectorială 2D şi 3D 261.4. Dreapta în plan 36

1.5. Curbe plane de gradul al II-lea 47 1.6. Probleme propuse 61

2. Drepte şi plane în spaţiu 662.1. Coordonate carteziene în spaţiu 662.2. Planul determinat de un punct şi o direcţie normală dată 672.3. Ecuaţia carteziană generală a unui plan 682.4. Planul determinat de trei puncte necoliniare 702.5. Planul determinat de un punct şi de doi vectori necoliniari 722.6. Dreapta ca intersecţie a două plane 732.7. Dreapta determinată de un punct şi de un vector director 742.8. Dreapta determinată de două puncte distincte 752.9. Unghiuri 762.10. Distanţe 78

9

2.11. Perpendiculara comună a două drepte necoplanare 812.12. Probleme propuse 83

3. Elemente de geometrie analitică a suprafeţelor 873.1. Teoria generală a generării suprafeţelor 873.2. Generarea suprafeţelor cilindrice 883.3. Generarea suprafeţelor conice 903.4. Generarea suprafeţelor conoide 933.5. Generarea suprafeţelor de rotaţie 95

3.6. Suprafeţe de gradul al II-lea remarcabile 973.7. Probleme propuse 109

Partea a II-a. Geometrie diferenţială 1134. Geometria diferenţială a curbelor plane 115 4.1. Reprezentarea curbelor plane 115 4.2. Elementul de arc 116 4.3. Tangenta şi normala la o curbă într-un

punct izolat şi într-un punct singular 119 4.4. Contactul a două curbe plane 125 4.5. Cerc osculator 127 4.6. Curbura curbelor plane 130 4.7. Înfăşurătoarea unei familii de curbe plane 132 4.8. Evoluta unei curbe plane 133 4.9. Evolventă a unei curbe plane 135 4.10. Curbe date în coordonate polare 136 4.11. Probleme propuse 141

5. Geometria diferenţială a curbelor strâmbe 144 5.1. Coordonate cilindrice în spaţiu 144 5.2. Coordonate sferice 148 5.3. Reprezentarea suprafeţelor 151 5.4. Reprezentarea curbelor în spaţiu 152 5.5. Elementul de arc 154 5.6. Tangenta şi planul normal la o curbă

strâmbă 156

10

5.7. Plan osculator, binormală, normală principală, plan rectificant 159

5.8. Versorii triedrului lui Frenet 162 5.9. Curbura unei curbe strâmbe; torsiune 164 5.10. Formulele lui Frenet 167 5.11. Probleme propuse 169

6. Geometria diferenţială a suprafeţelor 172 6.1. Curbe pe o suprafaţă 172 6.2. Elementul de arc al unei curbe pe o

suprafaţă 175 6.3. Prima formă fundamentală a unei

suprafeţe. Lungimea unui arc de curbă pe o suprafaţă 177

6.4. Unghiul a două curbe pe o suprafaţă 178 6.5. Planul tangent şi normala la o suprafaţă 180 6.6. Versorul normalei la o suprafaţă 183 6.7. Elementul de arie 183 6.8. Triedrul lui Darboux 185 6.9. A doua formă fundamentală a unei

suprafeţe 187 6.10. Curbura unei curbe trasate pe o suprafaţă 189 6.11. Curburile unei suprafeţe 190 6.12. Teoremele lui Meusnier 193 6.13. Direcţii şi linii asimptotice 194 6.14. Teorema aegregium 195 6.15. Probleme propuse 196

Partea a III-a. Bazele geometriei computaţionale 2017. Arce, curbe şi drepte discrete 2D 203 7.1. Puncte în geometria discretă 203 7.2. Elemente de topologie digitală 206

7.3. Arce simple digitale 216 7.4. Curbe simple digitale 219 7.5. Proprietatea coardei 221 7.6. Metoda standard de discretizare a curbelor 222

11

7.7. Segmente de dreaptă digitale 225 7.8. Probleme propuse 228

8. Poligoane digitale. Cercuri digitale 230 8.1. Poligoane digitale; triunghiuri digitale 230 8.2. Distanţe şi unghiuri 232

8.3. Proprietăţi ale triunghiurilor, care nu se păstrează prin discretizare 236

8.4. Pătrate digitale 239 8.5. Cercuri digitale 241 8.6. Probleme propuse 245

Bibliografie 247

12