Interpretarea economică a unei probleme de programare

liniară (PL)

Produse Consumuri specifice Resurse A

1

A2

A3

Disponibil

R1 1 2 1 130 R2 1 1 2 100 R3 2 1 3 140 Profit unitar 3 4 2

Se cere să se stabilească structura producției pentru obținerea unui profit total maxim.

Se dă următoarea problemă de programare liniară, prezentată tabelar:

Notând cu X1, X2, X3 cantităţile în care produsele A1, A2, A3 vor fi realizate şi ţinând seama de ipoteza de liniaritate rezultă următorul model matematic, scris sub formă matricială:

Rezolvarea problemei cu modulul Linear and Integer Programming conduce la următorul raport final:

Soluţia optimă este: X1 = 50 unităţi; X2 = 40 unităţi; X3 = 0, pentru un profit total maxim de 310 u.m.

Costul redus are interpretare economică numai dacă este nenul. El arată:

1. Cu cât ar scădea profitul total dacă s-ar produce o unitate din produsul care în soluţia optimă, nu este realizat. De exemplu, dacă s-ar produce o unitate din produsul X3, profitul total ar scădea cu valoarea costului redus aferent variabilei X3, adică cu 1,6667 u.m.

Se introduce restricția C4: X3 ≥ 1

Interpretarea costului redus

Rezultă următorul raport final:

Se constată că valoarea funcţiei obiectiv a scăzut exact cu valoarea costului redus: 310 – 1,67 = 308,33 u.m.

2. Costul redus mai arată cu cât trebuie modificat coeficientul variabilei aferente în funcţia obiectiv (mărit pentru o problemă de maxim, micşorat pentru o problemă de minim), pentru ca aceasta sa devină pozitivă în soluţia optimă, profitul total rămânând acelaşi.

S-a mărit coeficientul variabilei X3 cu valoarea costului redus: 2 + 1.67 = 3.67

Rezultă următorul raport final:

Este o nouă soluție optimă, variabila X3 este pozitivă, iar valoarea funcției obiectiv a rămas nemodificată.

Interpretarea preţurilor umbră

Un preţ umbră (preţ dual) reprezintă cantitatea cu care se modifică valorea optimă a funcţiei obiectiv ca urmare a creşterii/descreşterii cu o unitate a cantităţii disponibile dintr-o resursă.

Se măreşte cantitatea din resursa R1 cu o unitate: 130 + 1=131

Se rezolvă problema, iar raportul final arată că profitul este acum mai mare exact cu valoarea preţului umbră aferent primei restricţii, adică: 310 + 1,6667 = 311,6667 u.m.

La fel, dacă se măreşte cantitatea din resursa R3 cu o unitate (140 + 1 = 141), profitul va creşte cu valoarea preţului umbră aferent restricţiei , adică: 310 + 0,6667 = 310,6667 u.m.