instrumentulinstrumentulprincipal de principal de

TransformataTransformata Z Z înîn PrelucrareaPrelucrarea SemnalelorSemnalelor 1/22

34

Transformata ZTransformataTransformata ZZ Instrumentul principal de analiză intrare-ieşire pentru SLID discrete.InstrumentulInstrumentul principal de principal de analizanalizăă intrareintrare--ieieşşireire pentrupentru SLID discrete.SLID discrete.

• SimilarSimilarăă TransformateiTransformatei LaplaceLaplacedin din contextulcontextul SLID continue.SLID continue.

( )( ) ( ) [ ]def def

n

n

x z X z x n z−∈

= = ∑Z

Z

00

CCtransformaretransformare, ,

operatoroperator transformattransformatăăsecvenţăsecvenţă discretdiscretăă

oarecareoarecare

∫+∞

−==0

)()())(( dtetfsFsf stdefdef

L

)(xcAaria/aria/zonazona de de convergenţăconvergenţă

((coroancoroanăă circularcircularăăcentratcentratăă înîn origineorigine))

Rel

aţiil

eC

auch

y-d’

Ale

mbe

rtR

ela

Rel

a ţţiil

eiil

eC

auch

yC

auch

y --dd ’’

Ale

mbe

rtA

lem

bert

n

n

defnxx ][suplim)(0

∞→=R

n

n

def

nxx

][suplim1)(

−=

∞→

∞R00

CC funcţiefuncţie original original ((continualcontinualăă cauzalcauzalăă) )

oarecareoarecare

( ) 0, 0f t t= ∀ <αα<0<0

( )c fA

0( ) ,tf t e t tα≤ ∀ >

)()(0 xzx ∞≤≤ RR

indiceleindicele descreşteriidescreşteriirelative relative normalizatenormalizateNegativ.NegativNegativ..

Re( )s ≥ α

ConvergenţăConvergenţă??

((cauzalitatecauzalitate))

ConvergenţăConvergenţă


Transformata Z a unor semnale elementareTransformataTransformata Z a Z a unorunor semnalesemnale elementareelementare

Baza canonică dinBazaBaza canoniccanonicăă dindin dS

{ }def

k k∈∆ = δ Z

( ) [ ]def

n kk k

n

z n z z− −

∈

∆ = δ =∑Z

Teorema întîrzieriiTeoremaTeorema îîntntîîrzieriirzierii

, 0( )

, 0c kkk

∗⎧ >δ = ⎨

≤⎩

CC

A( )q ( ) ( )( )k kx z z x z− −=Z Z

)(xz cA∈∀

⎩⎨⎧

≥<

=0,10,0

][0 nn

nudef

cauzalcauzalăă

Treapta unitarăTreaptaTreapta unitarunitarăă

0 00

( ) [ ]1

n n

n n

zU z u n z zz

− −

∈ ≥

= = =−∑ ∑

Z

antianti--cauzalcauzalăă

⎩⎨⎧

<≥

=0,10,0

][1 nn

nudef

1>z 00

∪∂

00

∪∂

disculdiscul unitarunitarcerculcercul unitarunitar

1 10 0

( ) [ ]1

n n n

n n n

zU z u n z z zz

− −

∈ < >

= = = =−∑ ∑ ∑

Z1<z

35

][][][][ 0

nxnunxnx

c

=

][]1[][ 0

nxnunx

a

−−+

n∀ ∈Z+ anti+ anti--cauzalcauzal )(

][)(0

zX

znxzX

L

n

n∑≥

−=

)(

][0

zX

znx

T

n

n∑<

−+

)(xz cA∈∀componentacomponenta

LaurentLaurent+ + componentacomponenta

TaylorTaylor

cauzalcauzal

)(0 xz R≥ )(xz ∞≤ RSemnale cauzale

zonzonăă de de convergenţăconvergenţăînîn afaraafara unuiunui discSemnaleSemnale cauzalecauzale disc ??

cerccerc unitarunitar inclusinclus înînzonazona de de convergenţăSemnale stabileSemnaleSemnale stabilestabile convergenţă

3/22

36

10

1 [ ]2

nz dz nj

−

γ

= δπ ∫

conturcontur închisînchis din din juruljurul originiioriginii, , parcursparcurs înîn senssens trigonometrictrigonometric

γ

00

n∀ ∈Z

Transformata ZTransformataTransformata ZZ

1 1( ) [ ]n n k

k

z X z x k z− − −

∈

= ∑Z

înmulţireînmulţire forţatăforţată

2dz jzγ

= π∫ && 0nz dzγ

=∫\{ 1}n∀ ∈ −Z

)(xz cA∈∀

Transformata Z inversăTransformataTransformata Z Z inversinversăă

1 11( )[ ] [ ] ( )2

nX n x n X z z dzj

− −

γ

= =π ∫Z

n∀ ∈Z

Teorema integrală a lui CauchyTeoremaTeorema integralintegralăă a a luilui CauchyCauchy

TransformataTransformata Z Z înîn PrelucrareaPrelucrarea SemnalelorSemnalelor

• EvaluareaEvaluarea integraleiintegralei curbiliniicurbilinii pentrupentruun un conturcontur oarecareoarecare esteeste dificildificilăă..

• De De regulregulăă, , conturulconturul esteeste un un cerccerc. .

{ }e [ , ]def

jr ωγ = ω∈ −π +π ( )1( )[ ] [ ] e e2

nj j nrX n x n X r d

+π− ω ω

−π

= = ωπ ∫Z

n∀ ∈Z•

Secvenţa discretă poate fi reconstruitănumai din valori ale Transformatei Z

de pe cercul unitar.

razaraza cerculuicercului

SecvenţaSecvenţa discretdiscretăă poatepoate fifi reconstruitreconstruităănumainumai din din valorivalori ale ale TransformateiTransformatei Z Z

de de pepe cerculcercul unitarunitar..

CazCaz particular: particular: cerculcercul unitarunitar. . e jz r ω=

( )1 1( )[ ] [ ] e e2

j j nX n x n X d+π

− ω ω

−π

= = ωπ ∫Ze jdz jr dω= ωpulsaţiepulsaţie

n∀ ∈ZGermeniiGermenii

TransformateiTransformatei Fourier.Fourier.((restricţiarestricţia TZ la TZ la cerculcercul unitarunitar))

4/22

37

•)()()(

zAzBzX =

zerourizerouri

• RecuperareaRecuperarea secvenţeisecvenţei de de semnalsemnal originaleoriginale se se poatepoate realizarealiza prinprin 2 2 metodemetode de de bazbazăă ((echivalenteechivalente): ):

Se Se vava studiastudia ulterior.ulterior.

Se Se poatepoate ararăătata ccăă XX esteeste realizabilrealizabilăă fizicfizic((provineprovine de la o de la o secvenţăsecvenţă discretdiscretăă cauzalcauzalăă) ) dacdacăă şişi numainumai dacdacăă: .: .


nanb ≤

Caz particular important: Transformate Z de tip raţional

CazCaz particular important: particular important: TransformateTransformate Z de tip Z de tip raraţţionalional )())((

)(

21

110

nbnb

nbnb

zzzzzzz

zbzbbzB

−−−=

+++=−

−−

)())((

)(

21

110

nana

nana

pzpzpzz

zazaazA

−−−=

=+++=−

−−

polipoli

Rezolvarea unei ecuaţii cu diferenţe][]1[][

][]1[][

00100

10

nbnbnbnbnanxanxanxa

nb

na

−++−+==−++−+

δδδRezolvareaRezolvarea uneiunei ecuaţiiecuaţii cu cu diferenţediferenţe

Aplicarea Teoremei ReziduurilorAplicareaAplicarea TeoremeiTeoremei ReziduurilorReziduurilor 1

int{ }

( )[ ] Rez( )

i i

n

p z p

B zx n zA z

−

∈ γ =

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

Teorema întîrzieriiTeoremaTeorema întîrzieriiîntîrzierii

n∀ ∈Z

n∀ ∈Z

γ

00

oo

oo

ooxx

xxxx

xx

xx

Nu polii lui X !NuNu poliipolii luilui X X !!Cum se Cum se calculeazcalculeazăă reziduulreziduulpentrupentru un un polpol??

ip

(se (se folosescfolosesc coeficienţiicoeficienţii polinoamelorpolinoamelor))

(se (se folosescfolosesc zerourilezerourile polinoamelorpolinoamelor))

polpol de de multiplicitatemultiplicitate mmii al al luilui zznn--11XX((zz))

imi

n

pzzYzXz

)()()(1

−=−

Nu are poli în pi .NuNu are are polipoli înîn ppii ..

[ ] ( )i

i

i

ipz

m

m

ipz

n zYdzdz

mzXz

=−

−

=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= )(!1

1)(Rez 1

11

• PolPol singular (singular (mmii =1=1):):

[ ] )()(Rez 1ipz

n pYzXzi=

=

−

xx

xxxx

5/22

1 11 1( )[ ] [ ]2

nX n x n X dj

− − −

γ

⎛ ⎞= = − ζ ζ⎜ ⎟π ζ⎝ ⎠∫Z

1

int{ }

( )[ ] Rez( )

i i

n

p z p

B zx n zA z

−

∈ γ =

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

( )( )

11

1int{ }

Rezi

i

n

pz p

B

A

−− −

−∈ γ

=

⎡ ⎤ζ= − ζ⎢ ⎥

ζ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

38

polpol înîn origineorigine cu cu multiplicitatemultiplicitate variabilvariabilăă

)()()()( 1||1||

1

zAzzB

zzXzXz nn

n++

− ==

][][][][ 0

nxnunxnx

c

=

][]1[][ 0

nxnunx

a

−−+

n∀ ∈Z+ anti+ anti--cauzalcauzalcauzalcauzal

Teorema reziduurilorTeoremaTeorema reziduurilorreziduurilor Tot Teorema reziduurilorTot Tot TeoremaTeorema reziduurilorreziduurilor

0≥∀n 0<∀n

Reziduul în origine trebuie recalculatpentru fiecare eşantion!

ReziduulReziduul înîn origineorigine trebuietrebuie recalculatrecalculatpentrupentru fiecarefiecare eşantioneşantion!!

Artificiu de evitare a re-evaluării reziduului în origineArtificiuArtificiu de de evitareevitare a rea re--evaluevaluăăriirii reziduuluireziduului înîn origineorigine CeCe se se poatepoate face?face?

schimbareschimbare de de variabilvariabilăă complexcomplexăă1z =ζ 2

ddz ζ= −

ζ

n∀ ∈Z

TransformataTransformata Z Z inversinversăă

Zeroul este aruncat pe cercul de la infinit.ZeroulZeroul esteeste aruncataruncat pepe cerculcercul de la de la infinitinfinit..

γ

00

oo

oo

ooxx

xxxx

xx

xx

Polii din exteriorul conturului care cad prin simetriefaţă de cercul unitar în interiorul conturului!PoliiPolii din din exteriorulexteriorul conturuluiconturului care cad care cad prinprin simetriesimetriefaţăfaţă de de cerculcercul unitarunitar înîn interiorulinteriorul conturuluiconturului!!

n∀ ∈Zminusminus

xx

xx

Pol în origineinexistent sau de multiplicitate finită!

PolPol înîn origineorigineinexistent inexistent sausau de de multiplicitatemultiplicitate finitfinităă!!

0<n

( ) ( )( )

11 1 | | 1

1n n

BX

A

−− − − −

−

ζζ ζ = ζ

ζ



39

Proprietăţi fundamentaleProprietProprietăăţţii fundamentalefundamentale

SecvenţăSecvenţă TransformatTransformatăă ZZ ZonZonăă de de convergenţăconvergenţă

[ ]x n ( )X z

)(||)( 10

1 xzx −−∞ ≤≤ RR[ ]x n− ( )1X z−

)(||)(0 xzx ∞≤≤ RR[ ]x n ( )X z

{ } { })(),(min||)(),(max 00 yxzyx ∞∞≤≤ RRRR[ ] [ ]x n y nα +β ( ) ( )X z Y zα +β((liniaritateliniaritate))

( )q [ ] [ ]k x n x n k− = − ( )kz X z−

((TeoremaTeorema întîrzieriiîntîrzierii))

)(||)(0 xzx ∞≤≤ RRk∈Z

( )1X a z−[ ]na x n )(||||)(|| 0 xazxa ∞≤≤ RR

( )dX zzdz

−[ ]nx n )(||)(0 xzx ∞≤≤ RR

)(||)(0 xzx ∞≤≤ RR

7/22

40

Proprietăţi fundamentale (continuare)ProprietProprietăăţţii fundamentalefundamentale ((continuarecontinuare))

SecvenţăSecvenţă TransformatTransformatăă ZZ ZonZonăă de de convergenţăconvergenţă

{ } { })(),(min||)(),(max 10

10 xxzxx −

∞−∞ ≤≤ RRRR

2][][][ nxnxnx

def

e−+

= ( )2

)( 1−+ zXzX

{ } { })(),(min||)(),(max 10

10 xxzxx −

∞−∞ ≤≤ RRRR

2][][][ nxnxnx

def

o−−

= ( )2

)( 1−− zXzX

)(||)(0 xzx ∞≤≤ RR2

][][])[Re( nxnxnxdef +=

( )2

)( zXzX +

)(||)(0 xzx ∞≤≤ RRj

nxnxnxdef

2][][])[Im( −

=( )

jzXzX

2)( −

ComponentaComponentasimetricsimetric conjugatconjugatăăeeven ven (par)(par)

ComponentaComponentaantianti--simetricsimetric conjugatconjugatăă

oodd dd ((imparimpar))


8/22

( ) ( )( )e

ee

jj

j

YH

X

ωω

ω=Teoreme de

convoluţie liniarăTeoremeTeoreme de de

convoluconvoluţţieie liniarliniarăă

41

Proprietăţi de convoluţieProprietProprietăăţţii de de convoluconvoluţţieie

Teorema 2 (convoluţie liniară directă)TeoremaTeorema 22 ((convoluconvoluţţieie liniarliniarăă directdirectăă))

Fie Fie doudouăă secvensecvenţţee discrete discrete xx şşii yy pentrupentru care care sumasuma de de convoluconvoluţţieie liniarliniarăă esteeste convergentconvergentăă. .

..)()()( yxyx ZZZ ≡∗ ddyx SS ⊂∈ ∗,AtunciAtunci are loc are loc urmurmăătoareatoarea proprietateproprietate: :

Sistem de Prelucrare a Semnalelor (Discrete)

Hx y

semnalsemnal de de intrareintrare

semnalsemnal de de ieşireieşirefuncţiefuncţie de de

sistemsistem

Caracterizare îndomeniul timpului

* hx y ≡ x*h

semnalsemnal de de intrareintrare

semnalsemnal de de ieşireieşiresecvenţăsecvenţă

ponderepondere

Caracterizare îndomeniul complex

HX Y ≡ X•H

TZTZ a a intrintrăăriirii

TZTZ a a ieşiriiieşiriifuncţiefuncţie de de

transfertransfer

Caracterizare îndomeniul frecvenţei

HX Y ≡ X•H

TFTF a a intrintrăăriirii

TFTF a a ieşiriiieşiriirrăăspunsspuns înîn

frecvenţăfrecvenţă

SLIDSLID

))(()()()( zh

zXzYzH Z==

00

∪∂ωjez =

00

)(hcA

Convoluţieliniară

ConvoluţieConvoluţieliniarliniarăă

InterpretareInterpretareInterpretare

DemonstraţieDemonstraDemonstraţţieie ExerciţiuExerciţiuExerciţiu


9/22

42

Proprietăţi de convoluţie (continuare)ProprietProprietăăţţii de de convoluconvoluţţieie ((continuarecontinuare))

Teorema 3 (convoluţie liniară inversă)TeoremaTeorema 33 ((convoluconvoluţţieie liniarliniarăă inversinversăă))

Fie Fie doudouăă secvensecvenţţee discrete discrete xx şşii yy cu cu proprietateaproprietatea ccăă zonazona de de convergenconvergenţţăăa a secvensecvenţţeiei produsprodus v v = = xyxy şşii coroanacoroana circularcircularăă: :

,,1( )( ) ( ) ( )

2z dxy z V z X Y

j γ⊆

⎛ ⎞ ζ= = ζ ⎜ ⎟π ζ ζ⎝ ⎠

∫ZA

)()(||)()( 00 yxzyx ∞∞≤≤ RRRR

suntsunt nevidenevide, , intersecintersecţţiaia lorlor, , notatnotatăă prinprin AA fiindfiind de de asemeneaasemenea nevidnevidăă.. Fie Fie zz∈∈AA arbitrararbitrar fixatfixat..AtunciAtunci TransformataTransformata Z a Z a secvensecvenţţeiei produsprodus se se poatepoate determinadetermina cu cu ajutorulajutorul TransformatelorTransformatelorZ ale Z ale secvensecvenţţelorelor factorifactori dupdupăă cum cum urmeazurmeazăă: :

undeunde γγ esteeste un un conturcontur îînchisnchis din din AA cece îînconjoarnconjoarăă origineaoriginea. .

DemonstraţieDemonstraDemonstraţţieie

Caz particularCazCaz particularparticular

cerccerc{ }e [ , ]

defjr ϕγ = ϕ∈ −π +π

| | e jz z ω=ExprimareExprimare naturalnaturalăă: : •( ) ( )1 | |( ) e e

2j jzV z X r Y d

r

+πϕ ω−ϕ

−π

⎛ ⎞= ϕ⎜ ⎟π ⎝ ⎠∫

Tot un fel de convoluţie.Tot un Tot un felfel de de convoluţieconvoluţie..

(forma (forma polarpolarăă))

0( ) ( ) ( )h t h t d+∞

−∞

= τ δ − τ τ∫ t∀ ∈R

defγ = ∂U ( ) ( ) ( )( )1e e e

2j j jV X Y d

+πω ϕ ω−ϕ

−π

= ϕπ ∫

Definiţie: convoluţia periodică.DefiniDefiniţţieie: : cconvoluţiaonvoluţia periodicperiodicăă..

TF(TF(**) ) ≡≡ x(TFx(TF))

TF(xTF(x) ) ≡≡ **(TF)(TF)directdirect

inversinvers


e jz ω=

10/22

Are Are convoluţiaconvoluţia inversinversăăutilitateutilitate practicpracticăă??

DADA• ÎnÎn pofidapofida aparenţeloraparenţelor, ,

Codajul semnalului vocalCodajulCodajul semnaluluisemnalului vocalvocal

Un exempluUn Un exempluexemplu

ÎnÎn teletele--comunicaţiilecomunicaţiile modernemoderne, , bazatebazate pepe limbajullimbajulnatural (“natural (“teletele--comunicaţiilecomunicaţiile vorbitevorbite”), ”), esteeste integratintegratun model al un model al sistemuluisistemului psihopsiho--acusticacustic umanuman..

•

Spectru semnal vocalSpectruSpectru semnalsemnal vocalvocal

n

nV

Spectru sistempsiho-acustic

SpectruSpectru sistemsistempsihopsiho--acusticacustic

n

nU

Convoluţie.CConvoluţieonvoluţie..

43

Spectrusemnal

perceput

SpectruSpectrusemnalsemnal

perceputperceputCurbă de mascaj

CurbCurbăă de de mascajmascaj

Zgomotimperceptibil

ZgomotZgomotimperceptibilimperceptibil

BishnuATAL

BishnuBishnuATALATAL “Speech coding is what you do not hear.”““Speech coding is what you do not hear.Speech coding is what you do not hear.””

Codajul imaginilorCodajulCodajul imaginilorimaginilor

Alt exempluAlt Alt exempluexemplu

• TestaţiTestaţi efectulefectul sistemuluisistemului psihopsiho--vizualvizual umanuman..

Priv

iţicu

ate

nţieşi

spun

eţic

ere

prez

intã

imag

inea

.Pr

iviţi

Priv

iţicu

cu

ate

nţie

atenţi

eşişi

spun

eţi

spun

eţi c

ecere

prez

intã

repr

ezin

tãim

agin

eaim

agin

ea..

Priv

iţiim

agin

eapr

intr

ege

ne, a

prop

iind

pleo

apel

e.Pr

iviţi

Priv

iţiim

agin

eaim

agin

eapr

intr

epr

intr

ege

ne,

gene

, apr

opiin

dap

ropi

ind

pleo

apel

epl

eoap

ele ..

Fil

trul

psih

o-vi

zual

acor

datp

entr

uat

enua

rea

zgom

otul

uiim

agin

ii.

Filtr

ulFi

ltrul

psih

ops

iho --

vizu

alvi

zual

acor

dat

acor

dat p

entr

upe

ntru

aten

uare

aat

enua

rea

zgom

otul

uizg

omot

ului

imag

inii

imag

inii .

.


instrumentulinstrumentulprincipal de principal de

Documents