indicatorii tendintei centrale

7/30/2019 Indicatorii Tendintei Centrale

1/10

Indicatorii tendinei centrale

- Partea I -

Indicatorii tendinei centrale sunt utilizai n analiza statistic a fenomenelor d

mas, reprezentnd expresia sintetizrii ntru-un singur nivel reprezentativ a ceea ce est

esenial, tipic i general n apariia, manifestarea i dezvoltarea fenomenelor.

Principalii indicatori ai tendinei centrale sunt:

1. valoarea medie (X );

2. valoarea median (M);

3. valoarea dominant (D).

Aplicaie

Notele obinute la examen de 5 studeni sunt urmtoarele: 10, 6, 7, 10, 4.

Pentru a analiza pe ansamblu situaia celor 5 studeni se calculeaz cei 3 indicatori:

- media (nota medie) se determin ca raport ntre suma notelor obinute i numru

studenilor:

X =5

4107610 ++++ = 4,7

1/10


2/10

- mediana (nota median) este valoarea care mparte studenii n dou pri egale: 50%

se situeaz sub nota median, 50% se situeaz peste nota median; se determin c

valoare (not) central, dup aranjarea valorilor seriei n ordine cresctoare sa

descresctoare.

valori n ordine cresctoare:4, 6, 7, 10, 10

M= (50% dintre studeni au luat note sub 7,5% peste 7)

- dominanta (nota dominant) este nota care se nregistreaz la cei mai muli studeni

D = 10 (pentru ca aceast not apare la un numr de 2 studeni, n timp ce note

celelalte apar la un singur student).

Ca urmare s-au calculat cei 3 indicatori ai tendinei centrale, care caracterizeaz ser

statistic respectiv:

X= 7,4

M= 7

D = 10Valorile acestora sunt diferite, urmare a faptului c i coninutul i semnifica

indicatorilor difer.

1. Mediile

Principalele caracteristici ale mediilor:

1. Mediile sunt indicatorii statistici cu cel mai mare grad de aplicabilitate practic.2. Mediile se prezint ca mrimi cu caracter abstract, n sensul c valoarea medie d

cele mai multe ori nu coincide cu niciuna dintre valorile individuale din care s-a calcula

(n exemplul anterior, niciunul dintre studeni nu a luat nota 7,4).

2/10


3/10

3. Media este nivelul la care ar fi ajuns caracteristica nregistrat, dac n toate cazuril

toi factorii eseniali i neeseniali ar fi acionat constant.

4. Pentru a asigura un coninut real mediilor calculate, valorile individuale din care s

obin trebuie s fie ct mai apropiate, s existe o omogenitate a colectivitii. n cazu

eterogenitii colectivitii, aceasta trebuie separat pe grupe calitative pentru care scalculeaz medii pariale.

5. n analiza statistic se calculeaz mai multe tipuri de medii:

- media aritmetic;

- media armonic;

- media ptratic;

- media geometric;

- media cronologic.

n practic, mrimile medii nu se folosesc la ntmplare, ci n funcie de specificul i d

proprietile fenomenului respectiv se utilizeaz una sau alta dintre medii.

n continuare se prezint detaliat media aritmetic, urmnd ca i celelalte tipuri d

medii s fie tratat la temele urmtoare.

Media aritmetic ( X )

Media aritmetic este rezultatul sintetizrii ntr-o singur expresie numeric a tuturo

nivelurilor individuale observate i se calculeaz prin raportarea valorii totalizate

caracteristicii la numrul total al unitilor.

Formula de calcul

A. pentru seriile simple, adic n cazul n care numrul variantelocaracteristicii studiate este egal cu numrul unitilor.

fie caracteristicaXcu valorileX1, X2,..., Xn, n care :

X1+X2+...+Xn = =

n

i

iX1

, unde n = numrul unitilor

3/10


4/10

nlocuind fiecare valoareXi cu X se obine:

XXX +++ ... ==

n

i

iX1

,

de n ori

Xn =

=

n

i

iX1 ,

rezult formula de calcul pentru media aritmetic simpl:

X =n

Xn

i

i=1

Aplicaie

Pentru cei 10 angajai ai unei firme s-au nregistrat n luna septembrie 2006 urmtoare

salarii lunare brute (n uniti monetare u.m.):

700; 900; 900; 800; 1000, 900, 800; 1000; 700; 1100.

S se calculeze salariul mediu lunar la nivelul firmei.

X =n

Xn

i

i=1 =

10

10

1

=i

iX = =+++++++++10

110070010008009001000800900900700

..88010

8800mu==

La nivelul firmei, salariile au variat ntre 700 u.m. i 1100 u.m., iar salariul mediu a fo

de 880 u.m.

B. pentru seriile cu distribuie de frecvene, adic n cazul n care variantele caracteristic

se nregistreaz de mai multe ori (n exemplul anterior acelai salariu este nregistrat la ma

muli salariai: 900 u.m. la 3 salariai, 1000 u. m., 800 u.m. i 700 u.m. la cte 2 salaria

1100 u.m. la 1 salariat.

4/10


5/10

formula de calcul pentru media aritmetic ponderat este urmtoarea:

X =

=

=

m

i

i

m

i

ii

f

fX

1

1 = =

im

i

ifX

1

unde:fi = frecvena absolut nregistrat la valoareaXi a caracteristici

==

i

i

if

ff frecvena relativ (ponderea) nregistrat la valoareaXia caracteristicii.

m = numrul de grupe ale caracteristicii X.

Aplicaie

Pentru cei 10 angajai ai firmei (din aplicaia anterioar) salariile lunare brut

nregistrate n luna septembrie 2006 sunt urmtoarele:

Salariul brut

- u.m. -

Xi

Numr salariai

- pers -

fi

ii fX

if

700800

900

1000

1100

22

3

2

1

14001600

2700

2000

1100

0,20,2

0,3

0,2

0,1Total 10 8800 1

if ii fX if

Salariul mediu se poate calcula n 2 moduri:

a. pe baza frecvenelor absolute

5/10


6/10

88010

8800

10

11100210003900280027005

1

5

1

1

1 ==++++

=

=

=

=

=

=

=

i

i

i

ii

m

i

i

m

i

ii

f

fX

f

fX

X u.m.

b. pe baza frecvenelor relative

8801,011002,010003,09002,08002,07001

=++++==

=

im

i

i fXX u.m.

n unele cazuri variabila Xinu este definit printr-un set de valori (de exemplu salariu

de 700, 800, 900, 1000, 1100 u.m.), ci printr-un set de intervale egale (sau inegale) d

grupare, de exemplu:

700 - 800800 - 900900 - 1000

1000 - 11001100 - 1200

Aceast situaie este ntlnit, de regul, atunci cnd numrul unitilor de observar

este foarte mare i, n plus, nu sunt cunoscute valorile individuale, ci numai ncadrarea lo

ntr-un anumit interval.

Calculul mediei aritmetice ponderate se efectueaz pe baza acelorai relaii. Deoarec

fiecare grup nu este caracterizat de o anumit valoare Xi a caracteristicii, ci de u

interval, prin convenie se stabilete ca valoarea corespunztoare fiecrui interval s f

centrul intervalului de grupare (media aritmetic simpl a limitei inferioare i limite

superioare a intervalului).

Aplicaie

6/10


7/10

Pentru o firm cu 200 de angajai se cunosc urmtoarele informaii privind salariul bru

realizat n luna septembrie 2006:

Grupe de salarii- u.m. -

Numr de salariaifi

Centrul intervalului- u.m. -

Xi

ii fX

if -%

< 700700 - 800800 - 900900 - 1000

1000 - 1100> 1100

104060403020

650750850950

10501150

65003000051000380003150023000

52030201510

TOTAL 200 * 180000 100Not: Limita superioar inclus n interval.

Pentru intervalele nchise se stabilete centrul intervalului

800700 7502

800700=

+=X

11001000 10502

11001000=

+=X

Centrul intervalului de grupare este considerat a fi valoarea care exprim sinteti

fiecare interval i corespunde ipotezei c frecvenele se distribuie uniform n cadru

fiecrui interval.

Pentru intervalele deschise se asigur, mai nti nchiderea acestora, considernd

mod convenional - c au aceiai mrime cu intervalele alturate.

< 700 intervalul 600 - 700

1100 intervalul 1100 1200

n continuare media se poate calcula n 2 moduri:

a. pe baza frecvenelor absolute

7/10


8/10

X ..900200

180000mu

f

fX

i

ii==

=

b. pe baza frecvenelor relative

Se observ din tabelul anterior c frecvenele relative if au fost calculate n procente

if 100= ii

f

f

Pentru a calcula media, frecvenele relative trebuie transformate sub form d

coeficieni, prin mprire la 100

..90010,0115015,0105020,095030,085020,075005,0650 mufXX ii =+++++==

Principalele proprieti ale mediei aritmetice

1. Media aritmetic are ntotdeauna o valoare cuprins ntre valorile extreme ale seriei:

minX < X< maxX

Dac media se plaseaz n afara acestor limite, rezultatul este n mod sigur eron

(control logic).

2. n cazul unei serii cu distribuii de frecvene, media aritmetic se ncadreaz ntrvalorile extreme ale variabilei i oscileaz n jurul termenului (intervalului) cu frecven

maxim.

n cazul aplicaiei anterioare:

..900 muX=

600 < X


9/10

0)(1

==

XXn

i

i

pentru o serie cu distribuie de frecvene:

0)(1

==

i

m

i

i fXX

Aceast proprietate se verific foarte uor n cazul aplicaiilor prezentate.

Dezavantajul mediei aritmetice

Media aritmetic este sensibil fa de valorile extreme, astfel c devin

nereprezentativ dac termenii seriei sunt prea mprtiai.

AplicaiePentru cei 10 angajai ai unei firme s-au nregistrat n luna septembrie 200

urmtoarele salarii brute (n u.m.):

500; 500; 600; 600; 600; 600; 700; 700; 1800; 2000

Calculnd salariul mediu lunar se obine:

..86010

8600

10

20001800140024001000

10

20001800270046002500mu

n

XX

i==

++++=

++++==

Fr a fi necesare calcule suplimentare*) se observ c media nu este reprezentativ

Colectivitatea de baz este alctuit din 2 subcolectiviti total diferite: 8 angajai au u

salariu 700 u.m. n timp ce 2 angajai ncaseaz lunar 1800, respectiv 2000 u.m..

Ca urmare, salariul mediu calculat de 860 u.m . nu sintetizeaz ceea ce este esenia

tipic, pentru colectivitate.

*) Vezi coeficientul de variaie.n consecin, salariul mediu trebuie studiat separat pentru cele 2 tipuri calitative:

- pentru cei 8 angajai cu salarii mici.

..6008

4800

8

270046002500muX

m ==++

=

9/10


10/10

- pentru cei 2 angajai cu salarii mari:

..19002

20001800muXM =

+=

Astfel s-au calculat 2 salarii medii reprezentative, corespunztoare celor 2 tipu

calitative.

Cele 2 medii pariale pot fi agregate n continuare, obinnd salariul mediu la nivelu

firmei:

..86010

219008600

10

28mu

XXX

Mm=

+=

+=

dar, subliniem nc o dat, calculul are o valoare pur teoretic, salariul mediu - n aceas

situaie - fiind un indicator lipsit de coninut.

Concluzie

Indiferent de media utilizat i de modelul de calcul, pentru verificarea gradului d

reprezentativitate a acesteia este necesar s se calculeze indicatorii variaiei i asimetriei.

10/10

indicatorii tendintei centrale

Documents