hidrogeologie 2011

7/31/2019 Hidrogeologie 2011

1/62

CUPRINS

I. Proprietile elementare ale apei i mediului poros 3

I.1 Proprietile apei 3I.1.1 Masa specific 3I.1.2 Greutatea specific 3I.1.3 Vscozitatea dinamic 4I.1.4 Vscozitatea cinematic 5I.1.5 Coeficient de compresibilitate 5I.1.6 Tensiunea superficial 5I.1.7 Proprietile termice (ale apei) 6

I.2 Mrimi fizice fundamentale. noiunea de mediucontinuu echivalent 9

I.2.1 Presiunea din fluid, presiunea din pori 9I.2.2 Viteza particular. Viteza de filtraie sau viteza Darcy 10I.2.3 Potenialul sau sarcina hidraulic i componentele sale 12

I.3 Propietile fizice ale mediului. 15I.3.1 Porozitatea 15I.3.2 Permeabilitatea 15

I.3.4 Proprietile termice ale mediului 18I.3.5 Definirea dispersiei hidrodinamice. 18I.3.5.1 Apariia fenomenelor de dispersie 20I.3.5.2 Definirea concentraiei i vitezei. 20I.3.5.3 Ecuaia diferenial a dispersiei 28

II. Legile fundamentale ale hidrodinamicii mediului poros 37

II.1. Principiul de conservare ecuaia de continuitate 37

II.2. Ecuaia de echilibru legea darcy 38II.3. Ecuaia de stare 40

III. Curgerea monofazic 41

III.1. Curgerea n sarcin (sub presiune) 41III.1.1. Curgerea tridimensional 41III.1.2. Cazul particular al curgerii sub presiune 43III.2. Cu suprafa liber 44III.2.1. Definiie Ipoteze 44III.2.2. Ecuaii fundamentale aplicabile curgerilor cu suprafa liber 45

III.2.2.1. Ecuaia potenilului 45

5


2/62

III.2.2.2. Ecuaia suprafeei libere 46III.2.3 Ecuaii simplificate 47

III.2.3.1. Ipoteza lui Dupuit. Forme simplificate neliniare 47III.2.3.2. Ecuaii linearizate Ecuaia lui Forchheimer 50

IV. Micri difazice imiscibile 52

IV.1. Meneraliti pentru micrile polifazice nemiscibile 52IV.2. Cazul curgerii diafazice aer-ap n soluii 54IV.3. Cazul margine srat 55

V. Curgeri diafazice miscibile 58

V.I. Generaliti 58V.2. Cazul curgerii unei soluii eterogene 59V.3. Cazul curgerii unei soluii omogene modelul trasorului perfect 59

VI. Transferuri cumulate: termice i de mas 60

Comentarii 61Bibliografie 62

6


3/62


4/62

n sistemul C.G.S.: dyn/cm3

1N/m3 = 3136

5

/1010

10cmdyn

cm

dyne =

Se utilizeaz nc n S.U.A. (Engineering System): lb/ft3

;1 lb/ft3 =

333

/158/)48.30(

981453mNcmdyn ==

Pentru ap, n aceeai condiii ca pentru greutatea specific333 /62/1/981981*1 ftlbcmgfcmdyne ====

I.1.3 Vscozitatea dinamic

Definiie:Este un coeficient definit prin formula: dn

vd

S

F

=

n v

Fig. 1

FS

S

Freprezint fora tangenial unitar exercitat pe o suprafa de curgere

care are un gradient de vitez n (perpendiculare pe direcia de curgere)i egal cudn

vd

Notaia uzual Dimensiuni: MLT-1* L-1x T = MLT-1T-1

Uniti: (S.I.): 1 Pl = 1 kg/m/s = 1 N/S/m2(C.G.S.) 1 Po = 1g/cm/s = 1 dyne/S/cm2 = 10-1 Pl.

Pentru ap vscozitatea variaz mult n funcie de temperatur. n practicvom reine:pentru apa la 200C =1.008 +. 0,02 CPo 1 CPo sau = 2.08*10-5 lb/ft2

Pe de alt parte vom avea urmtoarea formul aproximativ (formulaHelmoltz):

Cp=++= 2000222.00337.01 0178.0

8


5/62

I.1.4 Vscozitatea cinematic

Definiie i dimensiuni:Reprezint raportul dintre vscozitatea i masaspecific. Se noteaz cu, valoarea acestuia fiind dat de formula:

= 12311

= rLMLTML

Uniti de msur: n S.I. i C.G.S.: m2/s i cm2/s sau Stokesn S.U.A. 1 ft2/s = 10-5ft-2/s

I.1.5 Coeficient de compresibilitate

Definiie: Coeficientul de compresibilitate al apei este definit prin: = -

V

vunde

pV

v

1* reprezint variaia relativ de volum provocat de variaia de

presiune p (o variaie pozitiv de presiune provoac o contracie de volum).

Vom avea deci pV

v=

=

permite de a exprima, la temperatura

dat, variaia masei specifice n funcie de presiune.Dimensiuni: = ML-1T-2-1 = M-1LT2

Uniti: n sistemul C.G.S.: [barye]-1sau utiliznd uniti neomogene: kg/cm2 -1

m.d.apa 1 = (1/10 kg/cm2)-1.unitate de volum/ATMOSFERA

(atm.)-1

n S.U.A. (p.s.i.)-1 = (square inch/pound).

I.1.6 Tensiunea superficial

Definiie:Aceasta este energia pe unitate de suprafa care pune n micarela nivelul unei interfee pentru aranjarea moleculelor superficiale ale masei fluidului

la aciunea moleculelor interioare.

ds

dwTs = Fig. 2

9


6/62

Aceasta este de asemenea fora de atracie exercitat pe unitatea de lungimela suprafaa exterioar a fluidului.

dl

dfTs =

Dimensiuni: ML

2

T

-2

/L

2

= MT

-2

sau MLT

-2

/LUniti: S.I.: N/mC.G.S.: Dyne/cm 1 N/m = 103 dyne/cm

Pentru ap: Ts = 74 dyne dyne / cm la 00 CTensiunea superficial scade cnd temperatura crete.

I.1. 7 Proprietile termice (ale apei)

I.1.7.1 Precizri privind sistemul de uniti

Studiul fenomenelor termice implic definirea unei singure mrimisuplimentare, temperatura care se poate exprima n dou uniti:

- gradul Celsius 0C- gradul Farenheit: 0F cu relaia de echivalen F = 32 + 9/5 C

Prin urmareS.I. a reinut 0C i nu cuprinde dect 4 uniti strict necesare: m, kg, s,

0C.

Dar pentru a menine distincia dintre cele dou forme de energie, mecanic itermic, la multe dintre sistemele zise practice ntrebuinate de specialiti utilizndo unitate de cantitate de cldur (sau energie termic) putem meniona pe cele maifrecvent folosite:

- caloria (cal.): cantitatea de cldur necesar pentru a ridica temperaturaunui gram de ap cu 10C (la presiune constant i temperatur de 150C).Echivalentul n energie mecanic este 1 cal = 4.184 joules.

- Butish Thermal Unit (btu): cantitatea de cldur necesar pentru a ridicatemperatura unei lb de ap cu 10F (la presiune constant i la temperatur

n jurul a 390F ~ 40C).

I. 1.7.2 Conductivitatea termic

Definiie:Este cantitatea de cldur pe unitatea de suprafa care n regimpermanent de curgere din unitatea de timp sub efectul unui gradient de temperatur

unitar: Q

Adt

Qb

)( 01

=

Fig. 3

10

Q


7/62

A M1

mediu conductiv b

M0

Cu Q = cantitaea de cldur transmis la traversarea cilindrului cu suprafaa bazei An timpul t;

0101

>=

atemperaturdegradient

b

deducem dimensiunea: flux termic este forn S.I.: MLT-3/ sau ML2T-3/L

Energie termic Q

J Cal Kcal btuJ 1.0 0.2389 0.2389*10-3 0.948*10-3

Cal 4.1855 1 1*10-3 3.9683*10-3

Kcal 4.1855*103 1*103 1 3.9683Btu 1.055*103 252 0.252 1

Flux termic

W Cal/s Kcal/h btu/hW 1 0.2389 0.860 3.4124Cal/s 4.1855 1 3.600 14.286Kcal/h 1.1627 0.2778 1 3.968btu/h 0.29306 0.070 0.252 1

Conductivitate termic

W/m * 0C Cal/cm * s 0C Kcal/m * h0C btu/ft * h0FW/m * 0C 1 2.389 *10-3 0.860 0.57785Cal/cm * s 0C 418.55 1 360 241.91Kcal/m * h0C 1.1627 2.778 *10-3 1 0.0.67197btu/ft * h0F 1.7306 4.1389 *10-3 1.4882 1

Pentru ap: = 1.44 * 10-3 cal/cm * s * 0C = 6.02 * 10-1 W/m * 0C = 3.48 * 10-1

11


8/62

btu/ft*h0F variaz foarte puin n funcie de temperatur dup relaia

0)1(0


9/62

I.2 MRIMI FIZICE FUNDAMENTALE. NOIUNEA DE MEDIUCONTINUU ECHIVALENT.

Toate mrimile prezentate sunt definite n spaiul Euclidian n trei dimensiuni(Dl3) ortonormale (sistem cartezian).

I.2.1 Presiunea din fluid, presiunea din pori

Fluidele (prin comparaie cu solidele) nu pot suporta contracii (fore peunitate de suprafa) tangeniale. Starea lor de contracie n toate punctele este datprin urmtoarea notaie matricial ilustrat de schema Fig.4:

xx xy xz -p 0 0yz yy yz = 0 -p 0zx zy zz 0 0 -p

z zz zx zy yz

xz yz yy xy xx

0 y

Fig . 4x

Reamintim c presiunea este fora suportat de fluid n toate punctele.Raportnd la masa volumic a fluidului, fora de presiune se exercit n notaiematricial prin:

x

p

0 0

F=

10 x

p

0 = -1

grad p

13


10/62

0 0x

p

ntr-un mediu poros, presiunea din pori este presiunea medie msurat pentruun volum de referin (V.R.) care nglobeaz un anumit numr de pori n intervalulcrora presiunea fluidului poate fi variabil.

p = .).(1

RV

pdvV

Volumul de referin considerat este n general volumul elementar dereferin (V.E.R.) definit mai jos.

n hidrodinamica mediului poros nu considerm dect presiunea de pori,

singura msurabil n practic. n general vom msura aceast presiune n raport cupresiunea atmosferic egal cu zero i exprimat n nlimea coloanei de fluid(presiunea efectiv).

Uniti: Reamintim principalele uniti de msur i echivalenele(dimensiunea exprimat ML-1T2).

n S.I. unitatea de msur este Pascalul.1 Pa = 1 Newton/m2 = 105 dyne/104 cm2 = 10 barye (C.G.S.)

1 Pa = 10-5 barn S.U.A. unitatea de msur utilizat este P.si = pounf (force) per square inch.1 p si = 6894.76 Pa = 0.703 m col. de ap.

I.2.2 Viteza particular. Viteza de filtraie sau viteza Darcy.

Volume elementare de referin. Mediu continuu echivalent.Viteza particulelor este viteza particulelor de fluide din interiorul mediului

poros. Este de fapt viteza real sinonim cu viteza intergranular sau interstiial.Din pcate ea nu este accesibil msurrii i este fr dubii destul de fluctuant chiarn regim permanent: )(tvvv +=

De fapt nu putem msura dect fluxul masic care traverseaz seciune adesuprafa S i care include un mare numr de pori pentru care fluctuaiile de vitezse anuleaz.

=S

dsv )0(

Pentru un anumit volum vom numi viteza de filtrare sau viteza Darcyvectorul care nsumeaz componentele de flux dup cele trei direcii principale. Vomavea relaia:

14


11/62

=+

=

S

eVdstvvS

SV ))((

cutotalarafata

curgeriilasatarafata

S

S

sup

sup=

= = porozitatea (de fapt cinematic)

Fig. 5

Mediul continuu echivalent este spaiul matematic unde cmpul de vectoriprin componentele lor pot fi considerai ca funcii continue i derivabile n acestspaiu (DR3 n general). Vom putea scrie n notaie matricial:

z

y

x

e

z

y

x

V

V

V

V

V

V

V

V ==

Uniti de msur n S.I.: -m/s sau m3/s*m2

C.G.S. cm/s

15


12/62

I.2.3 Potenialul sau sarcina hidraulic i componentele sale

Potenialul fluidului ntr-un punct este energia dezvoltat pentru a aduceunitatea de mas a acestui fluid de la o stare de referin (arbitrar) la starea prezentdin acest punct.

Expresia potenialului depinde deci de alegerea strii de referin i decondiiile la care este supus pentru a se face transformarea. n ceea ce privetefluidele, apa n particular, n mediul geologic vom pune implicit alegerea i aipotezelor urmtoare:

1. Definirea strii de referin1) originea cotei arbitrare cu axa z de jos n sus (sens contrar acceleraiei

gravitaionale)

g z

02) presiunea atm. ct. po = pat = 03) masa specific de referin = masa specific la presiunea 0 0 = la p = p at.4) viteza fluidului este nul V0 = 0

2. Condiii izoterme

3. Ap puin srat i variaii de salinitate neglijabile.n aceste condiii i pentru un fluid compresibil vom avea:

energie potenial2

2

0

vgz

dpP

P

++=

Dar pentru curgerea cu vitez redus (lent) cum este curgerea n mediuporos a unui fluid incompresibil (sau cu compresibilitate foarte redusinduce variaiide mas specific neglijabile n cmpul de variaie al presiunilor din sistem); aceastexpresie general a potenialului se amplific n:

16

energie de presiune

energie de poziie

ergie cinetic


13/62

gzp

m +=

(energie pe unitate de mas)

sau aducnd energia respectiv la unitatea de volum i unitate de grutate. gzpm += (energie pe unitate de volum)

zpm +=

(energie pe unitate de greutate)

Aceast ultim expresie este cel mai mult utilizat pentru a exprima energiapotenial a apei n mediu poros (superficial i izoterm). Este denumit sarcinhidraulic. n aceste condiii sarcina electric este constituit din doi termeni:

g

pHp

= energie de presiune pe unitate de greutate = nlime

piezometricHz = z energie gravitaional pe unitate de greutate = sarcin altimetric sausarcin de poziie.

n ceea ce privete energia de presiune se disting dou cazuri, dup modul demsurare a acestui termen (vezi fig. 6).

n mediu saturat presiunea de ap este superioar presiunii atmosferice i semsoar deci prin nlimea de fluid, sau presiune efectiv n tub sau piezometrudeschis n punctul considerat = nlime piezometric. n acest caz sarcina hidraulic

17


14/62

se materializeaz n punctul considerat prin cota nivelului piezometric (sau cota

piezometric) n raport cu planul de referin: zg

pzHp +=+=

n mediu nesaturat presiunea apei din pori este inferioar presiunii

atmosferice, negativ n valoare algebric. O vom denumi nc presiune efectivhp aceast depresiune msurat n nlimea apei i n valoare algebric. n valoareabsolut se poate denumi tensiune sau succion.

hpg

p==

Tensiunea (succion) este msurabil cu tensiometrul, instrument care permitedefinirea practic.

n ipoteza n care apa prezint o salinitate redus succion (dynesiune) esteegal cu potenialul capilar sau (termen sinonim dar preferabil) potenial matricial, ce

reprezint energia dezvoltat pentru a separa apa de matricea poroas (de care esteefectiv legat prin forele capilare). n cazul n care salinitatea apei din sol nu ar finul (diferit de zero) ar fi de inut cont n expresia sarcinii hidraulice de un potenialmatricial.

Dimensiuni i uniti:- potenialul pe unitate de mas L2T-2

- ptenialul pe unitate de volum ML-1T-2 (presiune)- potenialul pe unitate de greutate: L- a domeniului pe de o parte, cu toate limitele fixe = de curgere sub

presiune sau cu anumite limite variabile = curgere cu suprafa liber.- a cmpului de viteze: toate traiectoriile paralele = curgeremonodimensional; toate vitezele paralele cu un plan = curgerebidimensional; cmp de vitez oarecare = curgere tridimensional.

Exist de clasificare a curgerii n funciile enunate mai sus i dup formaecuaiei de micare.

Aceast clasificare a modelului conceptual este rezumat n tabelul de maijos. Ecuatiile de micare corespund la fiecare model si sunt derivate, pornind de laecuaiile fundamentale.

I.3 PROPIETILE FIZICE ALE MEDIULUI.

18


15/62

I.3.1 Porozitatea

Din punct de vedere al mecanicii fluidelor pentru porozitate mrit ar fireinute 3 aspecte:

- porozitate sens strict sau porozitate intrinsec, sau porozitate total estepentru un anumit volum al mediului poros (aproape egal cu volumul dereferin), raportul dintre volumul golurilor i volumul total al mediuluiporos.

Vt

Vv=

- porozitatea eficace (capacitatea de absorbie, sau porozitate liber sauporozitate de drenaj) sau field capacity n terminologia englez. Este raportuldintre columul total Vt i volumul de ap efectiv.

- porozitate cinematic (definit la cap. I.2.2 ) privind viteza de filtrare

totalarafata

fluiduluicurgeriilasatarafatacin sup

sup=

Suprafaa lsat curgerii fluidului este = supr.total solidul (partea solid) apalegat.

Solid

ap liber

ap legat

Fig. 7

Putem admite ntr-o prim aproximaie effcin Porozitatea se exprim n %.

I.3.2 Permeabilitatea

Putem distinge dou noiuni diferite:-coeficient de permeabilitate sau permeabilitate Darcy

Q = Sl

k

Q: debit volumetric (L3T-1) al unui fluid n condiii de temperatur i presiune date

: sarcin hidraulic (L)l: lungime (L)

19


16/62

S: seciune (L2)k: caracterizeaz un cuplu fluid - mediu poros ntr-o stare particular.

-permeabilitate intrinsec, sau permeabilitate, sens strict care se definete

pornind de la:

kk=

: greutatea unui fluid n curgere (=g): vscozitate

Dimensiuni: k = LT-1k = L2

Uniti S.I. m/s pentru permeabilitate DarcyS.I. m2 pentru permeabilitate intrinsec

Fig. 8

20


17/62

I.3.3 Flux de dispersie Termenul dispersie Dispersivitatea

Dispersia este transferul ntr-o soluie dizolvat cu a vitezei particulare nraport cu viteza medie. Exprimat ntr-un sistem ortonormal legat de aceast vitez.

D =

T

T

L

D

D

oD

00

00

0

DL este coeficientul de dispersie longitudinalDT este coeficientul de dispersie transversal

Vom putea admite pentru mediul poros i gradieni de vitez utilizai curentn hidrogeologie.

D = e

T

T

L

V

00

0000

L = dispersie longitudinalT = dispersie transversal

Dimensiuni i uniti pentru dispersia longitudinal i transversal:LT-1 m2/s n S.I.

pentru dispersivitate: L, m

21


18/62

I.3.4 Proprietile termice ale mediuluiAnaliza mecanismului de transfer termic conduce la distingerea:- proprietilor termice ale rocii constituind matricea solid, definit pentru

mediul continuu i deci i pentru ap- conductivitate termic: r- capacitate caloric: Cr- coeficient de transfer Et ntre faza solid i lichid

VTEQ Sfte *)( Et: cantitatea de cldur pe unitatea de timp (flux termic)schimbat ntre solid ifluid pentru unitatea de volum la o diferen intern de .

Dimensiuni: QL3T (J/M3.s0C sau cal/cm3.s0C)- proprietatea mediului continuu echivalent (definit ca mediu echivalent

hidraulic).

I.3.5 Definirea dispersiei hidrodinamice.Se consider curgere saturat printr-un mediu poros i o poriune adomeniului curgerii coninnd o mas dat o mas dat de soluie. Aceast soluie vafi considerat ca un trasor (care poate fi identificat prin densitate i culoare, princonductivitatea electric etc.). Experiena arat c n timpul curgerii, masa de trasorse rspndete (mprtie, ntinde, desfoar, propag) gradual i ocup o poriunetotdeauna crescnd a domeniului de fluid, dincolo de regiune este ateptat s ocupeconorm cu curgerea medie (fig.9). Acest fenomen de rspndire este numit dispersiehidrodinamic (dispersie, deplasara miscibil) ntr-un mediu poros. Este un procesireversibil (n sensul c dac curgerea este ntoars nu ne vom rentoarce la

distribuia iniial a trasorului) n care masa trasorului se amestec n poriuneaneetichetat de lichid.

Fig. 9 Amestecul a 2 fire de fluid n timpul curgerii ntr-un mediu poros.

22


19/62

Dispersia hidrodinamic este rezultatul (consecina) macroscopic amicrilor adevrate a particulelor individuale de trasor prin pori i fenomenelevariate fizice i chimice care au loc n pori. n general, astfel de micri i fenomenerezult din:

1) forele externe care acioneaz asupra lichidului;2) geometria microscopic ntortocheat (complicat) a sistemului de pori;3) difuzia molecular cauzat de gradienii concentraiei trasorului;4) variaiile n proprietile lichidului cum ar fi densitate i vscozitatea care

afecteaz modelul curgerii;5) schimbrile concentraiei trasorului datorit proceselor fizice i chimice

n faza lichid6) interaciunile dintre lichid i fazele solide;Sunt implicate dou fenomene de transport de baz: convecia i difuzia. Cele

dou elemente de baz n acest fel de amestec 8adesea numit dispersie mecanic sau

difuzie convectiv) sunt, prin urmare, curgerea i existena sistemului de pori n careare loc curgere. Fig. 10

n general se poate aveaun transport convectiv de mas(1) ntr-un regim linear decurgere, unde lichidul se micde-a lungul cilor definite, carepot fi mediate ca linii de curent de

cmp i (2) ntr-un regim decurgere unde turbulena poatecauza nc un amestec adiional.n ceea ce urmeaz ne vomconcentra atenia asupra primuluitip de curgere.

Interaciunea ntresuprafaa de solid a masei poroase i lichid poate avea mai multe forme: absorbiaparticulelor de trasor la suprafaa solidului, depunerea, solubilizarea, schimb de ioni,etc. Toate aceste fenomene cauzeaz schimbri n concentraia trasorului n lichidulcare curge. Descompunerea radioactiv i reaciile chimice n lichid cauzeazdeasemenea schimbri de concentraie a trasorului. n general, variaiile nconcentraia trasorului cauzeaz schimbri n densitatea i vscozitatea fluidului.Acestea, la rndul lor, afecteaz regimul de curgere (adic distribuia de vitez), cedepinde de aceste proprieti. Trasorul idealse definete ca unul care este inert nraport cu lichidul su i solidul nconjurat i care nu afecteaz proprietilelichidului. La concentraii relativ mici, aproximaia de trasor ideal este suficientpentru cele mai multe presupuneri practice.

23


20/62

I.3.5.1 Apariia fenomenelor de dispersie.

Fenomenele de dispersie hidrodinamic apar n multe probleme de curgere aapei subterane, n procese de inginerie chimic, n ingineria rezervoarelor de petroletc. n curgerea apei subterane le ntlnim n:

1) Zona de tranziie dintre apa srat i apa proaspt n acviferele de coast(prin pompare, avans i contanienare).

2) Operaiile de (re)ncrcare artificial unde apa de calitate este introdus nacvifere coninnd ap de calitate diferit.

3) Tehnicile de recuperare secundar n ingineria rezervoarelor de petrolunde fluidul injectat dizolv petrolul rezervorului.

4) Dispunerile radioactive i de goliri de ap de canal reclamat n acvifere.5) Utilizarea reactorilor ncrcai cu material granular n industria chimic.6) Micarea de fertilizare n sol i filtrarea de sruri din soluri n agricultur.

Vom trata acum dispersia hidrodinamic n principal din punct de vedere alhidrologiei apei subterane. Discuia va fi limitat la curgerea saturat.

I.3.5.2 Definirea concentraiei i vitezei.

Pentru a facilita discuia, definiiile urmtoare sunt folosite:C = Concentraia de trasor = masa trasorului / volumul soluiei; (dim.: ML-3)(C=) = concentraia de mas a trasorului = masa trasorului / masa soluiei

(adim.).Cnd o specie (= component al unei soluii) este trasorul considerat Ceste nlocuit cu CprinsiC .

Micarea fluidului printru-un mediu poros poate fi privit ca o micare a unuiansamblu de particule fluide. Pentru scopul discuiei prezente, o particula de fluideste definit ca un volum de fluid mai mic dect un por, care const dintr-un marenumr de molecule. n timpul micrii, fiecare particul schimb particule cumoleculele nvecinate prin difuzie molecular. Proprietile cinetice ale particulelorse refer la centrul lor de greutate. La un moment dat, o vitez local (microscopic)

ntr-un punct este viteza particulei pentru care acest punct este centrul de greutate.Discuia n seciunile urmtoare este limitat la un sistem lichid binar cu osingur faz, cu toate c, n principiu poate fi extins la un sistem multifazic. Se vaasuma c distribuia instantanee adevrat al unui component al lichidului va putea filocuit printr-un mediu continuu. Fiecare din aceste continuumuri umple ntregulspaiu.

n amestecul care difuzeaz a n specii, speciile diferite chimic se mic cuviteze variate. Considernd un volum dU n spaiul lichid i dm masa instantanee aspeciilor i a sistemului lichid n totalitate n dU. Volumul dU este suficient demareca s autorizeze o mediere plin de semnificaie statistic a proprietilordiferitelor specii, dar suficient de mic n raport cu domeniul curgerii astfel ca s

24


21/62

reprezinte un punct (fizic mare i matematic mic). Densitatea fiecrei specii, sauconcentraia sa este definit de:

ndU

dmC ,....2,1; ==

Pentru ntregul sistem avem:

===========

1;1;1111

Cii

CC

dU

dmC

nnnn

Viteza V (ntr+un sistem de coordonate fix) speciei ntr-un punct esteviteza medie statistic n dU a moleculelor individuale a speciei (= suma vitezelordivizate la numrul de molecule). Cu aceasta, se poate defini pentru amestec unvector vitez de mas-medie local V(Bird et.al.,1960) (viteza punctului material alsistemului) prin:

= = = = ====n n n n n

VCCVCVV1 1 1 1 1

* //

Din aceast definiie *V este debitul (local) la care masa trecut prin aria

unitar amplasat perpendicular pe *V . Viteza *V este atfel numit vitezbaricentric . Este conceptul cel mai utilizat atunci cnd sunt considerate lichideneomogene. Alt cale de definire a viteyei sistemului este bazat pe o medierevolumetric. Fie U volumul parial specific al speciei :

= =

==

=

n n

dUdmmUU

m

UU

1 1

1)/)(/(

Viteza *V medie pe volum este definit prin:

*V ==

n

VU1

Pentru simplificare fie n = 2 (amestec binar). Se poate vorbi de vitezele

speciilor n raport cu micarea local a curentului lichid: )(*

VV = viteza dedifuzie a speciei n raport cu viteza medie (de mas) *V , i )( VV = viteza dedifuzie a speciei n raport cu viteza medie (de volum) V . Similar se poate defini

fluxul )( ** VV = relativ la viteza medie de mas i fluxul de mas

)(* VV = relativ la viteza medie de volum.

Relaia dintre *V i Va unui lichid neomogen care este un sistem binar esteobinut prin utlizarea legii lui Ficko difuziei.

DdgradVV == )(**

(1)unde Dd este coeficient de difuzie molecular a sistemului binar. Similar avem:

25


22/62

DdgradVV == )(*

Din acestea, prin eliminarea lui V se obine:

gradDdVVsau

gradgradDdVV

)/(

)()(

*

*

=

=

Evident, pentru un lichid omogen ( const.), VV * . ntr-un lichidneomogen ele pot diferi ca mrime i direcie. Numai curgerea saturat esteconsiderat.

model de mediu poros compus din canale elementare interconectate

= aria seciunii transversale a canalului i lungimea sa elementar = unghiul dintre direcia liniei de curent ntr-un punct de pe seciunea transversala canalului n acea seciune transversal.U = volumul de roc

*V = viteza baricentric sau de mas mediat

V= viteza volumetric, gradDdV )/(* +

V= viteza speciei

Se consider o poriune finit fix de spaiu de volum U mrginit de osuprafa S. Fie ),( txG o poriune extensiv (mas, energie) a speciei n U. Se

poate defini atunci o proprietate intensiv asociat ),( tx prin:

=)(

),()(U

dUtxtxG

(2)

= densitatea local (pentru unitatea de mas a speciei ) a proprietii

considerate. Cnd G este masa total a speciei , =1. Dac G este energia

total, este energia unitii de mas etc. Se poate deasemenea introduce densitatea

volumetric =g .Rata de schimb de aceast proprietate n U la momentul t este exprimat prin:

+=

)( )(U US

dUISdVgdUt

g

(3)

unde I este o funcie de scdere a sursei (surs scdere = source sink) care

exprim debitul de producere a lui )( =g prin procese interne (de ex., reacii

chimice). Utiliznd teorema lui Gauss, (3) se poate scrie c:

26


23/62

+=

)( )(

)(U US

dUIdUVgdivdUt

g

(4)

IVgdivt

g=+

)(

(5)

S considerm acum cteva valori speciale ale lui g :

(I) Conservarea masei speciei . n acest caz, 1, == Cg . Se

obine din (5), IVCdivtC =+ )(/ (6)

(II) Conservarea masei sistemului. Prin suprapunerea tuturor speciilor seobine:

==+ U dUIVdivt 0;0)(/*

(7)

care este ecuaia de conservare a masei pentru ntregul sistem.

Ec. (75) poate fi deasemenea fi scris sub forma:

0/;0/ =+=+ VdivDtDVdivCDtDC (8)

unde D( )+Dt = Vt+ grad ( ) este derivaia hidrodinamic care

exprim debitul de schimb a proprietii ca i cum ea se mic. n acest caz V este

viteza de propagare a proprietii considerate.Din (8) se obine pentru o mas elementar m a speciei care ocup un

element de volum U ,

Dt

UD

UDt

UmD

m

U

Dt

CD

CVdiv

)(1/()(1

===

(9)

Se poate scrie (80) n termenii vitezei volumetrice nlocuind

)(* DdgradVprinV .

(III) Conservarea volumului sistemuluiAtunci g = 1 i VV (vit.de vol. mediu). De asemenea, ntr-un lichid

incompresibil, volumul nu este produs. Atunci se obine din (5) i (6),

=

===)( )(

0;;0S j

j

UX

VoVdivVdivSdV

(10)

Introducnd viteza mediat de mas, se are

])/[(* gradDddivVdivVdiv = numai pentru ul lichid incompresibil, .ct= se poate scrie 0* == VdivVdiv

27


24/62

IV. Conservarea momentului speciei.n acest caz Vg = i (5)devine:

mm IVVdivtV =+ )(/)( (11)

unde mI este debitul de producere a densitii de moment a particulei mVsi este viteza de propagare a momentului (n lichidul care curge) a particulelor.

V. Conservarea momentului (impulsului) sistemului. Pentru sistemul

lichid ca un tot, se are mVVVg = ,* i (5) devine:

mImVVdivt

V=+

)(( *

*

(12)

+=

)( )(

*

)(

* )(

S U

mm

UdUISdVVUdt

V

(13)

n (12) mI este debitul de producere a densitii de moment i mV este viteza de

propagare a momentului de sistem.

Ecuaiile (12) i (13) sunt bazate pe expresiile urmtoare ale fluxurilor demoment:

mVVm*= fluxul de moment cu referire la coordonate fixe

)(**

VVVm m = fluxul de moment cu referire la viteza medie demas== mm VVVVm

** mVVm* , unde * msim sunt tensori

simetrici de rangul doi.Aceste fluxuri pot acum fi exprimate n forma:

**** VVmmpm +=+=

unde p este presiunea, este (simbolul) delta Krocener i este partea vscoas(datorit tierii) a tensorului de flux de moment.

Putem acum rescrie (12) i (13) prin aplicarea legii a II a a mecanicii, careafirm c debitul (rata) de producere a densitii de moment este egal cu rezultantaforelor externe, n forma:

+=

+=

)(

**

)( )( )( )(

**

)()(

)(

FVVdivVt

dUFSdVVdUt

V

m

U S U

m

unde F este fora exterior (pe unitatea de mas) care acioneaz asupra particulelor

componenilor. Se poate deasemenea scrie:

28


25/62

+=

FdivgradpVVdivV

t

)()( ***

Fie acum s notm div (fora pe unitate de volum) prin R . Ea reprezintdensitatea forei, datorit vscozitii lichidului, care rezist micarea. De asemenea,

n caz prezent, == gzgF 1Se poate nlocui (87) prin:

+=

)( )( )( )()(

***

1)(

U S S U UdURSpdgdUzSdVVdU

t

V

(14)

unde z1 este vectorul unitar dirijat vertical n sus. Ecuaia (14) ntregului sistem.Scris n form diferenial pentru componenta momentului de-a lungul axeicanalului, se obine:

sss Rs

p

s

zgVVdivV

t+

=

)()( **

(15)

n acest punct se face o presupunere privind fora de rezisten R.Aici este fcut un nivel microscopic. Pentru curgerea laminar, urmeazdezvoltarea legii lui Poiseuille pentru curgerea ntr-un tub capilar i se asum:

BVR /*= (16)unde este vscoyitatea dinamic a lichidului n punctul considerat i B conductanacanalului (dim L2) n punct. Legea lui Poiseuille pentru un tub capilar

4/)( 22 raB = , unde r este distana punctului considerat fa de axa tubului. Bdepinde de forma seciunii transversale a canalului i de locaia (amplasarea)punctului considerat. Cu (100), (99) devine:

B

V

s

p

s

zgVVdivV

t

s

ss

**** )()(

=

(17)

Ecuaia conservrii unei specii , mediate pe volumul elementar reprezentativ aunui mediu poros:

ji

ovij

i

i

j

ijdij

i xx

UD

x

V

x

TDD

xt

+

+

=

(ln])[( * (18)

unde 2* )(

ds

dTT ijij

=

n medii omogene, ovU = const. i (18) devine:

i

i

j

ijdij

i xV

xTDD

xt

+

=

)( * (19)

Pentru un fluid staionar 00 = ijDsiV (19) devine:

)(*

j

ijd

i xTDxt

=

(20)

29


26/62

ecuaia difuziei moleculare a unei soluii ntr-un mediu poros.n final se poate rescrie (19) utiliznd notaia vectorial i tensorial:

])[(])[( **

VgradDdDdivVgradTDdDdiv

t

+=+=

(21)

D tensor de ord. 2, din L2

T-1

; coef. dispersiei mecanice (sau convective)Dd coef. de difuzie molecular (din L2T-1)*

T = tensor de ord. 2, adimensional (tortuozitatea mediului)**

IDdD =

Prin nsumarea (18) la toi ii se obine:

ji

ov

iji

ij

ijd

iji xx

UD

xV

xDD

xt

+

+

=

(ln])([ *

(22)Aceasta este ecuaia conservrii masei unui lichid neomogen ntr-un mediu

poros, nsumat pe un volum elementar reprezentativ.Cu condiiile:

/1)/1(),/(1/1/)/( ==== ,se obine:

)(**

*

ji

iji

ix

zg

x

pBT

t

VBV

+

=

+

(23)

ecuaia de micare medie pentru un lichid neomogen n curgere laminar printr-unmediu poros. Cnd este scris n termeni ai vitezei volumetrice medii, se obine:

)()]1

([)1

( **

jj

ij

i

iji

j

ijix

zg

x

p

n

k

xTDdV

t

B

x

pTDdV

+

=

+

(24)

unde s-a introdus permeabilitatea intrinsec a mediului*

ijij BTnk = (25)Presupunnd c transportul de mas(al lichidului total) prin convecie este cu

mult mai mare dect datorit difuziei moleculare, adic** VgradTD

d


27/62

)(jj

ij

ix

zg

x

pk

+

=

(27)

care este extinderea clasicei legi a lui Darcy la lichide neomogene.

3.4.O not asupra altor coeficieni de transport.Pentru un lichid neomogen .)( const= , (27) devine:

g

pzgrad

gk

+== ;

(28)

Pentru difuzia molecular a unui lichid omogen ( .)const= , se obine din(1):

CgradDd=* (vezi anterior).

Pentru acelai lichid, vectorul de flux mediu prin aria unitar de goluri este,din (20): CgradD d

** = (29)sau, pentru aria unitar de mediu poros:

CgradDnCgradTnDn ddd** === (30)

unde dijij

ddijijd DTDsauDTD**** )()( == este coeficient de difuzie

molecular ntr+un mediu poros. Este n acelai timp mai bine a se referi la produsul*

dDn dect la coef. difuziei moleculare ntr-un mediu poros.Ecuaii similare (28) descriu de asemenea fenomene de trasport n alte ramuri

ale fizicii. De ex., legea lui Ohm n electricitate este:gradE = (31)

unde este conductivitatea electric, E este potenialul electric i este vectorulflux. Dac aceste fenomene de transport au loc ntr-un mediu poros (de ex., unelectrolit care satureaz un mediu poros neconductor electric), consideraii similare

cu (30) duc la: gradETni *= (32)

unde i este fluxul de curent mediu pentru unitatea de arie a mediului (goluri +

solid), *

Tn poate fi utilizat pentru definirea proprietii conductive (de ex.,

conductivitatea termice, sau conductivitatea electric a unui fluid care satureazmediul unde matricea poroas este presupus neconductiv). Ec. (32) o determinare

experimental a lui *ijT (Klinkenberg 1951), prin compararea rezistivitii electrice a

materialului poros saturat cu un electrolit). n ingineria de zcminte aceastrelaie este adesea numit factor de formaie. Aici este egal cu 1/n *T . Uniicercettori sugereaz un factor de formaie nF m /= , unde este tortuozitatea i meste un numr.

I.3.5.3 Ecuaia diferenial a dispersiei

31


28/62

Ecuaia diferenial fundamental

Distribuia concentraiei trasorului C=C(x,y,z,t) ntr-un domeniu de curgereeste obinut prin rezolvarea ecuaiei difereniale pariale specifice a dispersieihidrodinamice dependent de o distribuie a concentraiei iniiale de trasor specific ide condiiile la limit cu referire la concentraia trasorului.

ntr-un lichid omogen ( .)., constconst == distribuia concentraiei nuafecteaz vectorul de vitez medien fiecare punct. Prin urmare, reyolvareaproblemei dispersiei este fcut pe 2 subprobleme independente. Prima datdistribuia de vitez este determinat analitic, numeric, sau prin modele. Distribuiade vitez rezultant este inserat n ecuaia dispersiei care este atunci rezolvat pecmpul distribuiei de concentraie.

n cazul lichidelor neomogene, 2 probleme au a fi rezolvate simultan,distribuia de viteze instantanee depinde distribuia concentraiei instantanee (care

afecteaz i ). Se are de rezolvat simultan pentru 7 variabile dependente:.,,,).3(* CpVi Pentru aceste variabile se au la dispoziie 7 ecuaii: trei ecuaii (23),

2 ecuaii de stare pentru i , ecuaia conservrii masei (22) i ecuaia dedispersie (18).

n ceea ce urmeaz considerm un lichid omogen. Pentru acest lichid, ecuaiadispersiei ntr-un sistem de coordonate cartezian Xi este:

iijdij CvXj

CTDD

Xit

C

+

=

)[ * (33)

unde C este concentraia speciei . Aici C,**

,,, ijiiji TVCinlocuiescTV definiten seciunea 2.4; ele reprezint valori medii pe un volum elementar reprezentativ nmediu. Scheidegger (1961) i de Josselin de Joug i Bosen (1961) de asemenea au

obinut aceiai ecuaie fr termenul*

ijdTD , deorece ei au inclus efectul difuziei

moleculare deja n ijD . Ecuaia (33) poate fi rescris n forma:

*'' );( TDDDCvXj

CD

Xit

Cdiij +=

=

(34)

unde 'D este coeficient de dispersie hidrodinamic. Dou extinderi posibile ale ec.

(34) pot fi menionate:I) Trasorul ideal urmeaz (se supune) descompunerii radioactive

conform:CtC = / (35)

unde este constanta de dezintegrare egal cu reciprocul vieii principale atrasorului.

II) Absorbia trasorului de ctre matricea solid poate apare n timpulcurgerii. Absorbia aici este transferul de mas de trasor (n forma de ioni n soluie)din lichid la suprafeele fazei solide, controlat de proprietile chimice ale soluiei i

matricei solide i de concentraia soluiei n faza lichid.

32


29/62

Ecuaia absorbiei ea nsi poate lua forma (Lapidus i Amundson, 1952;Bondarev i Nikolaevski, 1962)

)/()(/ aACCCtA eq == (36)

unde i 0a sunt constante, eqC este valoarea lui C sub condiii de echilibru i A

este concentraia trasorului pe suprafaa solid (masa de trasor pe volumul unitar defaz solid).

Cu att absorbia ct i dezintegrarea radioactiv , ),(),( trCsitrA sunt guvernate de sistemul de ecuaii (36):

)1

()()1

( ' An

nC

x

CV

x

CD

xA

n

nC

t iiij

i

+

=

+

(37)

n ordine a rezolva (36) si (37) se are a ti viteza ),( trV care apare n (37),sau n vreo alt form a ecuaiei dispersiei ca dat mai jos, att implicit ct i explicit

ca un factor de DI,j . Pentru un lichid incompresibil omogen, ),( trV este determinat

de legea lui Darcy, de exemplu n formaj

iix

gKV

=

)/( unde ),( tr sen

conformeaz

0=

=

i

ij

ii

i

x

gK

xx

V

Soluia complet a unei pribleme de dispersie a trasorului ideal, implic prinurmare, o rezolvare simultan a patru ecuaii pentru patru necunoscute A, C, V, ,

prevzute ca toi parametrii de mediu i fluid cunoscute.n cazul special de curgere uniform n direcia n direcia 1x n planul (x,y),

x

CV

yTD

AV

aV

x

CTD

AV

av

t

c

sVdxdsdyds

dII

dI

++

+

++

=

===

2

22

2

22

*)(*)(

1)1,cos(,,

(38)

n cazul simetric (sau unidimensional) de curgere n direcia 1x 0=y

Ci

(38) devine:

x

CV

x

CTD

AV

av

t

cd

I

++

=

2

22

*)((39)

Dac *TDd


30/62

Un caz special de interes este acele a curgerii plane convergente saudivergente ntr-un pu sau dintr-o surs de origine. ntr-un sistem de coordonate polar

(r,r

GVrddsdds r === ,,),

Unde G este o constant. Se obine:

r

CC

rV

TD

AV

Va

rr

C

V

TD

AV

V

rV

t

C dIIdaI

++

+

+

+

=

1)

*(

1*(42)

undeB

Q

BV

nr

,2

= este intensitatea (fora) sursei sau puului i semnele

corespund curgerii radiale convergente (+) i divergente (-). Dac se au condiiiaxisimetrice, 0/ = C n (42).

Condiii la limit i iniiale

Determinarea lui C(r,t) i A(r,t), reclam o cunoatere a condiiilor la limiti iniiale.

A preciza condiiile iniiale nseamn a preciza C la t = 0 pentru toatepunctele interioare domeniului considerat (adic, excluznd limitele)

)()0,( 1 rfrC = (43)

n general, domeniul de mediu poros considerat poate fi delimitat de oricareun impermeabil, nereacionnd cu lichidul, solid, de un continuum lichid sau de unalt domeniu de mediu poros. Cerina major este continuitatea fluxului de mas detrasor la traversarea limitei. Dac a este domeniul considerat i b este domeniul dinafara limitei, se are

)()( ** bna

n = (44)

unde )(* an este fluxul de mas de trasor specific (pe unitatea de arie a suprafeeilimitei) normal de limit pe partea sa dinuntru. El este dat de

+

= CVxC

D

i

j

ji

ian

a ,)(

(45)unde a este porozitatea, i sunt componentele covariante ale normalei 1 ndreptatectre afar la suprafaa de limit i DI,j este definit prin (26).

Mai multe cazuri pot fi considerate:(1) Domeniul b este de asemenea un domeniu de mediu poros. Atunci se are

pentru )(* bn o expresie similar cu (45),(44) iar forma

b

i

j

ij

iba

i

j

ji

ia CVx

CDCV

x

CD )()( , +

=+

(46)

(2) Dac b este un domeniu impermeabil pentru curgerea de mas, se are:0,0 )( == nii qq

34


31/62

Se obine, atunci:

=

+ ai

i

dIIx

CTnDqaf ))[( ** b

i

i

dIIx

CTnDqaf ))[( **

+ (47)

unde:

)(;/),,(*****

enm

mnijijij

dIee PfqqaaDnDDqPPff ==== (48)n acest caz, numai dispersia transversal care rezult din curgerea care estetangenial la limit, i difuzia molecular, este activ.

(3) Dac limita solid este impermeabil de asemenea la difuzie, (48) sereduce la:

0)(0 =

=

i

j

n x

Csau

s

C (49)

unde nds este un element de lungime normal la limit.(4) Dac b este un continuum lichid (mare, lac, ru, rezervor), unde o

distribuie de trasor dat ),( 0 trC exist,

jid

i

i

b

nx

CDqtrCI

= ),( 0)(

(50)

i )(anI este dat de membrul stng al (46) i (50) sunt atunci inserate n (44) a produce

(a da) condiia la limit.. Concluzia din aceast condiie la limit este c distribuiade concentraie pe ambele pri ale limitei nu este identic. Pentru cazul special alunui mediu omogen izotrop, se obine:

j

j

II

ji

iIIIi

i

d

i

i

d

i

ix

C

qaq

qq

aafx

C

TnDx

C

DqCtrC

+

= ])[(]),([**

0

(51)Cnd concentraiile pe ambele pri ale limitei devin egale i rmn astfel, se

are 0/ )( = nsC i condiia la limit devine:CtrC =),( 0 (52)

n general, condiia (52) poate fi obinut numai dup un timp suficient delung. Comparnd (52) cu (51), se vede c (52) este echivalent, la care se specificfluxul de mas al unui trasor ideal care traverseaz limita, unde vectorul de

descrcare specific este independent de concentraie, (52) presupune c transportulde mas de trasor, traversnd limita, se datoreaz conveciei singure.(5) n final, dac b este un spaiu liber (adic umplut cu aer), C este acelai pe

ambele pri, adic CtrC =),( 0 . Nu se afl difuzie molecular pe partea din afar i(51) devine:

0)*( =

+i

ij

d

ij

ix

CTnDnD

(53)

Pentru un mediu izotrop omogen se obine:

35


32/62

0/,0)/)(**( )()( ==+ nnijdI sCadicasCTnDqaf

Pentru un mediu infinit cu aprovizionare la infinit, se care ca la r , C sfie constant i finit

0/lim,lim 0 == xjxr CCC

Cteve probleme rezolvate.

Mediul este omogen i izotrop i se caut C(r,t). Pentru simplificare se propuneA= 0 n (38) (40).

Cazul I. Avansarea unui front de concentraie ntr-o coloan infinit de mediuporos. Att dispersia hidrodinamic ct i difuzia molecular sunt considerabile;

dezintegrarea radioactiv i absorbia sunt neglijate. Descrcarea specific q(t) aceeai la orice moment de-a lungul ntregii coloane eate sau o constant sau poatevaria cu timpul. Iniial, coloana este saturat cu dou lichide (miscibile) laconcentraii de trasor diferite cu o interfa abrupt (net, tranat) (la x = 0) ntreele.

Ecuaia diferenial parial este aici (40) cu A 0 sau

=

x

C

n

q

x

CD

t

C2

2

` < x < + (54)

cu D` *)/( TDnqa dI += i semnul minus corespunde curgerii n direcia +

x. Pentru un mediu izotrop T* = 1/3. Condiii iniiale: t = 0 < x < 0; C = Co (55)

0 < x < ; C = C1Condiii la limit: t > 0;

0

1

,

,

0,

CCx

CCx

x

Cx

==

=+=

=

=

(56)

Bear i Todd (1960) au rezolvat aceast problem prin aplicarea transformriiLaplace la (54) prin (56). Soluia este:

+

=

2/1*

0

0

01

0

])/[2

]/)([

2

1),(

dtTDnqa

dtntqx

erfcCC

CtxC

t

t

I

t

(57)

36


33/62

=

2/1

01

0

)`4(

/

2

1),(

tD

nqtxerfc

CC

CtxC(58)

Cazul II. O coloan infinit de mediu poros cu curgere permanent q ndirecia 1x. La t = 0, un foarte subire lent de fluid de trasor marcat este injectat la x

= 0 n curent.Concentraia de trasor ca lentul se mic cu curgerea medie, aceast ecuaie devine:

)`(` 2

2

x

CD

t

C

=

(59)

unde t` = t, x` = x (q/n)t. Aceasta este binecunoscuta ecuaie de condiie a cldurii.Condiile iniiale aici sunt n forma unei funcii delta a lui Dirac

)()/()0,( xnmxC = (60)

unde m este cantitatea total de trasor coninut n lent. Distribuia lui Dirac )(xm

este descris de:

mxm

1)( = pentru 0


34/62

==

0

01

`,)`(),(

CCdtxCCC

CtxC o (63)

=

2/1

01 )`4(

/

2

1),(

tD

nqtx

erfcCC

CtxC o

(64)

Fig. 12Cazul III. Coloan semiinfinit demediu poros x > 0. Coloana esteadiacent unui rezervor care conine osoluie de trasor de concentraie C0constant. Curgerea n coloan este

meninut la un Q constant(descrcarea specific q este n direcia1x). n plus, trasorul n coloandescrete continuu dezintegrarearadioactiv. Se presupune c la x = 0concentraia atinge valoarea sa ultim

C0 imediat pe nceputul curgerii. Aceasta este echivalentul cu a presupune c0)/(lim 0 = xCt n (52). Ecuaia diferenial este aici:

Cx

Cqx

CDt

Cn

=

2

2

` (65)Condiii iniiale: t = 0, x 0 C = 0Condiii la limit: t > 0, x = 0 C = C0 (66)

x = C = C0Prin aplicarea transferului Laplace la (65) i (66) se obine:

=+

02

2 )exp(*,0*)(

**`

dtptCCCp

x

C

n

q

x

CD (67)

x = 0, t > 0, C* = C0/p

Soluia ecuaiei (68) este:

++= )

``4(

`2exp*

20

D

p

nD

q

nD

qx

p

CCp

(68)

care conduce la soluia:

+

+

=

i

i

yt

tx dyD

y

y

e

inD

qxCC

2/120),( )`

(exp2

1

`2exp (69)

``4 2

2

DnD

q +=

38


35/62

Integrnd (69) se obine (Grobner i Hofreiter, 1949)

[ ] [ ]2/1

2/12

2/1

2/12`2/

0),( )`(2

`4)/(

)`(2

`4)/(

2

1

tD

tDnqxerfce

tD

tDnqxerfeeCC xxnDqxtx

+++

+=

(70)cnd = 0 i se neglijeaz difuzia molecular, (70) devine:

++

=

2/1/

2/10),( )/(2

)/(

)/(2

)/(

2

1

nqta

tnqxerfce

nqta

tnqxerfcCC

I

aIx

I

tx (71)

derivat de asemenea de Ogata i Banks (1961). Conform cu ei, termenul secund din(71)poate fi neglijat cnd x/aI este suficient de mare, condiie uzual satisfcut n

practic la ceva distan de limita de curgere nuntru. Ecuaia (71) este o aproximarea lui (70) de asemenea cnd difuzia molecular este neglijat i 1/4 qnaI .Astfel, acest parametru este un criteriu pentru importana relativ a

dezintegrrii radioactive a trasorului considerat. El este o combinaie a parametrilormediului (aI, n), curgerii (q) i trasorului ( ).

Dac termenul secund al lui (70) este neglijat i fie t , se obine:

[ ]

+= 2/10

)/41(12

exp),(

qnaa

x

C

txCI

I

(72)

Cazul IV. Un cmp infinit bidimensional cu curgere uniform la q = ct. n dir.1x. Iniial (t = 0), o interfa abrupt n forma unei linii drepte y = x tg separregiunea de trasor fluid de concentraie C0 de regiune liber de trasor.

Fig. 13

Ecuaia care definete C(x,y,t) este prin (41):

xC

nq

yCD

xCD

tC

+= 22

2

2

``` (73)

39


36/62

*/``

*/`

TDnqaD

TDnqaD

dII

dI

+=+=

unde III asia sunt dispersivitile longitudinal i transversal ale mediului poros.Se poate porni, ca n cazul II, de la o soluie elementar i integrat pe ntreaga

regiune de fluid de trasor. Dac nu este masa unei surse punctuale injectate ( , ) la t= 0, distribuia concentraiei n cmp la oricare timp mai trziu este dat de:

+

+

= ``)`,`,(2

dydxtyxCn

m

=tD

y

tD

tnqx

tDD

nmtyxC

``4

)(

`4

))/((exp

``)`(4

/),,(

22

2/1

2

(75)

Liniile de egal concentraie a trasorului sunt de forma elipselor centrate n[ ].,)/( tnq+ A determina distribuia concentraiei care rezult din frontul care semic, se integreaz efectul unui numr infinit de injecii punctuale mici, fiecare cu:

ddCm n= . Rezultatul este:

[ ]

[ ]

+

=

= + +

2/122

0

22

2/1

2

)``cos`sin(4

cossin)/(

2

``4

)(

`4

))/((exp

``)`(4

/),,(

tDD

ytnqxerfc

C

dtD

y

tD

tnqx

tDD

nmdyxC

xtg

(76)

Ecuaia (76) descrie distribuia normal perpendicular pe frontul de deplasare. Cndmicarea este paralel cu interfaa, 0= i (76) d:

=2/1

0

)``4(2),(

tD

yerfc

CyxC (77)

II. LEGILE FUNDAMENTALE ALE HIDRODINAMICIIMEDIULUI POROS

Acestea rezult din aplicarea principiilor fundamentale ale mecanicii la masafluidului n micare i se exprim cu ajutorul mrimilor i parametrilor definii lamediul continuu echivalent.

II.1. PRINCIPIUL DE CONSERVARE ECUAIA DE CONTINUITATE

Principiul de conservare a masei fluidului se exprim prin ecuaia decontinuitate care se obine foarte simplu fcnd balana de material pentru unelement infinetesimal cubic (vezi fig. 14). Pentru acest element principiul de

conservare se enun din punct de vedere fizic astfel: variaia fluxului masic nsumat

40


37/62

algebric la traversarea feelor unuiu cub se traduc prin variaia egal a maseinmagazinate n acest cub, sau sub form matematic:

Fig.14

dup axa x = ))(2

)(())(

2

)(( zy

x

x

uuzy

x

x

uu

+

dup axa y = ))(2

)(())(

2

)(( zx

y

y

vvzx

y

y

vv

+

dup axa z = ( ))()(

())(2

)(yx

z

wwyx

z

z

ww

+

flux la intrare = flux la ieire

Variaia masei de ap a cubului este:

(1) zyxt

w

)(

Dac vom admite (convenie mult uzitat)- flancul la ieire >0 vom gsi cele dou forme clasice ale ecuaiei de

continuitate:

(1a)t

w

z

w

y

v

x

u

=

+

+

)()()()(

(1b) divtwv

= )()(

41


38/62

II.2. ECUAIA DE ECHILIBRU LEGEA DARCY

Dup principiul fundamental al dinamicii pentru tot sistemul n micareexist echilibru ntre forele de inerie.

miscariiaaccelerati

masam

Fm

=

=

=

Pentru fuide aceast lege se aplic strict la fiecare particul i conduce laacuaia NAVIER STOCKES care pune n joc parametri fluidului ( ), i viteza ipresiunea particular. Dar aceast lege se aplic la mediul real unde se distingefluidul de solid pn la scara porilor.

Experiena Darcy prin analogiei analiz dimensional permite de apropune o anumit form, i anumeecuaia lui Darcy generalizat carereprezint deci cazul particular almicrii prin mediu poros i cu modlulconceptual ales, pentru transferul demas, principiul fundamental aldinamicii (sau principiul de conservareal cantitii de micare) (Fig.16)

De fapt experiena Darcy sugereaz c fluxul traverseaz o seciune amediului poros, aceasta nsemnnd c viteza de filtrare este proporional cu energia(dH) dezvoltat n lungul traiectoriei de curgere (dL); (dH=FdL Q/A=K*FdL/dL

Pe de alt parte, din punct de vedere conceptual fluxul poate fi inversproporional cu vscozitatea fluidului i direct proporional cu conductivitateahidraulic sau permeabilitatea intrinsec a mediului.

De unde legea lui Darcy generalizat creia i putem da valoarea unuipostulat exprimnd pentru mediul continuu echivalent principiului fundamental almecanicii.

(2)

)(

)(

)(

Fzz

pKzVz

Fyy

pKyVy

FxxpKxVx

+

=

+

=

+=

cu DarcyvitezasaufiltraredevitezaVzVyVxV =),,(

Kx 0 0

42


39/62

K = 0 Ky 0 = tensor de permeabilitate pentru un teren supus0 0 Kz anizotropiei

p = presiunea din porigrad p = fora de presiune

=),,( FzFyFxF rezultanta forelor de volum= vscozitatea fluidului aplicat unitii de mas

gzdgraF = (cu axa z de jos n sus)

(3) ggdgraK

V

()(

= orientat de jos n sus)

iar pentru lichide incompresibile:

))(( zg

pdgra

gKV +=

, form egal admis pentru fluidele un pic

compresibile n vecintatea unor condiii normale i care se scrie fcnd apel lapotenialul hidraulic:

(4)z

g

psicu

dKgraVsaudgragK

V

+==

==

0

II.3. ECUAIA DE STARE

Pentru fluide n general, ecuaia de stare exprim variaiile proprietilorfizice n funcie de parametri de stare termo-dinamic.

0),,(

0),,(

==

pf

pf

n ap n condiii normale sau n vecintatea acestora );( opop ==

Ecuaia de stare devine:(5)

)(

)(0

== ppo

pentru masa specific pentru vscozitate

Principii de stabilire (i de clasificare) a ecuaiilor de micarePrin combinarea diverselor legi fundamentale recunoscute aplicabile curgerii,

vom obine o ecuaie de micare care constituie o reprezentare matematic amodelului conceptual admis pentru aceasta (care nu este dect rezultantamodelelor conceptuale elementare proprii fiecrei legi fundamentale).

Ecuaia de micare este o ecuaie cu derivate pariale avnd parametriifluidului i parametrii mediului.

43


40/62

Dar forma sa depinde de :- de natura i numrul fazalor fluidului n curgere- de condiiile termodinamice care definesc starea sistemului- de condiii geometrice;

III. CURGEREA MONOFAZIC

III.1. CURGEREA N SARCIN (SUB PRESIUNE)

Combinarea ecuaiei de continuitate i a ecuaiei Darcy generalizat decuaia de micare monofazic a fluidului n forma sa general:

(1b) divt

wV

=)(

fie raportnd la (3) expresia lui v dup legea lui Darcy.

(6) divt

wgpdgra

K

=

)()(

dar prin definiie pentru fluide compresibile:

pp

V

v

=

=

11

, care antreneaz )(00pp= i pdgradgra =

care permite exprimarea ecuaiei de continuitate sub diferite forme.

III.1.1. Curgerea tridimensional

Pornind de la (1) i de la ecuaia de stare vom obine:

10 Ecuaia de micare n raport cu :

(7) div tg

dgraK

=

)(2

44


41/62

Ecuaia nelinear n permite tratarea din punct de vedere teoretic a tuturormicrilor fluidelor compresibile. Practic ns, n ceea ce privesc fluidele uzuale iapa n particular vom avea n condiii normale:

...10

)(10*5

32

110

SGCg

barye

=

=

Deci termenul g2 care reprezint influena forelor de gravitaie va fi tot timpul

neglijabil fa de termenul

dgra1

, care reprezint influena forelor de presiune.

n accost fel vom avea:

(8) div ( )t

wpdgraK

=)(

(form puin utilizat n practic)

20. Ecuaia de micare n raport cu p.

Pornind de la forma precedent vom avea:(9) div ( )

t

wpdgraK

=)(

dac mediu este presupus incompresibil (w = ct.) ecuaia devine:

(10) div ( )t

pwpdgraK

=

dac mediul este presupus compresibil putem admite o lege de compresibilitate deaceeai form ca pentru fluide avnd: ( )00

ppeww

= , rezultnd n consecin:

t

pw

t

w

+=

)(

)(00

,

iar pentru ecuaia de continuitate:

(11) divt

pwpdgraK

+= )()( 0 , care este o form foarte utilizat de

petroloti.

30

. Ecuaia de micare n raport cu :Introducerea lui este puin delicat i presupune oarecare aproximare. Ne gsimaproape de starea de referin a potenialului i de variaiile lui suficient de sensibilepentru care putem admite:

gKKsiz

g

pzz

g

pp=+=+

= ,0

0

puin variabil n funcie de

gKp 0= , de unde pentru legea lui Darcy n form

simplificat avem: dgraKV =

45


42/62

n aceste condiii ecuaia de continuitate are foma:

(12) div ( )t

pwdgraK

+= )(00 , care devine explicitnd primul

membru:

tpw

tzyxgKdgraKdiv

+=

+++ )(

2222

2

Dac vom neglija termenul K g2

+

+

tzyx

2222 , pstrnd

foarte mic i explicitnd membrul secund apare expresia Ss a coeficientului denmagazinare specific (volumul de ap eliberat pentru o variaie unitar de sarcin)gsind apoi simplificarea prin (de fapt 0).

(13) div K ( )t

gwdgra

+=

, forma cea mai utilizat n higrogeologie,

sau(14) div K odgra = (regim permanent).

III.1.2. Cazul particular al curgerii sub presiune

Fie un acvifer sub presiune limitat n acoperi de T i n culcu de Mconsiderate practic impermeabile (fig. 17).

Pentru a rezolva curgerii ntr-un anume mediu, metoda general consist arezolva un sistem constituit de:- ecuaii generale tridimensionale enunate mai sus (n general n )- ecuaiile care definesc condiiile la limit pentru fiecare caz particular n

parte- ecuaiile care definesc condiiile la limit evideniind influenele limitelor

geologice ale rezervorului:

=

n

o limit impermeabil sau dq

n=

, drenan cu n vectorul normal pe

suprafa M(x,y,z) i T(x,y,z).

46


43/62

Fig. 17

Dar putem trata foarte simplu curgerea n strate acvifere dac punem ipotezac este bidimensional orizontal; i vom avea:

Vz =


44/62

i putem admite pentru a da o definiie matematic precis c este locul geometric alpunctelor unde presiunea apei este nul n raport cu presiunea atmosferic.

Putem remarca c suprafaa liber nu erste obligatoriu o linie de cirent.3. n plus pentru a dezvolta aceast teorie, vom admite (ipotezele lui

Fourcheimer i Boussinesq) c nlimea capilar este neglijabil.

Fig. 18Dup aceste ipoteze, suprafaa liber separ deci net dou domenii:- domeniul saturat unde se aplic ecuaiile fundamentale ale curgerii

monofazice- domeniul nesaturat unde de fapt nu are loc nici o curgere.

III.2.2. Ecuaii fundamentale aplicabile curgerilor cu suprafa liber

Problema curgerilor cu suprafa liber este una cu dou necunoscute:- cmpul de potenial (x,z,y,t)- forma suprafeei libere h (x,z,t)Soluia, n tot ansamblul ei implic rezolvarea unui sistem de dou ecuaii,

una caracteriznd potenialul, alta suprafa liber.

III.2.2.1. Ecuaia potenialului

Ea se aplic n orice punct din interiorul domeniului saturat i se scrie sub

forma: )(

dgrakdivtS =

(16)

48


45/62


46/62

effwuqv = )(, unde v = viteza lui Darcy n dreptul suprafeei libere i q =

fluxul schimbat la traversarea suprafeei libere, rezult:

0=

+

= t

p

pdgraw

qv

dt

dp

eff

i tiind c : dgrakvsizgp ==

se gsete: ))(( KdgraqdgraKt

weff +=

(20)

sau tiind c debitele scoase sunt socotite negative n valoare algebric:

yk

w

zk

q

zk

q

zyx

eff

=

+

+

+ 222 )()()(

sau nc:

tK

w

K

qK

K

qK

zyx

eff

+

=+

+

+ 2222 )

2()

2()()( (21)

Aceasta este ecuaia fundamental care definete suprafaa liber saucondiia de suprafa liber. n aceast ecuaie reprezint potenialul n (x,y,h)pe suprafaa liber. Ecuaia admite formele simplificate urmtoare:

yk

w

zzyx

eff

=

+

+ 222 )()()( (22)

Formul (44) caracterizeaz regimul tranzitoriu (nepermanent) fr schimb(comunicare) cu exteriorul.2222 )

2()

2()()(

K

qK

K

qK

tyx

=

+

+

+

(23)

Formula (45) reprezint regimul permanent cu comunicare (schimb)

0)()()( 222 =

+

+

tzyx

, regim permanent fr comunicare.

Se vede din aceste ecuaii: condiia de suprafa liber nu este liniar.

III.2.3 Ecuaii simplificate

III.2.3.1. Ipoteza lui Dupuit. Forme simplificate neliniare(Boussinesq, Forchheimer)

Ipoteza lui Dupuit const n a admite c gradientul hidraulic este acelai nfiecare punct al unei verticale, i este echivalentul pantei suprafeei libere.

50


47/62

hdgradgraK

V

z

==

=

(24)

Fig. 20 Relaii ntre cot i potenial: ipoteza lui Dupuit

)()(

sin

11 xhzx

iidx

dh

K

V

s =

==

Aproximrile nu sunt valabile n punctele x2 sau ( x2, h) ).,( szxSe poate vede din figur c ipoteza lui Dupuit nu este valabil dect pentru zonele(domeniile) unde echipotenialele (x, y, z) sunt puin nclinate fa de vertical.

Cu notaiile din figura AI-11 ecuaia de conservare pentru curgerile unde seaplic ipoteza lui Dupuit i ipotezele lui Boussinesq-Forchheimer n ceea ce privescmicrile suprafeei libere, iau forma urmtoare:

51


48/62

Fig. 21

( )q

t

bw

t

wbbvdiv eff

=

+

+)( , cu q < 0 = pompare; q > 0 = injecie

Cei doi termeni( )

t

wb

it

bweff

care reprezint respectiv coeficientul de

nmagazinare al apei prin compresibilitatea fluidului i terenului i coeficientul denmagazinare prin saturare i desaturare a materialului acvifer, primul este totdeauna

neglijabil n comparaie cu al doilea i se admite c:

t

bwqvbdiv eff

=)(

(25)

dar (ipoteza lui Dupuit):t

H

t

h

t

bsihdgrakv

=

=

=

de unde vom avea: qt

hwhdgraKbdiv eff

=)( (26)

unde notnd c b = h - zs (kb grad b) = (kb grad h) (kb grad zs) sau

div (kb grad b) = - div (kb grad zs) + tbweff - q (27)

52


49/62

Acestea sunt ecuaiile Boussinesq valabile pentru:1. Ipoteza lui Dupuit verificat2. Regim tranzitoriu (nepermanent)3. Mediu eterogen

Se deduc formele simplificate urmtoare pentru un mediu omogen:

strat nclinat:k

q

t

h

k

whgraddiv

eff =)(

(28)

sau: )()( seff

zdbgradivk

q

t

b

k

wbdbgradiv

= (29)

istrat orizontal:k

q

t

h

k

whdhgradivbdbgradiv

eff

== )()(

(30)

K

q

t

h

K

w

y

h

x

hh

eff 22)()()(2

22

2

222

=

+

= (31)

sau nck

qh

2)( 2 = regim permanent cu aport (32)

0)( 2 = h regim permanent fr aport Ecuaia lui Forchheimer (33)

III.2.3.2. Ecuaii linearizate

Atunci cnd se admite ipoteza lui Dupuit, ecuaiile difereniale obinute nusunt lineare, cu excepia ecuaiei lui Fourchheimer (aplicabil numai micrilor

permanentee printr-un mediu omogen i avnd ca variabil h2).Se caut deci s se gseasc forme liniarizate care sunt aproximri valabile

numai n anumite condiii.1. Liniarizarea de prim ordin

Dac admitem, c h variaz puin (dup x i y) ceea ce nseamn c n orice punctvom avea: b = h + s i s


50/62

Fig. 22 Condiiile de aplicare a liniarizrii de prim ordin

3. Liniarizarea de ordin doin acest caz se liniarizeaz presupunnd c:

t

h

ht

h

= 2

2

1 == 2

2 hhh valoare medie a lui h2

i (31) devine:

hK

q

hK

w

t

h

y

h

x

h eff

=

+

22

22

2

22

(36)

IV. MICRI DIFAZICE IMISCIBILE

54

s

bh

Suprafaa liber

Substratum (culcus)

Plan de referin

Plan mediu

Zs


51/62

IV.1. GENERALITI PENTRU MICRILE POLIFAZICENEMISCIBILE

Definiie: Dou fluide sunt nemiscibile dac exist ntre ele o energieinterfacial care se manifest printr-o tensiune aplicat pe suprafaa de separare ntrefluide (vezi I.1.6)

Cnd dou fluide nemiscibile sunt n contact n interstiiile unui mediu porosexist o discontinuitate a presiunii n prunderea interfeelor (microscopice) care lesepar. Aceast diferen ntre presiuni este numit presiune capilar: pc = p2 p1.

Principiile unui model conceptual al micrii polifazice

Acest model rspunde condiiilor urmtoare care completeaz igeneralizeaz pe cele propuse pentru micarea monofazic:1. fiecare fluid este considerat ca ocupnd n totalitate mediul continuu

echivalent dar are o mrime variabil n spaiu i complementar nfiecare punct, diferit de a altor fluide:

11

==

i

n

i

S (n = 2 sau 3 maxim)

cu SI = gradul de saturaie, pentru un V.E.R.(volum elementar de referin) dinvolumul de fluid, sau:

wQin

i

==1

cu QI = umiditate volumic legat de volumul de fluid al unui V.E.R.wSQ ii =

2. Diferena dintre presiunile microscopice ntre fluide, deci presiunea capilar este,n fiecare punct, funcie de umiditate. ) njiSSfp jiji == 1,,,3. Fiecare fluid este supus micrii dup un model definit pentru un fluid unic:

-conservarea masei( )

t

wSVdiv iiii

=

,

VI = Viteza de filtraie definit la nceputul fiecrui fluid- Legea lui Darcy (conservarea cantitii de micare) aplicat sub una din

formele definite n III.1.( ) ( )gpdgrakjKV

i

i

i

=

,fluide compresibile n orice condiii, sau:

55


52/62

( )

iii

i

i

i

iii

pdgrakjKV

zg

pgrad

gkjKV

),(

,

=

+=

fluide puin compresibile

n acest caz denumim kI(j,k) permeabilitatea efectiv a fluidului n prezenafluidelor j,k i se admite c:

=riK )(),(

i

i fK

kjK= i numai

cu K = permeabilitatea intrinsec a mediului pentru un fluid saturati =riK permeabilitatea relativ a fluidului I

- Ecuaiile de stare:),(

),(

tp

tp

iii

iii

==

n definitiv, reprezentarea matematic a ntregii micri polifazice a fluidelornemiscibile se reduce la un sistem de ecuaii coninnd n (numr de faze) ecuaii alederivatelor pariale, definind parametrii relativi, ecuaiile de stare a fiecrui fluid.

Spre exemplificare, pentru dou faze compresibile vom obine:

( )t

wgpdgra

KrKdiv

=

)( 111

1

1

( )

)(

)(

)(

)(

112

21

222

211

222

2

2

e

rr

r

ppp

w

KK

KK

t

wgpdgra

KrKdiv

==+

==

=

(37)

IV.2. CAZUL CURGERII DIAFAZICE AER-AP N SOLUII:CURGEREA N MEDIU NESATURAT

56


53/62

Se agit bine dou fluide nemiscibile dup toate rigorile (legile) modeluluiconceptual descris mai jos (cu anumite precizri). Dar se prorune o formsimplificat, mai des folosit, care corespunde ipotezelor suplimentare:

- faza aer este totdeauna a presiunii atmosferice- micarea are loc n condiii apropiate de cele normale- masa specific a apei rmne deci constant ( )0

n aceste condiii, este suficient s scriem ecuaia de micare pentru ceea capresupune ap-pur.

1. Conservarea masei

Vdivt

=

(38)

2. Conservarea cantitii de micare: Legea lui Darcy

zg

KKr

K

dkgraV

apa

apa

==

==

=

)(

axa z fiind orientat de sus n jos, dup convenia admis pentru stubble zoneinesaturate sau introducnd cota piezometric (sau presiune efectiv) hpsau absorbia:

)( zzh

hp

p +==

=

i pentru legea lui Darcy

)()( zzhdkgraV p +== (39)3. Ecuaia de micare

n maniera studiilor avute n vedere, ecuaia de micare se poate exprima sub douforme diferite:

- Lund ca variabil principal umiditatea ( ) i lund n considerareabsorbia , ecuaia se scrie:

[ ]z

KdgraKdivzdKgradivt

=+=

)( (40)

Cum dup forma general a relaiei ntre i se tie c

< 0, se afirm

n mod uzual:

57


54/62

z

kdgradivD

t

structuralparametruteadifuzivitaD

KKD

=

=

=

=

)(

0,)(

)()(

Inconvenientul acestei forme este acela c nu este valabil dect n zonanesaturat i chiar dificil de folosit n vecintatea suprafeei libere unde )(D

- Lund ca variabil principal nlimea piezometric hp (sau presiuneaefectiv din nlimea coloanei de ap). n accost caz:

z

KhdKgradivzhdKgradiv

t

h

htpp

p

p

==

=

)(

(41)

i tiind c: =

c

p

Ch

capacitatea capilar

z

KhdKgradiv

t

hpC pc

=

)( (42)

Principalul interes pentru aceasta const n aceea c ea continu ecuaia demicare n zona saturat n timp ce sub suprafaa liber Cc = 0i k = ct i se gsete

astfel pentru z >z1 (z1 = cota de la suprafaa liber).

0=phdKgradiv

IV.3. CAZUL MARGINE SRAT ( Fig. 23)

ntr-un mediu srat, ap dulce i apa srat, nu se poate vorbi, strict, desprefaze nemiscibile: nu exist tensiune interfacial pe suprafaa de separare ntre apadulce i srat. Amestecnd fazele miscibile, se trece gradat, de la apa dulce la apade mare. Dar aceast zon de tranziie ntre cele dou mase de fluid se face adesea,pe o distan insesizabil, ceea ce permite s facem aproximarea c exist o interfanet n ptrunderea creia nu sunt discontinuiti ale potenialului dac se admit doufaze puin compresibile.

zg

p

d

+=

1 , pentru ap dulce

58


55/62

zg

p

s

s +=

, pentru ap srat

i mai departe se admite c micrile sunt bidimensionale n dou faze, ceea ce

nseamn:- substrat (i eventual acoperi) puin nclinat

- margine puin nclinat (nedrenat ctre un pu)

- curgere de ap dulce sub presiune sau liber cu ipoteza lui Dupuit i a luiBoussinesq Forchheimer.

Se poate deci propune un model care aproximeaz pe acele al curgerii difazice

nemiscibile:

Ecuaia de continuitate pentru ap dulce:

t

ZHSq

y

HZHK

yx

HZHK

x

idd

idd

d

idd

=+

+

)()()( (43)

Ecuaia de continuitate pentru ap srat:

tZS

yHZZK

yxHZZK

x

is

sis

s

sis =

+

))()( (44)

Expresia la echilibru a presiunilor la interfaa:

)()( issidd ZHgZHg = (45)

cu notaiile urmtoare:

Kd (x,y) = K(x,y) = permeabilitatea apei dulai (n m/s)

Ks (x,y) = ),( yxKs

d

= permeabilitatea apei srate (n m/s)

Zs (x,y) = cota substratului formaiunii permeabile ( n m/s)

S = coeficient de nmagazinareHd = nlimea piezometric a apei dulci

Hs (x,y,t) = Sarcina apei srateZI (x,y,t) = cota interfaei ap dulce ap srat

59


56/62

Q = debitul schimbat cu exteriorul (q > 0 ptruns)

60

Fig. 23


57/62

V. CURGERI DIAFAZICE MISCIBILE

V.I. GENERALITI

V.I.I. DefiniieDou (sau mai multe) fluide sunt miscibile dac nu exist nici o energie

interfacial ntre ele. Nici o interfa vizibil nu apare n interiorul fluidului rezultatprin punerea n contact: moleculele unuia sau altuia dintre fluide sut intimamestecate. Cmpul de presiune n masa fluidului este continuu.

V.1.2. Exemple n hidrogeologien general fluidele pe care le considerm n hidrogeologie sunt soluii apoaseconinnd corpuri (substane) diyolvate (solubile) n proporii (sau concentraia C =Masa / unitatea de volum) variabile. De exemplu, n cazul intruziunii marine afluidului F1 de ap dulce, fluidul F2 este de ap srat. n cazul unei polurimiscibile, fluidul aflat n teren (F1) este de ap dulce(sau de o salinitate constant),iar fluidul injectat (dirijat sau accidental) este o soluie apoas cu o anumitsolubilitate.

n general, vom avea totdeauna fluidul principal F1 (n termen de volum)care va fi apa i un fluid poluant F2 care va fi o soluie cu o anumit slublitate sau cuo concentraie determinat Co, naintea amestecului.

Fluidul rezultant al amestecului ntre fluidul principal (ap) nsui n curgereadin apropierea punctelor sau limitelor de injecie constituie ceea ce se numetefenomenul de dispersie sau curgere hidrodispersiv.

V.1.3. Principii generale de stabilire a unui model al curgeriihidrodispersive

Modelul corespunztor rsounde urmtoarelor dou ipoteze:- curgerea este izoterm i compresibilitatea apei nu este afectat de natura

dizolvantuui: soluia rezultant estre considerat ca incompresibil n condiiinormale de presiune

- dizolvatul afecteaz n principal masa specific (efect mai mult sau maipuin neglijabil) i vscozitatea (efect care poate fi important) fluidului.Variaiile valorii solubilitii nu implic variaia de volum (curgere conservativ nvolum). Transferul n masa soluiei sunt repreyentate prin modele hidrodinamiceclasice prezente pentru curgerile monofazice n ceea ce constau variaiile lui i

n funcie de concentraia solventului.Transferul de trasor se datoreaz n principal mecanismelor de convecie,

dispersie cinematic, difuzie molecular, rezultnd legi de baz care au fost scrise laII.4.

61


58/62

V.2. CAZUL CURGERII UNEI SOLUII ETEROGENE

n accost caz, care este spre exemplu cel al unei injecii masive de poluantfoarte dens (saramur) sau a unui mediu srat considerat ntr-o manier mai puin

schematicdect cel descris n IV.33 (curgere difazic nemiscibil), se afl ntr-ostrns legturcu micarea de fluid afectat prin variaiile de densitate i concentraiasolventului care depind la rndul lorse viteza de curgere (convecie) i de fluctuaiilesale (dispesii).

Modul reprezentativ al curgeri va fi de forma unui sistem de ecuaii care serezolv simultan.

( )t

pVdiv

=

ecuaia de conservare a masei fluidului

)(* gzpdgraK

V

+= Darcy generalizat pentru fluide

)(

)(

00

00

CC

CC

+=+=

Ecuaia de stare a soluiilor ct=,

[ ] ),()( CVdivCdgraDDdivt

ccinm +=

sau (46)

[ ] CdVgraCdgraDDdivtc

cinm += )( Conservarea masei soluiei

VCdivCdVgraCVdiv +=),( Curgere semnificativ n volum

gradDVV cin=* Relaie ntre viteza masic i viteza volumic

V.3. CAZUL CURGERII UNEI SOLUII OMOGENE MODELULTRASORULUI PERFECT

Dac producerea injeciei nu afecteaz proprietile dinamice ale soluiei,modelui se simplific considerabil. n sfrit, vom avea:

cin

e

tt

VVVV

CC

===

====

`*

00

Micarea fluidului este deci reprezentat prin unul dintre modelele curgeriimonofazice prezentate n III plecnd de la forma general.

tVdiv

)(

)(

= (1)

Micarea soluiei este reprezentat prin ecuaia de conservare urmtoare:

62


59/62

[ ] CdgraVCdDgradivt

Ce=

(47)

Aceste dou ecuaii pot fi rezolvate independent una de cealalt. (1) pentru

nceput, pentru a obine cmpulde vitez V apoi eV , (47) n continuare, cunoscnd

eV , pentru a obine cmpul de concentraie C.

VI. TRANSFERURI CUMULATE: TERMICEI DE MAS

Cnd mediul acvifer este n afara centrului transferului termic se facecompletare la modelul curgerii hidraulice a modelului de transfer termic (adecvat)corespunztor.

n general, se admit urmtoarele ipoteze:- n mediile poroase cel mai des ntlnite, echilibrul termic ntre faza fluid

ifaza solid se stabilete cvasi-instantaneu i vom avea:

== sf temperatura mediului- Se pot atribui mediului continuu echivalent parametri termici obinui

princombinarea liniar a parametrilor fluidului n curgere i a solidului care constituiematricea. Deci:

sfa )1( += conductivitate termic

ffa CCC )1( += capacitate caloricTransferul termic cel mai important are pentru origine:

- conductivitatea n mediu continuu echivalent- convecia pentru fluide- dispersia termic

Pe aceste baze i limitndu-ne la cazul n care fluidul vector este monofazic (apa) ichimic omogen, modelul de transfer termic se scrie sub forma unui sistem de ecuaii.

tVdiv

=

)( conservarea masei fluidului

cineVgzpdgraK

V

+=+= )( legea lui Darcy

[ ])(1 00 = n ecuaia de stare a fluidului

63


60/62


61/62


62/62

pour la simulation conjointe des ecoulements de surface et desecoulements souterrains sur un basin hydrologique; La Houille Blanchenr1/2

Marsily G. de,(1984). Quantitative hydrogeology. Ground water hydrology forengineers.Academic Press Inc.

Mutihac V.(1990). Structura geologica a teritoriului Romaniei. Ed.Tehnica,Bucuresti

Ogata A. and Banks R.B.(1961). A solution of the differential equation oflongitudinal dispersion in porous media, U.S.Geol.Surv., Professionalpaper 411-A

Sandulescu M.(1990). Geotectonica Romaniei. Ed.Tehnica, Bucuresti

Scheidegger A.E(1961). General theory of dispersion in porous media, J.Geophys.res. 66, 3273-3278

hidrogeologie 2011

Documents