hidrocinematica - scradeanu daniel

HIDRAULIC SUBTERAN (note de curs) 2012 Daniel Scrdeanu

1

HIDRAULIC SUBTERAN (note de curs)

2012

Daniel Scrdeanu

4. HIDROCINEMATICA ....................................................................................................................... 2 4.1. SISTEME DE REPREZENTARE A MISCARII FLUIDELOR ...................................................... 2 4.2. DESCRIPTORI AI STRII DE MICARE A FLUIDELOR .......................................................... 5 4.3. CLASIFICAREA MICRILOR ................................................................................................. 8 4.4. MICAREA PARTICULEI DE FLUID ........................................................................................ 9 4.5. LEGI DE CONSERVARE ........................................................................................................ 12

4.5.1. CONSERVAREA MASEI .................................................................................................. 12 4.5.1.1. Ecuaia de continuitate n coordonate carteziene ....................................................... 12 4.5.1.2. Ecuaia de continuitate pentru mediile poroase .......................................................... 14 4.5.1.3. Ecuaia de continuitate ntr-un tub de curent ............................................................... 15

4.5.2. CONSERVAREA ENERGIEI MECANICE ......................................................................... 16 4.5.2.1. Ecuaia fundamental a lui Bernoulli ........................................................................... 16 4.5.2.2. Calculul debitului ntr-o conduct ................................................................................ 19 4.5.2.3. Calculul presiunii ntr-un lichid n micare ................................................................... 20

4.5.2.3.1. Presiunea static ................................................................................................. 21 4.5.2.3.2. Presiunea total ................................................................................................... 22

4.5.2.4. Calculul vitezei ........................................................................................................... 22


2

4. HIDROCINEMATICA

Hidrocinematica studiaz micarea fluidelor fr a lua n considerare cauzele care o produc, rezultatele ei fiind valabile att pentru lichidele perfecte ct i pentru cele vscoase. Micarea fluidelor se reprezint ca micare a ntregului sistem de particule fluide care constituie un continuu n tot domeniul. Definit n raport cu un sistem de referin (oxyz), micarea sistemului de particule are dou moduri e reprezentare:

sistemul de reprezentare Lagrange sistemu de reprezentare Euler

n funcie de sistemul de reprezentare ales se definesc caracteristicile micrii: viteze i acceleraii; flux, debit, debit specific; linii i tub de curent

Pe baza caracteristicilor micrii se face o clasificare a lor i se stabilesc ecuaiile de conservare a masei i energiei.

4.1. SISTEME DE REPREZENTARE A MISCARII FLUIDELOR

Sistemul de reprezentare LAGRANGE Sistemul de reprezentare EULER

Mrimile fizice cu care se descrie micarea (vitez, acceleraie etc.) sunt ataate particulelor de fluid (M).

Mrimile fizice cu care se descrie micarea (vitez, acceleraie, presiune, densitate etc.) sunt ataate punctelor ( P ) din domeniul de curgere.

x

xy

z

z

y

M

M

M vr ( )xyxP ,,

x

y

z


3

Variabilele independente : 000 ,, zyx -coordonatele particulei la

momentul iniial t - timpul

Variabilele independente : zyx ,, -coordonatele punctelor din

domeniul de curgere ; t -timpul

Variabilele dependente zyx ,, -coordinatele particulei la diverse

momente wvu ,, -vitezele particulei la un anumit

moment zyx aaa ,, -acceleraiile particulei la un

moment dat p -presiunea

Variabilele dependente : v - viteza local, egal cu viteza

particulei care se afl n punctul ( )zyxP ,, ;

p -presiunea din punctul ( )zyxP ,,

Exprimarea dependenei funcionale ( )tzyxFx ,,, 0001= ( )tzyxFy ,,, 0002= ( )tzyxFz ,,, 0003=

sau sub form vectorial : ( )trrr ,0rrr = unde kzjyixr rrrr ++= 0000

t

zv

t

yv

t

xv zyx

=

=

= ;;

2

2

2

2

2

2

';t

za

t

ya

t

xa zyx

=

=

=

t

va

t

va

t

va zz

yy

xx

=

=

= ';

( )zyxpp ,,=

Exprimarea dependenei funcionale (a vitezei particulelor care trec prin acelai punct fix din spaiul ocupat de fluid)

( )tzyxfv x ,,,1= ( )tzyxfv y ,,,2= ( )tzyxfv z ,,,3= ( )tzyxpp ,,,=

Dac se consider traiectoria unei particule, n sistemul Euler, vitezele se determin ca derivate totale ale funcilor

zyx ,, , deoarece creserile lui zyx ,, , reprezentnd deplasarea particulei sunt n funcie de timp i componentele vitezei sunt :

dtdz

vdtdy

vdtdx

v zyx === ;;

Relaii de trecere de la sistemul de coordonate LANGRANGEAN la cel EULERIAN dtvDx x = dtvDy y = dtvDz z =

n care DzDyDx ,, reprezint componentele drumului elementar al particulei, zyx ,, fiind coordonatele particulei din sistemul Lagrange, semnalat prin notaia diferenial D.

Acceleraia LAGRANGEANA

2

2

t

xax

=

2

2

t

ya y

=

Acceleraia EULERIANA Acceleraia particulei care se afl n punctul ( )zyxP ,, nu poate fi calculat ca derivat total a vitezei n raport cu timpul pentru c nainte i dup momentul t n punctul ( )zyxP ,, este alt particul cu alt vitez ( )trv ,rr . Soluia este introducerea derivatei substaniale a vitezei locale (derivata total) care se stabilete astfel:

Se scrie difereniala total a vitezei locale n punctul P :


4

2

2

t

za z

=

dzz

vdyyvdx

x

vdtt

vvd

+

+

+

=

rrrrr

n care - primul termen, difereniala temporal, reprezint variaia

vitezei n timp, aceeai pentru toate punctele din vecintatea punctului P ;

- urmtorii trei termeni, difereniala direcional, reprezint variaia local a vitezei, n jurul lui P , la .constt = , dup un drum oarecare, altul dect al particulei (MM)

n difereniala total se nlocuiete variaia local a vitezei cu difereniala direcional n timpul dt dup parcursul particulei M pe traseul MM, relaie n care zyx ,, reprezint coordonatele particulei de fluid din sistemul lagrangean de reprezentare:

+

+

+

= Dzx

vDyyvDx

x

vdtt

vvD

rrrrr

se face trecerea la variabilele Euler innd seama de relaiile de mai sus, dtvDx x = , dtvDz z = dtvDy y = i se obine derivata substanial a vitezei locale cu dou componente:

z

vv

yv

vx

vv

t

v

dtvD

a zyx

+

+

+

==

rrrrrr

- acceleraia local: t

val

=

rr

- acceleraia spaial: z

vv

yv

vx

vva zyxs

+

+

=

rrrr

cu cele trei componente:

z

vv

yv

vx

vv

t

v

dtdv

a xzx

yx

xxx

x

+

+

+

==

z

vv

yv

vx

vv

t

v

dtdv

ay

zy

yy

x

yyy

+

+

+

==

z

vv

yv

vx

vv

t

v

dtdv

a zzz

yz

xzz

z

+

+

+

==

Acceleraia poate fi scris mai compact utiliznd operatorul nabla:

( )vvt

va

rrr

r +

=


5

4.2. DESCRIPTORI AI STRII DE MICARE A FLUIDELOR

Descriptorii mcrii fluidelor sunt definii att n sitemul de reprezentare lagrangean ct i n cel eulerian.

Traiectorie a particulei, descriptor definit n sistemul de reprezentare lagrangean, este mulimea punctelor prin care trece centrul de greutate al unei particule de fluid.

Traiectoria este descris de ecuaia vectorial:

( )trrr ,0rrr = n care

kzjyixrrrrr

++= 0000 vectorul poziiei iniiale t - timpul

Linie fluid este o niruire continu de particule care la o micare cu structur continu i menine n timp individualitatea.

Linie de curent este curba tangent n fiecare punct al ei la vectorul vitez din acel punct i reprezint distribuia vitezelor instantanee ale fluidului. Conform definiiei, dac ),,( dzdydxld

ri ( )zyx vvvv ,,r sunt elementul de arc al liniei de curent,

respectiv viteza fluidului ntr-un punct, ecuaiile liniei de curent rezult din condiia de tangen:

( ) ( ) ( ) 0=++== kdyvdxvjdxvdzvidzvdyvvvv

dzdydxkji

ldv xyzxyzzyx

rrr

rrr

rr

i sunt:

zyxxyzxyz

v

dzv

dyv

dxdyvdxvdxvdzvdzvdyv ===== ;;

Relaia dintre traiectorie i linie de curent este determinat de caracterul micrii fluidului: traiectoria coincide cu linia de curent n cazul micrii permanente i semipermanente,

adic atunci cnd n timp viteza nu i schimba direcia; traiectoria particulei este diferit de linia de curent n cazul micrii nepermanente, atunci

cnd viteza i schimba direcia n timp.

Familia liniilor de curent are urmtoarele proprieti: prin fiecare punct al domeniului de curgere trece o linie de curent, consecin a ipotezei

continuitii fluidului.

( )00 trr

( )tr tr M(to)

M(t)

Fig.4.1.Traiectoria unei particule de fluid

z

x

y


6

Printr-un punct al domeniului, cu excepia punctelor singulare de vitez local nul sau infinit, nu trece dect o singur linie de curent.

Tub de curent este suprafa format de totalitatea liniilor de curent care trec prin punctele unei curbe nchise C care nu este linie de curent

Fir de curent este linia fluid din interiorul unui tub de curent la care seciunea normal la axa tubului de curent are o arie infinitezimal. Cu alte cuvinte firul de curent materializeaz linia de curent.

Debitul este cantitatea de fluid care trece n unitatea de timp printr-o suprafa fix S. Volumul de lichid care trece prin suprafaa elementar dA n intervalul de timp dt este:

===SSS

n dAnvdtdAdtnvvdAdtvdVrrrr ),cos(

Fig.4.2.Linii de curent n puncte singulare

dA

Fir de curent

Fig.4.3.Tub de curent i fir de curent

S

nr

vr

nvr

dA

dtvn

Fig.4.4.Debitul printr-o suprafa fix S


7

Debitul poate fi exprimat n trei forme:

-debit volumic: ==S

dAnvdtdVQ rr

-debit masic: ==S

m dAnvdtdmQ rr

-debit de greutate: ==S

g dAnvdtdGQ rr

Dac lichidul este omogen rezult egalitile :

QQQQ gm == ;

Viteza medie ntro seciune S a unui tub de curent este tangent la axa tubului de curent, are sensul micrii i i are modulul egal cu raportul dintre debitul volumic Q care trece prin S i suprafaa acesteia A :

==S A

dAnv

AQ

vrr

Acceleraia micrii fluidelor poate fi exprimat n dou variante conform celor dou sisteme de reprezentare: -acceleraia unei particule de lichid (sistem lagrangean):

2

2

t

xax

= 2

2

t

ya y

= 2

2

t

za z

=

-acceleraia ntr-un punct al cmpului/domeniului de curgere (sistem eulerian) :

z

vv

yv

vx

vv

t

v

dtvD

a zyx

+

+

+

==

rrrrrr

cu cele dou componete -acceleraia local:

t

val

=

rr

-acceleraia spaial:

z

vv

yv

vx

vva zyxs

+

+

=

rrrr


8

4.3. CLASIFICAREA MICRILOR Clasificarea micrii fluidelor se face dup diverse criterii care privesc descriptorii acesteia (viteza, presiunea etc.):

variaia n timp: o micare permanent(staionar) este acea micarea n care vitezele locale (adic n

orice punct al domeniului de curgere!!!) nu variaz n timp ca direcie i mrime i are urmtoarele proprieti:

derivata parial a vitezei locale n raport cu timpul este nul n orice punct cmpul vitezelor locale este un cmp vectorial fix, iar liniile de curent

formeaz o familie de curbe fixe n spaiu liniile de curent conincid cu traiectoriile debitul de greutate sau de mas este este constant de-a lungul unui tub de

curent. o micare semipermnanent este micarea n care vectorul vitez din orice punct al

domeniului de curgere variaz n timp numai ca intensitate i sens, dar nu ca direcie. o micare nepermanent(nestaionar) este caracterizat prin variaia n timp a

mrimilor care descriu micarea lichidului (vitez, presiune). variaia n spaiu:

o micare paralel este caracterizat de linii de curent paralele i rectilinii, linii de curent de-a lungul crora viteza poate fi constant sau variabil.

o micare uniform este o micare paralel n care, la un moment dat, vitezele au aceeai valoare de-a lungul liniilor de curent, linii de curent care se confund cu traiectoriile particulelor de lichid.

o micare neparalel este micarea n care liniile de curent nu sunt paralele i rectilinii, micarea neparalel fiind totdeauna neuniform pentru c vitezele sunt variabile;

o micare neuniform este o micare paralel sau neparalel n care viteza local variaz de-a lungul liniilor de curent (la acelai moment)

o micare gradual variat este o micare n care liniile de curent sunt aproximativ rectilinii i paralele

o micare unidimensional este micarea n care parametrii micrii pot fi exprimai printr-o singur variabil spaial ( ( ) ( )txpptxvv ,;, == rr )

o micare bidimensional este micarea n care parametrii micrii pot fi exprimai prin dou variabile spaiale ( ( ) ( )tyxpptyxvv ,,;,, == rr )i care are douclase speciale :

micare axial-simetric care are proprietatea de simetrie n raport cu un ax (ex.: curgerea pe o conduct, curgerea spre un pu de pompare etc.)

micare plan este micarea la care, n planuri paralele i normale la axa Oz (planuri orizontale) caracteristicile micrii sunt identice, n consecin micarea plan poate fi studiat complet n unul din aceste planuri.

o micare tridimensional este micarea fluidului n care parametrii micrii pot fi exprimai n funcie de cele trei coordonate ale spaiului ( ( ) ( )tzyxpptzyxvv ,,,;,,, == rr )

condiiile de contact cu limitele spaiului n care se afl fluidul: o micare cu nivel liber este micarea n care lichidul nu umple complet spaiul

disponibil, formnd o suprafa liber n contact cu atmosfera sau cu un gaz (ex.: micarea apei ntr-un ru, micarea apei subterane din pietriurile luncii unui ru etc.)

o micare sub presiune este micarea din spaii mrginite de suprafee rigide, spaii pe care lichidul le umple complet (ex.: micarea cu seciune plin a unui lichid ntr-o conduct, micarea apelor geotermale n acvifere sub presiune, micarea gazelor etc.)


9

criteriul fizic: o micare laminar este micarea n care particulele de fluid i pstreaz

individualitatea, traiectoriile particulelor de fluid sunt curbe continui care nu se intersecteaz i structura micrii este regulat (filiform sau lamelar)

o micare turbulent este micarea n care vitezele particulelor au pulsaii, deplasarea este aleatoare, chiar transversal pe direcia general de deplasare, i n consecin traiectoriile au o form dezordonal.

4.4. MICAREA PARTICULEI DE FLUID

Micarea unei particule poate fi descompus n dou componente (prima teorema lui Helmholtz; Fig.4.5.):

micarea cvasirigid care are dou componente i ea: o micarea de translaie a polului particulei o micarea de rotaie a particulei n jurul polului particulei

micarea de deformaie a particulei

Considernd dou puncte apropiate M i A, la un moment dat se poate scrie difereniala spaial la momentul constt = :

dzz

vdyyvdx

x

vvvv AM

+

+

==

rrrrrr

care trecut la coordonate carteziene devine pentru cele trei axe de coordonate:

dzz

vdyyvdx

x

vvOx xxxx

+

+

=: :

0A

A

x

y

z

x y

z

'x

'y

'z

Fig.4.5.Micarea particulei de fluid


10

dzz

vdy

yv

dxx

vvOy yyyy

+

+

=:

dzz

vdyyvdx

x

vvOz zzzz

+

+

=:

Pentru axa Ox se adun i se scade: dzx

vdyx

vzy

+

21

21

, se grupeaz termenii dup cele

dou tipuri de micri i se obine:

dzx

v

z

vdyyv

x

vdz

x

v

z

vdyyv

x

vdx

x

vv zxx

yzxxyxx

+

+

+

+

+

=

21

21

21

21

n care primii trei termeni reprezint deformaiile particulei:

o xxS - viteza de deformaie unitar pe axa Ox o xzxy SS , -viteza unghiular de deformaie a unghiului format de planele xOy i xOz.

ultimii doi termeni reprezint componentele vitezei unghiulare de rotaie o y in jurul axei y o z in jurul axei z

Rotaia unui corp solid se exprim prin produsul vectorial dintre vitez i vectorul rotaiei corpului:

dzdydx

kjirdvd kyx

rrr

rrr==

sau dezvoltat:

( ) ( ) ( )dxdykdzdxjdydzivd xxxzzy ++= rrrr

cu

zyx vvvzyx

kjivrot

==

rrr

rr

21

21

sau dezvoltat pentru vectorul rotaiei corpului:

+

+

=

yv

x

vk

x

v

z

vjz

v

yvi xyzxyz

rrrr

21

21

21


11

Expresia micrii particulei pe axa Ox, cu cel dou componete: deformaia (primii trei termini din membrul drept al ecuaiei) i rotaia (ultimii doi termeni) utiliznd notaiile introduse devine:

dzdydzSdySdxSv yzxzxyxxx +++= 21

21

Micrile la care lipsete rotaia particulelor se numesc micri irotaionale, condiiile analitice ce caracterizeaz aceast micare sunt:

0=

=z

v

yv yz

x

0=

=x

v

z

v zxy

0=

=yv

x

vxy

z

relaii care constituie n acelai timp i condiiile necesare i suficiente ca vectorul vr s fie un vector potenial, adic s fie gradientul unei funcii scalare:

zk

yj

xigradv

+

+

==

rrrr

Funcia este o funcie scalar de tzyx ,,, , ( ( )tzyx ,,, = ) i poart numele de potenialul vitezelor locale, motiv pentru care micrile irotaionale se numesc i micri poteniale. Micrile rotaionale sunt cel la care 0= vrotr

r

Fig.4.6..Reprezentarea schematic a micrii particulelor

Micare irotaional fr deformaie 0;0 == Svrotr

Micare rotaional fr deformaie0;0 = Svrotr


12

4.5. LEGI DE CONSERVARE Micarea fluidelor se face n condiiile respectrii legilor generale de conservare ale masei i energiei.

4.5.1. CONSERVAREA MASEI

Exprimarea principiului conservrii masei ntr-o form specific hidraulicii necesit definirea sistemului lichid ca o cantitate de lichid format pe toat durata curgerii din aceleai particule de lichid. Masa sistemului lichid nu variaz n timp chiar dac n evoluia sa sistemul lichid ocup divese poziii i are diferite forme.

4.5.1.1. Ecuaia de continuitate n coordonate carteziene

Ecuaia de continuitate exprim conservarea i compactitatea masei de fluid n timpul micrii i poate fi exprimat pentru un interval de timp dt prin egalitatea dintre :

variaia masei ntr-un domeniu spaial dat i debitul care traverseaz suprafaa de contur a acestui domeniu spaial.

Considerm o prism rectangular elementar amplasat ntr-un sistem de axe carteziat (Fig.4.7.).

dy dx

dz

z

y

x

2dy

yv

vy

y

2dy

yv

vy

y

+

Fig.4.7. Ecuaia de coontinuitate n coordonate carteziene

M


13

Variaia masei n prisma rectangular, n intervalul de timp dt se poate exprima prin relaia:

( ) dtdzdydxt

dtdzdydxt

=

Variaia debitului masic care traverseaz suprafeele normale la axa Oy n acelai interval de timp dt se exprim cu ajutorul vitezei din centrul (M) al prismei elementare rectangulare:

( )tzyxvvM ,,,rr = i este: ( ) ( ) ( )

dtdzdydxyv

dtdzdxdyyv

vdtdzdxdyyv

vyy

yy

y

=

+

22

Egalnd variaia masei datorat variaiei densitii i a debitului masic n intervalul de timp dt se obine ecuaia sub form diferenial:

( ) ( ) ( ) dtdzdydxz

v

yv

x

vdtdzdydxt

zyx

=

care dup simplificare devine:

( ) ( ) ( ) 0=

+

+

+

z

v

yv

x

v

tzyx

sau sub form vectorial:

0)( =+

vdivt

r

care este ecuaia de continuitate pentru micarea nepermanent a unui lichid compresibil. Micarea permanent a unui lichid incompresibil ( .const= ) are ecuaia de continuitate sub form diferenial:

( ) ( ) ( ) 0=

+

+

z

v

yv

x

v zyx

sau sub form vectorial

( ) 0=vdiv r


14

4.5.1.2. Ecuaia de continuitate pentru mediile poroase

Ecuaia de continuitate n cazul curgerii fluidelor prin medii permeabile naturale, trebuie s in seam c fluidul nu ocup dect o parte din volumul prismei elementare. Partea din volumul prismei elementare, disponibil pentru fluid, este dat de porozitatea ( n ) mediului definit ca raport ntre volumul porilor i volumul total al prismei elementare. n aceste condiii ecuaiile definite anterior pentru mas i debit vor deveni:

( ) ( ) dtdzdydxt

ndtdzdydxnt

=

( ) ( )( )

dtdzdydxy

vn

dtdzdxdyy

vnvndtdzdxdy

yvn

vn

y

yy

yy

=

=

+

22

iar ecuaia general de continuitate, dup simplificare, sub form diferenial:

( ) ( ) ( ) 0)( =

+

+

+

z

vn

yvn

x

vn

t

n zyx

sau forma vectorial a ecuaiei de continuitate pentru micare nepermanent a unui fluid compresibil ntr-un mediu de porozitate n :

( ) 0)( =+

vndivt

n r


15

4.5.1.3. Ecuaia de continuitate ntr-un tub de curent

Fie sistemul lichid dintr-un tub de curent mrginit de suprafaa S care n momentul t ocup spaiul delimitat de aceast suprafa i seciunile 1 i 2 (Fig.4.8). Deoarece vectorul vitez este tangent la S , prin suprafaa S nu trece lichid i sistemul lichid nu se poate deplasa dect de-a lungul tubului de curent ntr-o micare pe care o consider permanent/semipermanent (cele dou tipuri de micri asigur stabilitatea formei suprafeei S n timp).

La momentul tt + sistemul lichid este mrginit de seciunile 1 i 2 i principiul conservrii masei se poate exprima prin relaia:

'22'11'222'12'1'11 mmmmmm =+=+

n care abm este masa de lichid cuprins ntre seciunile a i b ( '2,2,'1;2,'1,1 == ba )

Lichidul fiind omogen i incompresibil relaia poate fi exprimat prin volume (Vol ), viteze medii( 21,VV ), seciuni ( 21, AA ) sau debite ( 21,QQ ) sub formele:

=== 2211'22'11'22'11 AtVAtVVolVolVolVol

212211 QQAVAV ==

n cazul unui tub de curent ramificat (Fig.4.9) ecuaia de continuitate ia forma:

1

1

2 2

1Vr

2Vr

tV 1r

tV 2r

S

Fig. 4.8.Conservarea masei ntr-un tub de curent


16

332211321 AVAVAVQQQ +=+=

Ecuaia conservrii masei este numit i ecuaia continuitii deoarece asigur ntegritatea sistemului lichid pe tot parcursul curgerii, adic absena golurilor dihn lichid.

4.5.2. CONSERVAREA ENERGIEI MECANICE

Exprimarea conservrii energiei mecanice de-a lungul liniilor de curent permite calculul descriptorilor micrii fluidelor, descriptori utilizai pentru pentru evaluarea cantitativ a micri acestora.

4.5.2.1. Ecuaia fundamental a lui Bernoulli

Legea conservrii energiei mecanice se poate obine aplicnd teorema echivalenei dintre lucrul mecanic efectuat de forele exterioare i variaia energiei cinetice n timpul considerat, aplicat unei mase de fluid cuprins ntre seciunile 1-1 i 2-2 la un moment dat (Fig.4.10). Dup un interval de timp dt , masa de fluid se va afla n poziia 1-1 i 2-2, iar lucrul mecanic efectuat de forele exterioare are dou componente:

Lucrul mecanic al forelor de greutate:

( )21 zzdGdLG = n care dtvdAdtvdAdG == 2211

1V

2V

3V

Fig.4.9.Tub de curent cu ramificaie


17

Lucrul mecanic al forelor de presiune:

dtvdApdtvdApdLp = 222111

Variaia energiei cinetice a volumelor 2-2 i 1-1 este:

( )2122211222 222 vvgdGvdmvdmdEc

=

=

deoarece g

dGdmdm == 21 conform legii conservarea masei.

Aplicnd teorema echivalenei rezult:

cpG dEdLdL =+

care dup nlocuirea termenilor devine:

( ) ( )212222211121 2 vvgdGdtvdApdtvdApzzdG =+

i prin simplificare cu dG poate fi scris sub forma:

gvp

zg

vpz

++=

++22

222

2

211

1

1z

2z2z

dG

dG

dtv 2

dtv 1

2p

1p

1

1

1

1

Fig.4.10. Ecuaia conservrii energiei mecanice


18

Forma final este ecuaia fundamental a lui Bernoulli pentru un fluid perfect (incompresibil i fr vscozitate) n care:

z - energia specific de poziie (energia potenial de poziie raportat la greutatea particulei):

dGzdG

z

=

p

- energia specific de presiune (energia care face ca o particul de greutate dG , supus

unei presiuni p s se poat ridica ntr-un tub piezometric la nlimea p ):

dG

pdGp

=

g

v

2

2

-energia specific cinetic:

dGgvdG

dGvdm

gv

=

=

222

222

Ecuaia lui Bernoulli exprim legea conservrii energiei care spune c energia specific total a unei particule de fluid perfect aflat n micare permanent este constant pe o linie de curent. Ecuaia lui Bernoulli poate fi reprezentat grafic (Fig.4.11) deoarece formele de energie au dimensiuni de lungime:

z -cota punctului de pe linia de curent raportat la un plan de referin;

p

-nlimea piezometric pus n eviden ntr-un tub piezometric deschis;

g

v

2

2

-nlimea cinetic

Suma acestor componente exprim sarcina hidrodinamic ( H ) i pentru un fluid perfect este constant pe o linie de curent:

gvp

zH

++=2

2


19

4.5.2.2. Calculul debitului ntr-o conduct

Tubul Venturi este un dispozitiv utilizat pentru msurarea debitului de fluid n conducte sub presiune (Fig.4.12.).

Relaia de calcul pentru debit rezult din sistemul format de ecuaia de continuitate i ecuaia lui Bernoulli scrise pentru seciunile 1 i 2, de suprafee

1A respectiv 2A i cu vitezele medii 1V respectiv 2V :

h

12

Fig.4.12. Tub Venturi

Plan de sarcin

Linie piezometric

Linie de curent

Plan de referin

gv

2

21

gv

2

2

gv

2

22

1p

p

2p

1z

z2z

H

Fig.4.11.Reprezentarea grafic a componentelor ecuaiei lui Bernoulli pentru un fluid perfect.


20

=

=

+=+ 1222

2

2

12

121

2211

222

211

AA

gVpp

AVAVg

Vpg

Vp

Deoarece

==

==

1

2

1

22

2

1

1112

2

1

121

AA

hgAAVQ

AA

hgVhpp

ntre seciunile 1 i 2 sunt pierderi de sarcin care reduc debitul real n raport cu cel calculat. Pentru corectarea acestei subestimri se introduc coeficieni de corecie ( ) care se determin experimental prin operaiunea de calibrare a dispozitivului.

Notnd C

AA

g=

1

22

2

1

, formula debitului devenind hCQ =

iar constanta C este proprie fiecrui dispozitiv, ea fiind cea care se determin n operaiunea de calibrare.

4.5.2.3. Calculul presiunii ntr-un lichid n micare

Msurarea presiunii presupune identificarea componentelor presiunii totale( 0p ): Presiunea static : p

Presiunea dinamic (de impact); 2

2vpi

=

Presiunea total: 2

2

0vpp +=

Considerm o micare permanent, omogen uniform a unui lichid perfect, adic o micare n care liniile de curent sunt rectilinii i paralele iar viteza este este aceeai n orice punct al domeniului de curgere i nu variaz n timp.

Dac liniile de curent sunt orizontale, ntr-o seciune plan orizontal (Fig.4.13) n orice punct al domeniului este aceeai presiune static p . Introducerea unui perete solid, plan vertical i paralel cu liniile de curent nu perturb curgerea. n punctul P se practic o cavitate n care lichidul rmne n repaus. Determinarea presiunii statice ( p ) n punctul P, aflat n cavitate, revine la determinarea presiunii lichidului aflat n repaus n cavitate.

Dac punctul P aparine unei linii de curent care ntlnete un obstacol i-l contureaz, viteza lichidului este nul n P i acest punct se numete punct de stagnare/impact (Fig.4.14.)


21

4.5.2.3.1. Presiunea static Presiunea static se msoar n vecintatea unui perete paralel cu liniile de curent, ntr-o cavitate realizat n perete respectiv (priz de presiune static), cavitate care este racordat la un manometru (Fig.4.15.a). Msurarea presiunii statice ntr-un punct oarecare al curentului de lichid, se realizeaz prin amplasarea n vecintatea punctului respectiv a unui perete solid printr-un disc de dimensiuni reduse amplasat paralel cu liniile de curent i prevzut cu un orificiu aflat n legtur cu un manometru. (discul cu Ser; Fig.4.15.b). O alt variant este cea a sondei de presiune static realizat dintr-un tub subire, de diametru D, ndoit n unghi drept, avnd o

extremitate nchis i de form hidrodinamic i celalalt extremitate racordat la un manometru (Fig.4.15.c). Forma hidrodinamic reduce perturbaiile produse n curentul de lichid de prezena tubului iar la trei diametre distana (3D) de captul nchis al tubului aceste perturbri sunt neglijabile.

Fig.4.15. Dispozitive pentru msurat presiunea static

D 3D

P R

a) b) c)

P P Lichid n repaus

Fig.4.13.Presiunea static ntr-o micare permanent i uniform

Punct de stagnare

Fig.4.14. Punct de stagnare


22

Extremitatea nchis a tubului este plasat n punctul P unde se dorete msurarea presiunii statice iar n punctul R, plasat la 3D, se execut un orificiu n peretele lateral al tubului. Datorit ptrunderii lichidului n tub prin orificiul R, manometrul msoar presiunea static din R, presiune care este identic cu presiunea din R n curentul neperturbat. Deoarece n regim neperturbat presiuea static din R este identic cu presiunea static din P rezult c presiunea msurat de manometru este presiunea static din P.

4.5.2.3.2. Presiunea total

Msurarea presiunii totale ntr-un punct de stagnare S al unui obstacol se face prin realizarea unei caviti n obstacol i racordarea acelei caviti la un manometru, realizndu-se astfel o priz de presiune total (Fig.4.16.). Dup ptrunderea lichidului n cavitate i realizarea strii de echilibru, manometrul indic presiunea total din S. Msurarea presiunii totale ntr-un punct al unui curent de lichid se face cu tubul Pitot care transform orice punct din domeniul de curgere ntr-un punct de stagnare(S). Tubul Pitot este un tub subire ndoit n unghi drept cu o extremitate deschis, ndreptat n sens contrar curentului i cealalt exteremitate racordat la un manometru care msoar presiunea total (Fig.4.17)

4.5.2.4. Calculul vitezei

Calulul vitezei ntr-un punct oarecare al unui curent de lichid se bazeaz pe ecuaia fundamental a lui Bernoulli iar dispozitivul utilizat este tubul Pitot-Prandtl, rezultat din reunirea ntr-un singur aparat a sondei de presiune static i a tubului Pitot (Fig.4.18..). Considernd c P i R au aceeai cot (tuburile sunt foarte subiri), se poate scrie:

hppP += 1 ( )hhppR ++= 2 din care rezult c ( ) hpp mRP +=

mhpp += 21

S

Fig.4.16. Msurarea presiunii totale

S

Fig.4.17.Tubul Pitot


23

n care innd seam c:

2

2vppP += este presiunea total din P (msurat cu tubul Pitot) i

ppR = este presiunea static din P (msurat cu sonda de presiune static) Dup nlocuiri rezult:

( ) ( ) hghgghv mmm

=== 12222

ajungndu-se n final la relaia pentru determinarea vitezei de curgere a fluidului:

hgv m

= 12

2

1 h

h m P

R

Fig.4.18.Tubul Pitot-Prandtl

hidrocinematica - scradeanu daniel

Documents