1 . RIECANICA LAGRANGEANA .......................................................................................... 11 m .

1.1. Coordonate generalizate ...................................................................................... 11 1.2. Exprimarea mirimilor mecanice ............................................................................. 12 1.3. Migcarea siste~nelor olonome ................................................................................. 13 1.4. Migcarea sisteinelor neolonome .............................................................................. 15 1.5. Sisteine percutante ................................................................................................ 15 1.6. Probleine rezolvate ................................................................................................ 16

A . Coordonate generalizate ..................................................................................... 16 . . B . Exprimarea mimmlor mecanice .......................................................................... 24 C . Migcarea sistemelor olonome .............................................................................. 28 D . Migcarea sisteinelor neolonoine .......................................................................... 41

............................................................................................. E . Sisteme percutante 49 ....................................................................................... F . Probleine suplimentare 59

1.7. Probleme nerezolvate ........................................................................................... 7 0

2 . MECANICA HAM~LTONIANA .................................................................................. 78 3.1. Ecua!iile lui Hamilton ..................................................................................... 7 8

...................................................................................................... 3.2. Spatiul fazelor 79 2.3. Prulcipiul lui Hamilton .......................................................................................... 80 2.4. Transforlniri canonice ........................................................................................... 81 2.5. Ecuafia Hamilton-Jacobi ........................................................................................ 83

................................................................................................... 2.6. Integale de f a d 85 ................................................................................................ 2.7. Probleine rezolvate 85

A . Ecuafiile lui Hamilton ........................................................................................ 85 B . Spafiul fazelor ................................................................................................... 90 C . Principiul lui Hamilton ....................................................................................... 96 D . Transfonniri canonice .................................................................................... 102 E . Ecuafia Hamilton-Jacobi ................................................................................... 104 F . Integrale de fa25 ............................................................................................... 116 G . Probleine suplimentare .................................................................................... 122

2.3. Probleine nerezolvate .......................................................................................... 138

3 . VIBRATIILE SISTEMELOR CU IJN GRAD DE LIBERTATE ................................. 146 3.1. Amplitudine, perioadH ~i frecventi ....................................................................... 146 3.2. hfetode speciale ..................... .. ....................................................................... 148 3.3. Vibrafii amortizate .............................................................................................. 149 3.4. Vibrafii forfate $i rezonan@ .................................................................................. 151 3.5. Aparate de misur6 a vibrafiilor ............................................................................. 154 3.6. Sisteine vibropercutante ....................................................................................... 155 3.7. Vibrafii neliniare ................................................................................................. 156 3.8. Probleine rezolvate .............................................................................................. 157

A . Amplitudine, perioadi ~i frecvenii .................................................................... 157 B . Metode speciale .............................................................................................. 166 C . Vibralii amortizate .......................................................................................... 175 D . V~bratii foqate gi rezonanli ............................................................................ 179 E . Aparate de mHsur5 a vibrafiilor .......................................................................... 187 F . Sisteine vibropercutante .................................................................................... 194

G . Vibrafii neliniare ............................................................................................. 201 H . Probleme suplirnentare ..................................................................................... 210

3.9. Probleme nerezolvate .......................................................................................... 218

4 . VIBRATIILE SISTEMELOR CU DOUA GRADE DE LIBERTATE .......................... 226 4.1. Ecuafiile de mipcare ............................................................................................ 226 4.2. Moduri nonnale .................................................................................................. 227 4.3. Vibrafii cuplate .................................................................................................. 228 4.4. Absorbirea vibrafiilor forfate ........................................................................... 229 4.5. Principiul ortogonalit5fii ............................................................................... 229 4.6. Probleme rezolvate ............................................................................................ 230

A . Ecuafiile de miqcare ......................................................................................... 230 B . Moduri nonnale .............................................................................................. 238 C . Vibratii cuplate ................................................................................................ 246 D . Absorbirea vibrafiilor fortate ............................................................................ 252 E . Principiul ortogonalit5fii ................................................................................... 259 F . Probleme suphnentare ..................................................................................... 264

4.7. Probleme nerezolvate .......................................................................................... 275

5 . VIBRATIILE SISTEMELOR FINIT-DIMENSIONALE ............................................ 284 5.1. Considerafii generale ........................................................................................... 284 5.2. Coeficienfii de influenfl ...................................................................................... 285 5.5. Reprezentarea matriciali ...................................................................................... 286 5.4. Aproxima!ii succesive ......................................................................................... 288 5.5. Metoda Stodola ................................................................................................... 290 5.7. Metoda Holzer .................................................................................................... 291 5.8. Probleine rezolvate .............................................................................................. 293

A . Considerafii generale ....................................................................................... 293 B . Coeficienfii de influenfl ............................ .. ................................................... 302 C . Reprezentarea matriciall ............................................................................ 311 D . Aproximatii succesive ...................................................................................... 316 E . Metoda Stodola ................................................................................................ 326 F . Metoda Holzer ................................................................................................. 336 G . Probleme suplimentare .............................................................................. 342

5.9. Probleme nerezolvate .......................................................................................... 349

6 . VlBRATIILE MEDIlLOR CONTINUE ..................................................................... 357 6.1. Ecuaiia fundainentali ........................................................................................ 357 6.2. Vibratiile longitudinale ale barelor ................................................................. 359 6.3. Vibratiile tralisversale ale barelor ......................................................................... 360 6.4. Torsiunea barelor .............................................................................................. 361 6.5. Vibrafiile qi sunetul ............................................................................................. 362 6.6. Probleme rezolvate .............................................................................................. 363

A . Ecuafia fundamental5 ....................................................................................... 363 B . Vibraf ile longitudinale ale barelor .................................................................... 371 C . Vibrafiile transversale ale barelor ...................................................................... 382 D . Torsiunea barelor ............................................................................................. 393

.......................................................................................... E . Vibratiile qi sunetul 398 F . Probleme suplimentare .................................................................................... 411

6.7. Probleine nerezolvate .......................................................................................... 423

............................................................................... 7.3. Stabilitatea sistemelor liniare 434 ............................................................................ 7.4. Stabilitatea sistemelor neliniare 435

.................................................................................................... 7.5. Spafiul fazelor 437 7.6. C l a ~ ~ c a r e a orbitelor ........................................................................................... 438 7.7. Probleme rezolvate .............................................................................................. 440

A . Puncte de echilibru .......................................................................................... 440 B . Defmitia stabiliGfii ......................................................................................... 443 C . Stabilitatea sistemelor liniare ........................................................................ 449 D . Stabilitatea sistemelor neliniare ......................................................................... 459 E . Spatiul fazelor ............................................................................................... 466 F . Clasificarea orbitelor ........................................................................................ 471 G . Probleme suplimentare ..................................................................................... 478

.......................................................................................... 7.8. Probleme nerezolvate 489

Anexa 1 . NOTrCTNI DE REZISTENTA MATERIALELOR ............................................ 497 ..................................................................................... A . 1.1. Probleme rezolvate 499

A . 1.2. Probleme nerezolvate ................................................................................ 506 Anexa 2 . ANALOGII ELECTRICE $1 SIMULARE ANALOGIC;~ ................................ 508

A.2.1. Analogii electrice ....................................................................................... 508 A . 2.1.1. Probleme rezolvate .......................................................................... 510 A . 2.1.2. Probleme nerezolvate ....................................................................... 519

A.2.2. Sirnulare analogicH ..................................................................................... 522 A.2.2.1. Probleme rezolvate .......................................................................... 524 A.2.2.2. Probleme nerezolvate ....................................................................... 532

Anexa 3 . CATEVA CRITERII DE STABILITATE ...................................................... 535 ..................................................................................... A.3.1. Probleine rezolvate 537

................................................................................. A.3.2. Probleme nerezolvate 547

BZBLIOGR4 FIE ............................................................................................................ B Y

Prezentul volum este o continuare logica' a celui anterior, intitulat "Teorie qi probleme de mecanics newtonianY, respectind aceleagi principii de organizare ~i expunere a materialului. Desigur, mecanica anlatitic5 este o componenfii a celei teoretice gi reprezinta' o formlrlare echivalentii a mecanicii nelvtoniene care permite, in acelagi timp, postularea unor principii generale ce conduc la noi ramuri ale acestei gtiinte fundamentale a naturii - mecanica Aplicatiile se giisesc in diverse domenii de activitate, ins6 doud motive au determinat opjiunea noastrii pentru aprofundarea

, studiului vibrafiilor: primul este acela ca' vibratiile joacii un rol fundamental in marea majoritate a problemelor care intentin in fehnica', in special cele din industria constructiilor de magini, iar cel de a1 doilea motiv este legat de faptul ca' pin6 in momentul de fafd la noi in far: M U a apiirut nici o lucrare de acest tip care sa' fie dedicata' domeniului mentionat.

Prin tnodul cum este conceputii gi aria problemelor abordate, lucrarea se adreseaza' tuturor acelora care prin preocupa'rile lor au de-a face cu concepfele de bazd ale mecanicii teoretice gi, in mod deosebit, cu aplicatiile din domeniul vibratiilor. Printre acegti potentiali beneficiari menfiondnl studentii ~i cadrele didactice din universitijti gi institutele tehnice, cerceta'tori ~fiinh3ci, ingineri, fizicieni, matematicieni, rnecanicieni, etc. Lucrarea poate f i folositii fie ca supliment la cursurile standard, fie independent. Din acest punct de vedere, considera'n~ cii ea este deosebit de ufila' gi pentru cei care au studiat cu ani in urn15 nlecanica teoretica', respectiv aplicajiile din domeniul vibra,tiilor, iar acuni doresc sci-gi reactiveze i17 tilttp scurf aceste cul~ogti'nfe, indiferent daca' prega'tirea de bazd gi-au ficut-o in univel-sitiiti sau institute tehnice.

Realizarea dezideratului mentionat este posibila' deoarece toate rezultatele sunt det~lonstrate gi expuse intr-o maniera' clarci yi coinpleta'firii a f i necesara' consultarea altor materiale azlwiliare. Baza minima' pentru lectura' o cmstituie posedarea unor cunogtin,te elenlentare de teoria vectorilor ~i matricilor, respectiv de calcul diferential p integral.

fn esel~fii, lzrcrarea de fafa' este n culegere de probleme, jar virtutea sa principal6 constii in aceea ca' n~ajoritatea problemelor au un suport jzic, real. Nu vom face o prezentare a con,tir?utului lucrcirii, o prima' imagine asupra acesttiia putindu-se ob,tine prin consultarea cuprinsului. In schimb, este oportun sa' renlarcfin~ faptul cd cele gavte capi!ole yi trei ane-ue contin in total 765 de probleme, dintre care 365 sunt rezolvate gi 400 nerezolvate. De asemenea, pentru explicarea di$eritelor notiuni care intervin pb: parcursrtl expunerii au fost utilizate 207 figuri ajutdtoare Cifitorul se poate convinge ca' i ~ o l u m ~ ! g1 diversitatea de material inclus in lucrnre completeaza' ~i vineori c.kiar depQegte szrbstantial pe cel cuprins i17 ciirtile gi tratatele de mecanica' apa'rute pcinii acunl i17 fnra noastra'. Desigur, autorul esfe conytient ca' pot exista gi puncte de vedere diferite, obsen7atii o-itice ~i clrinr onrisiuni, cd sunt posibile diverse imbuna'tdtiri. Ear, in acelafi timp Ke expri.rljiim convingerea cii lucrarea este oportuna' pentru un cerc.larg de cititori qi va contribui la cre$erea interesului in vederea aplicdrii riguroase a metodelor nlecanicii analitice pentru studiul dlferitelor

probleme, in particular a1 celor din domeniul vibra/i i l~r, atdt de intportant pelltru industrie gi construcfii.

Fiecare capitol gi anexd incepe cu formularea precisa' a teinaticii abordate $i sunt prezentate, pe paragrafe, principalele rezultate obtinute. in continuare, pentru pecare dintre subiectele din capitol urmeazc probleme rezolvate, de complexitate crescdnda' $i probleme suplimentare, care au ca principal stop consolidarea nofiunilor din capitolul respectiv. Toate problemele rezolvate sunt deseninate prin iildicativul R, de exemplu 4R.37 insemndnd problema rezolvata' nr. 37 din cap. 4. Pe de o parte. problenzele rezolvate ilustreaza' gi amplifica' teoria pundnd in evidenf: aspectele sale esentiale atdt de necesare insugirii corecte a notiunilor, iar pe de alta' parte confinutul practic, real, a1 JiecGrei probleme il obipuiegte pe cititor cu calculele efecfive duse pdna' la capa't yi aprecien? ca' acest aspect ii poate fi de mare ajutor la locul sciu de nzunca'. Capitolul, respectiv anexa, se incheie cu probleme nei-ezolvate, iar acestea au indicativul N . De exemplu, 4N.37, insemneaza' problema nerezolvata' nr. 37 din capitolul 4. Problenzele nerezolvate sunt organizate ~i expuse dupd aceleagi principii ca gi cele rezolvate, avdnd trecut in dreapta jos ra'spunsul. Ele extind in mod substanfial aria aplicatiilor din capitolul respectiv gi in strategia generala' a lucrcirii au o pondere eel pujin egala' cu a problemelor rezolvate, atdt din punctul de vedere a1 cantitiifii de infornza,tie, cdt gi a1 intportan/ei acesteia.

in incheiere, autorul doregte sa' aducd un profund omagiu inenioriei regretatului sGtr profesor, conduca'tor de doctorat gi reputat academician, Caius Iacob, pentru indentitul ~i stimulul nzoral acordate in vederea$naliza'rii lucra'rii, efort ce a dui-at aproxiiitati\~ patru ani. De asemellea, muljunzesc ca'lduros profesorului doctor Simo~za Popp, ca'reia ii voi ra'mdne intotdeauna recunosca'tor pentru indrumarea primilor niei pap iit

aceasta'fascinanta' ~tiinja' a naturii care este mecanica. fn egalG ma'sura', muljumesc Editurii Tehnice pentru buna colaborare in vederea

aparitiei lucra'rii.

IOSIF T ~ O S U