Grupuri remarcabile

I. Grupuri de matrice :

Anul trcut am văzut că mulţimea matricelor de tip (m,n) cu elemente din R, Mm,n(R), cu operaţia de adunare formează un grup abelian (A ,B∈Mm,n (R )⇒ A+B∈Mm,n (R ) ; elemental neutru este Om,n – matricea nulă; −A=(−ai , j) este opusul lui A=(aij) )

Pentru m=n are sens produsul oricăror matrice A ,B∈M n(R). Fie mulţimea de matrice pătratice de ordin n cu elemente reale şi cu

determinant nenul. Vom nota această mulţime prin GL (n , R )={A∈M n(R)∨det (A )≠0 } şi

considerăm operaţia de înmulţire pe Mn (R).

Are loc următoarea :

Teoremă : Cuplul (GL(n,R),. ) este un grup infinit,numit grupul linear complet de ordin n pe R.

Demonstra ţ ie:

Să observăm mai întâi că înmulţirea determină pe GL(n,R) o lege de compoziţie . Într-adevăr, din, A ,B∈GL (n ,R ) să arătăm că AB∈GL (n , R ), adică să arătăm că det (AB )≠0, ceea ce este adevărat deoarece det (AB )=det ( A )×det (B ) . Verificăm axiomele grupului.

G1) asociativitatea înmulţirii are loc pe GL(n,R),deoarece are loc întotdeauna pe Mn(R).

G2) elemental neutru este matricea unitate I n∈GL(n ,R) (are det(In)=1≠0)

G3) orice matrice A∈GL (n , R) are o inversă (simetric) notată A−1∈GL (n , R) pentru care A A−1=A−1 A=I n. Aici A−1 este chiar inversa matricei A . Ştim că A are inversă dacă det (A)≠0 (A este o matrice nesingulară). Evident A−1∈GL (n ,R ) deoarece din A A−1=I n şi

det (A A−1 )=det ( A )×det ( A−1 )=1 rezultă det (A−1)≠0.

În final (GL(n,R), .) este grup infinit.

II. Grupuri de permutări de ordin n

Fie M mulţime finită cu n elemente. Natura acestor elemente fiind pentru noi fără importanţă, este comod să luăm M={1,2,…,n}.

Am văzut că F (M )={f :M →M } împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor este un monoid. Considerăm o submulţime a lui F (M ) ,B(M ) formată din aplicaţii bijective (de fapt este destul să cerem ca f să fie injectivă(surjectivă) căci atunci f este bijectivă !).

Un element din B(M) îl numim permutare de gradul n. Elementele lui B(M) le desemnăm prin litere mici ale alfabetului grec

α ,β , γ , δ ,… În loc de B(M) vom folosi notaţia Sn . Sub o formă dezvoltată şi sugestivă permutarea σ :M →M o reprezentăm

prin simbolul σ=( 1 2 ⋯ nσ (1) σ (2) … σ (n)) unde se indică in extenso

σ :1 2 … n↓ ↓ ¿ ¿

σ (2)¿…¿σ (n)¿

σ (k ) ,k=1 , n sunt simbolurile 1,2,….,n, eventual în altă ordine. Pe mulţimea Sn a permutărilor de grad n am definit,anul precedent ,

operaţia de compunere (sau produs) a permutărilor . Fie σ , τ∈Sn, atunci σ ° τ∈Sn se defineşte (compunerea obişnuită a

funcţiilor) prin σ ° τ (k )=σ (τ (k ) ) ,k=1 , n . Vom scrie în loc de σ ° τ simplu στ .

Are loc următoarea :

Teoremă : Cuplul (Sn ,o) este un grup finit de ordin n! , numit grupul simetric de grad n.

Demonstraţie: verificăm axiomele grupului

Este clar că dacă σ , τ∈Sn, atunci στ∈Sn, adică legea de compunere a permutărilor este o lege de compoziţie pe Sn .Trebuie observat astfel că se pot compune permutări de acelaşi grad.G1) Asociativiatea compunerii pe Sn rezultă din faptul că această lege este asociativă pe mulţimea funcţiilor F(M).G2) Elementul neutru este aplicaţia identică a mulţimii M, pe care o

notăm cu e şi are forma : e= (1 2 … n1 2 … n)

G3) Orice element σ∈Sn are un invers (simetric) notat cu σ−1∈Sn (σ−1 este aplicaţia inversă a lui σ ) pentru care σ σ−1=σ−1σ=e .

De exemplu , dacă σ=¿ (1 2 3 4 53 4 5 1 2), atunci

σ−1 = (1 2 3 4 54 5 1 2 3) (σ−1 este funcţia care „acţionează” invers decât σ ; prin

σ ,1 este dus în 3 ; invers , prin σ−1 elementul 3 este dus în 1,etc.) .

Dacă σ=(1 2 33 1 2) , τ=(1 2 3

3 2 1) , atunci στ=(1 2 32 1 3) şi

τσ=(1 2 31 3 2) . Deci στ ≠ τσ .

Aşadar (Sn , °) , n≥3, este grup necomutativ.