grupuri de simetrii
DESCRIPTION
Grupuri de simetriiTRANSCRIPT
-
ajtroposc kirtemmizSZilele Universitatii Alexandru Ioan Cuza
zsr ttetzsekrezS
25 octombrie 2013
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii
(ssoB ogoH 1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de gruppentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului.
In discursul inaugural de la Universitate araosimiTa (1872) -
Tendinte recente in cercetarea geometrica - spune: ind data
o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra
este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate
care nu se schimba prin transformarile grupului.
Se da o multim Pe si SM
grupul permutarilor lui M . Orice
subgrup G al lui SM
este un grup de transformari ale lui M.
Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de
toate elementele lui G . Deci, apriori, M nu are proprietati
geometrice, acestea sunt dictate de grupul G . O geometrie
este notata prin (M,G ).
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii
Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup
pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului.
In discursul inaugural de la Universitatea Erlangen (1872) -
Tendinte recente in cercetarea geometrica - spune: ind data
o varietate si in ea un grup de transformari, sarcina noastra
este sa investigam acele proprietati ale unei guri din varietate
care nu se schimba prin transformarile grupului.
Se da o multime M si SM
grupul permutarilor lui M. Orice
subgrup G al lui SM
este un grup de transformari ale lui M.
Se studiaza acele proprietati ale gurilor care sunt invariate de
toate elementele lui G . Deci, apriori, M nu are proprietati
geometrice, acestea sunt dictate de grupul G . O geometrie
este notata prin (M,G ).
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Geometria euclidiana (plana)
Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de
izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura
unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul
simplu al punctelor.
Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distantad : P P R :d(A,B) 0, A,B P; d(A,B) = 0 A = B;d(A,B) = d(B,A);d(A,B) d(A,C ) + d(C ,A), A,B,C P; d(A,B) =d(A,C ) + d(C ,A) A C B.
Denition
Se numeste izometrie a planului P o aplicatie f : P P cuproprietatea
d (f (A), f (B)) = d(A,B), A,B P .
Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o
aplicatie bijectiva.
-
Geometria euclidiana (plana)
Geometria euclidiana se ocupa de acele proprietati pastrate de
izometrii: lungimea segmentelor si congruenta lor, masura
unghiurilor si congruenta acestora, coliniaritatea, raportul
simplu al punctelor.
Fie P un plan euclidian, inzestrat cu o functie distantad : P P R :d(A,B) 0, A,B P; d(A,B) = 0 A = B;d(A,B) = d(B,A);d(A,B) d(A,C ) + d(C ,A), A,B,C P; d(A,B) =d(A,C ) + d(C ,A) A C B.
:szemletrSe numeste izometrie a planului P o aplicatie f : P P cuproprietatea
d (f (A), f (B)) = d(A,B), A,B P .
Se poate demonstra ca orice izometrie a planului este o
aplicatie bijectiva.
-
Grupul izometriilor
Theorem
Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu
compunerea functiilor.
Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal
O(2).
O(2) = {A M2
(R) | AAt = AtA = I2
}={A Gl(2,R) | A1 = At}Clasicare
Izometrii de specia I: translatia, rotatia
Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea
dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa
simetriei
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul izometriilor
Theorem
Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu
compunerea functiilor.
Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal
O(2).
Clasicare
Izometrii de specia I: translatia, rotatia
Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea
dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa
simetriei
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
istvanSor trlve
-
Grupul izometriilor
Theorem
Multimea izometriilor planului formeaza un grup in raport cu
compunerea functiilor.
Grupul izometriilor cu un punct x este izomorf cu grupul ortogonal
O(2).
O(2) = {A M2
(R) | AAt = AtA = I2
}={A Gl(2,R) | A1 = At}Clasicare
Izometrii de specia I: translatia, rotatia
Izometrii de specia a II-a: simetria ortogonala axiala, compunerea
dintre o simetrie axiala si o translatie de vector paralel cu axa
simetriei
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Izometriile planului
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Simetriile unei guri
Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G , se
poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura
xata F . Aceste automorsme se numesc simetrii ale guriirespective.
Denition
Fie F P o gura xata a planului P . Se numeste simetrie a luiF o izometrie a planului, f : P P , care invariaza gura F :f (F) = F .
Theorem
Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupuluiizometriilor planului P .
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Simetriile unei guri
Odata xata o geometrie cu un grup de automorsme G , se
poate studia subgrupul automorsmelor care invariaza o gura
xata F . Aceste automorsme se numesc simetrii ale guriirespective.
Denition
Fie F P o gura xata a planului P . Se numeste simetrie a luiF o izometrie a planului, f : P P , care invariaza gura F :f (F) = F .
Theorem
Multimea simetriilor gurii F P este un subgrup al grupuluiizometriilor planului P .
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupuri de simetrii
Grupurile de simetrii ale unor poligoane:
grupul lui Klein: grupul simetriilor unui dreptunghi diferit de
patrat
grupurile diedrale: grupul simetriilor unui poligon regulat
subgrupurile acestora formate din rotatii
Reciproc: dat un grup de simetrii, sa determinam un poligon
care sa aiba drept grup de simetrii pe cel initial
Determinarea tuturor grupurilor nite de simetrii: teorema lui
Leonardo
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul lui Klein
V
4
= {Id , a
, b
, O
}= < a
, O
= O,pi >
Id a
b
O
Id Id a
b
O
a
a
Id O
b
b
b
O
Id a
O
O
b
a
Id
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul simetriilor patratului
Notatii:
rotatia de centru O siunghi
pi2
simetria axiala in raportcu axa orizontala h
Sunt exact opt
simetrii
Putem genera toate
simetriile pornind de
la si
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral D4
{Id , h
, r
, v
, l
, O,pi2
, O, 2pi2
= O
, O, 3pi2
}D4
={, 2, 3, 4 = Id , , 2, 3,
}
2 = 4 = Id
1 = 1 = 3 2 = 2 3 = r
= v
= 2 l
= 3
v
= 2 l
= 3
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral D4
{Id , h
, r
, v
, l
, O,pi2
, O, 2pi2
= O
, O, 3pi2
}D4
={, 2, 3, 4 = Id , , 2, 3,
}
2 = 4 = Id
1 = 1 = 3 2 = 2 3 = r
= v
= 2 l
= 3
v
= 2 l
= 3
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral D4
{Id , h
, r
, v
, l
, O,pi2
, O, 2pi2
= O
, O, 3pi2
}D4
={, 2, 3, 4 = Id , , 2, 3,
}
2 = 4 = Id
1 = 1 = 3 2 = 2 3 = r
= v
= 2 l
= 3
v
= 2 l
= 3
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral D4
Compunerea dintre o simetrie axiala fata de dreapta d si o
rotatie cu centrul apartinand dreptei d este o simetrie fata de
o dreapta ce trece prin centrul rotatiei.
Deci , 2, 3 sunt simetrii fata de drepte ce trec prin O,deci sunt aplicatii involutive.
= ()1 = 11 = 3,
2 = (2)1 = 21 = 2,
3 = (3)1 = 31 = .
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral D4
Id 2 3 2 3Id Id 2 3 2 3
2 3 Id 2 3
2 2 3 Id 2 3
3 3 Id 2 3 2
3 2 Id 3 2
3 2 Id 3 2
2 2 3 2 Id 3
3 3 2 3 2 Id
C4
={Id , , 2, 3
}=< > subgrupul rotatiilor
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral D4
Id 2 3 2 3Id Id 2 3 2 3
2 3 Id 2 3
2 2 3 Id 2 3
3 3 Id 2 3 2
3 2 Id 3 2
3 2 Id 3 2
2 2 3 2 Id 3
3 3 2 3 2 Id
C4
={Id , , 2, 3
}=< > subgrupul rotatiilor
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Poligoane care au ca grup de simetrii C4
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral D3
= h
= O, 2pi3
2 = 3 = Id
D3
={Id , , 2, , , 2
} = ()1 = 11 = 2
2 = (2)1 = 21 =
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral D3
Id 2 2Id Id 2 2
2 Id 2
2 2 Id 2
2 Id 2
2 Id 2
2 2 2 Id
C3
={Id , , 2
}
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Poligoane cu C3
drept grup de simetrii
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral D6
D6
={Id , 2, 3, 4, 5, , , 2, 3, 4, 5
}, = O,pi3
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Poligon cu grup de simetrii C6
C6
= {Id , 2, 3, 4, 5}
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral Dn
si subgrupul rotatiilor Cn
Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V
i
poate
dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului,
de exemplu V
k
. Atunci un varf vecin lui V
i
poate dus prin
acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V
k
. Deci in
total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat
printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc
imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca
exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv.
Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam
cu simetria axiala in raport cu h si cu rotatia de centru O(centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor
sale de simetrie) si unghi orientat
2pin
.{Id , , 2, , n1, , 2, , n1} sunt 2n simetrii alepoligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In
consecinta Dn
=< , > si subgrupul rotatiilor sale estegrupul ciclic Cn
=< > de ordin n.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Grupul diedral Dn
si subgrupul rotatiilor Cn
Avand un poligon regulat cu n laturi, ecare varf V
i
poate
dus printr-o simetrie intr-unul din cele n varfuri ale poligonului,
de exemplu V
k
. Atunci un varf vecin lui V
i
poate dus prin
acea simetrie intr-unul din varfurile vecine ale lui V
k
. Deci in
total avem 2n posibilitati. Cum imaginea poligonului regulat
printr-o simetrie este determinata atunci cand se cunosc
imaginile a doua varfuri vecine prin acea simetrie, rezulta ca
exista cel mult 2n simetrii pentru poligonul respectiv.
Fie h una din axele de simetrie ale poligonului regulat. Notam
cu simetria axiala in raport cu h si cu rotatia de centru O(centrul de simetrie al poligonului, situat la intersectia axelor
sale de simetrie) si unghi orientat
2pin
.{Id , , 2, , n1, , 2, , n1} sunt 2n simetrii alepoligonului, deci acestea sunt toate simetriile posibile. In
consecinta Dn
=< , > si subgrupul rotatiilor sale estegrupul ciclic Cn
=< > de ordin n.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Dn
Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru
primele n linii folosim n = 2 = Id si ecare linie se obtinepractic din precedenta prin compunere la stanga cu .
Pentru linia corespunzatoare lui folosim faptul ca oricecompunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie
axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,
(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.
Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtinecare din precedenta prin compunere la stanga cu .
D1
=< > e grupul simetriilor unui triunghi isoscelneechilateral, iar C1
= {Id}.D2
=< , O,pi = O >= V4, iar C2 = {Id , O,pi} e grupulsimetriilor unui paralelogram diferit de romb.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Dn
Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru
primele n linii folosim n = 2 = Id si ecare linie se obtinepractic din precedenta prin compunere la stanga cu .
Pentru linia corespunzatoare lui folosim faptul ca oricecompunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie
axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,
(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.
Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtinecare din precedenta prin compunere la stanga cu .
D1
=< > e grupul simetriilor unui triunghi isoscelneechilateral, iar C1
= {Id}.D2
=< , O,pi = O >= V4, iar C2 = {Id , O,pi} e grupulsimetriilor unui paralelogram diferit de romb.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Dn
Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru
primele n linii folosim n = 2 = Id si ecare linie se obtinepractic din precedenta prin compunere la stanga cu .
Pentru linia corespunzatoare lui folosim faptul ca oricecompunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie
axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,
(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.
Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtinecare din precedenta prin compunere la stanga cu .
D1
=< > e grupul simetriilor unui triunghi isoscelneechilateral, iar C1
= {Id}.D2
=< , O,pi = O >= V4, iar C2 = {Id , O,pi} e grupulsimetriilor unui paralelogram diferit de romb.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Dn
Pentru a completa tabela grupului procedam astfel. Pentru
primele n linii folosim n = 2 = Id si ecare linie se obtinepractic din precedenta prin compunere la stanga cu .
Pentru linia corespunzatoare lui folosim faptul ca oricecompunere dintre o simetrie axiala si o rotatie este o simetrie
axiala, deci o aplicatie involutiva. Astfel,
(k)1 = k , k 1, n 1. Decik = nk, k 1, n 1.
Dupa completarea acestei linii, ultimele n 1 linii se obtinecare din precedenta prin compunere la stanga cu .
D1
=< > e grupul simetriilor unui triunghi isoscelneechilateral, iar C1
= {Id}.D2
=< , O,pi = O >= V4, iar C2 = {Id , O,pi} e grupulsimetriilor unui paralelogram diferit de romb.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Teorema lui Leonardo
Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat:
Theorem
Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup desimetrii pe Dn
si respectiv pe Cn
.
Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al
unei guri plane este de tipul Dn
sau Cn
?
Hermann Weyl (1885-1955) arma in cartea Symmetry, Princeton
University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era
preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod
sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze
capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Teorema lui Leonardo
Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat:
Theorem
Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup desimetrii pe Dn
si respectiv pe Cn
.
Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al
unei guri plane este de tipul Dn
sau Cn
?
Hermann Weyl (1885-1955) arma in cartea Symmetry, Princeton
University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era
preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod
sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze
capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Teorema lui Leonardo
Pana in acest moment am reusit sa demonstram urmatorul rezultat:
Theorem
Pentru orice n N, exista cate un poligon care are ca grup desimetrii pe Dn
si respectiv pe Cn
.
Ne intereseaza rezultatul reciproc: orice grup nit de simetrii al
unei guri plane este de tipul Dn
sau Cn
?
Hermann Weyl (1885-1955) arma in cartea Symmetry, Princeton
University Press, 1951, ca Leonardo da Vinci (1452-1519) era
preocupat de aceasta problema. Mai exact acesta determina in mod
sistematic simetriile unei cladiri centrale si studia cum sa ataseze
capele, nise, etc, fara a strica simetria nucleului.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Teorema lui Leonardo
Theorem
Singurele grupuri nite de izometrii sunt Cn
si Dn
.
Corollary
(Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este Dn
sau Cn
.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Teorema lui Leonardo
Theorem
Singurele grupuri nite de izometrii sunt Cn
si Dn
.
Corollary
(Leonardo) Dat un poligon oarecare, grupul sau de simetrii este Dn
sau Cn
.
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii
-
Theorem
Singurele grupuri nite de izometrii sunt Cn
si Dn
.
Demonstratie
Fie G un grup nit de izometrii ale planului P . Rezulta ca acestanu poate contine translatii sau compuneri de translatii cu simetrii
axiale, deoarece acestea ar genera un subgrup innit. In consecinta
G contine doar rotatii si simetrii axiale.Caz I Presupunem ca G contine doar rotatii:
G = C1
= {Id} A, G, A, 6= Id . In aceasta situatie demonstram catoate rotatiile sunt de centru A.
Pp prin reducere la absurd ca B, G cu A 6= B. Atunci
1B,
1A,B,A, G. Dar aceasta compunere de rotatiieste o translatie diferita de Id caci suma unghiurilor
orientate ale acestor rotatii este 0. Se contrazice astfel
ipoteza ca G e grup nit.
-
Deci n N : nA, = A,n G si 1A, = A, G. Astfel, toateelementele grupului pot scrise sub forma A, cu 0 2pi.Fie 0
valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei
rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca A, G, k N astfel incat = k0. Deci orice rotatie agrupului este de tipul A,k0
= kA,0
, pentru un anumit k natural,
deci este generata de A,0
. In concluzie
G =< A,0
>= Cm
, mA,0
= Id .
Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala.
Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar
compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia
I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza unsubgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz,
rezulta ca acest subgrup e de tipul Cn
= {Id , , , n1}. Ampresupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.
-
Deci n N : nA, = A,n G si 1A, = A, G. Astfel, toateelementele grupului pot scrise sub forma A, cu 0 2pi.Fie 0
valoarea minima (pozitiva) pe care o poate lua unghiul unei
rotatii din G. Se demonstreaza prin reducere la absurd ca A, G, k N astfel incat = k0. Deci orice rotatie agrupului este de tipul A,k0
= kA,0
, pentru un anumit k natural,
deci este generata de A,0
. In concluzie
G =< A,0
>= Cm
, mA,0
= Id .
Caz II Presupunem ca G contine cel putin o simetrie axiala.
Deoarece o izometrie si inversa ei sunt de aceeasi specie, iar
compunerea a doua izometrii de specia I este o izometrie de specia
I, rezulta ca multimea izometriilor de specia I ale lui G formeaza unsubgrup al acestuia, ce contine doar rotatii. Conform primului caz,
rezulta ca acest subgrup e de tipul Cn
= {Id , , , n1}. Ampresupus ca numarul izometriilor de specia I ale lui G este n.
-
Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a.Deoarece , , 2, , n1 sunt izometrii de specia a II-a,rezulta ca m n.Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu ,dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluziem = n OrdG = 2n siG = {Id , , , n1, , , 2, , n1}.Pentru n = 1 avem G =< >= D1
, iar pentru n > 1,k, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece princentrul A al rotatiei . Deci G = Dn
.
-
Presupunem ca G contine m 1 izometrii de specia a II-a.Deoarece , , 2, , n1 sunt izometrii de specia a II-a,rezulta ca m n.Dar cele m izometrii de specia a doua, compuse la dreapta cu ,dau m izometrii de specia I, deci m n. In concluziem = n OrdG = 2n siG = {Id , , , n1, , , 2, , n1}.Pentru n = 1 avem G =< >= D1
, iar pentru n > 1,k, k 1, n 1 este o simetrie fata de o dreapta ce trece princentrul A al rotatiei . Deci G = Dn
.
-
Bibliograe
1
Mircea Ganga, Manual Algebra clasa a XII-a, Mathpress,
Ploiesti, 2003
2
George E. Martin, Transformation Geometry, An Introduction
to Symmetry, Springer, 1982
3
Liviu Ornea, Adriana Turtoi, O introducere in geometrie,
Theta, Bucuresti 2011
4
Ioan Pop, Geometrie ana, euclidiana si proiectiva, Editura
Universitatii Al.I.Cuza, Iasi, 1999
Oana Constantinescu Grupuri de simetrii