ghid+complet+de+bac+matematica

8/13/2019 Ghid+Complet+de+Bac+Matematica

1/148


2/148


3/148

O metoda de rezolvare a unor ecuatii care contin module

Atunci cand rezolvam ecuatii care contin module, principala grija este sa eliminam modulele s

sa obtinem astfel o ecuatie algebrica pe care stim cum sa o rezolvam.

Putem sa eliminam modulul unei expresii algebrice daca cunoastem semnul expresiei, ceea c

nu este intotdeauna simplu, uneori, avand nevoie de multe calcule.

De exemplu avem de rezolvat ecuatia: ||| 2x 1| - 9 | - 5 | = 3.

Pentru a elimina cele trei module folosind semnul expresiilor din modul avem nevoie de timp s

de multe calcule.

Va voi prezenta in continuare o metoda simpla de rezolvare a acestui tip de ecuatii.

In rezolvarea ecuatiei | x | = a, in R, unde aR, intalnim trei cazuri :1. daca a < 0, ecuatia | x | = a nu are solutii, este imposibila.2. daca a = 0, ecuatia | x | = 0 are solutia x = 0, S = {0}.3. daca a > 0, ecuatia | x | = a x = a sau x = -a, ecuatia are doua solutii, S={-a,a }.

Procedand similar putem rezolva ecuatii de forma:

a) | 2 x | = 3;

b) || 2x + 3|- 5| = 9;

c) ||| 5x- 1|- 4| - 3 | = 2;d) ||| 2x 1| - 9 | - 5 | = 3.

Rezolvare:

a) | 2 x | = 3 2 x = 3 sau 2 x = - 3 - x = 3 - 2 sau - x = - 3 - 2 x = - 1 sau x = 5 S ={-1, 5};

b) || 2x + 3| - 5| = 9 |2x + 3| - 5 = 9 sau |2x + 3| - 5 = - 9 |2x + 3| = 14 sau |2x + 3| = - 4| 2x + 3 | = 14 2x + 3 = 14 sau 2x + 3 = -14 2x = 14 3 sau 2x = - 14 - 3 x =

2

11sau x = -

2

17 S 1 = 211

,2

17.

|2x + 3| = - 4 (ecuatie imposibila deoarece 4 < 0) S 2 = Deci S = S 1 S 2 = 2

11,

2

17


4/148

c) |||5x 1| - 4| - 3| = 2 ||5x 1| - 4 | - 3 = 2 sau ||5x 1| - 4 | - 3 = - 2 ||5x 1| - 4| = 5 sau ||5x 1|- 4| = 1 |5x 1| - 4 = 5 sau |5x 1| - 4= - 5 sau |5x 1| - 4 = 1sau |5x 1| - 4 = - 1 |5x - 1| = 9 sau |5x - 1| = -1 sau |5x - 1| = 5 sau |5x - 1| =3

|5x 1| = 9 5x 1 = 9 sau 5x - 1= - 9 x = 2 sau x = -5

8 S 1 = 2,5

8.

|5x -1| = - 1(ecuatie imposibila deoarece 1 < 0) S 2 = |5x 1| = 5 5x - 1 = 5 sau 5x - 1 = - 5 x =

5

6sau x = -

5

4 S 3 = 56

,5

4.

|5x -1| = 3 5x 1 = 3 sau 5x 1 = - 3 x =5

4 sau x = -

5

2 S 4 = 52

,5

4.

Deci S = S 1 S 2 S 3 S 4 =

2,5

6,

5

4,

5

2,

5

4,

5

8

d) ||| 2x 1| - 9 | - 5 | = 3 ||2x 1| - 9 | - 5 = 3 sau ||2x 1| - 9 | - 5 = - 3 ||2x 1| - 9 |= 8 sau ||2x 1| - 9 |= 2 |2x 1| - 9 = 8 sau |2x 1| - 9 = - 8 sau |2x 1| - 9 = 2sau |2x 1| - 9 = - 2 |2x 1| = 17 sau |2x - 1| = 1 sau |2x - 1| = 11 sau |2x - 1| = 7

|2x 1| = 17 2x 1 = 17 sau 2x - 1= - 17 x = 9 sau x = - 8 S 1 = 9,8 .|2x 1| = 1 2x 1 = 1 sau 2x - 1= - 1 x = 1 sau x = 0 S 2 = {0, 1}|2x 1| = 11 2x - 1 = 11 sau 2x - 1 = - 11 x = 6 sau x = - 5 S 3 = 6,5 .|2x 1| = 7 2x 1 = 7 sau 2x 1 = - 7 x = 4 sau x = - 3 S 4 = 4,3 .

Deci S = S 1 S 2 S 3 S 4 = {-8, -5, -3, 0, 1, 4, 6, 9}.

Pentru consolidare rezolvati urmatoarele ecuatiile:

|x 3 | = 12 ; |3x 7| = 2 ; |7- 3x| = 5 ; |2x + 3 |= 0 ; || 2x -3 | + 1| = 6; |||1 x| + 1|- 12| = 6


5/148

Formule utile:

1+2+3+2

)1( nnn

16

)12)(1(2 222

nnn

n

1 2333 ]

2

)1([2

nnn

Modulul numerelor reale Proprieti:

0,

0,

xx

xxx

1. Rxx ,0 2. yxyx 3. xx 4. yxyx 5.y

x

y

x

6. 0, aaxaax 7. 0),,[],( aaaxax 8. yxyx

Partea ntreag1.x =[x]+{x}, Rx , [x] Z i {x} )1,0[ 2. [x] x< [x]+1, [x] = a xa < a+1

3. [x+k]=[x]+k, ZkRx ,

4. {x+k}={x}, ZkRx ,


6/148

Identitati si inegalitati

1. Identitati:

Fie a, b, c R si m, nNa) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 ,b) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 ,c) a 2 - b 2 = (a b)(a + b),d) a 3 b 3 = (a b)( a 2 ab + b 2 ),e) a n - b n = (a b)(a 1n + a 2n b + ... + ab 2n + b 1n )f) a 1m2 + b 1m2 = (a + b)(a m2 - a 1m2 b + a 2m2 b - ... - ab 1m2 + b m2 )g) a m2 - b m2 = (a m - b m )(a m + b m )h) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca.

2. Inegalitati:

a) daca 0 < a b atunci a p b p (pR ) si q a q b (q R)b) bababa , a, bRc) l...ba a + b +...+ l a, b, ... , lRd) daca a < b si a, b, m, n > 0 atunci a 1 + (a + b + ... +t), a, b, ... , t 0i) 1 - a n < n(1 a) , a > 0,j) n 1n > (n + 1) n , 3 < nN,k) nn < n! < n

2

1n

, nN * ,

l) (a 21 + a 22 + ... + a 2n )(b 21 + b 22 + ... + b 2n ) (a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n ) 2 , a 1 ,b 1 , ... , a n ,b n Rm)

daca 0 < a < 1 si x < y atunci a

x

> a

y

,n) daca a > 0 si x < y atunci a x < a y ,o) daca 0 < a < 1 si x < y atunci log a x > log a y ,p) daca a > 0 si x < y atunci log a x < log a y .


7/148


8/148


9/148


10/148


11/148


12/148


13/148


14/148

10

1. Asociativitatea reuniunii si a interseciei:

A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C

2. Comutativitatea reuniunii si a interseciei:

A B=B A A B=B A

3. Idempotena reuniunii si interseciei:

A A=A A A=A

4. A =A A =

5. Distributivitatea reuniunii fade intersecie:

A (B C)=(A B) (A C)

6. Distributivitatea interseciei fade reuniune:

A (B C)=(A B) (A C)

7. A,B E, (A B)= A B

(A B)= A B

8. A E, ( A)=A9. A\B= (A B)

10. A\(B C)=(A\B)\C

A\(B C)=(A\B) (A\C)

(A B)\C=(A\C) (B\C)

(A B)\C=A (B\C)=(A\C) B

11. A(B C)=(AB) (AC)

A(B C)=(AB) (AC)

A(B\C)=(AB)\ (AC)

ABBAA B ( x) (xA=>xB)

A B ( x)((xA) (x B))

xA B (xA) (xB)

xA B (xA) (xB)

xC EA (xE) (x A)

xA\B (xA) (x B)

}7,8,2{=P }5,3,1{=Q

Doumulimisunt disjunctedacintersecia lor este mulimea vid.

Exemple: iar = QP

Reuniunea

Mulimea n care se afltoate elementele mulimilor A i B, i numai ale lor (fiecare

comun mulimilor figurnd o singurdat), se numete reuniuneamulimilor A i B.

Astfel: sauAA xxB }Bx = /{

Notaie: se citete reuniunea mulimilor A i B.

Exemple: iar atunci}5,3,1{=A }5,2,1=B },5,3,2,1{=BA (se iau toate elementele o

dat).


15/148

Puteri si radicali.

1. Prin puterea na unui numar real a intelegemnumarul a n = aa ... a (nN)a se numeste baza, iar nNse numeste exponent.Daca a 0 avem a 0 = 1, a n =

na

1.

2. Prin radacina de ordin n sau radical de ordin n, n N, n 2a unui numar a > 0intelegem unnumar real, pe care il notam cu n a = a n

1

si care are proprietatea( n a )n = a.

Proprietati - puteri:

Fie n, m N, a, bR * a) a n a m = a mn , b)(a n ) m = a nm , c)

m

n

a

a= a mn , d) (ab) n = a n b n ,

e)

n

b

a

=

n

n

b

a.

Proprietati - radicali:Fie a, b >0, n, mN, n, m 2,a) n ab = n a n b , b) n

b

a=

n

n

b

a, c) n mna = a m , d) ( n a ) m = n ma ,

e) n ma = nk mka , f) n m a = nm a .

3. Dacaa


16/148

Exemple:

a) a > 0, bR atunci a +b si a - b sunt conjugate deoarece ( a +b)( a - b) = a - b2,

b) a, b >0 atunci a + b si a - b sunt conjugate deoarece ( a + b )( a - b ) = a b.

6.Puteri cuexponent rational:

a) Puteri cu exponent rational pozitiv: definim a nm

= n ma , a 0si Qnm , 0nm , n2,b)Puteri cu exponent rational negativ: definim a n

m=

n

m

a

1=

n ma

1, a > 0si Q

n

m , 0n

m , n2Proprietati ale puterilor cu exponent rational

Daca a > 0, b > 0 si Qq

p,

n

m avem:

a)a nm

aq

p

= aq

p

n

m , b) (ab) n

m

=a nm

b nm

, c)

n

m

n

m

n

m

b

a

b

a

, d)

q

p

n

m

a

= a

q

p

n

m ,

e) qp

n

m

q

p

n

m

a

a

a .

Alte proprietati

a) Daca0 < a < 1sin 2, nN atunci0 < n a < 1 0 < a n1 < 1.b) Dacaa > 1 sin 2, nN atunci 1 < n a 1 < a n1 .Pornind de la aceste proprietati putem stabili urmatoarele:

a) Daca0 < a < 1 sixQ, x > 0 atunci0 < a x < 1.b) Daca a > 1sixQ, x > 0atunci a x > 1.c) Daca0 < a < 1sixQ, x < 0atuncia x > 1 .d) Daca a > 1 si xQ, x < 0 atunci 0 < a x < 1.e)( x)Q avem1 x =1.


17/148

Functii definitie, proprietati, functii elementare

1. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie(aplicatie) pe X cu valori in Y dacfiecarui element xX facem sa-i corespunda un singur element yY.

Vom nota y = f(x) sau f: XY sau Xf

Y.

x se numeste variabila sau argument,

y se numeste valoarea functiei,

X se numeste multimea de definitie

Y se numeste multimea valorilor functiei.

2. Daca XR si YR vom spune ca f este functie reala de variabila reala.

3. Daca X 1 este o submultime a lui X (X 1 X) functia f1 definita pe X 1 si egala cu f pe aceast

submultime (f1(x) = f(x) ( ) xX1 ) se numeste restrictia lui f la X 1 .

Invers, f se numeste prelungirealui f1 pe X.

4.Spunem ca functia f: XY estestrict descrescatoare daca ( ) x 1 , x 2 A, x 1 x 2 avem

21

21

xx

)x(f)x(f

< 0.

5. Spunem ca functia f: XY estestrict crescatoare daca ( ) x 1 , x 2 A, x 1 x 2 avem

21

21

xx

)x(f)x(f

> 0.

6. Spunem ca functia f: XY este injectivadaca este verificata una din urmatoarele conditii:

a) ( ) x1

, x2

X, x1

x2

f(x1

) f(x2

) sau

b) ( ) x 1 , x 2 X, astfel incat f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 sauc) ( ) y Y ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie in X.

Cele trei conditii sunt echivalente. In rezolvarea exercitiilor poate fi folosita oricare din ele.

7. Spunem ca functia f: XY estesurjectiva daca este satisfacuta una din urmatoarele conditii:

a) ( ) y Y, () xX astfel incat f(x) = y saub) ( ) y Y ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie in X.

8. O functie f: XY estebijectiva daca esteinjectiva sisurjectiva.

9. f: XY este bijectiva ( ) y Y ecuatia f(x) = y are o singura solutie in X.

10. f: XY este marginita daca exista doua numere reale m, M astfel incat ( ) xX avem


18/148

11. Daca YX:f si ZY:g , spunem ca urmatoarea functie notata ZX:gof unde

))x(f(g)x)(gof( se numestecompusa functiilor f si g.

12. X1 estefunctia identica definita pe X: XX:1x , x)x(1X .

13. Spunem ca functia YX:f esteinversabiladaca exista o functie XY:g astfel incat

X1)x)(gof( (x) si )y(1)y)(fog( Y .

Inversa functiei f se noteaza cu f 1

.

14. Functia YX:f este inversabiladaca si numai daca f este bijectiva.

15. Functia YX:f este paradaca f(x) = f(-x) ( ) xX (X este o multime simetrica fata de 0)

16. Functia YX:f este imparadaca f(x) = - f(x) ( ) xX (X este o multime simetrica fata de

17. Functia YX:f este periodica, de perioada T, daca ( ) TR* astfel incat

f(x + T) = f(x) ( ) xX.

Cel mai mic dintre aceste numere T pozitive se noteaza cu T * si se numeste perioada principala.

: EF si AE, B E, atunci(A) ={yF xA a.i. (x)=y}-1(B) = {x E (x)B}.

Funcia de gradul I

Definiie:f:RR,f(x)=ax+b,a 0 , a,b R , se numete funcia de gradul I

Proprieti:Daca>0 f este strict cresctoare

Daca


19/148

2) legea de coresponden;3) mulimea n care ia valori ;

Doufunciisunt egaledac:1) au aceeai mulime de definiie2) f(x)=g(x) pentru orice element din mulimea de definiie ;3) iau valori n aceeai mulime.

Mulimea de puncte avnd coordonatele n plan (x,y), unde xeste un element din mulimdefiniie A, iary=f(x) se numete graficulfuncieif.

O funcief:descrisde o lege de forma f(x)= ax+b , unde a i b sunt constante renumete funcie liniar.Observaie: Graficul unei funcii liniare este o dreapt.

Pentru reprezentarea grafica unei funciiliniare urmrim algoritmul :1) Se calculeaz f(0)=b. Se reprezint punctul (0,b). Acest punct reprezin punc

intersecie dintre graficul funciei i axa ordonatelor Oy.

2) Se rezolvecuaia ax+b=0. Se reprezintpunctul ( ,0)b

a

.Acest punct reprezintpunc

intersecie dintre graficul funciei i axa absciselor Ox.3) Se traseaz dreapta care unete cele dou puncte obinute i astfel se traseaz g

funciei liniaref(x)= ax+b.

Observaii :1) Daca=0 i b0 obinem funcii de genulf(x)=b ale cror grafice sunt paralele cu ax

Aceste funcii se numesc constante nenule.2) Daca0 i b=0, se obin funcii de formaf(x)=ax, funcii care trec prin originea siste

de axe.

3) Pentru a=b=0, se obine ca grafic chiar axa absciselor Ox.

Proprieti ale funciilor liniare :Fie funcia f :AB definitprintr-o relaief(x).

Proprietatea 1: Dac pentru oricare ar fi r,sA cu , avemr s> ( ) ( )f r f s> i spunfuncia este strict cresctoare

Proprietatea 2: Dac pentru oricare ar fi r,sA cu , avemr s> ( ) ( )f r f s< i spunfuncia este strict descresctoare.

Observaie: n general, o funcie descrisde legeaf(x)= ax+b poate fi:-

strict cresctoare dac 0a>

,- constantdaca=0,- strict descresctoare dac 0a < .


20/148

O ecuaieeste o propoziie cu o variabil(propoziiile cu o singurvariabilse mai nume

predicate) n care apare , o singurdatsemnul de egal.

{ }0,2,3,5x Exemplu: 2x-1=5 cu

2

2 31;

2 1

xx R

+=

x

{

O ecuaie cu o necunoscutare forma general: S(x)=D(x), xM; necunoscuta fiind x, iar S i

se numesc membrul stng i respectiv membrul drept al ecuaiei, iar M este mulimea soluiiloecuaiei.

Observaii:1. Orice valoare din mulimea M poate fi nlocuit n ecuaie i se poate obine o propozi

adevratsau fals. Dacpropoziia obinuteste adevratatunci valoarea respectivestesolua ecuaiei.

2. Prin rezolvarea ecuaiei nelegem gsirea tuturor soluiilor ecuaiei, din mulimea M.}Exemplu: din 2x-1=5, 0,2,3,5x

" "'( ) '( )S x D x=

prin nlocuirea lui x obinem o propoziie adevrat doa

pentru x=3.Douecuaiisunt echivalentedacau aceleai soluii .Notaie : semnul echivalenei dispus ntre dou ecuaii, adic: S(x)=D(x)

Exist o serie de proprieti pe care ne bazm n rezolvare i pe care folosindu-le obinemecuaii echivalente i astfel gsim mulimea de soluii ale ecuaiei.

Proprietate : Adunnd la (sau scznd din) ambii membri ai unei ecuaii acelai numr reobinem o ecuaie echivalentcu prima.

Consecin : Se pot trece termenii unei ecuaii din membrul stng n membrul drept i inve

schimbnd doar semnul termenului.Exemplu : 3x+1=2x+1 +(-1) 3x=2xProprietate : nmulind (sau mprind) ambii membri ai unei ecuaii cu acelai numr rea

diferit de zero, se obine o ecuaie echivalent.Exemplu : 4x-2=5 2 8x-4=10Proprietate : O ecuaie este nedeterminat dacexistmai mult de o valoare din mulimea M

care genereazpropoziii adevrate prin nlocuire n ecuaie.

Exemplu : 2x-1=(6x-2)-4x+1, xechivalent cu 0=0, adicadevrat pentru orice xreal.

ECUAIA DE GRADUL I

O ecuaie de forma ax+b=0, xn care 0a ; a,bpoartdenumirea de ecuaie de gradu

Icu o necunoscut. Soluiaecuaiei este unic,b

xa

=

Exemplu : 2x-2=0 2x=2 2

2x= x=1


21/148


22/148

Ecuatia de gradul al II-lea. Relatiile lui Viete

1. Ecuatia de formaax2+ bx + c = 0, a, b, cR, a 0 se numesteecuatia generala de gradul II cucoeficienti reali in necunoscuta x.Numerele realea, b, c se numesccoeficienti ai ecuatiei generale.Ecuatiile in careb = 0 sauc = 0 se numescecuatii incomplete.

Rezolvarea ecuatiilor

Cazul 1: b 0, c = 0, ax2+ bx = 0 S = ab,0 .Cazul 2:b = 0 ; c 0: ax2+ c = 0

i) Daca -a

c< 0 S = in Rsi S =

a

ci in C (ecuatia nu are solutii reale dar are

solutii numere complexe).

ii) Daca -a

c 0 S =

a

c.

Cazul 3:b

0, c

0: a x

2

+ b x + c = 0

i) Daca < 0 atunci S = in Rsi S =

a2

ibin C (ecuatia nu are solutii reale dar are

solutii numere complexe).

ii) Daca = 0 atunci S = a2b

,solutie dubla,

iii) Daca > 0atunciS =

a2

b.

Relatiile lui Viete:

Fie ecuatia ax2+ bx + c = 0, a, b, cR, a 0. Fie x1,x2radacinile ecuatiei. S= x1+ x2si P =x1 x2

Relatiile lui Viete :

a

cxx

a

bxx

21

21

- daca > 0 atunci ecuatia aredoua radacini reale diferite, x1 x2,- daca < 0 atunci ecuatia aredoua radacini complexe diferite, x1 x2,- daca > 0 , P < 0 atunciradacinile au semne diferite.( x1 < 0, x2 > 0),- daca > 0, P > 0 atunciradacinile au acelasi semn si anume semnul lui S,- daca > 0, P < 0, S = 0 atuncix1 = - x 2 adicaradacinile sunt opuse.- daca > 0, P = 0 atunci x1= 0 iar x2are semnul lui S.


23/148

B. Functii elementare

Functia

X

(multimea

de

definitie)

Y

(multimea

valorilor

functiei f)

Proprietati

Functia putere

f(x) = x n , 2nN

Graficul functiei f

a) n par

b) n impar

i) R

ii) R

a) R daca

n este par

b) R daca

n esteimpar

R

a) n par

1. f este descrescatoare pe R si crescatoare

pe R

2. f nu este injectiva pe R dar restrictiile lui f

la R si la R sunt functii injective

3. f: R R este surjectiva

4. f: R R nu este bijectiva dar restrictiile

f R

: R R si f

R: R R

sunt

bijective

5. f: R R este para

b) n impar

1. f este crescatoare pe R

2. f este injectiva pe R

3. f: RR este surjectiva

4. f: RR este bijectiva

5. f: RR este inversabila iar inversa ei este

f 1 : RR, f 1 (x) = n x

6. f: RR este impara

Functia radicalf(x) = n x , 2n, nN

Graficul functiei f

a) n par

b) n impar

a) R

daca n par

b) R daca

n impar

a) R

daca n par

b) R daca

n impar

a) n par

1. f este crescatoare2. f este injectiva

3. f este surjectiva4. f este bijectiva

5. f: R R este inversabila iar inversa ei

este f 1

: R

R

, f 1

(x) = x n

b) n impar1. f este crescatoare

2. f este injectiva3. f este surjectiva

4. f este bijectiva5. f: RR este inversabila iar inversa ei este

f 1 : RR, f1 (x) = x n

6. f este impara

x

y

O

y

x

O

x

y

O

x

O

y


24/148

Functia exponentiala

f(x) = a x , a > 0, a 1

a) a > 1

b) a(0, 1)

R (0, + )

a) a > 11. f este strict crescatoare

2. f este injectiva3. f este surjectiva

4. f este bijectiva5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei

este f 1 :(0, + )R, f1 (x) = log a x.

b) a(0, 1)

1. f este strict descrescatoare

2. f este injectiva

3. f este surjectiva

4. f este bijectiva

5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa ei

este f1

:(0, + )R, f1

(x) = log a x.

Functia logaritmica

f(x) = log a x, a > 0, a 1

a) a > 1

b) a(0, 1)

(0, + ) R

a) a > 1

1. f este strict crescatoare

2. f este injectiva


4. f este bijectiva

5. f: R (0, + ) este inversabila iar inversa eieste f 1 :R (0, + ), f 1

(x) = a x

b) a(0, 1)

1. f este strict descrescatoare

2. f este injectiva


4. f este bijectiva

5. f: R(0, + ) este inversabila iar inversa ei

este f1

: R (0, + ), f1

(x) = ax

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O


25/148


26/148

Functia arcsinus

f(x) = arcsin x

[-1, 1]

2,

2


2. f este injectiva3. f este bijectiva

4. f este inversabila iar inversa este

f 1

:

2,

2 [-1,1], f 1 (x) = sin x

5. f este impara6. f este marginita

Functia arccosinusf(x) = arccos x

[-1, 1] [0, ] 1. f este surjectiva2. f este injectiva

3. f este bijectiva4. f este inversabila iar inversa este

f 1 : [0, ] [-1,1], f 1 (x) = cos x5. f este marginita

Functia arctangenta

f(x) = arctg x

R

2,

2


2. f este injectiva3. f este bijectiva


f 1 :

2,

2 R, f 1 (x) = tg x

5. f este impara

6. f este marginita

Functia arccotangenta

f(x) = arcctg

R ,0 1. f este surjectiva2. f este injectiva

3. f este bijectiva


f 1

: ,0 R, f 1 (x) = ctg x

5. f este marginita


27/148

Formule de calcul222 2)( bababa 222 2)( bababa

))((22 bababa

a ))(( 2233 bababab

a ))(( 2233 bababab

(a+b) 32233 33 babbaa (a-b) 32233 33 babbaa a ))(( 121 nnnnn bbaabab

Funcia de gradul II

Definiie:f:RR,f(x)=ax 0,2 acbx ,a,b,c R se numete funcia de gradul IIMaximul sau minimul funciei de gradul II

Daca0 atunci f realizata

,4min

pentru x =

a

b

2

;Vrful parabolei V(

a

b

2

, )4a

Ecuaia de gradul II:ax 02 cbx ;x acba

b4,

2

2

2,1

Relaiile lui Viete:xa

cxx

a

bx 2121 ,

Dac 0 ecuaia are rdcini reale i diferite.Dac 0 ecuaia are rdcini reale i egale.Dac 0 ecuaia nu are rdcini reale.Dac 0 ecuaia are rdcini reale.Intervale de monotonie :a0

x

a

b

2

f(x)

a4


28/148


29/148

0= , x1=x2Rf(x) 0, Rx ;

f(x)=0a

bx

2=

Rxx 21,0 f(x) 0,

),[],( 21 + xxx

;f(x)


30/148

0= , x1=x2R

f(x) 0, Rx ;

f(x)=0

a

bx

2

=

Rxx 21,0

f(x) 0, ],[ 21 xxx ;

f(x)


31/148

Aplicatii ale semnului functiei de gradul al II -lea

Avem de rezolvat urmatoarea problema:

Fie ecuatia de gradul al II - lea: x 2 + (m + 3)x + 2m + 2 = 0, unde mR este parametru.Sa se determine valorile lui mR pentru care:

a) Ecuatia are radacini reale mai mici decat 1.b) Ecuatia are radacini reale mai mari decat 1.c) Ecuatia are o radacina reala mai mica decat 1 si cealalta mai mare decat 1.d) Ecuatia are doua radacini reale care se afla in intervalul ( - 1, 1).

Prezentam in continuare rezolvarea acestor tipuri de probleme in cazul general.

Fie ecuatia ax 2 + bx + c = 0, a, b, cR.Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 daca si numai daca a 0 si 0Consideram functia f: R R f(x) = ax 2 + bx + c si folosim tabloul semnului lui f:x 1 , x 2 radacinile functiei. Consideram x 1 x 2

x- x 1

2

S x 2 +

f(x) semnul lui a 0 semn contrar 0 semnul lui a

lui a

af(x) + + + 0 - - - 0 + + + +

S = x 1 + x 2 2

S=

2

xx 21 se afla intre radacinile functiei.Deci pentru x (- , x 1 ) ( x 2 , + ) avem af(x) > 0 si pentru x (x 1 , x 2 ) avem af(x) < 0.

1. Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 si x 1 < , x 2 < , R un numar fixat.x

- x1

2

S x

2 +

f(x)

semnul lui a 0 semn contrar 0 semnul lui a lui a f( )

x1


32/148

2. Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 si x 1 > , x 2 > , R un numar fixat.x

- x 1 2

S x 2 +


f( ) lui a In acest caz se mentin primele 3 conditii prezentate la cazul 1 iar a patra se inlocuieste

cu2

S> deoarece in acest caz trebuie ca sa se afle in intervalul (- , x 1 ).

Deci ecuatia are 2 radacini reale mai mari decat daca si numai daca

2/S

0)(af

00a

.

Rezolvand aceste sistem obtinem solutiile pentru punctul b).

3. Ecuatia are doua radacini reale x 1 , x 2 si x 1 < < x 2 , R un numar fixat.x - x

1 x 2 +


lui a f( )

In acest caz se mentine prima conditie prezentata la cazul 1.Functia trebuie sa aiba doua radacinii reale diferite > 0x

1< < x 2 af( ) < 0.

Deci ecuatia are 2 radacini reale x 1 , x 2 si x 1 < < x 2 daca si numai daca

0)(af

0

0a

.

Rezolvand aceste sistem obtinem solutiile pentru punctul c).

4. Ecuatia are doua radacini reale x1, x

2 ( , ), , R doua numere fixate.

x - x 1 x 2 + f(x) semnul lui a 0 semn contrar 0 semnul lui a

lui a f( ) f( )

In acest caz se mentin primele 2 conditii prezentate la cazul 1.

Deoarece x1> , x 2 > rezulta af( ) > 0 si

2

S> ( cf rationament cazul 2).

Deoarece x1< , x 2 < rezulta af( ) > 0 si

2S


33/148

Rezolvarea problemei date:2 + (m + 3)x + 2m + 2 = 0, mR,

Avem := 1 0 pentru orice mR= (m + 3) 2 - 4(2m + 2) = m 2 + 6m + 9 8m 8 = m 2 - 2m + 1 = (m 1) 2 0 pentru orice mR

ie x 1 , x 2 radacinile reale ale ecuatiei

= - (m + 3) = - m - 3 ( din relatiile lui Viete).

) x 1 , x 2 < 1. Suntem in cazul 1 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S

0)(af0

0a

.

Conditiile a 0 si 0 sunt satisfacute pentru orice mR. Deci raman ultimele 2 conditii

1

2

3m

0)1(f1

23m

02m21)3m(12

23m

06m3 5m6m3 5m

2m m ( -2, + ).

) x 1 , x 2 > 1. Suntem in cazul 2 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S

0)(af

0

0a


1

2

3m

0)1(f1

23m

02m21)3m(12

23m

06m3 5m6m3 5m

2m m.

) x 1 < 1 < x 2 . Suntem in cazul 3 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

0)(af

0

0a

Conditia a 0 este satisfacuta pentru orice mR. Deci raman ultimele 2 conditii

0)1(f1

0)1m( 2

02m21)3m(1

1m2

06m3

1m

63

1m

2m

1m m ( - , - 2).

) 1 < x 1 x 2 < 1. Suntem in cazul 4 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S

2/S

0)(af

0)(af

0

0a



34/148

12

3m

12

3m

0)1(f1

0)1(f1

23m

23m

02m21)3m(1

02m2)1()3m()1(

2

2

5m

1m

06m3

0m

5m

1m

2m

0m

m (0, + ) (- 2, + ) (- , - 1) (- 5, + ) =

Exercitiu:

Fie ecuatia 4mx 2 + 4(1 - 2m)x + 3(m 1) = 0, mR parametru.Sa se determine valorile lui mR pentru care:

a) Ecuatia are radacini reale mai mici decat 1.b) Ecuatia are radacini reale mai mari decat 1.c) Ecuatia are o radacina reala mai mica decat 1 si cealalta mai mare decat 1.d) Ambele radacini sa fie subunitare

Avem :a = 4m

= 16(1 - 2m) 2 - 48m(m - 1) = 16 64m + 64m 2 48m 2 + 48m = 16m 2 - 16m + 16 =

= 16(m 2 - m + 1) 0 m 2 - m + 1 0, 1 = 1 4 = - 3 < 0. Deci m 2 - m + 1 > 0 pentru orice mR > 0 pentru orice mRFie x 1 , x 2 radacinile reale ale ecuatiei

S = -m4

)m21(4 =

m

1m2 ( din relatiile lui Viete).

a) x 1 , x 2 < 1. Suntem in cazul 1 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S

0)(af

0

0a

.

Conditia 0 este satisfacuta pentru orice mR

1m2

1m2

0)1(fm4

0m4

m21m2

0))1m(31)m21(41m4(m4

0m2

10

0)3m3m84m4(m4

0m

0)1m(m4

0m


35/148

Studiem semnul functiei 4m(- m+ 1) pe R

m - 0 1 + m - - - 0 + + + + + +

-m +1 + + + + + 0 - - - -4m(- m+ 1) - - - 0 + 0 - - - -

Deci 4m(- m+ 1) > 0 pentru m (0, 1)Revenim la sistemul de ecuatii si obtinem

)1,0(m

0m m (0, 1).

b) x 1 , x 2 > 1. Suntem in cazul 2 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

2/S

0)(af

0

0a

Conditia 0 este satisfacuta pentru orice mR.

1m2

1m2

0)1(fm4

0m4

m21m2

0)1(mf4

0m

2m 1 > 2m 0m > 1 imposibil m.) x 1 < 1 < x 2 . Suntem in cazul 3 rezulta ca trebuie sa rezolvam sistemul

0)(af

0

0a

Conditia > 0 este satisfacuta pentru orice mR

0)1(fm4

0m4

0))1m(31)m21(41m4(m4

0m2

0)1m(m4

0m

),1()0,(m

0m m ( - , 0) ( 1, + )d) Radacinile sunt subunitare 1 < x 1 x 2 < 1. Suntem in cazul 4 rezulta ca trebuie sa

ezolvam sistemul

2/S

2/S

0)(af

0)(af

0

0a

Conditia > 0 este satisfacuta pentru orice mR


36/148

1m2

1m2

1m2

1m2

0)1(f1

0)1(f1

m

m21m2

m21m2

0))1m(31)m21(41m4(m4

0))1m(3)1()m21(4)1(m4(m4

0m

2

2

10

1m4

0)1m(m4

0)3m3m84m4(m4

0m

4

1m

)1,0(m

0)7m15(m4

0m

Studiem semnul functiei 4m(15m - 7) pe R

m

- 0 157

+ m - - - 0 + + + + + +

15m - 7 - - - - - 0 + + + +

4m(15m - 7) + + + 0 - 0 + + + +

Deci 4m(15m - 7) > 0 pentru m (- , 0)

,15

7

Revenim la sistemul de ecuatii si obtinem

,4

1m

)1,0(m

,157)0,(m

0m

m

,15

70, (0, 1)

,

4

1 (- 5, + ) =

1,

15

7

( deoarece 0 0}

1n2 u ( 1n2 u )'=1n2 n2

u)1n2(

1

{xR | u(x) > 0}

eu

(eu

)' = eu

u'

au

, a > 0, a 1 (a u )' = a u u'ln aln u (ln u)' = u

'u

loga

u, a>0, a 1(log a u )' = alnu

'u

{xR | u(x) > 0}

sin u (sin u)' = u'cos u

cos u (cos u)' = - u'sin u

tg u (tg u)' =ucos

'u

2 {xR | u(x) k

2}

ctg u (ctg u)' =usin

'u2

{xR | u(x) k }

arcsin u(arcsin u)' =

2u1

'u

{xR | -1 u(x) 1}arccos u (arccos u)' =

2u1

'u

{xR | -1 u(x) 1}

arctg u (arctg u)' =1u

'u2

arcctg u (arcctg u)' =1u

'u

2


131/148

3

3


132/148

STUDIUL FUNC

Proprieti generale ale funciilor derivabile .

1.Punctele de extrem ale unei funcii.

Fie un interval i f: R.

Definiie. Se numete punct de maxim (respectiv de minim)(local) al

funciei f, un punct a pentru care existo vecintate V a lui a

astfel nct ( ) ( ) ( )( ) ( ) afxfrespectivafxf . V. Un punct de maxim sau de minim se numete punct de extrem.

a se numete punct de maxim(respectiv de minim) global dac

( ) ( ) ( ) ( )( )afxfrespafxf . . .

Obs.1.O funcie poate avea ntr-un interval mai multe puncte deextrem.(vezi desenul).

Obs.2.O funcie poate avea ntr-un punct a un maxim (local), fraavea n a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul

( ) ( )cfaf < ).

-puncte de maxim

-puncte de minim

( )( ) ( )( )cfcafa ,,,

( )( ) ( )( )dfdbfb ,,,


133/148

TEOREMA LUI FERMAT

Dac feste o funcie derivabilpe un interval si0

0 Ix un punct

de extrem,atunci ( ) 00'

=xf .

Interpretare geometric:

Deoarece ( ) = 00' xf tangenta la grafic n punctul ( )( )00 , xfx

este paralelcu OX.Obs.1. Teorema este adevrati dacfuncia este derivabilnumai

n punctele de extrem.

Obs.2. Condiia ca punctul de extrem 0x sfie interior intervalului

este esenial.

(dacar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca

( ) 00'

xf ). Ex. ( ) .xxf = Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevrat.(se pot gsi

funcii astfel nct ( ) 00'

=xf dar 0x snu fie punct de extrem).

Soluiile ecuaiei ( ) 0' =xf se numesc puncte critice . Punctele deextrem se gsesc printre acestea.

Teorema lui Fermat dcondiii suficiente (dar nu si necesare)

pentru ca derivata ntr-un punct sfie nul.

O altteoremcare dcondiii suficiente pentru ca derivata sseanuleze este :


134/148

TEOREMA LUI ROLLE.

Fie :f IR, ba, I, .ba < Dac:

1. feste continupe [ ];,ba 2. feste derivabilpe ( )ba, ;

3. ( ) ( ),bfaf = atunci cel puin un punct ( )bac , a. ( ) .0'

=cf

INTEPRETAREA GEOMETRICA

Dacfuncia fare valori egale la extremitile unui interval

[ ],,ba atunci existcel puin un punct n care tangenta este paralelcu axa ox .

Consecina 1. ntre dourdcini ale unei funcii derivabile se aflcel puin o rdcina derivatei.Consecina 2. ntre dourdcini consecutive ale derivatei se aflcel mult o rdcina funciei.

TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creterilor finite)

Fie :f I R,I (interval, ba, I, .ba < Dac:

1

. feste continupe [ ]ba,


135/148

2. feste derivabilpe ( ),,ba atunci existcel puin un punct( )bac , a. savem

( ) ( )( ).' cf

ab

afbf=

INTERPRETAREA GEOMETRIC

Dacgraficul funciei fadmite tangentn fiecare punct(cu excepia

eventual,a extremitilor) existcel puin un punct de pe grafic(carenu coincide cu extremitile), n care tangenta este paralelcu coardacare unete extremitile.

( ) ( )ab

afbftg

= tangenta la grafic n M are coeficientul.

unghiular ( )cf'

dar

( ) ( ) ( )

ab

afbfcf

='

Obs.1. Daca ( ) ( )= bfaf Teorema lui Rolle.

Consecina 1. Daco funcie are derivata nula pe un interval,atunciea este constanta pe acest interval.

Daco funcie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de

intervale proprietate nu mai rmne adevratn general.

Expl. ( ) ( )3,21,0: f ( ) ( )

( )

=

3,2,2

1,0,1

x

xxf


136/148

Consecina 2. Dac fsi sunt doufuncii derivabile pe un

interval I i dacau derivatele egale'' gf = atunci ele difer

printr-o constant. .cgf = Rc

Dac fsi gsunt definite pe o reuniune disjunctde intervale,

proprietatea e falsn general. Expl. ( ) tgxxf =

( )

+

=

2,1

2,0,1

,

xtgx

xtgx

xg

Consecina 3.

Daca ( ) 0' >xf pe I fe strict cresctoare pe I.

Daca ( ) 0'


137/148

Dacfuncia este definitpe R se studiazlimita funciei la

iar daceste definitpe un interval se studiazlimita la

capetele intervalului.4.Studiul primei derivate :

a. Calculul lui f.

b. Rezolvarea ecuaiei f(x)=0.Rdcinile acestei ecuaii vor fieventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ;

c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant.

Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f.5.Studiul derivatei a doua :

a.Se calculeazf

b.Se rezolva ecuatia f(x)=0. Rdcinile acestei ecuaii vor fi

eventuale puncte de inflexiune ale graficului

c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant.

Astfel,pe intervalele pe care f>0 functia este convexi pe

cele pe care f


138/148

S` se stabileasc` intervalele de monotonie ale func\iei f D: :

a) f x x x( ) 2 4 ; b) f x x x( ) 3 3;

Soluie:

Funciile sunt derivabile pe domeniul de definiie. Se studiazsemnul primei derivate.

a) , ( ) 2 1,D f x x x . Alctuim tabelul de semn i de monotonie pentruf.

x 2

1+

)(xf 0 + + + + + +f(x) 1 0

b) 2, ( ) 3 3 ,D f x x x . Tabelul de monotonie:

x 1 1 +

)(xf 0 + + + + 0

f(x) 1 0 1

S` se determine punctele de extrem pentru func\ia f D: :

f x

x

x( ) ln

; f x x x e x

( ) ( ) 2

1

e) (0, ), ( ) ln 1, (0, )D f x x x . Ecuaia 0)( = xf este ln x = 1, cu soluia1

= ex . Tabelul de monotonie:

x e1 +

)(xf 0 + + + + + +

f(x) 1 0

f) ),0(,11

1)(),,0( +==+= xx

x

xxfD . Rezulttabelul:

x 0 1 +

)(xf 0 + + + + + +

f(x) 1 0

Solu ie:

S` se determine intervalele de convexitate ]i de concavitate pentru func\iile f D: :

a) f x x x( ) ; 2 3 b) f x x x( ) ; 3 6 112

c) f x x x( ) ; 3 12 d) f x x x( ) ; 3 22 3

SoluieSe stabilete semnul derivatei a doua a funcieif.

a) , ( ) 2 3, ( ) 2,D f x x f x x .

Rezultcfunciafeste convexpe .

b) , ( ) 6 6, ( ) 6 0,D f x x f x x .

Rezultcfunciafeste concavpe .

c) 2, ( ) 3 12, ( ) 6 ,D f x x f x x x .

R

R

R


139/148

PRIMITIVE

Primitive. Proprieti.Fie I un interval din R.

Definiia 1.Fie f: I R. Se spune cf admite primitive pe IdacF : I R astfel nct

a) F este derivabilpe I;b) F(x) =f(x), x I.

F se numete primitiva lui f. ( I poate fi i o reuniune finitdisjunctde

intervale).

Teorema 1.1 Fie f : I R. Dac RIFF :, 21 suntdouprimitive ale funciei f, atunci existo constantc Rastfel nct += ,)()(

21 cxx FF xI.

Demonstraie : Dac FF 21, sunt primitive atunci FF 21, sunt

derivabile )()(')(2

'1 xfxx FF == x I

0)(')()()(2

'

1

'

21 == xxx FFFF , x I.

cxx FF = )()( 21 , c= constantOBS 1. Fiind dato primitivF 0 a unei funcii, atunci orice primitivF a

lui f are forma F = 0F + c , c= constant

f admite o infinitate de primitive.OBS 2. Teorema nu mai rmne adevratdacI este o reuniune disjunct

de intervale Expl: f: R- }{0 , f(x) = x

F =3

3x, G=

+

+

23

133

3

x

x

F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constant. Contradicie cu T 1.1

OBS 3. Orice funcie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.Se tie cderivata oricrei funcii are Proprietatea lui Darboux , rezultc f

are Proprietatea lui Darboux. F =f.


140/148

OBS 4. Dac I este interval i f(I) { }Ixxfdef /)( nu este interval

atunci f nu admite primitive.

Dacpresupunem cf admite primitive atunci din OBS 3 rezultcf are Plui Darboux, rezultf(I) este interval ceea ce este o contradicie.

OBS 5. Orice funcie continudefinitpe un interval admite primitive.

Definiia 2. Fie f: I R o funcie care admite primitive.

Mulimea tuturor primitivelor lui f se numete integrala

nedefinita funciei f i se noteazprin simbolul )(xf dx.Operaia de calculare a primitivelor unei funcii(care admite

primitive ) se numete integrare.

Simbolul a fost propus pentru prima dat de Leibniz, n1675.

Fie F(I)= { }RIf : Pe aceastmulime se introduc operaiile:

(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,(f)(x)=.f(x) Rx ,constant

C= { }RfRIf /:

)(xf dx = fluiaprimitivFIFF /)( .

F

P.DP

C


141/148

Teorema 1.2 Dac f,g:I R sunt funcii care admitprimitive i R, 0, atunci funciile f+g, f admitde asemenea primitive i au loc relaiile:(f+g) =f +g, f=f, 0, f =f +C

Formula de integrare prin pri.

Teorema 1.1 Dac f,g:RR sunt funcii derivabile cuderivatele continue, atunci funciile fg, fg, fg admitprimitive i are loc relaia:

f(x)g(x)dx =f(x)g(x)- f(x)g(x)dx

Formula schimbrii de variabil(sau metoda substituiei).

Teorem: Fie I,J intervale din R i:,:,: ileproprietatcufunctiiRJfJI

1) este derivabilpe I;

2) f admite primitive. (Fie F o primitiva sa.)Atunci funcia (f o) admite primitive, iar funcia F o este o

primitiva lui (f o ) adic:

( )( ) ( ) CFodtttf += '

5. Integrarea funciilor trigonometrice

Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosindformula integrrii prin pri, fie metodasubstituiei. n acest cazse pot face substituiile:1. Dacfuncia este imparn sin x,R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t.2. Dacfuncia este imparn cos x,R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t.3. Dacfuncia este parn raport cu ambele variabile R(-sin x,-cosx) atunci tg x=t.


142/148

4. Dac o funcie nu se ncadreaz n cazurile 1,2,3,atunci se

utilizeazsubstituiile universale:

21

1cos,

1

2sin

2

2

2

xtgtunde

t

tx

t

tx =

+

=

+=

5. Se mai pot folosi i alte formule trigonometrice:

sin 2x=2sin x .cos x,

2

2cos1cos

2

2cos1sin 22

xx

xx

+=

=

Integrarea funciilor raionale

Definiie: O funcie f:IR , I interval, se numete raionaldac

R(x)= ,,0)(,)(

)(Ixxg

xg

xf unde f,g sunt funcii polinomiale.

Dacgrad f grad g, atunci se efectueazmprirea lui f la g

f=gq+r, 0 grad r


143/148

5. += Cedxe xx

6. Cxdxx

+= ln1

7. += Cctgxdxx2sin1

8. += Ctgxdxx2cos1

9. += Cxxdx cossin

10. += Cxxdx sincos

11. Ca

xarctg

adx

a+=

+11

22

12. ++

=

Cax

ax

adx

axln

2

1122

13. Cxaxdxax

+++=+

)ln(1 2222

14. ++=

Caxxdxax

22

22ln

1

15. +=

Ca

xdx

xaarcsin

1

22


144/148

16. Cxtgxdx += cosln

17. Cxctgxdx += sinln

18. Caxdxax

x++=

+

22

22

19. Caxdxax

x+=

22

22

20. Cxadxxa

x+=

22

22

21. Caxx

a

ax

x

dxax +++++=+22

22222

ln22

22. Caxxa

axx

dxax ++=22

22222 ln

22

23. ++= Caxa

xax

dxxa arcsin22

22222

24. Cbaxa

dxbax ++=+ ln11

25. Cabaxn

dxbax

nn +

+=

+ 1

))(1(

1

)(

11

26.( )

( ) dxaxxadxaxa

Cax

xax

adx

ax

+

+

=++

+=

+

'

222222

222

222

2222

2

1111

1

)(

1


145/148


146/148

24

Noiunea de primitiv

Definiie: Fie I R interval, f : I R. Se numete primitiv a funciei f pe I, oricefuncie F : I Rderivabil pe I cu proprietatea F '(x) = f (x), x I.Teorem.Orice funcie continuf : IR posed primitive pe I.

Teorem:Fief: IR,I interval ,o funcie care admite primitive pe I.Atunci f areproprietatea lui Darboux.

Consecine:

1.Dac g: IR nu are proprietatea lui Darboux pe intervalul I,atunci g nu admiteprimitive pe I.

2.Fie g : I R.Dac g(I)= }/)({ Ixxg nu este interval atunci g nu admite primitive pe I.

3.Dac g: IR are discontinuiti de prima spe atunci g nu admite primitive pe I.Tabel de integrale nedefinite

Cn

xdxx

nn

1

1

,n N ,x R

Caxx

a

a

11

,a 1, aR ,x ),0(

),0(,ln1

xCxdxx sau x )0,(

RxaaCa

adxa

xx ,1,0,ln

),(,0,ln2

1122

axaCax

ax

aax

sau x ),( aa sau x ),( a

RxaCa

xarctg

adx

ax

,0,11

22

),(,0,arcsin1

22aaxaC

a

xdx

xa

RxaCaxxdxax

,0,)ln(1 22

22

),(,0,ln1 22

22axaCaxxdx

ax

sau x ),( a

RxCxxdx ,cossin

RxCxxdx ,sincos

0cos,cos

12

xCtgxdxx

0sin,sin

12

xCctgxdxx


147/148

Integrala definit

Teorem.Funciile continue pe un interval ba, sunt integrabile pe ba, .Teorem.Funciile monotone pe un interval ba, sunt integrabile pe ba, .Proprietile funciilor integrabile.

a)(Proprietatea de linearitate)Dac f,g Rba ].[: sunt integrabile i R

1) b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

2) b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

b)Dac baxxf ,,0)( i este integrabil pe ba, , atunci 0d)( b

axxf .

c)Dac )()( xgxf pentru orice bax , i dacfigsunt integrabile pe ba, ,atunci

b

a

b

axxgxxf d)(d)(

d)(Proprietatea de aditivitate n raport cu intervalul)

Funcia f : [a, b]Reste integrabil pe [a, b] dac i numai dac, c (a, b) funciile

1 2[ , ] i [ , ]f f a c f f c b sunt integrabile i are loc formula:

.d)(d)(d)( b

a

b

c

c

axxfxxfxxf

e)Dac funciafeste integrabil pe ba, , atunci i f este integrabil pe ba, i

b

a

b

axxfxxf d)(d)( .

Teorem (Formula Leibniz - Newton)

Dac f : [a, b]Reste o funcie integrabil i f admite primitive pe [a, b] atunci pentruorice primitiv F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:

( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a .

Teorema de medie Dac f : [a, b] Reste o funcie continu, atunci exist c[a, b] a.i.

)()(d)( cfabxxfb

a .

Teorema de existen a primitivelor unei funcii continue

Dac g : [a, b]R este o funcie continu,atunci funcia G:[a, b]R,

x

a

baxdttgxG ],[,)()( are proprietile:

1)G este continu pe[a, b] i G(a) = 02)G este derivabil pe [a, b] i ],[),()(' baxxgxG

Reinem: )()(

'

xgdttg

x

a


148/148

Teorem (Formula de integrare prin pri)

Fie f , g : [a, b]Rcu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci are loc formula de

integrare prin pri: ' 'b bb

aa afg dx fg f gdx .

Teorem:Fie f:[-a,a]

R, 0a o funcie continu.Atunci

1)

a

a

a

dxxfdxxf0

,)(2)( dac f este funcie par.

2)

a

a

dxxf 0)( ,dac f este funcie impar.

Teorem:Fie f:RR o funcie continude perioad

T

Ta

a

T

Radxxfdxxf0

,)()(0

Aria unui domeniu din plan

1. Aria mulimiidin plan DR2mrginit de dreptelex= a,x= b, y = 0 i graficulfuncieif: [a, b]Rpozitiv i continu se calculeaz prin formula: ( )A

b

aD f x dx .

2. n cazulf: [a, b]R continui de semn oarecare, avem: | ( ) |Ab

aD f x dx .

3. Aria mulimiidinplan mrginit de dreptelex= a,x= bi graficele funciilor

f ,g: [a, b]R continue este calculat prin formula: | ( ) ( ) |Ab

aD g x f x dx .

Volumul unui corp de rotaieFief: [a, b]Ro funcie continu, atunci corpul C f din

i bi t i ti fi l i l i f G j l i O l l l l t i

ghid+complet+de+bac+matematica

Documents