145939928 culegere matematica bac admitere politehnica timisoara 2011

TESTE GRIL DE MATEMATIC

pentru examenul de bacalaureat i admiterea n nvmntul superior

la

UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

n anul universitar 2011 2012

PREFA Prezenta culegere se adreseaz deopotriv elevilor de liceu, n scopul instruirii lor curente, ct i absolvenilor care doresc s se pregteasc temeinic n vederea examenului de bacalaureat i a concursului de admitere n universiti de prestigiu n care admiterea se face pe baza unor probe la disciplinele de matematic. Coninutul culegerii este adaptat noului curriculum de matematic care prin setul de competene, valori i atitudini pe care le promoveaz asigur premisele pentru o integrare profesional optim prin trasee individuale de nvare i formare. Avnd n vedere diversitatea datorat existenei unui mare numr de manuale alternative, am cutat s unificm diferitele maniere de prezentare prin alegerea unor probleme pe care le considerm indispensabile pentru abordarea cu succes a cursurilor de matematic din ciclul nti de la toate facultile Universitii Politehnicadin Timioara. La alctuirea problemelor s-a avut n vedere o reprezentare corespunztoare att a prii de calcul, ct i a aspectelor de judecat, respectiv, de raionament matematic. Gradul de dificultate al problemelor nefiind cel al unei olimpiade de matematic, acestea vor putea fi abordate de orice elev sau absolvent cu o pregtire medie a prii teoretice i care posed deprinderi de calcul corespunztoare. Problemele sunt prezentate dup modelul test, cu ase rspunsuri fiecare, dintre care unul singur este corect. Contieni de faptul c doar urmrirea rezolvrii unor probleme nu duce la formarea deprinderilor de calcul i a unui raionament matematic riguros, autorii au ales varianta problemelor propuse fr rezolvri. De asemenea, pentru a nu fora n rezolvare obinerea unui rezultat dinainte cunoscut, nu se face precizarea care dintre cele ase rspunsuri este adevrat, aceasta rezultnd n urma unei rezolvri corecte. Totui, pentru unele problemele cu un grad mai mare de dificultate, autorii au considerat necesar s dea indicaii i rezolvri integrale. innd cont de faptul c prezenta carte va fi folosit i la ntocmirea subiectelor pentru concursul de admitere la Universitatea Politehnica din Timioara, invitm absolvenii de liceu s rezolve testele din acest volum, adugndu-i astfel cunotine noi la cele deja existente i implicndu-se prin aceasta n demersul de evaluare a propriilor competene. Departamentul de Matematic al UPT

DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC

PROGRAMA ANALITIC Elemente de algebr Progresii aritmetice i geometrice. Funcii: funcia parte ntreag, funcia radical, funcia de gradul al doilea. Ecuaii iraionale. Sisteme de ecuaii neliniare. Funcia exponenial i funcia logaritmic. Ecuaii exponeniale i ecuaii logaritmice. Permutri, aranjamente, combinri. Binomul lui Newton. Numere complexe sub form algebric i sub form trigonometric. Matrice.Determinani. Sisteme de ecuaii liniare. Legi de compoziie. Grupuri. Inele i corpuri. Inele de polinoame cu coeficieni ntr-un corp comutativ. Elemente de geometrie i trigonometrie

Funcii trigonometrice. Relaii ntre funcii trigonometrice. Ecuaii trigonometrice. Aplicaii trigonometrice n geometria plan: teorema cosinusului, teorema sinusurilor; rezolvarea triunghiurilor. Dreapta n plan. Ecuaii ale dreptei. Condiii de paralelism i condiii de perpendicularitate a dou drepte. Calcule de distane i arii. Ecuaii ale cercului n plan. Elemente de analiz matematic

Limite de iruri. Limite de funcii. Continuitate. Derivabilitate. Aplicaii ale derivatelor n studiul variaiei funciilor. Primitive. Integrala definit. Aplicaii ale integralei definite: aria unei suprafee plane, volumul unui corp de rotaie, calculul unor limite de iruri.

Aceast culegere este recomandat pentru admiterea la urmtoarele faculti ale Universitii Politehnica din

Timioara:

Facultatea de Arhitectur

Facultatea de Automatic i Calculatoare

Facultatea de Electronic i Telecomunicaii

CUPRINS ELEMENTE DE ALGEBR (simbol AL ).....................................................................................................................9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLAN I TRIGONOMETRIE (simbol GT ).................................................................................................................165 ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC (simbol AM )................................................................................................................217 PROBLEME MODEL CU REZOLVRI...............................................................320 BIBLIOGRAFIE..358

ELEMENTE DE ALGEBR

10 Culegere de probleme ELEMENTE DE ALGEBR (simbol AL) AL - 001 Care este cel de-al 10-lea termen al irului 1,3,5,7,...? a) 10 b) 11 c) 15 d) 20 e) 19 f) 17 AL - 002 S se gseasc primul termen a1

( )a n n1

i raia r ai unei progresii aritmetice

dac : a a aa a a

2 6 4

8 7 4

72

+ =

=

.

a) a r1 4 3= =, b) a r1 4 4= =, c) a r1 3 1= =, d) a r1 5 2= =, e) a r1 2 2= =, f) a r1 1 1= =, AL - 003 S se determine suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (an), dac a1=2, a5

S n nn = +5 62

=14. a) 10100 b) 7950 c) 15050 d) 16500 e) 50100 f) 350 AL - 004 Pentru o progresie aritmetic suma primilor n termeni ai ei este . S se determine primul termen a1

a r1 11 9= =,

i raia r. a) b) a r1 11 10= =, c) a r1 11 11= =,

d) a r1 10 11= =, e) a r1 10 10= =, f) a r1 9 9= =, AL - 005 S se determine raia i primul termen ale unei progresii aritmetice pentru

care a S S Sn n n5 21814

= =, , iar unde este suma primilor n termeni ai progresiei.

a) a r1 6 3= =, b) a r1 14 1= =, c) a r1 2 4= =,

d) a r1 2 5= =, e) a r1 852

= =, f) a r1 1 1= =,

Elemente de algebr 11

AL - 006 S se determine xR astfel nct urmtoarele numere: 3 15

x +

, 2 1x + ,

4 1x + s fie n progresie aritmetic, unde [ ] reprezint partea ntreag a lui R .

a) 3

,34

x ; b)

4,3

3x

; c) 4

,33

x ;

d) 3

,34

x

; e) 4

,33

x ; f) x

AL - 007 S se determine xR astfel nct urmtoarele numere s fie n progresie

aritmetic: 3

1x

x +

, 4 1x , 5x

, unde x N .

a) { }1, 2,3x ; b) 5x = c) 1x = d) { }5,6,7,8x e) 0x = f) x AL - 008 S se determine xR astfel nct urmtorul triplet s fie format din numere n progresie geometric 1 , 4, 3 5x x+ +

a) 11

,13

x

b) 11

, 13

x

c) x

d) { }1x e) 113

x

f) 11

1,3

x

AL 009 Fie ( ) 1an n un ir avnd suma primilor n termeni

2S n an bn = + + , unde

,a bR , pentru orice 1n . S se determine a i b astfel nct irul ( ) 1an n s fie progresie aritmetic cu primul termen egal cu 2. a) 2, 3a b= = b) ( ), 1, 2a b R c) 1, 0a b= = d) 2, 0a b= = e) 2, 1a b= = f) 1, 2a b= =

12 Culegere de probleme AL 010 Fie , ,p q p q N . S se determine raia unei progresii aritmetice n care primul termen este 3, iar raportul ntre suma primilor p termeni i suma primilor q

termeni este 2

2p

q.

a) 1 b) 2 c) 6 d) 5 e) 4 f) 3 AL 011 Fie { }0\,...,, 21 Rnaaa termenii unei progresii aritmetice cu raia 0r .

n funcie de na ,1 i r s se calculeze suma: nn

n aaaaaaS

13221

1...11

+++= .

a) ( )naan+11

b) rnaa

n1

21

1++

c) ( )[ ]rnaan

11

11 +

d) ( )nraan

11

1 e) ( )nra

n+1

f) ( )rnan

12

1 ++

AL 012 S se determine numrul termenilor unei progresii aritmetice descresctoare dac simultan sunt ndeplinite condiiile :

(i) Raia satisface ecuaia 2793

232

= xx

(ii) Primul termen satisface ecuaia :

( ) ( ) 3lg75lg1lg2lg +=++ yy

(iii) Suma progresiei este cu 9 mai mic dect exponentul p al binomului p

bb

+

31

3 2 n a crui dezvoltare termenul al patrulea conine pe b la puterea nti.

a) n = 5 b) n = 3 c) n = 6 d) n = 10 e) n = 4 f) n=8

Elemente de algebr 13 AL - 013 S se determine primul termen a1

( )a n n1

i raia q pentru progresia

geometric dac : a aa a

5 1

4 2

156

=

=

.

a) a q1 0 1= =, b) a q1 1 2= =, c) a q1 1612

= =,

d)a

qaq

11

1612

12

=

=

=

=

sau e) a q1 1 1= = , f)aq

aq

1 142

24

=

=

=

=

sau

AL - 014 Suma a trei numere n progresie aritmetic este egal cu 12. Dac se adaug acestora, respectiv numerele 1, 2, 11, progresia devine geometric . S se afle aceste numere. a) 5,4,7 i 15,14,13 b) 1,4,7 i 17,4,-9 c) 6,8,10 d) 1,3,5 i 17,15,13 e) 5,9,13 i 18,14,10 f) 2,4,6 i 1,4,9 AL 015 Trei numere sunt n progresie geometric. Dac se mrete al doilea cu 32, progresia devine aritmetic, iar dac se mrete apoi i al treilea cu 576, progresia devine din nou geometric. Care sunt cele trei numere ? a) 4,20,100 sau 1,-7,49 ; b) 4,100,20 sau -7,1,49 ; c) 100,4,20 sau 1,49,-7 ; d) 2,4,6 sau 6,4,2 ; e) 8,10,12 sau -3,-1,0 ; f) 1,2,3 sau 49,50,51 AL 016 Pot fi numerele 7,8,9 elemente ale unei progresii geometrice ? a) Da n progresie geometric n ordinea 7,8,9 cu o raie q

14 Culegere de probleme

AL 017 S se calculeze 13

1

12k

kk=

. a) 98299; b) 98301; c) 98303; d) 98305; e) 98307; f) 98309 AL 018 S se calculeze suma

cifrennS

++++= 1...11...111111 .

a) [ ]nn 91010811

b) [ ]nn 91010811 1 c) [ ]nn 91010

811 1 +

d) [ ]nn 9101091

e) [ ]nn 9101091 1 f) [ ]nn 91010

91 1 +

AL 019 Fie nN , n 3 i a1, a2 ,,an

nkak ,1,0 =>

primii n termeni ai unei progresii geometrice cu

. Dac ==

==n

k k

n

kk a

SaS1

21

11, i p= a1 a2 an

n

SSp

=

2

1

, atunci :

a) b) n

SSp

=

1

2 c) n

SSp

=

2

1

d) nSSp

2

2

1

= e) nn SSp 21 = f)

21

21

SSSSp +=

Elemente de algebr 15 AL 020 Fie ( )nna i ( )nnb dou progresii astfel nct prima s fie aritmetic i cea de a doua geometric, iar a1 = b1 = 3 i a 3 = b3 . S se determine aceste progresii dac a2 = b2 + 6 . a) an = 12n 9, an =12n + 9 b) an = 12n 9 an = 12n 6 bn = 3n sau bn = 3n bn = 3n sau bn = 3n c) an = 12n 9 an = 3 d) an = 12n - 9 an = 3 bn = 3n sau bn = 3(-1) n-1 bn = 3n sau bn = 3(-1) n e) an = 12n + 9 an = 12n 9 f) an = 12n + 9 an = 12n 9 bn = 3(-1)n 1 sau bn = 3(-1)n bn = 3(-1) n sau bn = 3

naaa ,...,, 21

n AL 021 Fie un ir de numere reale n progresie geometric i pN*

pn

pn

ppppn aaaaaaS

+++

++

+=

+12312

1...11

. S se calculeze suma

.

a) ( )11

21

= npp

np

n qaqS b) ( )1

12

1

= ppnp

n qaqS c) ( ) ( )1

121

1

= ppnpnp

n qqaqS

d) ( ) ( )

( )112

1

1

=

pp

pnnp

n qaqqS e)

( )

( )111

+=

pp

pn

n qaqS f) ( ) ( )1

11

1 += ppnpn qqa

S

AL 022 S se calculeze expresia

{ }1\,...1...1

2242

12

++++++++

=

RaaaaaaaE n

n

.

a) a1

b) 11

+

aan

c) 11++

naa


d) 1+na

a e)

11

2 ++

n

n

aa

f) 1

AL 023 S se decid dac este progresie geometric un ir pentru care suma primilor si n termeni este 12 += nSn ; n caz afirmativ precizai raia q a acesteia.

a) 23

=q b) 32

=q c) 2=q

d) 3=q e) irul nu este progresie geometric f) 6=q AL 024 S se determine numerele reale x,y,z dac x,y,z sunt n progresie aritmetic cu raia nenul, x,z,y sunt n progresie geometric i x+y+z = 18. a) - 24, 6, 12 b) 24, 6, -12 c) 6, 12, 0 d) -12, 12, 18 e) 12, -6, 36 f) 36, -18, 0 AL 025 S se determine numerele reale a cu proprietatea

3

15a21

a

=+

, i s se precizeze intervalul n care se afl soluia.

a)

,1

53

b)

54

,51

c)

54

,51

d)

53

,51

e)

52

0, f) [ )1, AL - 026 S se determine numrul natural

6

1

1002kk

N=

= ,

unde [] noteaz partea ntreag a numrului raional scris n interior.

Elemente de algebr 17 a) 70 b) 83 c) 57 d) 91 e) 97 f) 78 AL - 027 Dac [] reprezint partea ntreag a lui R, s se rezolve ecuaia :

2

1x3

1x =

+

precizndu-se n care din urmtoarele intervale se afl soluia a) (2,7) (9,15) b) (-5,-3) (1,3 ] [5,7)

c) (-3,2) [3,4 ) (6,14) d)

23

,1 (2,4) [5,7)

e) (-1,1] [2,3) (5,8) f) [0,2] [4,7] (9,+) AL - 028 S se rezolve ecuaia [ ] [ ] 02x3x5 2 =+ a) [ )21,x b) ( )21,x c) ( )0,1x d) ( ]1,0x e) x f) [ ),22x

AL - 029 Mulimea soluiilor ecuaiei: 5

715x86x5

=+

, unde [x] reprezint partea

ntreag a lui x, este

a)

54

, b)

43

, c)

54

,157

,

d)

157

, e)

43

,21

, f)

54

,21

AL - 030 Notnd cu S mulimea soluiilor ecuaiei

[ ]xx11

=

s se precizeze care din urmtoarele mulimi este S


a) n,

n1 Z*

b)

+

Zk k1

kk, c) { n;n2 Z \ { } }1,1

d) {-1,1} e) [-1,1] f) (-1,1)

AL 031 Se consider funcia f: RR, 12

2f +

=

x)x(

i se noteaz f2=f f, , fn = fn-1 f . S se determine expresia lui fn a) fn(x) =f(x) + n; b) fn(x) =2nf(x); c) fn(x) =2n f(x)+2n-1+1 d) fn(x) =f(x); e) fn(x) =f(x)+2n+1; f) fn

=

23

32 xx

(x) = 2f(x)+1

AL - 032 Fie ecuaia . Stabilii care dintre afirmaiile de mai jos

este adevrat a) ecuaia are dou soluii b) ecuaia are trei soluii c) ecuaia are o singur soluie d) ecuaia are o infinitate de soluii e) ecuaia nu are nici o soluie f) ecuaia are numai soluii negative

AL - 033 Se d ecuaia { }2 1 2 1

, \ 02 5

m x xm

+=

Z , unde [ ]x este partea

ntreag a numrului real x. S se determine mZ pentru care ecuaia are soluii i apoi s se determine aceste soluii: a) 1m = b) 2m = c) 1m =

1 21; 2x x= = 1 219

7;2

x x= = 1 219

7;2

x x= =

3 419

7;2

x x= = 3 429

11;2

x x= = 3 429

12;2

x x= =

d) 1m = e) 1m = f) 3m =

1 219

2;2

x x= = 1 219

7;2

x x= = 1 219

7;2

x x= =


3 429

; 114

x x= = 3 419

8;2

x x= = 3 429

11;2

x x= =

AL - 034 S se calculeze ])4,1((f pentru funcia de gradul al doilea definit prin 34)( 2 += xxxf . a) ]3,0[ b) )0,1[ c) ]3,0( d) ]3,1[ e) )0,1( f) (0,3) AL - 035 Dac funciile f,g :RR au proprietile: i) f(g(x)) = x2ii) g(f(2)) = 2

-3x+4, ()xR ;

s se determine cel puin o soluie real a ecuaiei f(x) = g(x) a) x =1 b) x = 2 c) x = 2 d) x = 2 e) x = 4 f) x = 3

AL 036 S se rezolve inecuaia ( )

32

22

12 1x x x

++

.

a) ( )x , 1 b) ( ) ( )2,132,01,

x c) [ ] ( )

,32,1

32,0x

d) ( )x 1 2, (3, ) e) { }x R \ ,1 2 f) ( ) ( )x

, , ,2 0 2

31 2

AL - 037 S se determine mulimea valorilor lui m R , astfel nct

{ } { } =++=+ 014)4(0223 22 xmxxmxxx RR . a) )5,( b) { }3,7 c) R d) { }5,19 e) { }8,17 f) { }1 AL - 038 S se rezolve inecuaia xxx < 2 .

20 Culegere de probleme a) Rx b) )2,(x (3,) c) ),3( +x d) ),0( +x ( , 2) e) ),2()0,( +x f) }2,0{\Rx AL - 039 S se determine valorile parametrului real m astfel nct ( ) ( ){ }x m x m x m + + + > = R : 1 1 1 02 . a) ( )m +

, ,1 53

b) [ )m +1, c) ( ]m , 1

d) m +

53

, e) m

1 5

3, f) ( ]m ,1

AL - 040 S se afle minimul expresiei babaE 332 22 ++= pentru Rba, .

a) 49

b) 1 c) 0 d) 827

e) 1 f) 3

AL - 041 Se consider funcia RR :f , 4)( 2 ++= mmxxxf , m R. S se exprime n funcie de 4>m , expresia )()( 1221 mxfxmxfxE += , unde 21 , xx sunt rdcinile ecuaiei 0)( =xf . a) m1 b) 12 +m c) )4(4 mm

d) )1(4 2 m e) )4( mm f) 22 +m AL - 042 S se determine m R , astfel ca rdcinile x1 i x2

( )x m x m2 2 3 1 0 + = ale ecuaiei

s satisfac relaia 3 5 2 01 1 2 2x x x x + = .

a) m m1 22 3= =, b) m m1 21 1= = , c) m1 2 2 7, =

d) m1 2 2 5, = e) m1 2 5, = f) m m1 22 2= = ,

Elemente de algebr 21 AL - 043 Fie ecuaia 0222 22 =+ mmmxx , unde m R. Care este mulimea valorilor pe care le pot lua rdcinile reale 1x , 2x cnd m variaz ? a) ]2,2[ b) ]21,21[ + c) ]32,32[ + d) ]1,1[ e) ]31,31[ + f) ]3,3[ AL - 044 Fie ecuaia 2x2-2(m+2)x+m2+4m+3=0, mR. Dac ecuaia are rdcinile reale x1(m), x2

)()( 21 mxmxE +=(m), precizai valoarea maxim a expresiei

. a) 3; b) 4; c) 2; d) 2 ; e) 3 ; f) 1. AL - 045 Fiind dat ecuaia ax2

32

313 xxS +=

+bx+c=0, (a 0), s se exprime n funcie de a, b i c suma , unde x1,x2

23

3

3 3 abc

ab

S =

sunt rdcinile ecuaiei date.

a) b) 233

3 3 abc

acS = c) 32

2

3 3 abc

abS =

d) 233

3 3 abc

abS += e) 23

3

3 3 abc

acS += f) 32

2

3 3 abc

abS +=

AL - 046 Se consider ecuaiile 01272 =+ xx i 032 =+ mxx . S se afle m pentru ca ecuaiile s aib o rdcin comun. a) { }0,4m , b) { }0,1m c) { }1,4m d) { }2,1m e) { }3,2m f) { }1,0m AL - 047 S se determine parametrii reali m i n astfel ca ecuaiile ( ) ( ) 044525 2 =++ xmxm i ( ) 020512 2 =++ nxxn

22 Culegere de probleme s aib aceleai rdcini. a) m = -11, n = 7; b) m = - 7, n = 11 c) m = 9, n = 7 d) m = 11, n = 7 e) m = 7, n = 11 f) m = 9, n = -7 AL - 048 Fie ecuaia ( ) 01123 2 =++++ mxmmx , Rm , ale crei rdcini sunt x1 i x2

2121 xxxx =+

. S se determine o relaie independent de m ntre rdcinile ecuaiei. a) b) 21

22

21 2 xxxx =+ c) 21

22

21 2 xxxx =

d) 31

2121 =++ xxxx e) 03 2122

21 =+ xxxx f) 021

22

21 =++ xxxx

AL - 049 Se consider ecuaiile 0''',0 22 =++=++ cxbxacbxax 0',0 aa cu rdcinile 21, xx i respectiv ',' 21 xx . Dac ntre coeficienii celor dou ecuaii exist relaia 0'2'' =+ bbcaac , atunci care din urmtoarele relaii este verificat de rdcinile celor dou ecuaii?

a) ( )( ) 0''2'' 21212121 =+++ xxxxxxxx b) '1

'111

2121 xxxx+=+

c) '''' 22112211 xxxxxxxx +++=+ d) '2'2 1221 xxxx +=

e) '' 2121 xxxx = f) '1

'1

212121 xx

xxxx +=++

AL - 050 S se rezolve ecuaia iraional 11 2 =+ xx . a) 1,0 21 == xx b) 1,1 21 == xx c) 0,1 21 == xx d) 2,1 21 == xx e) 2,1 21 == xx f) 2,0 21 == xx

Elemente de algebr 23 AL - 051 Determinai toate valorile lui Zx pentru care are loc inegalitatea

07113

24 Culegere de probleme ( ) { }2,52max = xxxf

s fie bijecie. a) += RE b) [ ]0,=E c) R=E d) [ ]1,0=E e) ( ]3,=E f) [ )= ,1E AL - 056 Fie funcia de gradul al doilea ( ) ( ) 1122 += mxmmxxfm , ( )0m . S se determine m astfel nct vrful parabolei asociate acestei funcii s se gseasc pe prima bisectoare.

a) 41

=m b) 4=m c) 21

=m d) m = 2 e) 61

=m f) 6=m

AL - 057 Determinai valorile parametrului real m astfel nct dreapta de ecuaie

xy =+1 s taie parabola de ecuaie ( ) 25 22 +++= mxmmxy n punctele (1,0) i (4,3). a) 3,1 21 == mm b) 3,3 21 == mm c) 3=m d) 1=m e) 21=m f) 3=m AL - 058 Fie familia de funcii de gradul al doilea ( ) ( ) R+= mmxmxxfm ,2122 S se arate c vrfurile parabolelor asociate acestor funcii se gsesc pe o parabol a crei ecuaii se cere. a) 2xy = b) 12 ++= xxy c) 12 += xxy d) 12 += xxy e) 32 2 += xxy f) 12 += xy AL - 059 Determinai expresia analitic a funciei de gradul al doilea RR :f ,

Elemente de algebr 25 ( ) cxaxxf ++= 42 , tiind c graficul ei taie axa Oy n punctul 1 i are abscisa

vrfului 32

.

a) ( ) 142 2 ++= xxxf b) ( ) 143 2 += xxxf c) ( ) 144 2 ++= xxxf d) ( ) 143 2 ++= xxxf e) ( ) 142 ++= xxxf f) ( ) 343 2 ++= xxxf AL - 060 S se determine Rm astfel nct parabolele asociate funciilor ( ) 422 = xxxf i ( ) 622 = mxmxxg s aib acelai vrf.

a) m = -1 b) m = 1 c) m = -2 d) m = 2 e) m = 3 f) m = -5 AL - 061 Fiind dat familia de parabole ( ) ( ) 2122 +++= mxmmxxfm ,

*Rm s se determine valorile lui m pentru care obinem parabole ale cror puncte de intersecie cu axa Ox sunt simetrice fa de origine. a) { }1Rm b) 2=m c) 1=m

d) 1=m e) { }2,1,1m f) 3=m AL - 062 S se determine Rqp, dac funcia RR :f , ( ) qpxxxf ++= 2 are maximul 4 n punctul x = -1. a) 3,2 == qp b) 2,1 == qp c) 2,3 == qp d) 2== qp e) 1== qp f) 3,2 == qp AL - 063 Presupunem c pentru ecuaia 02 =++ cbxax ( )0a avem 0> i rdcinile 21, xx . S se calculeze 21 xx n funcie de i a.


a) a2

b) a

c) a2

d) e) a

f) aa

b22

+

AL - 064 Dac 1 2,x x sunt rdcinile ecuaiei

2 1 0x x + = , atunci ecuaia care are rdcinile 1 1x + i 2 1x + este echivalent cu:

a) 2 1 0y y + = ; b) 2 2 0y y + = c) 2 2 2 0y y + = d) 2 3 1 0y y + = e) 2 3 2 0y y + = f) 2 3 3 0y y + = AL - 065 Fie o funcie RR :f , astfel nct ( ) 51 =f i R yx, , ( ) ( ) 22yKxyxfyxf +=+ , unde K este o constant.

S se determine valoarea lui K i funcia f.

a) ( ) 32;4 +== xxfK b) ( ) 42,3 2 +== xxxfK c) ( ) 4;3 +== xxfK d) ( ) 632;1 2 +== xxxfK e) ( ) 32;4 2 +== xxfK f) ( )522;2 2 +== xxxfK

AL - 066 Fie aR i funcia ( ) 2: , 2 3f f x x ax = +R R . Dac rdcinile 1 2,x x ale ecuaiei ( ) 0f x = satisfac relaia ( )1 2 1 23 4x x x x+ = , mulimea soluiilor inecuaiei ( ) ( )2 1f x f x+ < este: a) (-1, 0); b) (-1, 1); c) (-1, 2); d) (0, 1); e) (0, 2); f) (-2, 2).

Elemente de algebr 27 AL - 067 Care sunt valorile k reale pentru care inecuaia ( )x k x k2 3 6 0 + < nu are soluii ? a) ( )k 5 0, b) [ )k 1 5, c) [ ]k 3 5, d) [ ]k 3 8, e) [ ] ( )k 2 3 4 7, , f) [ ) ( )k 1 2 4 5, , AL - 068 Pentru ce valori ale parametrului real m inegalitile

< + +


( )x m x mx x m

2

2

1 20

+ + + +

+ +> pentru orice x R .

a) { }m +1 2 2 1 2 2, b) [ )m + +, ,1

41 2 2

c) ( ) ( )m +, ,1 4 d) ( ) ( )m + +, ,1 2 1 2 e) ( )m +1 2 2 1 2 2, f) m +

14

1 2 2,

AL - 072 S se afle cea mai mic valoare a funciei f : R R ,

( )f x x x m m m= + + +2 2 22 1 1 , cnd parametrul real m parcurge toate valorile posibile.

a) 1 b) 0 c) 1 d) 12

e) 18

f) 14

AL - 073 S se determine distana celui mai apropiat vrf al parabolelor 4)( 2 ++= mmxxxf , Rm de axa .Ox a) 0 b) 2 c) 2 d) 3 e) 4 f) 1 AL - 074 S se determine mR * astfel nct ( ) ( )4 4 1 2 3 1 02mx m x m+ + > pentru orice x > 1. a) ( )m ,0 b) ( )m +0, c) ( ]m 1 4, d) ( ]m 0 1, e) [ )m +2, f) ( ) { }m 11 0, \ AL - 075 Pentru ce valori ale lui m , mulimea A ( ) ( ){ } [ ]= + + = x m x m x mR 1 2 1 0 112 , are un singur element ?


a) mR b) ( )m +1, c) m

, 34

d) [ ]m 2 1, e) m +

14

13

, f) m

, 14

AL - 076 Fie ecuaia 01)(2)1(2 =++ ammaxmx , unde 1a i m sunt parametri reali. Pentru ce valori ale lui a, ecuaia admite rdcini reale oricare ar fi valoarea parametrului m ?

a)

45,a b) Ra c) )1,1(a d) )1,0(a e) ),0[ +a f) ),1( +a

AL - 077 Se consider ecuaia mx x m2 7 0 + = . Cruia din intervalele indicate mai jos trebuie s aparin parametrul real m, astfel ca ecuaia dat s aib o singur rdcin cuprins n intervalul [ ]2 4, ?

a) ( ] , 1 b) ( )2,+ c) 0 12,

d)

12

0, e) 1117

95

,

f) 0 9

5,

AL - 078 S se determine valorile parametrului { }mR \ 0 astfel nct ecuaia

( )mx m x2 1 1 0 = s aib ambele rdcini n intervalul ( ] ,3 .

a) ( )m

+, ,1

50 b) ( ] { }m 11 0, \ c) m

+

, ,15

15

d) ( ) [ )m +, ,0 2 e) m

13

15

, f) ( )m

+, ,1

30

AL - 079 S se determine Im ( ){ }R= xxff pentru funcia RR :f ,

( )123

2

2

+++

=xxxxxf

a)

+3

2129,3

2129 b)

+ ,3

2129


c)

32129, d)

+

,

32129

32129,

e)

+

,

32139

32139, f)

+3

2139,3

2139

AL - 080 Rezolvai n R inecuaia 1 3 2 02 + >x x x .

a) ( ]x 1 3, b) ( )x 1 3, c) ( )x 2 4, d) ( ) ( )x 0 2 3 4, , e) [ ]x 2 4, f) ( ]x 1 4,

AL - 081 S se rezolve n R ecuaia x x2 21 4 1 0 + = .

a) ( )x 2 1, b) xR c) [ )x +2, d) x e) ( ]x , 2 f) { }xR \ ,1 4 AL - 082 Precizai care este mulimea soluiilor sistemului

3 2 160

3 2 8

2

2 2

y xyy xy x

=

=

.

a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8 2 8 2 17 5 17 5, ; , ; , ; , b) ( ) ( )2 8 2 8 172 5172

5, ; , ; , ; ,

c) ( ) ( )

2 8 2 8 172

52

172

52

, ; , ; , ; , d) ( ) ( )2 8 2 8 17 52

17 52

, ; , ; , ; ,

e) ( ) ( )1 4 1 4 172

5 172

5, ; , ; , ; ,

f) ( ) ( )

1 4 1 4 172

5 172

5, ; , ; , ; ,

AL - 083 S se rezolve sistemul

==+

23

xyyx

a) ( ) ( ){ }1,3,3,1 b) ( ) ( ){ }2,3,3,2 c) ( ) ( ){ }1,2,2,1

Elemente de algebr 31 d) ( ) ( ){ }1,2,2,1 e) ( ){ }1,1 f) ( ){ }2,2 AL - 084 S se determine soluiile reale ale sistemului

=++

=+

++

534

11xyyxx

yy

x

a) ( ) ( ){ }2,1,1,2 , b) ( ){ }1,1 c) ( ){ }2,2 d) ( ) ( ){ }2,3,3,2 e) ( ) ( ){ }1,3,3,1 f) ( ) ( ){ }1,1,2,2 AL - 085 n care din urmtoarele mulimi se afl soluiile sistemului

=++

=++

13

9122

xyyx

xyyx

a) [ ] { }[ ] ( )1,1,10,5

8,7,2,0

22

11

yxyx

b) ( ] [ ]

]{ [ ]3,0,9,8,79,7,3,1

22

11

yxyx

c) ( ) ( ){ } ( )2175

7032

22

11

,y,,x,y,,x

d)

( ) ( ]{ } { }3,1,0,7,5,3

0,,,2

22

11

yxyx

e) [ ] [ )( ) ( )6,3,6,3

5,3,2,7

22

11

yxyx

f) ( ) ( )( ) ( )5,1,9,7

9,7,5,1

22

11

yxyx

AL - 086 Fie ( ){ }, 1, 2,...,k kx y k n= mulimea soluiilor reale ale sistemului


2 2

2 2

8

6 .

x y x y

x y xy

+ + + =

+ =

S se calculeze 1

n

kk

x= .

a) 3 2 2 ; b) 0; c) 1; d) 3 2 2+ ; e) 2; f) 2 2+ AL - 087 S se determine soluiile sistemului

=

=

2542

xyx

a) ( )

( )5,2;51,2

51,2;5,2

b) ( ) ( )

51,2;

51,2

5,2;5,2

c) 5;2

=

=

yx

este singura soluie d)

51

2

=

=

y

x este singura soluie

e)

51

4

=

=

x

xeste singura soluie f)

5

2

=

=

y

x

AL - 088 Fie ( ) R

=++=+

mmzyx

zyxS ,:

22

. Fie


( ){ SmA R= admite o soluie real unic, notat cu }

~~~ ,, mmm zyx ,

=AmmS1 i

++=

Ammmm zyxS

2~2~2~

2 . Atunci

a) 43;0 21 == SS b) 25;2

121 == SS c) 4

3;21

21 == SS

d) 43;

21

21 == SS e) 14;5 21 == SS f) 25;5 21 = SS

AL - 089 n care din urmtoarele mulimi se afl soluiile reale ale sistemului

x yx x y y

6 3

4 2 2

98

49

=

+ + =

?

a) ( ) { }x y 11 1 0 1, ; , , b) ( ) ( )x y 3 3 3 3, ; , c) ( ) ( ) [ ]x y + , , ; ,3 3 2 3 3 d) ( ) ( )x y +, ; ,7 7

e) ( )x y

12

12

11, ; , f) x y

22

22

12

12

, ; ,

AL 090 S se determine toate tripletele de numere reale (x, y, z) care verific sistemul neliniar x2 y = 0, y2 xz = 0 , z2

e) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,8) ; f) (1,1,4) ; (1,1,1); (1,1,1); (1,1,1)

16y = 0 a) (0,0,0) ; (2,4,4) ; (2,4,8); b) (0,0,0); (2,4,8); (2,4,8) c) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,8) ; d) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,8)

34 Culegere de probleme AL 091 S se determine condiiile pe care trebuie s le verifice parametri reali a,b astfel nct sistemul

( )( )

+=+

=

yxbyxyxayx

33

33

s aib toate soluiile reale

a) a,bR b) a,bR+ c) a,bR+ a2

=++

=++

=++

3614

6

333

222

zyxzyx

zyx

= 3b a 3b, b 3a a 2b, b 2a d) a,bR e) a,bR f) a,bR+ a = b

AL 092 Fiind dat sistemul

s se precizeze numrul soluiilor reale i intervalele n care se afl aceste soluii a) n = 3 b) n = 6 (x,y,z) [1,5] [1,5] [1,5] (x,y,z) [0,4] [0,4] [0,4] c) n = 1 d) n = 6 (x,y,z) [3,7][3,7][3,7] (x,y,z) [2,9] [2,9] [2,9] e) n = 3 f) n = 2 (x,y,z) [0,1] [0,1] [0,1] (x,y,z) [1,2] [1,2] [1,2] AL 093 S se determine n care din intervalele de mai jos se afl soluiile sistemului

62332

222 zyxzx

zxyz

yzxy

xy ++=

+=

+=

+

a)

23,1,

21,0,

21,0 zyx b)

1,

23,

22,0,1,

22 zyx

c)

22,0,1,

21,

23,

21 zyx d) ( ) ( ) ( )3,2,2,1,1,0 zyx


e) ( ) ( )1,0,23,0,2,1

zyx f) ( )2,1,

23,1,

43,0

zyx

AL - 094 S se determine valorile parametrului real a astfel nct sistemul

x y z

x y z a a

2 2

2

2

2 3 132

+ =

+ = +

s aib o soluie unic real.

a) ( )a , 2 b) a +

3 352

3 352

, c) { }a 1 2,

d) ( )a 1 2, e) { }a 4 1, f) ( )a 4 1, AL - 095 S se determine mR astfel nct x y x y m2 2 4 4 0+ + > pentru orice x y, R .

a) 7=m b) ( )1,m c) 3< xx .

a) ( )m 0 6, b) [ ]m 0 6, c) mR

d) ( )m +0, e) ( )0,m f) { } ( )m 1 0 5,

36 Culegere de probleme AL - 098 S se determine parametrul { }mZ \ 2 , astfel ca rdcinile 1x i 2x ale ecuaiei 015)2( 2 =++ mxxm s satisfac condiiile: )2,(1 x , )5,3(2 x . a) m= 1 b) 3=m c) 4=m d) 5=m e) 3=m f) 2=m AL - 099 S se afle mulimea valorilor funciei f definit prin formula

1

2)(2

2

+

+=

x

xxf .

a) )0,( b) ( )+,0 c) [ ]1,1 d) [ )+,2 e) ( )2,2 f) }1{

AL - 100 Fie ( )1

32

2

+++

=x

nmxxxf,:f RR . S se determine m n, R

astfel nct ( ) [ ]f R = 3 5, .

a) { }m n

2 3 52

72

; , b) { } { }m n 4 3 1; c) { } { }m n 2 3 1; d) [ ]m n =2 3 2 3 0, ; e) [ ] [ ]m n 3 5 11, ; , f) { }m n = 3 2 1;

AL - 101 Fie funcia ( )1

12

2

+++

=x

axxxf,:f RR . S se determine mulimea

( ) [ ]{ }0, 2A a f= =R R . a) A = ; b) { }1,1A = ; c) [ ]1,1A = ; d) { }2, 2A = e) [ ]2, 2A = ; f) [ ]0, 2A =

Elemente de algebr 37 AL - 102 Fie ecuaia ( )x x mx x2 1 = + . S se determine valorile parametrului real m astfel nct aceast ecuaie s aib trei rdcini reale diferite. a) mR b) )1,1(m c) m d) ( ]m ,1 e) { }m R \ ,11 f) { }mR \ 1

AL - 103 Fie ( ) ( )( ) { }f I f x

m x x

m xm: , , \ =

+

+R R R

1 4

10

2 2

2. S se

determine m astfel nct I s fie un interval mrginit de lungime minim. a) m= 0 b) m= 2 c) m= 2 d) m= 1 e) m= 2 f) m= 4 AL - 104 Numerele a b c, , R satisfac egalitatea 2 32 2 2a b c+ + = . S se determine valoarea minim pe care o poate lua expresia a b c +2 .

a) 33 b) 332

c) 332

d) 10 e) 12

f) 10

AL - 105 S se rezolve inecuaia 2 3 5 4 0+ + + 14 2 . Care din intervalele de mai jos reprezint mulimea soluiilor inecuaiei ?


a) ( )3, b)

20,

217 c) ( ]2,2 d) ( )+,22 e) [ )5,4 f) 1 7

22

,

AL - 108 S se determine mulimea A = +

x x x xR 2 5 6 3 .

a) ( ] , 1 b)[ )2,+ c)[ )1,+ d) ( ] { } ,1 3 e)[ ) { }1 2 3, f)[ )3,+

AL - 109 S se rezolve n R ecuaia 11

22 =

+

xxx .

a) 21=x b) 12 =x c) 1222121 =x

d) 1222

21

=x e) 122

21

=x f)

= 12221

21x

AL - 110 S se determine domeniul maxim de definiie D , al funciei

f D: R R , unde ( )f x x x nnn nn= + + + +1 1 11 1 , N .

a) D { }= 0 pentru n k= 2 b) D ( ]= ,1 pentru n k= 2 D [ )= +1, pentru n k= +2 1 D = R pentru n k= +2 1

c) D [ )= +0, pentru n k= 2 d) D { }= 1 pentru n k= 2 D { }= 0 1, pentru n k= +2 1 D { }= 0 1, pentru n k= +2 1

e) D [ )= +1, pentru n k= 2 f) D [ )= +1, pentru n k= 2 D [ )= +1, pentru n k= +2 1 D { }= 0 pentru n k= +2 1

AL - 111 Se consider ecuaia: 2 1 1 2 4x x x+ + = + . n care din mulimile indicate mai jos , ecuaia are o singur rdcin real ?

a) ( ) , 4 b)

12

15

, c) ( )8,+ d) ( ) [ )1 2 3, , + e) ( ) 2 1, f)

4 12

,

Elemente de algebr 39 AL - 112 Precizai care este mulimea soluiilor inecuaiei 15 5 13 2 2+ x x .

a) A=

10949

2, b) A=

2 13

2, c) A=

3 109

49,

d) A=

3 13

2, e) A [ ]= 3 2, f) A=

10249

2,

AL - 113 S se afle pentru ce valori ale parametrului Rm , ecuaia 4848 ++=++ mxxmx are soluii reale.

a) Rm b) ( )0,m c) [ ] { }0\1,1m

d)

21,0m e)

+ ,

21m f)

21,m

AL - 114 Precizai mulimea A creia i aparin valorile reale ale lui x pentru care are

loc egalitatea ( ) = x xxxx x8 33 1 5 2 . a)A ( )= 0 1, b)A ( )= 1 2, c)A [ )= 2 3, d)A ( )= 2 3, e)A ( )2 7, f)A [ )= +3, AL - 115 S se calculeze valoarea expresiei

E = +

+

+

a b ab aba a b b

a b ab ab aba a b b ab

3 3 3 32 2 pentru a = +2 3 i b = 2 3 .

a) E= 4 b) E= 4 c) E 2= d) E 2= e) E 1= f) E 1= AL - 116 S se precizeze valoarea numrului real

5262841362652628413626 +++++=E


a) 6=E b) 32

=E c) 2

13=E d) 4=E e)

25

=E f) 1=E

AL - 117 S se determine valoarea expresiei

33 2142021420 ++=E a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 f) 0 AL - 118 S se determine valoarea expresiei

( )

( )Z

=

n,Enn

nn

31

21

21

1

271927

99

a) 6 72 b) 132 n c) 32 d) 23

32+

n

e) 1 f) 2 AL - 119 S se simplifice fracia:

( ) ( ) ( )222

333 3zxzyyx

xyzzyxF++

++=

a) zyxF += b) zyxF ++= c) 2

zyxF ++=

d) 1+++= zyxF e) 2

3+++=

zyxF f) 2

1+++=

zyxF

AL - 120 Care este mulimea valorilor reale ale lui x pentru care avem

)2(2)2(1)2(1 xxxxx =+ ? a) { }x 0 1, b) { }x 3 4, c) [ ]x 0 1, d) [ ]x 1 2, e) [ ]x 2 3, f) [ ]x 0 2,

Elemente de algebr 41 AL - 121 Pentru yx s se determine valoarea expresiei

( )( ) ( )3 233 53 233 323 5

3322

yxyyyxyxx

yxyxE ++

+=

a) 1 b) yx + c) yx d) 32

x e) 31

31

yx + f) 32

y

AL - 122 S se rezolve ecuaia 1 1 02 22

2xa x a

x = , cu a a >R , 0 ,

dat, n mulimea numerelor reale.

a) { }x a a , b) [ ] { }x a a , \ 0 c) [ ) { }x a +, \ 0

d) { } ( ]x a a 0, e) ( )x +0, f) { } [ )x a a +, AL - 123 Fie ecuaia ( )x m x m m2 1 1 0 + = , R . S se determine m astfel nct x x x x1 23 1 23 9 3+ + = .

a) { }m 1 3, b) { }m 5 8, c) { }m 1 6, d) { }m 3 8, e) { }m 2 9, f) { }m 2 9,

AL - 124 S se rezolve ecuaia ( ) ( )x x xn n n+ + = 1 1 52

12 2 2 .

a) xn

n= +

5 15 1

b) xn

n=

+

2 12 1

c) xn

n= +

2 12 1

d) xn

n=

+

5 15 1

e) xn n

n n= +

5 25 2

f) xn n

n n=

+

5 25 2

AL - 125 Fie ( ) 2 1,f x x mx= + ( ) 2 2 1x x mxg = ++ i ( ) 22 2.x x mxh = ++ S se determine parametrul mR astfel ca toate rdcinile ecuaiei: ( ) ( ) ( )3 3 3f x g x f x+ =

42 Culegere de probleme s fie reale. a) mR ; b) ( ] [ ), 1 1,m ; c) ( ] [ ), 2 2,m d) ( ] [ ), 3 3,m e) ( ] [ ), 4 4,m ; f) m AL - 126 S se determine toate soluiile reale ale ecuaiei

x x x x+ + + =3 4 1 8 6 1 1.

a) { }x 2 5 10, , b) [ ]x 5 10, c) { }10,5x d) [ ]x 1 5, e) ( )x +5, f) ( )x 5 10, AL - 127 S se determine numrul rdcinilor reale ale ecuaiei

032 3 22 =+ xx . a) o rdcin real b) dou rdcini reale c) trei rdcini reale d) nici o rdcin real e) patru rdcini reale f) ase rdcini reale AL - 128 S se determine toate soluiile reale ale ecuaiei

x xx

22

1 1 1 0 + = .

a) { }x 11, b) { }x 2 11, , c) x d) { }xR \ 0 e) ( ] { }x , 1 1 f) { }x 11 0, ,

AL - 129 S se calculeze valoarea expresiei E= + + x x x x2 1 2 1 , pentru [ ]x 1 2, . a) E= +1 x b) E= +x x2 3 4 c) E= 2 d) E= 3 2x x e) E= 6 2 2x x f) E ( )= 2 2 x AL - 130 S se determine valorile lui Rm pentru care ecuaia


mx x mx x x2 21 1 + + + + = are soluii n R i s se determine aceste soluii.

a) [ ]7,5;41

= xm b) [ )m x

+12

18

2, ; , c)

+

+= ,

271;

41 xm

d) [ )m x= +14 2; , e) { }m x

14

14

2 3, ; , f) { }m x= 23

4 6; ,

AL - 131 Fiind date funciile [ ] [ ]1,11,1:, gf definite prin

( ) [ ]( ]

=1,0,

0,1,2

xxxx

xf i ( )[ ]( ]

=

1,0,0,1,

2 xxxx

xg

s se determine funcia h g f= . a) fh = b) gh = c) 2fh =

d) 2gh = e) fgh = f) ( ) [ ]( ]

=

1,0,0,1,

4

2

xxxx

xh

AL - 132 Fie RR :, gf

( )

++

=0dac,7

0dac,12

xxxx

xg

Atunci ( )( )xgf este :

a) ( )( )

( ]( ]( ]( )

++

+

=

,51925,0,4

0,1,721,,2

2

2

xxxxxx

xx

xgf b) ( )( )( ]( ]( )

+=

,5,115,0,42

0,,22

xxxxxx

xgf

c) ( )( )( ]( ]( )

=

8,0,1920,1,4

1,,22

xxxx

xxxgf d) ( )( ) ( ]

( )

++

=,5,4

5,,72 2

xxxx

xgf

e) ( )( ) ( ]( )

=,1,192

1,,22

xxxx

xgf f) ( )( ) ( ]( )

=,5,192

5,,22

xxxx

xgf


AL - 133 Fie RR :f ; ( ) ( )[ )

+

=,232

2,1xx

xxxf

S se determine inversa acestei funcii.

a) ( ) R+= xxxf 11 b) ( )( )

( ) [ )

++

+=

,1321

1,11

xx

xxxf

c) ( ) R= xxxf ;1 d) ( ) ( ) ( ]( )

+

+=

,1,1

1,321

1

xx

xxxf

e) ( )( )

[ )

+

=

,232

1

2,1

11

xx

xxxf f) funcia nu este inversabil

AL - 134 S se precizeze care din rspunsurile de mai jos este corect pentru funcia RR :f ,

( )

>+

=6,26,42

xxxx

xf

a) f nu este inversabil; b) f este inversabil i ( )

>

+

=

8,2

8,2

41

yy

yyyf

c) f este inversabil i ( ) yyf =1 d) f este inversabil i ( ) 21 = yyf

e) f este inversabil i ( )2

41 += yyf f) f este inversabil i ( )

>+

=

8,2

8,2

41

yy

yyyf

AL - 135 Determinai valorile lui Ra pentru care funcia RR :f ,

Elemente de algebr 45 ( ) ( ) 1211 +++= axaxxaxf este inversabil i determinai inversa ei.

a) ( )

>+

==

13

21

;21 1

xxxx

xfa b) ( )

>+

+

+

1;3

211;

1;212

;21 1

xxxx

xaax

xfa f) ( )

>+

++

=0,

0,12

xmxxmxx

xf

s fie strict descresctoare pe R.

46 Culegere de probleme a) m b) Rm c) ( )0,m d) [ ]1,0m e) ( )2,1m f) [ ) ,2m AL - 138 Pentru ce valori ale lui mR , graficul funciei f : R R , ( ) ( )f x me m ex x= + 1 , taie axa Ox ?

a) ( ) 1 0, b)

1 12

, c) ( ) ( ) +, ,1 0 d) ( ) +5, e) ( ) ,2 f) R

AL - 139 S se rezolve ecuaia: 3 2 2 3 2 2 32

+

=

x x.

a) x = 1 b) x = 2 c)( )

x =+

2 2

3 2 2

lg

lg

d) x e)( )

x =

2 2

3 2 2

lg

lg f) x = 2 2lg

Culegere de probleme 46

AL - 140 S se rezolve ecuaia: ( ) ( )1 2 3 2 2 2+ + =x x .

a) x x1 20 1= =, b) x x1 20 2= =, c)( )( )

x1 23 5 2

3 2 2,

ln ln

ln=

d)( )

( )x1 2

3 2 2 2

3 5,

ln ln

ln=

e)

( )x x1 20

1 52

1 2= =

+

+,

ln

ln f)

( )x x1 20

2 2 3

3= =

,

ln

ln

AL - 141 Determinai valoarea lui x pentru care 2=+ xx ee a) 1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 2 f) ln2 AL - 142 n care din urmtoarele mulimi se afl soluia ecuaiei

1221

21

2334 +

= xxxx

a) ( )2,ee b) ( )1,1 c) ( ]7,3 d) ( ]3,1 e) ( )1,0 f) ( )11,9

AL - 143 S se rezolve ecuaia xxxx 9632 = a) 01 =x este b) 01 =x c) 01 =x

unica soluie 3log1

12

2 =x 2log2 =x

d) 01 =x e) 01 =x f) 01 =x

13log22 +=x 3log1

22 =x 3log22 =x

Elemente de algebr

47

AL - 144 Determinai funcia RR :f , astfel nct ( )xfy = s fie soluie a ecuaiei xee yy = .

a) ( ) xxf ln= b) ( ) ( )4ln 2 ++= xxxf

c) ( ) ( )xxxf += 1ln 2 d) ( )2

4ln2 +

=xxxf

e) ( )2

4ln2 ++

=xxxf f) ( )

24ln

2 +=

xxxf

AL - 145 Determinai mulimea A creia i aparine soluia ecuaiei

12

126282 13

3 =

x

xx

x

a) ( )8,2=A b)

= 16,

21A c) ( )923 ,A =

d) [ )0,2=A e)

=

21,0A f) ( )1,0=A

AL - 146 S se determine valorile lui Rm pentru care ecuaia ( )( ) ( ) ( ) 1111 12113 =+ xxx mxmxmxx

cu condiiile 1+> mx i 2mx > are trei rdcini reale i distincte.

a) m b) Rm c)

21,

23\Rm

d)

23\

32,m e)

21,m f)

,

21m


AL - 147 S se rezolve inecuaia: 13

32

>+

x

x .

a) ( )4,+ b) [ ) 2 1, c) ( )0 10, d) ( )1,+ e) ( )2,+ f) ( ) 11,

AL - 148 S se determine mR astfel nct inegalitatea 0132

94 xx

>+

m

s fie adevrat pentru orice x < 0 . a) m b) ( )m 2 2, c) [ ]m 2 2, d) ),2[ +m e) m< 2 f) 2m

AL - 149 Care este soluia sistemului de inecuaii: 13

3 19 1

12

+

+

x

x ?

a) ( )[ ]log , log3 32 3 17+ b) ( )log , log3 31 2 3 172++

c) ( )3,+

d) ( )2 3, e) ( )

2173log,21log 33 f) [ ]1 53, log

AL - 150 S se rezolve inecuaia: x

xx

x

+>

321

2322 1

.

a)

215log,0

32x b)

+

215log,0

32x c) )1,0(x

d) ( ))15(log,032 x e) ( ))15(log,0

32 +x f) )1,1(x

Elemente de algebr

49

AL - 151 S se rezolve inecuaia: ( )x xx x< .

a) 0 12

,

b) ( ) ( )0 1 4, , + c) ( )0 2,

d) ( )0 3, e) ( ) ( )0 2 6, , + f) ( ) ( )0 3 5, , +

AL - 152 S se rezolve ecuaia: ( )( )

log

log2

22

2 5

812

x

x

= .

a) x x1 2113

3= =, b) x x1 2113

3= = , c) x1113

=

d) x1 3= e) x x1 2113

3= = , f) x1 9=

AL - 153 Care este soluia ecuaiei: 2 3 113

13

+ + = log logx x ?

a) x b) x = 3 c) x = 13

d) [ )x +9, e) ( )9,0=x f) x

13

9,

AL - 154 S se precizeze domeniul maxim de definiie al funciei:

( )f x xx=

log23 21

.

a) ( ) +

, ,1 32

b) ( ) [ ) +, ,1 2 c) [ )2,+ d) ( )1,+ e) ( ] ( ) ,42,0 f) ( ] [ ) ,20,


AL - 155 S se determine domeniul maxim de definiie al funciei:

( ) ( )f x x xx x

= +

ln 2 1

4

2

2.

a) ( )

,32,

210,

41

b) ( )4,223,1

21,1

c) ( ) ( )

,2

21,00,1 d d)

1 12

14

0 0 12

, , ,

e) R \ ,0 14

f) { }R \ ,0 1 AL -156 S se determine domeniul maxim de definiie al funciei

( )f x x xx= log log3 3 .

a) ( )0,+ b) ( )1,+ c) ( )0 13

1, ,

+

d) 0 12

23

1, ,

e) ( ) ( )0 1 2, , + f) ( )1 2,

AL - 157 Fie x x x1 2 3, , trei numere din intervalul (0,1) sau din intervalul ( )1,+ . Precizai care este valoarea minim a expresiei

E = + +log log logx x xx x x x x x1 2 32 3 1 3 1 2 .

a) 1 b) 0 c) 3 d) 6 e) 3 f) 6

Elemente de algebr

51

AL - 158 tiind c log40 100 = a , s se afle log16 25 n funcie de a .

a) 3 22 4aa++

b) 3 12

aa

++

c) 3 12 3

aa+

d) 3 24 2a

a

e) 3 42

aa+

f) 3 42

aa+

AL - 159 Dac a = log30 3 i b = log30 5 , s se calculeze log30 16 n funcie de a i b . a) ( )4 1 a b b) ( )4 1+ a b c) ( )2 1 +a b d) 2 1a b + e) ( )2 2 1a b f) ( )2 2 1a b+ +

AL - 160 Mulimea soluiilor ecuaiei 5

log 2 log2 2x xx x+ = este:

a) ; b) 1

, 22

; c) { }2, 4 ; d) 1 , 24

; e){ }2,5 f) 1 , 25

AL - 161 S se rezolve ecuaia: ( ) ( )log logx xx x x2 2 2 42+ + + = . a) x = 1 b) x = 1 c) x = 3 d) x = 4 e) x = 2 f) x = 8 AL - 162 S se rezolve ecuaia: a x a ax alog log , ,6 65 6 0 0 1 + = > .

a) x xa a1 23 2= =log , log b) x xa a13

226 6= =log log, c) x a= 6

23

log

d) x xa a1 23 2= = log , log e) xa

= 632

log f) x a x a1 6 2 63 2= =log , log


AL - 163 S se rezolve ecuaia: ( )log log log log2 4 161

3 2 9 3+ =x x x .

a) x = 3 b) x = 1 c) x = 163

d) x = 316

e) x = 13

f) x = 3

AL - 164 S se determine mR astfel nct ecuaia ( )

m xx++

=lg

lg 12 s aib o

singur soluie real. a) m b) m< 0 c) m= 1 d) m= lg 2 e) m= lg 4 f) m= lg 6 AL - 165 S se determine valoarea parametrului ntreg m astfel nct ecuaia

log log log13

213

13

3 2 3 4 7 6 0m x m x m

+ = s aib o rdcin dubl.

a) m= 1 b) 2=m c)33

=m d) 4=m e) m= 9 f) m= 9

AL - 166 Rezolvnd ecuaia: ( )[ ] ( )log log log log log log3 2 4 9 4 221x

x=

,

s se stabileasc n care din urmtoarele intervale se afl soluia acesteia. a) ( ]2,1 b) [ ]3,2 c) [ )4,32 d) [ )5,4 e) [ ]18,5 f) ( )+,18 AL - 167 S se determine valorile lui 0>m pentru care funcia

( ) 4log3log21log

21

21

2 += mmxxxf m este definit pe R .

a) 4=m b)

5,

21m c)

+ ,

31m d)

41,0m e)

41

=m f) m

Elemente de algebr

53

AL - 168 Fiind dat expresia: ( ) ( ) xxxxE xx 2222 log2log2loglog2log2log ++++= , s se determine toate valorile lui Rx pentru care E = 2 .

a) [ )+,1 b) [ ] { }32,1 c)

2,21

d) { }1\2,21

e) [ ]

23\2,1 f) ( ) ( )+ ,32,1

AL - 169 S se rezolve ecuaia 32 2lg2lg =+ xx . a) x=10 b) x=100 c) x= 1000 d) x=1 e) x=2 f) x=3

AL - 170 Fie [ )+

+ ,0,21:f , ( ) 1,112log)( >+= axxf a

S se rezolve inecuaia 5)(1 xf , unde 1f este inversa funciei f . a) [ ]4,2x b) [ ]2log,0 ax c) [ ]4log,0 ax d) [ ]1,0x e) [ ]3log,1 ax f) [ ]8,5x


AL - 171 Fiind date funciile RR :f , ( )( ]( )

+

+=

,0,0,,32

2 xxxxx

xf

i ( )( )[ ]

( )

=,1,ln

1,1,arcsin1,,

,:

2

xxxx

xexgg

x

RR , s se determine

soluia din intervalul ( ]0,1 a ecuaiei ( )( ) 0=xfg .

a) 1=x b) 0=x c) 21

=x

d) 32

=x e) 41

=x i 21

=x f) Nu exist.

AL - 172 Se consider inecuaia: 1,0,43logloglog 42 >+ aaxxx aaa

i se noteaz cu Ma

M 12

0 12

=

,

mulimea tuturor soluiilor sale. Care dintre urmtoarele afirmaii este adevrat ?

a) b) M 12

12

= +

, c) M 12

12

= +

,

d)

= ,

41

41M e) ( )M 1

10

5= +, f) ( )M2 2 10= ,

AL - 173 S se rezolve inecuaia: log3 1x < .

a) ( )x 0 1, b) x

13

13

, c) x

3 13

13

3, ,

Elemente de algebr

55

d) x

+

, ,13

13

e) ( )x +3, f) ( )x 3 3,

AL - 174 Fie ( ) ( )P x x x y y y aa a= + > 2 3 8 0 0 1log log , , , . S se determine toate valorile lui y astfel nct ( )P x > 0 , oricare ar fi Rx . a) ( )y a a 4 8, b) ( )y a a 8 4, c) [ ]aay ,8 d) ( )y a ,2 e) ( )y a a 3 , f) [ ]y a a 2 , AL - 175 S se determine mR astfel nct sistemul

=+

+=+

yx

myx

y

x

x

y

yx

lglg2

10log10log

10log10log

101lglg

s admit soluii reale.

a) ]10,0[m b) )0,99(m c) )0,81[m d) )100,10(m e) )100,( m f) m

AL - 176 Se consider funcia ),1(: +Rf ,


e)

+

+=

),0[,

)0,1(),1ln(2)( 2

1

xx

xxxf f)

++

=

),0[,1

)0,1(,ln)(

2

21

xx

xxxf

AL - 177 S se rezolve inecuaia: log log logx x x2 2 22 42 > .

a) ( )x

+

12 2

12

13

, , b) ( )x 2 1, c) ( )

,11,

21x

d) ( )x +1, e) ( )

,1

21,

231x f) ( )x 0 1,

AL - 178 Se consider expresia ( )E x x x= +log log4 4 . Determinai valorile

lui xR astfel nct ( )E x < 52

.

a) ( )x 1 2, b) ( ) ( )x 0 1 2 16, , c) [ ] [ ]32,162,1 x

d) ( )x +16, e) ( ) ( )x +1 2 20, , f) ( ) ( )x +110 20, , AL - 179 tiind c ( )a 0 1, s se determine mulimea:

{ }x x aa x R log log2 1 .

a) [ )1 1 2a a, ,

+ b) ( )32 ,0,1 aa

a

c) ( ]0 1 12, ,a a

d) 1 1,a

e) [ )0 1 2, ,a a

+ f) [ )2,01, a

aa

AL - 180 ntr-o progresie aritmetic termenul al noulea i al unsprezecelea sunt dai , respectiv , de cea mai mare i cea mai mic rdcin a ecuaiei :

( )[ ]12 2 4 512

4 5 12 2lg lg lg+ + + = + +x x x x .

Elemente de algebr

57

Se cere suma primilor 20 termeni ai progresiei. a) 15 b) 18 c) 22 d) 30 e) 40 f) 100

AL - 181 S se rezolve sistemul: ( ) ( )( ) ( )

log log

log log

23

23 9

25822

22

x y

x yx y+ =

+ =

.

a) x y= =2 2, b) x y= =4 4, c) x y= =3 9, ; x y= =9 3,

d) x y= =2 4, e) x y= =2 3, ; f) x y= =1 9, ; x y= =4 2, x y= =3 2, x y= =9 1,

AL - 182 S se rezolve n R sistemul: x y zx y zxyz

y z x

y z x z x y

lg lg lg

lg lg lg lg lg lg

=

==

10

100010

.

a) x y z= = =10 1, b) x y z= = =10 1, c) x y z= = = 10 d) x y z= = = 10 1 e) Sistemul nu are soluii n R f) x y z= = =1 5 2, , AL - 183 S se determine mulimea tuturor numerelor naturale pentru care inegalitatea: 2n > n3

{ n

este adevrat. a) N; } { }1,05 n b) c){0,1} d) { } { n1,0 N ; }10n e) { n N; } { }12\10n f) N AL 184 S se determine mulimea tuturor numerelor naturale pentru care urmtoarea inegalitate

( )( ) + >


a) { }3, nn N b) Nn c) { }5,4,3\Nn d) { }knn 2: =N e) n f) { }12: += knn N AL - 185 S se determine numrul de elemente ale mulimii

( ) ( )

.

a) ( ) ( ]A= , ,3 11 b) { }A= 5 6 7, , c) [ ]A= 1 7,

d) { }A= 8 9 10, , e) [ ] { }A= 3 2 1 2, , f) { }A= 1 2 3 4, , , AL - X. 199 S se rezolve inecuaia: C Cx x3

163 24+ , precizndu-se care din

urmtoarele intervale conine soluia.

a) 0 12

,

b) 1

21,

c)

1,43

d)

1,

65

e) [ ]7 14, f) [ )14,+

AL - X. 200 S se precizeze soluia sistemului : A A

C C

xy

xy

xy

xy

=

=

+

1053

1

1 .

a) x y= =23 14, b) x y= =20 5, c) x x= =17 8,

d) x y= =12 3, e) x y= =10 2, f) x x= =8 5, AL 201 S se determine numerele naturale x i y , astfel nct numerele

yx

yx

yx CCC ,, 1

11 s fie n progresie aritmetic, iar numerele

yxA ,

11

1, +++ y

xyx AA s fie n

progresie geometric. a) x = 1, y = 3; b) x=3, y = 1; c) x = y = 3;

d) x = 3, y = 21

; e) x N *

1,,,...,, 121 ++ naaaa nn

, y = 1; f) x = 4, y = 2

AL 202 Fie numere reale n progresie aritmetic de raie r.

S se calculeze suma: ( )=

+n

kk

kn

k aC0

11 .

a) r b a1 c) 1 d) 0 e) n f) 2n


AL - 203 S se determine al patrulea termen din dezvoltarea binomului

xx

n

+

13

, n ipoteza c 2 2 240 02n n n = , N .

a) 4x

b) 4 x c) 63 x d) 63 x

e) 4 f) 2 2x

AL - 204 S se precizeze termenul care nu conine pe x din dezvoltarea binomului

ax xa a x

++

12

12

30

, , *R .

a) C a3010 15 b) C a30

5 7 c) C a307 5 d) C a30

4 12 e) C a3015 14 f) C a30

8 8

AL 205 n dezvoltarea binomului n

xx

+

421

, n N , n 2, x +R ,

coeficienii primilor 3 termeni formeaz o progresie aritmetic. S se determine termenii raionali ai dezvoltrii. a) T1; T7; T9; b) T1; T5; T9; c) T2; T4, T8; d) T1; T3; T7; e) T2; T6; T8; f) T1; T3; T5

nx

xx a

+

1log

. AL 206 Determinai x din expresia

, (a > 0, a 1)

tiind c suma coeficienilor binomiali ai dezvoltrii este 128, iar al aselea termen al

dezvoltrii este egal cu 421a

.

a) x1 = 3a , x2 = a2 b) x1= 2a , x2 = a3 c) x1 = 2a -1 , x2 = a-3 d) x1 = 3a, x2 = a -2 e) x1 = a, x2 = a4 f) x1 = a 1, x2 = a- 4

Elemente de algebr

63

AL - 207 Ci termeni care nu conin radicali sunt n dezvoltarea binomului

x x23 416

+ ?

a) Un termen b) Doi termeni c) Trei termeni d) Nici unul e) ase termeni f) Patru termeni

AL - 208 Care este expresia termenului din dezvoltarea binomului aa33

3

13

+

,

care conine pe a4

1873

4

7

a

?

a) b) 2863

4

7

a c)1073

4

5

a d) 2863

4

3

a e) 2023

4

7

a f) 2003

4

4

a

AL - X. 209 Care este termenul din dezvoltarea binomului xy

yx

33

21

+

,

n care exponenii lui x i y sunt egali ? a) T13 b) T10 c) T6 d) T8 e) T15 f) T11

2 21x xn

+

AL - X. 210 n dezvoltarea binomului , suma coeficienilor

binomiali ai ultimilor trei termeni este egal cu 22. S se afle valorile lui x pentru care suma dintre termenul al treilea i termenul al cincilea este egal cu 135. a) x x1 21 2= =, b) x = 2 c) x x1 21 2= =,

d) x x1 21 2= = , e) x = 1 f) x x1 21 1= = ,


AL - X. 211 n dezvoltarea binomului xx

n

+

13

, suma coeficienilor binomiali

este cu 504 mai mic dect suma coeficienilor binomiali din dezvoltarea binomului

( )a b n+ 3 . S se afle termenul al doilea al primei dezvoltri.

a) 3x b) 33 x c) 3 13 x d) 3 23 x e) 3 f) 3 2x AL - 212 S se determine termenul ce nu conine pe a din dezvoltarea binomului

0,117

4 33 2

+ aa

a

a) 310.248179 == CT b) 12376

6177 == CT

c) 61885176 == CT d) 17

1172 == CT

e) 1362173 == CT f) 680

3174 == CT

AL - 213 S se gseasc rangul celui mai mare termen din dezvoltarea ( )1 0 1 100+ , . a) 9 b) 10 c) 11 d) 20 e) 30 f) 22 AL - 214 Determinai valoarea celui mai mare coeficient binomial al dezvoltrii binomului ( )a b n+ , dac suma tuturor coeficienilor binomiali este egal cu 256. a) 1 b) 8 c) 60 d) 70 e) 28 f) 7 AL 215 S se determine coeficientul lui x23 din dezvoltarea lui (x2 + x + 1)13 . a) 0 b) 13 c) 21 d) 442 e) 884 f)169

Elemente de algebr

65

AL 216 S se afle coeficientul lui x12 din dezvoltarea

(10x2 +15x 12) (x+1)15

51513C

. a) b) 51514C c)

51515C

d) 51520C e)

51525C f)

51530C

AL - 217 tiind c suma coeficienilor binomiali ai dezvoltrii

1)1()1( ++++ nn xx este 1536, s se calculeze coeficientul lui 6x din aceast dezvoltare. a) 295 b) 294 c) 320 d) 293 e) 128 f) 200

AL - 218 Calculai 2

21

2

21 11 ++= zzzzE pentru numerele complexe z1 i z

z

2

( fiind complexul conjugat numrului z). a) ( )22212 zz + b) ( )22112 zz+ c) ( )( )2221 112 zz + d) 2212 zz e) ( ) ( )11 2121 + zz f) ( )222112 zz + AL - 219 S se gseasc valorile reale ale lui m pentru care numrul ( ) ( )15123 2414243 realeste =++ iimmii .

a) 1=m b) 2=m c) 25

=m d) 3=m e) 1=m f) 0=m

AL - 220 S se calculeze valoarea expresiei 19961996

11

11

+

+

+

=ii

iiE .

a) i b) 2 c) i d) 2 e) 2i f) 2i


AL - 221 Precizai partea imaginar a numrului complex

( )

iii

ii

i +

+

++ 2

6341

234

1 2.

a) i1023

b) i1029

c) i1019

d) i1310

e) i1033

f) i3310

AL - 222 S se determine R astfel nct numrul complex ( )ii

131++

s fie real.

a) 2

31 b)

423 +

c) 4

13 + d)

4132 +

e) 43

f) 3

21+

AL 223 Fie z1,z221

21

zzzziyx

+

=+C i , ,x yR Atunci avem:

a) 221

22

21

zz

zzx

+= , 2

21

221

zz

zzy

= b) 2

221

22

21

zzzzx

+

= , 22

21

212zzzziy

=

c) 221

22

21

zz

zzx

+

+= , 2

21

2121

zzzzzziy

+

+= d) 2

21

22

21

zz

zzx

= , 2

21

2121

zzzzzziy

=

e) 221

22

21

zz

zzx

= , 2

21

2121

zzzzzzy

= f) 2

21

22

21

zz

zzx

= , 2

21

221

zz

zzy

=

AL - 224 S se calculeze z dac 4

2222

++= iz .

a) 1 b) 2 c) 2 d) 16 e) 4 f) 6

Elemente de algebr

67

AL 225 O ecuaie de gradul al doilea cu coeficieni reali care are ca rdcin

numrul complex

20081 31 3

ii

+

este:

a) 2 1 0z z+ + = ; b) 2 1 0z z + = ; c) 2 2 2 0z z+ + = ; d) 2 2 2 0z z + = ; e) 2 1 0z + = ; f) 2 3 0z + = AL - 226 S se determine numerele complexe z astfel nct 0384 22 =+ zz .

a) z i

1 3

2, b) z i

1 32

c) z i

32

12

,

d) z i

12

32

, e) z i i

1 2 5

2, f) z i i +

3 22

2 53

72

, ,

AL 227 S se precizeze cu care din valorile date mai jos este egal ( )( )

zi

i=

+

1

1

9

7.

a) z i= +1 b) z = 2 c) z i= 1 d) z i= e) z i= f) z i= +2

AL - 228 Creia din mulimile de mai jos aparine = +zz

zz

, pentru

{ }zC \ 0 ? N b) Z c) Q d) R e) C R\ f) { }R \ 0 AL - 229 S se determine toate numerele complexe zC care verific ecuaia


izz 21+= .

a) z i= +12

b) z i z i1 212

32

2= + = , c) izz 223,0 21 +==

d) z i= 32

2 e) z z i1 2012

= = +, f) z i= +52

3

AL - 230 S se afle numerele complexe { }z x iy x y= + , , \R 0 , de modul 2 , astfel nct ( )x iy+ 2 3 s fie pur imaginar.

a) { }z i i 1 1, b) ( ) ( )

3122,31

22 iz

c) ( ) ( )

5133,51

33 iiz d) ( ) ( )

iiz 322,3

22

e) ( ) ( )

2233,22

33 iiz f) ( ) ( )

iiz 533,5

33

AL - 231 Fie a +R i zC , astfel nct z za+ =1 . S se determine cea mai

mare i cea mai mic valoare posibil a lui z .

a) a a+ +2 4

20, b) a ,0 c) a a a a+ + +

2 242

42

,

d) 2 4 4 22 2+ + + a a, e) a a a a2 24

24 12

+ + , f) 34 4a a,

Elemente de algebr

69

AL - 232 Fie z un numr complex astfel nct 22 baaz = , unde, 0>> ba . S

se calculeze zbzb

+ .

a) a b) ab

1 c) baba

+ d) 22

22

baba

+ e)

ab

+1 f) baba

+

AL - 233 Fie aC . S se calculeze valoarea expresiei

( ) ( ) ( )iaiiaiaaE +++++= 1411

221 222 .

a) 1- a b) 1+a c) a d) 2a e) 1 f) 0

AL - 234 Fie = +cos sin23

23

i . S se calculeze :

( )( ) ( )E = + + +1 1 12 1997 ... .

a) E = 1 b) E = 2 c) E = 2663 d) E = 21997 e) E = 2665 f) E = 4

AL - 235 Pentru RC \x care satisface ecuaia 11 =+x

x ,

s se calculeze valoarea expresiei

333333 1

xxE += .


a) E=1 b) E=2 c) E=-3 d) E=i e) E=2i f) E=3i AL - 236 Fie i rdcinile ecuaiei 012 =++ xx . S se calculeze

20002000 + .

a) 1 b) 0 c) 1 d) 3i e) 3i f) 2 AL - 237 Fie z un numr complex de modul 1 i argument . S se calculeze expresia

n

n

zz

21+ , (n N ).

a) ncos2 b) ncos c) nsin2

d) ncos2

1 e)

ncos1

f) nsin2

1

AL - 238 Precizai care din valorile de mai jos sunt rdcinile ecuaiei z i z2 2 3 5 0 = . a) z i= 2 3 b) z i= +2 3 c) z i= 3 2

d) z i= 2 2 e) 23 iz = f) z i= 3 3 AL - 239 Soluia ecuaiei ( ) ( ) 015252 =++ iziz este: a) 2,3 ii ; b) ii 2,3 ; c) ii 3,2 ; d) ii 3,2 ; e) ii 1,25 ; f) ii 3,2

Elemente de algebr

71

AL - 240 Se consider ecuaia ( ) ( )2 7 4 6 02 + + + =i z i z mi , n care zC este necunoscuta, iar m este un parametru real. S se determine valorile lui m pentru care ecuaia admite o rdcin real.

a)

533,12m b) m= 32 c) { }m 2 5,

d) m

12 334

, e) m

0 335

, f) m

2 312

,

AL - 241 Formai ecuaia de grad minim, cu coeficieni reali, care admite ca rdcini i rdcinile ecuaiei : z z i2 3 2 5 2 0 + + = . a) z z z3 26 2 2 27 0 + + = b) z z z z4 3 26 2 28 30 2 27 0 + + =

c) z z z z4 3 22 2 4 6 2 27 0+ + = d) z z z4 22 28 27 0 + + =

e) z z z4 3 22 28 27 0+ = f) z z z4 26 2 30 2 27 0 + + =

AL - 242 Se d ecuaia ( ) ( ) 0312352 2 =+++ iziz . Fie o rdcin a ecuaiei pentru care | | = 1. S se determine x R astfel nct s aib loc egalitatea

=+

ixix

11

.

a) 3

1=x b)

31

=x c) 3=x d) 3=x e) 3

2=x f)

32

=x

AL - 243 Rdcinile ptrate ale numrului complex 3+4i sunt : a) 2+i, 2-i ; b) 2+i, -2-i ; c) 2+i, -2+1 ; d) 2-i, -2+i ; e) 1+i, 1-i ; f) 1+i, 2+i AL - 244 Pentru z C s se determine soluiile sistemului


=++

=

111

422

iziz

iz.

a) izz == 1,1 21 b) iziz +== 1,1 21 c) 0,1 21 == ziz d) izz +== 1,0 21 e) 0, 21 == ziz f) iziz +== 1, 21 AL - 245 S se calculeze rdcina ptrat din numrul complex ( )1,43 =+= iiz . a) ii + 2,2 b) ii 21,21 ++ c) ii 21,21 + d) ii ++ 2,2 e) ii 21,21 f) ii 21,2

AL - 246 S se calculeze rdcinile de ordinul n=3 ale lui iiz

+

=11

.

a) 1,, 321 === ziziz b) izzz === 321 ,1,1

c) ( ) ( ) iziziz =+=+= 321 ,321,3

21

d) ,321 izzz ===

e) ( ) ( ) iziziz =+=+= 321 ,3121,31

21

f) ,1321 == zzz

AL - 247 S se determine toate rdcinile complexe ale ecuaiei z4 81 0+ = .

Elemente de algebr

73

a) ( ) ( )3 22

1 3 22

1 i i, b) ( ) ( )32

1 32

1 i i, c) ( ) ( )2 1 2 1 i i, d) ( ) ( )2 1 2 1 i i, e) 2 2 i i, f) 3 3i i, AL - 248 Fie mulimile :

{ }


AL 249 S se determine modulul i argumentul pentru numrul complex: z = cos a +sin a + i(sin a- cos a).

a) 4

arg,2 == zz b) 4

arg,2 == azz

c) 4

arg,2

cos2 == zaz d) 4

arg,2

cos2 == azaz

e) 4

arg,2 == zz f) 4

arg,2 == azz

AL 250 S se scrie sub form trigonometric numrul complex : z = 1+ cos - i sin , unde (0,).

a)

+

=

2sin

2cos

2cos2 iz b)

+=

2sin

2coscos iz

c) ( ) sincos2

cos4 iz += d) 2

sin2

cos iz +=

e) ( ) sincoscos iz += f)

=

2sin

2coscos2 iz

AL 251 Determinai partea real a numrului complex ( ) cossin231

iiz+

= .

a)

=

37sinRe z b)

+=

67cosRe z c)

35cosRe =z

d)

+=

67sinRe z e)

+=

4cosRe z f)

+=

4sinRe z

AL 252 S se determine modulul i argumentul redus pentru numrul complex:

16

131

+

=i

iz .

a) 3

2arg,2 == zz b) 3

2arg,2 == zz c) 3

arg,2 == zz

Elemente de algebr

75

d) 3

arg,2 == zz e) 3

2arg,28 == zz f) 3

arg,28 == zz

AL 253 S se scrie sub forma z = x + iy numrul complex : ( )7333

i

iz+

= .

a) ( )312

37 i+ b) ( )31128

1 i c) 22

21 i

d) i e) ( )i+3128

1 f) ( )i3

1281

AL 254 S se determine numrul complex: ( ) ( )nn iiZ 3131 ++= , nN .

a) 3

cos2 nZ n= b) 3

sin2 1 nZ n+= c) 3

cos2 1 nZ n+=

d)3

sin2 nZ n= e)

+= +

3sin

3cos2 1 ninZ n f)

= +

3sin

3cos2 1 ninZ n

AL 255 tiind c cos21 =+z

z .S se calculeze expresia: nn

zzE 1+= , nN*.

a) E = 2cos n b) E = 2isin n c) E = 2sin n d) E = cos n e) E = 2icos n f) E = sin n AL 256 Se noteaz cu z1 i z2 rdcinile complexe ale ecuaiei: z3

( ) nn zznE 21 +=+1=0.

S se determine valorile posibile pe care le poate lua expresia: , cnd n ia valori ntregi pozitive.

a) ( ){ nnE N } { }1,0 = b) ( ){ nnE N } { }2,1,0=

c) ( ){ nnE N } { }2,1 = d) ( ){ nnE N }=Z

e) ( ){ nnE N } { }2= f) ( ){ nnE N }=N


AL 257 S se determine toate soluiile ecuaiei 1= nzz , oricare ar fi numrul natural n > 2. a) z = 1+ i b) z = 1 i c) z = i d) z1 = 0, z2

1,0,2sin2cos,01 +== nknki

nkzz k

= i

e) f) 31,31 21 iziz =+=

AL 258 S se determine rdcinile kz , 5,0k ale ecuaiei: z6

5,0,11

sin11

cos =+= kkikzk

= i.

a) b) 5,0,12

14sin12

14cos =+++= kkikzk

c) 5,0,7

sin7

cos =+ kkikzk d) 5,0,

52sin

52cos =+= kkikzk

e) 5,0,13

sin13

cos =+= kkikzk

f) 5,0,12

12sin12

12cos =+++= kkikzk AL 259 Fie o rdcin complex a ecuaiei: zn = 1, nN *

12 ...321 ++++= nnS , n > 2. S se precizeze

valoarea expresiei: .

a) 1

1

=

S b)

=1

1S c) 1

=

nS

d)

=1

nS e) = nS f) 1

=nS

AL 260 S se determine rdcinile ecuaiei: titixix n sincos

11

+=

+

n care

nN*

1022

=+

= n,k,nkttgxk

, x,tR.

a) b) 1,0,2

=+

= nknkttgxk

Elemente de algebr

77

c) 1,0, =+= nknkttgxk

d) 1,0,22sin =+= nknktxk

e) 1,0,22cos =+= nknktxk

f) 1,0,sin =+= nknktxk

AL 261 Precizai numrul maxim de rdcini comune ale ecuailor: z8 = 1 i z12

41,k,zk =

= 1. a) nici una b) una c) dou d) patru e) trei f) opt

AL 262 Fie soluiile ecuaiei: iaia

iziz

+

=

+

11

11 4

, a R*

4321 zzzz

.

Care este valoarea produsului ? a) 1 b) 2 c) 1 d) 3 e) 3 f) 2 AL 263 S se calculeze expresia:

( ) ( ) ( )32 sincossincos3sincos31 tittittitE ++++++= .

a) 23sin

23cos tit + b)

23cos8 t c)

+

23sin

23cos

2cos8 3 titt

d) 23sin8 t e)

+

23sin

23cos

2cos3 ttt f)

23sin

23cos tit

AL 264 S se afle afixul celui de al treilea vrf al unui triunghi echilateral, tiind c afixele a dou vrfuri sunt: z1 = 1, z2

231

233 ++

i

= 2+i.

a) b) 2

312

33 +

+ i c) 3+i


d) i e) 2

312

33 ++

i i 2

312

33 +

+ i f) i+1

AL 265 Fie M1 , M2 , M3 , M4

321 iz =

puncte ale cror afixe sunt, respectiv,

, 322 iz += , iz += 63 , iz = 64 . Care din afirmaiile urmtoare este adevrat a) M1 , M2 , M3, M4 sunt coliniare b) M1 , M2 , M3 , M4 sunt conciclice c) patrulaterul M1M2M3M4 nu este inscriptibil d) patrulaterul M1M2M3M4 este un ptrat e) M1M2 = M3M4 f) patrulaterul M1M2M3M4

( )

( ) N+++=

++++=

nn

nnn

S

nn

nnS

,12sin...4sin2sin

12cos...4cos2cos1

2

1

este romb. AL 266 S se determine valorile expresiilor:

a) S1 = S2 = 1 b) S1 = 0, S2 = 1 c) S1 = S2 = -1 d) S1 = S2 = 0 e) S1 = -1, S2 = 0 f) S1 = 0, S2

( ) cossincossin1 ++= iz

= -1 AL 267 Se dau numerele complexe: i

( ) cossincossin2 ++= iz , unde este parametrul real dat. S se gseasc numerele n pentru care ( )nzz 21 este un numr real i pozitiv. a) n = 3p, p N b) n = 2p, pN c) n = 2p+1, p N d) n = 4p, pN e) n = 4p + 1, p N f) n = 3p + 1, p N AL 268 Numerele complexe z1 i z2 2121 zzzz =+ satisfac relaia: . Care din afirmaiile urmtoare este adevrat ? a) z1 = 0, z2 =1- i b) z1 = z2 21 ,0 zz = = 2+3i c) > 0

d) 1z >2 i 2z >2 e) cel puin unul din cele dou numere f) 1z >2, 02 =z

Elemente de algebr

79

are modulul mai mic sau egal cu 2.

AL 269 Fie z C \{ }0 , zz

zzw += i Im( w ) -partea imaginar a numrului w .

Care dintre afirmaiile urmtoare este adevrat ? a) Im( w )>0 b) Im( w )< 0 c) dac iz = atunci w 0 d) w 0 pentru orice zC \ { }0 e) dac iz = atunci iw = f) wR i exist a,b R astfel nct bazz +=2 AL 270 Determinai mulimea tuturor punctelor din plan ale cror afixe z verific

relaia: +z

z 1 R . a) axa real mai puin originea b) cercul cu centrul n origine i raza 2 c) cercul cu centrul n origine i raza 1 d) axa imaginar e) axa real fr origine reunit cu cercul cu centrul n origine de raz 1 f) axa imaginar reunit cu cercul cu centrul n origine de raz 2 AL 271 Considerm dou numere complexe z1 , z2 C*

2121 zzzz =\ R astfel nct:

. Ce putem afirma despre imaginile lor ? a) sunt coliniare cu originea b) sunt conciclice cu originea c) coincid d) mpreun cu originea formeaz vrfurile unui triunghi nedegenerat

e) imaginea lui z12

1z

coincide cu imaginea lui

f) mpreun cu originea formeaz un triunghi isoscel. AL 272 Vrfurile A, B, C ale unui triunghi au afixele 21,1,1 zzz +++ , unde

+=

32sin

32cos irz cu r (0,1) . Precizai poziia originii O (0,0) fa de

laturile triunghiului.

a) [ ]ABO b) [ ]ACO c) [ ]BCO


d) O aparine interiorului triunghiului e) O aparine exteriorului triunghiului f) O este centrul cercului nscris n triunghiul ABC

AL 273 S se calculeze : n

titgtitgE

+

=11

, t R - ( ) + kk ,

212 Z

, n N*.

a) intint

+

tg tg

b) ntinti tg1 tg1

+

c) ntinti ctg1 ctg1

+

d) intint

+

ctg ctg

e) int + ctg f) nti tg1+

AL - 274 S se calculeze ...)1(... 26420 ++++= kn

knnnn CCCCCE

a) 4

cos2 nE = b) 6

cos2 nE n= c) 4

cos2 nE n=

d) 4

sin2 nE = e) 6

sin2 nE n= f) 4

sin2 nE n=

AL 275 Dac

=

20 ,,tga , s se calculeze suma

...735231 ++ nnnn CaCaaCC

a)

1cossin

sinnn

b)

n

ncossin

sin c)

1cossinsin

nn

d)

n

nsincos

sin e)

sincos

sinn

n f)

nnncossin

sin

Elemente de algebr

81

AL - 276 Se dau matricele ( )

=4,15,03,02

A ; ( )

=

53

21

6,01B

S se calculeze matricea C = A + B.

a)

=

3211

C ; b)

=

205,01

C c)

=

1001

C

d) ( )

=013,02

C e) ( )

=

211

16,0C f)

=

2011

C


AL - XI. 277 Se dau matricele ptratice de ordinul al doilea

=

6435

E i

=

7321

F .

S se calculeze matricea A = 2E 3F

a)

=91

1213A b)

=

911213

A c)

=91

1213A

d)

=

911213

A e)

=91

1213A f)

=91

1213A

AL - 278 Fie ( )Z3313112

201MA

= .

Dac ( ) xxf 3= s se calculeze ( )Af .

a) ( )

=

313112

603Af b) ( )

=

319116

203Af c) ( )

=

939336

603Af

d) ( )

=913132

203Af e) ( )

=

319132

601Af f) ( ) 3IAf =

82 Culegere de probleme AL - 279 S se calculeze produsul de matrice AB, unde

=

210123

A ,

=

231

B

a)

117

b)

63711

c)

2132711

d)

711

e) ( )3711 f)

3711

AL - 280 S se rezolve ecuaia matriceal:

=

7342

5221

X

a)

1102

b)

0120

c)

4311

d)

2521

e)

1141

f)

1012

AL - 281 S se rezolve ecuaia matriceal:

=

521234311

111012111

X

a)

035254

023 b)

031151023

c)

031151123

d)

035154013

e)

235054023

f)

135254

023


AL - 282 S se rezolve ecuaia matriceal

=

610896

143432321

X

a)

=1111

X b)

=101

110X c)

=

112211112

X

d)

=

321213

X e)

=111

111X f)

=

132321

X

AL - 283 Aflai Ra astfel ca matricea diagonal constant

=

aa

aX

000000

s fie soluia comun a ecuaiilor matriceale

( ) 1123

321 =

X i ( ) 1

321

123 =

X

a) 103

=a b) 102

=a c) 101

=a

d) 3

10=a e)

210

=a f) 10=a

84 Culegere de probleme AL - 284 S se determine toate matricile X, cu proprietatea c XAAX = ,

unde A =

1321

.

a)

1

; ,R b)

1 00 1

c)

2

0

; R

d) 1 23 1

; R e)

23

; ,R f)

; ,R

AL - 285 S se determine matricea X care verific relaia: 23

2 2 43 3 6

=

X .

a) X = ( )1 1 2 b) X = 1 1 20 0 0

c) X =

1 12 2

d) X = ( )1 2 3 e) X = 112

f) X = 1 12 2

AL - 286 Care este valoarea parametrului aR pentru care exist x,y,z,t R , nu toi

nuli, astfel nct x ya

z ta

1 21 2

2 11 1

1 31 2

1 31

0 00 0

+

+

+

=

?

a) a = 1 b) a = 0 c) a = 1 d) a = 2 e) a = 2 f) a = 4 AL - 287 S se determine constantele reale p i q pentru care matricea

A = 1 0 10 1 01 0 1

satisface relaia A3=pA2

p q= =2 3,

+qA .

a) b) p q= = 3 2, c) p q= =1 4, d) p q= = 2 3, e) p q= =2 1, f) p q= =1 3,


AL - 288 S

145939928 culegere matematica bac admitere politehnica timisoara 2011

Documents