Propietatile unghiului dreptunghic

Teorema 1: Intr-un triunghi dreptunghic cateta ce se opune opune unghiului de 30 de grade este jumatate din ipotenuza.Reciproca: Daca intr-un triunghi dreptunghic o cateta este jumatate din ipotenuza atunci unghiul ce se opune acesteia are 30 de grade. Teorema 2: Intr-un triunghi dreptunghic unghiurile ascutite sunt complementare. Reciproca: Daca intr-un triunghi unghiurile ascutite sunt complementare atunci triunghiul ascutit este dreptunghic.Teorema 3: Intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatate din aceasta. Reciproca: Daca intr-un triunghi mediana corespunzatoare unei laturi este jumatate din aceasta atunci triunghiul este dreptunghic.

Patrulatere

Patrulaterul este un poligon cu patru laturi. a) Patrulaterul convex are propietatea ca oricare ar fi 2 puncte aflate in interiorul sau, segmentul care le uneste se afla de asemenea in interior. b) Patrulaterul concav are propietatea ca exista cel putin 2 puncte din interiorul sau pe care, daca le determina un segment ce se afla si in afara patrulaterului. Propietati:Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este agala cu 360 de grade.

Paralelogramul

Patrulaterul ce are laturile opuse paralele doua cate doua se numeste paralelogram.Propietati: Unghiurile opuse sunt congruente Oricare 2 unghiuri alaturate sunt suplementare Diagonalelese injumatatesc

Teorema 1: Intr-un paralelogram, 2 laturi opuse sunt paralelesi congruente, Daca intr-un patrulater 2 laturi opuse sunt paralele si congruente, atunci patrulaterul este paralelogram .Teorema 2: Daca intr-un patrulater are loc oricare din propietatile 1, 2 sau 3 rezulta ca patrulaterul este paralelogram.

Linia mijlocie in triunghi

Segmentul care uneste mijloacele a 2 laturi ale unui triunghi se numeste linie mijlocie.Teorema 1: In triunghiul ABC, daca MN uneste mijloacele laturilor BC, AC rezulta ca MN este paralela cu AB cu MN este AB.Teorema 2: In triunghiul ABC, M este mijlocul lui BC si MN este paralela cu AB, atunci N este mijlocul lui AC. Observatie: Cu ajutorul liniei mijlocii putem demonstra concurenta medianelor. Intersectia lor se numeste centru de greutate si se afla pe fiecare mediana la o treime fata de baza si doua treimi fata de varf.

Dreptunghiul

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi de 90 de grade. Observatie: Fiind paraleogram va avea toate propietatile acestuia; in plus mai are propietatile: Diagonalele sunt congruente Toate unghiurile sunt drepte

Patratul

Patratul este un dreptunghi cu toate laturile egale 9 este suficient ca 2 consecutive sa fie egale ).Observatie: 1. Patratul va avea toate propietatile dreptunghiului Diagonalele sunt egale Toate unghiurile sunt drepte Laturile opuse sunt paralele2. In plus patratul are urmatoarele propietati suplimentare: Diagonalele sunt perpendiculare Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilorPentru a demonstra ca un paralelogram este patrat este suficient sa aratam ca:1. Are un unghi drept si 2 laturi consecutive egale 2. Are diagonalele congruente si 2 laturi consecutive egale.

Rombul

Este paralelogramul cu 2 laturi consecutive congruente.Observatie:Fiind un paralelogram va avea toate propietatile acestuia si urmatoarele propietati:a. Toate laturile sunt congruenteb. Diagonalele sunt perpendicularec. Diagonalele sunt bisectoarele lorTeorema 1: Daca intr-un paralelogram diagonalele sunt perpendiculare rezulta ca acesta este romb.Teorema 2: Daca intr-un paralelogram diagonalele sunt bisectoarele lor rezulta ca acesta este romb.

Trapezul

Trapezul este un patrulater avand 2 laturi paralele si 2 laturi neparalele.Trapezul ce are una dintre laturile neparalele perpendiculara pe cele 2 baze se numeste trapez dreptunghic.

In general inaltimea trapezului este perpendiculara pe cele 2 baze.Trapezul in care laturile neparalele sunt congruente este trapez isoscel.

Trapezul isoscel are urmatoarele propietati:1. Laturile naparalele sunt congruente2. Diagonalele sunt congruente3. Unghiurile alaturate bazelor sunt congruente 2 cate 2Segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele intr-un trapez isoscel se numeste linie mijlocie.

Propietatile linie mijlocii:1. Este paralela cu cele 2 baze2. Este semi-suma bazelor MN= AB+DC/2

Ariile figurilor geometrice

1. Aria triunghiuluiFie triunghiul ABC, cu laturile a,b,c,h indice a, h indice b, h indice c sunt inaltimi.

Aria triunghiului ABC= baza x inaltimea/2 Aria triunghiului ABC= a x h indice a/2= b x h indice b/2= c x h indice c/2 a= BCb= ACc= AbObservatie:1. Deoarece in triunghiul dreptunghic fiecare cateta este inaltimea corespunzatoare celelalte catete rezulta ca Aria triunghiului dreptunghic este c1 x c2/2 2. In orice triunghi mediana il va imparti in 2 triunghiuri de arii Aria triunghiului ABM= BM x AH/2

2. Aria paralelogramuluiAria paralelogramului= baza x inaltimea3. Aria patratului Aria patratului= latura la a doua4. Aria dreptunghiuluiAria dreptunghiului= L x l5. Aria rombuluiRombul fiind un paralelogram, aria sa se va calcula cu aceeasi formula, dar si dupa formula suplimentara:Aria rombului= d1 x d2/26. Aria trapezuluiAria trapezului= ( B+b ) x h/2 B- baza mareb- baza micah- inaltimea Observatie: Deoarece l.m.= B+b/2 rezulta ca Aria= ( l.m. ) x h.

ASEMANARETeorema paralelelor echidistante; Segmente proportionale

4 segmente vom spune ca sunt proportionale daca rapoartele lungimile lor formeaza o proportie.Teorema: Daca n drepte paralele determina pe o secanta ( o dreapta pe care le taie pe toate ) segmente congruente, atunci vor determina pe orice alta secanta segmente congruente.

TEOREMA LUI THALES

TEOREMA: O paralela dusa la una din laturile unui triunghi, determina pe celelalte doua laturi sau pe prelungirile lor segmente proportionale.

RECIPROCA: Daca o dreapta ce intersecteaza 2 laturi ale unui triunghi determina segmente proportionale, atunci dreapta este paralela cu a treia latura ( laturile pot fi in interior sau in exterior ). OBSERVATIE: Reciproca ne ajuta in demonstrarea paralelismului.

TEOREMA BISECTOAREI INTERIOARE

TEOREMA: Bisectoarea unui triunghi interior al unui triunghi, determina 2 segmente proportionale cu laturile ce alcatuiesc unghiul.

ASEMANAREA TRIUNGHIURILOR

Fie triunghiul ABC si triunghiul MNP; vom spune ca triunghiurile sunt asemenea daca unghiurile corespondente 2 cate 2 sunt congruente, iar laturile sunt proportionale.

TEOREMA FUNDAMENTALA A ASEMANARII

O paralela dusa la una din laturile unui triunghi, determina cu celelalte 2 laturi sau cu prelungirile acestora un triunghi asemenea cu triunghiul initial.

CAZURI DE ASEMANARE

CAZUL 1 UU

Cazul 2 LLL

CAZUL 3 LUL

PROPIETETAEA 1Daca triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul MNP si raportul de asemanare este k, atunci raportul medianelor, h, bisectoarele ce pornesc din varfuri congruente este egal cu tot k.

PROPIETATEA 2Triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul MNP si k este raportul de asemanare, atunci raportul ariilor celor 2 triunghiuri este congruent cu k la puterea a 2 a.

PROIECTII

Fie dreapta d si AB un segment neinclus in dreapta d; Proiectia segmentului AB pe dreapta d este segmentul [AB] obtinut prin trasarea perpendiculalelor din A si B pe d, ABapartin lui d.

OBSERVATIE: 1. Daca A apartine lui d, atunci vom duce perpendiculara doar din B, notata BB, iar proiectia va fi AB. 2. Daca segmentul AB este perpendicular pe AD, atunci proiectia acestuia pe dreapta este un punct 9 piciorul perpendicularei duse pe dreapta ).

Proiectia unui punct pe o dreapta d este piciorul perpendicularei dusa din A pe d.

TEOREMA: Proiectia unui segment pe o dreapta este tot un segment sau un punct.

RELATII METRICE TEOREMA INALTIMII

Intr-un triunghi dreptunghic, h corespunde ipotenuzei este media geometrica a proiectilor catetelor pe ipotenuza.

RECIPROCA: Daca in triunghiul ABC, AD h, iar AD la puterea a 2 a= BDxDC, D apartine lui BC, atunci masura unghiului A este de 90 de grade. Observatie: Daca triunghiul ABC este dreptunghic, iar h este corespunzatoarea ipotenuzei, atunci

Bodea Gabriel

Chelaru Dorin

Dumitru Teodor

Dumitru Vlad

Chelba Bianca

Valsanescu Amina

Olteanu Diana

Dan Cosmin

Dragomir Elena